UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADEMICO
SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO
AREA MATEMÁTICA
PLAN DE CURSO
I. Identificación
Nombre
Código
U.C:
Carrera
Código
Semestre
Prelaciones
Requisito
Autor
Asesoría en diseño
académico
Análisis II
766
6
Matemática
126
VI
Análisis I (762)
Ninguno
José Ramón Gascón Márquez
Wendy Guzmán
Análisis II (766) Elaborado por Prof. José Gascón UNA 2013 2
I. FUNDAMENTACIÓN
“El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasacon frecuencia porel análisis
complejo”.
Jaques Hadamard
El curso de Análisis II (766) es una asignatura fundamental de la licenciatura de matemática. Es una materia obligatoria de carácter teórico-práctica usualmente denominada variable compleja o análisis complejo ubicada en el sexto semestre de la licenciatura.
Estudiaremos en el curso funciones cuyo dominio y rango son los números complejos. Los números complejos constituyen una extensión importante de los números reales. En los complejos se tiene que todo polinomio admite una raíz, hecho que es falso en los números reales. Además, los complejos como los reales constituyen un cuerpo. Al interpretar los complejos como puntos del plano se puede definir en ellos una distancia de manera sencilla. Esto hace que podamos definir los conceptos de límite, derivada e integral de manera análoga al caso real. Pero el estudiante no debe pensar que el análisis complejo es solamente una generalización del análisis real. Tiene un sabor muy particular como lo ponen de manifiesto algunos hechos notables. Por ejemplo, si una función de variable compleja es derivable en un conjunto abierto del plano complejo entonces es derivable infinitas veces en ese conjunto. Si una función es derivable en el plano complejo, el valor que toma en un punto queda completamente determinado por los valores que toma la función en cualquier segmento del plano complejo. Semejantes fenómenos no ocurren para las funciones de variable real. Además, las funciones derivables complejas admiten desarrollos en serie de potencias, lo cual es falso en el caso real. Todo esto hace que el análisis complejo sea una herramienta poderosa e indispensable para el cálculo, el álgebra lineal, la teoría de probabilidades y el análisis funcional.
El curso presenta los tres pilares de la teoría de las funciones de variable compleja: Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
La fórmula integral de Cauchy La serie de Taylor y de Laurent
Cada una de estas partes esta profundamente vinculada con la otra como veremos en el curso. Así, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la fórmula de Green obtenemos la fórmula integral de Cauchy. Posteriormente, derivamos la representación en serie de Taylor de una función analítica a partir de la fórmula de Cauchy.
Además, el análisis complejo es una herramienta importante en el modelaje matemático. El campo de aplicaciones del análisis complejo va desde la hidrodinámica a la construcción de mapas mediante representaciones conformes. Por ejemplo, el flujo del aire en el ala de un avión es representado mediante herramientas de variable compleja. Luego, es un curso indispensable en la formación de un futuro licenciado en matemáticas que trabaje en equipos interdisciplinarios resolviendo diversos problemas.
Análisis II (766) Elaborado por Prof. José Gascón UNA 2013 3
El material instruccional consiste, en primer término y con carácter obligatorio, en el libro del Profesor Hans Muller “Variable Compleja” disponible electrónicamente en la direcciónwww.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/11.pdf
(también estará disponible en el Moodle de la asignatura). Los problemas del texto van a
ser utilizados para la evaluación sumativa y formativa del estudiante. El otro libro obligatorio
que necesita el estudiante es “Funciones de variable compleja” de J. Nieto disponible en el Moodle. Usaremos la misma estrategia evaluativa con el texto de Nieto. En pocas palabras,
Ud. debe hacer los problemas de los textos recomendados. El libro Elementos de variable
compleja (2008, Editorial Equinoccio, USB) del Prof. Etcheberry es un excelente material
complementario a un precio accesible.
