GUÍA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS

(1)

1

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

MATEMÁTICAS

GUÍA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 4444 (2

(2

DADADADA

_PARTE)

_{PARTE) CON SOLUCIONES}

_PARTE)

La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 4, correspondientes a los temas de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales lineales. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar más el conocimiento de los temas. Los temas que se aprecian en la guía son:

Temas Presentes en la siguiente guía:

(1) Algunos Tipos de Sustituciones.

(2) Reducción de Ordenes

(3) Sistema de Ecuaciones Diferenciales. (4) A coeficientes constantes….

(5.1) Homogéneos. (5.2) No Homogéneos.

(5) Ecuaciones diferencial de orden “n” Homogéneas. (6) Método de Variación de Parámetros.

(7) Método del Anulador.

(8) Método de Coeficientes Indeterminados. (9) Ecuación de Euler.

La guía consta con más 250 ejercicios.

Actualizada:

AGOSTO 2012

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2

GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

SEGUNDA PARTE.

DIFERENTE TIPO DE CAMBIO DE VARIABLE DIFERENTE TIPO DE CAMBIO DE VARIABLE DIFERENTE TIPO DE CAMBIO DE VARIABLE DIFERENTE TIPO DE CAMBIO DE VARIABLE1111_.... 1.

1. 1.

1.---- Realice el cambio de variable < = >/@A_{con la n indicada.}

i.- _BDBC =EFDC_HDG_CG I = −E_H ii.- BC_BD =HKLDC G

MDG_C I =L_M

iii.- BC_BD =CFDC_DKDG_CG I = −1

2. 2. 2.

2.---- Pruebe que >O_{+ Q(@)> = R(@). >. log(>) puede resolverse mediante el cambio de} variable < = log (>) y aplique esto para resolver.

@>O _{= 2@}H_{> + > log(>)}

SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEAS SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEASSOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEAS SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEAS2222.... 3333....---- En las siguientes ecuaciones determine.

(a) Verificar que las funciones >E, >H son soluciones LI de la ecuación dada. (b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.

(c) Encuentre la solución que satisfaga las condiciones iníciales. i.- >OO_{− 5>}O_{+ 6> = 0 >}

E = VHD >H = VLD >(0) = −1 >O(0) = −4 ii.- >OO_{− 2>}O_{+ 5> = 0 >}

E = VDcos(2@) >H = VDsin(2@) >(0) = 2 >O(0) = 0 iii.- @H_>OO_{− 2> = 0 >}

E = @H >H = @FE >(1) = −2 >O(1) = −7 iv.- >OO_{+ >}O_{− 2> = 0 >}

E = VD >H = VFHD >(0) = 8 V >O(0) = 2 v.- >OO_{+ >}O_{− 2> = 0 >}

E = VD >H = VFHD >(1) = 0 V >O(1) = 0 vi.- >OO_{+ 5>}O_{+ 6> = 0 >}

E = VFHD >H = VFLD >(0) = 1 V >O(0) = 1

1_{Este ejercicio muestra que puede haber varios tipos de cambio de variable o sustituciones, pero el curso solo se}

adapta a las enseñadas en clases.

2_{Trate los siguientes ejercicios como ecuaciones lineales de orden “n”. Acuérdese de Wronskiano el cual permite}

(3)

3 vii.- >OO_{+ >}O _{= 0 >}

E = 1 >H = VFD >(2) = 0 >O(2) = VFH 4444....---- Considere la ecuación diferencial

>OO_{+ 5>}O_{− 6> = 0}

(a) Demuestre que W_E = XVD_{; V}D_{− 6V}FZD_{[ es un conjunto fundamental de} soluciones de la ecuación.

(b) Demuestre que WH = XVD; 3VD+ VFZD[ es otro conjunto fundamental de soluciones de la ecuación.

(c) 3Verifique que ]_(D) = VFZD es solución de la ecuación; exprese luego ]_(D) como combinación lineal de funciones pertenecientes a WE. Análogamente hágalo con WH.

COMO OBTENER UNA SEGUNDA COMO OBTENER UNA SEGUNDA COMO OBTENER UNA SEGUNDA

COMO OBTENER UNA SEGUNDA SOLUCION CONOCIDA UNA.SOLUCION CONOCIDA UNA.SOLUCION CONOCIDA UNA.SOLUCION CONOCIDA UNA.

