ANGELINA ROSARIO GUZMÁN SÁNCHEZ IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ AURELIO HERNÁNDEZ RAMÍREZ

(1)

ESIQIE-IPN

CALCULO SUPERIOR

ACADEMIA DE MATEMATICAS

ANGELINA ROSARIO GUZMÁN SÁNCHEZ

IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ

AURELIO HERNÁNDEZ RAMÍREZ

INDICE

Capitulo I

Tensores

Pag. 1

(2)

A. ROSARIO GUZMÁN ENERO – JUNIO 2012 1

CAPITULO I

TENSORES

ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío con dos operaciones definidas: (1) suma entre sus elementos y (2) multiplicación por escalares*; con las siguientes propiedades:

SUMA

Sean u, v y w elementos del espacio vectorial. Entonces: 1. u + v = v + u conmutatividad

2. (u + v) + w = u + (v + w) asociatividad

3. Debe existir un elemento 0 tal que u + 0 = u elemento neutro

4. Para cada u elemento del conjunto debe existir un elemento -u tal que u + (-u) = 0 inverso

MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES

Sean α y β escalares y v y w elementos del espacio vectorial. Entonces: 1. α (βv)=( αβ)v asociatividad respecto a escalares

2. Debe existir el escalar 1 tal que 1v=v

3. α(v + w)= αv + αw distributividad respecto a vectores 4. (α + β)w= αv + βv distributividad respecto a escalares

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores

Nota: los escalares son elementos de un campo*, generalmente los números reales o complejos.

PRODUCTO INTERNO

Se dice que el espacio vectorial es un espacio vectorial con producto interno si se define un producto entre los vectores con las propiedades:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

En este texto abordaremos varios casos de espacios vectoriales con producto interno: 1. Números reales

2. Tensores

3. Vectores espaciales 4. Matrices

5. Números complejos

Base de un espacio vectorial

(3)

Sean y escalares. Se dice que los vectores , y son linealmente independientes,

si toda combinación lineal de ellos igual a cero implica que todos los escalares sean cero:

= (1)

Esto significa que ninguno de los vectores puede despejarse en términos de los otros. En efecto, si quisiéramos despejar por ejemplo , tendríamos que dividir entre , que es cero. Como la división por cero no está definida, no podemos llevar a cabo el despeje. Ya que ninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros, se dice que son linealmente independientes.

La base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que “generan” al espacio. Esto último quiere decir que cualquier vector del espacio puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base.

El número de elementos de la base es la dimensión del espacio vectorial; en el caso que hemos ilustrado, la dimensión es n. Cabe mencionar que existen espacios vectoriales de dimensión infinita. La base de un espacio vectorial no es única, es decir, un espacio vectorial dado puede tener diferentes representaciones.

Las bases puede clasificarse de acuerdo a sus propiedades en:

1. Bases ortogonales. Aquéllas en donde el producto interno de cualquier par de los elementos de la base es cero. Pongamos como ejemplo la base de los vectores espaciales de dimensión 3: i, j y k, con el producto escalar de vectores.

2. Bases normales. Se dice de aquéllas en donde el producto interno entre cualquier pareja de elementos de la base es uno. Considere el mismo ejemplo del caso anterior

3. Bases constantes. Cuando los elementos de la base no cambian. Mismo ejemplo que en los puntos 1 y 2.

4. Bases variables. Si los elementos de la base, aunque conservan su definición, pueden ser diferentes de punto a punto. Ejemplo: base vectorial del sistema de coordenadas polares, con los vectores base ̂y ⏞.

Estas propiedades se analizarán con más detalle en el tema sistemas de coordenadas curvilíneas.

Ejercicios

Ejercicio 1.

(a) Demuestre que el conjunto de vectores espaciales de dimensión 2 y el de las matrices 3X2 son espacios vectoriales, con las operaciones usuales (suma de vectores, suma de matrices, y las respectivas multiplicaciones por escalares)

(b) Encuentre una base de cada espacio vectorial.

