PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2013 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2013

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

1.- Debe escogerse una sola de las opciones.

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permi-tido el uso de dispositivos con acceso a internet.

OPCIÓN 1

1º) Considera las matrices

          − − − = c a c b b a M 2 5 2 2 3 1 2 y           − = b a c N 4 3 .

a ) Determina los valores de α, b y c para que se verifique la igualdad M =N           3 2 1 · .

b ) Estudia el carácter del sistema de ecuaciones lineales N z y x M =          

· cuando α =0,

1

− =

b y c=2.

--- a ) ⇒           − =           + − − − + +           − =                     − − − ⇒ =           b a c c a c b b a b a c c a c b b a N M 4 3 3 4 5 6 4 3 3 2 2 ; ; 4 3 3 2 1 · 2 5 2 2 3 1 2 3 2 1 ·      = + + = + + − = − +      − = + − = − − = + + ⇒ 4 3 4 5 3 6 4 3 3 2 2 4 3 4 5 6 4 3 3 3 2 2 c b a c b a c b a b c a a c b c b a

. La matriz de coeficientes es

          − = 3 4 5 6 4 1 3 2 2

A , cuyo

rango es el siguiente:

(

₋ ₊ ₊ ₋ ₋

)

₌ _≠ ⇒

= − =

−

= 6· 4 2 10 10 8 1 6·13 0

1 2 5 2 2 1 1 1 2 · 3 · 2 3 4 5 6 4 1 3 2 2

(2)

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado. Resolviendo por Cramer:

1 13 13 13 3 12 8 8 6 6 13 1 2 4 2 2 3 1 1 3 13 · 6 1 2 4 2 2 3 1 1 3 · 3 · 2 13 · 6 3 4 4 6 4 3 3 2 3 = = − + + + − − = − − = − − = − − = a . 1 26 26 13 · 2 3 16 15 30 4 6 13 · 6 1 4 5 2 3 1 1 3 2 · 3 13 · 6 3 4 5 6 3 1 3 3 2 − = − = + − + − − = − − = − − = b . 1 39 39 13 · 3 4 12 30 15 6 16 13 · 6 4 2 5 3 2 1 3 1 2 · 2 13 · 6 4 4 5 3 4 1 3 2 2 = = − − + + − = − = − = c . b )

Para α =0, b=−1 y c=2 es

          − − − = 2 2 0 4 2 3 1 1 0

M y

          = 4 0 6 N . ; ; 4 2 2 0 4 2 3 6 4 0 6 2 2 4 2 3 ; ; 4 0 6 · 2 2 0 4 2 3 1 1 0 ·      = + − = − + = + − ⇒           =           + − − + + −           =                     − − − ⇒ =           z y z y x z y z y z y x z y z y x N z y x M      = + − = − + = + − 2 0 4 2 3 6 z y z y x z y

. De las ecuaciones primera y tercera se deduce que:

le Incompatib es N z y x M sistema el c y b a Para =           = − =

=0, 1 2 ·

(3)

2º) Considera la función f :R→R definida por

( )

4 3

1 ₂

− − =

x x x

f .

a ) Determina el dominio de definición de la función f. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de f.

b ) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

c ) Halla los puntos de inflexión de f. Esboza la gráfica de la función f.

--- a )

( )

4 4 3 4

3 4 4

3

1 ₂

2

2 2

2 −

− − = −

− − = − − =

x x x x

x x

x x x

f .

El dominio de una función racional es R, excepto los valores reales de x que anu-lan el denominador.

(

)(

)

( )

{

2, 2

}

2 2 0

4

2 1

2 _⇒ _⇒ − −

   

− = =

⇒

= − +

⇒

=

− D f R

x x x

x

x .

Cortes con el eje X:

( )

= − − = = ± + =

− − −

⇒

= =

2 16 9 3 ; ; 0 4 3 ; ; 0 4

4 3

0 ₂ 2

2

x x

x x x

f y

(

1, 0

)

;; 4

( )

4, 0 1

2 5 3 2

25 3

2

1 A x B

x =− → − = →

⇒

± = ± =

Cortes con el eje Y:

( )

1

( )

0, 1 4

4 0

0 f C

x = ⇒

− − =

⇒

= .

b )

Una función es creciente o decreciente en un punto cuando su derivada es positi-va o negatipositi-va, respectipositi-vamente, en ese punto.

( ) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

₂

)

2

2 2

2 3 2

3

2 2

4 12 3 4

8 6 2 12 3 8 2 4

2 · 4 3 4

· 3 2 '

− + = −

+ + − + − − = −

− − − − −

=

x x

x

x x x x

x x

x

x x

f .

( )

x x D

( )

f f' >0 ∀ ∈ .

La función f(x) es monótona creciente en su dominio.

c )

(4)

( )

(

) (

₍

₎

) (

)

(

₍

)

₎

(

)

= −

+ −

− =

−

− +

− −

= ₃

2

2 2

4 2

2 2

4

12 3 · 4 4 ·

6 4

2 · 4 ·

2 · 12 3 4 ·

6 ''

x

x x x

x

x x

x x f

(

)

(

)

(

)

f

( )

x

x x x

x

x x

x

x x

'' 4

12 6

4 72 6

4

48 12

24 6

3 2

2

3 2

3

3 2

3 3

= −

+ −

= −

− − = −

− − −

= .

( )

₍

(

₎

)

0 ;; 6

(

12

)

0 ;; 0

4 12 6

0

'' ₃ 2

2 2

= =

+ −

= −

+ −

⇒

= x x x

x x x x

f .

( )

(

) (

)

[

(

)

]

(

)

(

−

)

=

− +

− − − −

−

= ₆

2

2 2 2

3 2 2

4

2 · 4 ·

3 · 12 ·

6 4

· 72 18

'' '

x

x x

x x x

x x

f

(

) (

)

(

)

(

)

[

(

)

(

)

]

(

₂

)

4

)

2 4

4 2

2 4

4 2

2 2 2

2

4

40 2

· 18 4

12 ·

2 16 ·

18 4

12 ·

36 4 ·

4 ·

18

− − − −

= −

+ −

− −

= −

+ +

− +

− =

x x x

x

x x

x

x x x

x

.

( )

_{( )}

(

)

≠ ⇒

− − −

= 0

4 40 · 18 0

''

' ₄

f Punto de inflexión para x = 0.

f(x)

X x = -2

Y

y = 1 1

O

-2

2

x = 2

A B

(5)

( )

1 . .

( )

0, 1 4

4

0 P I C

f = ⇒ ⇒

− −

= .

Para facilitar la representación gráfica de la función determinamos las asíntotas.

Las asíntotas horizontales son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a más infinito o a menos infinito:

( )

1

1 4 3

2 2

= −

− − ±∞ → = ±∞

→ x

x x x

lím x

f x

lím

.

La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función.

Las asíntotas verticales son los valores reales que anulan el denominador de la función: 2−4=0

x .

Las recta x = -2 y x = 2 son asíntotas verticales de la función.

Para que una función tenga asíntotas oblicuas es necesario que el numerador de la función tenga un grado mayor en una unidad al grado del denominador, por lo cual, en el caso que nos ocupa, no existen asíntotas oblicuas.

La representación gráfica, aproximada, de la función es la indicada en el gráfico.

(6)

3º) a ) Dados los vectores u =

(

a, b, 1

)

, v =

(

−3, 4,1

)

y w =

(

1, 2, c

)

, determina el valor de los parámetros α, b, c∈R de manera que los vectores v y w sean perpendiculares y además u× w = v , donde u × w denota el producto vectorial.

b ) Sea r la recta que pasa por el punto P(1, -1, 1) y tiene como vector director

(

1, 2, −2

)

=

r

v . ¿Existe algún valor de k para el cual la recta r está contenida en el plano

k z y x+ + =

≡2 3 4

π ? En caso afirmativo, calcula el valor de k.

--- a )

Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero.

(

3, 4, 1

) (

· 1, 2,

)

0 ;; 3 8 0 ;; 5 0 5

· w = − c = − + +c= +c= ⇒ c=−

v .

(

3, 4,1

)

;; 5 2 2 5

(

3, 4,1

)

;; 5

2 1

1 = − − + + − − + = −

− ⇒

=

× a b bi j ak bk i aj

k j i v w u

(

) (

)

5

3 5 1

; ; 3 5

; ; 1 5

1 2

4 5 1

3 2 5 1

, 4 , 3 2

5 1 2

5 → = =

= =

→

    

    

= −

= +

− = − − ⇒ −

= − + + + −

− a a

b b

b a

a b k

b a j a i

b .

b )

La expresión por unas ecuaciones paramétricas de r es     

− =

+ − =

+ = ≡

λ λ λ

2 1

2 1 1

z y x

r .

