T1 CAMP GRAVITATORI I ELÈCTRIC

13  28  Descargar (0)

Texto completo

(1)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 1

Tema 1: Camps gravitatori i elèctric.

1.- Concepte de camp físic.

2.- Camps gravitatori i elèctric. Intensitat d'aquests camps. 3.- Energia potencial associada al camp. Concepte de potencial. 4.- Principi de superposició.

5.- Analogies i diferències entre camp gravitatori i camp elèctric. 6.- Flux a través d'una superfície. Teorema de Gauss.

7.- Aplicacions.

7.1.- Lleis de Keppler.

7.2.- Velocitat d’escapament i energia de satel·lització.

7.3.- Moviment de càrregues davall camps elèctrics uniformes.

1.- Concepte de camp físic.

DEF: Un camp és una regió de l'espai que, en cadascún dels seus punts, adquirix un valor determinat d'una magnitud escalar o vectorial.

Exemples:

1) Cada punt de l'interior de l'aula té un valor distint de la propietat física escalar

temperatura.

En l'aula existix, doncs, un camp de temperatures.

No és fàcil representar gràficament un camp d'aquest tipus (tridimensional).

Podríem agarrar una direcció (encara que seria una representació parcial), per exemple en perpendicular a la finestra. 2) Imaginem el moviment d'un fluid per una

conducció:

A causa del fregament amb les parets i a la viscositat del líquid, no tots els punts es desplacen amb igual velocitat.

(2)

Així podríem parlar de camps de pressions, densitats, forces, etc...

Estudiarem en aquest tema dos camps vectorials: el gravitatori i l'elèctric.

 Generalitats sobre camps:

Si anomenem  a la magnitud que definix el camp, en general un camp és una funció:

 =  (x, y, z, t)

Si el camp no depén del temps, es denomina camp estacionari:  =  (x, y, z)

Si la magnitud física contemplada adquirix el mateix valor en tots els punts, es parla d'un camp uniforme:

 = constant.

Atenent al tipus de magnitud física, també es parla de camp escalar o camp vectorial.

 Representació gràfica d'un camp escalar:

S'usen superfícies equiescalares (o isoescalares) que són conjunts de punts en què la magnitud escalar presa el mateix valor.

Atés que les representacions tridimensionals són summament difícils, es recorre amb freqüència a representacions bidimensionals o planes en què les superfícies equiescalares queden reduïdes a línies equiescalares o isoescalares.

Per exemple, tots coneixem el sistema de línies d'igual pressió (isòbares) per a representar un camp de pressions (el que vam cridar un mapa

meteorològic).

Les superfícies isòbares són difícils de representar, per això, el mapa publicat en la premsa correspon a un tall horitzontal d'aquestes superfícies (que no ha de ser la superfície terrestre, sinó que pot ser un mapa de pressions a 500 m d'altura, per exemple).

1010 mbar 1000 mbar

(3)
(4)

 Representació gràfica d'un camp vectorial:

Recordem que un camp vectorial és una zona de l'espai per a la que

cadascún dels seus punts adquirix un valor determinat d'una magnitud vectorial. Com la magnitud és vectorial, en cada punt hauríem d'especificar el mòdul, la direcció i el sentit.

Resulta impossible representar infinites fletxetes en un espai tridimensional. També ens limitarem a representacions planes usant les

anomenades línies de camp, que són línies tangents al vector camp en tots els seus punts. El sentit del camp s'indica amb fletxetes.

Exemples:

- Camp gravitatori (força per unitat de massa) en les voltants d'un planeta:

- Alguns camps elèctrics (força sobre la unitat de càrrega positiva):

Poden dibuixar-se infinites línies de camp. Normalment, es dibuixa un nombre arbitrari que permeta fer-se una idea de la simetria del camp.

La intensitat del camp és proporcional al nombre de línies de camp per unitat de superfície perpendicular al mateix. En altres paraules: on vegem molt properes les línies de camp és que el camp és molt intens i viceversa. Línies de camp paral·leles i equidistants representaran una zona de camp uniforme.

(5)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 5

Hi ha camps en què no existixen ni fonts ni albellons.

