La Negación en oriente y occidente1 Gladys Palau
Universidad de Buenos Aires Universidad Nacional de La Plata
Resumen
Es sabido que desde Aristóteles, el núcleo de la lógica clásica está constituido por los principios de Identidad, No-contradicción y Tercero Excluido. Ya Aristóteles había vislumbrado la posible falla del Tercero Excluido en relación a las proposiciones acerca del futuro, pero no se conoce objeción alguna en la filosofía de su época al Principio de No-Contradicción. En general se acuerda que la dialéctica de Hegel constituye la primer crítica profunda a la validez de este principio aún cuando las objeciones lógico- formales debieron esperar a los comienzos del siglo XX, particularmente con Lukasiewicz y posteriormente con la llamada lógica paraconsistente. Sin embargo, si se exploran las contribuciones a la lógica realizadas por filósofos pertenecientes a la tradición india o china, nos encontramos con interesantes y diferentes enfoques del concepto mismo de contradicción y del principio de No-Contradicción asociado. En el presente trabajo nos proponemos 1) mostrar que fue en la lógica india donde, desde el siglo VI (a.C) se proponen principios, en particular, el llamado tetralema, que se oponen tanto al principio de No- contradicción como al Tercero Excluido; 2) presentar algunas de sus posibles formulaciones en términos de la lógica clásica; 3) analizarla posibilidad de expresar algunos de los principios indios desde la perspectiva de la lógica paraconsistente y 4) analizar el significado de los principios clásicos y de los sostenidos por la lógica india en función de los supuestos metafísicos y ontológicos subyacentes. Todo ello con el fin de contribuir a la defensa de la tesis según la cual la constitución de la lógica como ciencia obedece tanto a razones funcionales como históricas.
I
Es sabido que en Occidente la lógica en tanto ciencia se constituyó con Aristóteles, fundamentalmente con su teoría del silogismo categórico destinada a probar la validez de las formas silogísticas válidas. Sin embargo, los métodos de prueba ofrecidos por el Estagirita para este fin no hacen uso ni del Principio de Identidad, ni del Principio de No-contradicción (PNC) ni del Tercero Excluido (TE) en forma explícita. Pese a ello, en las pruebas por reducción ad absurdun necesarias para mostrar la validez del modo Baroco y Bocardo, se usa explícitamente la inferencia inmediata correspondiente a la definición de proposiciones contradictorias. Si bien Aristóteles se permitió reflexionar acerca de la validez del TE al tratar en De Interpretatione su aplicabilidad a los futuros contingentes, finalmente se decidió por su aceptación a fin de no renunciar al determinismo. Por el contrario, en parte alguna de su obra se esboza una mínima duda acerca de la
1 Leído En XIV
aplicabilidad irrestricta del Principio de No-contradicción. Por el contrario, afirma en su Metafísica: Es imposible que una misma cosa convenga y no convenga al mismo tiempo a una misma cosa y bajo la misma relación (Met.,iv,3,1005). Las insinuaciones dialécticas de Heráclito (Frag. 46a) se las había llevado el mismo río y el pensamiento lógico de Aristóteles se construyó a partir de la afirmación metafísica de Parménides el Ser es - el no Ser no es. Más aún, en Metafísica Gamma 4, Aristóteles no solamente defiende explícitamente el principio PNC sino que extiende su defensa al Tercero Excluído.2 De ahí en más, en el plano de la lógica
estos tres principios se instalaron en Occidente de la mano de Leibniz y Bolzano como verdades a priori y necesarias y pasaron luego a constituirse en el núcleo central de la hoy conocida como lógica clásica, cualquiera sea su presentación, ya sea en tanto lógica de fórmulas (Frege, Russell, Tarski, Church, etc) o como lógica de inferencias (Gentzen o sistemas equivalentes).
Expresado en el vocabulario de la lógica de predicados actual, el Principio de No Contradicción tendría la siguiente forma:
(1) ¬(Pa ¬Pa)
y en lógica proposicional:
(2) ¬(A¬A)
Debe observarse que PNC es un principio lógico aún en el sistema lógico más débil con signo de negación, tal como lo es la conocida generalmente como lógica mínima.
Pese a ello, su demostración nos depara una pequeña sorpresa, ya que requiere el uso del operador de negación, en particular de la regla de Introducción de la Negación (I¬), la cual, por generar una prueba por el absurdo, da por supuesto en la metateoría la verdad del dictum aristotélico. Prueba:
1 A¬A Sup.ab
s.