Un punto genérico de r es Q

(

1+λ, −1+2λ, 1−2λ

)

.

Si el plano π contiene a la recta r contiene a todos sus puntos, por lo cual el punto Q tiene que satisfacer su ecuación:

(

)

2·

(

1

)

3·

(

1 2

)

4·

(

1 2

)

;;

2 1 , 2 1 , 1

4 3 2

k Q

k z y x

= − + + − + +

⇒   

− +

= + + ≡

λ λ

π

3 ; ; 8 4 6 3 2

2+ λ− + λ+ − λ=k k = .

La recta r está contenida en el plano π para k = 3.

(7)

OPCIÓN 2

1º) Las edades de Juan, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: la su-ma de las edades de Juan, su padre y el doble de la del abuelo es 182 años; el doble de la edad de Juan más la del abuelo es 100 años, y la de su padre es k veces la de Juan.

a ) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar las edades de Juan, su padre y su abuelo.

b ) Estudia para qué valores del parámetro k el sistema tiene solución. ¿Es posible que la edad del padre de Juan sea el triple que la de Juan?

c ) Calcula, si es posible, las edades de cada uno para k = 2 y k = 4.

--- a )

Sean x, y, z las edades de Juan, su padre y su abuelo, respectivamente.

Del enunciado del problema se deduce el siguiente sistema de ecuaciones lineales

    

= = +

= + +

kx y

z x

z y x

100 2

182 2

, que es equivalente al sistema:

    

= −

= +

= + +

0 100 2

182 2

y kx

z x

z y x

.

b )

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

  

 

  

 

− = 

 

 

  

 

− =

0 100 182

0 1

1 0 2

2 1 1 ' 0

1 1 0 2

2 1 1

k M y k

M .

El rango de la matriz de coeficientes en función de k es el siguiente:

3 0

3 ; ; 0 1 4 0 1

1 0 2

2 1 1

= ⇒ = + − = + + − = −

= k k k

k

M .

ado er

Compatible incóg

n M

Rango M

Rango k

Para ≠3 ⇒ = '=3= º . ⇒ det min

Para k = 3 la matriz de coeficientes es

  

 

  

 

− =

0 100 182

0 1 3

1 0 2

2 1 1 '

M , cuyo rango es el

(8)

{

}

200 182 18 0 ' 3 0

0 1

100 1 0

182 2 1 ,

,

' ₂ ₃ ₄ =− + =− ≠ ⇒ =

− ⇒

⇒ C C C Rango M

M

Rango .

El sistema tiene solución únicamente para k ≠ 3.

Como es y = kx (la edad del padre de Juan igual a k por la edad de Juan):

No es posible que el padre tenga el triple de la edad de Juan.

c )

Resolviendo el sistema

    

= −

= +

= + +

0 100 2

182 2

y kx

z x

z y x

para k = 2:

(

100 2

)

182 ;; 3 200 4 182 ;; 2

2 2

2 100 0

2

100 2

182 2

= − + =

− +

+ ⇒ =

→

− = →     

= −

= +

= + +

x x

y

x z

y x

z x

z y x

64 36 100 ;

; 36 ;

; 18 ;

; 200

182− = = = − =

=

−x x y z .

Para k = 2 Juan tiene 18 años, su padre 36 años y su abuelo 64 años.

Para k = 4 es

    

= −

= +

= + +

0 4

100 2

182 2

y x

z x

z y x

. Resolviendo:

(

100 2

)

182 ;; 5 200 4 182 ;; 2

4 4

2 100 0

4

100 2

182 2

= − + =

− +

+ ⇒ =

→

− = →     

= −

= +

= + +

x x

y

x z

y x

z x

z y x

18 ;

; 200

182− =−

= x

x .

Para k = 4 el ejercicio carece de sentido lógico.

(9)

2º) Considera la función

( )



   

≤ +

−

> =

0 2

0

2 2

x si a x x

x si x

x sen x

f .

a ) Calcula el valor de α para que la función f sea continua en todo R.

b ) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abs-cisa x = -1.

c ) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f, el eje de abscisas (y = 0) y las rectas verticales x = -1 y x = 0.

--- a )

La función f es continua en todo R, excepto para x = 0, cuya continuidad depende del valor de α.

Para que f(x) sea continua en x = 0 tiene que cumplirse que los límites por la iz-quierda y por la derecha sean iguales, e igual al valor de la función en ese punto:

( )

(

)

( )

0

0 2

0 0

(*) 0 0

0

2 2

= ⇒

  

  

 

= = + − →

= →

− +

a

f a a x x x

lím x

f x

lím

x x sen x

lím x

f x

lím

.

