Ejercicios detallados del obj 4 Mat II (178 179

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(1)

Capitulo II Matemática II

Objetivo 4. Efectuar problemas aplicando la definición o propiedades de la derivada de una función.

Ejercicio 1 Calcular la derivada de la función:

2

3

( ) cos

ln x e

f x sen x

x

 

=  − 

 .

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una función compuesta, por ende se aplica la derivada en cadena, se sabe que es compuesta porque el argumento de la función seno es la función

2

3 cos ln

x e

x x

 

 

 

 .

En este caso aplicamos la propiedad o fórmula de derivación siguiente:

( ) ( )

' '

( )

cos

sen u = u u

 

  i

Si comparamos la función dada con esta fórmula, observamos:

( )

2

3

cos

ln

x e

x s

sen x

u

en 

 − 

Que u es 2

3

cos ln

x e

u x

x

= − , por lo tanto, al sustituir en la fórmula de derivación dada, se tiene:

( ) ( )

' '

( )

' '

2 2 2

3 3 3

cos cos

cos

cos

ln ln cos ln

u u u

x e x e x e

s

x x x

x x x

en

sen

=

 

 

      

=

  

      −

 − − 

i

i

NOTA: Observa que al derivar, el argumento de la función coseno es todo el argumento original del seno, es decir

2

3

cos ln

x e

x

x − .

(2)

' '

2 2

3 3

2

3

cos cos cos

ln ln cos ln

x e x e

sen x e x

x

x x

x x

 

    

− = −

  

      

  i

(

)

'

2 2

3 3

' 2

' 3

cos cos cos co

ln l s

ln n

x e x e x e

x x

sen x x

x x

    

− = −

  

  

 

  i

(I)

Se aplicó en la línea anterior la derivada de una resta, que es la resta de la derivada.

Ahora procedemos a derivar cada función, lo hare por separado para luego sustituir al final y obtener la respuesta total definitiva, comenzare derivando primero:

' 2

ln

x e x

 

 

 

 

Acá estamos en presencia de la derivada de un cociente, es decir:

( )

'

( )

'

'

2 u v v u u

v v

−  

=    

i i

En nuestro caso:

2

ln

x e x

u v=  

=

 , sustituyendo en la fórmula de la derivada de un cociente, se tiene:

( )

( )

( )

2 2

' 2 2

'

' '

2 2

2

1 ln ln ln

ln ln ln

e x x x e

x e x x x e

x e x

x x x

  − 

 

= =

 

 

 

 

i i

i i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones: a)

( )

2 '

( )

2 '

x e = e x el número e es una constante y esta MULTIPLICANDO, por lo tanto sale de la derivada.

b)

( )

lnx ' 1 x

  = 

  Se aplicó la derivada de la función logaritmo. Continuando:

( )

2

( )

2

2 ' 1 2 ln 1

ln

ln

e x x

e x x x e

x x

x

 

− 

  = i

i i

2 x

   

 i

( )

(

)

2 2 2

2 ln 2 ln 1

ln ln ln

e

e x x x e x e x

x x x

− −

= i =

(3)

a)

( )

2 '

( )

2

x = x Se aplicó la derivada usando

( )

xn '=nxn−1→

( )

x2 '=2x2−1=2x1=2x.

b) Se simplificó: 1

x

2

x

 

 

 i e=x e

c) Se aplicó el factor común en:

( )

2 lnx

( )

2 ln 1

(

2 ln 1

)

e x i −x e= e x i x− ix e=x e x− Por lo tanto se tiene:

(

)

' 2

2

2 ln 1

ln ln

x e x x e

x x

 

=

 

 

  (II)

Ahora procedemos a derivar la segunda parte:

(

3

)

'

cos x

En este caso estamos en presencia de una derivada en cadena, porque la función coseno esta elevada a un exponente constante, en este caso 3, por lo tanto hacemos uso de la fórmula:

( )

n ' n 1

( )

'

u =nui u

Te recomiendo escribir

(

3

)

(

)

3

cos x = cosx ya que visualizas mejor quien es u y n, entonces:

( )

' 1

( )

'

(

)

3

(

) (

31

)

'

(

) (

2

)

2

cos 3 cos cos 3 cos 3cos

n n xsenx

u =nui ux = xi x = x isenx = −

Por lo tanto:

(

3

)

' 2

cos x = −3cos xsenx (III)

Ahora sustituimos (II) y (III) en (I) que es la derivada que originalmente estamos resolviendo:

(

)

(

)

'

2 2

3 2 3

2

2 ln

cos cos cos

ln

1 3

l cos

ln n

x e x

xsenx x

x e x e

sen x x

x x

− −

 

 

    

− = −

  

    

  i 

Finalmente, se tiene:

(

)

'

2 2

3 2 3

2

2 ln

cos cos cos

ln

1 3

l cos

ln n

x e x

xsenx x

x e x e

sen x x

x x

+

 

 

    

− = −

  

    

  i 

(4)

Respuesta:

(

)

'

2 2

' 3 2 3

2 2 ln 1

( ) cos 3cos cos cos

ln ln ln

x e x

x e x e

f x sen x xsenx x

x x x

 

    

=  −  = +   − 

      

   i

Ejercicio 2

Calcular la derivada de la función:

(

2

)

( ) 3 cosx 1

f x = x − .