5555....---- Demuestre que la segunda solución se obtiene mediante la siguiente igualdad >H(@) = `(@)>E(@) donde >E(@) es la solución conocida de la ecuación diferencial.

>OO_{+ Q(@)>}O_{+ R(@)> = 0} 6666....---- La ecuación.

@>OOO_{+ (1 − @)>}OO_{+ @>}O_{− > = 0}

Tiene a `(@) = @ como solución. Use la sustitución >(@) = a(@)`(@) para reducir esta ecuación de tercer orden a una ecuación lineal homogénea de segundo orden en la variable b = a′.

7777....---- En los siguientes problemas se da una ecuación diferencial y una solución NO trivial. Determine una segunda solución linealmente independiente.

i.->OO_{− 3>}O_{+ 2> = 0 `(@) = V}D ii.- >OO_{+ 2>}O_{− 15> = 0 `(@) = V}LD

iii.- @H_>OO_{+ 6@>}O_{+ 6> = 0 @ > 0 `(@) = @}FH iv.- @H_>OO_{− 2@>}O_{− 4> = 0 @ > 0 `(@) = @}FE v.- @>OO_{− (@ + 1)>}O_{+ > = 0 @ > 0 `(@) = V}D

vi.- @>OO_{+ (1 − 2@)>}O_{+ (@ − 1)> = 0 @ > 0 `(@) = V}D

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4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO,

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO, HOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEO

10 10 10

10....---- Determine la solución de los sistemas que se presentan a continuación, algunos son homogéneos otros son no homogéneos. La prima (‘) indica derivada respecto a t.

g. − h i@ ij = 3> i>

ij = 2@ − >

gg. − k @_>_OO_{= > − 4@}= @ − >

ggg. − k@_@O_O+ >_{+ >}O_O− @ = 5_{+ > = 1 ga. − k}_{(l − m)(@) + (2l + m)(>) = 5}(l + m)(@) − (l + m)(>) = Vn

a. − k_@_O_{+ >}@O+ >_O_{− @ − > = sin(j) ag. − h}O+ 2@ = 0 i@

ij + > = jH −@ +i>_{ij = 1}

agg. − h i@

ij = 5@ + 2> + 5j i>

ij = 3@ + 4> + 17j

aggg. − o@

O_{= 3@ + > − <} >O _{= @ + 2> − <} <O_{= 3@ + 3> − <}

g@. − o@

O_{= > + <} >O_{= @ + <}

<O_{= @ + >} @. − h i@

ij = −3@ + 4> i>

ij = −2@ + 3>

@g. − h i@

ij = 4@ − 2> i>

ij = 5@ + 2>

@gg. − h i@

ij = @ − 2> i>

ij = 4@ + 5>

@ggg. − h i@

ij = 5@ + 4> i>

ij = −@ + >

@ga. − h i@

ij = 4@ − 3> i>

ij = 8@ − 6>

@a. − h i@ ij = 2@ i> ij = 3>

@ag. − h i@

ij = −4@ − > i>

ij = @ − 2>

@agg. − h i@

ij = 7@ + 6> i>

ij = 2@ + 6>

@aggg. − o @

O_{= > + < − 1} >O_{= @ + < − 1 − V}Fn

(5)

5 ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS. 11

11 11

11....---- Encuentre la solución de la ecuación diferencial.

i.- >OO_{+ >}O_{− 2> = 0 ii.- >}OO_{+ 5>}O_{+ 6> = 0} iii.- >OO_{− 8>}O_{+ 16> = 0 iv.- >}OO_{+ 6>}O_{+ 9> = 0} v.- >OO_{+ >}O_{− > = 0 vi.- >}OO_{− 5>}O _{+ 6> = 0} vii.- 7>O_{+ 10> = 0 viii.- >}OO_{− >}O_{− 11> = 0} ix.- 6>OO_{+ >}O_{− 2> = 0 x.- 4>}OO_{− 4>}O_{− > = 0} xi.- 4>OO_{+ 20>}O_{+ 25> = 0 xii.- 3>}OO_{+ 11>}O_{− 7> = 0} 12

12 12

12....---- Resuelva el problema con valor inicial.

i.- >OO_{+ >}O _{= 0 >(0) = 2; >}O_{(0) = 1}

ii.- >OO_{+ 2>}O_{− 8> = 0 >(0) = 3 ; >}O_{(0) = −12} iii.- >OO_{+ 2>}O_{+ > = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) = −3}

iv.- >OO_{− 4>}O_{+ 3> = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) =} E L v.- >OO_{− 2>}O_{− 2> = 0 >(0) = 0 >}O_{(0) = 3} vi.- >OO_{− 6>}O_{+ 9> = 0 >(0) = 2 >}O_{(0) =}Hp

