Tema 13 Trigonometría

(1)

TRIGONOMETRÍA

CPR. JORGE JUAN _Xuvia-Narón

Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas secantes. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el punto donde éstas se cortan se denomina vértice del ángulo. La amplitud de un ángulo es su abertura.

En función de ella los ángulos se clasifican en:

Agudo Su abertura es menor de 90º.

Recto Su abertura es 90º.

Obtuso Su abertura es mayor de 90º

Llano Su abertura es 180º.

Para medir un ángulo se utiliza distintos tipos de unidades:

Grado Sexagesimal, º

Es el resultante de dividir un ángulo recto en, 90 partes iguales.

Si se divide un grado en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un minuto, ‘.

1º son 60’

Si se divide un minuto en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un segundo, “.

1’ son 60”

Un ángulo sexagesimal se mide pues es grados, minutos y segundos.

Las unidades para medir ángulos aumentan o disminuyen de 60 en 60. Por esta razón a este sistema se le denomina sistema sexagesimal.

Radián

Ángulo al que le corresponde un arco de circunferencia cuya longitud es coincidente con el radio de la misma.

Un radián aproximadamente equivale a un ángulo de, 57’3º.

En esta unidad angular se verifica

arco= ángulo . radio

(2)

trigonometría

Dados dos ángulos se dicen:

Consecutivos

Si comparten un lado y el vértice. La medida del ángulo que forman es la suma de los dos ángulos.

Opuestos

Si comparten el vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales numéricamente.

Complementarios

Si suman, 90º, es decir, entre los dos forman un ángulo recto.

Suplementarios

Si suman, 180º, es decir, entre los dos forman un ángulo llano.

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo,, sea: r radio de la circunferencia.

P(x,y) punto genérico de la circunferencia, cuyas

coordenadas, x,y, están referidas a un sistema de referencia cartesiano, O,X,Y, cuyo origen coincide con el centro de dicha circunferencia.

 ángulo que forman la semirrecta que une el origen del sistema de referencia, O,X,Y, con el punto genérico de la circunferencia, P(x,y), y el semieje positivo del eje, X, del sistema de referencia cartesiano, O,X,Y.

Se definen entonces:

sen =

cateto opuesto

y

hopotenusa

r

o



cos =

cateto contiguo

x

hopotenusa

r

o



tg =

cos

sen

y

cateto opuesto

x

cat

o

eto contiguo





ctg =

1 cos

s

x

cateto contiguo

tg

sen

y

catet

o

o opuesto









sec =

1 cos

r

hipotenusa

x

cateto cont guo

o

i





cosec =

1 r

hipotenusa

sen





y



cateto opu

o

esto

(3)

Cada una de estas razones trigonométricas tienen una interpretación geométrica sobre la circunferencia, las cuales se deducen a partir de la semejanza de triángulos:

Sea una circunferencia de radio, OP= 1

sen =

MP

OP

= MP

cos =

OM

OP

= OM

tg =

MP

AQ

OM



OA



OP

= AQ

cotg =

OM

BR

MP



OB



OP

= BR sec =

OP

OQ

OM



OA



OP

= OQ

cosec =

OP

OR

MP



OB



OP

= OR

La gráfica que le corresponde a cada razón trigonométrica es:

sen 

(4)

trigonometría tg 

cotg 

sec 

cosec 

Los valores máximos y mínimos de las distintas razones trigonométricas, se observan en sus gráficas, y se producen en los ángulos divisorios de los cuadrantes en que se divide la circunferencia. Sus valores se deducen teniendo en cuenta los valores máximos y mínimos que pueden tomar las magnitudes que los definen, siendo éstos:

0º 90º 180º 270º 360º

0 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0

cos

cot

0 0

1 1 1

1

sec

cos 1

sen

tg g

ec   

 

 

 

  

  

   

Asimismo los signos que les corresponden a estas funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes se deduce atendiendo a los signos que toman los valores de las variables, x= cos , y= sen , en ellos.

cos cot sec cos

1 2º

3

4º er

er

cuadrante cuadrante

cuadrante

sen tg g

cuadra te

ec

n

    