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia del producto de 2 funciones, por lo tanto se aplica la fórmula de la derivada de un producto, es decir:

( ) ( )

' '

( )

'

uiv = u iv+ v iu

En nuestro caso:

( ) ( )

' '

( )

'

(

2

)

( )

'

(

2

)

(

(

2

)

)

'

cos 1 cos 1 cos 1 3

3x 3x x

uiv = u iv+ v iu→ i x − = i x − + x − i Por lo tanto:

( )

'

(

2

)

(

(

2

)

)

'

'

cos

( ) 3x 1 cos 1 3x

f x = i x − + xi (I)

Ahora resolvemos cada una de las derivadas presentes: PRIMERO:

( )

'

3x

En este caso se aplica la fórmula:

( ) ( )

x x ln

a = a i a, aplicando esto en nuestro caso:

( )

'

3x =3 ln 3x (II) SEGUNDO:

(

2

)

cos x −1

Estamos en presencia de una función compuesta porque el argumento de la función coseno es

(

2

)

1

x − , por lo tanto hay que aplicar la regla de la cadena, es decir,

( )

'

( )

'

( )

cos u = − u sen u

 

  i

Aplicando ésta fórmula en nuestro caso:

( )

'

( )

'

( )

(

2

) (

2

) (

' 2

)

cos u = − u sen u →cos x −1 =− x −1 sen x −1

 

(5)

Ahora resolvemos la derivada:

(

2

) ( )

' 2 '

( )

'

1 1 2 0 2

x − = x − = x− = x

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a)

( )

x2 ' =2x Se aplicó la derivada usando

( )

' 1

( )

2 ' 21 1

2 2

2

n n

x =nx − → x = x− = x = x.

b)

( )

1 ' =0 Se aplicó la derivada de una constante, que siempre es cero. Por lo tanto la derivada de

(

2

)

cos x −1 es:

( )

'

( )

'

( )

(

2

)

( )

(

2

)

cos u = − u sen u →cos x 1 = − 2x sen x 1

 

  i i − (III)

Sustituyendo (II) y (III) en (I), se tiene el resultado de la derivada original:

(

)

(

( )

(

)

)

' 2 2

( ) 3 ln 3 cosx 1 2 1 3x

f x = i x − + − x sen xii

Ahora se multiplican los signos en el centro (color rojo) (más por menos) y se extrae factor común la función destacada en rojo:

(

)

(

( )

(

)

)

' 2 2

( ) 3xln 3 cos 1 2 1 3x

f x = i x − + − x sen xi − i

Así se obtiene:

Respuesta: f x'( )=3xln 3 cosi

(

x2− −1

)

( )

2x sen xi

(

2−1

)

Ejercicio 3

Dada 3

( ) 4 9

f x = xx verificar si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 3 3,

2 2 −

 

 

 

Solución

Justificación: En este caso debemos conocer el teorema de Rolle, por lo tanto enunciemos dicho teorema:

TEOREMA DE ROLLE: SI: ( )

f x es una función continua definida en el intervalo cerrado

[ ]

a b, ( )

f x es una función derivable en el intervalo abierto

( )

a b, ( ) ( )

f a = f b

ENTONCES: existe al menos un número c perteneciente al intervalo

( )

a b, tal que '

(6)

Ahora bien dado este teorema, debemos saber cuál o cuáles son las hipótesis y cual la tesis. TODO TEOREMA tiene hipótesis y tesis; la hipótesis o hipótesis es o son, la o las condiciones para poder llegar a la tesis o conclusión. Normalmente después de la palabra SI se encuentran las hipótesis y después de la palabra ENTONCES se encuentra la tesis.

En nuestro caso, las hipótesis son: ( )

f x es una función continua definida en el intervalo cerrado

[ ]

a b, ( )

f x es una función derivable en el intervalo abierto

( )

a b, ( ) ( )

f a = f b Y la tesis es:

Existe al menos un número c perteneciente al intervalo

( )

a b, tal que '

( ) 0 f c = .

