5. POTENCIA DE UN PUNTO - Potencia de un punto

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5. POTENCIA DE UN PUNTO

5.1.

DEFINICION DE POTENCIA

Llamamos potencia de un punto P respecto a una circunferencia a un valor obtenido mediante el producto de los segmentos PA y PA’, siendo A y A’ los puntos obtenidos al seccionar dicha circunferencia por una recta que pase por P.

Potencia = PA . PA’

Al ser producto de segmentos, el valor será positivo si tienen el mismo sentido y negativo cuando el sentido es contrario, es decir, cuando P es interior a la circunferencia.

5.2.

PROPIEDADES

5.2.1. La potencia es una constante

Tracemos desde el punto P dos secantes cualesquiera a la circunferencia, que determinan los puntos A, A’, By B’. Unamos A con B’ y B con A’. Quedan determinados dos triángulos PAB’ y PBA’. Estos triángulos son semejantes por tener dos ángulos iguales: El ángulo P es común a ambos y los ángulos A’ y B’ son iguales por ser ambos inscritos en la circunferencia y abarcar el mismo arco AB. Por tanto, sus lados son proporcionales. Establecemos la proporción entre los lados:

PA/PB = PB’/PA’

Quitando los denominadores, PA x PA’ = PB x PB’ = potencia, con lo que queda demostrado que dicho valor es independiente de la recta trazada, y por tanto, es constante.

5.2.2. Otras expresiones de la potencia

Si consideramos la recta que pasa por el centro de la circunferencia, y llamando d a la distancia entre P y el centro de la circunferencia, r el radio de la misma, by A y A’ los puntos de corte de la recta con la circunferencia,

PA = d-r y PA’ = d+r

Por tanto, Pot = PA x PA’ = (d-r) . (d+r) = d2-r2

Pot = d

2

-r

2

(2)

Si trazamos la tangente desde P a la circunferencia, siendo T el punto de tangencia, el triángulo POT es rectángulo en T. Llamando t al segmento tangente PT, por Pitágoras,

d2 = t2+r2 ; t2 = d2-r2 = Potencia

Potencia = t

2

Al segmento tangente t se le llama “segmento representativo” de la potencia, y sólo existe cuando el punto P es exterior a la circunferencia.

5.3.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

5.3.1. Lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de

cuadrado de distancias a dos puntos fijos es constante

Consideramos los dos puntos fijos C1 yC2 de coordenadas

(-c,0) y (c,0). Sea P (x,y) un punto de dicho lugar geométrico. Por Pitágoras, PC12=(x+c)2+y2; PC22

=(x-c)2+y2;

Por tanto PC12 - PC22 = x2 + 2cx + c2 + y2 – (x2 – 2cx +

c2 + y2) = k

4cx = k ; x = k/4c

Es decir, el lugar geométrico será una recta perpendicular a la recta determinada por los dos puntos C1 y C2

5.3.2. Eje radical

Definimos eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los

puntos que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias

Comprobamos que dicho lugar geométrico es equivalente al lugar geométrico antes citado: Sean d1 y d2 las distancias de un punto P cualquiera de dicho eje radical a los centros O1 y O2 de las dos circunferencias, y r1 y r2 los radios de ellas. Como las potencias desde P a las dos circunferencias es la misma, d12 – r12 = d22 – r22;

d12 – d22 = r12 – r22

al ser los radios r1 y r2 magnitudes fijas, r12 – r22 = cte, por lo que el eje radical será una recta perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

Consideración: El segmento tangente a las dos circunferencias desde un punto del eje radical es de igual tamaño porque la potencia es igual al segmento tangente al cuadrado.

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5.4.

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS

Definimos centro radical de tres circunferencias como el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a las tres circunferencias

Los tres ejes radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos se cortarán en el centro radical.

En efecto, si cualquier punto del eje radical de 1 y 2 tiene igual potencia respecto a las circunferencias 1 y 2, y cualquier punto del eje radical de las circunferencias 2 y 3 tiene igual potencia respecto a ellas, el punto de corte de ambos ejes tendrá igual potencia respecto a las tres circunferencias, por lo que el tercer eje radical (de 1 y 3) ha de pasar por dicho punto, que será el centro radical.

