MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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(1)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 1 ~

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES I

EJERCICIOS DE REPASO PENDIENTES

2

a

Evaluación (Unidades 4, 5, 6, 7 y 8)

Unidad 4.- ECUACIONES Y SISTEMAS

Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss:

a)

2 6

3 7

2 6 b)

2 7 3 5

2 2 9

c)

2 6

3 1

1 d)

2 2 2 3 1

(2)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 2 ~

Sistemas de ecuaciones no lineales

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales

a) 2

2 0 b) 2 03

Problemas de edades

En los problemas de edades los datos pueden organizarse en tablas, distribuyendo por filas las personas y por columnas los distintos periodos a los que hace referencia el enunciado.

Las edades de unos padres suman 70 años. Hace 2 años la edad de la madre era cuatro veces la del hijo y dentro de 3 años la edad del hijo será la tercera parte de la del padre. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Se distribuyen los datos en una tabla

Edad actual Edad hace 2 años Edad dentro de 3

años Sistema

Padre x x − 2 x + 3

( )

( )

+ + = 

− =

 + = +

70

2 4 2

3 3 3

x y z

y z

x z

Madre y y − 2 y + 3

Hijo z z − 2 z + 3

Ecuación x + y= 70 y − 2 = 4(z − 2) y + 3 = 3(z + 3)

Fíjate que cuando nos dicen que la del hijo es la tercera parte de la del padre, equivale a decir que el padre tendrá el triple de edad del hijo. Es preciso tener en cuenta estas equivalencias para evitar, siempre que se pueda, fracciones en las ecuaciones.

( )

( ) − +

+ = + = + = + = =

    

− = = − = − = − =

    

+ = + = − − = − = − =

 3 1 3 2

70 70 70 70 36

4 6 4 6 4 6 34

2 4 2

3 6 3 64 7 70 10

3 3 3 E E E E

x y x y x y x y x

y z y z y z y

y z

x z y z z z

x z

3. En la actualidad las edades de una madre y su hijo suman la edad del padre, 38 años y cuando nació el hijo la suma de las edades de los padres era 61. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad de la madre sea 5 veces la del hijo?

4. Hace 5 años la edad de un padre era 7 veces la del hijo, mientras que el hijo tenía la sexta parte de la edad de la madre. Si dentro de siete años la edad del padre será el triple que la del hijo, ¿qué edad tendrán entonces cada uno?

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 3 ~

En los problemas en los que hay que determinar números de más de dos cifras en los que nos indican relaciones entre las cifras, es necesario tener en cuenta el valor del número empleando su descomposición polinómica, es decir la suma de sus órdenes. Recuerda que 3514 se expresa:

3514 = 3 · 103+ 5 · 102+ 1 · 10 + 4

Las cifras de un número capicúa de 5 cifras suman 15 y la cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las unidades y la de las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y de las centenas, el número aumenta en 8 unidades. ¿Cuál es el número?

El número es de la forma xyzyx, donde x es la cifra de las decenas de millar y de las unidades, y

es la cifra de las unidades de millar y de las decenas y z es la cifra de las centenas. El valor del número es:

xyzyx=x · 104+y · 103+z · 102+y · 10 +x

Las cifras suman 15: x + y+z+y+x= 15 ⇒ 2x +2y+z= 15

La cifra de las centenas es igual a la suma de las unidades y las decenas: z=x + y

Al intercambiar las U y D, resulta: xyzxy=x · 104+y · 103+z · 102+x · 10 +y

xyzxy es 8 unidades mayor que xyzyx, como la parte de DM, UM y C es igual:

x · 10 +y =y · 10 +x + 8

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones resulta: x = 3, y = 2 y z = 5. El número es 32 523

5. Halla un número de tres cifras si se sabe que sus cifras suman 15, la cifra de las unidades es cuatro veces mayor que la de las decenas y la diferencia entre el número que resulta de intercambiar la cifra de las centenas y las unidades y el número original es 297 unidades.

6. Encuentra un múltiplo de 10 de 4 cifras de tal manera que sus cifras suman 16 y si se intercambian las cifras de las decenas y centenas el número disminuye en 90 unidades, mientras que si se intercambian las cifras de las unidades de millar y las centenas el número aumenta en 3600 unidades.

