Cap´ıtulo 2 LA ESTRUCTURA DE LOS POLINOMIOS

LA ESTRUCTURA DE LOS

POLINOMIOS

En lo que sigue consideremos un campo que, salvo menci´on expl´ıcita de lo contrario, ser´a denotada por (K,+,×) o simplemente porK. El conjunto de los n´umeros naturales para nosotros ser´a N={0,1,2, ...}.

El conjunto de las sucesiones en K es simplemente el conjunto de funcionesN→K. Este conjunto tiene, como veremos, una estructura de dominio y un subanillo de ´el tiene una estructura muy “parecida” a la de los enteros. Son el parecido y la diferencia de esa estructura con la de los enteros lo que estudiaremos en esta parte.

Series Formales Sobre K

A las sucesiones en K las llamaremos series formales sobre K. De-notamos a su conjunto porSF(K). As´ı pues, formalmente SF(K) = F un(N, K) (el conjunto de las funciones N →K) y definimos + y × as´ı :

2.1 Definici´on. Para f, g enSF(K) tomamos

i. (f+g)(n) =f(n) +g(n) y

ii. (f g)(n) =

i=n

X

f(i)g(n−i) 2

Aqu´ı , mientras no se diga lo contrario, i=n

P

significa suma desde i= 0 hasta i = n. La primera f´ormula es muy simple. En cuanto a la segunda note, por ejemplo, los siguientes 4 c´alculos:

(f g)(0) =

i=n

X

f(i)g(−i) =f(0)g(0)

(f g)(1) =

i=1

X

f(i)g(1−i) =f(0)g(1) +f(1)g(0)

(f g)(2) =

i=2

X

f(i)g(2−i) =f(0)g(2) +f(1)g(1) +f(2)g(0)

(f g)(3) =

i=3

X

f(i)g(3−i) =f(0)g(3) +f(1)g(2) +f(2)g(1) +f(3)g(0)

2.2 Ejemplos. a. Como ejemplo importante consideremos las fun-ciones unitarias coordenadas que, inicialmente, denotaremosen:

en(x) ={1₀ si_sin_n=₆₌x_x

Es decir que en env´ıa n en 1 y cualquier otro natural en cero.

Como series, en la modalidad de escritura extendida, se tendr´a:

e0 ={1,0,0, . . .}

e1 ={0,1,0, . . .} ..

.

en={0,0, . . . , n

1, . . .}

donde nasignificaa en la posici´on n-´esima.

b. Note que e0(0) = 1 y e0(x) = 0 para todo x 6= 0. Adem´as e1(0) = 0 , e1(1) = 1 y e1(x) = 0 para todo x > 1. Se tiene entonces que

e0e1(n) =e0(0)e1(n) +e0(1)e1(n−1) +· · ·+e0(n)e1(0) =e1(n). Esto para cadan. As´ı puese0e1 =e1. Similarmente si en cambio de e1 se usa et en la igualdad precedente se concluye de nuevo

c. Consideremos ahora ae2e3. Se tiene que:

e2e3(n) =e2(0)e3(n) +e2(1)e3(n−1) +· · ·+e2(n)e3(0). Calcule-mos esta funci´on, inicialmente para 5: e2e3(5) = e2(0)e3(5) + e2(1)e3(4) +e2(2)e3(3) +e2(3)e3(2) +e2(4)e3(1) +e2(5)e3(0) = 1.

Note que se tiene 1 como respuesta gracias al t´erminoe2(2)e3(3) en el cual los n´umeros que est´an siendo aplicados (2 y 3) coin-ciden con los ´ındices. Para esto su suma debera ser 5. Note en cambio que para n = 4, e2e3(4) = e2(0)e3(4) +e2(1)e3(3) + e2(2)e3(2) +e2(3)e3(1) +e2(4)e3(0) = 0. Cuando en uno de los dos factores de un t´ermino coinciden, por ejemplo e2(2) en el otro no pueden coincidir porque la suma de los sub´ındices es 5 mientras la suma de los elementos a los que se aplican las funciones unitarias es 4.

En general se tiene :

2.3 Proposici´on. Las funciones unitarias coordenadas cumplen la f´ormulaenem =en+m.

Demostraci´on: Calculemos inicialmente la imagen de m+n :

enem(n+m) = en(0)em(n+m) +· · ·+en(n)em(m) +· · ·+en(n+

m)em(0) = 1.