     

     

     

(5)

Los valores de algunas de las razones trigonométricas del primer cuadrante son:

0º

30º

45º

60º

90º

1

2

3

0

1

2

3

2

1

0 cos

cot

sec

cos

2

3

0

1

3

1

0

3 2 3

1

2

3 2 3

2

1

3 sen

tg

g

ec





De las definiciones de las razones trigonométricas se deducen las primeras fórmulas trigonométricas:

sen2+ cos2= 1

Elevando al cuadrado las expresiones que definen a las razones trigonométricas

,

senoy, cos

y

sen

r







2 2

2

y

sen

r





cos

x

r







2 2

2

cos

x

r





sumando estos dos últimas expresiones miembro a miembro, se deduce una des las fórmulas trigonométricas básica para el desarrollo del resto de la trigonometría

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos

y

x

y

x

r

1 sen

r

















tg2+ 1= sec2 

Si se divide cada miembro de la identidad anterior por un mismo factor, la igualdad se mantiene. Utilizando como factor divisor al cuadrado del coseno, se deduce

2 2

cos

1 cos

cos

sen







rompiendo la fracción del primer miembro

2 2

2 2 2

cos 1

cos cos cos

sen



(6)

trigonometría

aplicando propiedades de potencias se escribe

2 2

1

1 cos

cos

sen











 

















aplicando la definición de las razones trigonométricas

(tg



)2 + 1= (sec )2 

 que se puede escribir en la forma

tg2 + 1= sec2   1 + ctg2= cosec2

Utilizando como factor divisor al cuadrado del seno, se deduce

2 2 2 2

cos

1 sen

sen







rompiendo la fracción del primer término

2 2

2 2 2

cos

1 sen

sen











aplicando propiedades de potencias se escribe

aplicando la definición de las razones trigonométricas

1 + (ctg



)2= (cosec )2



 que se puede escribir en la forma

1 + ctg2 = cosec2 

A partir de estas primeras fórmulas trigonométricas se pueden escribir todas las razones trigonométricas de un ángulo en función de la función trigonométrica seno o de la función trigonométrica tangente.

seno tangente

cos



 

1 

sen

2



2

.cos

sec

₁

tg

sen

tg



_







2

cos

₁

sen

tg

sen



_







2

1

1 cos

sec

₁

_tg



_







2

cos

1 cot

s

sen

g

sen

en









sec



 

1 

tg

2



(7)

2

1

1 sec

cos

₁

_sen



_







2

1

1 sec

tg

co

sen

tg









Conocidas las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante es posible determinar las razones trigonométricas de ángulos de los otros cuadrantes que están relacionados con el del primero. Estos ángulos de los que se pueden determinar sus razones trigonométricas conocidas las de un ángulo, , del primer cuadrante son:

Ángulos Complementarios

Dos ángulos, , y, , son complementarios si se verifica



+= 90º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos complementarios los puntos A y B son simétricos respecto de la bisectriz del primer cuadrante, por lo que:

la ordenada, y= AA’, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la abscisa, x’= BB’, ó valor del coseno del ángulo, = 90º-.

y= x’

la abscisa, x= OA’, o valor del coseno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’= OB’, del ángulo, = 90º-

x= y’

La relación existente entre sus razones trigonométricas es

sen= sen (90-)=

y

'

x

r



r

= cos    cos= cos (90-)=

x

'

y

r



r

= sen  tg= tg(90-)=

cos

sen











= cotg 

ctg= ctg(90-)=

cos

sen











= tg 

sec= sec(90-)=

1

1 cos





sen



= cosec  cosec= cosec(90-)=

1

1 cos

sen







= sec 

(8)

trigonometría

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos, , y,, son suplementarios si se verifica



+= 180º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos suplementarios los puntos P y P’ son simétricos respecto al eje de ordenadas, Y, por lo que:

la ordenada, y= QP, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’= Q’P’, ó valor del coseno del ángulo, = 180º-.

