Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)

(1)

1

Problemas del

transporte

Taller 5

2

PROBLEMA 8.2-10

Es necesario planear el sistema de energía

de un nuevo edificio. Las tres fuentes

posibles de energía son electricidad, gas

natural, y una unidad de celdas solares.

Los requerimientos diarios de energía

(todos medidos en las mismas unidades) en

el edificio en cuanto a luz eléctrica,

calefactores de agua y calefactores de

ambiente son:

3

Electricidad 20 unidades Calefactores de agua 10 unidades Calefactores de ambiente 30 unidades

El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades pero no hay limite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica ( a un costo de $50 por unidad). Las otras dos necesidades energéticas se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes.

4 Electricidad Gas natural Celdas solares

Calefactores de agua

Calefactores de ambiente

$ 90 $ 60 $ 30

$ 80 $ 50 $ 90

5 El objetivo es minimizar el costo total de cumplir

con las necesidades de energía.

• Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada.

• Utilice el método de aproximación de Vogel para obtener una solución BF inicial para este problema.

• A partir de la solución inicial BF, aplique en forma interactiva el método simplex de transporte para obtener una solución óptima.

6 Demanda

Oferta

50 80

? 50

? 40

20 30

∝ ∝

30 90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares Ilumi-nación

Calefac -tores

agua

(2)

7 Para construir la tabla de costos y requerimientos apropiada, debemos restringir la oferta de electricidad y gas natural.

Electricidad Lo máximo que estarían

dispuestos a comprar sería 60

Gas Natural Lo máximo que estarían

dispuestos a comprar sería 40

8 Demanda

Oferta

50 80

? 50

? 40

20 30

60

40

30 90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares Ilumi-nación

Calefac -tores agua

Aire Acondi -cionado

Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)

9 El nodo ficticio de demanda debe absorber las unidades que no se asignan.

(60+40+30) - (20+30+10) = 70

Demanda

Oferta

50 80 ?

? 50 ?

? 40 ?

20 30 70

60 40 30 90

60 30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación 4(F) Calefac

-tores agua

1 0 Es imposible obtener iluminación a partir de gas natural y celdas solares, por lo que este costo debe ser M.

Demanda

Oferta

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60 40 30 90

60 30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

-tores agua

El no asignar unidades no debe costar nada.

1 1

Debemos obtener una

S.B.F inicial mediante el

método de Vogel

1 2 Diferencia

por columna Demanda

Oferta

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30 90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

-tores agua

Diferencia por renglón

M-50 30 10 0

50

30

M - 50

20 40

(3)

Oferta

80 0

50 0

40 0

30 70

40

30 90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

4(F)

10 0

30

80

50

30

Seleccionar X₁₄

=

40 Eliminar renglón 1 80

40

30

Oferta

50 0

40 0

30 30

40

30 60

30

10

Gas natural

Celdas solares

4(F)

10 0

30

50

30

Seleccionar X₂₄

=

30 Eliminar Columna 4 50

30 10

Oferta

50

40

30

10

30 60

30

10

Gas natural

Celdas solares

10 30

10

Seleccionar X₃₂

=

10 Eliminar Columna 2 30

10 20

Oferta

50

40

30

10

20

Gas natural

Celdas solares

10

Seleccionar X₂₃

=

10 Seleccionar X₃₃

=

20

10

20

1 7 Veamos como quedó la S.B.F Inicial

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30 90

60

30

10

4(F)

V_j

U_i

Ilumi-nación

agua Aire Acondi -cionado

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10 10

20

Z= 2600

1 8

Después de obtener una

S.B.F inicial, se verifica si

(4)

1 9 PRUEBA DE OPTIMALIDAD.

•Una S.B.F es óptima si y sólo si

C

_ij

- U

_i

- V

_j

≥≥

0 para toda i,j tal que

X

_{ij es V.N.B en la iteración}

actual

.

•Como el valor de

C

_ij

- U

_i

- V

_{j debe ser cero si}

X

_{ij es}

V.B,

U

_{i y}

V

_{j satisfacen el conjunto de ecuaciones}

C

_ij

= U

_i

+ V

_{j para cada (i,j) tal que}

X

_{ij es básica.}

2 0 Miremos los U_i y V_j

0

50 40 0

0

50

-10

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30 90

60

30

10

4(F)

V_j

U_i

Ilumi-nación

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10 10

20

Z= 2600

2 1 Una S.B.F es óptima si y sólo si C_ij- U_i- V_j≥≥0 para toda i,j tal queX_{ij es V.N.B en la iteración actual}.

