UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CENTRO LOCAL ARAGUA
ÁREA DE MATEMÁTICA ASESOR: Prof. Richard Díaz
RESUMEN SOBRE ÁLGEBRA I (701)
Observación: En esta asignatura el estudiante aplica y profundiza los conocimientos adquiridos en los objetivos 10 y 11 de la asignatura Matemática II (177). Comienza a formarse dentro de la rigurosidad y formalidad de la demostración Matemática por eso el manejo de la información dada a continuación es fundamental para alcanzar el éxito la misma.
H
T
no H noT
Directo Recíproco
H
T T
H
no H
no T no T
no H
REGLAS PROPOSICIONALES Y ALGUNAS LEYES DE INFERENCIA LÓGICA
Asumimos que p, q, r simbolizan proposiciones lógicas, 1 representa una verdad lógica, 0 una falsedad lógica y “ ’ ” la negación de una proposición lógica.
1.- Idempotencia:
a) p p p b) p p p 2.- Conmutatividad:
a) p q q p , b) p q q p 3.- Asociatividad:
a) (p q) r p (q r), b) (p q) r p (q r) 4.- Distributividad:
a) p (q r) (pq) (p r), b) p (q r) (pq) (p r) 5.- Absorción:
a) p(pq) p, b) p (pq) p 6.- Identidad:
a) p 0 p, b) p 0 0, c) p 1 1 d) p 1 p 7.- Complementación:
a) (p’)’ p, b) 0’ 1 c) 1’ 0 8.- Leyes de Morgan:
a) (pq)’ p’q’ b) (p q)’ p’ q’ 9.- Simplificación:
a) p q p, b) p q q 10.- Adición:
a) p p q, siendo q cualquier proposición lógica 11.- Silogismo disjuntivo:
a) p q Significado: si tenemos una disjunción y la negación de q’ alguna de las proposiciones entonces, podemos afirmar la p otra.
Estas son las más utilizadas en las demostraciones de proposiciones conjuntistas y en
Serie: RESÚMENES
Álgebra I (701)
OBJETIVO 1: -Utilizar las propiedades del álgebra de Boole en la resolución de problemas y en particular en el álgebra de Boole P(X) de partes de un conjunto. Págs. 21 –62
CONJUNTOS, ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
En todo sistema axiomático tendremos términos primitivos o no definibles (por convención), axiomas: afirmaciones aceptadas como verdaderas sin demostración, teoremas verdades demostrables y una lógica bivalente que sirve de sustento al sistema.
El álgebra se puede considerar como un sistema axiomático con sus términos primitivos como por ejemplo: conjunto del cual sólo tendremos una noción “colección o agrupación de objetos”
Definición 1: Conjuntos iguales
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B . O de otra forma:
i) A = B significa que todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B
es también elemento de A. Se emplea el símbolo
ii) A B significa que existe algún elemento de A que no pertenece a B o que
existe algún elemento de B que no pertenece a A. Se emplea el símbolo
Simbólicamente:
( A B) ( x: x A y x B) ( x: x B y x A)
Definición 2: Inclusión
Dados dos conjuntos A y B decimos que A está incluido en B si todo elemento de A
pertenece al conjunto B. Se escribe A B.
NOTA: también se dice que A es subconjunto de B, A está contenido en B. Si A no es
subconjunto de B se escribe A B.
Conjuntos unitarios, conjunto vacío
Definición 3 Un conjunto se dice unitario si tiene un solo elemento. Si A es unitario se
escribe A ={a}, donde a es el único elemento de A, aA. Note que:
ba b {a}.
Conjunto de Partes de A
Definición 4: Si A es un conjunto cualquiera llamaremos conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, se denota por:
P(A)={B: B A}
Ejemplo: si A = {1,3}, entonces P(A) = { , {1}, {2}, A }, observe que y A siempre
Conjunto Complementario o Complemento de un conjunto:
Definición 5 Si A y B son conjunto tales que A B, se define complemento de A respecto de B como el conjunto:
={x: xB x A}
NOTA: En el medio maestro también lo denotan como B – A, sin embargo la diferencia de
los conjuntos A y B puede darse sin que se tenga que A B.
Intersección de conjuntos:
Definición 6 Si A y B son conjunto se define la intersección de A con B, denotado por
AB como:
AB ={x: xA xB}
Reunión de conjuntos:
Definición 7 Si A y B son conjuntos llamaremos unión o reunión de A con B , denotado
por AB al conjunto:
AB={x: x A x B}
Diferencia de conjuntos:
Definición 8: Si A y B son conjuntos cualesquiera definimos la diferencia de A y B denotada como: A – B = {x: x A x B}
NOTA: Las propiedades de la reunión, intersección, complemento y diferencia de conjunto se presentan en una guía aparte como ejercicios de práctica.
ÁLGEBRA DE BOOLE
Definición 9 Sea B un conjunto. Se dice que B posee estructura de álgebra de boole o álgebra Booleana si posee dos operaciones binarias (internas), que denotaremos por:
y las cuales satisfacen las propiedades:
1.- Conmutatividad:
a) p q q p , b) p q q p, p,q B
2.- Distributividad: para todo p,q,r en B
a) p (q r) (pq) (p r), b) p (q r) (pq) (p r)
3.- Existencia de elemento identidad: B contienedos elementos 0 y 1 los cuales verifican
a) p 0 p, elemento identidad para b) p 1 p, elemento identidad para
4.- Simetrización de los elementos de B (ojo esta propiedad es muy particular)
IGUALDAD DE PROPOSICIONES
Dos proposiciones p y q se dice que son iguales (otros autores dicen
“equivalentes” ) si el bicondicional p q es una tautología, es decir, siempre vale v, o
también si siempre vale 1
OBJETIVO 2 : - Aplicar los conceptos de relación binaria, de orden, de equivalencia o de conjunto cociente en la resolución de problemas. Págs. 63- 128
PAR ORDENADO
Definición 10: Dado a A, bB, llamaremos par ordenado a un objeto de la forma
(a,b). El nombre de par ordenado se deriva de que si a,c A y b,d B entonces
(a,b) = (c,d) si y sólo si a = c y b = d
PRODUCTO CARTESIANO
Definición 11: Se llama producto cartesiano de A y B al conjunto formado por los pares ordenados que se derivan de A y B, se denota por:
AxB ={ (a,b): a A, bB}
Note que evidentemente AxB BxA, de acuerdo a la definición de par ordenado.
NOCIÓN DE RELACIÓN
Una relación se puede entender como una regla que permite asociar elementos de un
conjunto A con elementos de un conjunto B. Si a A, b B, y a y b están relacionados
se escribe a R b, donde R representa la regla antes mencionada. Un subconjunto G de
AxB recibe el nombre de gráfico de la relación y se verifica que:
(a,b) G a R b
Definición 12: Cuando A = B y se tiene una relación R cuyo gráfico es G AxA, se dice
que R es una relación binaria entre elementos de A o también una relación binaria
definida sobre A.