2 A E
3 ¬A E
4 E¬
5 ¬(A¬
A)
I¬
2 Debe reconocerse que Aristóteles concibió también el llamado silogismo dialéctico, pero en él hace referencia solamente a los silogismos en los cuales las premisas no son razón
Obsérvese cómo se satisface lo recién afirmado: en el paso 5 se introduce la negación porque no puede sostenerse que a una misma proposición le “convenga” la verdad y la falsedad al mismo tiempo.
¿Por qué no aceptar contradicciones? Aunque en forma implícita ya Aristóteles lo presentía, Duns Scotto (1290-1308) fue el primero en explicitar que si se admitiera una contradicción entonces la lógica se tornaría trivialmente inconsistente, i.e., en ella sería posible deducir cualquier afirmación, idea ésta expresada en su conocido principio Ex contradictione quodlibet (ECQ):
A, ¬A B o (A¬A) B
II
Hubo que esperar sin duda alguna hasta Hegel y Marx, para que en Occidente se oyeran voces que clamaran por la existencia real de "contradicciones" en el devenir del mundo, de las cuales tanto la lógica como la ciencia deberían dar cuenta, sin por ello aminorar la racionalidad de la "razón" y de las teorías científicas. Sin embargo, pese a Hegel y Marx, en el plano de la lógica formal, el Principio de No Contradicción fue criticado recién en 1910 por Jan Lukaisewicz y, en 1912 por el lógico aristotélico N. A. Vasil’ev.3 Los primeros sistemas formales de lógica
paraconsistente aparecieron una vez terminada la segunda guerra mundial, en lugares muy distintos y en forma independiente unos de otros. El primero fue creado por el lógico polaco S. Jáskowski, en 1948-9 y los restantes se deben a F. G. Asenjo, (Argentina, 1954), N. C. A da Costa (Brasil, 1958) y T. J. Smiley (Reino Unido, 1959). El término “paraconsistente” fue propuesto por el peruano F. Miró Quesada en el 3er. Simposio Latinoamericano sobre lógica matemática, celebrado en el año 1976. Sin embargo, sólo en Brasil y Australia, puede afirmarse que se ha formado una tradición en este tipo de lógica, siendo los más representativos C. A.. Newton da Costa y Graham Piest, respectivamente. Los seguidores de ambas escuelas han abundado en razones para justificar la necesidad de construir sistemas de lógica paraconsistente, tales como la existencia de predicados vagos, la teoría de Meinong
sobre objetos contradictorios, las paradojas de la auto referencia, cierta clase de dilemas morales y legales, los estados de cambio y la suposición de que la inconsistencia es un fenómeno natural del mundo.
Cualquiera sea la posición asumida frente a la existencia de contradicciones en el mundo, los sistemas de lógica paraconsistentes actuales se caracterizan por constituir teorías no-trivialmente inconsistentes, es decir, teorías en las cuales es posible que determinadas contradicciones sean verdaderas, sin que por ello cualquier fórmula lo sea. Desde la sintaxis, la petición de no trivialización se expresa exigiendo que las reglas de inferencia de un sistema lógico no permitan inferir, a partir de un conjunto de fórmulas dado todas las fórmulas del lenguaje, ( i.e., Cn(X) L).
Respecto de la aceptación del Principio de No Contradicción, las posiciones están divididas: en las lógicas paraconsistentes de N. Da Costa et al ,4 con el operador de negación débil el PNC es inválido pero resulta válido cuando se agrega la negación paraconsistente fuerte, mientras que para el sistema de lógica dialeteica de G. Priest, pese a aceptar contradcciones, paradójicamente en su sistema trivalente LP, el PNC resulta válido, a costa de introducir un tercer valor 01 (verdadero y falso) y considerarlo valor distinguido. Por lo tanto, en el lenguaje objeto hay proposiciones que son verdaderas y falsas al mismo tiempo.
Validez de PNC en el sistema de Priest5
¬ (A ¬A) 1 1 0 0
01 01 01 01 1 0 0 1
¿Cuáles son las razones para esta diferencia frente al Principio de No Contradicción? La perspectiva de Newton da Costa et al es de naturaleza cognitiva y tiene en cuenta la distinción central entre lógica pura y lógica aplicada. La idea básica es contar con una lógica que permita construir teorías inconsistentes pero no triviales para aquellos dominios de conocimiento para los cuales la lógica clásica
4 N.C.A. da Costa, Décio Krause y Octávio Bueno: Paraconsistent logic and Paraconsistency, Handbook of the Philosophy of Science, Philosophy of Logic, Ed. Gabbay, Thargard &
Woods,Elsiever, 2007.
