El lenguaje algebraico es el lenguaje que usamos para expresar la información mediante una

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INICIACIÓN AL ÁLGEBRA

LENGUAJE COMÚN. LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRAICO.-

El lenguaje común o usual es el lenguaje que utilizamos habitualmente para expresarnos hablando o escribiendo.

Ejemplos: 1. “La suma de dos más tres es cinco”

2. “El triple de un número”

3. “La mitad de la suma de dos números”

4. “El perímetro de un rectángulo”

5. “El área de una parcela cuadrada de 3 km de lado es 9km2”; etc….

El lenguaje numérico es el lenguaje que empleamos para expresar la información mediante números

y signos aritméticos (+, −,⋅:, =. , etc.)

Ejemplos: 1). “2+3=5” 5). “El área vale: 32 =9”

•Además del lenguaje común y del lenguaje numérico, se utilizan letras para representar a un número

cualquiera (las más utilizadas son: x, y, z, a, b, c, m, n, t, r, s, …….)

El lenguaje algebraico es el lenguaje que usamos para expresar la información mediante una

combinación de números, letras y signos aritméticos.

Ejemplos: 2). Llamando x al número: “3⋅x3) Llamando a y b a los números:“

(

a+b

)

:2”

4) El perímetro de un rectángulo de largo a y ancho b, es: “a+a+b+b

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos aritméticos se

denomina Álgebra.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.-

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las

operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potencia o/y raíz.).

Ejemplos: 1) 3⋅x 2)

(

a+b

)

:2 3) a+a+b+b

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Para escribir correctamente una expresión algebraica tendremos en cuenta que el signo de la multiplicación “⋅” (nunca “×”, pues se podría confundir con la letra x) entre números y letras o entre letras, no se escribe, se sobreentiende.

Ejemplos: 3⋅x se expresa x3 , ab, ab , etc…..

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.-

El valor numérico de una expresión algebraica, para los valores de las letras que nos indiquen, es el

número que resulta al sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar las operaciones

indicadas en la expresión.

El valor numérico de una expresión algebraica varía al cambiar los valores que toman las letras.

Ejemplos:

1) 2x+3 para x=4: 2 +3parax=4→2⋅4+3=

x 11

2) 3a+5b2 para a=−1 y b=2: 3a+5b2 paraa=−1,b=2→3⋅

( )

−1 +5⋅22 =−3+20=17

MONOMIOS.-

Un monomio es la expresión algebraica más sencilla.

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras

con exponentes naturales.

Ejemplo: −5ab2c4

- Al factor numérico (que puede ser un número entero, decimal o fracción) se le llama

coeficiente. En el ejemplo: −5 es el coeficiente.

- El producto de las letras con sus exponentes, se llama parte literal. En el ejemplo: ab2c4 es

la parte literal.

- El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. En el ejemplo:

el grado es: 7 (ya que: 1+2+4=7)

Los números se consideran monomios de grado 0. Ejemplo: 7 se puede expresar como 7 x , ya 0

que x0 =1 y 7x0 =7⋅1=7

• Para expresar correctamente un monomio tendremos en cuenta:

Como en cualquier expresión algebraica: el signo de la multiplicación “⋅” (nunca “×”, pues se podría confundir con la letra x) entre números y letras o entre letras, no se escribe, se

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El coeficiente 1 no se escribe, se sobreentiende:

2

1x se escribe x2 y −1x2 se escribe −x2

El exponente 1 tampoco se escribe, se sobreentiende: 1

3 x se escribe x3 .

Ejemplos: 5 x ; 2 2a3b; 3 2 1

x ; x; a2xz3; 8; 1 t '2 4 x; …..

MONOMIOS SEMEJANTES.-

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas letras con los mismos

exponentes).

Ejemplos: 2 y xx 3 son semejantes (su parte literal es la misma: x)

2

5 ba y −3 ba 2 son semejantes (su parte literal es la misma: ab2)

y x2

4 y 4 yx 2 no son semejantes (su parte literal no es la misma).

MONOMIOS OPUESTOS.-

Dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son opuestos.