y= y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 180º-

x= -x’

sen= sen (180-)=

y

'

y

r



r

= sen 

cos= cos (180-)=

x

'

x

r





= -cos 

tg= tg(180-)=

cos

sen



sen











= -tg 

ctg = ctg(180-)=

cos

sen













= -ctg 

sec= sec(180-)=

1

1 cos







cos



= -sec 

cosec= cosec(180-)=

1

1 sen





sen



= cosec 

Ángulos que se diferencian en 90º

Dos ángulos, 

,

y,, se diferencian en 90º si se verifica



=+90º

(9)

la ordenada, y, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la opuesta de la abscisa, x’, ó valor del seno del ángulo, = 90º+.

y= -x’

la abscisa, x, ó valor del coseno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’. ó valor del seno del ángulo, = 90º+

x= y’

sen= sen (90+)=

y

'

x

r



r

= cos 

cos= cos (90+)=

x

'

y

r





= -sen 

tg= tg(90+)=

cos

sen













= -ctg 

ctg= ctg(90+)=

cos

sen













= -tg 

sec= sec(90+)=

1

1 cos





sen



= -cosec 

cosec= cosec(90+)=

1

1 cos

sen







= sec 

Ángulos que se diferencian en 180º

Dos ángulos, , y, , se diferencian en 180º si se verifica



=+180º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos que se diferencian en 180º los puntos P y P’ son simétricos y opuestos respecto del eje de abscisas, X, por lo que:

la ordenada, y= QP, o valor del seno del ángulo, , es opuesta a la ordenada, y’= Q’P’, o valor del seno del ángulo, = 180º+.

y= -y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 180º+

(10)

trigonometría

sen= sen (180+)=

y

'

y

r





= sen 

cos = cos (180+)=

x

'

x

r





= -cos 

tg= tg(180+)=

cos

sen



sen













= tg 

ctg= ctg(180+)=

cos

sen















= ctg 

sec= sec(180+)=

1

1 cos







cos



= -sec 

cosec= cosec(180+)=

1

1 sen







sen



= -cosec 

Ángulos Opuestos

Dos ángulos, 

,

y,, son

opuestos si se verifica



+= 360º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos opuestos los puntos P y P’ son simétricos respecto al eje de abscisas, X, por lo que:

la ordenada, y= QP, o valor del seno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, y’= Q’P’, o valor del seno del ángulo, = 360º-.

y= -y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es igual a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 360º-

x= x’

sen = sen (360-)= sen (-)=

y

'

y

r



(11)

cos = cos (360-)= cos (-)=

x

'

x

r



r

= cos 

tg= tg(360-)= tg (-)=

cos

sen



sen











= -tg 

ctg= ctg(360-)= Ctg (-)=

cos

sen













= -ctg 

sec= sec(360-)= sec (-)=

1

1 cos





cos



= sec 

cosec= cosec(360-)= cosec (-)=

1

1 sen







sen



= -cosec 

Si se tienen en cuenta estas últimas expresiones y la que proporciona la definición del producto escalar de dos vectores, a, y, b, en la que viene implícito el coseno del ángulo, , que dichos vectores, a, y, b, forman entre sí, se obtiene la expresión del:

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Se dibuja una circunferencia de radio unidad con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Las coordenadas cartesianas de los puntos, A, y, B, en este sistema coordenado vienen dadas por las expresiones

A(x,y)= A(cos, sen ) B(x’,y’)= B(cos, sen )

En estas condiciones se tiene:

O(0,0) Origen del sistema de coordenadas cartesiano,

O, X, Y, y centro de una circunferencia de radio unidad, sobre la que van a estar situados los extremos de los vectores, a,b.

a,b Vectores de módulo unidad, con origen es el punto, O, extremo situado sobre la circunferencia de radio unidad.

A(x,y), B(x',y')

Coordenadas de los puntos extremos de los vectores, a,b, en el sistema de coodenadas rectangulares, O, X, Y.

(cos , sen )

(12)

trigonometría

,  ángulos que los vectores, a,b, forman respectivamente con el semieje positivo, X, del sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y.