En el ejercicio solo se nos pide verificar si la función dada f x( )=4x3−9x cumple con las hipótesis del teorema de Rolle. Por lo tanto:

HIPOTESIS 1: f x( ) es una función continua definida en el intervalo cerrado

[ ]

a b, .

Como la función dada es un polinomio 3

4x −9x, se cumple la primera hipótesis, ya que toda función polinómica es continua.

HIPOTESIS 2: f x( ) es una función derivable en el intervalo abierto

( )

a b, .

Calculemos la derivada de la función dada: f x( )=4x3−9x

( )

'

( )

'

( )

' 3 2 2

( ) 4 9 4 3 9 12 9

f x = xx = i x − = x − En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se extrajo la constante de las derivadas siguientes porque están MULTIPLICANDO, así:

( ) ( )

3 ' 3 '

( )

'

( )

'

y

4x =4 x 9x =9 x

b)

( )

3 '

3

x = x Se aplicó la derivada usando

( )

' 1

( )

3 ' 31 2 2 3

3 3

n n

(7)

c) Siempre la derivada de x es uno, es decir:

( )

x ' =1, por eso:

( )

'

( )

'

1

9x =9 x =9i =9

Ahora bien, saber si una función es derivable en el intervalo abierto

( )

a b, , es observar si la función derivada existe o está definida en dicho intervalo, en nuestro caso la derivada es ' 2

( ) 12 9

f x = x − un polinomio, y se sabe que un polinomio existe para todos los números reales, por ende para todo intervalo dado, en fin, en nuestro caso la función si es derivable, por lo tanto se cumple la segunda hipótesis.

HIPOTESIS 3: f a( )= f b( ).

En nuestro caso, el intervalo dado es

2

3 2 ,

3

− 

 

 , comparando con el dado

en el teorema, es decir

[ ]

a,b , podemos deducir que:

3 2

3 2

a b

 

=

 =   

Ahora verificamos si ciertamente f a( )= f b( ) para la función dada 3

( ) 4 9

f x = xx, así pues, evaluemos la función en los puntos a y b:

( )

( )

( )

3 3

3

3 27

3 3 3 2

4 4 1

8 8 2

2

4

( ) 4 9 4 4

27 27

( ) : entonces:

2 27

7 27 27 27

2 2 2 2 2 8

27

( ) 0

2

2 8 2

f f

f simplificando

f a

a

a

 

             

= = =  + =  + = +

 

             

− −

− − − −

 

 

=  + →  

 

   

=  + =

   

=

Por otro lado:

( )

( )

( )

3 3

3

4

( ) 4 9 4 4

27 27

( ) 4 :4 1 ent

8 2 8 2 onces:

27 27

( )

3 27

3 3 3 27 27 27 27

2 2 2 2 2 8

0 2

2 2

2

8

f f

f simplificando

b

b

f

b

 

             

=  =   =  + =  + = +

 

             

 

=  + →

 

 

   

=  + =

   

=

− −

(8)

Respuesta: Si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle a la función

dada 3

( ) 4 9

f x = xx.

Ejercicio 4

Verificar que forma indeterminada existe en el siguiente límite:

2 lim

cot 2 cos x

x

gx x

π

π

 

 

  y aplicar L’Hopital para calcular dicho límite. Solución

Justificación: Primero sustituimos en el límite dado para saber que forma indeterminada se genera:

2

2 lim

cot 2 cos

cot 2 cos

2 2

x

x

gx x

g

π

π

π π

π π

 

 

 

 

− = −

 

   

 

 

   

 

   

 

Sabiendo que:

1 1

cot 0

2

2

cos 0

2 g

tg

π

π

π

  

= = =

 

 

  

  

=

  

 Por lo tanto:

2 2

0 2 0 0

cot 2 cos

2 2

g

π

π

π

π

π

π

π

 

   

=  = ∞ − = ∞ − ∞

   

   

   

 

   

 

i

Por lo tanto la forma indeterminada es: ∞ − ∞.

