Definición : La demanda marshalliana es una correspondencia que le asigna a cada vector

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La maximización de utilidad

Hasta aquí hemos analizado separadamente la restricción presupuestaria y las preferencias del consumidor. Mientras la primera muestra el conjunto de cestas que, dados los precios y la renta, puede elegir, las preferencias indican cuales de esas cestas son deseables desde el punto de vista del bienestar. Veremos cómo combinando las nociones de preferencias y restricción presupuestaria, podremos determinar, en algunos casos, la elección del consumidor (la idea detrás de esto es sencilla, el consumidor elije aquella cesta que le parezca mejor, entre aquellas que puede comprar).

El problema de maximización de utilidad:

Si las preferencias pueden ser representadas por una función de utilidad, el problema que debe resolver el consumidor puede formalizarse de la siguiente manera (suponiendo 2 bienes):

max

,

;

. . + ≤

Donde , son, respectivamente, el precio del bien 1, el precio del bien 2 y la renta del consumidor.

Si todos los precios son positivos, y la función de utilidad es continua, este problema siempre tiene solución (por teorema de Weierstrass)

Definición: La demanda marshalliana es una correspondencia que le asigna a cada vector

, , un conjunto de cestas, de tal modo que todas son solución del problema de maximización de utilidad.

Denotaremos como , , y , , a las demandas marshalliana de los bienes 1 y 2, respectivamente.

El hecho de definir a estas demandas como una correspondencia contempla la posibilidad de que en el problema de maximización de utilidad exista más de una solución. En el caso de que para cualquier vector de precios y renta la solución sea única, estaremos hablando de una función de demanda marshalliana.

Por otra parte estas demandas son funciones de los precios y de la renta. Según cuál sea el comportamiento de las demandas al cambiar algunas de estas variables podremos clasificar a los bienes.

Propiedades de las demandas marshallianas:

1) Es homogénea de grado 0 en los precios y la renta. Formalmente: , , = , ,

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Esto quiere decir que ambas restricciones presupuestarias son equivalentes, y por lo tanto, al enfrentar el consumidor el mismo problema de maximización, la solución debe ser la misma.

Esta propiedad tiene una interesante interpretación económica: Los agentes no sufren de ilusión monetaria. Esto es, si los precios y la renta aumentan en una misma proporción, no tienen razón alguna para modificar sus decisiones.

2) Si hay insaciabilidad local, se cumple la ley de Walras. Esto es, en el optimo, el consumidor gasta toda su renta, formalmente: + =

Demostración: Para este caso recurriremos al absurdo. Supongamos inicialmente que la cesta óptima tiene un valor inferior a la renta: + <

Pero en este caso, la insaciabilidad local nos garantiza que, para cualquier entorno, existe una cesta que es mejor. De este modo, haciendo lo suficientemente pequeño, encontraremos una cesta que es preferida a la inicial, y a su vez es asequible. Por lo tanto la cesta inicial no podría ser solución del problema de maximización de utilidad, lo que constituye una contradicción. Así, se debe cumplir la Ley de Walras, gráficamente:

3) Si las preferencias son convexas, entonces la demanda marshalliana es un conjunto convexo. Adicionalmente, si las preferencias son estrictamente convexas, la demanda marshalliana es una función (la solución del problema de maximización de utilidad es única).

Demostración: Supongamos que las cestas y ´ son optimas, debemos demostrar que las combinaciones lineales también lo son. Para ello creamos la cesta ´´ = + 1 − ´

La convexidad implica que ´´ es preferida débilmente a ambas cestas. Por lo tanto no es peor. Resta probar si es asequible, para ello, veamos el valor de ´´(aquí resulta más sencillo utilizar notación vectorial)

´´ = $ + 1 − ´% ≤ ≻

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Esto se debe a que ´´ es un promedio de 2 cestas asequibles, por lo tanto también es asequible (la restricción presupuestaria es un conjunto convexo). Queda probado que ´´

también es solución del problema de maximización de utilidad, y entonces la demanda marshalliana es un conjunto convexo.

Finalmente, la convexidad estricta implicaría que ´´ es preferida estrictamente a ambas cestas, y como ya probamos que es asequible, tanto como ´ no podrían ser solución del problema de maximización de utilidad, por lo tanto la solución debe ser única.