L vii.- >OO_{− 4>}O _{+ 4> = 0 >(1) = 1 >}O_{(1) = 1}

viii.- >OO_{− 4>}O_{− 5> = 0 >(−1) = 3 >}O_{(−1) = 9} 11113.3.3.3.---- Resuelva los siguientes apartados

(a) Comprobar que >E = VFD >H = VHD son soluciones de la ecuación reducida >OO− >O_{− 2> = 0 ¿Cuál es la solución general?.}

(b) Hallar a y b tales que >s = t@ + u sea una solución particular de la ecuación completa >OO_{− >}O_{− 2> = 4@. Usar esta solución junto con el resultado en a.- para} escribir la solución general de esta ecuación.

(6)

6 14

14 14

14....---- Determine la solución general de cada una de las ecuaciones.4 i.- >OO_{+ >}O_{− 6> = 0 ii.- >}OO_{+ 2>}O_{+ > = 0}

iii.- >OO_{+ 8> = 0 iv.- 2>}OO_{− 4>}O_{+ 8> = 0} v.- >OO_{− 4>}O_{+ 4> = 0 vi.- >}OO_{− 9>}O_{+ 20> = 0} vii.- 2>OO_{+ 2>}O_{+ 3> = 0 viii.- −12>}O_{+ 9> = −4>′′} ix.- >OO_{+ >}O _{= 0 x.- >}OO_{− 6>}O_{+ 25> = 0} xi.- 25> = −4>OO_{− 20>′ xii.- >}OO_{+ 2>}O _{+ 3> = 0} xiii.- >OO _{= 4> xiv.- 4>}OO_{− 8>}O_{+ 7> = 0} xv.- 2>OO_{+ >}O_{− > = 0 xvi.- 16>}OO_{− 8>}O_{+ > = 0} xvii.- aOO_{+ 4a}O_{+ 5a = 0 xviii.- >}OO_{+ 4>}O_{− 5> = 0} 15

15 15

15....---- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de valor inicial. i.- >OO_{− 5>}O_{+ 6> = 0 >(1) = V}H_{V >}O_{(1) = 3V}H

ii.- >OO_{− 6>}O_{+ 5> = 0 >(0) = 3 V >}O_{(0) = 11} iii.- >OO_{− 6>}O_{+ 9> = 0 >(0) = 0 V >}O_{(0) = 5} iv.- >OO_{+ 4>}O_{+ 5> = 0 >(0) = 1 V >}O_{(0) = 0}

v.- >OO_{+ 4>}O_{+ 2> = 0 >(0) = −1 V >}O_{(0) = 2 + 3√2} vi.- >OO_{+ 8>}O_{− 9> = 0 >(1) = 2 V >}O_{(1) = 0}

ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n”DE ORDEN “n”DE ORDEN “n”DE ORDEN “n” GENERALGENERALGENERALGENERAL 33.

33. 33.

33.---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

i.- >OOO_{− 3>}OO_{− >}O_{+ 3> = 0 ii.- 6>}OOO_{+ 7>}OO_{− >}O_{− 2> = 0} iii.- >OOO_{+ 3>}OO_{− 4>}O_{− 6> = 0 iv.- >}OOO_{− >}OO_{+ 2> = 0}

v.- >OOO_{− 9>}OO_{+ 27>}O _{− 27> = 0 vi.- >}OOO_{+ 5>}OO_{+ 3>}O_{− 9> = 0} vii.- >M_{+ 4>}OO_{+ 4> = 0 viii.- >}OOO_{− 3>}OO_{+ 2>}O _{= 0} ix.->OOO_{− 3>}OO_{+ 4>}O_{− 2> = 0 x.- >}OOO_{− > = 0}

(7)