Ahora para p6=n+m:enem(p) =en(0)em(p) +· · ·+en(p)em(0) = 0 2

2.4 Problema:

1. Sea r∈K. Denotemos por rn a la funci´on N →K dada por:

rn(x) ={

r sin=x 0 sin6=x

i. D´e r0 en forma de sucesi´on.

ii. D´e r3 ,rn

(a) Suponga que K =R y quef(1) = 2, f(4) =−5, f(7) = 6 y para todo otro x, f(x) = 0. As´ı mismo suponga que g(0) = 4, g(7) =−6 yg(x) = 0, para todo otro x. Calcule f g. D´e (si existe) h tal que 3f + 4h = 6g, en dondenf = f +f +· · ·+f y gn = g×g× · · · ×g (n copias en cada caso) 2

La ´ultima f´ormula de 2.4 - 1 ser´a fundametal en lo que sigue pero para notar su utilidad debemos considerar primero la estructura deSF(K): El Grupo Abeliano (SF(K),+ ).

2.5 Proposici´on. SF(K) es un grupo abeliano que tiene como m´odulo la funci´on constante de valor 0 y como −f a la funci´on dada por (−f)(n) =−f(n).

Demostraci´on: Veamos la propiedad asociativa. Las dem´as quedan como ejercicio. Sif, g, h∈SF(K) deseamos mostrar quef+ (g+h) = (f +g) +h. Pero los dos lados calculados en un elemento n, de N producen como im´agenes

[f+ (g+h)](n) =f(n) + (g+h)(n) =f(n) + [g(n) +h(n)]

[(f +g) +h](n) = (f +g)(n) +h(n) = [f(n) +g(n)] +h(n).

Puesto que f(n), g(n), h(n) ∈ K y all´ı + es asociativa, entonces las dos ´ultimas expresiones coinciden. Como esto sucede para cada n, f + (g+h) = (f+g) +h 2

Adem´as podemos tomar multiplicaci´on por escalar (con escalares en K) dada as´ı: si k∈K yf ∈SF(K) tomamos como kf :N →K a la funci´on dada por (kf)(n) =kf(n). Con esta multiplicaci´on se recibe una estructura de espacio vectorial sobre K:

i. k(f+g) =kf +kg para todok∈K, para todof, g∈SF(K).

ii. (k1 + k2)f = k1f +k2f, para todo k1, k2 ∈ K, para todo f ∈SF(K).

iii. k1(k2f) = (k1k2)f para todok1, k2∈K, para todof ∈SF(K).

iv. 1f =f para todo f ∈SF(K) 2

2.7 Ejemplo. Aunque simple, este ejemplo es importante. Re-cuerde la funci´on rndel Problema 2.4. Ud. debi´o demostrar que

rn = r0en . Una forma m´as simple de calcular rn es con la

igualdad rn = ren. De hecho se tiene que la funci´on dada por

f(n) =an para 0≤n≤py f(x) = 0 parax > p, est´a dada por

f =a0e0+a1e1+· · ·+apep . Verif´ıquelo.

Avancemos ahora sobre la estructura deSF(K). Contrario a lo prece-dente en donde presentamos “paquetes” de propiedades, en esta parte lo haremos una a una.

2.8 Proposici´on. El producto enSF(K) es asociativo.

Demostraci´on: Sean f, g, h series formales sobre K. Veamos que (f g)h = f(gh). Para el producto notemos que la f´ormula

(f g)(n) =

i=n

X

f(i)g(n−i) tambi´en se puede escribir como (f g)(n) =

X

i,j=n

f(i)g(j) (con i, j∈N). Por tanto:

[(f g)h](n) = X

i+j=n

(f g)(i)h(j) = X

i+j=n

X

k+l=i

f(k)g(l)

!

h(j)

= X

k+l+j=n

[f(k)g(l)]h(j) = X

k+l+j=n

Por otro lado :

[(f g)h](n) = X

k+t=n

f(k)(gh)(t)

= X

k+t=n

f(k)[ X 1+j=t

g(l)h(j)]

= X

k+1+j=n

f(k)[g(l)h(j)]

= X

k+1+j=n

f(k)g(l)h(j). 2

2.9 Proposici´on. El producto enSF(K) distribuye sobre la suma.

Demostraci´on: Se tiene que:

[f(g+h)](n) =

i=n

X

f(i)(g+h)(n−i)

=

i=n

X

f(i)[g(n−i) +h(n−i)]