Ejercicio 2. Determine si las siguientes funciones son linealmente independientes: (a)

(4)

Convención de Suma

La convención de suma de Einstein simplifica la escritura de expresiones de sumatoria tales como:

∑

La letra griega ∑ (“sigma”) indica que debe llevarse a cabo la suma del término general, que en el ejemplo es , desde el valor inicial del índice de sumatoria (o índice mudo) hasta su valor final (este caso de 1 a 3), como sigue:

∑

Observaciones sobre el índice de sumatoria. (1) Se le llama “mudo” porque no aparece en la suma final. (2) Puede empezar desde cualquier número entero, ya sea positivo, negativo o cero. (3) Debe aparecer en el término general. (4) Se le puede dar cualquier nombre; como ejemplo véase la siguiente igualdad:

∑

La convención de suma de Einstein consiste en “convenir” que índices repetidos indican suma, de manera que la notación del ejemplo que venimos manejando quedaría de la siguiente forma:

Es decir, el símbolo de sumatoria desaparece y los valores inicial y final del índice mudo están sobrentendidos, los cuales deben estipularse previamente.

El índice mudo debe repetirse sólo dos veces. Si aparece más o menos veces en una expresión, la convención de suma no se aplica y debe utilizarse la notación tradicional (es decir, con sigma).

A partir de este momento, se sobrentenderá que el índice mudo va de 1 a 3, a menos que se indique lo contrario.

Ejemplos y ejercicios

En los problemas 1 a 3, dé el valor de la sumatoria. 1.

Respuesta: en esta expresión no se usa la convención de suma (ya que no hay índices repetidos), ni la notación tradicional ∑, por lo cual no hay ninguna suma indicada.

2. ∑ .

Respuesta: la suma es ( )

3. .

Respuesta. Tenemos dos índices repetidos, lo cual indica dos sumas, una sobre i y otra sobre j, cada una desde 1 hasta 3:

[(1)(1)+(2)(2)+(3)(3)][(1)(1)+(2)(2)+(3)(3)]=196

(5)

Respuesta: son iguales, ya que sólo cambia el nombre de los índices mudos. Por otro lado, en ambas expresiones, o se suman con el primer índice de su correspondiente épsilon y así

sucesivamente.

(b) y .

Respuesta: son iguales, únicamente se intercambiaron los nombres de los índices i y j.

(c) y .

Respuesta: son diferentes, ahora el elemento se está sumando con el segundo índice de , no con el primero.

(d) y .

Respuesta: son iguales, ¿por qué?

(e) y .

Respuesta: son diferentes, ¿por qué?

(f) y .

Respuesta: son diferentes, ¿por qué?

5. Calcule , donde .

Respuesta: 85

6. Escriba la expresión

(

)

(

)

(

)

, utilizando la convención de suma. Considere que el arreglo

es un arreglo diagonal, es decir

(no suma

sobre i), y

para .

(6)

Tensores Básicos

Delta de Kronecker

La delta de Kronecker es un objeto matemático cuyo valor depende de los valores de sus dos índices. Si sus índices son iguales, la delta vale 1, si no, es 0:

{

Ejemplos:

Podemos combinar la delta de Kronecker y la convención de suma, como por ejemplo en la expresión siguiente:

O:

Es decir, cuando la delta de Kronecker es combinada con la convención de suma, funciona como una “sustitución de índice” (en el primer caso el índice i de la x fue sustituido por 1 y en el segundo caso por j, pero esto sólo es consecuencia de la definición de la delta y la convención de suma).

Ejercicio

Calcule (a) y (b) , si

Respuesta:

(a) por lo que su valor dependerá del valor de j. Si j=1,

etc.

(b)

=0.01+9+4.84=13.85

Notas

1. La delta de Kronecker es un tensor simétrico. Esto significa que si se intercambian los valores de los índices, el valor de la delta no cambia.

2. Pensando a la delta como las entradas de una matriz, la delta representa a la matriz identidad: ( ) , es decir, los valores de la diagonal valen 1 (i=j) y fuera de la diagonal son cero (i≠j)

Épsilon de Levi-Civita

Así como la delta de Kronecker es útil como función de sustitución, con el tensor de Levi-Civita se puede representar el efecto de las permutaciones en determinantes y productos vectoriales, gracias a la total antisimetría de sus índices, lo cual significa que al intercambiar cualesquiera dos de ellos, el valor del tensor cambia de signo.

(7)

tomando valores de 1 a 3. Cualquiera que sea el número de índices y los valores de esos índices, la épsilon sólo puede tomar tres valores: 0, 1 y -1, de acuerdo a la siguiente definición.

Definición de

1.