Problemas de mezclas

En los problemas de mezclas los datos pueden organizarse en tablas. Fíjate en el ejemplo, por filas se han distribuido los diferentes tipos de compuesto y por columnas las características de cada uno de ellos.

(4)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 4 ~

Distribuyendo los datos en una tabla y suponiendo que se toman x g de la aleación 1, y g de la aleación 2 y z g de la aleación 3, se tiene:

Cantidad Oro (Au) Plata (Ag) Precio €

Aleación 1 x 0,6x 0,4x 25 €/g 25x

Aleación 2 y 0,5y 0,5y 20 €/g 20y

Aleación 3 z 0,4z 0,6z 15 €/g 15z

Totales x+ y+z= 100 0,6x+0,5y + 0,4z 0,4x +0,5y +0,6z 25x+ 20y+ 15z

Porcentaje oro:

+ + + +

= = ⇒ + + = ⇒ + + =

+ +

0,6 0,5 0,4 0,6 0,5 0,4

0,52 0,6 0,5 0,4 5,2 6 5 4 52

10

x y z x y z

x y z x y z x y z

Porcentaje plata:

0,4 0,5 0,6 0,4 0,5 0,6

0,48 0,4 0,5 0,6 4,8 4 5 6 48

10

x y z x y z

x y z x y z x y z

+ + + +

= = ⇒ + + = ⇒ + + =

+ +

Precio final: 25x+20y+15z =210

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, se tiene x= 5, y= 2 y z= 3, por tanto hay que coger 5 g de la aleación 1, 2 g de aleación 2 y 3 g de la aleación 4.

7. Se desea hacer una mezcla con tres clases de café. Uno tiene un 30% de torrefacto y un 70 % de natural y cuesta 8 €/kg; otro tiene mitad de cada tueste y cuesta 9€/kg y el último solo tiene tueste natural y cuesta 6 €/kg. ¿Cuántos kg hay que coger de cada café para obtener 100 kg de café que tenga un 65 % de tueste natural y cueste 8,15 €/kg?

8. Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 kg. Con los siguientes contenidos en kilos y precio del kilo en euros.

Mezcla A Mezcla B Mezcla C

Moka 15 30 12

Brasil 30 10 18

Colombia 15 20 30

Precio (cada kg) 4 4,5 4,7

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cuál es el precio de cada uno de los tipos base de café?

(5)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 5 ~

9. Un comercio vende tres tipos de papel, A, B y C. El precio original de cada paquete de tipo A es de 1,40 €, el del tipo B es de 1,80 € y el del tipo C 2,20 €. El precio de venta de cada paquete se incrementa en un 40 % en el caso del tipo A, un 45% en el tipo B y un 50% en el tipo C. El comercio ha abonado a la fábrica un total de 830 € en el último pedido y calculado un beneficio de 385 €. Si los paquetes de tipo B y C suponen juntos el doble que los de tipo A, ¿cuántos paquetes de cada tipo había en el pedido?

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 6 ~

Unidad 5.- INECUACIONES Y SISTEMAS

Inecuaciones

Cuando se resuelven inecuaciones de primer grado con una incógnita la solución es una región que se expresa en forma de intervalo. Por ejemplo:

+ − > − ⇒ − > − ⇒ < ⇒ <

1 0 5

5 2 3 5 4 1 0

4 2

x x x x x x

La solución de la inecuación es: −∞, 

 

5

2 .

11. Halla la solución de cada inecuación.

a) 2x− 1 0< + +x 1 1 2x c) 4 3

(

x− 5

)

− 6

(

x− 2

)

> 4x− 9 b) − ≥ −

1 5

3

x

x d) − 7x− ≥ − +8 9 9x

Para resolver inecuaciones de grado mayor que uno, se opera hasta obtener un polinomio en un miembro y 0 en el otro miembro. Después, se descompone el polinomio y se forma una tabla para estudiar el signo del polinomio según el signo de sus factores:

(

)(

)(

)

− − + ≥ ⇒ − − + ≥

3 2 2 2 0 2 1 1 0

x x x x x x Las raíces son x=−1, x = 1, x= 2. −∞ −1 1 2 ∞

x − 2 − − − +

x − 1 − − + +

x + 1 − + + +

(x − 2)(x + 1)(x − 1) − + − +

Como queremos que el producto de los tres factores sea mayor o igual que 0, la solución es la unión de los siguientes intervalos:

[

−1, 1

] [

∪ 2,+ ∞

)

.