=

i=n

X

f(i)g(n−i) +f(i)h(n−i)

=

i=n

X

f(i)g(n−i) +f(i)h(n−i)

= (f g)(n) + (f h)(n)

= (f g+f h)(n)

As´ı pues f(g+h) = f g+f h. La otra parte, (g+h)f =gf +hf, se obtiene por el mismo proceso o bien usando el hecho (que viene en la proposici´on que sigue) de que el producto en SF(K) es conmutativo

La K−Algebra SF(K)

Completemos ahora la estructura formal de SF(K) para +, × y su multiplicaci´on por escalar. Recordemos que una estructura

+ :A×A→A; ×:A×A→A; ·:K×A→A

es una K−´algebra (conmutativa) si:

i. K es un campo

ii. (A,+) es un espacio vectorial sobreK (ver 2.6).

iii. (A,+,×) es un anillo conmutativo y modulativo (1∈A).

iv. Los productos se asocian en el sentido de que

k(ab) = (ka)b=a(kb)∀k∈K,∀a, b∈A.

2.10 Proposici´on. SF(K) es una K−´algebra

En este punto el lector habr´a demostrado que el m´odulo mul-tiplicativo de SF(K) es e0, es decir que e0 = 1. Este y otros resultados son importantes en lo que sigue. Iniciemos con la propiedad de dominio de integridad deSF(K).

2.11 Proposici´on. SF(K) no tiene divisores de 0 (distintos de los triviales).

Demostraci´on: Supongamos quef×g= 0 pero quef 6= 0. Entonces existe un i ∈ _N tal que f(i) 6= 0. Sea k el m´ınimo de tales ´ındices. Se tiene entonces que f(k) 6= 0 pero si i < k entonces f(i) = 0. Demostremos ahora por inducci´on que g(i) = 0 para todo i∈ N. En efecto, parai= 0 consideremos (f g)(k) el cual es cero por la hip´otesis f g= 0. Se tiene pues que

Pero todos los primeros t´erminos son ceros por la condici´on sobre k. As´ı pues f(k)g(0) = 0 entonces g(0) = 0. Supongamos ahora que g(i) = 0 parai < n y veamos entonces que g(n) = 0. En efecto, como antes (f g)(n+k) = 0. As´ı pues se recibe

0 =f(0)g(n+k) +· · ·+f(k)g(n) +f(k+ 1)g(n−1) +· · ·+f(n+k)g(0)

Por la condici´on sobre k, los primeros k−1 t´erminos son cero. Por hip´otesis de inducci´on sobre g, los ´ultimos n t´erminos, son cero. As´ı pues, simplificando, la igualdad llega a ser f(k)g(n) = 0 y como f(k)6= 0, entoncesg(n) = 0 como se quer´ıa demostrar 2

De manera similar se trabaja el producto cuando se iguala al m´odulo para hallar inversos multiplicativos. Pero para explicarlo de manera adecuada debemos primero estudiar un subanillo especial de SF(K) el cual representa (por medio de un isomorfismo) aK enSF(K). Sea

e

K ={ae_o |a∈K}. El lector verificar´a que en efecto es un subanillo de SF(K). Ver problema suplementario #12.

2.12 Problema.

1. Demuestre que Ke no es un ideal deSF(K).

2. Demuestre queKe es unaK−sub´algebra deSF(K). Es decir que

es un subanillo modulativo deSF(K) que es cerrado para la mul-tiplicaci´on por escalar. As´ı puesKe es ella misma una K−´algebra

y adem´as, como anillo, es realmente un campo. Demuestre esto ´

ultimo.

3. Demuestre que K y Ke son isomorfos por un isomorfismo que

permite identificar la sucesi´on ae0 cona∈K.

La “Indeterminada” en SF(K)

Con base en la identificaci´on precedente ( K con Kf) consideramos

queK es un campo sub´algebra deSF(K). Adem´as, habida cuenta de la f´ormula enem =en+m, es claro que el sub´ındice se comporta como

un exponente, como en e0 = 1, por ejemplo. Se acostumbra escribir en cambio de e1 la letra x, ´o para el caso, cualquier otro s´ımbolo en cambio dex, previamente acordado. Cuando se usee1 =x, se dice que x es la indeterminada de SF(K). En tal caso se cambia la notaci´on deSF(K) aK[[x]].