Las coordenadas de los puntos, A, y, B, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, son:

cos

1

1 x

y

sen

















_







A(x,y)= A(cos ,sen )

'

cos

1 '

1 x

y

sen

















_







B(x',y')= B(cos , sen )

las componentes de los vectores, a, y, b, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, vienen dadas por

a= A-O= (cos ,sen )-(0,0)= (cos ,sen )

b= B-O= (cos , sen )-(0,0)= (cos , sen )

el producto escalar de estos dos vectores, a,b, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, y que es un sistema ortonormal se puede escribir mediante las expresiones

a.b= a.b.cos (-)= 1.1.cos (-)= cos (-)

Por otro lado este mismo producto escalar en el sistema ortonormal, O, X, Y, se puede desarrollar según la expresión:

a.b= (cos ,sen ).(cos , sen )= cos .cos  + sen .sen  igualando ambos resultados se deduce

cos (-)= cos .cos  + sen .sen 

expresión de la que se deducen:

Coseno de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del:

Desarrollo del coseno de la diferencia

cos (-)

Desarrollo de los ángulos opuestos

sen (360º - )= sen (-)=-sen  cos (360º - )= cos (-)=cos 

se tiene entonces

cos (+)= cos (-(-))= cos .cos (-) + sen .sen (-)= cos .cos  + sen .(-sen )=

cos .cos  - sen .sen 

Su demostración geométrica sería para una circunferencia gonomiométrica, o circunferencia de radio, r= OA= OB= 1, en la que se verifican las igualdades:

cos =

OS

ON

 OS= ON.cos  (1)

cos =

R

S

(13)

cos =

NB

M

B

 NB= MB.cos  (3)

sen =

M

N

M

B

 MN= MB.sen  (4)

cos =

1 O

O

OB

N



(5)

sen =

1 N

N

B

N

B

O



(6)

de donde se tiene

(1) (2) (5)

cos (+)=

1 O

R

O

OB

R



= OR= OS - RS= ON.cos  - MN.cos = (4) (3)

cos .cos  - MB.sen .cos = cos .cos  - NB.sen = (6)

cos .cos  - sen .sen 

cos(+)=cos.cos-sen.sen

Seno de la diferencia de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del:

Desarrollo del coseno de la suma

cos (+)

Desarrollo de los ángulos complementarios

sen (90º - )= cos  cos (90º - )= sen 

se tiene entonces:

sen (-)= cos (90 - (-))=cos((90-) + )=cos (90-).cos- sen (90-).sen= sen.cos - cos.sen

sen (-)=sen .cos-cos.sen

Seno de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del:

Desarrollo del seno de la diferencia

sen (-)

Desarrollo de los ángulos opuestos

sen (360º - )= sen (-)= -sen  cos (360º - )= cos (-)= cos 

se tiene entonces:

sen(+)=sen (- (-))=sen.cos(-) – cos .sen (-)=

(14)

trigonometría

sen (+)=sen.cos+cos.sen

Tangente de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del:

Desarrollo del seno de la suma

sen (+)

cos (+)

se tiene entonces:













cos .

cos

.

cos

c

.cos

cos

.

cos

.co

o

cos

.

s

sen

tg

se

sen

n













































cos .cos cos .cos cos cos

c cos .cos

os .cos cos .cos cos .cos

.cos cos

1 .

1

. . .

se sen se

sen sen

tg

n sen tg

sen s g tg e n n t                    _                





1 .

tg

tg tg



















Tangente de la diferencia de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del:

Desarrollo de la tangente de la suma

tg (+)

Desarrollo del ángulo opuesto

tg (360º-)= -tg 

se tiene entonces:

tg (-)=tg (+(-))=

(

)

(

)

1 . (

)

1 .(

)

1 .

tg

tg tg

tg

tg tg





























 













1 .

tg

tg tg



















Seno del ángulo doble

Se deduce a partir de la expresión del:

Desarrollo del seno de la suma

sen (+)

expresión en la que se igualan los dos ángulos, = .

se tiene entonces:

