Funciones inyectivas, epiyectivas, biyectivas , compuestas e inversas
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(2) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 5 Sean 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ È# B 1 À H971ïïïïpV/-1, definida por. # 1ÐBÑ œ "B #. a). Trace el gráfico de 0 .. b). Pruebe que 0 " existe y determine 0 " ÐBÑ.. c). Determine H97Ð1 ‰ 0 Ñ y Ð1 ‰ 0 ÑÐBÑ .. d). Determine 5 − ‘ tal que 1Ð5 "Ñ œ "# .. Actividad N° 6 B# %B ( si B Ÿ $ "# $B si B $. Sea. 0 ÐBÑ œ œ. a) b). Calcule, si es posible, 0 Ð0 Ð&ÑÑ. Trace el gráfico de 0 . ¿Es 0 inyectiva? Justifique.. Actividad N° 7 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ œ. si B % B# #B # B %B si B %. a). Calcule 0 Ð $Ñ, 0 Ð$Ñ Þ. b). Trace el gráfico de 0 .. c). Determine B − ‘ tal que 0 ÐBÑ œ !.. d). ¿Tiene 0 inversa? Justifique.. e). Determine V/-0 .. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(3) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 8 B $ 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ É B# ". a). Determine H970 .. b). Pruebe que 0 tiene inversa en su dominio.. c). Determine 0 " ÐBÑ.. Actividad N° 9 B# %B ( si B $ #B & si B $. Sea. 0 ÐBÑ œ œ. a). Trace el gráfico de 0 .. b). Calcule, si es posible, Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ. c). Determine, en caso de existir, todos los valores de 5 − H970 , tales que 0 Ð5Ñ œ %.. d). ¿Es 0 inyectiva?. Actividad N° 10 $ È #B". Sea. 0 ÐBÑ œ È $ B#. a). Determine H970 .. b). Pruebe que 0 es inyectiva en su dominio.. c). $ ‰ È Determine, si es posible, 2 − ‘ tal que 0 ˆ #2" # 2# œ. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(4) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 11 Considere las funciones 0 À Ó _ß !Òqqqqqp‘ definida por 0 ÐBÑ œ È" #B # $ 1 À Ó _ß #ÓqqqqqpÓ _ß # Ó definida por 1ÐBÑ œ "B #. a). Determine H97Ð0 ‰ 1Ñ y Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ. b). ¿Tiene 1 inversa? En caso afirmativo, determine 1" ÐBÑ.. Actividad N° 12 Ú B# %B * si B Ÿ " Sea 0 una función definida por 0 ÐBÑ œ Û B# ' si " B Ÿ # Ü " si B # a). Trace el gráfico de 0 .. b). ¿Es 0 inyectiva? Justifique.. c). Determine V/-0 .. d). Determine, si existe, 5 − H970 tal que 0 Ð5Ñ œ 5 .. Actividad N° 13 Sea 0 À H970 qqqqqpV/-0 definida por 0 ÐBÑ œ # È'B B# & a). Determine H970 .. b). Determine, si es posible, 5 − ‘ tal que #0 Ð5 "Ñ 0 Ð$Ñ œ !. c). ¿Tiene 0 inversa? Justifique.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(5) Sergio Yansen Núñez Resolución Actividad N° 1 Ð0 ‰ 1Ñ œ ÉÈB # B. ! • ÈB #. ÈB #. ! Í B. ! %. H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ò%ß _Ò Actividad N° 2. " Ð1 ‰ 0 Ñ œ È #B$ #B $ ! Í B . $ #. $ H97Ð1 ‰ 0 Ñ œ Ó ß _Ò # Actividad N° 3 È%BB# #. Sea. 0 ÐBÑ œ. ". a). Determine H970 . H970 œ ÖB − ‘ Î %B B# %B B#. B B% BÐB %Ñ. !