12. Halla la solución de cada inecuación.

a) x 2+ 3x− 1 8≤ 0 c) − 5x2 > − 5

b) 2 − + ≥ 9 2 0

2

x x d) − + + ≥ −

2 5 6 1

1

4 2

(7)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 7 ~

Si la inecuación es racional, es decir, la incógnita aparece en el denominador, hay que tener en cuenta el signo de los factores del numerador y el denominador en cada región:

+ − − +

≤ ⇒ ≤

− −

2

3 6 4 5 0 3 3 5 0

4 ( )( 4 )

x x x x

x x

−∞ −5 3 4 ∞

x − 3 − − + +

x + 5 − + + +

x − 4 − − − +

− +

3 5

4

(x )(x )

x

− + − +

La región solución es la unión de los intervalos:

(

−∞ − ∪, 5

] [

3 4,

)

.

13. Representa en la recta real la solución de ambas inecuaciones.

a) < − − 3 6 4 x x

x b)

(

)(

+

)

≥ −

2 1 2 1 2 1

x x x

Sistemas de inecuaciones:

Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita

Para resolver este tipo de sistemas de inecuaciones, se halla por separado la solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema. La solución es la parte común, es decir, la intersección, de las regiones que se han hallado.

[

)

(

]

 +∞ − ≥ ≥    ≤ +  −∞    3

4 2 1 0 3

2 4 4 La solución de cada ecuación es , 4

,

x x

x x x

Para visualizar la región solución, es útil representar cada intervalo y su parte común:

La solución del sistema, es decir, la intersección de ambos intervalos, es el intervalo [3,4].

14. Resuelve estos sistemas de inecuaciones con una incógnita.

a)  − < + 

7 2 1 3 9

x x

x b)

(

)

(

)

− + + ≥

 

+ < − 

2 4 5 8

5 x 6 1 0 x 1

x x c)

+ ≤ +    ≥ −  2 2 1 2 3 3 x x x

x x x

d)  − > − + ≥ − 

2

1 0 2 8

5 5 1

x

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 8 ~

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Si en el sistema de inecuaciones aparecen dos incógnitas la solución del sistema es una región del plano.

+ ≤ 

+ > −

2 3

4 1

x y

x y Representamos en los mismos ejes coordenados las rectas

+ = 

+ = −

2 3

4 1

x y

x y , que son las líneas que delimitan el recinto solución.

Para representar cada recta se forma una tabla de valores:

x 0 1

y= 3 − 2x 3 1

Cada recta divide al plano en dos regiones. Para determinar cuál corresponde a cada inecuación, sustituimos un punto de una de las regiones y comprobamos si cumple la inecuación. (0, 0) pertenece al semiplano 2x+ ≤y 3 ya que 2 0· + ≤0 3. (0, 0) también pertenece al semiplano x+ 4y>−1.

La solución es la región coloreada con vértice en el punto  − 

 

1 3 5 7 , 7

A

15. Halla la solución de cada sistema de inecuaciones.

a)  + ≤+

1

2 1

x y

x y b)

+ < 

  ≥ 

4 2 8

0

0

x y x y

c) − > − + ≤ − 

6 0

3 5 2

x y

x y d)

≤ − 

+ >

 + ≤ − 

2

2 2

2

x y x y x y

Problemas de inecuaciones y sistemas de inecuaciones:

16. Un ayuntamiento quiere construir una plaza circular cuya superficie debe estar comprendida entre 5000 m2 y 6000 m2. ¿Entre qué dos valores se encuentra el radio de la plaza? ¿Y su perímetro?

17. Un terreno rectangular mide el doble de largo que de ancho y está dividido en cuatro parcelas con las siguientes características:

Sus dimensiones son números enteros

La parcela más grande tiene un área de 450 m2

La parcela más pequeña tiene un área comprendida entre 30 m2 y 40 m2. Las otras dos parcelas tienen la misma superficie.

¿Cuál es el área total del terreno?

x 3 −1

y = − −

1

(9)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 9 ~

18. Al comprar 8 bolígrafos, Lola pagó con un billete de 5€, pero no recuerda a cuánto ascendía la vuelta. Otro cliente fue a comprar 12 bolígrafos de la misma clase, pero tuvo que volver a casa, ya que los 6,50€ que llevaba para pagar no eran suficientes. ¿Qué se puede decir del precio de un bolígrafo?