(15)

sen(2)=2.sen.cos

Coseno del ángulo doble

cos (+)

se tiene entonces:

cos (2)= cos (+)= cos .cos- sen .sen= cos2  - sen2 



teniendo en cuenta que los cuadrados del seno y del coseno están relacionados por la expresión

sen2 cos2 = 1 

y que cada uno de ellos se puede escribir en función del otro según:

sen2 = 1 - cos2 

cos2 = 1 - sen2 

se tienen para el desarrollo del coseno del ángulo doble dos expresiones más que vienen dadas por:

cos (2)= cos2 - sen2 = (1 - sen2 ) - sen2 = 1 - sen2  - sen2 =1 - 2sen2  ó

cos (2)= cos2 - sen2 = cos2  - (1 - cos2 )= cos2  - 1 + cos2 = 2cos2 - 1 cos (2)=cos2 -sen2 = 1 - 2sen2 =2cos2 - 1

Tangente del ángulo doble

Desarrollo de la tangente de la suma

tg (+)

se tiene entonces:

tg (2)= tg (+)=

2

₂

1 .

1 tg

tg

tg tg

tg









2

1 tg

tg



(16)

trigonometría

Seno del ángulo mitad

Desarrollo del coseno del ángulo doble

cos 2= 1 - 2sen2  llamando

A= 2  =

2 A

en la expresión del coseno del ángulo doble:

cos 2= 1 - 2sen2  se hace el cambio anterior

cos A= 1 - 2sen2

2 A

despejando de esta expresión el término que contiene a la razón trigonométrica seno

2sen2

2 A

= 1 - cos A

sen2

2 A

=

1 cos

2 A



de donde

cambiando la letra, A, por la letra, , que es la utilizada habitualmente para los ángulos se tiene

Coseno del ángulo mitad

Desarrollo del coseno del ángulo doble

cos 2= 2cos2  - 1 llamando

A= 2  =

2 A

en la expresión del coseno del ángulo doble se:

cos 2= 2cos2  - 1

1 cos

2

2 sen









1 cos

2

2 A

A

(17)

se hace el cambio anterior

cos A= 2cos2

2 A

- 1

despejando de esta expresión el término que contiene al cuadrado de la razón trigonométrica coseno

2cos2

2 A

= 1 + cos A

cos2

2 A

=

1 cos

2 A



de donde

cambiando la letra, A, por la letra, , que es la utilizada habitualmente para los ángulos se tiene

Tangente del ángulo mitad

Desarrollo del seno del ángulo mitad

sen

2 

Desarrollo del coseno del ángulo mitad

cos

2 

se tiene entonces:

1 cos

2 1 cos

tg









1 cos

cos

2

2 A



A



1 cos

cos

2

2 







1 cos

2

2 1 cos

2 _cos

1 cos

2 ₂

2 sen

tg









_

(18)

trigonometría

Suma de tangentes

Aplicando la definición de las razones trigonométricas se escribe

tg  + tg =

cos

sen



sen











desarrollando la suma de estas fracciones

tg  + tg =

.co

cos

s

cos .

cos .cos

sen



sen



sen







sen













teniendo en cuenta que el numerador de la fracción obtenida es el desarrollo del seno de la suma de ángulos, se tiene

tg  + tg =

.cos

cos .

cos

cos .cos

(

)

sen



sen



se

n







s n

e



s n

e



















(

)

cos .cos

sen

tg



tg















Diferencia de tangentes

Aplicando la definición de las razones trigonométricas se escribe

tg  - tg =

cos

sen



sen











desarrollando la resta de estas fracciones

tg  - tg = sen  - sen  sen cossen cos  cos cos cos cos 

teniendo en cuenta que el numerador de la fracción obtenida es el desarrollo del seno de la diferencia de ángulos, se tiene

tg  - tg =

.cos

cos .

cos

cos .cos

(

)

sen



sen



se

n







s n

e



s n

e



















(

)

cos .cos

sen

tg



tg

















Transformación de suma de senos en productos Llamando

a + b= A

a - b= B

sumando estas dos expresiones se tiene

2a= A + B

(19)