Por otro lado, L’Hopital se aplica únicamente a las formas indeterminadas 0 y

0 ∞

(9)

(

)

2 2

2

2

lim lim Se aplico:

2 cos 2 cos

lim 2 cos lim 1 s 1 cot 1 co 2 e aplico cos dobe C 1 1 t x x x x gx gx t x tg x x x x x x x x tg gx tg x x π π π π

π

π

π

π

→ → → →           − = − =                    =   =       −     i

Ahora restaremos las fracciones:

2 2 2

2 cos 2 cos

lim lim lim

2 cos 2 cos

1 1 2cos

1

x x x

x

x tgx x tgx x tgx x

x x x

π π π

π

π

π

→ → → − −       − = = =            

i i i

i i i Recordando que: cos senx tgx x

= , tendremos:

2 2 2

cos c

2

2 cos

2 cos

lim lim lim

2 cos 2 cos

os

x x x

senx senx

tgx x x x x x

x x x x π π π

π

π

→ → →   −   −   =  =       i i i cosx 2 2 cos 2 lim 2 cos x x x senx x π

π

π

→   −    =       −       i

Si sustituimos en esta última expresión, tenemos:

2

1 2

2

2 2 2

lim

2 cos

2 cos cos 0

2 2 2 x sen sen x senx x π

π

π

π

π

π

π

π

→          = −          −     =                =           i i 2

π

1 1 0

2 0 0 0 0

π

π

π

π π

    −            =  = =        i i i

Lo que nos permite aplicar L’Hopital, recordemos en que consiste la fórmula de L’Hopital:

0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( )

x x x x

f x f x

g x g x

→ →     =        

(10)

(

)

(

)

' '

2 2

2 2

lim lim

2 cos 2 cos

x x

x senx x senx

x x

π π

π

π

→ →

− −

 

=

 

 

i i

Derivando el numerador:

(

) (

) ( ) ( )

(

)

(

)

' ' ' ' '

'

2 2 2 2 0

2 2 2 cos

x senx x senx x senx x senx

x senx senx x x

π

π

π

− = − = + −

− = +

i i

i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la resta de la derivada, que se transforma en la resta de las derivadas, es decir,

(

2x senxi −π

) (

'= 2x senxi

) ( )

'− π '

b) Se aplicó la derivada de un producto, es decir,

( ) ( )

uiv ' = u 'iv+

( )

v 'iu,

en nuestro caso:

( ) ( )

' '

( )

'

(

) ( )

' '

(

)

'

2 2 2 2 2 cos

v v v senx senx senx se

ui = u i + iuxi = x i + i x= nx+ x x

c) Se aplico la derivada de una constantes:

( )

π ' =0 Derivando el denominador:

(

)

'

2 cosx = −2senx Ahora sustituimos en nuestro límite, así:

(

)

(

)

' '

2 2

2 2 2 cos

lim lim

2 2 cos

x x

x senx senx x x

senx x

π π

π

→ →

= +

i

Evaluando, tenemos:

2

1

2 2 cos

2

2 2 cos 2 2 2

lim

2

2 cos 0

2 2

2 1 2 x

sen sen

senx x x

senx

sen

π

π

π

π

π

π

π

  

      =

+   

     

+ =      =  

   

=

 

 

+

i

2

π

0

2 0 2 0 2

1

2 1 2 2 2

π

 

  + +

  = = = = −

− − − −

i

i i

Por lo que: Respuesta:

2

lim 1

cot 2 cos x

x

gx x

π

π

 

− = −

 

 

(11)

Aplicar L’Hopital para calcular lim 1 2 x

x→∞ x

 

+

 

  . Solución

Justificación: Primero evaluamos el límite para saber a que forma indeterminada nos enfrentamos:

(

)

2 2

lim 1 1 1 0 1

x

x x

∞ ∞

→∞

   

+ = + = + =

   

   

Recuerda que todo número dividido entre infinito es cero.

Recordemos también que el método de resolución de L’Hopital se aplica únicamente a las formas indeterminadas: 0 y

0 ∞

∞, por lo tanto aun no podemos aplicar L’Hopital, ya que tenemos la forma indeterminada 1∞, ¿Qué hacer?, Respuesta: Como tenemos una función elevada a otra función, es decir, existe el exponente equis en la función dada lim 1 2

x

x

x

→∞

 

+

 

  se aplicara logaritmo, así: PASO 1

ln

2 2

lim 1 lnlim 1

x x

x x

y y

x x

→∞ →∞

   

=  +  → =  + 

    (Se aplicó logaritmo en ambos miembros) PASO 2

2 2

lim 1 li

n m 1

l ln

x x

x→∞ x x→∞ x

   

+ = +

   

    (Se aplicó la propiedad que nos indica que el logaritmo del límite es el límite del logaritmo, es decir, lnlim limln

x→∞A=x→∞ A PASO 3

ln 2 2

lim 1 lim ln 1

x x

x

x x x

→∞ →∞

 

   

+ = +

    

   i   (Se aplicó la propiedad de logaritmo que nos indica que el exponente pasa o baja a multiplicar, es decir, ln

( )

a b =bilna)

PASO 4

ln ln

2 1 2

lim 1

1

lim

x x

x x

x x

→∞ →∞

   +

 

 

  + =  =

 

 

   

 

 