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
1.- Reflexividad: x R x, para todo x en A
2.- Simetría: si x R y, entonces y R x, para todo x,y en A
3.- Antisimetría: x R y y y R x, entonces x = y para todo x,y en A. 4.- Transitividad: x R y y y R z, entonces x R z, para todo x,y,z e A.
INTERSECCIÓN Y REUNIÓN DE UNA FAMILIA DE CONJUNTOS (INTERSECCIÓN Y REUNIÓN GENERALIZADAS)
Definición 13: Sea A un conjunto , F P(A) una familia de partes de A. Se llama
al subconjunto de A tal que cada uno de sus elementos pertenecen a todos los conjuntos de
F, es decir,
a para todo XF se tiene que a X
Definición 14: Sea A un conjunto , F P(A) una familia de partes de A. Se llama
reunión generalizada o reunión de la familia F, denotado por
al subconjunto de A tal que cada uno de sus elementos pertenecen al menos a uno de los
conjuntos de F, es decir,
a existe XF tal que a X
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Definición 15: Una relación binaria R sobre un conjunto A se dice que es de
equivalenciaen A si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Notas:
Otras formas de denotarla:
.- x R y se denota por x y mód R se lee “x es equivalente a y” o x es congruente
a y módulo R
.- Otra notación es x y.
CLASES DE EQUIVALENCIA—CONJUNTO COCIENTE
Definición 16 Sea una relación de equivalencia definida sobre un conjunto A. Sea a
A, se llama clase de equivalencia al conjunto {x A| x a} y se denotará por o por
cl(a).
Observaciones:
.- a cl(a) pues a a
.- Si b cl(a) entonces cl(b) = cl(a)
.- Dos clases de equivalencia son disjuntas o son iguales, es decir, cl(b) cl(a)= o cl(b) = cl(a)
Definición 17 Conjunto cociente
Si es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, el conjunto formado por
las clases de equivalencia se llama conjunto cociente y se denota por A/
Observaciones:
.- A/ P(A), es decir, A/ P(P(A))
RELACIÓN DE ORDEN
Definición 18 Sea A un conjunto y R una relación binaria sobre A. Se dice que R es una relación de orden sobre A si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
UNA HERRAMIENTA BÁSICA PARA LA DEMOSTRACIÓN: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
Axioma 1 ( De recurrencia)
Si A es un subconjunto de N satisface las dos proposiciones siguientes :
i) 0 A
ii) para todo h tal que h A, entonces h+1 A
Entonces A = N
El enunciado puede ser expresado de una forma más general:
a) Si una propiedad es válida para n = k0
b) Si la validez de la propiedad para n = h (hipótesis de recurrencia) implica la validez de la propiedad para h+1, donde h es un número natural arbitrario pero h k0
Entonces, la propiedad es válida para todo número natural n k0
Otro enunciado equivalente es el siguiente:
PRINCIPIO DEL MÍNIMO ENTERO
Todo subconjunto A de N, A posee un elemento mínimo.
OBJETIVO 3 : - Dada una o más funciones, demostrar propiedades de éstas o de su composición.
Pág. 135-203
FUNCIONES
Definición 19 Si X e Y son dos conjuntos y f: X Y una relación, se dice que f es una
función de X en Y si:
a) Asocia a cada elemento “x” de X un elemento “y” de Y
b) El elemento “y” que asocia f a “x” es único.
Definición 20 Sea f: X Y una función y A X, se llama imagen de A por f y se denota por f(A), al subconjunto de Y dado por:
PROPIEDADES QUE RELACIONAN LAS IMÁGENES DE SUBCONJUNTOS CON LA INCLUSIÓN, LA REUNIÓN Y LA INTERSECCIÓN
Si f: X Y es una función, A,B subconjuntos de X, entonces se verifican las siguientes
propiedades:
a) A B f(A) f(B)
b) f(A B) = f(A) f(B)
c) f(A B) f(A) f(B)
IMÁGENES RECÍPROCAS DE SUBCONJUNTOS
Si f: X Y es una función y B Y, se llama imagen recíproca de B por f, denotada por
f -1(B) al conjunto f -1(B) ={ x X | f(x) B}
PROPIEDADES QUE RELACIONAN LAS IMÁGENES RECÍPROCAS DE SUBCONJUNTOS CON LA INCLUSIÓN, LA REUNIÓN Y LA INTERSECCIÓN
Si f: X Y es una función, M,N subconjuntos de Y, entonces se verifican las siguientes
propiedades:
d) M N f -1(M) f -1(N)
e) f -1(A B) = f -1(M) f -1(N)
f) f -1(M N)= f –1(M) f -1(N)
FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS, BIYECTIVAS
Definición 21 Una función f: X Y se dice sobreyectiva o que es una sobreyección, si
para todo b Y, el conjunto f –1({b}) es no vacío.
Definición 22 Una función f: X Y se dice inyectiva o que es una inyección, si satisface la propiedad siguiente:
f(x) = f(x´) x = x´ o equivalentemente x x´ f(x) f(x´)
contrarrecíproco
Definición 23 Una función f: X Y se dice biyectiva o que es una biyección si es inyectiva y sobreyectiva.
Definición 24 Sean tres conjuntos X, Y, Z y dos aplicaciones o funciones f: X Y g: Y Z
se define la aplicación h: X Z, mediante h(x) = g(f(x)) , x X, h recibe el nombre
de aplicación compuesta de g y f y se denota g o f
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean cuatro conjuntos X, Y, Z, W y tres funciones f: X Y g: Y Z h: Z W. Se
cumple:
a) Asociatividad h o (g o f) = (h o g) o f
b) En general la compuesta de funciones NO ES CONMUTATIVA
FUNCIÓN INVERSA
Teorema 2 Si f: X Y , entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes: a) f es una biyección
b) existe una única función g: Y X tal que f o g = IY , g o f = IX
Definición 25 Dada una función f: X Y, a la función g: Y X dada en el teorema 2 se
le llama función inversa de f y se denota por f –1.
NOTAS:
.- Si b = f(a), entonces a = f –1(b), a X, b Y
.- No confunda f –1(B) X o f -1({b}) de la imagen recíproca con la notación
f –1(b) X usada para la función inversa
.- La imagen recíproca de B Y por la función biyectiva f: X Y es igual a la imagen de
B por la función inversa f –1 de f.
FUNCIONES DEFINIDAS SOBRE UN CONJUNTO DE PARTES
Definición 26 Sean X, Y conjuntos y F P(X) un conjunto o familia de partes de X.
Una función f: F Y se llama función de conjunto o función definida en un conjunto de
partes.
FUNCIÓN SOBRE CONJUNTOS COCIENTES
Definición 27 Sea X un conjunto, R una relación de equivalencia sobre X.
