Una función exponencial es una función de la forma y = f(x) = bx , donde b > 0 y b 1

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(1)

INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARIA INMACULADA Ciencia, Virtud y Labor

Formando líderes estudiantiles para un futuro mejor

Coordinación

Vo.Bo. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

ÁREA: MATEMÁTICAS DOCENTE:

PERIODO: 01 INT. HORARIA: GRADO: 10 FECHA: ESTUDIANTE:

Competencia(as): Interpretativa. Argumentativa. Propositiva.

ESTANDAR:

 Descubro las características algebraicas de la función exponencial y logarítmica.

 Uso el plano cartesiano para describir movimientos y evidenciar hechos que no son claros en su descripción verbal.

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

 Utiliza los argumentos de la teoría de números para justificar las relaciones que involucran a todos los números reales.

 Halla la expresión algebraica de una función exponencial por distintos medios y la represento en el plano cartesiano.

 Analiza y grafica funciones exponencial y logarítmica.

LECTURA

PALABRAS QUE BRILLAN

Un hombre había pintado un lindo cuadro.

El día de la presentación al público, asistieron las autoridades locales, fotógrafos, periodistas, y mucha gente, pues se trataba de un famoso pintor, reconocido artista.

Llegado el momento, se tiró el paño que revelaba el cuadro. Hubo un caluroso aplauso. Era una impresionante figura de Jesús tocando suavemente la puerta de una casa.

Jesús parecía vivo. Con el oído junto a la puerta, parecía querer oír si adentro de la casa alguien le respondía. Hubo discursos y elogios. Todos admiraban aquella preciosa obra de arte.

Un observador muy curioso, encontró una falla en el cuadro. La puerta no tenía cerradura. Y fue a preguntar al artista: "Su puerta no tiene cerradura, ¿Cómo se hace para abrirla? "

"Así es," respondió el pintor. "Porque esa es la puerta del corazón del hombre, sólo se abre por el lado de adentro"

CONCEPTUALIZACIÓN:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la forma y = f(x) = b

x

, donde b > 0 y b

1

,

x

R

Ejemplo: trazar la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

Y = f(x) = 2

x

y = f(x) =

x

2

1

Tabla de valores

X … -2

-1

0 1 2 …

y

4

1

2

1

1 2 4

Con los puntos de cada tabla de valores trazamos una curva que pase por ellos.

X … -2 -1 0 1

2

y

4

2

1

2

1

4

1

y

y

(2)

1.

La grafica de la función exponencial f(x) = b

x

puede tener dos formas

y= b

x

, b > 1

Y = b

x

, 0 < b < 1

2. Dom(f) = R

Rango(f) = R

+

3. La interacción con el eje y es 1. No existe la interacción con el eje x

4. La función es creciente si b>1 y decreciente si 0< b < 1

5. La función f(x) = b

x

es continua y situada por encima del eje x

EL NUMERO e

Una función exponencial especialmente importante es f(x) = e

x

donde la base es el número e 2,71828182…

El numero e surge el estudio de la función f(n) =

n

n

 

1

1

OBSERVE Y ANALICE LOS VIDEOS

http://www.youtube.com/watch?v=gRZUKcOkT8k

http://www.youtube.com/watch?v=Vaj6_BOuFaY

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la cual la incógnita o variable figura en el exponente.

1.

Si a

x

= a

y

entonces x = y

2.

Si a

x

= b

x

entonces a = b

OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=kNZ8AKDnlnc

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=YL0cdDkIjDM

TALLER 1

Trazar las siguientes funciones:

1.

F(x) = 3

x

2.

Y = 4

-1

3.

F(x) =

x

3

1

4.

2

2

1

)

(

x

f

Resolver la ecuación

5.

2

x

2

4

7.

2

x1

2

4

8.

3

x

9

x2

Resolver para a

9.

x x

a

a

1

)

(

2

1

)

(

10.

(

2

a

3

)

x

(

3

a

1

)

x

y

y

x

y

x

(3)

10. El número de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por

q

(

t

)

400

e

0,25t

a) ¿cuál es el número inicial de bacterias?

b) ¿Encontrar el número de bacterias en el cultivo después de 20 horas? c) Completa la tabla

t 1 2 3 4

q(t)

11. Si p libras por pié cuadrado es la presión atmosférica a una altura h pies sobre el nivel del mar, entonces: h

e

t

p

(

)

400

0,0000

Representa la presión atmosférica en función de la altura. Si la presión atmosférica a nivel del mar es 2116 libras por pie cuadrado, encontrar la presión atmosférica sobre un aeroplano que está a 10.000 pies de altura.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 12 A 15 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

Se realizaron unas pruebas con esferas de un metal experimental. Se descubrió que si se deja caer a una

determinada altura una esfera de volumen V se divide en dos esferas de volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura, se dividen en cuatro esferas de volumen V/4 y así sucesivamente. A continuación se muestra un dibujo que representa la prueba planteada:

12. Al practicar estas pruebas, se afirma que el número de esferas que se tendrá en el escalón 6 es 64, esto es debido a que