 

i (Se aplicó una transformación matemática

conveniente para generar la forma indeterminada 0

(12)

basa en 1

1 1

B B

A B A B

A A

× = = = i , es decir, al aplicar doble C tenemos la

multiplicación original) PASO 5

Evaluemos el límite así obtenido, para verificar la forma indeterminada:

(

)

( )

2 2

ln 1 ln 1

ln 1 0 ln 1 0 lim

1 1 0 0 0

x

x

x

→∞

     

+ +

   

  +

 = = = =

   

  

   

Por lo tanto podemos aplicar L’Hopital, es decir derivar en el numerador y denominador, así:

'

' 2 2

ln 1 ln 1

lim lim

1 1

x x

x x

x x

→∞ →∞

 

    +

+  

   

 =

   

   

   

Derivada del numerador:

( )

' '

'

' 2

2

2 2 2 2

1 1 0

2 ln 1

2 2

2 2

1

x x x x

x x

x x

x x

x x

     

+ + +

     

  +  =  =   =   =

 

  + + +

 

  +

   

   

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la derivada de la función logaritmo, ésta es una derivada en cadena, porque el argumento de la función logaritmo es otra función,

en este caso se aplicó:

( )

' '

'

2 1 2

l

2

ln 1

1

n u u x

u x

x

 

 

    

= →   =

 

 

+

+   +

 

b) Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,

' '

2 2

2 2

, 0

a a

a

x x x x

− −

   

= ≠ → =

   

   

c) Se aplicó la derivada de una constante, ya que está sumando y no MULTIPLICANDO, observa:

( )

' '

'

2 2

1 1

x x

   

+ = +

   

(13)

2 2 2

2 2

2 ( 2)

x x

x

x x x

x

− −

= =

+ i i+ 2 i

x

2 ( 2) (x 2) x x

− =

+

+ i

i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones: a) Se aplicó la doble C y se simplificaron las equis. Derivada del denominador:

' 2

1 1

x x

−  

=    

Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,

' '

2 2

1 1

, 0

a a

a

x x x x

− −

   

= ≠ → =

   

   

Ahora sustituimos en nuestro límite, así: '

2 '

2

2 2

ln 1

2 ( 2)

lim lim lim

1 1

x x x

x x x x

x x

→∞ →∞ →∞

  

+

 

+

  = =

−  

   

i i

x

2 lim

( 2) ( 2) x

x x x+ = →∞ +

i

Observa que se aplicó la doble C y se simplifico, además recuerda en cuanto a los signos que −

−=+

El último límite obtenido, al evaluarlo es de la forma: 2

lim

( 2) x

x x

→∞

∞ =

+ ∞

Por lo tanto podemos volver a aplicar L’Hopital, ya que ésta forma indeterminada lo permite, así:

( )

' ' 2

2 2

lim lim lim lim 2 2

( 2) ( 2) 1

x x x x

x x

x x

→∞ + = →∞ + = →∞ = →∞ =

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la derivada del numerador y denominador, ambas sencillas, observa:

( )

2x '=2

( )

x ' =2 1i =2 y

(

x+2

) ( ) ( )

' = x '+ 2 '= + =1 0 1

b) Se aplicó la propiedad de límite. Que nos indica, que el límite de una constante es la constante, es decir: lim

x→∞k=k, por eso; lim 2x→∞ =2. Respuesta: lim 1 2 2

x

x→∞ x

 

+ =

 

(14)

Ejercicio 6 Calcular la derivada de la función

(

)

2 ln

1

( ) x x

f x e

x

+

=

Solución

Justificación: Antes de calcular esta derivada es pertinente simplificarla, sin embargo, si la derivas tal como está llegaras al mismo resultado, observa:

PASO 1

(

2 ln

)

( )

2 ( )

ln

1 x x 1 x x

e e e

x x

+

= i (Se aplicó la propiedad: ax y+ =a axi y, es decir, si

tenemos la misma base en un producto, esto equivale a colocar la misma base y sumar los exponentes)

PASO 2

( )

2 ( )

( )

2

ln

1 x x 1 x

e e

x ie = x ie

ln

( )x 1

( )

x2

e

x x

= i (Se aplicó una de las propiedades de

logaritmo, que nos indica: e( )lnx = e( )lnx =x) PASO 3

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

1 x x x x x x x x

x

x x x

x

e e e xe

x x

= = = =

i

x

( )

x2

( )

x2

xe = xe (Se racionalizó la expresión, es decir, cuando se tiene una raíz en el denominador, ésta se puede

eliminar multiplicando y dividiendo por la misma raíz, es decir:

x x x x x x

x = x x = x x = x

x = x, no olvides que: xi x =x, y luego se simplificaron las equis)