El centro radical lo obtendremos, por tanto, con el corte de dos de los tres ejes radicales de las tres circunferencias tomadas de dos en dos.

5.5.

FORMA DE DETERMINAR EL EJE RADICAL DE

DOS CIRCUNFERENCIAS

Circunferencias secantes:

Los puntos de corte de las dos circunferencias tienen potencia 0 respecto a las dos, luego pertenecen al eje radical. Bastará por tanto con unir estos dos puntos de corte:

Circunferencias tangentes:

El punto de tangencia tiene potencia 0 respecto a las dos circunferencias, luego pertenece al eje radical de ambas. Como el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias, será la tangente común.

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5.6.

CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES

Decimos que dos circunferencias secantes don ortogonales si las tangentes en sus puntos de corte forman ángulo recto.

La consecuencia inmediata es que el centro de cada una de ellas ha de estar situado en la tangente a la otra en el punto de corte.

Esto implica que la potencia del centro de cada una de ellas respecto a la otra es su propio radio al cuadrado

.

5.7.

HAZ DE CIRCUNFERENCIAS

Se llama haz de circunferencias al conjunto de circunferencias que comparten eje radical.

Cada punto del eje radical tendrá igual potencia respecto a cualquiera de las circunferencias del haz; por tanto, será centro de una circunferencia ortogonal a todas las del haz, que tendrá de radio el segmento representativo de dicha potencia. Todas las circunferencias del haz tendrán sus centros en una misma perpendicular al eje.

Existen tres tipos de haces de circunferencias. En el primero, el eje radical es secante a todas las circunferencias del haz en dos puntos A y B llamados “Puntos Fundamentales” del haz.

A

B

Puntos fundamentales

En el segundo tipo, el eje radical es tangente a todas las circunferencias del haz en un punto llamado Centro del haz.

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5.8.

HACES ORTOGONALES

Se llaman haces ortogonales a dos haces de circunferencias tales que cada circunferencia de uno de los haces es ortogonal a todas las circunferencias del otro haz. El eje radical de uno los haces será la línea de centros del otro haz, y viceversa.

Si uno del los haces tiene Puntos Fundamentales, éstos serán los Puntos Límites del haz ortogonal y viceversa.

Si uno de los haces tiene Centro, dicho unto será también Centro del otro haz

5.9.

APLICACIONES DE LA POTENCIA EN CASOS DE

TANGENCIA

Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego conocido por sus estudios sobre cónicas y sobre casos de tangencia en su obra Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. En esta obra resuelve los llamados “casos de tangencia de Apolonio”, cuyo objetivo es hallar las circunferencias que sean tangentes (o pasen por) a 3 elementos: Punto, Recta o Circunferencia. Cada caso es llamado por las iniciales de los tres elementos. Así, por ejemplo, el caso en el que se quiere hallar una circunferencia tangente a dos rectas dadas y que pase por un punto dado, será llamado PRR .

Existen 10 posibles casos, las combinaciones de P, R y C tomadas de 3 en 3. Exceptuando los dos casos más elementales, se pueden resolver todos por potencia, pero dejaremos los 4 más complicados para ser explicados por Inversión, transformación geométrica que se verá en el siguiente tema.

Los casos son: PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC y CCC.

PPP solución por mediatrices

RRR solución por bisectrices

PPR solución por Potencia

PPC solución por Potencia o por Inversión

PRR solución por Potencia o por Homotecia

CRR solución por Potencia o por Homotecia

PRC solución por Inversión

PCC solución por Inversión

RCC solución por Inversión

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PPR

Fundamento teórico:

De la vista del problema resuelto, deducimos lo siguiente:

El eje radical de las dos soluciones es la recta PQ. Por tanto, la potencia desde M a las dos soluciones es la misma, lo que implica que MT1=MT2. El valor de la potencia sería MP x MQ, así

que vemos que cualquier otra circunferencia que pase por estos dos puntos tendría igual potencia, y en consecuencia, igual segmento tangente. Así que trazando una circunferencia auxiliar que pase por P y Q, obtenemos su tangente desde M y podemos determinar T1 y T2,

con lo que el problema queda resuelto, por conocerse tres puntos de cada solución.

