Algebra Lineal Unidad 2 Ferman López Juan Jezreel 13210381

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(1)

Algebra Lineal Página 1

Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección Académica

Departamento de Sistemas y Computación

Semestre Agosto-Diciembre 2013

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Algebra Lineal

Unidad 2

Ferman López Juan Jezreel

#13210381

(2)

Algebra Lineal Página 2

Índice

Portada --- 1

Índice --- 2

2.1 Matrices y Determinantes ---4

 Definición de matriz ---4

2.2 Operaciones de matrices --- 5

 Igualdad de matrices--- 5

 Suma de matrices --- 5

 Resta de matrices --- 6

 Producto de un escalar por una matriz --- 6

 Producto de una matriz por un vector ---6

 Propiedades de una aritmética matricial ---7

 Multiplicación por bloques --- 7

2.3 Tipos de Matrices --- 9

 Matriz Cuadrada --- 9

 Matriz identidad --- 9

 Matrices triangulares--- 9

 Matriz Diagonal --- 9

 Traspuesta de una matriz --- 9

 Matrices Simétricas --- 10

 Matrices ortogonales --- 10

 Matrices normales --- 10

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Algebra Lineal Página 3

 Matriz Toeplitz --- 11

 Matriz circulante por la derecha --- 11

 Matriz inversa ---11

 Propiedades de la matriz inversa ---11

2.4 Transformaciones elementales por renglón

Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz---- 11

2.5 Calculo de la matriz inversa --- 13

2.6 Definición de determinante de una matriz --- 14

2.7 Propiedades de los determinantes --- 15

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través --- 16

de la adjunta

2.9 Aplicaciones de matrices y determinantes --- 18

(4)

Algebra Lineal Página 4

Unidad 2 Matrices y Determinantes

1.1

Definición de Matriz

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Los números de la tabla se conocen con el nombre elementos de la matriz. Los números de la matriz se definen especificando el número de filas y columnas que la forman:

Abreviadamente se puede expresar . Cada elemento de la matriz lleva 2 subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento esta en la fila 2 y la columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas.

Ejemplos de matrices:

Vemos que A tiene 2 columnas y 2 filas por lo tanto es una matriz de 2 x 2. Vemos que B tiene 2 filas y 3 columnas por lo tanto es una matriz de 2 x 3. Vemos que C tiene 4 filas y 3 columnas por lo tanto es una matriz de 4 x 3.

(España)

“El precio para los productos A, B, C y D por unidad son los siguientes: $3.80, $4.90, $6.50 y $10.80; y las cantidades que se adquieren de cada producto son A=500, B=600, C= 850, D= 720 Determina el costo total de las adquisiciones:

Solución aplicando matrices

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Algebra Lineal Página 5 Después se realizan las respectivas operaciones pero por el momento solamente los dejaremos ejemplificado para tener una noción de ello.

2.2 Operaciones con matrices

Igualdad entre matrices

Se dicen iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales.

Ejemplo:

Cual debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales:

Se requiere que: x= y-x, que y= 2x y que x+y=3. Resolviendo el sistema se obtiene que x=1 y que y=2.

Suma de Matrices

Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar, la suma de dos matrices de diferente dimensión no. La suma de dos matrices de las mismas dimensiones es una matriz de las mismas dimensiones y se obtiene sumando sus elementos correspondientes:

Ejemplo:

Ejercicio:

Realice la suma de las matrices:

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Algebra Lineal Página 6 Resta de matrices

Producto de un escalar por una matriz

Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera. El producto escalar c A es una matriz que tiene las mismas dimensiones que la matriz A, y que en cada elemento contiene el elemento correspondiente de A multiplicado por c:

Ejercicio:

Realice el producto:

Este producto siempre se puede realizar

(Monterrey)

Producto de una matriz por un vector

Sea A una matriz m x n y B una matriz columna n x 1, el producto matricial

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Algebra Lineal Página 7 Propiedades de la aritmética matricial

Sea A, B y C 3 matrices m x n y sean y 2 escalares, entonces:

Suma A + O= A

A + B = B + A --- Conmutativa (A+B)+C= --- Asociativa

(A+B) = A + B--- Distributiva

Multiplicación OA = O

1A = A

A(BC) = (AB)

ABCD = A (B(CD)) = (( AB) C) D = A(BC) D= (AB)(CD) A(B+C)= AB + AC

(A+B)C= AC + BC

Matrices por bloques

La manipulación de matrices con gran número de matrices y columnas conlleva grandes problemas incluso cuando se manejan con ordenador. Por eso suele ser interesante saber descomponer un problema que usa grandes matrices en otros problemas más pequeños, es decir utilizan matrices más pequeñas.