×. ! Í B# %B Ÿ ! Í BÐB %Ñ Ÿ !. _ . !. . %. . _. H970 œ Ò!ß %]. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(6) Sergio Yansen Núñez b). Trace el gráfico de 0 . Cœ. È%BB# #. C"œ. ". È%BB# #. ß C". !. # ÐC "Ñ# œ %BB %. ÐB #Ñ# %ÐC "Ñ# œ % ÐB#Ñ# %. ÐC "Ñ# œ " (elipse). como C ". ! entonces la gráfica de 0 es:. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(7) Sergio Yansen Núñez c). ¿Es 0 inyectiva? Justifique. 0 no es intectiva. La recta horizontal corta al gráfico de 0 en dos puntos.. d). Determine V/-0 . Del gráfico se obtiene V/-0 œ Ò "ß !Ó. Actividad N° 4 1ÐBÑ œ # ÈB ". Sean. 0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ# ". a). Determine Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ y H97Ð0 ‰ 1Ñ. Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ Ð# ÈB " #Ñ# " œ B H970 ‰ 1. œ ÖB − ‘ Î B − H971 • 1ÐBÑ − H970 × œ ÖB − ‘ Î B − Ò"ß _Ò • # ÈB " − ‘× œ Ò"ß _Ò. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(8) Sergio Yansen Núñez b). ¿Existe la inversa de 1? En caso afirmativo, determine 1" ÐBÑ. 1Ð+Ñ œ 1Ð,Ñ. Ê. # È+ " œ # È, " È+ " œ È, " +"œ," +œ,. 1 es inyectiva, 1 es epiyectiva pues G9.970 œ V/-0 ß por lo tanto 1 es biyectiva y tiene inversa. Sea. C œ # ÈB " C # œ ÈB " ÐC #Ñ# œ B " B œ ÐC #Ñ# " 1" ÐBÑ œ ÐB #Ñ# ". funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(9) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 5 a). C œ È# B , C. !. C# œ # B B œ C# # ÐC !Ñ# œ ÐB #Ñ Corresponde a la ecuación de una parábola "abierta hacia la izquierda" de vértice en Ð#ß !Ñ.. La gráfica de 0 es:. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(10) Sergio Yansen Núñez b). Como 0 es epiyectiva pues G 9.970 œ V/-0 , entonces basta probar que 0 es inyectiva en su dominio: 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ È# + œ È# , #+ œ#, +œ, Se tiene que 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ Ê + œ , . Por tanto, 0 es inyectiva lo que significa que 0 es biyectiva, por tanto tiene inversa. Puesto que B œ C# # se tiene que 0 " ÐBÑ œ # B#. c). H97Ð1 ‰ 0 Ñ. œ Ö B − H970 Î 0 ÐBÑ − H971× œ Ö B − Ó _ß #Ó Î È# B − ‘× œ Ó _ß #Ó. Ð1 ‰ 0 ÑÐBÑ œ. "ÐÈ#BÑ# #. œ B" #. 1Ð5 "Ñ œ. d). " #. Í. "Ð5"Ñ# #. Í. 5# #5 " œ !. Í. 5 œ ". œ "#. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(11) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 6 a). 0 Ð&Ñ œ $ 0 Ð0 Ð&ÑÑ œ 0 Ð $Ñ œ Ð $Ñ# % † Ð $Ñ ( œ #). b). Para B Ÿ $ Sea C œ B# %B ( +œ" ! , B œ #+ œ # , satisface condición B Ÿ $.. C œ B# )B "$ % $ %. B $ # ". ÐBß CÑ Ð$ß %Ñ Ð#ß $Ñ vértice Ð"ß %Ñ. Para B $ Sea C œ "# $B B $ %. C œB# $ !. ÐBß CÑ Ð$ß $Ñ Ð%ß !Ñ. Gráfico de 0. 0 no es inyectiva pues la recta horizontal, por ejemplo, C œ (# corta al gráfico de 0 en dos puntos.