Q

r

T

T

T

P

1 1

2 2

O

O

M

P

Q

r Datos:

Trazado:

1. Tomamos una circunferencia auxiliar que pase por P y Q (no es obligatoriamente la que tiene PQ como diámetro)

2. Prolongamos la recta PQ hasta que corte a r en el punto M, y desde allí trazamos la tangente a la circunferencia auxiliar (con arco capaz de 90º), obteniendo su punto de tangencia T.

3. Giramos el segmento MT desde M obteniendo T1 y T2.

4. Tomamos por T1 perpendicular a r, y donde corte a la mediatriz de PQ tenemos el

centro O1. También podíamos haber tomado la mediatriz de PT1 o de QT1. Trazamos la

circunferencia con radio O1T1 = O1P = O1Q

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PPC

Fundamento teórico:

En el trazado resuelto, observamos que los ejes radicales de las dos soluciones con la circunferencia dato son las tangentes comunes, y el eje radical de las dos soluciones es la recta PQ, concurriendo en el centro radical M. La potencia tiene el valor MP x MQ. Cualquier otra circunferencia que pase por P y Q tendrá igual potencia desde M, por lo que su eje radical con la circunferencia dato pasará por M. Conociendo M, podemos hallar T1 y T2, y por tanto, las

soluciones .

P

Q

O

O

O

T

T

1

1

2

2 C

circ. auxiliar

arco capaz 90

M

P

Q c

O Datos:

Trazado:

1. Trazamos la mediatriz de PQ, y haciendo centro en un punto de ella, tomamos una circunferencia auxiliar que pase por P y Q , y que sea secante con c.

2. Hallamos el centro radical M en el corte la recta PQ y del eje radical de la circunferencia auxiliar y la circunferencia dato.

3. Desde M, hallamos los puntos de tangencia T1 y T2 con c usando el arco capaz de 90º

entre M y O

4. Para hallar O1 prolongamos la recta OT1 hasta que corte a la mediatriz de PQ, o bien

usamos la mediatriz de PT1 o QT1. El radio de la solución será O1T1 = O1P = O1Q

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PPR Caso Particular

Cuando los puntos están a igual distancia de la recta, solo existe una solución, cuyo punto de tangencia es el corte de la mediatriz de P Q con r. El centro se halla cortando mediatrices.

P Q

r T

O Datos:

P Q

r

PPC Caso Particular

Cuando los puntos están a igual distancia de O (centro de c), y por tanto, O pertenece a su mediatriz, los puntos de tangencia son los cortes de la mediatriz con c, y los centros se hallan con mediatrices entre PQT1 y PQT2.

P

Q

c O

O1

O2

T

T

1

2

Datos: P

Q

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PRR por potencia

Fundamento teórico

La bisectriz de las dos rectas, que ha de contener a los centros de las dos soluciones, es eje de simetría de la figura. Por tanto, habrá de existir un segundo punto P’, simétrico de P, que pertenecerá a las dos soluciones. Entonces, podemos resolver el problema utilizando los dos puntos P y P’ y una cualquiera de las dos rectas, por el caso PPR de tangencias.

P

r

s

Tr

Tr Ts

Ts

2

2

1 1

Oh

r s

P Datos:

T

M O

O

2

1 P'

Trazado:

1. Tomamos la bisectriz de las dos rectas

2. Por P tomamos una perpendicular a la bisectriz, y tomamos P’ a igual distancia de la bisectriz que P

A partir de este punto el trazado es repetición del PPR 3. Trazamos la circunferencia auxiliar que pase por P y P’

4. Desde la intersección M de PP’ y r trazamos con arco capaz de 90º la tangente a la circunferencia auxiliar, quedando determinado T, su punto de tangencia.

5. Girando MT desde M, obtenemos Tr1 y Tr2

6. Tomamos por Tr1 y Tr2 perpendiculares a r, obteniendo O1 y O2 en el corte con la

bisectriz.