0

50 40 0

0

50

-10

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30 90

60

30

10

4(F)

V_j

U_i

Ilumi-nación

agua Aire Acondi -cionado

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10 10

20

Z= 2600 50

M-50

M-40

20 30

10

2 2 Cómo todos los C_ij- U_i- V_j≥≥0esta es la solución óptima, y la mejor manera de asignar las fuentes sería:

20 unidades Iluminación Electricidad

40 unidades sin asignar

Gas Natural 10 unidades Aire acondiconado 30 unidades sin asignar

Celdas solares

10 unidades Calefactores agua 20 unidades Aire acondiconado

2 3

EL PROBLEMA DE LA RUTA

MINIMA

Un camión debe viajar de Nueva York a los

Angeles. Se debe formular un problema de

transporte balanceado, que pueda usarse

para encontrar la ruta de Nueva York a

Los Angeles que utiliza el mínimo costo.

Veamos 2 4

Nueva York

3 1 3

1

St. Louis 2

Cleveland 4

Dallas

2 2

(5)

2 5

MATRIZ DE COSTOS

N.Y CL D St. L L.A Destinos

0 2 3 1 M 1+1

M M M M

0 4 1 3 1

Origen

M 0 1 2 1

M M 0 2 ₁

M M M 0

1 1

1

1 1 1+1

N.Y

CL D St. L

L.A

2 6 S.B.F inicial obtenida mediante el método de la esq. nor.

Origen

Destino

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1

1

1 1 2

0

M M

1 V_j

U_i

1 1 0

1

0 2 3 0 1

-1

M M M M 0

1 1 0 1

1 0

1

1 0

1

N.Y CL D St. L L.A N.Y

CL D St. L

L.A

2 7

Iteraciones.

Paso 1:

Se determina C

_ij

- U

_i

- V

_j

para seleccionar la

variable que entra a la base.

C

_ij

- U

_i

- V

_j

representa la tasa a la cual cambia

la función objetivo si se incrementa la V.N.B

X

_ij

.

La que entra debe tener un C

_ij

- U

_i

- V

_j

negativo (se elige el más negativo).

Veamos 2 8

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1 1 2

0

M M

1 V_j

U_i

M M M M 0

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y

CL D St. L

L.A

En este caso entra

X

₃₃

1 1 0

1 0

1

1 0

-3

M-1

1 1 0

1

0 2 3 0 1

-1

M-1

M+1 M-3

M-3

M-1

-4 -1

1 1

M-4

M-2

M-1

M+1

2 9

Iteraciones.

Paso 2:

Al incrementar el valor de una variable

(entrarla a la base) , se genera una reacción en

cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo

las restricciones.

La primera V.B que disminuya su valor hasta

cero será la variable que sale.

sigue 3 0

Solamente existe una reacción en cadena que

incluye a la V.B entrante, y algunas V.B

actuales.

Existen celdas donadoras y celdas receptoras.

Luego para saber en cuanto se puede

incrementar la V.B entrante, se escoge el

menor valor entre las celdas donadoras y esta

es la que sale de la base (en caso de empates se

elige arbitrariamente).

(6)

3 1

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i

M M M M 0

1 1 0

1 0 1 1 1 0 -3 M-1 1 1 0 1

0 2 3 0 1

-1

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A M-1 M-1 M+1 M-3 M-3 M-1 -4 -1 1 1 M-4 M-2 M-1 M+1 + -+ -1 0 1 3 2

Iteraciones.

Paso 3:

Para determinar si la solución es óptima,

se debe calcular nuevamente U

_i

y V

_j_,

y

luego para cada V.N.B, C

_ij

- U

_i

- V

_j

.

Se detiene cuando todos los C

_ij

- U

_i

- V

_j

para las V.N.B sean positivos.

Veamos

3 3

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i

M M M M 0

1 1 0

1 1 0 -3 M-1 -3 1 0 -3

0 2 3 0 5

-5

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A M+3 M+3 M+5 M+1 M+1 M+3 3 -3 1 M M+2 M-5 M+5 1 0 1 4

En este caso entra

X

₂₂

3 4

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i

M M M M 0

1 1 0

1 1 0 -3 M-1 -3 1 0 -3

0 2 3 0 5

-5

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A M+3 M+3 M+5 M+1 M+1 M+3 3 -3 1 M M+2 M-5 M+5 1 0 1 4 + -+ -0 1 0 3 5

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i

M M M M 0

1 1 0

1 1 0 M+2 -3 -2 0 -3

0 2 3 3 5

-5

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A M+3 M+3 M+5 M+1 M+1 M+3 0 0 -2 M M+2 M-5 M+2 1 1 1 0 3

En este caso entra

X

₁₄

3 6

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i

M M M M 0

1 1 0

1 1 0 M+2 -3 -2 0 -3

0 2 3 3 5

-5

Origen

Destino

V_j

(7)

3 7

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1 1 2

0

M M

1 V_j

U_i

M M M M 0

1 0 0

1

1 0

M+2

-3 -2 0

-3

0 2 3 1 5

-5

Origen

Destino

V_j

N.Y CL D St. L L.A N.Y

CL D St. L

L.A

M+3

M+5 M+1

M+1

M+3

2 0

M

M+2

M-5

M+4

1 3

1

2

Solución óptima

Z=3

3 8

La ruta será :

St. Louis