U N T E O R E M A S O B R E I N T E G R A L E S S U M A B L E S C
R É S U MÉ
U n t h é o r é m e s u r le s i n t é g r a l e s s o m m a b le s c$. — Si u n e in t égr a le en t r e des lim it es in fin ies d iver gen t e, est som m ab le p a r la m ét h od e d e Césa r o d ’or d r e o ; et si
est con ver gen t e p ou r tout e va leu r de dan s la qu elle on adopt e :
com m e d éfin it ion gén ér alisée de
II
N T EOREMA SOBRE INT EGRALES SUMABLES
Sien d o
su m ab le Cs con su m a S, lo qu e qu ier e d ecir
e
con ver gen t e para d em ost r ar em os que
E l señ or Madh ava ( 3) dem u est r a qu e :
« Si a (x ) y v (x) son fu n cion es in t egr ables, y
( *) N u e s t r o t e o r e m a e n el ca s o o = i p u e d e ve r s e e n : On t h e lim it s o f cer t a in s er ies a n d in t e
g r a ls , b y T . J . I ’a B r o n w i c h , in M a t h , a n n a len, 6 5, S 6 , p á g i n a 3 6 5, 19 0 8 .
( - ) H a r d y e s t u d ia Ia e xp r e s ió n d x yc o m o d e fin ició n g e n e r a liza d a d e
e n : R es ea r ch es in t h e t h eo r y o f d iv er g en t se r ie s a n d d iv er g en t in t e g r a ls, in Q u a r t e r ly J o u r n a l o f
M a t h em a t ics, 35, p á g in a s 22 y s ig u ie n t e s , i q o3.
( 3) M u lt ip lica t io n o f in fin it e in t eg r a ls, b y K . B. M a d h a v a 1 in J o u r n a l o f t h e In d ia n M . S . , M a d r a s ,
1 2, p á gi n a 3. 1 9 2 0 .
son con vergen tes, tenemos entonces que
es con ver gen te, y su valor es
tendremos :
de donde
Ten em os por hipótesis
Delin irem os una fun ción
Es entonces, por la (3)
y además, de la (4) se deduce
Supon ien do y design an do por M al m áxim o de en el
intervalo (o, 6), se tendrá
S e r ie m a t em á t ico -física : D u r a n o n a y \ e d i a , I n t eg r a les sa m a b les C *
o
o puesto qu e
L)e la (4) r esulta :
y de aquí
Por m ed io de la ( n j se p u ed e t r an sfor m ar la (2), obt en ien d o
Y en t on ces
En virtud de la (5) es posible elegir I) de modo tal que
y en con secuen cia se obtiene
Por m edio de la (9) se obtiene
Efectuan do en el segun do m iem br o el cam bio de variables obtien e
se
Co n la (16 ) y la (18 ) se puede d edu cir de la ( i5)
El pr im er tér m in o del segun do m iem br o tiende a cero para a, tendiendo
a cero es posible, pues, elegir <7 de m anera tal que aquél se conserve
m en or que
Por la m ism a (19 ) se deduce entonces
S e r ie m a t em á t ico -física : D u r a ñ o ñ a y Y e d i a , In t eg r a les su m a b les C s
o, lo que es lo m ism o,
que era lo qu e faltaba d em ost r a r .
A g u s t ín D u r a ñ o n a y Ve d ia .