5 La matriz de Priest para las restantes conectivas es la siguiente:
AB AB AB
LP B
resulta errónea, como es el caso de la física cuántica. Obviamente esta posición no rechaza la lógica clásica, sino que la fortifica ya que la lógica paraconsistente, por ser una lógica subclásica, su noción de consecuencia está contenida en la clásica. Por el contrario, la perspectiva de G. Priest parte del supuesto ontológico de que el mundo en sí mismo es inconsistente y que por lo tanto hay contradicciones reales, más específicamente, dialetheias, entre las que se cuentan las paradojas de la autorreferencia, las contradicciones que se presentan en ciertas situaciones legales y las proposiciones “contradictorias” de la tradición hegeliano- marxista inherentes a las situaciones de cambio. Obviamente la propuesta de Priest es reemplazar la lógica clásica por un sistema paraconsistente, el cual se constituye entonces como una lógica alternativa respecto de la lógica clásica.
A fin de dar más fuerza a favor de su dialecteismo, G. Priest 6 afirma que
esta posición es más corriente en la filosofía oriental que en la occidental y que en la lógica/ filosofía de la antigua India ya se aceptaban comúnmente cuatro posibilidades respecto de la predicación de verdad de una proposición: que sea solamente verdadera, que sea solamente falsa que no sea ni verdadera ni falsa o ambas cosas a la vez y que los lógicos budistas a menudo agregaban una quinta posibilidad: “ninguna de esas”. Pasemos ahora a ver cuanto de cierto hay en esta afirmación.
III
Cuentan los textos7 que la lógica india se remonta al siglo VI a.c. con el lógico
pre budista Sanjaya a quien se le atribuye la incipiente formulación de un principio cuyo rechazo pareció a varios intérpretes derrotar tanto el Principio de No-Contradicción como el del Tercero Excluido, primitivamente llamado catuskoti. Se cuenta también que fue Nagarjuna quien en el siglo II d.c. lo desarrolló y de ahí en más se lo conoció bajo el nombre
6 Stanford Encyclopedia of Philosophy, Dialetheism.
Nagarjuna quien en el siglo II d.c. lo desarrolló y de ahí en más se lo conoció bajo el nombre de Negación Cuadruple (Principle of Four-cornered negations (Rajú, 1954, Burtt,
1955) o Tetralema (Robinson, 1956), de ahora en más TTL. Es precisamente a este principio que alude Priest y el cual consiste en rechazar las cuatro posibilidades de predicar verdad ya mencionadas las cuales pretenden describir exhaustivamente las posibilidades de que un sujeto S pertenezca a una clase o posea una propiedad P, (L. Horn,2001, p.80).8 El esclarecimiento de las cuatro posibilidades es dificultosa
y se las formulado de distintas formas, a saber: F1 a. S es P
b. S es no-P c. S es P y no-P d. S es ni P ni no- P
Por ejemplo, aplicando F1 a la propiedad “ser bueno” a cualquier entidad, podríamos preguntarnos por las siguientes 4 posibilidades: ¿es x buena?, ¿es x no-buena? ¿es x tanto buena como no-no-buena? y ¿es x ni buena ni no-no-buena? Pero, como el TTL sostiene que las cuatro posibilidades deben ser rechazadas, i.e., negadas, de ello se sigue que debe también negarse las siguientes cuatro (Burtt, 1955):
F2
a. Nirvana es (alguna forma de) ser
b. Nirvana es (alguna forma de) no-ser c. Nirvana es ser y no-ser
d Nirvana no es ni ser ni no-ser
En esta formulación se apoyan quienes sostienen que para el budismo la realidad ni es, ni no-es, ni ambas cosas, ni ninguna (Rajú, 1954). Seguramente es esta interpretación del tetralema del budista Nagarjuna la que toma Priest para su haber, o sea para sostener que en la realidad hay contradicciones.
Otros estudiosos (Robinson, 1956) han querido esclarecer el significado de cada una de las posibilidades que figuran en TTL mediante su formalización en lógica proposicional:
F3 a. Pa b. ¬Pa
c. Pa ¬ Pa d. ¬Pa ¬(¬Pa)
Pueden observarse en esta formulación (i) que todas las posibilidades involucran una negación por contradicción y, (ii) que, una vez rechazadas, la c expresa el PNC y la d el PTE (por la interdefinición de “”en términos de conjunción y negación).