19. En unos almacenes de ropa deportiva cuentan con 200 balones y 300 camisetas. Tras un estudio de mercado ponen las existencias a la venta en dos tipos de lotes.

Lote A: Tres camisetas y un balón.

Lote B: Dos camisetas y dos balones.

El número total de lotes no debe superar los 110 y, en particular, el número máximo de lotes del tipo A no debe superar los 60.

a) Representa las posibles formas de elaborar los datos.

b) Indica si cada una de las siguientes posibilidades verifican las condiciones: • 40 del tipo A y 80 del tipo B

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Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 10 ~

Unidad 6.- FUNCIONES

Dominio de las funciones elementales

El dominio de una función puede verse restringido por la propia definición de la función o el contexto real en el que se utiliza. Según la expresión de la función:

• Si la expresión es polinómica, la función está definida en todo .

• Si la expresión contiene “x” en el denominador, la función no está en los valores que anulan el denominador.

• Si la expresión es radical de índice par, entonces la función está definida para radicandos positivos. Si la expresión es radical de índice impar, el dominio de la función coincide con el dominio de la función radicando.

• Si la expresión es exponencial, entonces el dominio de la función coincide con el dominio de la función del exponente.

• Si la expresión es logarítmica, entonces la función sólo está definida para números reales positivos.

20. Halla el dominio de las siguientes funciones.

a)

( )

= − 2+ −

2 3 1

f x x x f)

( )

= 2− −

6

f x x x

b)

( )

= 1 2+2

3 5

f x x x g)

( )

= 2+ +

7 10

f x x x

c) f x

( )

= 1

x h)

( )

= − +

2 3

13

f x x x

d)

( )

= − +

2 5 7

x f x

x i)

( )

− =

2 3

1

x f x

x

e)

( )

= −

+ −

2 2

2 15

x f x

(11)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 11 ~

Funciones definidas a trozos

En la representación de funciones definidas a trozos hay que representar la expresión correspondiente según la zona del dominio que se considere. Fíjate en el ejemplo:

Representa la función

( )

2

1 si 1

1 si 1 1

1

si 1

x x

f x x x

x x

− < −

 

= − − ≤ < 

 ≥

• Se representa f x

( )

= −x 1 para x < −1, es decir, en este tramo la representación es una semirrecta.

• Se representa

( )

2 1

f x =x − para − ≤1 x <1, es decir, para estos valores se representa un tramo de parábola.

• Se representa f x

( )

1 x

= para x >1, es decir, en este tramo se representa un tramo de la función de proporcionalidad inversa.

21. Representa las siguientes funciones, determina su dominio y calcula f

( )

3 , f

( )

2 ,f

( )

0 y f

( )

3 .

a)

( )

2

5 si 3

si 3 1

2 si 1

x

f x x x

x

− ≤ −

 

= − < ≤

>

c)

( )

2 1

si 1

2 3 si 1 2

2 1 si 3 5

x x

f x x x x x x

− ≤ −

 

= − − < <

− + + < ≤

 

b)

( )

2

si 3

2 si 3 6

x x x f x

x x

 − <

= 

< <

d)

( )

1

si 1

1

3 si 1 2

1

si 2

1

x x

f x x x x x

≤ −

 + 

= − + − < <

 ≥

+ 

22. Encuentra la expresión algebraica de las siguientes funciones.

(12)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 12 ~

Operaciones con funciones:

23. Realiza las operaciones indicadas con las siguientes funciones:

4 5 41 1 2 1 ∙ " #$

% #$ & ∘ ∘ ∘

24. Realiza las operaciones indicadas con las siguientes funciones:

5 3 2 1 4 3 ( 1 ) 2 1

) ( " ∙ (

% *(+ & #$ (#$

∘ ( ∘ ∘ ∘ )

Interpolación cuadrática y lineal:

25. A Jorge se le ha roto la calculadora y necesita calcular el seno del ángulo de 27,4º para resolver un problema. Su abuelo le muestra un libro de matemáticas en el que hay una tabla de valores del seno. En ella, Jorge encuentra los dos datos siguientes:

sen 27º = 0,454 y sen 28º = 0,469

Ayuda a Jorge a calcular, por interpolación lineal, una estimación del seno de 27,4º.

26. En un negocio de decoración solo venden alfombras cuya longitud es el doble de su anchura. Los precios, dependiendo del largo, se muestran en esta tabla.

