Teorema 2: Sea λ un valor propio asociado a una transformación lineal T:V → V y siS es

(1)

DIAGONALIZACIÓN.

Definición: Consideremos el espacio vectorial (V, + , R,

.

) y una transformación lineal (operador lineal) T:V

→

V . El escalar es un λ valor propiode T, si y solo si existe un x

∈

V, x

≠

0

, tal que T(x) =

λ

x.

Nota: todo vector x que cumple la relación anterior se denomina "vector propio de T asociado al valor propio de

λ

"

Teorema 1: Sean V un espacio vectorial de dimensión n, T:V

→

V un endomorfismo y B= una base para V, entonces la matriz asociada a T con respecto a la matriz B es diagonal si y solo si los v_i son vectores propios de T. Además los elementos de la diagonal son los valores propios de T.

{

v

₁

,

v

₂

,...,

v

_n

}

Teorema 2: Sea

λ

un valor propio asociado a una transformación lineal T:V

→

V y si

S

es el conjunto de todos los vectores propios de T asociado a

λ

, entonces Sλ = S es un subespacio de V (llamado subespacio característico).

{ }

0 ∪

Vectores y valores propios de una matriz.

El escalar

λ

es un valor propio de la matriz A

∈

K

nxn, si y sólo si existe un vector no nulo x tal que Ax =

λ

x.

Un vector x 0 que satisface la igualdad anterior es un vector propio de A, asociado al valor propio

≠

λ

.

Nota: Si la matriz A de orden nxn tiene n valores propios diferentes, entonces existe la matriz P(invertible), tal que P−1AP = D, D es diagonal.

Definiciones:

Si A ∈Rnxn, entonces det(A -

λ

I) es un polinomio de grado n que llamaremos polinomio característico, y la ecuación det(A -

λ

I) = 0 se llama ecuación característica.

Teorema 3: Sea

λ

un valor propio de la matriz A de orden nxn y sea E = _λ

{

x

∈

R

n

:

Ax

=

λ

x

}

. Entonces E es un subespacio de R . _λ n

Definición: Sea

λ

un valor propio de A. El subespacio Eλ se llama espacio propio de A

correspondiente al valor propio

λ

.

Multiplicidad algebraica de un valor propio:

Sea A una matriz de orden n y p(λ) el polinomio característico de A si

ρ

(

λ

) = a m

m

α α

α

_λ

λ

)

(

)

...(

)

(

1 2

2

1

−

(2)

Los números

α

_i son llamados multiplicidades algebraicas de los respectivos valores propios λi Es decir

α

₁ es multiplicidad algebraica de

λ

₁,

α

₂es multiplicidad algebraica de

λ

₂ y así sucesivamente.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios:

i) Se encuentra

ρ

(

λ

) = det(A -

λ

I)

ii) Se encuentran las raíces

λ

₁

,

λ

₂

,...,

λ

_m de

ρ

(

λ

) = 0

iii) Se resuelve el sistema homogéneo (A -

λ

_iI)v = 0 correspondiente a cada valor propio

i

λ

.

Teorema 4: Los valores propios de una matriz triangular son los componentes diagonales de la matriz.

Multiplicidad geométrica de un valor propio:

Si

λ

es un valor propio de A, entonces la multiplicidad geométrica de

λ

es la dimensión de S

λ

( espacio característico asociado a

λ

).

Nota: E = _λ

{

x

/

Ax

=

λ

x

}

es decir E = _λ

{

x

∈

R

n

:

(

A

−

λ

I

)

x

=

0

}

Teorema 5: Sea

λ

un valor propio de A. Entonces

Multiplicidad geométrica de

λ

≤

multiplicidad algebraica de

λ

.

Teorema 6: Sea A una matriz de orden n; entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos(ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

Teorema resumen:

Sea A una matriz de orden n. Entonces las siguientes 12 afirmaciones son equivalentes: i. A es invertible

ii. La única solución del sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0). iii. El sistema Ax = b tiene una solución única para cada n-vector b.

iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad I_n.

v. A se puede escribir como el producto de matrices elementales. vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes

vii. Los renglones( y columnas) de A son linealmente independientes viii. detA

≠

0

ix. N(A) = 0 x.

ρ

(A) = n

(3)

Matrices semejantes:

Se dice que las matrices A y B son semejantes si existe una matríz invertible P tal que: B = P−1 AP (1)

Nota: La función definida por (1) que lleva la matriz A en la matriz B se llama Transformación de semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como:

T(A) = P−1 AP

Teorema 7: Si A y B son matrices semejantes de orden n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tienen los mismos valores propios.

Matríz diagonalizable:

Una matríz A de orden n, es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D.

Teorema 8: Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.

Corolario: Si la matriz A de orden n tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.