2. 0 si cualesquiera dos índices son iguales

3. 1 para cualquier permutación par de los índices 123

4. -1 para cualquier permutación impar de los índices

Ejercicio

Determine el valor de los símbolos de Levi-Civita dados a continuación: .

Respuesta: ya que hay una permutación (caso 4: el 3 y el 1 se intercambiaron). =0, caso 2. =1 porque hubo dos permutaciones de los índices, primero se intercambiaron el 3 y el 1 a continuación el 1 con el 2

Un “truco” o estrategia para determinar el valor de la épsilon es el siguiente. Construya un triángulo con los valores 1, 2, 3, como lo muestra la figura:

Si los valores de los índices en la épsilon llevan el sentido de las manecillas del reloj, la épsilon vale 1; si siguen el sentido contrario, vale -1.

Ejercicio

Verifique esta regla con las respuestas anteriores.

Antisimetría del símbolo de Levi-Civita. Con base en la definición, se establece la propiedad de antisimetría: la épsilon de Levi-Civita es antisimétrica en todos sus índices; esto significa que al intercambiar cualesquiera dos de ellos, la épsilon cambia de signo. Tomando como ejemplo los dos primeros, tenemos:

Ejercicio

Si , determine el valor de 1. . Respuesta: -0.2

2. . Respuesta: 0

(8)

Determinantes

Un determinante es un número, obtenido al realizar ciertas operaciones con los elementos de un

arreglo cuadrado de números. Por “arreglo cuadrado” entenderemos aquel con el mismo número de renglones que de columnas. La notación para determinantes serán barras rectas (semejantes a las utilizadas para el valor absoluto de un número) o la palabra “det” colocada antes del arreglo. Para arreglos utilizaremos paréntesis o corchetes. Ejemplos:

Arreglos→ A=(

), ó

B=[

], donde en el primer índice representa el renglón y el segundo la columna

donde se encuentra ubicado el elemento. Por ejemplo, el elemento que está en el tercer renglón y primera columnas del arreglo A, es 5.5

Determinante→ det(

) |

|=detA=det ( ₎

La forma clásica de abordar determinantes es primero definir un determinante de orden 2 como la diferencia de los productos cruzados:

|

| (1)

Y a continuación definir un determinante de orden superior mediante el desarrollo “por menores”:

| | ∑ ( ) ∑ ( ) (2)

Aquí, es el determinante o “menor” que se obtiene al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna del arreglo original. Eventualmente, el menor será de orden 2 y podrá calcularse con la regla dada.

Al número de renglones (y de columnas) lo estamos denotando con n; el índice libre puede tomar cualquier valor entre 1 y n (el índice libre es aquel que no participa en la sumatoria). Se dice que “el

desarrollo del determinante puede hacerse por renglones o por columnas”, esto es, si en la sumatoria permanece fijo el renglón (como en la primera sumatoria de la fórmula 2), el desarrollo es por el renglón i; si es la columna la que no varía (como en la segunda sumatoria), el desarrollo es por la columna j (ver ejercicio 5).

El enfoque que se utilizará en este texto no será el tradicional, sino que involucraremos la notación tensorial y el símbolo de Levi-Civita. Antes de hacer eso se resolverán algunos ejercicios para ilustrar las definiciones dadas arriba, que son muy útiles en cálculos directos.

Ejercicio

Determinantes 2X2

1. Calcule el determinante |

|. Respuesta: (1)(4) – (-1)(10)=4+10=14

2. Calcule el determinante |

|. Respuesta: 1

(9)

4. Resuelva la desigualdad | | . Respuesta: intervalo abierto (0,6)

5. Determinante 4X4. Encuentre el valor de |

|.

6. Investigación “regla de Sarrus”. Investigue a qué se le llama regla de Sarrus y en qué casos

da resultados correctos. Calcule el determinante |

| usando la regla de Sarrus

Solución del ejercicio 4

Utilizando la fórmula (2) con un desarrollo por el tercer renglón (i=3 y n=4), tenemos:

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(3)

Los elementos del arreglo se leen directamente, por ejemplo: etc. Pero los menores deben calcularse aparte:

|

| (Determinante obtenido al eliminar el renglón 3 y la columna 1 del determinante

original)

Desarrollando por el primer renglón, nos queda (se usará la letra m para los elementos del menor):

∑( ) ( ) ( ) ( ) | | | | | |= ( ) ( )

Note que los signos en el desarrollo se van alternando. Nótese también que los menores multiplicados por 0 desaparecen (esto nos da un criterio para elegir la columna o el renglón a elegir para desarrollar el determinante); por esta razón no necesitamos calcular ni porque sus coeficientes son cero.