Consideremos el conjunto: , X / R P(X)
Se define la función: p: X X / R, mediante p(a) = , es decir, a cada elemento a de X
le asociamos su clase módulo R. La función p recibe el nombre de proyección
canónica del conjunto X sobre el conjunto cociente X / R,
Teorema 3 Si R es una relación de equivalencia sobre X y f: X Y una función que
satisface: “si a,b X y ab (mód R), entonces f(a)=f(b)” , entonces existe una y sólo
una función F: X / R Y tal que Fo p = f, en donde p:X X / R
f X Y p F
OBJETIVO 4 : - Resolver problemas relacionados con leyes de composición interna. Pág. 205-203
Definición 28 Sea E un conjunto no vacío. Se llama Ley de Composición Interna ( o
simplemente ley de composición)(LCI) definida sobre E a cualquier aplicación de ExE en
E.
PROPIEDADES ASOCIATIVA Y CONMUTATIVA DE UNA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
.- Una ley de composición interna * es asociativa si (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z E
.- Una ley de composición interna * es conmutativa si x*y = y*x x,y E
ELEMENTO NEUTRO, ELEMENTOS SIMETRIZABLES
Definición 29 Sea E un conjunto dotado de una operación interna *, si existe e E tal que:
x * e = e*x = x x E, entonces e recibe el nombre
de elemento neutro para la operación *.
Definición 30 Sea E un conjunto dotado de una operación interna * que tiene elemento
neutro e. Un elemento a E es simetrizable por la ley *, si existe a´ E tal que:
a* a´ = a´ * a = e
PROPOSICIÓN
Sea E un conjunto dotado de una ley de composición interna * que tiene elemento
neutro. Supongamos que * es asociativa, entonces se verifica que si el elementoa E es
simetrizable, entonces su simétrico es único.
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA SOBRE UN CONJUNTO COCIENTE
Definición 31 Supongamos que E está dotado de una LCI * y además de una relación
de equivalencia R . Definimos como una LCI tal que
: E/ R x E/ R E/ R tal que cl(a) cl(a´) = cl(a * a´) la LCI definida
sobre E/ R se llama Ley cociente de * por la relación de equivalencia R
Pág. 262-286
GRUPOS
Definición 32 Un conjunto G no vacío con una ley de composición interna decimos que
es un grupo respecto a esa ley, si (G, ) verifica las propiedades siguientes:
1) La ley de composición interna es asociativa: x(yz) = (xy) z x,y,z G.
2) Existe un elemento neutro e G, es decir, existe e en G tal que ex =xe=x
Para todo x en G
3) Cada elemento x G posee su simétrico x´ , es decir, a cada x en G existe x´ tal
que x x´= x´ x = e
Si además es conmutativa el grupo será conmutativo o abeliano.
PROPIEDADES DE UN GRUPO
Teorema 4 Si G es un grupo entonces valen las siguientes proposiciones: a) El elemento neutro de G es único.
b) El inverso de cada elemento de G es único. c) Para todo aG, (a-1)-1 = a
d) Para todo a,b en G, (ab)-1 = b-1 a-1
Teorema 5 Dados dos elementos a,b cualesquiera en el grupo G, las ecuaciones ax =b y xa = b
tienen soluciones únicas en G.
OBJETIVO 6 : Resolver problemas relacionados con grupos cíclicos, producto directo de grupos. Orden de un grupo o de sus elementos.
Pág. 279-304
ORDEN DE UN GRUPO, POTENCIAS O MÚLTIPLOS DE ELEMENTOS DE UN GRUPO
Definición 33 Decimos que un grupo G es finito o infinito si G tiene un número finito o
infinito de elementos. Si el grupo es finito llamamos orden del grupo y escribimos o(G) al
número de elementos de G.
Definición 34 Sea G un grupo y aG cualquiera, definimos: ao = e
a1 = a
a2 = a.a
a3 = a.a2= a2.a y suponiendo definido an-1 se define an por
an = an-1.a = a. an-1
a-n= (a-1)n para cualquier n entero positivo.
an.am = an+ m
(am)n = amn
Análogamente si el grupo G es aditivo, entonces: 0a =0
1a = a 2a = a+a
3ª = 2a+a = a + 2ª
y suponiendo definido (n-1)a se define na como na = (n-1)a + a = a + (n-1)a . Además
ORDEN DE UN ELEMENTO DE UN GRUPO
Teorema 6 Sea G un grupo finito, entonces para cada a G existe
N(a)N* tal que aN(a)= e
Definición 35 Sea G un grupo y a G se define orden del elemento a al menor entero
positivo n, si existe, tal que an= e. En caso de no existir diremos que el elemento a es de
orden infinito. Se escribe o(a) = n
GRUPOS CÍCLICOS Y GENERADORES
Definición 36 Sea G un grupo tal que exista algún elemento a G que verifica la siguiente propiedad:
Para todo b G, existe nZ tal que: b = an, es decir, todos los elementos de G son
potencias de a, entonces decimos que G es un grupo cíclico. Al elemento a lo
denominamos generador de G y decimos que G es el grupo generado por a, esto lo
indicamos por G = <a>
PRODUCTO DIRECTO DE GRUPOS
Teorema 7 Sean G1 ,G2 , G3 , . . ., Gn grupos denotados multiplicativamente. Sobre el
conjunto producto cartesiano:
G = G1 xG2,x G3 x. . .x Gn consideramos la ley de composición interna *
(x1 ,x2 , x3 ,. . . ,xn)( y1 ,y2 ,y3 ,. . . ,yn) = (x1 y1,x2 y2 , x3 y3 ,. . . ,xn yn) donde xi, yi G, para
i=1,2,3,. . . ,n. Entonces (G,) es un gripo llamado producto directo de grupos.
OBJETIVO 7 : Aplicar los homomorfismos de grupo en la resolución de problemas. Pág. 305-332
Definición 37 Homomorfismo de grupos
Sean (G, .) y (G´,o) dos grupos . Un homomorfismo del grupo (G, .) en el grupo
(G´,o)es una función:
h: (G, .) (G´,o) tal que h(x1 . x2) = h(x1) o h(x2) cualesquiera
sean x1 , x2 G.
PROPIEDADES DE LOS HOMORFISMOS
Teorema 8 Sean G y G´ dos grupos y h: G G´ un homomorfismo; sean e, e´ los elementos neutros de G y G´ respectivamente. Entonces se verifican las propiedades siguientes:
1) h(e)= e´
2) h(a-1) = (h(a))-1 para todo a en G
3) h(an) = (h(a))n para todo a en G y n en Z
4) Si h es sobreyectiva y G es un grupo cíclico, entonces G´ también lo es. Además si
a G es un generador de G, entonces h(a)´ es un generador de G´, es decir,
5) Si h es sobreyectiva y G es abeliano, entonces G´ también lo es.
6) h es inyectivo si y sólo si el conjunto {x G|h(x)=e´} es igual al conjunto {e}.
7) Si h es inyectivo y a G es un elemento de orden finito, entonces, entonces h(a)
es de orden finito y se verifica: o(a) = o(h(a))
ISOMORFISMO DE GRUPOS
Definición 38 Un homomorfismo h: G G´ se dice isomorfismo si es biyectivo. En ese
caso se dice que G y G´ son isomorfos y se escribe G G´
GRUPO DE LOS AUTOMORFISMOS
Definición 39 Si G es un grupo, llamamos automorfismo a todo isomorfismo de G sobre sí mismo.