Podría intentarse una interpretación más adecuada pensando que el TTL involucra dos clases de negaciones e introduciendo una negación interna que expresara algo así como la contrariedad clásica representada por el signo “”9
F4 a. Pa
b. Pa
c. Pa Pa
d. ¬Pa ¬Pa
Dado que, como ha sido dicho, las cuatro posibilidades deben negarse conjuntamente se obtiene la siguiente formulación:
F5 ¬Pa ¬ Pa ¬( Pa Pa) ¬( ¬Pa ¬Pa) 10
Como puede observarse en F5 el Principio de No Contradicción y aún el Principio de Tercero Excluido caen y es aquí donde Horn (op. cit. pg.81) afirma que “la rigurosa negación de Occidente se pierde en la neblina del Oriente”.
¿Se puede seguir de ésto que el pensamiento lógico de la filosofía india carecería de consistencia y rigor? Somos de la opinión de que cualquier respuesta afirmativa sería refutada por la historia de la matemática india: ya en el siglo V a.c. los matemáticos indios habían aproximado la √2 y disponían de una formulación del teorema de Pitágoras. 11 De esto se sigue que, o bien existen otras interpretaciones
del Tetralema que no implique la negación del PNC o este principio no es condición necesaria para la racionalidad. No trataré esta segunda opción ya que sería recurrir nuevamente a las razones que en varios trabajos alude Priest y otros seguidores
9 Un ejemplo podría consistir en que l propiedad P sea “ser deseable”; es claro que “a es deseable” y “a es indeseable” pueden ser ambas falsas pero no ambas verdaderas y por lo tanto resultaría verdadero el PNC.
10 El PTE cae porque no se satisface en ningún conyunto.
para hacer compatibles el dialecteismo con la racionalidad sino que trataré de responder afirmativamente la primera opción.
En efecto, aún aceptando que la lógica budista acepta el rechazo de las cuatro posibilidades expresadas en el Tetralema referidas a la realidad o Nirvana,
ello lo hace desde una perspectiva cognoscitiva y erístico -dialógica, porque ninguno de los casos del TTL “elucida” o “da cuenta” de los posibles casos de la realidad o Nirvana y por lo tanto carece de sentido ver las cuatro alternativas como entidades de las se predica verdad o falsedad (Burtt,1955). Desde esta perspectiva, los principios de la lógica pueden ser entendidos como “actos epistémicos” al servicio de una teoría del conocimiento. Ninguna de las cuatro alternativas puede ser tomada como conocida o conocible y de ahí que ninguna pueda ser afirmada o elucidada. Tal como lo hace notar L. Horn, no debe entonces sorprender que dentro de la tradición gnoseológica propia de la lógica india, Sanjaya sea considerado el exponente máximo del escepticismo indio y por ende la contrapartida del griego Pirro.
Somos de la opinión de que, aunque en el análisis de la naturaleza o Nirvana los lógicos y filósofos indios hayan priorizado el devenir y el cambio y que la
negación haya jugado un importante papel en las distintas tradiciones de la lógica india a fin de definir precisamente el pasaje de un estado a otro en los procesos de cambio12 y que nada pueda ser conocido totalmente, de ello no se sigue (como sí
lo cree Priest) que en la lógica budista se afirme la existencia de contradicciones en el mundo y menos aún que posibilite negar el PNC.13 Creemos que el siguiente
párrafo de Nagarjuna (27.15-18)14 que transcribimos a continuación justifica
plenamente lo afirmado.
“If the man is the god, he is thus eternal;
the god would be unborn, since the eternal is unborn. If the man is other then the god, then he is no-eternal;
12 Horn (ob.cit.,p.84) cita una frase del Nyaya Sutra “Es imposible concebir el devenir sin la noción de no-todavía antecedent non- existente) and not loger (subsequent non-existence) 13 Sin embargo, debe reconocerse que el análisis de la negación en la lógica india no logró asemejarse al análisis de la lógica aristotélica, ya que en la lógica india no hay una distinción clara entre proposiciones contradictorias y contrarias como la hay en la lógica aristotélica
If the man is other than the god, succession does not obtain.
If one part is divine and one part is human 1) p ( q ¬q) then he is both eternal and noneternal;
and this is not possible. 2) ¬ P(q ¬q)
If “both eternal and non-eternal” were asserted, 3) ( q ¬q) (¬q ¬¬q)
then neither eternal nor non-eternal might be asserted”
Por lo cual de aceptarse 15 la doble negación, entonces se obtiene un caso del
Principio de Identidad, o sea 4) ( q ¬q) (¬q q) y no agrega nada. Pero de 2) surge claramente la aceptación del PNC como verdad necesaria ya que de 2), por interdefinición de los operadores modales, se sigue N¬((q ¬q). De donde se sigue que para la lógica india, pese a estar concebida desde un enfoque cognoscitivo y dialógico, el PNC es aceptado como un instrumento cognoscitivo válido aún para el tratamiento de los procesos de cambio.