Ahora con la función simplificada:

( )

2

( ) x

f x = xe , la derivaremos. Observa que tenemos el producto de 2 funciones, es decir:

( )

( )

2

x

x e 

 

i ,

por lo tanto, aplicaremos la derivada de un producto, es decir:

( ) ( )

' '

( )

'

( )

( )

x2 '

( )

'

( )

x2

( )

x2 '

v v v e e e

u = u + ux  = x +  x

 

 

 

 

 

i i i i i i

Derivare cada función, para que cada paso te quede claro: a)

( )

' 1

2

x

x

(15)

b)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 ' 2 ' 2 2

2

2 2

x x x x

e e x e x xe

  =

 =

 i = i , ésta es una derivada en

cadena, acá se aplicó la fórmula:

( )

( ) ( )

( )

' '

u u

e =e i u , en este caso 2

u=x , y se derivo

( )

xn '=nxn−1→

( )

x2 '=2x2−1=2x1=2x. Sustituyendo éstos resultados en la derivada, se tiene:

( )

( )

2 '

( )

'

( )

2

( )

2 ' 1

( )

2

( )

2

2 2

x x x x x

e e e e xe

x x x x

x

  = +  = + 

   

 

 

 

 

 

 

i i i i i

Respuesta:

( )

( )

2 2

'

( ) 1 2

2

x x

e xe x

x

f x = + 

 

  

i i

Ejercicio 7

Calcular la derivada de la función definida a través de la expresión

(

2

)

3 5

( ) x senx

f x

x tgx + =

Solución

Justificación: Antes de derivar, podemos simplificar la función dada, sustituyendo la función tangente de equis, por:

cos senx tgx

x = , así:

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

3

3 3

3

5

5 5 1 5 cos 5

cos cos

x senx

x senx x senx x senx x x senx

senx x senx

x tgx x x senx

x x

+

+ + + +

= = = = 3 cosx

x senx

(

2

)

3 5 cos

( ) x x

f x

x + =

Ahora derivamos, aplicando la fórmula de la derivada de un cociente, es decir,

( )

'

( )

' '

2

u v v

v v

u

u

  =    

i i

En nuestro caso, que tenemos la función

(

)

2

3 5 cos

( ) x x

f x

x +

= , tenemos:

(

2

)

3

5 cos

u x x

v x

=

= +

 

(16)

( )

( )

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

( )

2 ' 3 3 ' 2

'

' '

'

2 2

2

3 3

5 cos 5 cos

5 cos x x x x

x x x

v v

v v x x

x

u u

u −   −

 

= → =

 

 

+

+

+ i i

i i

Desarrollaré las 2 derivadas que nos faltan por separado. Primero:

(

)

(

)

'

2

5 cos

x + x

Acá estamos en presencia de la derivada de un producto, es decir:

( ) ( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

) ( ) (

) (

)

(

)

' '

' ' ' 2 2 ' 2

2 ' 2

'

2 2

cos cos cos

cos cos

5 5 5

5 2

5 cos 2 co 5

5

s

u

x x x x senx

u u x x x

x x x

v v v x x x

x x sen

x x

 

= + → = +

  = +

+ +

+

+

+

= − +

 

− +

i i i i i i

i i i

i i i

La segunda derivada, es:

( )

3 ' 2

3 x = x

Estas dos derivadas son de la misma forma o naturaleza en cuanto a procedimiento, y ya en los 6 ejercicios anteriores explique con suficiente detalle como derivarlas, de aquí en adelante si se nos presenta una derivada de distinta naturaleza, la derivare en detalle amigo y amiga estudiante.

(17)

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

( )

( ) (

) (

)

(

)

( )

(

)

( )

( ) (

) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

( )

)

(

)

3 3 3 3 3 2 3 3 2

3 3 2 2

' ' ' 2 2 2 2 6 2 2 6 4 2 2 3 2 2 2 2

5 cos 5 co

2 cos 5 5

2 cos 5 5

2 cos

s 5 cos

2 cos 5 3 5 cos

3 cos

3 cos 3 cos

x x senx x x

x

x x se

x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x x

nx x x

x x

x

x x

x x senx x x x

x

x x x x

senx x x

×     = =         = + +   = + +  + + + − + +  = − i i i i

i i i i

i i i i i i

i i i i

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 4 2 6

4 5 4 2

6

5 3 2

4 4

4 4

6

5 3 2 5 3 2

2

6 6

3

5 3 15

2 cos 5 3 15

5 15 cos

5 1

cos cos

cos cos

2 cos 3 cos

cos 5 cos 5 co 15 c

5

s os

x x

x

x x x x x

x

x senx x senx x x

x

x senx x senx x x sen

senx x x x

sen

x senx x

x x

senx

x x se

x x x

nx x x

x

s

x x

x x x

x

x x x x

+ +   = + +   = − − − = − − − = − − − = − − i i

(

4

)