También, la serie de videos del MIT del profesor Hebert Gross se le recomiendan al estudiante como material adicional complementario: http://ocw.mit.edu/resources/res-18-
008-calculus-revisited-complex-variables-differential-equations-and-linear-algebra-fall-2011/part-i/.
Por supuesto, el plan de curso es el organizador de la asignatura y forma parte de su paquete instruccional. Debe leer Ud. el mismo con mucha atención. En el Moodle de la asignatura encontraras los materiales instruccionales, enlaces a páginas de interés, entre otras cosas. Vea en este plan, más adelante, el uso de la plataforma Moodle.
Análisis II (766) Elaborado por Prof. José Gascón UNA 2013 4
III. PLAN DE EVALUACION Asignatura: Análisis II
Cod: 766 Créditos: 06 - Lapso: 2013-2 Semestre: VI Carrera: Lic. en Matemática ( Cod.126)
Responsable: José Ramón Gascón Márquez Correo electrónico: jogascon@una.edu.ve
Horario de atención: lunes a jueves. Teléfono: 5552315
Evaluadora: Florymar Robles
Correo electrónico: frobles@una.edu.ve
MODALIDAD OBJETIVO CONTENIDO
1ra Prueba parcial de desarrollo
1 al 4 MÓDULO I, II
2da Prueba parcial de desarrollo
5 al 7 MÓDULO II, III
Prueba Integral
de desarrollo 1 al 7 MÓDULO I, II, III
M U O OBJETIVOS
I 1 1
Aplicar las propiedades aritméticas, geométricas y topológicas de los números complejos en la resolución de problemas y en el modelado matemático
2 2 Aplicar las funciones complejas y el concepto de rama de una función compleja multivaluada en la
solución de problemas y en el modelado matemático
II
3 3 Aplicar las funciones analíticas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la resolución de
problemas, en la demostración de proposiciones y en el modelado matemático
4 4 Aplicar la integración compleja y la Fórmula de Cauchy en la solución de problemas y en la
demostración de proposiciones
5 5 Aplicar los teoremas fundamentales de variable compleja en la demostración de proposiciones
III 6 6
Aplicar los desarrollos en series complejas en la solución de problemas
7 7 Aplicar el concepto de singularidad y desarrollo de Laurent de una función de variable compleja en
Análisis II (766) Elaborado por Prof. José Gascón UNA 2013 5 ORIENTACIONES GENERALES
1. Repasa en tu libro de matemática de cuarto año de bachillerato los números complejos, sus operaciones, propiedades, representación geométrica y polar. También recuerda como calcular las raíces de un número complejo.
2. Lee con atención el objetivo de aprendizaje de cada módulo y unidad. El objetivo indica que definiciones y teoremas debes manejar con propiedad.
3. Lee el material instruccional seleccionado de manera general, después trata de demostrar las proposiciones por tu cuenta o verificando cuidadosamente los pasos dados en el libro
4. Dibuja con precisión las regiones del plano complejo involucradas en el texto o en los problemas. Trata de ver como actúan las funciones complejas visualizando su acción en curvas simples del plano
5. En cada unidad ve el video del MIT disponible desde el enlace del entorno MOODLE: http://academico.una.edu.ve/foro.
6. Trata de hacer un resumen de los teoremas demostrados en cada Unidad, incluyendo su demostración y aplicaciones. Lo mismo puedes hacer con las definiciones que vayan apareciendo.
7. Resuelve lo planteado en cada ejemplo antes de leer el texto. Es una excelente forma de realizar una evaluación formativa de tu aprendizaje.
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IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO
Objetivo del Módulo Contenido
Aplicar las funciones de variable compleja a la solución de problemas y al modelado matemático
Módulo I: Las funciones básicas de variable compleja
Objetivos de las Unidades Contenidos de las Unidades
1. Aplicar las propiedades aritméticas, geométricas y topológicas de los números complejos en la resolución de problemas y en el modelado matemático.