La posibilidad de descomponer una matriz en matrices pequeñas tiene varias aplicaciones en comunicaciones, electrónica, resolución de sistemas de ecuaciones, etc.

(Palacios)

Diremos que una matriz A esta descompuesta o particionada propiamente en bloque si se puede organizar como una matriz de bloques en la forma:

Los bloques se obtienen trazando imaginariamente rectas verticales y horizontales entre los elementos de la matriz A. Los bloques o submatrices se designarán en la forma Aij .

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Algebra Lineal Página 8

Está descompuesta propiamente en bloques y tiene 2 filas y 3 columnas de bloques, es decir, una matriz de 2 x 3 por bloques.

Se define la suma de 2 matrices descompuestas en bloques como la matriz por bloques que tiene en la posición (i,j) la suma de los bloques que ocupan esa posición es decir:

Para que la suma por bloques pueda realizarse, las 2 matrices deben de ser el mismo tamaño y han de estar descompuestas en el mismo número de bloques fila columna y los bloques que ocupan la misma posición han de ser a su vez del mismo tamaño. La multiplicación por bloques se realiza formalmente, igual que si fuera por elementos.

Se define el producto de 2 matrices A y B descompuestas en bloques como la matriz por bloques C que tiene en la posición (i, j) el bloque

Para que el producto por bloques pueda realizarse, las 2 matrices A y C deben estar descompuestas en bloque conforme, es decir, el numero de bloques

columna de la matriz A debe ser igual que el de bloques fila de la matriz B, y los bloques involucrados en la suma anterior han de ser del tamaño adecuado para que se puedan multiplicar por elementos:

(9)

Algebra Lineal Página 9 Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz

n-cuadrada. Ejemplo:

Sean las matrices:

Entonces A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad:

Sea A= (aij) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A

consiste en los elementos a11, a22,…. Ann. La traza de A esta escrito es la suma de

los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad

AI = IA= A

Matrices triangulares:

Una matriz cuadrada A= (aij) es una matriz triangular superior o simplemente

una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues las matrices:

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D= diag.(d11, d22 …..dnn) Por ejemplo:

(htt)

Traspuesta de una matriz

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Algebra Lineal Página 10 Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es Anti simétrica, si AT

=-A. Ejemplo:

Consideremos los siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales , o que Siendo así A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de tal modo B es antísimétrica. A simple vista.

C no es cuadrada; en consecuencia, no es simétrica ni anti simétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real es ortogonal, si . Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa

. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

Si A es ortogonal entonces:

Matrices Normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si

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Algebra Lineal Página 11 (Fisica)

Matriz Persimétrica Sus diagonales son iguales.

Matriz Toeplitz

Se recorren y se ingresa un nuevo digito, sus diagonales son iguales.

Matriz circulante por la derecha

Se recorre un dígito por la derecha al fin de que su diagonal quede en 1´s negativos.

Matriz inversa

El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

Se puede calcular la matriz inversa por 2 métodos en este caso veremos uno en especial:

Propiedades de la matriz inversa

(A · B)-1 = B-1 · A-1

 (A-1)-1 = A

 (k · A)-1 = k-1 · A-1

 (A t)-1 = (A -1)t

2.4 Transformaciones elementales por renglón.

Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz

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Algebra Lineal Página 12 Una matriz ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

 Todas las filas nulas (en caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

 El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B)= rg (C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg (A)=3 ya que A no esta escalonada.

La definición de rango para una matriz cualquiera que no este escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonad mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que veremos a continuación:

Dada una matriz de A, cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son 3:

 Intercambiar la posición de 2 filas

 Multiplicar una fila por un número real distinto de cero

 Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera

El resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada de E.