La maximización de utilidad y la RMS:

En primer lugar varemos como, a partir de una función de utilidad diferenciable, podemos encontrar la RMS:

Como en las curvas de indiferencia todas las cestas deben generar la misma utilidad, podemos expresar una curva de indiferencia como:

, = '

Que implícitamente define una función de con respecto a , aun cuando no podamos encontrar esa función, mediante el teorema de la función implícita podemos encontrar la pendiente (

(

.

Calculando el diferencial total:

´ ) + ´ ) = 0

Reordenando términos: (

(

= −

*´+

*´+

= ,-.

Que existe siempre que ´ ≠ 0 .

El cociente de las valoraciones relativas indica en cuantas unidades debe aumentar el consumo del bien 2 para compensar la pérdida de una unidad del bien 1(a mayor valoración relativa del bien 1, serán necesarias mas unidades del bien 2, y a mayor valoración del bien 2, bastará con menos).

Retomemos ahora el problema de maximización de utilidad: Si las preferencias son estrictamente convexas, y la función de utilidad es diferenciable, el problema se puede resolver mediante el método de multiplicadores de Lagrange.

ℒ , , 1 = , + 1 − +

Aquí es importante que 1 sea positivo, para poder asignar un significado interesante al multiplicador de Lagrange 1 .

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´ − 1 = 0

´ − 1 = 0

Despejando 1 en ambas ecuaciones y reacomodando términos:

´ ´ =

Sustituyendo por la expresión de la RMS encontrada previamente:

|,-.| =

Lo que nos indica que, la RMS (ignorando el signo) debe ser igual a la relación de precios.

Pensemos en la siguiente situación: Si |,-.| = 3, el consumidor estaría dispuesto a intercambiar 3 unidades del bien 2 por una sola del bien 1. Supongamos, adicionalmente, que la relación de precios sea de 2 a 1(4

4 = 2), lo que indicaría que el consumidor puede recurrir al mercado, y a cambio de 2 unidades del bien 2, obtener una unidad adicional del bien 1.

¿Puede ser esta una situación óptima? No, puesto que en este caso el consumidor puede mejorar simplemente intercambiando 2 unidades del bien 2 por una del bien 1. Dado que estaba dispuesto a dar hasta 3 unidades, le queda una unidad del bien 2 adicional que le permite incrementar su bienestar. Ahora, la convexidad estricta implica que la RMS debe ser decreciente. De este modo, al tener más unidades del bien 1, la RMS resultante después del intercambio debe ser menor.

Mientras que la RMS (en valor absoluto) sea mayor que la relación de precios, el consumidor podrá mejorar adquiriendo mas unidades del bien 1. Pero si la RMS es menor, podrá mejorar sacrificando unidades del bien 1 para aumentar su consumo del bien 2. El hecho de que la RMS sea decreciente garantiza que en algún punto se debe llegar a la igualdad, y esta situación será la óptima, como ya lo hemos probado con el método de multiplicadores de Lagrange. Gráficamente, debemos ver que la curva de indiferencia sea tangente a la recta presupuestaria:

6

La cesta óptima se encuentra en la curva de indiferencia más alta que se puede alcanzar teniendo en cuenta la restricción

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Estática comparada a partir de las demandas marshallianas:

Una vez establecidas las demandas en función de los precios y la renta, resulta interesante ver cómo cambian al mover alguna de estas variables, dejando las demás constantes:

1) Variaciones en la renta: Si al aumentar la renta, aumenta la demanda del bien, diremos que es normal, pero sí en cambio disminuye, el bien será llamado inferior.

Adicionalmente, podemos definir la curva de Engel, que indica cual es la demanda del bien a medida que aumenta la renta, dejando constantes los precios.

Existen muchos ejemplos de bienes inferiores en la realidad: En general son todos los bienes de baja calidad, como la mortadela, o aquellas marcas de las que se sabe que no proveen el bien bajo los mejores estándares, lo que puede suceder con la sal, el azúcar, las gaseosas, el pan, etc. A medida que el ingreso es mayor, esta gama de bienes se va reemplazando por aquellos que tienen mejor calidad.

En este grafico se representa el caso de un bien normal. Como se ve, al aumentar el ingreso, aumenta el consumo del bien 1.

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2) Variaciones en el precio (del mismo bien): Si al aumentar el precio de un bien, disminuye su demanda, diremos que es un bien ordinario, pero si la demanda aumenta, se denominara bien “Giffen”.

Sin embargo, existe una ley empirica que parece verificarse en todos los casos:

La ley de la demanda. Esta indica que si el precio de un bien aumenta, debe caer la cantidad demandada. Tal conducta es la que verificamos una y otra vez en los consumidores. Sin embargo, existe la posibilidad teórica de que algún bien sea Giffen.