2. Aplicar las funciones complejas básicas y el concepto de rama de una función compleja multivaluada en la solución de problemas y en el modelado matemático.
1. Los números complejos. Sus propiedades aritméticas y topológicas. Definición aritmética de número complejos. Operaciones. El conjugado de un número complejo. Representación de Argand. Forma polar de un complejo. Forma exponencial de un número complejo. La multiplicación desde un punto de vista geométrico y polar. Formula de de Moivre. Soluciones de la ecuación zn-w=0. El espacio métrico de los complejos. Bolas abiertas. Completitud. La esfera de Riemann y la compacidad de C. Modelando: Los números complejos en electricidad.
2. Las funciones complejas fundamentales. Su acción geométrica. La función polinómica. La función lineal. La función exponencial compleja. Su carácter periódico. Las funciones hiperbólicas. Las funciones seno y coseno. La función argumento. El logaritmo y su rama principal. El carácter conforme de estas aplicaciones. Potencia y raíz de un número complejo. Introducción a las superficies de Riemann. Modelando: Flujo de viento sobre un sector semicircular
Objetivo del Módulo Contenido Aplicar los conceptos de derivada e integral
de una función compleja en la solución de problemas, en el modelado matemático y en la demostración de nuevas proposiciones
Módulo II: Derivadas e Integrales de funciones de variable compleja
Objetivos de las Unidades
3. Aplicar las funciones analíticas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la resolución de problema, en la demostración de proposiciones y en el modelado matemático
4. Aplicar la integración compleja y la Fórmula de Cauchy en la solución de problemas y en la demostración de proposiciones
5. Aplicar los teoremas fundamentales de variable compleja en la demostración de proposiciones.
3. Límites, continuidad y derivadas. Regla de la cadena. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las funciones armónicas. Ecuación de Laplace. El carácter conforme de las funciones analíticas. Flujos en el plano.
4. Definición y propiedades básicas de la integral de una función compleja. La desigualdad ML. Integrales sobre caminos cerrados. La integral de 1/z. Integral de una función analítica en un camino
cerrado. Teorema de Cauchy. Teorema de Morera. El teorema de deformación. La formula integral de Cauchy. Desigualdades de Cauchy.
5. Principio del módulo máximo. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del álgebra. Ceros de una función analítica. Teorema de la aplicación abierta.
Objetivo del Módulo Contenido del Módulo Aplicar las series de Taylor y Laurent en la
resolución de problemas. Modulo III: Desarrollos en serie de funciones de variable compleja
Objetivos de las Unidades Contenidos de las Unidades
6. Aplicar los desarrollos en series complejas en la solución de problemas
7. Aplicar el concepto de singularidad y desarrollo de Laurent de una función de variable compleja en el cálculo de integrales definidas
6. Sucesiones y series. Las sucesiones complejas y el límite de una sucesión. Ejemplos. Series numéricas. Análisis de
convergencia. Series de potencias. Convergencia puntual y uniforme. Intercambio del límite con la integral. Desarrollo de Taylor de una función analítica.
7. Singularidades aisladas. Polos, singularidades evitables y esenciales. Ejemplos. Desarrollo de Laurent. Definición de residuo. Teorema de los residuos. Calculo de integrales reales por el método de los residuos.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
1. Aplicar las propiedades
aritméticas,
geométricas y
topológicas de los números complejos en la resolución de problemas y en el modelado matemático
1. Los números complejos son el cuerpo donde se define toda la teoría que vamos a estudiar. El estudiante debe estar familiarizado con el mismo. 2. Comienza repasando lo que aprendiste en el
bachillerato de números complejos, su representación en el plano y las operaciones en los complejos. Tu libro de cuarto año de bachillerato es adecuado para esto. Recuerda sobre la representación CIS. Repasa como calcular las raíces de un número complejo.