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(12) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 7 a). 0 Ð $Ñ œ #" 0 Ð$Ñ œ $. b). Considerando C œ B# #B , B œ #+ œ # no satisface la condición B %, por tanto ese valor no será considerado en la siguiente tabla de valores. B % &. C œ B# #B ) "&. ÐBß CÑ Ð %ß )Ñ Ð &ß "&Ñ. considerando C œ B# %B , B œ #+ œ # satisface la condición B %, por tanto ese valor será considerando en la siguiente tabla de valores. B % # (vértice) $. c). B# #B œ !. C œ B# %B $# % $. ÐBß CÑ Ð %ß $#Ñ Ð#ß %Ñ Ð$ß $Ñ. Ê B œ ! ” B œ #ß no satisfacen condición B %.. B# %B œ !. Ê B œ ! ” B œ %ß satisfacen condición B. %.. Por tanto, para B œ ! ” B œ % se tiene que 0 ÐBÑ œ !.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(13) Sergio Yansen Núñez d). 0 no es inyectiva pues, por ejemplo, la recta horizontal C œ # corta a su gráfico en dos puntos. Por tanto, 0 no tiene inversa. e). Del gráfico de 0 se obtiene que V/-0 œ Ó _ß %Ó 7 Ó)ß _Ò. Actividad N° 8 a). H970 œ ˜B − ‘ Î B # Á !× œ ‘ ˜ #×. b). Como 0 es epiyectiva pues G 9.970 œ V/-0 ß basta probar que 0 es inyectiva en du dominio. 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ + , $ $ É É +# " œ ,# " + +#. , " œ ,# ". + +#. , œ ,#. +Ð, #Ñ œ ,Ð+ #Ñ +, #+ œ ,+ #, #+ œ #, +œ, 0 es inyectiva en su dominio, por tanto 0 es biyectiva y tiene inversa.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(14) Sergio Yansen Núñez c). Sea. B $ CœÉ B# " B C$ œ B# " B C$ " œ B#. ÐC $ "ÑÐB #Ñ œ B C$ B #C$ B # œ B C$ B œ # #C$ Bœ. ##C$ C$. $ Luego, 0 " ÐBÑ œ ##B B$. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(15) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº9 a). :. Para B $ ; sea C œ B# %B ( , B œ #+ œ# $. B $ # ! Para B. C œ B# %B ( % $ (. ÐBß CÑ Ð$ß %Ñ Ð#ß $Ñ Ð!ß (Ñ. $ à sea C œ #B & B $ %. C œ #B & " $. ÐBß CÑ Ð$ß "Ñ Ð%ß $Ñ. Gráfico de 0 :. b). Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ 0 Ð0 Ð"ÑÑ 0 Ð"Ñ œ "# % † " ( œ % Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ 0 Ð%Ñ œ # † % & œ $ Por tanto, Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ $. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(16) Sergio Yansen Núñez c). Si 5 $ 0 Ð5Ñ œ % Í 5# %5 ( œ % Í Ð5 $ÑÐ5 "Ñ œ ! Í 5œ$ ” 5œ" 5 œ $ no satisface condición 5 $ 5 œ " satisface condición 5 $ Si 5 Í Í. $ 0 Ð5Ñ œ % #5 & œ % 5 œ *# satisface condición 5. $. Por tanto, 5 œ " ” 5 œ *# d). 0 no es inyectiva, pues 0 Ð"Ñ œ 0 Š *# ‹.. Actividad Nº10 a). H970 œ ÖB − ‘ Î B # Á !× œ ‘ Ö#× 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ. b) Í. $ È #+" $ È +#. $ È #,". Í. #+" +#. Í. #+, %+ , # œ #+, %, + #. Í. $+ œ $,. Í. +œ,. œ È $ ,#. œ #," ,#. Por tanto, 0 es inyectiva.