Teorema 9: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con bases B₁ =

{

}

y B₂ =

{

. Sea T:V

→

V una transformación lineal. Si A_T es la representación matricial de T respecto a la base B₁ y si C_T es la representación matricial de T respecto a la base B , entonces A y C son semejantes.

n

v

₁

,

₂

,....,

}

n

w

₁

,

₂

,...,

2 T T

Teorema 10: Sea A una matriz simétrica real de orden n. Entonces los valores propios de A son reales.

Teorema 11: Sea A una matriz simétrica de orden n. Si

λ

₁ y

λ

₂ son valores propios diferentes con vectores propios reales correspondientes v₁ y v , entonces v₂ ₁ y v son ortogonales. ₂

Definición: Se dice que una matriz A de orden n es diagonalizable ortogonalmente, si existe una matriz ortogonal Q tal que QTAQ = D, donde D es una matriz diagonal.

Teorema 12: Sea A una matriz real de orden n entonces A es diagonalizable ortogonalmente, si y sólo si A es simétrica.

Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante Q i) Encuentre una base para cada espacio propio de A

ii) Encuentre una base ortonormal para cada espacio propio de A usando el proceso de Gram-Schmidt o algún otro.

(4)

Formas canónicas de Jordan(nos permiten trabajar con matrices no diagonalizables) a) Matríz de bloques de Jordan:

Es una matriz de orden k con una constante

λ

en su diagonal, unos en la superdiagonal y ceros en cualquier otro lugar. Se denota por B(

λ

).

Ejemplos: B(2) = B(3) =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

2 0 0

1 2 0

0 1 2

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

3 0

1 3

b) Matriz de Jordan:

Es una matriz de la forma donde cada

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

r r

B B

B

λ λ

λ

. . 0 0

. .

.

. .

.

0 . 0 0

2 2 1 1

) ( _j

j

B λ es una

matriz de Jordan. Entonces una matriz de Jordan es una matriz que tiene en la diagonal matrices de bloques de Jordan y ceros en otra parte.

Ejemplos:

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

4 0 0

0 3 0

0 1 3

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

5 0 0 0

1 5 0 0

0 0 2 0

0 0 1 2

Teorema 13: Si A es una matriz real o compleja de orden n, entonces existe una matriz invertible C tal que C AC = J, donde J es una matriz de Jordan cuyos elementos diagonales son los valores propios de A. La matriz J se le denomina Forma canónica de Jordan.

1 −

Teorema 14: Suponga que A la matriz de 2x2 tiene un valor propio

λ

de multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1. Sea v₁ un vector propio correspondiente a

λ

. Entonces existe un vector v₂ que satisface la ecuación:

(A-

λ

I) v = v₂ ₁

Definición: Sea A una matriz de real de orden n, un vector no nulo x

∈

R

nes vector propio generalizado de A asociado al valor propio

λ

sí (A-

λ

I) x = 0 para algún entero positivo p. p Si x es vector propio generalizado tal que (A-

λ

I) x = 0 entonces, el vector y=(A-p

λ

I) x = 0 es un vector propio de A asociado a

1 −

p

λ

. Problemas propuestos:

1. Determine los valores propios y los vectores propios de las siguientes transformaciones lineales:

a) F:

R

2

→

R

2 definida por F(a,b) = (4a + 3b,3a - 4b) b) T:

R

3

→

R

3 tal que T(x,y,z) = (2y-z, 2x-z, 2x-y)

(5)

a)

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

3

0

1

2

b)

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

3

4

1

c)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

7

0

2

0

6

0

2

0

10

3. Halle el polinomio característico, los valores propios, y los vectores propios de cada una de las siguientes matrices complejas:

A=

_⎟⎟

B =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

2

0 i

i

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

2

0 i

i

4. Determine si las siguientes matrices son diagonalizables.

A = B =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 1 1 0 1 1 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

1

0

1

1 i

C =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

2

1

2

1

2

1

2

1

0

2

1

0

2

1

5. Demuestre que si A es una matriz de orden n tal que A = I entonces los valores propios de A son 1 y -1.

2

6. Para cada una de las matrices dadas en 4, calcule los valores propios, los espacios propios, la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica.

7. ¿ Por qué la multiplicidad geométrica, de un valor propio de una matriz, nunca es cero?

8. Determine si la matriz A es diagonalizable. Si lo es, encuentre una matriz P tal que P−1AP = D. Verifique que: AP = PD. Halle D. Si A no es diagonalizable justifique por qué.

a) A =

_⎟⎟

b) A = c) A =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

5

2

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − 3 2 6 2 0 3 4 2 7

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

2

1

3

4

2

5

7

3

d) A = e) A = f) A =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

2

1

2

3

4

1

1 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

3

2

4

2

0

2

4

2

3 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

3

2

4

g) h)

(6)

9. En cada caso encuentre la matriz Q ortogonal que diagonaliza la matriz simétrica dada. Después verifique que QtAQ = D ; donde D = diag(