NOTA: Al conjunto de todos los automorfismos lo denotaremos por AUT(G).
ISOMORFISMOS ENTRE GRUPOS CÍCLICOS
Definición 40 Si G y G´son grupos finitos cíclicos del mismo orden, entonces son isomorfos.
NOTA: Si G es cíclico finito, entonces existe nN* tal que G Zn (Zn grupo de las
clases residuales módulo n)
NÚCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO
Definición 41 Si h:GG´ es un homomorfismo del grupo G en el grupo G´, definimos:
a) Núcleo de h como N(h)={x G|h(x)= e´} y se le llama también Ker(h).
b) Imagen de h como Im(h) ={h(x)|x G}
OBJETIVO 8 : Resolver problemas relacionados con subgrupos, subgrupo normal o
grupo cociente.
Pág. 333-386
SUBGRUPOS
Definición 42 Un subconjunto H no vacío de un grupo (G,.) se dice que es un subgrupo de G si y sólo si (H,.) es grupo.
Teorema 9 Un subconjunto no vacío H de un grupo G, es un subgrupo si y sólo si
i) a,b H a.b H
ii) a H a-1 H, cualesquiera sean a,b
1) “Un subconjunto no vacío H de un grupo G es subgrupo de G si y sólo si: a,b H a.b-1 H “
2) “Un subconjunto no vacío H de un grupo finito G es un subgrupo de G si y sólo si
a,b H a.b H “
SUBGRUPO GENERADO POR UN CONJUNTO Definición 43
Sea S un subconjunto de un grupo G y HS el conjunto de todos los subgrupos de
G que contienen a S, es decir
HS ={HG| SH y H es subgrupo de G}
Entonces es un subgrupo de G y es el más pequeño de los subgrupos de
G que contienen a S, a lo llamamos subgrupo de G generado por S, es
decir, <S> =
Si S = {a1, a2, a3, . . ., an}, entonces escribimos < a1, a2, a3, . . ., an> = y
diremos que es finitamente generado por S.
CONGRUENCIA MÓDULO: UN GRUPO
Teorema 10 Sea G un grupo y H un subgrupo de G, entonces la relación definida en G
por: xy si y sólo si xy-1 H es una relación de equivalencia
Corolario Sea H un subgrupo de un grupo G para cada elemento aG consideremos el conjunto:
Ha={ha| hH} entonces ha = =cl(a)={x|xa(modH)}
NOTA: Ha recibe el nombre de clase lateral derecha y G/H = {Ha| aG}
Análogamente aH ={ah| hH} se llama clase lateral izquierda.
RELACIÓN ENTRE EL ORDEN DE UN GRUPO Y EL ORDEN DE UN SUBGRUPO
Teorema 11 Teorema de Lagrange
Si G es un grupo finito y H un subgrupo de G, entonces o(H) divide a o(G). ( o(H)|o(G) )
Corolario Sea G un grupo y aG , entonces ao(G) = e. NOTA: o(a) divide a o(G)
Corolario Si G es un grupo de orden primo entonces G es cíclico.
Corolario Todo grupo de orden 4 es isomorfo a Z4 o al grupo de Klein*
* el grupo de Klein es G={e,a,b,c} según la tabla siguiente: e a b c
a a e c b
b b c e a c c b a e
Corolario Sea G un grupo de orden n, entonces si m divide a n, existe un único subgrupo H de G de orden m
SUBGRUPO NORMAL
Definición 43 Un subgrupo N de un grupo G se dice subgrupo normal de G, si:
xnx-1N para todo xG y nN Observación:
i) También es llamado subgrupo distinguido.
ii) Subgrupo invariante ya que si hg es un automorfismo interior o sea hg
Int(G), entonces hg(N)= N
Teorema 12 Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G, entonces N es un
subgrupo normal de G si y sólo si xNx-1 = N para todo xG.
NOTA: xNx-1={xnx-1|x G , nN} GRUPO COCIENTE
Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G y consideremos la relación de
equivalencia “congruencia módulo (xy xy -1 N), entonces se define el grupo
cociente como (G/N, ) donde .
siendo x.y el producto de x e y en G.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE HOMOMORFISMO DE GRUPOS
Teorema 13 Sea h:GG´ un homomorfismo de grupos, entonces
a) Existe una única aplicación : G/N(h)G´ tal que en el diagrama:
G G´
P
G/N(h)
Se verifica que op=h donde p es la proyección canónica.
b) es un homomorfismo de grupos.
c) es inyectivo.
OBJETIVO 9 : Resolver problemas relacionados con el grupo de permutaciones o con la acción de un grupo sobre un conjunto.
Pág. 387-447
GRUPOS OPERANDO SOBRE UN CONJUNTO
Definición 44 Sea E un conjunto no vacío y G un grupo cualquiera. Se dice que el grupo
G actúa u opera sobre E, si existe una función: : GxE E tal que:
i) (a, (b,x)) = (ab,x) y ii) (e,x) = x.
se llama acción u operación de G sobre E
Al elemento (a,x) lo denotamos por ax luego i) ii) quedan
i) a(bx)=(ab)x
ii) ex = x
TEOREMA DE CALEY
Observación: al grupo biy(E) lo denotaremos por SE
Teorema 14 Sea : GxE E una acción del grupo G sobre E. Entonces la función:
: G SE dada por (g) = g , para todo gG es un homomorfismo de grupos.
Teorema 15 Teorema de Caley
Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de SG
GRUPO DE PERMUTACIONES
Definición 45
Sea E un conjunto finito no vacío. A toda bisección de E en sí mismo la llamaremos una permutación de los elementos de E.
Composición de permutaciones
La composición de permutaciones se comporta de manera análoga que la compuesta de cualquier otra función. Si 1 y 2 son permutaciones entonces 1 o2 es también una
permutación y 1o2(x) =1(2(x))
OBSERVACIÓN: Supondremos en adelante que E {1,2,3,. . . ,n} y a SE lo denotaremos
por Sn.
ORBITA DE UN ELEMENTO x DE UN CONJUNTO BAJO UNA PERMUTACIÓN
Definición 46 Sea E un conjunto no vacío y SE definimos la siguiente relación en E:
Teorema 16 Sea E un conjunto no vacío finito y SE ,entonces para cada xE:
Cl(x) = {x, (x), 2(x),. . . , Kx - 1(x)}. CICLOS DE UNA PERMUTACIÓN
Definición 47 Sea E un conjunto no vacío finito. Una permutación de E, se llama un ciclo de longitud n, si existe un subconjunto { x1, x2, x3, . . ., x n} de E tal que:
(x1) = x2, (x2) = x3 (x3) = x2 , . . . , (xn-1) = xn , (xn) = x1
y (x) = x para todo xE tal que x{ x1, x2, x3, . . ., x n} en este caso denotaremos a
por (x1, x2, x3, . . ., x n) y escribiremos:
= (x1, x2, x3, . . ., x n)
Al ciclo (x, (x), 2(x),. . . , K
x - 1(x)) lo llamaremos ciclo de la permutación en el
elemento x.