El Soporte de una Serie Formal

2.13 Problema. Para f ∈SF(K) se define su soporte como el con-junto

sop(f) ={n∈N | f(n)6= 0}

i. Calcule todas las series formales con soporte vac´ıo.

ii. D´e un ejemplo de una serie formal con soporte de 10 elementos y otra de soporte infinito.

iii. Muestre que f tiene soporte finito si y s´olo si existe n ∈ N tal quem > n→f(m) = 0.

iv. Demuestre que sif tiene soporte finito, entonces

f = X

i∈sop(f)

f(i)ei 2

Sumas Infinitas

Por otra parte si f ∈ K[[x]] tiene soporte finito, entonces por 2.13, f =P

if(i)xi , en dondeirecorresop(f). Como (por la condici´on

so-bre el soporte)f(i)6= 0 s´olamente para un n´umero finito de naturales, entonces la escritura P

if(i)xi, o simplemente

P

P

aixi (´o mas exactamente i=∞

X

i=0 aixi)

dondeai∈K, para todoi∈N y que tambi´en se llama, por abuso, una

suma infinita, representa simple y ´unicamente la funci´onN→K, n7→ an. Por esta notaci´on, a los elementos de SF(K) ( ´o K[[x]]) se les

conoce comoseries formales con coeficientes en K ´o series (formales) en indeterminada x con coeficientes en K. Estudiaremos a continua-ci´on las series de soporte finito o tambi´en llamados los polinomios.

Polinomios en Indeterminada x

2.14 Definici´on.

i. Las series P

aixi conai ∈K, de soporte finito, ser´an llamadas

polinomios con coeficiente en K (e indeterminada x).

ii. El conjunto de los polinomios de i) se denotar´anK[x].

iii. SiP

aixi∈K[x] es no cero, entonces se llama elgrado del

poli-nomio, a max(sopP

aixi).

iv. Si P

aixi tiene grado n, entonces an se llama el coeficiente

di-rector, en tal caso se denota

n

X

i=0

aixi =a0+a1x1+a2x2+· · ·+anxn

y se acostumbra darle nombres del tipog(x),f(x), etc y el grado se denota por Gr(g(x)) ´o Gr(g).

v. Si el coeficiente director de p(x) es 1, p(x) se dice unpolinomio m´onico 2

2.15 Proposici´on.

i. P

aixi=Pbixi ↔ai =bi para todoi= 0,1, . . .

ii. P

aixi= 0↔ai= 0, para todo i= 0,1,2, . . .

iii. 1 = 1 + 0x+ 0x2+ 0x3+. . .

iv. bP

aixi =P(bai)xi.

v. P

aixi+Pbixi =P(ai+bi)xi

vi. (P

aixi)(Pbixi) =P( i

X

j=0

ajbi−j)xi 2

En cuanto a la estructura misma de K[x], alguna pr´actica se hace recomendable antes de ella y la resumimos en el siguiente numeral.

2.16 Problemas.

1. Muestre que K esta inmerso en K[x] lo cual permite identificar K con los polinomios de grado 0 y que por tanto K[x] no es un ideal deK[[x]]. Muestre adem´as queK[x] es una K−sub´algebra deK[[x]] y que, como anillo,K[x] es en realidad un dominio.

2. Demuestre que K[x] es la menor K−sub´algebra de K[[x]] que contiene a 1 y ax. Es decir que cumple las condiciones:

i. K[x] es una K−sub´algebra deK[[x]].

ii. K[x] contiene a {x,1}.

iii. SiT es una K−sub´algebra de K[[x]], que contiene a{x,1}, entoncesK[x]⊆T.

Muestre un conjunto{a, b}que genere aK[x] enK[[x]] y que no contengax ni 1.

i. Demostrar que ∩G es una K−sub´algebra de K[[x]] y que, de hecho, K[x]⊆ ∩G(use la parte 2 de arriba).

ii. Demostrar que,K[x]∈G, caso en el cual, por ser un miem-bro de la familia que se intersecta, ∩G⊆K[x] (por la vieja propiedad de teor´ıa de conjuntos que dice: todo miembro de una intersecci´on contiene a la intersecci´on )

4. Halle la menor K−sub´algebra de K[[x]] generada por 1 ´ unica-mente. Muestre que esta contenida en K[x]. Decida si es un ideal de K[x].

5. Halle la menor K−sub´algebra (en el sentido de 2.16 - 2) deK[[x]] que contiene a x. Muestre que esta contenida en K[x]. Decida si es un ideal de K[x]. Repita el ejercicio suponiendo que una sub´algebra no tiene por fuerza el m´odulo multiplicativo pero s´ı las dem´as condiciones.

