Olimpiada Costarricense de Matemáticas II Eliminatoria 2011 Curso preparatorio Nivel B

Olimpiada Costarricense de Matemáticas II Eliminatoria 2011

Curso preparatorio Nivel B

Elaborado por: Christopher Trejos Castillo

Iniciamos demostrando dos resultados que pueden ser importantes para resolver problemas olímpicos.

Problema 1: Demostrar que si los coeficientes an−₁, an−₂,...,a a₁, ₀ son números enteros, la ecuación en x: 1

1 ... 1 0 0

n n

n

x +a ₋ x − + +a x a+ = _{, no tiene raíces racionales. (Note que es} necesario quea sea igual a 1). n

Solución: Supongamos con el afán de llegar a una contradicción que x p q

= es una solución

con

( )

p q, =1. Entonces:

1

1 2 2 1

1 1 ... 1 0 0 1 2 ... 1 0

n n n

n n n n

n n n

n n

p p p p

a a a a p a p q a pq a q

q q q q

−

− − − −

− − − −

+ + + + = ⇒ = − − − − −

Con esto, como el lado derecho de la igualdad es un número entero, es necesario que q=1, es decir que x=p, por lo tanto la ecuación no puede tener soluciones racionales.

Problema 2: Demostrar que si a, b y c son números enteros impares, la ecuación de segundo grado en 2

: 0

x a x +b x c+ = , no tiene raíces racionales no enteras. (Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2008, Nivel B)

Solución: Supongamos con el afán de llegar a una contradicción que x p q

= es una solución

con

( )

p q, =1. Entonces:

2

2 2

0 0

p p

a b c ap bpq cq

q q

 _  _

 _{ +}  _{+ = ⇒ + + =}  _  _

   

 

   

Como p y q son coprimos, entonces se debe dar que o ambos son impares o uno es par y el otro es impar. Veamos cada uno de los casos:

I Caso: p impar y q impar, los tres términos ap2, bpq cq son impares, lo cual no es , 2 posible pues la suma de tres números impares da como resultado un número impar y por tanto diferente de cero.

II Caso: Sin pérdida de generalidad, supongamos que p es impar y q es par, de este modo los términos 2

y

ap bpq son números pares, mientras que 2

De los 2 casos anteriores vemos que las raíces de la ecuación a x2 +b x c+ = 0 no pueden ser números racionales no enteros.

Lema del Factor

x–a divide a P(x) si y solo si P(a)=0, es decir existe un polinomio Q(x), tal que

( ) (

) ( )

P x = −x a Q x .

Factorización

En muchas ocasiones, realizar una factorización tanto de las expresiones algebraicas y de los números, puede ser la clave para resolver un problema de olimpiadas.

Ejemplo 3: Encuentre las soluciones enteras positivas de la ecuación 2x−1⋅ −x 2x=768: (Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel B) Solución: Factorizamos la ecuación, así:

(

)

1 8

2x− x−2 =2 3⋅

Los valores que puede tomar x van de 3 a 9, esto para que el exponente x–1, sea menor que 8 y también para que el factor x–2 sea positivo, probando dichos valores, vemos que el único valor de x que da una igualdad es x=8, pues 28 1−

(

8−2

)

=2 67⋅ =2 38⋅ .

Problema 4: Sea P(x)= x3−3⋅2006 x2 + 2⋅10032 x +20062. Probar que no existen enteros distintos a,b tal que P(a+2006)=P(b+2006). (Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2006, Nivel B)

Solución: Supongamos en búsqueda de un absurdo que existen a y b que cumplen que )

( )

(a+2006 =P b+ 2006

P , lo cual es equivalente a:

(

)

(

)

3 3 2 2

2006 2006 ( 2006) ( 2006) 3 2006 ( 2006) ( 2006)

P a+ −P b+ = a+ − b+ − ⋅ _ a+ − b+ _

[

]

2

2 1003 (a 2006) (b 2006) 0

+ ⋅ + − + =

Factorizando cada uno de los términos, así:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

(

)