Teorema 17 Toda permutación de un conjunto no vacío finito E, es el producto de sus ciclos.
TRANSPOSICIONES
Definición 48 Una permutación se dice que es una transposición si es un ciclo de longitud dos.
INVERSIONES DE UNA PERMUTACIÓN
Definición 49 Sea Sn diremos que hace una inversión si existen i,j {1,2,3,. . . ,n}
con i< tales (i)>(2)
SIGNO DE UNA PERMUTACIÓN
Definición 50 Sea Sn llamaremos signo de la permutación y lo denotamos por
sg() al número (-1)k donde k es el número de inversiones que hace la permutación .
Teorema 18 Sean 1, 2 Sn entonces sg(2. 1) = sg(2).sg(1)
Teorema 19 Sea Sn , entonces toda descomposición de como producto de
transposiciones contiene o un número par o un número impar de éstas.
Definición 51 Permutaciones pares e impares
Una permutación Sn se dice que es par (resp. Impar) si se puede descomponer como
un número par (resp. Impar) de transposiciones.
Teorema 20 Sea An el subconjunto de Sn que consiste de todas las permutaciones pares.
OBJETIVO 10 : Aplicar las propiedades de anillo o de homomorfismo de anillos en la resolución de problemas.
Pág. 9-76
ANILLO
Definición52 Llamaremos anillo a una estructura algebraica (A, +,
) constituida por un conjunto A y dos leyes de composición interna que convendremos en llamar adición y multiplicación que satisfacen las propiedades siguientes:i) (x+y)+z = x +(y+z) asociatividad de la adición
ii) Existe un elemento neutro 0A, tal que x+0 =0+x = x xA
iii) Para cada xA, existe un elemento que denotaremos con –x A tal que:
x+(-x)= (-x)+x =0
iv) x+y = y+x conmutatividad de la adición. es decir, (A,+) es un grupo abeliano
v) (xy)z = x(yz) asociatividad de la multiplicación.
vi)
Definición 53 (Anillo conmutativo) Decimos que un anillo A es conmutativo si se cumple xy = yx x,yA
Definición 54 (Anillo unitario) Se dice que A es un anillo unitario o con identidad si
existe u elemento eA tal que x.e=e.x= x xA.
PROPIEDADES DE UN ANILLO
Si A es un anillo entonces para cualesquiera a,b,cA se cumple:
i) a+c = b+c a=b ley de cancelación para la adición
ii) -(-a) = a
iii) -(a+b) = (-a) + (-b) = -a-b
iv) La ecuación a + x = b tiene solución única.
v) a. 0 = 0
vi) a(-b) = (-a)b = -ab vii) (-a)(-b) = ab
NOTAS IMPORTANTES
.- Un elemento a perteneciente a un anillo A se dice idempotente si a2 = a
.- Un elemento a pertenceciente a un anillo A se dice nilpotente si existe un entero
positivo n tal que an = 0.
Definición 55 Un elemento a0 de un anillo A, diremos que es un divisor de cero, si existe un bA, b0 tal que a.b = 0
LEY DE CANCELACIÓN
Teorema 21 En un anillo A se cumple la ley de cancelación si y sólo si A no tiene divisores de cero.
Teorema 22 Sea A un anillo unitario, si aA,,a0 es un divisor de cero entonces a no tiene inverso.
GRUPO DE LOS ELEMENTOS INVERSIBLE DE UN ANILLO
Definición 56 Sea A un anillo unitario, llamaremos U(A) al conjunto de sus elementos
invertibles, es decir, U(A) = { xA| existe x-1A}
Definición 56 (Dominio entero) Es un anillo unitario, conmutativo y sin divisores de cero. (o sea todo elemento no nulo tiene inverso)
CARACTERÍSTICA DE UN ANILLO
Definición 57 Se llamará característica de un anillo A al menor entero positivo n tal que
na = 0 para todo aA y donde 0 es el neutro del anillo A. Diremos que A es un anillo de
característica n. Si tal n no existe diremos que A es de característica cero o de
característica infinita.
Teorema 23 Si A es un anillo unitario con identidad e, y si denotamos con 0 el cero del anillo A, entonces
i) A es de característica n si y sólo si n es el menor entero positivo tal que ne = 0.
ii) A es de característica cero si y sólo si ne 0
CARACTERÍSTICA DE UN DOMINIO ENTERO
La característica de un dominio entero es cero o un número primo p.
HOMOMORFISMO DE ANILLOS
Definición 58 Sean A y A´ anillos y h una función h:A A´, h se dice que es un
homomorfismo si para todo a,b A se tiene
1) h(a+b) = h(a)+h(b) 2) h(a.b) = h(a).h(b)
TIPOS DE HOMOMORFISMOS
Si un homomorfismo entre anillos es inyectivo, sobreyectivo o biyecctivo se llama monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo respectivamente.
HOMOMORFISMO ENTRE ANILLOS UNITARIOS
Entre anillos unitarios se cumple que h(1) = 1´ donde 1 y 1´son las identidades de A y A´ respectivamente.
NÚCLEO DE UN HOMOMORFISMO
Definición 59 Si A y A´ son anillos y h : AA´ es un homomorfismo definimos núcleo
de h así: N(h) = {xA| h(x)=0} y se cumplen las propiedades siguientes:
.- N(h) es un subgrupo aditivo de A
.- Si aN(h) y xA, entonces ax N(h) y xaN(h)
Teorema 24 Un homomorfismo entre anillos es inyectivo si y sólo si N(h) ={0}
Definición 60 (Subanillo) Sea A un anillo y B un subconjunto no vacío de A, diremos que B es un subanillo de A, si B es un anillo con las operaciones definidas en A y restringidas a B.
Teorema 25 Un subconjunto S no vacío, de un anillo A es un subanillo si para todo a,bS, se cumple:
i) a-bS
ii) abS
Teorema 26 Sea A un anillo conmutativo con identidad e, entonces existe un subanillo
de A isomorfo al anillo Z de los enteros o a uno de los anillos Zn (n2) de clases
residuales módulo n.
RELACIÓN ENTRE LAS ESTRUCTURAS DE UN ANILLO Y UN SUBANILLO DEL MISMO
OBJETIVO 11 : Resolver problemas relacionados con los conceptos de ideal o de anillo cociente.
Pág. 77- 188
Definición 61 (Ideal) Un subconjunto no vacío I, de un anillo A es un ideal si: i) I es un subgrupo aditivo de A y
ii) ax I y xaI xA, aI
INTERSECCIÓN DE IDEALES
La intersección de ideales es también un ideal, es decir, si I, J son ideales de un anillo A,
entonces IJ es también un ideal del anillo A.