2 A

B

a





restando estas dos expresiones se tiene

2b= A - B

de donde

2 A B

b





con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la suma de senos

sen A + sen B= sen (a+b) + sen (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del seno de la suma y del seno de la diferencia se escribe

sen A + sen B= sen (a+b) + sen (a-b)=

(sen a.cos b+cos a.sen b) + (sen a.cos b-cos a.sen b)

eliminando los paréntesis y sumando los términos semejantes se reduce a

sen A + sen B= sen a.cos b + cos a.sen b + sen a.cos b - cos a.sen b= 2.sen a.cos b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

sen A + sen B= 2.sen

2 A



B

.cos

2 A B



cambiando la letra, A, por la letra, , y la letra, B, por la letra, , que son las utilizadas habitualmente para los ángulos se tiene

sen + sen=2.sen

2 





.cos

2 





Transformación de resta de senos en productos Llamando

a + b= A

a - b= B

2a= A + B

de donde

2 A

B

a





2b= A - B

de donde

2 A B

(20)

trigonometría

con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la resta de senos

sen A - sen B= sen (a+b) + sen (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del seno de la suma y del seno de la diferencia se escribe

sen A - sen B= sen (a+b) - sen (a-b)=

(sen a.cos b+cos a.sen b) - (sen a.cos b-cos a.sen b)

sen A - sen B= sen a.cos b + cos a.sen b - sen a.cos b + cos a.sen b= 2.cos a.sen b

escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

sen A - sen B= 2.cos

2 A



B

.sen

2 A B



sen  sen=2.cos

2 





.sen

2 





Transformación de suma de cosenos en productos Llamando

a + b= A

a - b= B

2a= A + B

de donde

2 A

B

a





2b= A - B

de donde

2 A B

b





con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la suma de cosenos

cos A + cos B= cos (a+b) + cos (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del coseno de la suma y del coseno de la diferencia se escribe

cos A + cos B= cos (a+b) + cos (a-b)=

(cos a.cos b-sen a.sen b) + (cos a.cos b+sen a.sen b)

(21)

cos A + cos B= cos a.cos b - sen a.sen b + cos a.cos b + sen a.sen b= 2.cos a.cos b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

cos A + cos B= 2.cos

2 A



B

.cos

2 A B



cos + cos=2.cos

2 





.cos

2 





Transformación de resta de cosenos en productos Llamando

a + b= A

a - b= B

2a= A + B

de donde

2 A

B

a





2b= A - B

de donde

2 A B

b





con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la resta de cosenos

cos A - cos B= cos (a+b) - cos (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del coseno de la suma y del coseno de la diferencia se escribe

cos A - cos B= cos (a+b) - cos (a-b)=

(cos a.cos b-sen a.sen b) - (cos a.cos b+sen a.sen b)

cos A + cos B= cos a.cos b - sen a.sen b - cos a.cos b - sen a.sen b= -2.sen a.sen b

escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

cos A - cos B= -2.sen

2 A



B

.sen

2 A B



(22)

trigonometría

cos  cos= -2.sen

2 





.sen

2 





Otras expresiones

Desarrollo de la transformación de la suma de senos en producto

Desarrollo de la transformación de la resta de senos en producto

se tiene entonces:

cos

_{2 cos}

_.

2 .cos

cos

₂

2

2 s

sen

_s

e

sen

n

e































dividiendo por, 2, el segundo miembro y reescribiendo la fracción en forma de un cociente de fracciones se tiene

cos

2 cos

c

cos

2

2 cos

2 ₂

.

2 os

.

2

2 sen

sen

se

sen

se

n







































teniendo en cuenta la definición de la razón trigonométrica tangente

2 .cos

cos ₂ ₂

cos

2

cos 2

2 cos .

2 2 2

2 2 2 cos sen sen

sen _sen _sen _tg

sen tg                                       

cos

₂

cos

2 tg

sen

_tg























Teorema del seno

La longitud de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

2 a

b

c

R

senA



senB



senC



(23)

Se considera el triángulo cuyos lados tienen las longitudes, a, b, y, c, respectivamente, y que tiene por ángulos, A, B, y, C.

Los lados y ángulos opuestos tienen la misma letra, distinguiéndose la de los lados por ser letras minúsculas, y la de los ángulos por ser letras mayúsculas.