3. Lee el Capítulo I del libro de H. Muller hasta la pag.7. Lee las secciones 1 y 2 del primer capítulo del libro de Nieto.
4. Resuelve los problemas de la pág.11 y pág. 15 del libro de Nieto.
5. Haga todos los ejercicios en el libro de Muller en sus primeras siete páginas. Algunos incluyen demostrar proposiciones del texto.
6. Ve el video http://ocw.mit.edu/resources/res-18-
008-calculus-revisited-complex-variables- differential-equations-and-linear-algebra-fall-2011/part-i/lecture-1-the-complex-numbers/
Realiza un resumen de las propiedades algebraicas de los números complejos: ¿cómo se calcula su inverso?, ¿cómo se hallan sus raíces?. Explica con claridad como se calcula la distancia
entre complejos. ¿En que consiste su
representación cis? Usa el foro en el Moodle para discutir cualquier duda, ver problemas adicionales y aplicaciones.
Formativa: Los problemas de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
2. Aplicar las funciones complejas básicas y el concepto de rama de una función compleja multivaluada en la solución de problemas y en el modelado matemático
1. En esta parte del curso se presentan algunas funciones que son protagonistas del resto del material. Debes estudiar en detalle lo que aparece aquí ya que es el vocabulario esencial para el resto de tu estudio.
2. Realiza una lectura cuidadosa de las páginas 7 a la del libro de Muller(empezando en la sección I.2). Resuelve cada ejercicio propuesto.
3. Es muy importante que te detengas lo necesario para entender lo que significa una determinación del argumento (página 12 y 13 del libro de Muller).
4. Estudia con cuidado la determinación del logaritmo en la página 13 y 14 del texto de Muller y haz todos los ejercicios propuestos.
5. Estudia la definición de la función exponencial compleja y las funciones trigonométricas en las páginas 14 y 15 del texto de Muller.
6. Refuerza lo que hemos visto leyendo las páginas 8 ,9 y 10 del libro de Nieto, empezando desde la representación polar de un número complejo (inclusive) hasta las raíces de un complejo.
7. Haz un resumen de las funciones complejas que incluya sus propiedades básicas: dominio y rango de la función exponencial, las funciones trigonométricas, una rama de la función argumento una rama de la función logaritmo, los polinomios.
8. Ve el video http://ocw.mit.edu/resources/res-18-008- calculus-revisited-complex-variables-differential- equations-and-linear-algebra-fall-2011/part-i/lecture-2-functions-of-a-complex-variable/. Usa el foro en el Moodle para discutir cualquier duda, ver problemas adicionales y aplicaciones.
Formativa: Los problemas y la solución de ejemplos sugeridos de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
3
.
Aplicar las funciones analíticas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en laresolución de
problema, en la demostración de proposiciones y en el modelado matemático
1. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann caracterizan de manera sencilla cuando una función de variable compleja es derivable, ellas son una herramienta muy importante. Además enlazan la teoría con otros conceptos como el de función armónica, concepto muy importante en las aplicaciones. Además tratamos las ideas básicas de límite, continuidad y derivada en esta parte del curso.
2. Lee los conceptos de límite y continuidad de funciones complejas de las páginas 29 a la 35 del libro de Nieto. Establece analogías con los conceptos de límite y continuidad que ya estudiaste en tus cursos anteriores. 3. Lea las páginas 15 a la 27 del libro de Muller. Completa
las demostraciones que te señalan en el texto y trata de resolver los ejemplos por tu cuanta.
4. Demuestra que la transformada de Caley manda la circunferencia unitaria en el eje y viceversa. Haz todos los ejemplos de estas secciones del libro de Muller como lo recomendamos en las orientaciones generales. Resuelve todos los problemas propuestos.