IDEAL GENERADO POR UN CONJUNTO
Las intersección de todos los ideales que contienen a un subconjunto S de un anillo A y que
denotaremos por L es también un ideal y es precisamente el ideal generado por el
conjunto S. L es el menor ideal, en sentido de inclusión, que contiene a S.
IDEAL PRINCIPAL
Definición 62 Un ideal I se dice ideal principal si es generado por un solo elemento.
OBSERVACIONES IMPORTANTES
a) Si A es un anillo y B un súbanlo de A, entonces todo ideal I de A tal que IB es también
un ideal de B.
b) Al considerar un anillo A y un subanillo B de A, el ideal de B generado por un elemento de B no tiene que ser igual al ideal de A generado por el mismo elemento.
SUMA DE IDEALES
Definición 63 Si I y J son ideales de un anillo A, entonces el conjunto:
I+J= {a+b|aI , bJ} es también un ideal y recibe el nombre de ideal suma de I y J.
ANILLO COCIENTE
Definición 64 Si A es un anillo e I un ideal de A se define anillo cociente a la estructura
((A/I), +,) donde la adición y multiplicación se definen por:
a) Sean (a+I), (b+I) elementos de (A/I), entonces (a+I)+(b+I)= (a+b)+I
b) Sean (a+I), (b+I) elementos de (A/I), entonces (a+I)(b+I)= ab+I
El anillo cociente cociente hereda las propiedades del anillo A.
Teorema 27 Sean, un anilloA e IA in ideal, entonces la proyección canónica
P:A A/I definida por p(a) = a+I es un homomorfismo sobreyectivo de anillos y
Teorema 28 Sean, un anilloA e IA in ideal. Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los ideales J de A que contienen a I, y el conjunto de ideales J´ del
anillo que contiene a A/I
IDEAL MÁXIMO, IDEAL PRIMO
Definición 65 Ideal Maximal
Sea A un anillo conmutativo, un ideal A (propio) se dice maximal si cualquier
ideal N, tal que NA es tal que N = o N = A , es decir, no existe un ideal N
de A tal que N y NA.
Definición 66 Ideal primo
Un ideal P de un anillo A se dice primo si P A y cumple para todo a,bA:
a.bP aP ó bP
Teorema 29 Sea A un anillo A un ideal de A , entonces es maximal si y sólo si
(,a) =A, para todo aA-. Donde (,a) denota el ideal generado por {a}.
Teorema 30 Si A un anillo conmutativo con identidad 1 entonces todo ideal maximal de A es un ideal primo.
Teorema 31 Si A un anillo conmutativo con identidad 1, Un ideal I de A es primo si y
sólo si A/I es un dominio entero.
Teorema 32 Si A un anillo conmutativo con identidad 1, un ideal I de A es maximal si
y sólo si en A/I cada elemento distinto de 0+I =I tiene inverso.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS ENTEROS
El anillo de los números enteros Z cumple algunas propiedades importantes que se
mencionan a continuación:
1) Es un dominio entero, es decir, es un anillo unitario, conmutativo y sin divisores de cero.
2) Su característica es cero.
3) Es un anillo de ideales principales, es decir, todo ideal de Z es de la forma:
(n)={nz|zZ}= nZ con nZ.
4) Sus únicos elementos invertibles son 1 y -1.
DIVISIBILIDAD
Definición 67 Sea D un dominio entero a,bD, a0, diremos que a divide a b, y lo
Teorema 33 Si en un dominio entero D se tiene que a1|b1 y a2|b2 , entonces a1 a2|b1 b2
Teorema 34 Si en un dominio entero D se tiene que a|b1 y a|b2 , entonces a|k1 b1 + k2 b2
cualesquiera sean k1, k2D.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Definición 68 Dados dos enteros a y b llamaremos máximo divisor común de a y b al entero positivo g que satisface:
i) g|a y g|b y
ii) Si h es un entero tal que h|a y h|b entonces h|g. Se denota por (a,b)
ALGORITMO DE EUCLIDES
Este algoritmo es un procedimiento que permite calcular el máximo divisor común mediante divisiones sucesivas, obteniendo como máximo divisor común el último resto no nulo.
IDENTIDAD DE BEZOUT
Teorema 35 Dados dos enteros a y b existen enteros m y n tales que ma+nb = (a,b)=g
CONGRUENCIAS
Definición 69 Dado un entero fijo n y dos enteros a y b, decimos que a y b son
congruentes módulo n, denotado a m(mód n) m|(a-b)
Teorema 36 Teorema de Fermat
Sean a,pZ , p primo, si p no divide a “a” entonces ap-11(mód p)
Teorema 37 Si (m,n) =1 entonces la congruencia x p(mód n) tiene una y sólo una solución módulo n, es decir, todas las soluciones son congruentes módulo n.
Teorema 38 La congruencia mx p (mód n) es soluble, es decir, tiene solución si y sólo si (m,n)| p y en ese caso existen (m,n) soluciones distintas módulo n.
PROPIEDADES DE LAS CONGRUENCIAS
1) ab(mód n) y c d (mód n) a+cb+d (mód n) y ac bd (mód n) 2) ab ac (mód )n y (a,n)=1, entonces b c(mód n)
3) a b(mód mn) ab(mód m) y ab (mód n)
4) ab (mód n) ka kb (mód n), kZ. Y ak bk(mód n), kN
5) Dados n enteros sucesivos a, a+1, a+2, . . ., a+(n-1) y otro entero b, existe un único i, 0 i n-1 tal que a+i b(m ód n)
6) Si ab (mód n1), ab (mód n2), ab (mód n3), ..., ab (mód nk) y (ni, nj)= 1, si ij,
7) Si ab (mód n) y k|a, k|b, entonces i) (n,k) = 1 ii) (n,k)= d
SISTEMAS DE CONGRUENCIAS
Sea el sistema Sea x xo(mód m) una solución de la
congruencia (1), es decir, x = km+ xo con kZ, si esta solución satisface también la
congruencia (2), entonces se tiene c(km+ xo) d(mód n), es decir tenemos la
congruencia:
cmk d – cxo (mód n) (3) donde k es la incógnita.
Sea una solución de esta congruencia kko(mód n) , es decir, k = k´n+ko, entonces,
sustituyendo este valor de k en la solución de (1) queda:
x= (k = k´n+ko)m + xo; x = k´nm + kom + xo , este valor satisface ambas ecuaciones (1)
y (2) por lo tanto la solución del sistema es: x kom + xo (mód nm)
CONGRUENCIAS CON MÓDULO COMPUESTO
Consideremos las congruencias ax b (mód m), donde m un número compuesto,
digamos m = p.q donde (p,q) = 1, entonces, de acuerdo a la propiedad No. 3 de las congruencias podemos decir,
(1) ax b (mód pq) esto es equivalente a decir
(1) pq|(ax-b)
Para resolver una congruencia de la forma: ax b (mód pn) con p primo , se plantea el
siguiente sistema de ecuaciones:
ax b (mód P) (1) ax b (mód P 2) (2)
ax b (mód P 3) (3)
. . .