2

6

15 co

cos s

enx x x x

x

x

=

(

3 4

)

6

5 x cos 15 cos

x senx xsenx x

x

x

− − −

(

2

)

(

4

)

3 4

4 4

5 cos 15

5 cos 15 cos xsenx x x x

x senx xsenx x x x

x x

=

− − +

− − − =

Respuesta:

(

)

(

)

2 4

'

4

5 cos 15

( ) xsenx x x x

f x

x

− − +

=

Nota: El resultado de la derivada la puedes dejar a partir de cualquiera

de las expresiones que aparecen desde la tercera línea en adelante en el último desarrollo anterior, donde simplifique a la mínima expresión hasta

obtener

(

)

(

)

2 4

4

5 cos 15

xsenx x x x

x

− − +

, por ello no explique en detalle cada paso, aunque pienso que los entiendas, y de no ser así comunícate conmigo a través de mi correo jorgegranadillomat@gmail.com o por mi celular 0412-4514815 o en forma presencial en mi oficina en la UNA en el horario que aparece en mi página: http://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/

Ejercicio 8

Calcular la derivada de la función

(

)

2

4 5 3

( ) cos x x

(18)

Solución

Justificación: Acá estamos en presencia de una derivada donde se requiere aplicar la regla de la cadena, ya que es una función compuesta, pero antes, utilicemos los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) para destacar bien cada parte de la función dada:

(

2

)

(

2

)

3

3 4 5 4 5

( ) cos x x cos x x

f x =sen e − =sen e − 

 

 

 

Para desarrollar este ejercicio siempre ten presente que se debe desarrollar desde la función más externa hasta la más interna, es decir, lo primero que se evidencia, como función más externa es la potencia cubica, es decir el número 3 destacado en rojo, luego la función seno (anda mirando de izquierda a derecha) luego la función coseno, luego la función exponencial

(

4x2 5x

)

e − , y por último el polinomio que es el exponente de esta función exponencial, es decir, 2

4x −5x. Por lo anteriormente explicado, utilizaremos primero la fórmula:

( )

n

( ) ( )

n 1 ' u =n ui u En nuestro caso

(

)

(

)

( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2

3

3 3

' 4 5

1 1

4 5

'

4 5 4 5 4 5

'

cos cos

cos cos c s

3

3 o

x x x x

x

n n x x x x x

u sen e

sen e

u n u u sen e sen e s ne e

n

− −

− −

− − −

   

=

     = 

 

 

    

 

  

 

          

= →     =      

     

     

    

 

 

=

i i

(

2

)

3

(

2

)

(

2

)

'

' '

4 5

2

4 5 4 5

cos x x 3 cos x x c so x x

sen esen esen e

  

 

     =      

     

      

     

     

     

 

  i

Observa que ahora solo derivaremos ( 2 ) ' 4 5 cos x x

sen e

   

 

 

  , es decir, la

primera expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será

derivar ( 2 )

' 4 5 cos x x

sen e

  

 

  que es la función interna que sigue, y así ir

derivando una a una y al final sustituiré todos los resultados, como se observa claramente que la función más externa es el seno en ( 2 )

' 4 5 cos x x

sen e

   

 

 

  ,

(19)

( )

(

)

'

( )

'

( )

cos

sen u = u u

En nuestro caso:

( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 4 5

'

4 5 4 5 4

' 4 5 ' 5 ' ' cos

cos cos cos

cos

cos cos

x x

x x

x x x x x x

u e

u u u e

sen e

sen sen e e

− − − − −     =            =                                     = → =           

Observa que ahora solo derivaremos

(

)

2 ' 4 5

cos e xx

  

 

 

 

 , es decir, la

segunda expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será

derivar

(

)

2 '

4 5 cos e xx

  

 

  que es la función interna que sigue, se observa

claramente que la función más externa es el coseno en

(

)

2 '

4 5 cos e xx

  

 

 

 

 ,

utilizare la siguiente fórmula:

( )

(

)

'

( )

'

( )

cos u = − u sen u

En nuestro caso:

( )

{

( )

( )

(

)

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

'

4 5 4 5

'

4 5 ' 4 5 4 5

' '

cos

cos cos

x x x x

x x x x x x

e u e

u u sen u e e sen e

− − − − −    =                        = →         = − → = −          

Observa que ahora solo derivaremos

(

)

2 ' 4x 5x

e

 

 

 , es decir, la segunda

expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será derivar

(

4x2 5x

)