Largo (m) Precio (€)

1 120

2 124

5 148

a) Calcular por interpolación cuadrática el precio de una alfombra de 3 m de longitud.

(13)
(14)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 14 ~

Problemas con funciones:

27. Las funciones de oferta y demanda de un tipo de ordenador portátil vienen dadas, respectivamente, por , - ., 0.- 1. y 2 - 3.. ., 40-; p en euros.

a) ¿Cuáles son las cantidades ofertadas y demandadas si el precio es de 500, 700 o 900 €? b) Represéntalas y halla el precio de equilibrio (aquel en el que el valor de ambas funciones coincide).

28. Un parque natural ha tenido durante el verano pasado más visitantes de los esperados, por lo que el servicio de limpieza ordinario no ha podido retirar toda la suciedad que la masiva afluencia de público ha generado. Llegado el otoño, los encargados del parque se plantean hacer una inversión extraordinaria para eliminar el p (%) de esos restos expresados en miles de euros es:

5 - 66. -

63-a) Sin hacer ningún cálculo, indica si esta función es creciente o decreciente.

b) Calcula cuánto costaría no eliminar ningún residuo, eliminar el 50% y eliminarlos todos. c) ¿Qué proporción de la suciedad acumulada se podrá retirar si se aprueba una partida presupuestaria especial de 100 000 € destinada a tal fin?

29. La DGT ha hecho un estudio sobre la distancia media que recorre un vehículo al detenerse en función de su velocidad

Velocidad (km/h) Distancia de frenado (m)

30 12

50 24

90 57,6

a) Representa estos datos y decide qué tipo de interpolación es la adecuada en este problema. b) Estima la distancia de frenado para un vehículo que circula a 80 Km/h.

(15)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 15 ~

Unidad 7.- LÍMITE Y CONTINUIDAD

Identificación gráfica de funciones, límites y asíntotas

Al observar la gráfica de una función es posible determinar gran cantidad de parámetros y características de dicha función aunque no conozcamos su expresión, como su dominio (región del eje X en la que está definida la función), el recorrido (región del eje Y en la que encontramos valores de la función), asíntotas (rectas a las que se aproxima la función), además de los valores que toma la función en cada punto.

Por ejemplo, observando la siguiente gráfica podemos determinar:

{ }

→− →∞ →−∞

= − − = − + ∞

= +∞ = +∞ =

= − = − − =

= − =

2

Dominio: ( ) 2, 2 Recorrido: ( ) ( 1, )

lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0

1 1

(0) 1 (1) ( 3)

2 2

Asíntota vertical: 2 Asíntota horizontal: 0 Asíntota oblícua:

x x x

D f R f

f x f x f x

f f f

x y

= +

− = + ⇒ = −  = −

= − ⇒ = 

La asíntota oblicua pasa por los puntos (0, 2) y (2, 0). Sustituyendo en la ecuación de la recta oblicua :

2 0 2

2

0 2 2 1

y mx n

n n

y x

m m

30. Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas y los límites e imágenes que se indican para cada gráfica.

a) Dominio, recorrido,

→−3 →3

lim ( ), lim ( )

x f x x f x y asíntota vertical de:

b) f(0), f(1),

2

lim ( )

(16)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 16 ~

c) Dominio,

→∞ →−∞ →0 lim ( ), lim ( ), lim ( )

x f x x f x x f x y asíntota oblicua de:

Cálculo de límites e indeterminaciones

Al calcular el límite de una función en un punto y sustituir la variable por el valor al que tiende, se puede llegar a una expresión que no es real y en la que no resulta inmediato saber si tiende a 0, a otro número o a infinito, es decir, se tiene una indeterminación. Las indeterminaciones se

resuelven según su tipo, aplicando una de las estrategias de la siguiente tabla:

Indeterminación Se resuelve:

∞ Dividiendo el numerador y el denominador por la x de mayor grado.

∞ − ∞ Multiplicando por el conjugado, si aparece como diferencia de radicales.

Efectuando la diferencia de cocientes, si aparece como diferencia de cociente de polinomios.

0 0

Factorizando numerador, denominador y simplificando, si aparece como cociente de polinomios.

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado, si aparece como cociente de funciones radicales.