(

)(

) (

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

3 3

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2006 2006

2006 2006 2006 2006 2006 2006

2 2006 2006 2006 2006 2006 2 2006 2006

3 2006 2006

a b

a b a a b b

a b a a ab a b b b

a b a ab b a b

+ − + =

+ − + + + + + + + =

− + ⋅ + + + + + + + ⋅ +

− + + + ⋅ + +

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

(

) (

)

)

(

)(

)

2 2

3 2006 2006 2006

3 2006 2006 2006 2006 2006

3 2006 2 2006

a b

a b a b

a b a b

− ⋅ + − + =

− ⋅ ⋅ + − + + + + =

− ⋅ − + + ⋅

Realizamos las restas en el último término y llegamos a:

(

) (

)

(

)

(

)

2 2

2 1003 2006 2006

2 1003

a b

a b

⋅ + − + =

⋅ −

Combinamos las tres factorizaciones anteriores, notando que (a – b) divide a todos:

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2006 2006

3 2006 2006 3 2006 2 2006 2 1003

3 2006 6 2006 2 1003 10 1003 0

P a P b

a b a ab b a b a b

a b a ab b

a b a ab b

+ − + =

− + + + ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

− + + + ⋅ − ⋅ + ⋅ =

− + + − ⋅ =

Como a≠b, entonces se sigue que a2+ab+b2−10 1003⋅ 2 =0, es decir

2 2 2

10 1003

a +ab+b = ⋅ , lo cual no tiene solución pues a y b deben ser ambos pares, esto ya que si uno de los dos es impar y el otro par ó ambos son impares, se obtendrá por resultado un número impar, de este modo debe cumplirse que a y b son números pares, pero si a y b son pares entonces 4 |a2+ab+b2 =10 1003⋅ 2(pruébalo), lo cual nos lleva a una contradicción, ya que 2

4 | 10 1003⋅ .

Problema 5: Determinar todos los pares ordenados (m,n) tales que:

• mn≥0

• 3 3 3

99 33

m + +n mn=

Solución: La segunda condición se convierte en:

3 3 3

3 ( ) 99 33 3 ( )

m + +n mn m n+ + mn= + mn m n+

⇒ 3 3

(m n+ ) −33 =3mn m n( + −33)

⇒ 2 2

(m n+ −33)((m n+ ) +33(m n+ +) 33 −3mn)=0

⇒ 2 2 2

(m n+ −33)(m + −n mn+33m+33n+33 )=0

⇒ 2 2 2

De aquí las soluciones serán los pares (m,n), tales que m+n=33, de los cuales habrán 33 pares ordenados y además el caso en que m=n= –33, solución que aparece al igualar a 0 el segundo factor.

Polinomios y la ecuación cuadrática

Una herramienta muy útil en problemas de polinomios, son las fórmulas de Viète, las cuales dicen lo siguiente:

Fórmulas de Viète: Para un polinomio de grado n, P x

( )

=a x_n n+a_n−1xn−1+ +... a x₁ +a_0, con coeficientes a reales o complejos y con j an =0. Siendo x x1, 2, x3, ..., x , sus n.raíces n

o ceros se cumple que:

(

) (

)

( )

1 1 2

2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 2 1

0 1 2

...

... ... ...

... 1

n n

n

n

n n n n

n

n n

n

a

x x x

a

a

x x x x x x x x x x x x x x

a

a x x x

a

−

− −



 + + + = − 

 

 + + + + + + + + + =

    

 _{= −}

  ⋮

Para un polinomio de segundo gradoP x

( )

=ax2+bx+c_{, siendo} x1 y x las raíces de la 2

ecuación se cumple que: 1 2 y 1 2

b c

x x x x

a a

+ = − = _.

Problema 6: Considere el polinomio P x

( )

=x2+bx+c con b y c enteros no negativos. Encuentre el valor de b y c sabiendo que las raíces de P(x) son números enteros, que c es primo y que P(c+1) = 135, donde P(c+1) , es el valor numérico de P(x) cuando x = c+1. (Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2009, Nivel B)

Solución: Por las fórmulas de Viète, siendo x1 y x las raíces de P(x), se tiene que 2

( )

1 2 1

1 c

x x = =c y 1 2

( )

2

1 b

x +x = − = −b _{, de la ecuación (1), como c es un número}

primo, se sigue que x1= ±c y x2= ±1, con esto tenemos 2 casos:

I Caso: c+ = − ⇒ = − −1 b b c 1 II Caso: − − = − ⇒ = +c 1 b b c 1_.