6. Un subanillo B de A se dice un subanillo primo (usualmente este t´ermino se usa para ideales) si para a, b ∈ A, se tiene que ab∈ B → (a∈B ´o b∈B). Muestre queK no es un subanillo primo deK[[x]]. Es K[x] un subanillo primo deK[[x]]? 2

Para finalizar esta parte nos referimos a la existencia de los inversos multiplicativos en K[[x]] y en K[x].

2.17 Proposici´on. En K[[x]] una serieP

aixi es una unidad (o sea

invertible) si y s´olo si a0 6= 0.

Demostraci´on: Supongamos que a0 6= 0 y demostremos que existe

P

bixi∈K[[x]] tal quePaixi.Pbixi = 1. En efecto, puesto que debe

tenerse a0b0 = 1 es suficiente tomarb0 =a−01 el cual existe puesto que a0 6= 0 en K, que es un campo. Supongamos ahora quebt existe para

t ≤ n−1 y demostremos que bn existe tambi´en. En efecto como se

bn=−

1 a0

(a1bn−1+a2bn−2+· · ·+anb0)

el cual existe por la hip´otesis de inducci´on.

Para el otro sentido de la equivalencia siP

aixi.Pbixi = 1 se tiene

quea0b0= 1 y por tanto a0 6= 0 2

Sin embargo sip(x) es un polinomio no constante (es decir con grado mayor o igual a 1) entonces su inverso no puede ser un polinomio. Para el efecto notemos el siguiente resultado.

2.18 Proposici´on. El grado del producto de dos polinomios no cero, es la suma de los grados.

Demostraci´on: Si p(x) =P

aixian6= 0 yg(x) =Pbixi(m6= 0). Se

tiene que el (m+n)−´esimo coeficiente del producto es

a0bn+m+a1bn+m−1+· · ·+anbm+an+1bm−1+· · ·+an+mb0

Pero los t´erminos a la izquierda de anbm son cero porque bm+k = 0

para k < 0. Los t´erminos a la derecha tambi´en son cero puesto que an+k = 0 para k > 0. As´ı pues el (n+m)−´esimo coeficiente del

producto es anbm el cual no es cero. Pero el (n+m +k)−´esimo

coeficientek >0 es

an+mb0+· · ·+an+1bm+k−1+anbm+k+· · ·+a0bn+m+k

y cada uno de los t´erminos es cero 2

Demostraci´on: Sip(x)−1es un polinomio, entonces debe tener grado y por tanto el grado dep(x)p(x)−1 es mayor o igual que el dep(x) que no es cero. Pero puesto que p(x)p(x)−1 _{= 1 su grado es cero. Como} esto no puede ser entonces p(x)−1 tampoco es un polinomio 2

En general entonces los inversos deK[[x]] est´an enK[[x]] si el t´ermino independiente es no cero. Cuando lo es, est´a, de todas maneras, en F(K[[x]]), el campo de fracciones de K[[x]]. El primer polinomio que no tiene inverso en las series formales es, por supuestop(x) =x. Pero invertirlo resulta suficiente para invertir cualquier serie formal. De hecho tenemos el siguiente resultado

2.20 Proposici´on. SeaK un campo cualquiera. EntoncesF(K[[x]]) = L(K[[x]], x) (= K< x >, en la notaci´on del problema suple-mentario #7).

Demostraci´on: EvidentementeL(K[[x]], x)⊆F(K[[x]]). En cuanto la otra inclusi´on si p(x) tiene t´ermino independiente no cero, ento-ces p(x)−1 ∈ L(K[[x]], x). En el otro caso se tiene que, seg´un puede comprobar el lector,

∞

X

i=1 aixi

!−1

=x−1

∞

X

i=0 ai+1xi

!−1

en F(K[[x]]) y en el lado derecho del igual x−1 ∈ L(K[[x]], x) y

∞

X

i=0 ai+1xi

!−1

∈ K[[x]] por tanto

∞

X

i=1 aixi

!−1

∈ L(K[[x]], x) y lo

mismo cualquier fracci´onp(x)/q(x) de series formales sobre K 2

Problemas Suplementarios

2. Muestre que las series formales con a0 6= 0 forman un grupo con el producto, pero que ni siquiera son cerradas para la suma. Calcule tal grupo para K = Z2. Es decir, explique c´omo pre-sentar´ıa los elementos de tal grupo, su operaci´on producto y la demostraci´on de que es un grupo, si no contara con la teor´ıa del presente cap´ıtulo. Dicho de otro modo, d´e los elementos invert-ibles para el producto deZ2[[x]], de manera autocontenida, como ejemplo de grupo multiplicativo.