31. Calcula los siguientes límites indicando el tipo de indeterminación a que dan lugar y resolviéndola. a) 2 2 2 1 lim

2 3 5

x

x x

x x

→+∞

+ −

− + − j)

2

2 1 4 1

lim 1 2 x x x x →+∞  + +     

b) lim 1

3 x x x x →+∞ + −

k) lim

(

2

)

x→−∞ − +x x

c) lim 3

1 x

x

x

→−∞ l)

2

1

2 5 7

lim 1 x x x x →− − − + d) 2 2 3 5 lim 1 4 5 x x x →−∞ − − m) 2 0 2 5 lim x x x x → −

e) 2

3

2 1

lim

3 2 5 3

x→ + x x x

  n) 1

2 1 lim 1 x x x →− + − + f) 2 2 2 4 lim x x x x x →−∞  + −   

  o) 4

(17)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 17 ~

g) 2

1

2 1

lim

2 1 1

x

x

x x x

+

+

+

  p)

2

1 2

2 9 4

lim 2 1 x x x x → − + −

h) lim

(

2 1

)

x→+∞ x + −x q) →−∞

(

)

+

 2 

3

lim 1

1

x x x

i)

(

)

2 2 2 1 2 lim 2 2 x x x

x x x

− →−  +   −   + + −   

r) →+∞

(

)

 

2

1

lim 1

x x x

Cálculo de límites de la forma .

.

7 ∞ ∞

Al calcular el límite de una función cuando x tiende a un valor podemos encontrar siete tipos de indeterminaciones. Veamos cómo resolver algunas de ellas según cómo sea la expresión de la que tomamos límite:

1) Cociente de polinomios:

Indeterminación

∞ : Dividimos cada término por la potencia de mayor grado, en este caso, x

2 . →∞ →∞ →∞ − + − + − + − + ∞ − + = → = = = = + + ∞ + + + + + + + + ∞ ∞ 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2

3 7 1 7 1 7

3 3

3 7 3 0 0 3

lim lim lim 10 1 10 1

2 10 1

2 10 1 2 0 0 2

2 2

x x x

x x

x x x x x x x x x

x x

x x x x x

También podemos llegar a este resultado comparando los grados del polinomio del numerador y del denominador.

Si el grado del polinomio del numerador es igual que el del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, el límite es

+∞

, o −∞. Si el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, el límitees cero.

Indeterminación 0

0: El valor al que tiende la x es raíz de ambos polinomios, por eso ambos se

anulan al sustituir la x. Descomponemos ambos polinomios y simplificamos.

→ → → − − ⋅ − ⋅ − − + + ⋅ = = → = = = − − − + + 2 2 2 2

2 2 2

3 3 6 3 2 3 2 6 0 3( 2)( 1) 3( 1) 3 3 9

lim lim lim

4 2 4 0 ( 2)( 2) ( 2) 5 5

x x x

x x x x x

x x x x

Indeterminación ∞ − ∞: Se efectúa la operación y se calcula el nuevo límite que aparece.

→∞ →∞ →∞ →∞

− − − − − + − − + ∞

− = ∞ − ∞ → = = = → =

− − − − ∞

2 2 2

2

1 ( 1)( 2) 3 2 3 2

lim lim lim lim Finalmente lim 0

2 ( 2) ( 2) 2

x x x x

x x x x x x x x x

(18)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 18 ~

2) Cuando aparecen radicales:

Indeterminación

: Se observa el grado de los polinomios que están en el radicando y se aplica

la misma regla que hemos utilizado en el cociente de polinomios.

→∞

+ − ∞

= →

− ∞

2

5 6 1 5

lim

2 3 2

x

x x

x El polinomio del numerador tiene grado 2, pero como está

afectado por la raíz cuadrada equivale a un polinomio de grado 1. El grado del polinomio del denominador es 1 también, así que el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambos polinomios.

Indeterminación 0

0 e indeterminación ∞ − ∞: Se multiplica el numerador y el denominador por

el conjugado de la cantidad.