Al calcular de manera semejante a como hicimos con , obtenemos:

Finalmente, sustituyendo los valores calculados en (3) llegamos al siguiente resultado:

| | ( ) ( )

Definición tensorial de un DETERMINANTE de orden 3

(1) Desarrollo por renglones

( ) |

|

(10)

( ₎ |

|

Estas definiciones pueden generalizarse a determinantes de cualquier orden, tan sólo con aumentar el número de índices de la épsilon y los correspondientes elementos del arreglo.

Propiedades de determinantes

Utilizando las propiedades de antisimetría del símbolo de Levi-Civita es posible deducir las propiedades de los determinantes de cualquier orden. Para comprender los razonamientos se debe tener presente la convención de suma de Einstein y recordar que los índices mudos o de sumatoria pueden cambiar de nombre sin afectar la suma (ver ejercicio 4 de la sección “Convención de suma”).

1. Si se intercambian dos renglones (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

En efecto, intercambiemos el renglón 1 con el renglón 2 en la definición

:

Para ver con más claridad el último paso, intercambiemos los nombres de los índices: a i

llamémoslo j y a j llamémoslo i (esto en la última expresión)

=

2. Si dos renglones (o columnas) son iguales, el determinante es cero.

Demostración. Dado que dos renglones son iguales, al intercambiarlos se mantiene la igualdad:

Como el cero es el único número que tiene la propiedad de ser igual a su negativo, el determinante es cero.

El resto de las propiedades se enunciarán sin demostración. Aunque el enunciado se refiere a renglones, cada propiedad es válida igualmente para columnas.

3. Si un renglón es una combinación lineal de otros, el determinante es cero. 4. Si un renglón es cero, el determinante es cero.

5. Si un renglón se multiplica por un número k, el determinante queda multiplicado por ese número.

6. Si un renglón es la suma de dos renglones, el determinante se divide en la suma de dos determinantes: ( ) = , donde

(11)

Sistemas de coordenadas curvilíneas

Funciones vectoriales de una variable

Una función vectorial de variable real tiene como regla de correspondencia , es decir, su dominio son números reales y tiene como imagen vectores. La notación que utilizaremos para funciones vectoriales será el nombre de la función con flecha de vector encima, o negritas.

Como ejemplo, considere :

 



1

     

2 3



f t = f t ,f t ,f t , donde t es un parámetro.

Una curva en el espacio euclidiano está definida por una función vectorial como la siguiente:

 



     

,



[image:11.612.91.325.324.465.2]

f t



x t

y t

z t

FIGURA 1. Curva dibujada por la función vectorial

f t

 





x t

     

,

y t

,

z t



Derivada de una función vectorial

Dado el vector

f t

 





x t

     

,

y t

,

z t



, si se incrementa el parámetro t una cantidad t, el vector tomará el valor:







 

,

 

,



f t

  

t

x t

 

t

y t

 

t

z t

 

t

Restando de la ecuación incrementada la ecuación original,





 



 

,

 

,





     

,



f t

  

t

f t



x t

 

t

y t

 

t

z t

  

t

x t

y t

z t





 



   

,

   

,

  



f t

  

t

f t



x t

  

t

x t

y t

  

t

y t

z t

  

t

z t

Ver figura 2.

(12)

Dividiendo entre el incremento,





 



   

  

, ,

f t t f t x t t x t y t t y t z t t z t

t t t t

             

  

 _    _

Tomando el límite a cero del incremento





 



  



  



  

0 0 , 0 , 0

t t t t

f t t f t d f t x t t x t y t t y t z t t z t

Lím Lím Lím Lím

t dt t t t

       

             

 _{ } _

 _    _

 

, ,

d f t dx t dy t dz t

dt dt dt dt

 

  

 

[image:12.612.87.566.94.233.2]

Es decir, la derivada de una función vectorial de variable real es otro vector cuyas componentes son las derivadas de los componentes de la función vectorial.

FIGURA 2. Derivada de una función vectorial. El diagrama sugiere que la derivada de una función vectorial es un vector tangente a la curva en cada punto.