3. Muestre que siK no es un campo sino un anillo, entonces tanto K[[x]], comoK[x] existen como conjuntos y sus operaciones +,× tambi´en existen. Def´ınalos de manera directa. Determine cuales propiedades de un anillo A (conmutativa, id´entica, existencia del inverso, etc), si existen en A, pasan a A[[x]] y a A[x]. En particular determine las unidades deA[[x]].

4. Halle el inverso, si existe, de 2x2+ 2x+ 3 enZ4[[x]] y de 4x3+ 6x2+ 2x+ 5 en Z8[[x]]. Puesto que, como elementos de Z4[[x]] y de Z8[[x]] las series formales dadas son funciones, descr´ıbalas dando dominio, codominio e im´agenes en cada caso.

5. Sea B un subanillo de un anillo A. Decida si las afirmaciones siguientes son correctas y demuestre su afirmaci´on.

i. B[[x]]⊆A[[x]].

ii. B[x]⊆A[x].

iii. B[[x]] es un subanillo de A[[x]].

iv. B[x] es un subanillo deA[x].

v. B[x] es un subanillo deA[[x]].

vi. B[[x]] es un ideal deA[[x]].

vii. B[x] es un ideal deA[x].

viii. B[x] es un ideal deA[[x]].

ix. Responda las mismas preguntas de vi, vii, viii bajo la hip´ o-tesis de queB sea un ideal de A.

6. Suponga que, en la definici´on deK[[x]], usamos Zen cambio de N, pero dejamos las definiciones de las “operaciones” sin cambio y lo denotamos K{{x}}.

i. Decida si + y × son operaciones en K{{x}} o con qu´e restricciones existir´ıan.

ii. Como ser´ıan los elementos de K{{x}} en la notaci´on de “series formales”?

iii. Es K{{x}} unicamente un espacio vectorial sobre´ K? Es K{{x}} un anillo? un dominio? un ´algebra?

7. Suponga que una funci´onf :Z→Kest´a denotada por

X

n∈Z

f(n)xn.

Sea

K< x >={P

anxn|existep∈Ztal queas= 0, para todo

s≤p}

i. D´e ejemplos de los elementos de K< x > tanto con un n´umero finito, como con un n´umero infinito de t´erminos.

ii. Determine la estructura deK< x >cuandoK es un anillo.

iii. Muestre que K< x > es un anillo de divisi´on si K lo es y que K< x > es un campo si K lo es. En tal caso, es K[[x]] una K−sub´algebra deK< x >?

8. Sea K un campo.

i. Usando el concepto de grado y las propiedades de K−´algebra, demuestre que K[x] es un dominio y que K[x]⊆K[[x]]⊆ K< x >. D´ese un elemento no invertible enK[[x]] (no cero) y encuentre su inverso enK< x > (h´agalo inicialmente con elementos deK[x] ). H´agalo para un elemento con infinitos t´erminos. Muestre que un elemento de “grado” no finito de K[[x]] puede tener como inverso un polinomio.

iii. Decida si es cierto o falso que F(K[x]) = K< x >. En cualquiera de los dos casos demuestre su afirmaci´on.

9. Sea A un anillo y B ⊆ A. Demuestre que B[x] es un ideal de A[x] si y s´olo siB es un ideal de A

10. Suponga que Ay B son K−´algebras. Sobre el conjunto

Hom(A, B) ={f :A→B |f es un homo de K−´algebra}

d´e todas las propiedades que cumplen la suma, el producto y la multiplicaci´on por escalar corrientes.

11. Demuestre que la K−´algebraK[x] cumple la siguiente condici´on siA es una K−´algebra ya∈A, entonces existe un ´unico homo-morfismo f : K[x] → A de K−´algebra tal que f(x) = a. De-muestre que, de hecho, Hom[K[x], A] ∼= A (como K−´algebra), con la suma y multiplicaci´on por escalar (corrientes) de funciones y con el producto∗ dado por

(f ∗g)

n

X

i=0 kixi

!

= (

n

X

i=0

Kif(x)ig(x)i

12. Demuestre que si A es una K−´algebra entonces Ke ={k1 |k ∈