Resolviendo (1) t sustituyendo en (2), luego resolviendo (2) y sustituyendo en (3) y así sucesivamente hasta llegar a la ecuación (n) con esto se consigue que cada
congruencia a resolver es módulo p
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Por 2: Sea z = ao + 10a1 + . . .+ 10nan . Z es divisible por 2 si y sólo si ao0 (mód 2)
Por 3: Sea z = ao + 10a1 + . . .+ 10nan . Z es divisible por 3 si y sólo si
ao +a1 + . . .+ an 0(mód 3
OBJETIVO 12 : Aplicar las propiedades del cuerpo de los números racionales, números reales, números complejos o cuaternios en la resolución de problemas.
Pág. 195- 276
CUERPOS
Definición 70 Una terna (K,+,
)es un cuerpo si K es un conjunto no vacío y, + y
son operaciones en K tales que:i) (K,+,
) es un anillo unitarioii) (K- {0},
)
es un grupo.Si (K- {0},
)
es abeliano entonces el cuerpo es abeliano.PROPIEDADES
i) Los cuerpos no poseen divisores de cero.
ii) En los cuerpos vale la ley de cancelación de la multiplicación y la adición. iii) Todo anillo finito con elemento unitario y sin divisores de cero, es un cuerpo
SUBCUERPOS
Definición 71 Sea K un cuerpo, un subconjunto no vacío A de K es un subcuerpo de K si y sólo si son válidas las siguientes condiciones:
1) La adición y la multiplicación definidas en K, cuando las restringimos a A, son operaciones en A.
2) Dichas operaciones sobre A, definen una estructura de cuerpo sobre A.
Teorema 39 Dado un cuerpo K y A K. A es un subcuerpo de K si y sólo si:
i) A tiene al menos dos elementos.
iii) aA -aA iv) aA-{0} a-1A
NOTAS: Esto es equivalente a:
i) A
ii) (A,+) es un subgrupo de (K,+)
iii) (A-{0},
) es un subgrupo de (K,-{0}, )HOMOMORFISMO DE CUERPOS
Definición 72 Un homomorfismo f de un cuerpo K en un cuerpo K´ se define como f:KK´ tal que:
i) f(x+y) = f(x) + f(y)
ii) f(xy)= f(x).f(y) x,yK
NOTA: Si K =K´ y f es un homomorfismo de K en K´ decimos que f es un automorfismo de K.
TEOREMAS ACERCA DE HOMOMORFISMO DE CUERPOS
Teorema 40 Los únicos ideales de un cuerpo K son {0} y K.
Corolario Un homomorfismo entre cuerpos es nulo e inyectivo.
Teorema 41 Sea f:KK´ un homomorfismo, K y K´cuerpos; entonces f(K)= {0} o f(K) es un cuerpo y f es un isomorfismo entre K y f(K).
Corolario Cualquier homomorfismo sobreyectivo entre cuerpos es un isomorfismo.
PROPIEDADES DEL ANILLO ZP
i) ZP es un anillo conmutativo.
ii) ZP es un anillo de característica cero.
iii) Como consecuencia inmediata de (ii)
Y desarrollando por binomio de Newton, resulta que para todo x,y enteros se verifica:
(
iv) ZP es un cuerpo.
TEOREMA DE WEDDERBURN
Teorema 42 Todo cuerpo finito es conmutativo.
TEOREMA DE WILSON
Teorema 43 Un número p>1 es primo si y sólo si en ZP
CONSTRUCCIÓN DEL CUERPO DE LOS NÙMEROS RACIONALES
1) Se piensa en una fracción como un par de entero, es decir, se piensa en como
una fracción donde a y b son enteros y b≠0
2) Conocemos que: ad = bc
Y en el hecho de que Z es un dominio entero.
.- Los elementos de ZxZ* los llamaremos fracciones. .- En ZxZ* se define la relación siguiente:
(a,b) (c,d) ad = bc .- es una relación de equivalencia.
.- Esta relación produce una partición de ZxZ* en clases de equivalencia y cada fracción pertenece a una y sólo una clase y la reunión de estas clases forma ZxZ*. Cada clase se denota
por .
LEMA: (a,b) (am,bm) para todo entero m≠0
ADICIÒN EN Q Y SUS PROPIEDADES
Al conjunto cociente ZxZ*/ lo llamaremos Q. Definimos las operaciones:
ADICIÓN: (x,y)+ (z,t) = (xt+yz, yt), observe que como y≠0, t≠0, entonces yt≠0
MULTIPLICACIÒN: (a,b) . (c,d) = (ac,bd)
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
i)
ii) Es conmutativa. iii) Es asociativa.
iv) Existe un elemento neutro , b≠0 tal que + = + =
v) Para cada , existe en Q tal que ( )+( ) = =0
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN i) Es conmutativa.
ii) Es asociativa.
iii) Existe un elemento neutro , tal que . =
v) Para cada ≠0 , existe en Q tal que ( )( ) = =1,
IDENTIFICACIÓN DE Z CON UN SUBANILLO DE Q
Teorema 44 Q posee un subanillo isomorfo a Z.
Dado un dominio entero (A,+, )
1) Se considera sobre AxA* la relación binaria definida por:
(a,b) (c,d) ad = bc, donde A* = A –{0}
2) Se prueba que es una relación de equivalencia sobre AxA*
3) Se denota =AxA*/
4) Se definen las operaciones y .
(a,b) (c,d) = (ad+bc,bd) (a,b) . (c,d) = (ac,bd)
5) Se demuestra que estas operaciones son compatibles con
6) Se definen las operaciones + y . sobre por:
7) Se demuestra que
a) es un dominio entero, donde para a≠0 es el elemento neutro de ,
es el elemento identidad de . Para b≠0 es el simétrico de
en .
b) Todo elemento de -{ } tiene inverso, es el inverso de en
-{ }
8) La función de A en dada por (x) = (ax,a) con a A es un homomorfismo de
anillos (inyectivo).
OTROS EJEMPLOS DE CUERPOS
Definición 73 (Anillo y cuerpo ordenado)
Un Anillo (A,+, .) se dice ordenado si existe una relación de orden ≤ definida en A tal que:
i) Para cualquier xA se verifica a≤ b a+x ≤ b+ x
ii) 0≤a, 0≤b 0≤ ab. Análogamente estas propiedades se cumplen para un cuerpo
ordenado.
ORDEN TOTAL
Definición 74 Se dice que una relación de orden R definida sobre un conjunto X es un orden total si, cualesquiera que sean a,b en X se verifica aRb ó bRa. En tal caso se dice que dos elementos son comparables.