DERIVADAS PARCIALES

Un campo escalar f es una regla de asociación que asocia a n-adas de números reales

( ), uno y sólo un número real , esto es:

( )

También se suele referir a ellas comofunción de varias variables.

Para el caso , asocia a cada punto del espacio tridimensional, un número real .

y z

(13)

Ejemplos: 1. ( )

es un campo escalar que asocia a una diada o pareja ordenada

de números (en este caso volumen y presión), un número real (que en este caso es la temperatura).

2. ( ) ( )

3. ( ) ( ) 4. ( ) ∫

Ejercicios

1. Evalúe el campo escalar del ejemplo 2 en el punto (√ ) 2. Evalúe la función del ejemplo 4 en el punto ( )

3. Grafique la función ( ) .

Respuesta: la gráfica es una superficie bidimensional en el espacio tridimensional, con forma de “onda”, de forma que al moverse en la dirección del eje se comporta como una función seno, y al moverse en la dirección del eje es constante.

Derivadas parciales.

Sea ( ) una función de 2 variables. Sus derivadas parciales y son funciones definidas como:

( )

( ) ( )

Y

( )

( ) ( )

Notación

Las derivadas parciales pueden representarse de cualquiera de las siguientes formas:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Y se lee “derivada parcial de f respecto a x (o a y)”

Cálculo de una derivada parcial

De la definición podemos inferir la forma de calcular una derivada parcial. Dado que sólo una de las variables se incrementa dejando a la otra constante, podemos suponer a la función como función de una sola variable y derivarla, pensando en la otra variable como una constante.

Ejemplos:

1. ( )

(14)

3. (donde se usó la regla de la cadena)

4. ( ( )) (donde se ha usado la regla de la cadena)

5.

[√ ] √

6.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Estas ideas y definiciones se extienden a funciones de n variables.

SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS Y BASES NATURALES

Sea C la curva en el espacio de la Figura 1. Consideremos el caso en el que las coordenadas del vector de posición , definido como la triada ordenada ( ), o equivalentemente como

, son funciones de 3 parámetros reales , es decir:

( ( ) ( ) ( ))

Denotaremos por a los vectores i, j y k de la base rectangular cartesiana (recuérdese que esta base es normal, ortogonal y constante); y denotemos a como , y , respectivamente. Estas definiciones, junto con la convención de suma, nos permitirán escribir el vector de posición de la forma:

( )

Los parámetros son conocidos como coordenadas curvilíneas, y se pueden despejar (es decir invertir la relación) de las ecuaciones:

( ) para i=1, 2, 3

Asociada a cada conjunto de coordenadas curvilíneas, hay una nueva base, { } a la que

llamaremos base natural, generada por la siguiente definición:

Para que y formen una basede los vectores de dimensión 3 alternativa a los vectores i, j y

k, debe cumplirse la condición (

) .

Nótese que:

 El vector es tangente a la curva que dibuja el vector de posición al variar (únicamente) el parámetro .

 En general, la magnitud y dirección del vector es variable.

Es conveniente trabajar con bases ortonormales, es decir, tanto normales como ortogonales (véase definición de bases en la sección 1, “Espacios vectoriales”). Por lo que además de verificar su ortogonalidad, en caso de que no lo sean, se les normalizará dividiendo entre su magnitud:

(15)

√

De aquí en adelante se supondrá que los vectores de las bases están normalizados.

EJERCICIOS

1. Construya la base natural asociada al sistema de coordenadas cilíndricas, donde

, es la distancia del punto ( ) al eje z, con ;

, es el ángulo que forma la proyección del radio vector con el eje x, con y

, es el eje z cartesiano.

Las funciones coordenadas del vector de posición ( ) ( ( ) ( ) ( )) están dadas por:

( ) ( ) ,

( )

2. Diga qué curva se dibuja cuando varía la coordenada r y se mantienen constantes y z. Respuesta: rayos que parten del eje z

3. ¿Qué curva es variable, r y z constantes?

Respuesta: circunferencias centradas en el eje z, con radio r y altura z.

4. Determine la curva que se dibuja al variar la coordenada z, manteniendo r y constantes. 5. Dibuje los vectores y hallados, en un diagrama. Para ello utilice el hecho de que

cada es tangente a la curva generada por su parámetro o coordenada curvilínea. 6. Demuestre que esta base es ortonormal.