Ejemplos: 2 y x −2x

2

5 ba y 2 5 ba

y x3

2 1

y x3y

2 1 −

OPERACIONES CON MONOMIOS.-

Las operaciones con monomios siguen las mismas reglas que las operaciones con números:

SUMA Y RESTA:

- Si son semejantes: Su suma (o resta) es otro monomio semejante a ellos que se obtiene

“sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal”

Ejemplos: 2x+3x=5x

3 3

3

4 3

7abab = ab

- Si no son semejantes: Su suma (o resta) se deja indicada, y no se puede expresar con un solo

monomio.

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La suma de monomios cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

Como consecuencia podemos sumar varios monomios:

Para sumar o/y restar varios monomios, se suman o/y restan agrupando todos los que sean semejantes

y dejando indicado el resto. A agrupar todos los términos semejantes en una suma de varios sumandos,

se le llama: reducir términos semejantes.

Ejemplos: 1) −3y2+4y2−7y2 = −6 y2

2) 4x−8x+5x= x

3) 5x2+7x−4x=5x2+3x (indicado)

4) 4a 5ab+a=5a 5ab (indicado)

- La suma de dos polinomios opuestos es 0. Ejemplo: −5x+5x=0

MULTIPLICACIÓN:

Sean semejantes o no: su producto es un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes

y cuya parte literal es el producto de las partes literales (el producto de las potencias de la misma letra

se efectúan dejando la letra como base y sumando los exponentes)

Ejemplos: 1) 2x2⋅3x4 =

( )

2⋅3 ⋅

(

x2⋅x4

)

= 6 x 6

2) −3a2b

(

−5abc

)

=15a3b2c

3) 2x

( )

−3x =−6x2

4) 6⋅

(

−2x

)

= −12x

La multiplicación de monomios cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

Se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de la suma que dice: “El producto de

un monomio por la suma de otros dos es igual a la suma de los productos del monomio por cada uno

de ellos”: a

(

b+c

)

=ab+ac

Ejemplo: −2x

(

3x2−4x

)

=−2x⋅3x2−2x

(

−4x

)

=−6x3+4x2

La propiedad distributiva aplicada de derecha a izquierda se llama sacar factor común:

(

b c

)

a c a b

a + = ⋅ +

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DIVISIÓN:

La división de un monomio entre otro, se obtiene dividiendo el coeficiente del primero entre el del

segundo y la parte literal del primero entre la del segundo (si es que se puede) , (el cociente de las

potencias de la misma letra se efectúan dejando la letra como base y restando los exponentes).

Ejemplos: 1)

( ) ( )

12x5 : 4x3 =

(

12:4

)

(

x5:x3

)

=3x 2

2)

(

2 3

) ( )

2 =

( )

(

2 3 2

)

= 3 =

6 8 : 6 : 8 6 :

8x y x x y x y 3

3 4

y

3) =

( ) ( )

x x = x x : 2 : 4 2 4 2

4) =

x x

2

6 3 2 3x

Hay muchos monomios que no se pueden dividir. Ejemplo: ? 2 6 3 =

xy x

POTENCIA:

Al elevar un monomio a un número natural se obtiene un nuevo monomio cuyo coeficiente es el

coeficiente del monomio elevado al número y cuya parte literal se obtiene elevando la parte literal a

dicho número (para elevar una potencia a otra se multiplican los exponentes).

Ejemplos: 1)

( )

2 3 = 3⋅

( )

2 3 = 2

2x x 8x 6 2)

(

5

)

2 =

( )

− 2

( )

5 2 = 3

3x x 9x 10

OPERACIONES COMBINADAS:

Para realizar una operación combinada es necesario tener en cuenta el orden en el que se efectúan las

operaciones que intervienen. Este orden es el mismo que para las operaciones con números:

1º) Paréntesis

2º) Potencias

3º) Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)

4º) Sumas y restas (de izquierda a derecha)

Ejemplo: Realiza la siguiente operación:

(

− +

)

(

− +

)

= + ⋅

(

− +

)

− = − + − = ⋅

+ 2 2 2 2 2 2 2 2

2 5 4 6 3 5 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2

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