 Flux d'un camp vectorial a través d'una superfície:

El concepte de flux és una generalització del concepte de cabal.

Com calcularies el cabal d'un líquid que circula per una conducció a partir de la secció de la conducció (superfície que travessa el líquid) i la velocitat del líquid (suposada uniforme)?:

 = v · S

(Recordeu que, en Física, tota superfície pot representar-se per un vector perpendicular a aquesta superfície i el mòdul del qual coincidisca amb el valor numèric de la mateixa superfície).

Si generalitzem per al cas en què la secció travessada no siga perpendicular a la velocitat del líquid:

 = v · S = v · S · cos 

  

Normalment, en qüestions senzilles, bastarà amb l'expressió:  = v · S

per a calcular un cabal (un flux). Però només és vàlida amb grans limitacions: valor constant de v i superfície plana perpendicular a la velocitat del fluid.

(OPTATIU: Només si han fet integrals: definir adequadament el flux).

Conceptualment podríem afegir que “el flux d'un vector a través d'una superfície representa el nombre de línies de camp que travessen eixa

superfície”.

Per conveni, es prendrà signe positiu per al flux a través d'una superfície oberta. Si la superfície és tancada, el conveni és que el flux positiu va d'interior a exterior (ixent) i viceversa.

(6)
(7)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 7

2.- Camps gravitatori i elèctric. Intensitat d'aquests camps.

 Intensitat del camp gravitatori:

Si una massa M creara un camp gravitatori en una zona de l'espai, al situar una altra massa m en un punt d'eixa zona, segons la Llei de Newton de la

Gravitació Universal, apareixeria una força sobre m (i sobre M, clar) que seria:

on urés un vector unitari en la direcció determinada per M i m i sentit ixent de

M.

DEF: El camp gravitatori (o la intensitat del camp gravitatori) en el punt on està situat m és la força que s'exercix sobre la unitat de massa situada en eixe punt:

N/kg  m/s2

(NOTA: Les unitats es demanen en l'exercici 3)

Vist d'una altra manera: cada punt de l'espai vindrà caracteritzat per un valor del camp gravitatori g.

Al col·locar en els voltants de M una massa m, la força que apareix sobre ella és:

Vos sona?

Intensitat del camp elèctric:

Si una càrrega Q crea un camp elèctric en els seus voltants, al col·locar una altra càrrega q en un punt qualsevol, segons la Llei de Coulomb, la força sobre q serà:

N/C (Unitats en exercici 3)

DEF: Es definix el camp elèctric (o la intensitat del camp elèctric) en un punt de l'espai com la força que s'exercirà sobre la unitat positiva de càrrega en el cas que se situe en eixe punt:

N/C (Unitats en l'exercici 3)

r

u

r

Mm

G

F

2

r

u

r

M

G

m

F

g

2

F

= m ·

g

r

u r Qq K F2

r

u

r

Q

K

q

F

(8)

D'aquesta manera, cada punt de l'espai vindrà caracteritzat per un valor del vector camp: E.

Si Q és positiva, el sentit del camp E “ix” de la càrrega que ho crea, i, si és negativa, el sentit “entra” en la càrrega.

Al col·locar en els voltants de Q una càrrega q, la força que apareix sobre ella és:

RESUM: El camp (gravitatori o elèctric) és un vector que, en cada punt de l'espai, representa la força que s'exercix sobre la unitat de massa o càrrega col·locada en el dit punt. El mòdul del camp rep el nom d'intensitat del camp.

3.- Energia potencial associada al camp. Concepte de potencial.

En este tema, anem a estudiar dos camps de forces (gravitatòries i

elèctriques) de les que es denominen centrals (les forces es dirigixen o partixen d'una massa o càrrega central) i que són conservatius.

En els camps conservatius, el treball realitzat pel camp quan una partícula es desplaça d'un punt a un altre del camp, només depén de la posició de partida i d'arribada i no del camí utilitzat, per la qual cosa el dit treball pot expressar-se com l'increment d'una funció de la posició que denominarem Energia potencial:

W

AB

= Ep

A

-Ep

B (WAB= - Ep)

És a dir, si deixem una partícula en el camp, aquest efectuarà treball sobre ella per a traslladar-la d'un punt A a un altre B, doncs bé. Si un camp és conservatiu, hi ha una...