→∞ →∞ →∞

− − + − + + − −

− − + = ∞ − ∞ → = = =

− + + − + +

( 3 1)( 3 1) 2 2

lim 3 1 lim lim 0

3 1 3 1

x x x

x x x x x x

x x x x

32. Calcula el valor de los siguientes límites.

a) →∞ − + − − + 3 2 3

6 4 8 1

lim

2 9 8

x

x x x

x x c) →∞

+ − +

2 2 1 lim

5

x

x x

x e) limx→∞ xx+1 g) → + −

2 0 lim 1 1 x x

x i)

+ − − + 2 2 1 2 2 1 lim

2 3 1

x

x x

x x

b)

(

)

→∞ − −

2

lim 1

x x x d) →∞

+ +

3 2 1 lim

x

x x

x f) →−

+ + − − 2 2 1 4 3 lim 5 6 x x x

x x h) →∞

+

+

 

2 1 4

lim

3 3

x

x

x x j) →∞

− + + 2 2 7 lim 4 3 x x x x Continuidad

Recuerda que para que una función y=f x( )sea continua en x = a se deben verificar dos condiciones:

1.ª Que exista el límite finito de la función en dicho punto. Para ello es necesario que los dos límites laterales coincidan:lim ( ) lim ( ) lim ( )

x a

x a x a

f x f x f x

− +

→ = → = .

2.ª Que exista la imagen de la función en ese punto y que dicha imagen coincida con el límite:

lim ( ) ( )

xaf x =f a .

Si falla alguna de las dos condiciones anteriores, se dice que la función es discontinua en x = a. Si los límites laterales no son iguales, y por tanto falla la primera condición, se dice que la función presenta una discontinuidad no evitable.

(19)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 19 ~

33. ¿En qué puntos no son continuas estas funciones?

3 1

9 1 1 " 1 1612 % 3 1 2

34. Estudia la continuidad de estas funciones.

3

7 12 :

1 ; < 0 1 ; 0 = = 3 2 4 ; > 3

35. Determina cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continúa en todo

(20)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 20 ~

Unidad 8.- DERIVADAS

Cálculo de derivadas a partir de la definición

La derivada de una función f(x) en el puntox =adel dominio es

( )

(

)

( )

+ − =

0

' lim

h

f a h f a

f a

h .

La función derivada de f(x) o derivada de f(x) es

( )

(

)

( )

+ − =

0

' lim

h

f x h f x

f x

x para cualquier x del

dominio de f.

36. Calcula la derivada de las siguientes funciones en el punto que se indica. Fíjate en el ejemplo.

( )

1

f x = x+ en x =1

( )

(

) (

)

+ + − +

⇒ = = =

0 0

1 1 1 1

' 1 lim lim 1

h h

h h

f

h h

a) f x

( )

= −2x+3 en x = −3 d) f x

( )

=x2−1 en x= −2 b) f x

( )

= +x 5 en x =5 e)

( )

2

3 5 1

f x = − xx+ en x=2

c)

( )

1 2 3 3

f x = x + x en x =3 f) f x

( )

x 2 x

= en x=1

Cálculo de derivadas aplicando las reglas

37. Calcula la derivada de cada función.

a) = 2 ( ) 3

f x x b) ( )= −5 4+10 3−6 2+ −1 2

f x x x x x c) = + 2−

( ) ( 4)(2 2)

f x x x

d) = +

1 ( )

1

x f x

x e)

+ =

+

3 2

4 9

( )

3 5

x x

f x

(21)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 21 ~ g) f x( )= −3 x2+5 h) f x( )=log(3x2) i) f x( )=logex

j) f x( )=sen( 5x2+10) m) f x( ) (6= x1)4x2 n) f x( )=sen(6x+2)

38. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) f x( )=e4x+9+ln(4x+9) b)

+

+

 

= 

 

1 2

2 1 ( )

1

x

x f x

x c) =

3 ( ) cos

f x x

d)f x( )=sen (2 x2+3x1) e) f x( )= −(1 arccos )(1 arccos )x + x

f)

+ =

1 tg ( ) ln

1 tg

x f x

x

g) = + +

+ +

4 3 2

2

8 5

( )

sen( 3)

x x x

f x

x x h)

− =

+

1 sen ( )

1 sen

x f x

x i) = − +

3 2

( ) cos( ln )

f x x x

j) f x( )= cos2xcosx k) f x( )=ln(x3)·(x+3)

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos y absolutos.

39. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.

6 8 6 9 8 " 2

40. La curva de ecuación @ A4 BA C pasa por el punto P (-2, 1) y alcanza un extremo relativo en el punto de abcisa x= -3. Halla los números b y c.

41. Calcula el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

3 &D E 3, 5F 1 2 &D E0, 3F " 1 &D E1,5F

Figure

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Referencias

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