Al variar el precio de un bien, dejando constantes las demas variables(precio del resto de los bienes y la renta), se puede construir la curva de demanda, que justamente indica, para cada nivel de precio de un bien, cual sera su demanda. Tipicamente estas curvas tienen pendiente negativa, dado que los bienes Giffen no son observados en la práctica(en ese caso resultaría una curva de demanda con pendiente positiva).

Al disminuir el precio del bien 1, su cantidad demandada aumenta, por eso diremos que es un bien normal.

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La función de utilidad indirecta:

Definición: La función de utilidad indirecta 7 , , es la función valor del problema de maximización de utilidad. Esto es, la función de utilidad valuada en las demandas marshallianas. Dados los precios y la renta, indica la utilidad máxima que puede obtener el consumidor.

De esta definición surgen dos observaciones necesarias: En primer lugar, dado que cualquier transformación monótona de una función de utilidad es también, una función de utilidad, existen infinitas funciones de utilidad indirecta (nuevamente, la utilidad es ordinal, y el número no es relevante). En segundo lugar, aun cuando las demandas marshallianas no sean funciones, si lo será (valga la redundancia) la función de utilidad indirecta. Esto surge del hecho que, si hay más de una solución, todas deben generar el mismo nivel de utilidad.

Las siguientes propiedades de la función de utilidad indirecta se enuncian sin demostración:

1) Homogénea de Grado 0.

2) Estrictamente creciente en y no creciente en 8 ∀9(si las preferencias cumplen con insaciabilidad local).

3) Es cuasi convexa: : , : 7 , ≤ 7̅< es convexo ∀7̅

4) Es continua en p y w.

El teorema de la envolvente:

Consideremos el siguiente problema de maximización:

max

∈>?

@

; A

. . B ; A = C

Y si función valor: 7 A

Si esta función es diferenciable en AD ∈ ,E y 1 es el multiplicador de Lagrange asociados al problema de maximización cuya solución es AD .Entonces:

F7 AD FAE

=F@ AD ; AD FAE

− 1FB AD ; AD FAE

∀ = 1, … … , .

Notemos que de este modo, la derivada de la función valor equivale a la derivada del Lagrangiano respecto a la variable AE.

Aplicación:

En nuestro problema maximización de utilidad, consideremos el Lagrangiano:

ℒ , , = ; − 1 + −

De este modo: HI 4DDDD;4DDDD;JK

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Esto nos deja una importante interpretación para el multiplicador de Lagrange. El cambio en la utilidad máxima al variar la renta es igual a 1. De este modo podemos pensar al multiplicador como la utilidad marginal de la renta.

La Identidad de Roy:

Sea , una función de utilidad que representa una relación de preferencias ≽ que satisface insaciabilidad local y convexidad estricta. Si la función de utilidad indirecta es diferenciable, entonces:

8 ̅, K #

F7 ̅, K F 8 F7 ̅, K

F

∀9 1,2

Demostración 1(teorema de la envolvente): Derivando el Lagrangiano respecto a 8

F7 ̅, K

F 8 #1 8 ̅, K

Como ya establecimos que 1 es la utilidad marginal de la renta, solo es necesario reacomodar para probar el resultado.

Demostración 2(condiciones de primer orden): Suponiendo que , es diferenciable. Podemos aplicar la regla de la cadena (de nuevo suponemos 2 bienes)

F7 ̅, K F 8

F M ̅, K N

F F F 8̅, K

F M ̅, K N

F F F 8̅, K

Utilizando las condiciones de primer orden del problema de maximización de utilidad podemos escribir:

F7 ̅, K

F 8 1

F ̅, K

F 8 1

F ̅, K

F 8 1 O

F ̅, K

F 8

F ̅, K

F 8 P

Ahora nos falta reescribir adecuadamente el término dentro del corchete. Para eso debemos notar que la condición de primer orden restante implica que la restricción presupuestaria debe cumplirse con igualdad. Supongamos para la derivación que 9 1(el bien al que analizamos es el 1)

, ,

Derivando respecto del precio del bien 1:

, F F ̅, K F F ̅, K 0

Lo que nos permite ver que:

# 8 , F F ̅, K

8

F ̅, K

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Finalmente:

F7 ̅, K F 8

= −1 8 ,

Que nuevamente, teniendo en cuenta el significado de 1, nos lleva a la identidad de Roy.

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