7. Encuentre la base natural de las coordenadas esféricas. Los parámetros son:

, la distancia del origen al punto P(x,y,z) , con r>0;

, es el ángulo entre el radio vector y el eje z, ; y

es el ángulo de las coordenadas cilíndricas, con la misma definición e intervalo de variación.

Las funciones coordenadas son:

,

y

(16)

8. Calcula el volumen del solido acotado por las gráficas de

9. Convierta la siguiente ecuación a coordenadas esféricas y dibuje la región descrita:

10. Obtenga el sistema bidimensional de coordenadas polares, a partir del sistema de coordenadas cilíndricas, haciendo z=0.

11. Obtenga el sistema de coordenadas polares partiendo de las coordenadas esféricas, con

SOLUCIÓN de los ejercicios 1 a 5

Usando la definición de los , tenemos:

g1 g2 g3

x

y z

(17)

Tensores de segundo orden

Un tensor de segundo orden , es una transformación lineal, mapeo o regla de asociación, que a cada campo vectorial espacial le asigna otro campo vectorial espacial , de manera que se cumplan las reglas:

( )

Y

( ) ( )

Aquí, y son vectores espaciales y un escalar (número real en este caso).

Nota 1: entendemos por vector espacial, un segmento dirigido de recta, con magnitud y dirección (lo que comúnmente es conocido simplemente como “vector”)

Nota 2: la notación no indica producto interno, sino la acción del tensor sobre el vector.

Nota 3: la notación que se utilizará es, letras negritas minúsculas para representar vectores espaciales; letras negritas mayúsculas para tensores

Suma de tensores

Definimos la suma de dos campos tensoriales de segundo orden, como la transformación que a cada campo vectorial espacial le asocia:

( )

Multiplicación por escalares

El producto del escalar con el tensor se define como la transformación dada por:

( ) ( )

Tensor 0

Definimos el campo tensorial de segundo orden 0 como aquel que aplicado a cualquier vector espacial nos da como resultado el vector espacial 0:

Con estas definiciones, hemos convertido al conjunto de los tensores de segundo orden en un

espacio vectorial (ver sección “Espacios vectoriales”), el que por consiguiente tiene una base.

Producto tensorial

Además de la suma y multiplicación por escalares, se definirá una operación llamada producto tensorial.

Sean y campos vectoriales espaciales. Se define al tensor de segundo orden como un objeto que a cada campo vectorial espacial lo transforma en otro campo vectorial espacial mediante la operación:

( ) ( )

(18)

Es claro que es un tensor de segundo orden y a esta operación entre los vectores y se le denomina producto tensorial o producto diádico de y .

Notación del producto tensorial

El producto tensorial puede representarse simplemente como ó también como 

Componentes de un campo tensorial

Para obtener las componentes de un campo tensorial, empezaremos aplicando el tensor de segundo orden a la base rectangular de los vectores espaciales. Por definición de tensor, obtendremos otro vector que puede expresarse en términos de su base:

Los escalares son las componentes del vector y puede verse que forman la matriz

[ ] [

]

Por lo tanto, la matriz [ ] nos dice cómo se transforma la base * + bajo la transformación . Dicho de otra forma, para cada base vectorial, podemos asociar una matriz [ ] con cada tensor de segundo orden , en una relación uno a uno. Por lo tanto, dos tensores diferentes tienen matrices diferentes y cada tensor tiene una sola matriz, en una base dada.

Definición del tensor identidad

El tensor identidad I debe tener la propiedad de transformar a cada vector en sí mismo:

Por independencia lineal de los vectores base tenemos:

( )

Con lo que llegamos a que las componentes del tensor identidad son:

Ó representado en forma matricial:

( ) ( ) ( )

La matriz asociada al tensor identidad es la matriz identidad.

Base rectangular de los tensores de segundo orden

Se puede demostrar que el conjunto de 9 diadas o tensores de segundo orden, formados con el producto tensorial de los vectores base , son una base del espacio vectorial de los tensores de segundo orden; este hecho se tomará aquí sin demostración.

Por lo tanto, cualquier tensor de segundo orden podrá ser representado en la forma:

(19)

Donde los son coeficientes diferentes a los , en general, y representan al tensor en la nueva base.