( )

{

}

( )

0

1 cos · 2 0 ´

. det 0

0 0

0

2 2

= →

⇒ ⇒

⇒ = →

= → +

x x

x lím Hopital

L In

x x sen x

lím x

f x

lím

(*)

La función f(x) es continua en R para α = 0.

b )

Para x = -1 y α = 0 la función es f

( )

x =x2−2x_.

La pendiente de la tangente de una función en un punto es el valor de su derivada en ese punto:

( )

2 2 '

( )

1 2·

( )

1 2 2 2 4

' x = x− ⇒ m= f − = − − =− − =−

f .

El punto de tangencia es el siguiente:

( ) ( )

−1 = −12−2·

( )

−1 =1+2=3 ⇒ P

(

−1, 3

)

f .

(10)

(

1

)

4 4 4

3=− + =− −

− x x

y .

La recta tangente a la función f(x) para x = -1 es y = -4x - 1.

c )

En el intervalo [-1, 0] la función es f

( )

x =x2−2x_{y sus ordenadas en este intervalo}

son todas positivas por lo cual el área pedida es la siguiente:

( )

(

)

( ) ( )

=

  

 

− − − − =

   

 

− =

   

 

− = −

= =

− −

−

∫

2 3

0

1 2 3 0

1 2 0

1

1 3

1 0 3

2 2 3 ·

2

·dx x x dx x x x x

x f S

S u =

= + =

   

 

− − −

= 2

3 4 1 3 1 1 3

1

.

(11)

3º) Considera las rectas

  

= +

= − ≡

2 2

1

y x

mz x

r y

    

− =

+ =

− = ≡

s z

s y

s x

r 1 2

1

2

(

s∈R

)

.

a ) Determina el valor del parámetro m para que las rectas r1 y r2 sean paralelas.

b ) Calcula la distancia de punto P(1, 1, 1) a la recta r2.

c ) Halla la ecuación general del plano π que es perpendicular a la recta r2 y pasa por el punto Q(1, 0, -3).

--- a )

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son linealmente depen-dientes.

El vector director de r1 es cualquiera que sea linealmente dependiente del produc-to vecproduc-torial de los vecproduc-tores normales del los planos que la determinan, que son

(

m

)

n₁ = 1, 0, − y n₂ =

(

2,1, 0

)

.

(

, 2 ,1

)

2 2

0 1 2

0

1 1

2 1

1 m mj k mi mi mj k v m m

k j i n n

v = ∧ = − =− + + = − + ⇒ = − .

El vector director de r2 es v2 =

(

−1, 2, −1

)

.

Para que v₁ =

(

m, −2m, 1

)

y v₂ =

(

−1, 2, −1

)

sean linealmente dependientes sus componentes tienen que ser proporcionales:

1 1

1 2 2

1 =− ⇒ =

− =

− m

m m

.

Las rectas r1 y r2 son paralelas para m = 1.

b )

La distancia de P(1, 1, 1) a la recta     

− =

+ =

− = ≡

s z

s y

s x

r 1 2

1

2 viene dada por la siguiente

fór-mula:

(

)

2 2 2

,

v v PA r

P

d = ∧ , siendo A un punto de la recta r2 y v2 el vector director de la

recta r2.

(12)

(

)

( )

6

30 6

5 6

1 4 6

1 2 6

2 1 4 1

2 1 1

2 1

1 2 1

1 0 0

,

2 2

2

2 = =

+ = + = + = + + − = − + + −

− −

−

= i j

j i k

j i

r P

d .

(

P r

)

unidades d

6 30

, ₂ = .

c )

Un vector normal del plano π es cualquiera que sea linealmente dependiente del vector director de la recta r2, que es v₂ =

(

−1, 2, −1

)

; por ejemplo: n =

(

1, −2,1

)

.

La expresión general del plano π es de la forma π ≡x−2y+z+D=0.

Como el plano π contiene al punto Q(1, 0, -3), éste tiene que satisfacer su ecua-ción:

(

)

1 2·0

( )

3 0 ;;1 3 0 2

3 , 0 , 1

0 2

=

⇒

= + − =

+ − + −

⇒   

−

= + + − ≡

D D

D Q

D z y x

π

.

0 2

2 + + =

− ≡x y z

π