'

e

 

 

  que es la función interna que sigue, se observa claramente que la

función más externa es la exponencial en

(

)

2 '

4x 5x e

 

 

  , utilizare la siguiente fórmula:

( )

u '

( )

'

( )

u e = u e

En nuestro caso:

( )

{

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

2

2 2

4 5 2

'

4 5 4 5

' 2 ' ' ' 4 5 4 5 x x

x x x x

u u

u x x

u e

e e e x x e

(20)

Finalmente derivamos la última función, la más interna que es el polinomio:

(

4x2−5x

)

, así:

(

2

) ( )

' 2 '

( )

' 2 1

( )

'

4x −5x = 4x − 5x =2 4i x − −5 x =8x−5

Para concluir el ejercicio sustituimos cada resultado y simplificamos, comenzare a sustituir de atrás hacia delante, es decir, la última derivada fue el polinomio, pues la sustituiré primero y asi sucesivamente, de todos modos ire escribiendo cada expresión a sustituir para que t quede bien claro:

En: (42 5 ) '

(

2

)

' (42 5)

4 5

x x x x

e x

ex

  =  

  

  −  

Sustituiré:

(

2

)

'

4x −5x =8x−5, obteniendo:

(4 2 5 ) '

(

)

(42 5)

8 5

x x x x

ex e

  =  

   

   

En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

'

4 5 ' 4 5 4 5

cose xx  e xx  sen e xx 

  

  = −  

   

    

Sustituiré: ( 2 )

(

)

( 2 )

'

4 5 4 5

8 5

x x x x

ex e

  =  

   

   , obteniendo:

(4 2 5 ) '

(

)

(4 2 5 ) (4 2 5 )

cos e xx 8x 5 e xx sen e xx

   = −    

     

   

En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

' '

4 5 4 5 4 5

cos x x cos x x c so cos x x sen e −   e −   e − 

   

=  

 

      

Sustituiré: ( 2 )

(

)

( 2 ) ( 2 )

'

4 5 4 5 4 5

cos e xx 8x 5 e xx sen e xx

   = −    

     

   , obteniendo:

(42 5) '

(

)

(42 5) (4 2 5 ) (42 5)

cos x x 8 5 x x x x cos cos x x

sen ex esen ee

    = −       

       

     

   

FINALMENTE,

En: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

3 ' '

4 5 5 4

2

4 5

cos x x 3 cos x x cos x x

sen esen esen e

 

     =      

     

       

 

  i

Sustituiré: ( 2 )

(

)

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

'

4 5 4 5 4 5 4 5

cos x x 8 5 x x x x cos cos x x

sen ex esen ee

   = −    

     

   

Obteniendo la derivada final:

( 2 ) ( 2 )

(

)

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

'

3 2

4 5 4 5 4 5 4 5 4 5

cos x x 3 cos x x 8 5 x x x x cos cos x x

sen esen ex esen ee

     =          

         

        

      

 

(21)

Respuesta: La derivada de la función

(

)

2

4 5 3

( ) cos x x

f x =sen e − , es:

( 2 ) ( 2 )

(

)

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

'

3 2

4 5 4 5 4 5 4 5 4 5

cos x x 3 cos x x 8 5 x x x x cos cos x x

sen esen ex esen ee

     =          

         

        

      

 

  i

Ejercicio 9 Calcular la derivada de la función

y

=

2x

x

.

Solución

Justificación: En este caso debemos escribir la función dada así: 1

2x 2x

y

=

x

=

x

(Se aplicó la propiedad de los radicales:

a a

b b

x

=

x

)

Ahora, como tenemos una función elevada a otra función aplicaremos logaritmo en ambos miembros, así:

1 1

2x

ln

ln

2x

y

=

x

y

=

x

( )

1

2

ln

1

2

ln

x

y

x

y

x

x

=

=

(Se aplicó la propiedad de logaritmo de una

potencia, es decir,

ln

( )

x

y

=

y

ln

x

)

Ahora se procede a derivar en ambos miembros de la igualdad, este tipo de derivada se denomina derivada implícita, porque hay que derivar la variable dependiente

y

, entonces:

( ) ( )

'

( )

' ' '

( )

'

ln

1

ln

ln

1

ln

1

ln

1

ln

2

2

2

2

y

y

x

y

x

x

x

x

x

y

x

x

=

=

=

+

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a)

( )

' '

ln

y

y

y

=

Se aplicó la derivada de la función logaritmo.

b)

( )

( )

' '

'

1

1

1

ln

ln

2

x

ln

x

2

x

x

2

x

x

=

+

, se aplicó la derivada de un

Figure

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Referencias

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