Se traza la altura de este triángulo, la cual tiene una longitud, h. La altura divide al

triángulo en dos triángulos rectángulos y a la base en dos segmentos de longitudes, m, y, n. Se verifica:

Aplicando al triángulo rectángulo cuyos lados miden, a, m, y, h, siendo, a, su hipotenusa la definición de la razón trigonométrica, sen , se escribe

sen B=

h

a

de donde

h= a.sen B

Análogamente aplicando al triángulo rectángulo cuyos lados miden, b, n, y, h, siendo, b, su hipotenusa, la definición de la razón trigonométrica, sen , se escribe

sen A=

h

b

de donde

h= b.sen A

igualando ambos resultados obtenidos para la longitud de la altura, h

h= b.sen A= a.sen B= h

expresión que en forma de razón o fracción se puede escribir

a

b

senA



senB

Se puede generalizar este resultado a la longitud del tercer lado del triángulo y su ángulo opuesto.

a

b

c

k

senA



senB



senC



estas razones son iguales a una constante, k, llamada constante de proporcionalidad, k, y que gráficamente su valor coincide con el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo

Teorema del coseno

(24)

trigonometría

a2= b2+c2-2bc.cos A

Se considera el triángulo cuyos lados tienen las longitudes, a, b, y, c, respectivamente, y que tiene por ángulos, A, B, y, C.

Los lados y ángulos opuestos tienen la misma letra, distinguiéndose la de los lados por ser letras minúsculas, y la de los ángulos por ser letras mayúsculas.

Se traza la altura de este triángulo, la cual

tiene una longitud, h. La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos y a la base en dos segmentos de longitudes, m, y, n. Se verifica:

m+ n= c

expresión de la cual se deduce que

m= c-n

Por ser rectángulo el triángulo cuyos lados miden, b, n, y, h, siendo, b, su hipotenusa se puede aplicar el teorema de Pitágoras por lo que se escribe

h2+n2= b2

Aplicando a este mismo triángulo la definición de la razón trigonométrica, cos , se escribe

cos A=

n

b

de donde

n= b.cos A

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo cuyos lados miden respectivamente, a, m, y, h, siendo, a, su hipotenusa

a2= h2+m2= h2+(c-n)2

Se desarrolla el cuadrado de la suma y se escribe

a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn

teniendo en cuenta la expresión de, b2, obtenida anteriormente a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn = b2+c2-2cn

teniendo en cuenta la expresión de, n, obtenida anteriormente

a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn = b2+c2-2cn= b2+c2-2bc.cos A Teorema de las tangentes

(25)

2

2 A

B

tg

a

b

A

B

a

b

tg













_

_

















Desarrollo del teorema del seno

a

b

c

senA



senB



senC

Desarrollo de las reglas de las proporciones

Desarrollo de la transformación de la suma de senos en productos.

sen + sen=2.sen

2 





.cos

2 





Desarrollo de la transformación de la resta de senos en productos.

sen  sen=2.cos

2 





.sen

2 





aplicando estos conceptos a dos lados cualesquiera de un triángulo

a

b

senA

senB

a

b

senA

sen

a

b

sen

B

A

senB













reescribiendo las fracciones

a

b

senA

s

a

b

senA

senB

enB









transformando la suma de senos y la resta de senos en productos

2 .cos

2

2 2cos

.

2

2 A

B

A

B

sen

senA

se

A

B

A

B

senA

senB

a

b

a

b

_sen

nB



















simplificando en esta expresión los doses, y teniendo en cuenta la definición de las funciones trigonométricas, tangente y cotangente

Teorema del cateto

La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

cot

2 2cos

.

2 .cos

2

2 _.