A. el número de esferas de un escalón determinado es un número par B. escalón a escalón se duplican las esferas y ésta es la sexta duplicación C. el número de esferas se obtiene elevando 2 al número del escalón deseado D. escalón a escalón se aumenta en un número par de esferas

1. Con base en la variación o aumento de esferas por escalón se puede afirmar que A. se tendrá siempre el doble de esferas de un escalón a otro

B. el número de esferas en un escalón se representa por medio de una potencia de uno C. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3, 3 al 4,...aumenta 2, 4, 8, 16,... esferas respectivamente D. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3, 3 al 4,... aumentan 1, 2, 4, 8,... esferas respectivamente

14. Se encontró una regularidad frente al aumento de esferas por escalón, la expresión que muestra el número de esferas en un escalón a partir del número del escalón es

A. 2n , porque si n es el número del escalón se logra 1,2,4,8,16... Esferas, empezando desde el escalón cero B. 2×n , debido a que se logra el número de esferas esperadas en los escalones 1 y 2 si n representa el número del escalón

C. 2n-1, ya que representa el número de esferas de un escalón, siendo n el número del escalón siguiente aL deseado

D. 22 , porque representa el número de esferas en el escalón dos.

15. Al empezar el experimento con tres esferas en el escalón cero y comparando con las características del experimento anterior, puede suceder que

A. frente a la prueba anterior el número de esferas en un escalón aumenta en 3 esferas

B. en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es tres veces el número de esferas del escalón anterior

C. en cada escalón habrá el triple de esferas que había en el mismo escalón en la prueba anterior

(4)

FUNCIÓN LOGARITMICA ¿Cuántas veces tenemos que multiplicar 3 por sí mismo para obtener 27?

En este caso desconocemos el exponente a que hay que elevar la base (3) para obtener la potencia (37)

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener un número.

y= bx

x

y

b

log

para b > 0 y

1

Ejemplos:

1. Halla el valor de x en la ecuación

log

x

81

4

Solución: Expresamos la ecuación dada a la forma exponencial

81

4

81

log

x

x

4

x

4

2.

log

2

16

x

lo expresamos a la forma exponencial

2

x

16

, de donde x = 4

Afiance sus conocimientos observando el vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=iTr06dPooOU

GRAFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA:

Observe y transcriba s su cuaderno de talleres el siguiente vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=UhwPCDbpg-c

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.

log

b

(

x

.

y

)

log

b

x

log

b

y

Ejemplo:

Si

log

10

2

0

,

3010

log

10

3

0

,

4731

Encontrar

log

10

6

Expresemos a 6 como 3.2 y reemplazamos

2

log

3

log

2

.

3

log

10

10

10

3010

,

0

4771

,

0

2

.

3

log

10

0

,

7781

2.

x

y

y

x

b b

b

log

log

log





Ejemplo: Si

log

10

2

0

,

3010

log

10

3

0

,

4731

Encontrar

2

3

log

10

Aplicando la propiedad 2

2

log

3

log

2

3

log

10

10

10

0

,

4771

0

,

3010

0

,

1761

3.

log

b

x

n

n

.

log

b

x

Ejemplo:

Halla

log

10

x

5

5

.

log

10

x

Afiance sus conocimientos observando el vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=r0zTzGoL9zg

ECUACIÓN LOGARITMICA

Para resolver una ecuación logarítmica, se convierte en forma exponencial equivalente. Analicemos dos ejemplos:

1. Resolver la ecuación

log

x

log

2

3

Solución:

3

2

log

x

propiedad 1

x

2

10

3

definición de logaritmo 1000 = 2x

x

2

1000

X=500

2.

log

x

3

5

x

1

Solución:

x

x

1

3

5

def. logaritmo

3

5

x

x

sol. Ec. Lineal 6x = 3

(5)

Afiance sus conocimientos observando el vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=A0HiY6ctbwA

Cambio de base Observe el siguiente vídeo y transcríbalo al cuaderno de talleres

http://www.youtube.com/watch?v=UCLEVo_PG5Q

APLICACIÓN:

TALLER

1.

Escribir en formas logarítmicas simples las siguientes expresiones:

A.

log

10

(

60

.

15

)

B.

15

120

log

5

C.

log

3

6

5

D.

ln

(

3

)

y

x

E.

log

a

x

3

.

y

4

F.

log

a

 

xy

2

G.

)

(

ln

2 1 2 4

z

y

x

2.

Escribir como un logaritmo simple la expresión:

A.

x

log

y

2

1

log

3

B.

4

log

x

3

log

y

C.

x

ln

y

2

1

ln

3

1

D.

(

2

ln

x

4

ln

y

)

2

ln

z

3

1

E.

z

y

x

a a

a

log

2

3

log

log

3

2

3.

Trazar las siguientes funciones

A.

F(x)=

log

4

x

B.

y

x

2 1

log

C.

y

log(

x

1

)

D.

y

log(

x

2

)

4.

Resolver las siguientes ecuaciones

A.

log

x

log

2

3

B.

log

x

log

3

2

C.

log

2

(

x

4

)

2

log

2

x

D.

log

2

(

x

4

)

2

log

2

x

Figure

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