COTA SUPERIOR
Definición 75 Dado un subconjunto A de un conjunto ordenado X diremos que el
elemento xX es cota superior de A si x≥ a àra cualquier aA. Y se dice que A está
Definición 76 (Supremo)
Dado un subconjunto A de un conjunto ordenado X, acotado superiormente,
diremos que s es el supremo de A, si y sòlo si:
i) s es cota superior de A
ii) Si x es una cota superior de A, entonces s≤ x. Es decir, sX es la menor de
las cotas superiores de AX
CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Si K es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado, y que verifique la siguiente propiedad (llamada axioma del supremo) “Todo subconjunto no vacío de K y acotado superiormente, admite supremo”, entonces K es isomorfo al conjunto de los números reales, isomorfo en cuanto a su estructura de cuerpo y su estructura de orden.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
En RxR definimos una suma y un producto por:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) (a,b). (c,d) = (ac-d, ad+bc)
y es fácil demostrar que (R2, +, .) es un cuerpo conmutativo. Dicho cuerpo lo llamamos el
cuerpo de los números complejos y lo denotamos por C.
Recordemos que (a,b) = a+bi donde i = (0,1)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Toda ecuación de la forma ao + a1x + a2x2+ . . .+anxn = 0
Con coeficientes ao , a1 , a2 , . . .,an en C, admite al menos
Una solución en C.
EL CUERPO DE LOS CUATERNIOS
Definición77 Consideremos el espacio vectorial R4y con él se construye la estructura
(R4,+,.)con característicasde cuerpo no conmutativo. Diremos que(R4,+,.) es un espacio
vectorial no conmutativo, + y . se definen mediante: + R4xR4R4 por
(a1, a2, a3, a4)+ (b1 ,b2 ,b3 ,b4)= (a1+ b1 ,a2+ b2 ,a3 + b3 , a4+ b4) y un producto por un
escalar:
R4xR4R4 definida por
(a1, a2, a3, a4) = (a1, a2, a3, a4)
Con la operación que se define a continuación:
(ao,a1,a2,a3)(bo,b1,b2,b3) = (co, c1, c2 ,c3 )
donde:
c1= aob1 + a1bo +a2b3 – a3b2
c2= aob2 + a2bo +a3b1 – a1b3 c3= aob3 + a3bo –a1b2 – a2b1
El libro presenta una forma práctica de efectuar este producto.
(R4,+,.) se convierte en un cuerpo llamado cuerpo de los cuaternios y se denota por H .
CUERPOS DISTINGUIDOS DE H
i) H posee un subcuerpo isomorfo a R
ii) H posee un subcuerpo isomorfo a C
iii) Sea H * = H - {0} y consideremos el conjunto que llamaremos Spin(3) y que viene
dado por:
Spin(3) = {qH : =1}, Spin (3) es un subgrupo de H
OBJETIVO 13 : Aplicar las propiedades del anillo de los polinomios en la resolución de problemas.
Pág. 283- 367
EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS
Definición 78 (Polinomio) Sea A un anillo con identidad, llamaremos polinomio en una
indeterminada, sobre A a cualquier sucesión en A donde todos los ai excepto un
número finito de ellos son nulos.
Definición 79 Llamaremos anillo de los polinomios al conjunto denotado por A[X]. Los
ai son llamados coeficientes del polinomio y el coeficiente ao es llamado término
independiente del polinomio.
Definición 80 En A[X] definición la adición y la multiplicación mediante:
a) + =
b) . =
donde ci = , es decir, ci = aobi + a1bi-1 + . . . + ai-1b1 + aibo
Como las sucesiones tienen sólo un número finito de términos no nulos, la sumatoria
considerada, en el producto, no precisa la variación de i para todo N.
Dos polinomios son iguales si sus coeficientes respectivos son iguales.
NOTACIÓN: Escribiremos P= ao + a1x + a2x2+ . . .+anxn para representar un polinomio.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Definición 81 Sea A un dominio entero y P,Q A[X], diremos que P es divisor de Q si
existe SA[X] tal que P.S = Q.
Teorema 45 Sea K un cuerpo y P,SK[X], con S≠ 0, entonces existen Q, R K[X] tales que P = QS + R, donde R =0 ó grado R < grado (S)
IDEALES EN K[X]
Teorema 46 Sea K un cuerpo conmutativo. Todo ideal de K[X] está formado por
múltiplos de un mismo polinomio P, esto es existe PK[X] tal que I = P. K[X]
POLINOMIOS IRREDUCIBLES
Definición 82 (Elementos irreducibles de un dominio entero) Sea A un dominio entero, un elemento a de A es llamado irreducible si:
i) a≠0
ii) a no es inversible
iii) Si a= b.c entonces b ó c es irreducible.
Luego, si A es un dominio entero A[X] también lo es, un polinomio PA[X] es irreducible
si:
i) P≠0
ii) P no es inversible
iii) Si P=QS con Q,SA[X], entonces Q ó S son inversibles.
NOTA: Los únicos elementos inversibles en A[X] son los polinomios constantes P=c donde c es un elemento inversible de A.
Si A es un cuerpo, entonces A[X] tiene como elementos inversibles todos los polinomios no nulos.
FUNCIÓN POLINÓMICA
Definición 83
A cada polinomio P = de A[X] está asociada una función: fp:AA definida
por
fp(b) = ao + a1b + a2b2+. . . + anbn para todo b A. Esta función es llamada función
polinómica.
NOTA: Es frecuente escribir P(b) en lugar de fp(b) y P(x) (x minúscula) para el valor de
la fundón en un elemento x cualquiera del anillo.
Teorema 47 Sea A un dominio entero, PA[X], cA, entonces existe un QA[X] tal que P = (X-c)Q + P( c).
Corolario Si PA[X] y c A (A un dominio entero), entonces:
Definición 84 (Raíz de un polinomio)
Sea A un dominio entero y PA[X], si cA es tal que P( c) =0, c se llamará raíz del
polinomio P.
Teorema 48 Sea A un dominio entero y PA[X], tal que grado(P) = n y c1,c2,. . .,cnA
son raíces de P, entonces
P = an(X- c1)(X-c2). . . (X-cn) donde an es el coeficiente de Xn en P.
Corolario Un polinomio P de grado n sobre un doinio entero A no puede tener m+as de n raíces distintas.
Corolario Sea A un dominio entero finito y Q,R A[X] tales que: Q(a) = R(a) para todo aA
Si n(A) > grado(Q) y n(A) > grado(R) entonces Q = R (recuerde que n(A) es el número de elementos de A)
DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS
Definición 85 (Fracciones irreducibles de un polinomio)
Dado un polinomio PA[X], un factor irreducible de P es un polinomio QA[X] tal que
Q divide a P, y Q es irreducible en A[X].
CRITERIO DE EISENSTEIN
NOTA: Todos los polinomios que se consideren estarán en Q[X] a menos que se indique lo contrario.
Definición 86 El polinomio P = donde los aiZ, se denomina primitivo si el
máximo divisor común de los coeficientes ai no nulos es 1
Teorema 49 Si P y Q son primitivos entonces P.Q también lo es.
Definición 87 (Contenido de un polinomio en Z[X])
El contenido del polinomio P = , donde los aiZ es el máximo divisor común de
los ai no nulos.
Teorema 50 Si P es un polinomio primitivo y es producto de dos polinomios de Q[X],
entonces es producto de dos polinomios en Z[X].