2

2 A

B

g

A

B

A

B

A

B

senA

senB

_s

A

B

A

B

A

B

sen

tg

senA

senB

A

B

t

a

b

a

b

_e

_n

g

_tg

(26)

trigonometría

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este cateto sobre la hipotenusa

a2= c.m b2= c.n

Cada uno de los catetos de un triángulo rectángulo es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

.

c



a n

c

.

b



a m

Aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos, BDA, y, DAC, se tiene

c2= n2+h2= n2+m.n= n.(n+m)= n.a b2= m2+h2= m2+m.n= m.(m+n)= m.a Teorema de la altura

La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo, ABC, es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

h2= m.n

La altura de un triángulo rectángulo considerando la hipotenusa como base es media proporcional o geométrica de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

.

h



m n

En el triángulo, ABC, rectángulo en el ángulo, C, la altura, h, sobre la hipotenusa determina los triángulos rectángulos, BDC, y, DAC. Estos triángulos tienen dos ángulos iguales, el ángulo recto y los ángulos, A, y, A*, ambos complementarios del ángulo, B. Estos triángulos son pues semejantes atendiendo al criterio 1 del teorema de Tales. Sus lados son proporcionales, verificándose:

o

e

o

lado de BDA

m

h

a

lado de DAC

e



h



n



b

De la primera igualdad se deduce la expresión del teorema de la altura

h2= m.n

De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo dos son los catetos, b, y, a. La altura sobre la hipotenusa, c, está relacionada con los otros dos lados del triángulo por la expresión:

(27)

S=

.

2

2 a b

c h



de donde

a.b= c.h

h=

a b

.

c

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2= b2+c2

Si los lados de un triángulo verifican el teorema de Pitágoras, entonces el triángulo es rectángulo.

Se puede generalizar el teorema de Pitágoras a todo tipo de triángulos sin necesidad de que éstos sean rectángulos. Únicamente hay que hacer la distinción de si el lado a determinar es opuesto a un ángulo agudo ó a un ángulo obtuso:

El ángulo opuesto es agudo

a2= h2+(c-n)2= b2-n2+(c-n)2= b2-n2+c2+n2-2c.n= b2+c2-2c.n El ángulo opuesto es obtuso

a2= h2+(c+m)2= b2-m2+(c+m)2= b2-m2+c2+m2+2c.m= b2+c2+2c.m El cuadrado del lado opuesto:

A un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

A un ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

A un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados determina un triángulo semejante al primero.

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

Esta definición de semejanza aplicada a un triángulo obliga a que se cumplan seis condiciones, tres para los ángulos y tres para los lados. El teorema de Tales permite reducir el número de condiciones que deben de cumplirse para que dos triángulos sean semejantes, existiendo tres formas de elegir dichas condiciones, recibiendo cada una de ellas el nombre de criterio de semejanza.

a

b

c h

(28)

trigonometría

Criterio 1

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A= A’

Criterio 2

Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

'

a

b

c

a



b



c

Criterio 3

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

'

b

c

b



c

A= A’

Altura de un triángulo conocidos sus lados En el triángulo, CMA, se cumple:

hc2= b2-m2= b2 -

















2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 2

4 4 4

b c a b c b c a bc b c a

c c c

       

  

















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 . 2 2 . 2

4 4

bc b c a bc b c a bc b c a bc b c a

c c

                   

   _   _





2 2 2





2

_

_{ }

_

2 2

. _. _.( _).( ₎

4 4

b c a a b c _a _b _c _b _c _a _a _b _c _a _b _c

c c

 _ _   _ _  _{ } _{ } _{ } _{ }

    _

de donde se obtiene el valor de la altura del triángulo sobre el lado, c, en función de la longitud de los lados del triángulo.

hc=



 

.



.(

).(

)

2 a

b

c

b

c

a

b

c

a

b

c

 

 

 

El área del triángulo conocidos sus lados viene dada por la fórmula de Herón que se basa en el resultado anterior. Si tomamos el lado, c, del triángulo como base se tiene:



 

.



.(

).(

)

.

₂

2

c

a

b

c

b

c

a

b

c

a

b

c

base altura

c h

_c

A

 

 

 





 

.



.(

).(

)

4

(29)

Fórmulas de Briggs

Se deducen a partir de la expresión del:

Desarrollo del teorema del coseno

a2= b2+c2-2bc.cos A

Desarrollo del seno del ángulo mitad

1 cos

2

2 sen









Desarrollo del coseno del ángulo mitad

1 cos

cos

2

2 







pasando el término del teorema del coseno que contiene la razón trigonométrica, cos A, al primer miembro