5. Lea las páginas 46 a 49 del libro de Nieto y haga el ejercicio al final de la sección.
6. Ve el video http://ocw.mit.edu/resources/res-18-008-
calculus-revisited-complex-variables-differential- equations-and-linear-algebra-fall-2011/part-i/lecture-3-conformal-mappings/
7. Escribe en una ficha las ecuaciones de Cauchy-Riemann y una lista de las funciones complejas que las satisfacen (¡verificando esto!). Usa el foro en el Moodle para discutir cualquier duda, ver problemas adicionales y aplicaciones.
Formativa: Los problemas de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
4
.
Aplicar la integración compleja y la Fórmula de Cauchy en la solución de problemas y en la demostración de proposiciones1. En esta sección vemos uno de los resultados importantísimos del análisis complejo: La fórmula integral de Cauchy, sus consecuencias marcan todo el desarrollo de la teoría. Este es uno de los tres pilares sobre los cuales descansa la teoría de variable compleja.
2. Repasa la fórmula de Green en el material instruccional de tu curso de Cálculo III cod. ¿?, ella
dice que ( Q
x P y)
D
dxdy Pdx Qdy.
Aprovecha para repasar el concepto de integral de línea en el mismo curso. Esto va a facilitar la comprensión del concepto de integral de línea. 3. Lee las páginas 51 a la 57 del libro de Nieto. Haz
los tres problemas al final de esa sección.
4. Lee las páginas 31 a 36 del libro de Muller. En particular es muy importante el ejemplo 2 de la
página 32 que demuestra que 1
z
C
2 i. Este
resultado es básico para la demostración del teorema de Cauchy (fórmula integral).
5. Lee la páginas de la 36 a la 43 del libro de Muller, en ellas aparece el teorema de Cauchy y su demostración. Realiza un resumen de la
demostración del mismo.
6. Ve el video http://ocw.mit.edu/resources/res-18-
008-calculus-revisited-complex-variables-
differential-equations-and-linear-algebra-fall-2011/part-i/lecture-5-integrating-complex-functions/
7. Escribe un resumen del Teorema de Cauchy y de
Formativa: Los problemas de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
la fórmula integral de Cauchy que incluya un
esbozo de la demostración de ambos resultados.
5. Aplicar los teoremas fundamentales de variable compleja en la demostración de proposiciones
1. En este objetivo vemos algunos teoremas importantes del análisis complejo como son: Las desigualdades de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental del álgebra y el principio del modulo máximo. Todos ellos muy importantes en las aplicaciones y en el desarrollo de la teoría. 2. Lee con detenimiento la demostración de las
desigualdades de Cauchy en la pag. 51 del libro de Muller,
3. Lee con detenimiento la demostración del Teorema de Liouville en la pag. 52 del libro de Muller.
4. Lee el enunciado y demostración del Teorema Fundamental del Álgebra en la pag.53 y 54 del libro de Muller.
5. Ve el enunciado del Teorema del Valor Medio en el libro de Muller, el texto contiene un error y debería
decir f(z) 1
2 0 f(z
2
rei )d . Haz la demostración
como un ejercicio, tal como lo propone el texto. Sugerencia: Usa la fórmula integral de Cauchy. 6. Estudia con cuidado la demostración de la
proposición I.8.5 del libro de Muller y el teorema que le sigue Principio del Módulo Máximo.
7. Haz un cuadro resumen de los teoremas vistos y su relación lógica.
8. Estudia con mucho cuidado la demostración del Teorema de la Aplicación Abierta en la página 54 del texto de Muller.
Formativa: Los problemas de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
9. Escribe una ficha con cada teorema y su
demostración.
6. Aplicar los desarrollos en series complejas en la solución de problemas
1. En este objetivo vemos una introducción a uno de los pilares de la variable compleja: la idea de serie de potencias. Repasa los conceptos de sucesión y serie de números reales, esto lo puedes hacer en el material instruccional del curso Cálculo II cod. ¿?, módulo II.
2. Lee con detenimiento las páginas 15(desde la sección 3) a la página 27 del libro de Nieto. Realiza todos los ejercicios al final de la sección.