Ejercicios

El tensor de esfuerzo es un tensor de segundo orden, cuyas componentes representan la i-ésima componente del vector de esfuerzo (fuerza por unidad de área), actuando sobre el lado positivo del plano =constante.

Por ejemplo: en coordenadas rectangulares, es la primera componente de una fuerza por unidad de área, que se encuentra actuando sobre una superficie paralela al plano , que es la superficie

=constante (recuerde que identificamos y )

1. Desarrolle la representación en coordenadas rectangulares del tensor de esfuerzo e indique el significado de cada componente. Ayuda: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

etc., donde es la primera componente del vector de esfuerzo actuando sobre una superficie paralela al plano ó =constante… etc.

2. Desarrolle la representación en coordenadas cilíndricas y explique el significado de las componentes . Ayuda: ̂ ̂ ̂ ̂ etc., donde es la

primera componente del vector de esfuerzo sobre la superficie =constante, que en coordenadas cilíndricas es un cilindro circular recto de radio ; es la primera componente del vector de esfuerzo actuando sobre =constante, que es en coordenadas cilíndricas un plano vertical que forma un ángulo con el eje ; etc.

3. Repita el ejercicio 2 para coordenadas esféricas.

Tensores transpuesto, ortogonal e

inverso. Operaciones con matrices

TENSOR TRANSPUESTO

Definimos al tensor transpuesto como aquel que:

( ) ( )

Puede mostrarse que las componentes del tensor transpuesto tienen la relación:

Se dice que el tensor es simétrico si

O, en términos de sus componentes:

(20)

O en términos de sus componentes:

Los tensores transpuestos tienen la propiedad

( )

TENSOR ORTOGONAL

Una transformación es ortogonal si no modifica la longitud de los vectores ni los ángulos relativos entre ellos (en otras palabras, “conserva el producto escalar”)

( ) ( )

Utilizando la definición de tensor transpuesto, puede demostrarse que para que un tensor sea ortogonal, debe cumplir la relación:

TENSOR INVERSO

Si

( )

Se define al tensor inverso como aquel que:

₍ ₎

Ó:

En términos del tensor inverso, el tensor ortogonal queda definido como aquel que:

Matrices

Una matriz es un arreglo ordenado de números, cuya dimensión , indica que el arreglo tiene renglones y columnas. Se dice que el arreglo es cuadrado cuando el número de renglones y de columnas es el mismo, digamos . En este caso, se habla del orden de la matriz .

Operaciones con matrices

1.-Suma

La suma de dos matrices es otra matriz cuyos elementos están dados por la relación

2.-Multiplicación por escalares

(21)

( ) ,

3.-Multiplicación de matrices.

Sea una matriz de m renglones y p columnas y otra matriz de p renglones y n columnas. El producto es una matriz cuyo elemento se encuentra dado mediante la relación:

Aquí la suma se extiende de 1 a p

Ejercicios

1. Sume las matrices ( ₎ y ( √

)

2. Multiplique la matriz (

√

)por el escalar √

3. Realice las multiplicaciones de matrices y , donde las matrices y son las dadas en los ejercicios 1 y 2. ¿Es conmutativa la multiplicación de matrices?

4. Multiplique la matriz del ejercicio 1 con el arreglo 3X1 o vector columna ( )

Matrices especiales

1.-Matriz cero

2.-Matriz identidad

3.-Matriz transpuesta

4.-Matriz inversa

La matriz inversa de una matriz es aquella que

Si la matriz inversa existe, es única.

5.-Matriz simétrica

(22)

6.-Matriz antisimétrica

7. Matriz invertible

Es aquella que tiene inversa.

8.-Matriz ortogonal

Matriz cuadrada de orden n, con elementos reales, tal que , ó

EJERCICIOS

1. El producto de matrices tiene la propiedad

( )

Utilice esta propiedad para demostrar que el determinante de una matriz ortogonal es . Sugerencia: inicie con la relación .

Respuesta:

( ) ( ) ,

2. Matrices ortogonales 2x2. Considere la matriz

( )

(a) Compruebe que

(

)

(b) Construya

(c) Muestre que para que sea una matriz ortogonal, =1. Para ello recuerde que el determinante debe ser 1 o -1, y que

(d) Si y , se cumple la relación establecida para y . Construya una matriz ortogonal.

Respuesta:

( ) Esta matriz representa la rotación de un vector un ángulo .

Puesto en lenguaje tensorial, la transformación