(

) (

)

2

(

)

(

)

2

(

)(

)

(

)

2

(

)

2

1 1 1 1 1 1 1 1 135

P c+ = c+ +b c+ + =c c+ − +c c+ + =c c+ − +c + = =c c este caso se descarta pues c es un número primo y c=135 no es un número primo, pues 135 es divisible por 5.

Sustituyendo el valor de b en el II Caso:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2 _{2 2}

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 1 2 5 2 135

P c c b c c c c c c c c c

c c c c c c c

+ = + + + + = + + + + + = + + + + =

= ⋅ + + = + + + = + + =

De lo anterior, 2c2+5c+ −2 135= ⇒0 2c2+5c−133= ⇒0

(

2c+19

)(

c−7

)

=0_{, de aquí} c=7 y b=c+1=7+1=8.

Sistemas de Ecuaciones

Problema 7: Halle las soluciones reales del sistema de ecuaciones

3 3 3 2 2 3

5

x y a

x y xy a  + = 

 _{+ =}



Con la condición de que a es real y no es igual a 0.

Solución: Sumamos la primera ecuación más 3 veces la segunda ecuación, se tiene que:

(

)

3 3

8 2

x+y = a ⇒ + =x y a_{, lo cual se cumple pues buscamos las soluciones reales del} sistema.

Sustituyendo en la segunda ecuación

(

)

3 2 3

2 2

a a

xy x y a xy

a

+ = ⇒ = = . Con esto

obtenemos el sistema de ecuaciones

2 2 ,

2 a

x+ =y a xy= . De lo anterior obtenemos la

ecuación cuadrática,

(

)

2 2

2

2 2 0

2 2

a a

x a−x = ⇒x − ax+ = . Las soluciones a la ecuación

son ₁ 2 2, ₁ 2 2, ₂ 2 2, ₂ 2 2

2 2 2 2

Polinomios simétricos

Un polinomio es simétrico si cumple que f x y

(

,

)

= f y x

(

,

)

, para todo x, y. Muchos problemas olímpicos pueden ser resueltos utilizando la siguiente fórmula para expresar un polinomio simétrico en x, y; que incluye los polinomios simétricos fundamentales

1 x y

σ = + y

2 xy

σ = .

(

)

₍

1 1

₎

₍

2 2

₎

1 1 2 2

n n n n n n

n n n

s x y x y x− y − xy x − y − σs σ s

− −

= + = + + − + = −

Problema 8: Encuentre las soluciones reales a la ecuación

4 4

97− +x x=5

Solución: Sea _y=4 _{x z, =}4_{97−x, con lo que obtenemos}

que 4 4

97 97

y +z = +x − =x . Entonces tenemos el sistema de ecuaciones:

4 4

5 , 97

y+ =z y +z =

Siendo σ1= +x y y σ2 =xy, llegamos al sistema de ecuaciones equivalente:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

₍

₎

)

(

)

(

)

(

)

4 4 3 3 2 2

1 1 2

2 2 0 0

1 1 2 2 1 2

2 0 0 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2 2

4 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2 2

4 2 2

1 1 2 2 5,

2

2 2

4 2 97

y z y z y z

y z y z y z y z

y z y z

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

= + = + − +

= + − + − + − +

= + − + − − +

= − − − +

= − + =

Sustituyendo el valor de σ1 = + =x y 5resulta que:

4 2 2

2 2

5 − ⋅4 5 σ +2σ =97, lo que es lo mismo que 2σ₂2−100σ₂+625−97=2σ₂2−100σ₂+528=σ₂2−50σ₂ +264=0. La ecuación cuadrática anterior tiene como soluciones σ₂ =6, óσ₂ =44.

En el primer caso σ₂ =yz=6, esto junto a y+z=5, lo cual es equivalente a z = 5 – y, sustituyendo lo anterior en el producto nos lleva a la ecuación cuadrática

(

)

2

5 6 5 6 0

El caso σ₂ = yz=44 , nos lleva a la ecuación cuadrática y2−5y+44=0, la cual no tiene soluciones reales. Por lo tanto, las únicas soluciones reales de la ecuación son x=81 y x=16.