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(17) Sergio Yansen Núñez $ ‰ È 0 ˆ #2" # 2# œ. c). $ ˆ #2" ‰ É # 2# " $ #2". É 2# # %2# 2# " #2" 2# #. $2 $. $ œÈ # ;2Á#. œ#. œ#. 2 œ # ¡contradicción! 2 Á # $ ‰ È Por tanto, no existe valor de 2 tal que 0 ˆ #2" #. 2# œ. Actividad Nº11 a). H97Ð0 ‰ 1Ñ œ ÖB − H971 Î 1ÐBÑ − H970 × # œ ÖB − Ó _ß #Ó Î "B − Ó _ß !Ò × # # B − H97Ð0 ‰ 1Ñ Í B Ÿ # • "B # !. "B# #. ! Í B# " ! Í ÐB "ÑÐB "Ñ !. B" B" ÐB "ÑÐB "Ñ. _ . ". . ". . _. B − Ó _ß "Ò 7 Ó"ß _Ò Se tiene, entonces:. B − Ó _ß #Ó • B − Ó _ß "Ò 7 Ó"ß _Ò. Por tanto, H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ó _ß #Ó #. ÈB# œ lBl œ B (pues B − Ó _ß #Ó Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ É" #Ð "B # Ñœ. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(18) Sergio Yansen Núñez b). Gráfico de 1:. Toda recta horizontal corta al gráfico de 1 en a lo más un punto, por lo tanto, 1 es inyectiva. 1 es epiyectiva pues G9.970 œ V/-0 Por lo tanto, 1 es biyectiva y tiene inversa. Sea. # C œ "B #. #C œ " B# B# œ " #C B œ È" #C pues B − Ó _ß #Ó Por tanto, 1" ÐBÑ œ È" #B. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(19) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 12 a). Para B Ÿ " , se tiene 0 ÐBÑ œ B# %B * C œ B# %B * (ecuación de una parábola, abierta hacia arriba) , vértice: B œ #+ œ # , no satisface condición B Ÿ ".. B " !. C œ B# %B * ' *. ÐBß CÑ Ð"ß 'Ñ Ð!ß *Ñ. Para B con " B Ÿ # ß 0 ÐBÑ œ B# ' C œ B# ' (ecuación de una parábola abierta hacia abajo) , vértice: B œ #+ œ ! ß no satisface condición " B Ÿ #. B " #. C œ B# ' & #. ÐBß CÑ Ð"ß &Ñ Ð#ß #Ñ. Gráfico:. b). 0 no es inyectiva, pues por ejemplo: 0 Ð$Ñ œ 0 Ð%Ñ œ ". funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(20) Sergio Yansen Núñez c). V/-0 œ Ö"× 7 Ò#ß &Ò 7 Ò'ß _Ò. d). Si 5 Ÿ " 0 Ð5Ñ œ 5 5# %5 * œ 5 5# &5 * œ ! ˜ œ ,# %+- !ß la ecuación no tiene solución en ‘. Si " 5 Ÿ # 0 Ð5Ñ œ 5 5# ' œ 5 5# 5 ' œ ! 5# 5 ' œ ! Ð5 $ÑÐ5 #Ñ œ ! 5 œ $ ” 5 œ# 5 œ $  Ó"ß #Ó à 5 œ # − Ó"ß #Ó Si 5 # 0 Ð5Ñ œ 5 " œ 5 , no satisface condición 5 # Por tanto, 5 œ #. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(21) Sergio Yansen Núñez Actividad N° 13 a). H970 œ ÖB − ‘ Î 'B B# & 'B B# &. !×. ! Î † Ð "Ñ. B# 'B & Ÿ ! ÐB 1ÑÐB 5Ñ Ÿ ! Valores críticos: B œ "ß B œ &.. B" B& ÐB 1ÑÐB 5Ñ. _ . ". . &. . _. B − Ò"ß &Ó Por tanto, H970 œ Ò"ß &Ó b). Sea ; œ 5 " #0 Ð5 "Ñ 0 Ð$Ñ œ ! Í. #0 Ð;Ñ 0 Ð$Ñ œ ! #Ð# È'; ; # & Ñ Ð# È' † $ $# & Ñ œ ! , '; ; # & ! % #È'; ; # & % œ ! È'; ; # & œ ! '; ; # & œ ! ; # '; & œ ! Ð; "ÑÐ; &Ñ œ ! ;œ" ” ;œ&, '; ; # & !. ambos. valores. satisfacen. condición. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
(22) Sergio Yansen Núñez. 5 œ;" Si ; œ " entonces 5 œ ! Si ; œ & entonces 5 œ % Por tanto, 5 œ ! ” 5 œ %.. funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas.
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