(13)

Algebra Lineal Página 13

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se

demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En

nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

2.5 Calculo de la matriz inversa

Se puede calcular la matriz inversa por 2 métodos en este caso veremos uno en especial:

Calculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1 , seguiremos los siguientes pasos:

 Construir una matriz del tipo M= (A | I), es decir, A esta en la mitad

de la izquierda

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Algebra Lineal Página 14  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1

F2-F1 F3+F2

F2- F3 F1+F2

(-1) F2 La matriz inversa es

(matrices)

2.6 Definición de determinante de una matriz

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define como determinante de A (denotado como , o a la suma de los n productos formados por n factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo elemento de fila y columna de A.

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Algebra Lineal Página 15 Dos matrices diferentes, pueden tener igual determinante. Nótese como la notación de determinante no presenta los corchetes ( a diferencia de los matrices) sino solo líneas.

(Becerra)

2.7 Propiedades de los determinantes

Para cualquier matriz de A, A y su traspuesta tienen el mismo determinante:

Si

 Posee 2 líneas iguales

 Todos los elementos de una línea son nulos

 Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras

F3= F1+F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

(16)

Algebra Lineal Página 16 5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número real el valor del determinante no varía

C3= 2C1+C2+C3

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero solo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por 2 sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de 2 determinantes

8.

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

(Algebra lineal propiedades vitutor)

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Calculo de la matriz inversa por determinantes

Inversa de una matriz

Determinante de una matriz

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Algebra Lineal Página 17

Matriz traspuesta de la adjunta

Ejemplo:

Calculamos el determinante de la matriz, en el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta

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Algebra Lineal Página 18

2.9 Aplicaciones de matrices y determinantes

Aplicaciones de las matrices

Resolver mediante el uso de matrices el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

R=

La matriz aumentada es:

Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de 2 tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento tipo A proporciona a un novillo 10 % del requerimiento diario de proteínas y 15 % de carbohidratos. Una unidad estándar del alimento B contiene 12 % del requerimiento diario de proteínas y 8 % del de carbohidratos. Si el granjero requiere alimentar a su ganado con el 100% de los requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento debe de dar a un novillo al día?

Modelo matemático

Para dar solución al problema se debe obtener el modelo matemático, es decir el sistema de ecuaciones lineales

A

(%) (%) B Requerimiento diario (%)

Proteína 10 12 50

Carbohidratos 15 8 50

Transformación a un modelo matricial La matriz aumentada es

La solución es:

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Algebra Lineal Página 19 Determinantes de una matriz de orden 1 x 1

El determinante de una matriz 1 x 1 A= es = a

Ejemplo:

Si es A = entonces es

Determinante de una matriz de orden 2 x 2

El determinante de una matriz 2 x 2 es = ad-bc.

Ejemplo:

Menores y Cofactores

Sea A una matriz n x n

1. El menor del elemento es el determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.

Ejemplo:

En la siguiente matriz =

Los menores son:

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Algebra Lineal Página 20 El cofactor del elemento es (posiciones impares tienen signo negativo mientras que posiciones pares tienen signo positivo)

Ejemplo: los siguientes son algunos cofactores para la matriz del ejemplo anterior.

Determinante de una matriz cuadrada

Si A una matriz n x n, el determinante de A es la suma de las entradas en cualquier fila (o columna) de A multiplicadas por sus respectivos cofactores. Por ejemplo, expandiendo a lo largo de la primera fila:

Ejemplos:

Hallar el determinante de la matriz:

Utilizando los resultados hallados anteriormente:

Podríamos haber utilizado cualquier firma o columna, por ejemplo, usamos la tercera fila:

Hallar el determinante de la matriz :

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Algebra Lineal Página 21 (Rico)

Bibliografía

(s.f.). Obtenido de http://www.sectormatematica.cl/contenidos/mattipos.htm

Algebra lineal propiedades vitutor. (s.f.). Obtenido de

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

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Becerra, M. (s.f.). UNAM. Obtenido de

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Rico, U. d. (s.f.). Obtenido de

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