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PRR por homotecia

Fundamento teórico

Dado que dos circunferencias siempre son homotéticas, y su centro de homotecia es punto de paso de las dos tangentes comunes, podemos trazar una circunferencia auxiliar tangente a las dos rectas, que será homotética de las dos soluciones. El homólogo del punto P será uno de los dos puntos de corte de la recta POh con dicha circunferencia auxiliar, y sabiendo que en una

homotecia dos rectas homólogas son paralelas, hallamos el centro de una circunferencia solución. Repitiendo con el otro punto de corte, se halla la segunda solución.

P

r

s

O

O

O'

P'

P'

1

1

2 2

Tr

Tr Ts

Ts

2

2

1 1

Oh

r s

P Datos:

Trazado:

1.- Se halla la bisectriz de las dos rectas

2.- Por un punto (0’) de ella, se toma una circunferencia tangente a las dos rectas, tomando previamente la perpendicular a una de ellas para tomar el radio con toda exactitud

3.- Se traza la recta P-Oh, que corta a la circunferencia auxiliar en P’1 y P’2.

4.- Por P se trazan paralelas a O’P’1 y O’P’2, obteniéndose en el corte con la bisectriz los centros

de las soluciones O1 y O2

5.- Para determinar con toda exactitud los radios de las soluciones, y los puntos de tangencia con r y s, debemos trazar por O1 y O2 perpendiculares a las dos rectas, obteniendo los puntos

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PRR Caso Particular 1

Si P pertenece a la bisectriz de las dos rectas, las dos soluciones serán tangentes entre sí, y la tangente común t es la perpendicular a la bisectriz por P. Por tanto, los centros los hallaremos cortando la bisectriz de r y s con las bisectrices de t con una de las dos rectas.

P

r

s

t

O

O

Tr

Tr

Ts

Ts

1

1 1

2

2

2 Datos:

r s

P

PRR Caso Particular 2

Si el punto P pertenece a una de las dos rectas, será punto de tangencia, por lo que los centros de las soluciones los hallamos cortando las bisectrices de las dos rectas con la perpendicular por P a la recta a la que pertenece.

r

s

P

O

O

T

T

1

1

2

2 Datos:

r s

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RRC

circunferencia exterior

Fundamento teórico

Las dos soluciones exteriores son concéntricas con las circunferencias que pasan por el centro de la circunferencia dato y son tangentes a dos rectas r’ y s’, paralelas a r y s respectivamente hacia el exterior del ángulo que forman r y s, a distancia igual al radio de la circunferencia dato. Por tanto se pueden hallar sus centros como las soluciones al caso PRR para dichas paralelas r’ y s’ y el centro P de la circunferencia dato.

O1

O2

P

r

r' s

s'

Datos:

Trazado

1. Se toman dos paralelas r’ y s’ a r y s a una distancia igual al radio de la circunferencia dato.

2. Se resuelve el caso PRR para r’, s’ y P(centro de la circunferencia dato), hallándose O1 y

O2.

3. Los puntos de tangencia de las soluciones con r y s se hallan uniendo O1 y O2 con los

puntos de tangencia con r’ y s’. Los puntos de tangencia con c se hallan uniendo O1 y

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RRC

circunferencia interior

Fundamento teórico

Las dos soluciones que dejan a c en su interior son concéntricas con las circunferencias que pasan por el centro de la circunferencia dato y son tangentes a dos rectas r’ y s’, paralelas a r y s respectivamente a distancia igual al radio de la circunferencia dato colocadas hacia el interior del ángulo que forman r y s.

Por tanto se pueden hallar sus centros como las soluciones al caso PRR para dichas paralelas r’ y s’ y el centro P de la circunferencia dato.

P

r

s

s'

r'

O1

O2

c

Datos:

r

s

c

Trazado

1. Se toman dos paralelas r’ y s’ a r y s a una distancia igual al radio de la circunferencia dato hacia el interior del ángulo rs.

2. Se resuelve el caso PRR para r’, s’ y P(centro de la circunferencia dato), hallándose O1 y

O2.

3. Los puntos de tangencia de las soluciones con r y s se hallan uniendo O1 y O2 con los

puntos de tangencia con r’ y s’. Los puntos de tangencia con c se hallan uniendo O1 y

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