DEFINICIÓ: ENERGIA POTENCIAL que és una funció de les coordenades i tal que la diferència entre els seus valors en la posició inicial i final d'un

recorregut és igual al treball efectuat sobre la partícula pel camp, per a moure-la de la seua posició inicial a la final.

Tant el camp gravitatori com el camp elèctric són camps conservatius: El treball que fa el camp, per a portar una partícula d'un punt a un altre, només depén de la posició inicial i de la posició final:

W12 = Ep1 – Ep2

F = q · E

(9)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 9

Camp gravitatori:

Es pot demostrar per mitjà de càlcul integral que l'expressió per a l'energia potencial gravitatòria és:

OPCIONAL: Demostració:

L'energia potencial té com a lloc de referència (posició d'energia potencial zero) l'infinit, perquè per a r =   Ep = 0

L'energia potencial gravitatòria deguda a la interacció entre dos masses és sempre negativa. Atenció!: Però hi haurà increments positius (a l'allunyar les masses) o negatius (a l'acostar les masses)

 Concepte de potencial:

L'existència d'una massa M en un punt, per tant, fa que qualsevol altra massa m que se situe en els seus voltants adquirisca certa energia potencial. Es diu que M crea un camp gravitatori perquè, al seu voltant, cada punt de l'espai adquirix una propietat que anem a anomenar:

Potencial gravitatori: Vg que es definix com l'energia

potencial per unitat de massa, és a dir, l'energia potencial que adquiriria la unitat de massa al situar-la en eixe punt:

J/kg

Igual que el camp gravitatori ens servix per a calcular la força a què es vorà sotmés un cos al col·locar-se en el dit punt: F = m · g

el potencial gravitatori en un punt ens servix per a calcular l'energia potencial que sorgix al col·locar una massa en eixe punt:

Camp elèctric:

Per analogia amb el desenrotllament anterior:

r Mm G Ep

                            

2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 r Mm G r Mm G r Mm G r Mm G r GMm r GMm r dr GMm dr r Mm G dr F Ep Ep r r r r r r r r r r r M G m Ep Vg  

Ep = m · Vg

(10)

L'existència d'una càrrega Q en un punt de l'espai fa que qualsevol altra càrrega q que se situe a una distància r adquirisca una energia potencial:

J

Q crea al seu voltant un camp elèctric i cada punt de l'espai ve caracteritzat per un valor d'una propietat anomenada: potencial elèctric: V que es definix com l'energia potencial per unitat de càrrega, és a dir l'energia potencial que adquiriria la unitat de càrrega al situar-la en eixe punt:

1 Joule / 1 Coulomb = 1 Volt

El potencial elèctric és positiu o negatiu segons el signe de la càrrega que ho crea. I és nul a una distància  de la càrrega que crea el camp.

Igual que la intensitat del camp en un punt ens servix per a calcular la força que sofrirà una càrrega al situar-la és eixe punt: F = q · E

el potencial elèctric en un punt ens servix per a calcular l'energia potencial que sorgirà al situar una càrrega en eixe punt:

 Diferència de potencial entre dos punts:

El potencial elèctric coincidix amb el treball extern que cal realitzar per a traslladar una unitat de càrrega positiva des de l'infinit fins al punt considerat:

V

A

= W

Fext

/ q

De la mateixa manera, si hem de traslladar una càrrega des d'un punt a un altre, el treball extern a efectuar serà el producte de la càrrega per la diferència de potencial (ddp) entre estos dos punts:

x B

V

B

– V

A

= Wext

AB

/ q

Wext

AB

= q (V

B

– V

A

) = q·

V

x A

4.- Principi de superposició.

Si són diverses les masses o les càrregues que creen un camp gravitatori o elèctric respectivament, el principi de superposició ens diu que el camp resultant serà la suma dels camps que cada u d'eixos cossos crearia per separat:

r Qq K Ep

r Q K q Ep V  

(11)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 11

g

=

g

i Anàlogament:

E

=

E

i

El principi de superposició també és aplicable al potencial elèctric i al potencial gravitatori. També es calcularan de mode additiu els potencials creats en un punt per diverses partícules.