3. Trata de trabajar los ejemplos con independencia del libro, vuelve al texto si tienes alguna dificultad. 4. Repasa en el material instruccional de tu curso
Análisis I cod. los conceptos de sucesiones y series de funciones, así como su convergencia puntual y uniforme. Repasa los teoremas de intercambio entre el límite y la integral en el material instruccional.
5. Lee con detenimiento las páginas 43 a la 49 del libro de Muller. Realiza la demostración de cualquier teorema que este en el texto sin prueba. Discute tus dificultades y argumentos con tus compañeros en el foro de Moodle y con tu asesor. 6. Lee las paginas 73 a la 76 del libro de Nieto
(sección 2). Realiza los 2 ejercicios que están al final de esta sección.
7. Ve el video http://ocw.mit.edu/resources/res-18-
008-calculus-revisited-complex-variables-
differential-equations-and-linear-algebra-fall-Formativa: Los problemas y ejemplos de los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
2011/part-i/lecture-4-sequences-and-series/
8. Escribe en una ficha el desarrollo en serie de
potencias de las funciones más utilizadas en
variable compleja.
7.Aplicar el concepto de singularidad y desarrollo de Laurent de una función de variable compleja en el cálculo de integrales definidas
1. ¡Este objetivo es muy importante! Es el concepto de singularidad y residuos lo que permite calcular integrales definidas muy complicadas. Lee con atención las páginas de la 80 a la 85 del libro de Nieto(Capítulo 5 hasta sección del Teorema de Rouche exclusive)
2. Lee las páginas de a 60 a la 68 (sección I.10) del libro de Muller.
3. Haz un resumen de las integrales tipo que son
calculables por el método expuesto y como realizar el cálculo.
4. Intenta resolver cada ejemplo por tu cuenta. Si no puedes consulta a tu asesor o lee el texto. Usa el foro en el Moodle para discutir cualquier duda, ver problemas adicionales y aplicaciones.
Formativa: Los ejemplos y su resolución en los libros seleccionados constituyen la evaluación formativa. No olvides que algunos pueden ser tomados para la evaluación sumativa.
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ANEXO A
Entorno Moodle del curso Análisis II. Cod. 766
Moodle es una plataforma de aprendizaje que está disponible en un creciente número de cursos de la UNA, tanto a nivel de pregrado como de postgrado. El curso Análisis II Cod. 766 dispone de un espacio Moodle en el cual el
estudiante encontrará una serie importante de recursos de aprendizaje como lo son: 1. Libro de texto digitalizado
2. Plan de curso de la asignatura
3. Enlaces a páginas Web relevantes(con videos, documentos, entre otras cosas) 4. Foros y Chat
5. Envío de mensajes a correo y en la plataforma 6. Elaboración de wiki
7. Disponibilidad de modelos de respuestas
8. Problemas adicionales para que el estudiante se ejercite y aplicaciones importantes de la teoría
La lista no agota las posibilidades de la plataforma Moodle y sólo alentamos al estudiante UNA a que la utilice. El acceso a Moodle se realiza en la dirección Web
http://academico.una.edu.ve/foro
El Área de Matemática y el subprograma de Diseño Académico han hecho un esfuerzo para garantizar que cualquier estudiante que haya inscrito regularmente una asignatura de matemática, tenga acceso al Moodle de la misma en el caso que este exista. Luego el estudiante no debe realizar ningún proceso de inscripción en la plataforma o tener una clave de acceso. El estudiante tiene acceso al curso colocando en los campos nombre de usuario y contraseña el número de su
cédula de identidad. No dejes de usar el Moodle de a asignatura, si no lo usas pierdes una valiosa oportunidad de
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I. BIBLIOGRAFÍA
Obligatoria para el estudiante
Muller, H. (2000).
Variable compleja
. Disponible en versión electrónica:
http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/11.pdf