Problema 9: La ecuación de tercer grado 3 2

6 5 1 0

x − x + x− = , posee tres soluciones reales a, b y c. Encuentre el valor numérico de la expresión a4+ +b4 c4.

Solución: Por las fórmulas de Viête se sigue que :

a+b+c=6, ab+ ac +bc=5, abc=1 Ahora valiéndonos de la relación de recurrencia

1 1 1 2 2 2 3 3 3

( )( ) ( )( ) ( )

n n n n n n n n n n n n

a + + = + +b c a b c a − +b− +c − − ab bc+ +ac a − +b − +c − +abc a − +b− +c −

Y obteniendo que:

0 0 0

1 1 1 3 a + + = + + =b c

6 a b+ + =c

2 2 2 2

( ) 2( )

a + + = + +b c a b c − ab bc+ +ac =36-2·5=26

Gracias a la recurrencia y a las fórmulas de Viète se sigue que:

3 3 3

a + +b c =6·26-5·6+1·3=129

4 4 4

a + +b c =6·129-5·26+1·6=650, con lo cual obtenemos el resultado deseado.

Media Potencial-Media Aritmética- Media Geométrica-Media Armónica

Las desigualdades MQ-MA-MG-MH, permiten resolver una gran cantidad de problemas olímpicos incluso de olimpiadas internacionales, acá mostramos las desigualdades y algunos ejemplos de interés.

2 2 2

1 1 1 1

1 1

1 1

... ...

...

1 1 1

...

n n n n _n

n n

n n

x x x x x x n

x x x

n n

x x x

− −

−

−

+ + + + + +

≥ ≥ ⋅ ⋅ ≥

+ + +

El caso de igualdad de las desigualdades anteriores es cuando x1=x2= =... xn.

Problema 9: Muestre que a2+b2+c2≥ab+ac+bc_.

Solución: Por MA-MG, se sigue que:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

, ,

2 2 2

a b a c b c

a b ab a c ac b c bc

+ + +

≥ = ≥ = ≥ =

Sumando las desigualdades anteriores obtenemos que:

2 2 2

a +b +c ≥ab+ac+bc

Que es lo que queríamos probar.

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1: Muestre que: 3 3 3

₍

₎

(

2 2 2

)

3

x +y +z − xyz= x+ +y z x +y +z −xy−xz−yz _.

Ejercicio 2: Muestre que 1

1

n n a nb

ab n

+ +

≤

+ .

Ejercicio 3: Muestre que: 25

(

a b c d e

)

1 1 1 1 1

a b c d e

 _



≤ + + + + _ + + + + _

Ejercicio 4: Considere dos números racionales positivos a y b, tales que la suma

3 3

b

a + _{es un número racional. Demuestre que} 3 a y 3 b son números racionales. (Banco de problemas Final Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 2006, Nivel B)

Ejercicio 5: Existe algún polinomio P(x), para los cuales xP x

(

− =1

) (

x+1

) ( )

P x ?

Ejercicio 6: Encuentre todas las soluciones positivas de la ecuación

(

)

1

1 1 0

n n

nx + − n+ x + =

Ejercicio 7: En el polinomio x3+px2+qx+r _{s cumple que un cero es la suma de los} otros dos. Muestre que p3−4pq+8r=0.

Ejercicio 8: Resuelva el sistema de ecuaciones:

2 2

4 2

x xy y

x xy y  + + = 

Ejercicio 9: Muestre que: ! 1 2

n

n

n ≤_ + _ ., con n!=n n

(

−1

)(

n− ⋅ ⋅ ⋅2 ... 2 1

)

.

Ejercicio 10: Sea a b, ∈ℤ_{. Resuelva (¡numéricamente!) la ecuación}

(

ax−b

)

2+

(

bx−a

)

2=x

sabiendo que admite una raíz entera. (M. Becheanu, Gazeta Matematica, Rumania)

Bibliografía

Engel, A. (2000). Problem-Solving Strategies. Frankfurt: Springer.