5.- Analogies i diferències entre camp gravitatori i camp elèctric.

Al comparar les expressions que permeten calcular el camp elèctric i el camp gravitatori en un punt situat a una distància r del cos que ho crea:

g = - (GM/r2) ur E = (KQ/r

2

) ur

trobem una sèrie d'analogies i diferències:

- Aquests dos són camps centrals ja que la seua direcció és la de la línia que unix un punt amb el lloc on es troba la càrrega o la massa que crea el camp. Aquests dos admeten una energia potencial associada, és a dir són camps conservatius.

- El seu valor és inversament proporcional al quadrat de la distància que existix entre el cos que crea el camp i el punt considerat.

- G és una constant universal, per la qual cosa el camp gravitatori és

independent del medi. No ocorre el mateix amb K que pren distints valors segons el medi (en general, la presència d'un medi material debilita el camp elèctric).

- El camp gravitatori té sempre el mateix sentit (cap al cos que ho crea,

mentres que el camp elèctric pot tindre dos sentits distints segons el signe de la càrrega que ho crea.

- El camp gravitatori no es modifica si la massa que ho crea està en moviment. Ja vorem que una càrrega en moviment provoca una interacció magnètica que actuarà sobre altres càrregues, a més de la interacció elèctrica.

6.- Flux a través d'una superfície. Teorema de Gauss.

Sense maneig d'integrals, no té molt de sentit desenrotllar aquest punt. Simplement enunciarem el teorema i l'aplicarem en algun cas senzill.

Recordem que el flux d'un camp a través d'una superfície ve donat, en el

(12)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 12

cas senzill de camp constant en tots els punts de la superfície i superfície plana,

per:

=

A

·

S

(producte escalar) (Realment és una integral).

Recordem, a més, que el flux ve a ser una cosa així com el nombre de línies de camp que travessen la superfície.

Doncs bé, Gauss va demostrar que per a una superfície tancada, el flux

només depén de la càrrega interior:

= 4

KQ

int

on Qint representa la totalitat de la càrrega tancada per la superfície. (És fàcil raonar que les càrregues elèctriques externes no afectaran al flux, perquè totes les línies de camp que generen entraran i eixiran de la superfície).

Per al camp elèctric, en compte de K, sol utilitzar-se  (K=1/4) podent llavors expressar el teorema de Gauss així:

= Q

int

/



Per al camp gravitatori és equivalent:

= -4

GM

int

I.... per a què servix el Teorema de Gauss?: Facilita la labor de determinar el camp creat per una distribució qualsevol de masses o càrregues, evitant en ocasions (o facilitant-lo) el càlcul integral.

 Algunes aplicacions senzilles del teorema de Gauss:

 Distribució de la càrrega en un cos conductor carregat:

Pot raonar-se, a partir del teorema de Gauss que la càrrega elèctrica que suporta un conductor (un tros de metall, per exemple) es distribuïx només per la seua superfície:

En primer lloc, diguem que en l'interior del conductor ha d'existir equilibri, és a dir, no hi haurà camp elèctric en cap punt, perquè de haver-lo-hi, es desplaçarien les càrregues fins a aconseguir-se l'equilibri.

Al no existir camp elèctric en l'interior, sempre podré agarrar allí una superfície tancada qualsevol i no hi haurà fluix a través d'ella. Segons el

teorema de Gauss, la inexistència de fluix implica que la càrrega en l'interior de la superfície tancada és nul·la, en conclusió tota la càrrega es troba en la

superfície.

 Camp creat per una esfera carregada:

(13)

A.B. (T1 CAMPS GRAVITATORI I ELÈCTRIC) 13

superfície concèntrica de ràdio r:

 = Qint/  E · 4r2 = Q/  E = Q / 4r2

   

7.- Aplicacions.

7.1.- Lleis de Keppler.

7.2.- Velocitat d’escapament i energia de satel·lització.

7.3.- Moviment de càrregues davall camps elèctrics uniformes. EXERCICIS 13, 14 i 15

EXERCICI 18

EXERCICIS 16 i 17

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...