7

xi.- >OOO_{+ > = 0 xii.- >}OOO_{+ 3>}OO_{+ 3>}O_{+ > = 0} xiii- >M_{+ 4>}OOO_{+ 6>}OO_{+ 4>}O_{+ > = 0 xiv.- >}M_{− > = 0}

xv.- >M_{+ 5>}OO_{+ 4> = 0 xvi.- >}M_{− 2t}H_>OO_{+ t}M_{> = 0} xvii.- >M _{+ 2t}H_>OO_{+ t}M_{> = 0 xviii.- >}M_{+ 2>}OOO_{+ 2>}OO_{+ 2>}O_{+ > = 0} xix.- >M_{+ 2>}OOO_{− 2>}OO_{− 6>}O_{+ 5> = 0 xx.- >}OOO_{− 6>}OO_{+ 11>}O_{− 6> = 0}

xxi.- >M_{+ >}OOO_{− 3>}OO_{− 5>}O_{− 2> = 0 xxii.}_{xxii.---- >}_xxii._xxii. p_{− 6>}M_{− 8>}OOO_{+ 48>}OO_{+ 16>}O_{− 96> =} 0

34. 34. 34.

34.---- En este ejercicio se indica la ecuación característica determine las soluciones. i.- (w − 1)H_{(w + 3)(w}H_{+ 2w + 5)}H _{= 0}

ii.- (w + 1)H_{(w − 6)}L_{(w + 5)(w}H_{+ 1)(w}H_{+ 4) = 0} iii.- (w − 1)L_{(w − 2)(w}H_{+ w + 1)(w}H_{+ 6w + 10)}L _{= 0} iv.- (w + 4)(w − 3)(w + 2)L_(wH _{+ 4w + 5)}H_wp _{= 0} 35.

35. 35.

35.- Resuelva el problema de valor inicial.

i.- >OOO_{+ 7>}OO_{+ 14>}O_{+ 8> = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) = −3 >}OO_{(0) = 13} ii.- >OOO_{− >}OO_{− 4>}O_{+ 4> = 0 >(0) = −4 >}O_{(0) = −1 >}OO_{(0) = −19} iii.- >OOO_{− 4>}OO_{+ 7>}O_{− 6> = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) = 0 >}OO_{(0) = 0}

ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS. ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS. ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS. ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS. 16

16 16

16....- Determine la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial dada. La misma tiene raíces complejas. Encuentre la solución general.

i.- >OO_{+ > = 0 ii.- >}OO_{− 6>}O_{+ 10> = 0} iii.- >OO_{+ 4>}O_{+ 6> = 0 iv.- 4>}OO_{+ 4>}O_{+ 6> = 0}

17 17 17

17....---- Obtenga la solución general de la ecuación diferencial. i.- >OO_{+ 4>}O_{+ 8> = 0 ii.- >}OO_{+ 10>}O_{+ 25> = 0}

(8)

8 18

18 18

18....---- Resuelva el problema con valor inicial dado. i.- >OO_{+ 2>}O_{+ 2> = 0 >(0) = 2 >}O_{(0) = 1} ii.- >OO_{− 4>}O_{+ 2> = 0 >(0) = 0 >}O_{(0) = 1} iii.- >OO_{− 2>}O_{+ > = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) = −2} iv.- >OO_{− 2>}O_{+ 2> = 0 >(z) = V}{_>O_{(z) = 0}

11119999....---- En el estudio de un circuito eléctrico que consta de una resistor, capacitor, inductor y una fuerza electromotriz se llega a un problema de valor inicial de la forma

}._{ij + ~g +}ig •_{€ = •}(j) •(0) = •‚ g(0) = g‚

Donde L es la inductancia en henrios, R es la resistencia en ohmios, C es la capacitancia en faradios,, E(t) es la fuerza electromotriz en voltios, q(t) es la carga en coulombios en el capacitor en el tiempo t e g =Bƒ_Bn es la corriente en amperios. Encuentre la corriente en el instante t si la carga en el capacitor es inicialmente 0, la corriente inicial es 0, L=10 H, R=20 ohmios, C=1/6260 F y E(t)=100 V.

Sugerencia Sugerencia Sugerencia

Sugerencia: derive para obtener una ecuación homogénea y de orden 2. 5

ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS METODOS PARA DETERMINAR LA

METODOS PARA DETERMINAR LA METODOS PARA DETERMINAR LA

METODOS PARA DETERMINAR LA SOLUCION PARTICULARSOLUCION PARTICULARSOLUCION PARTICULARSOLUCION PARTICULAR

METODO (1) METODO (1) METODO (1)

METODO (1) COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 20.

20. 20.

20.---- Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial dada. i.- >OO_{+ 2>}O_{− > = 10 ii.- >}OO_{+ > = 5V}HD

iii.- 2>O_{+ > = 3@}H_{+ 10@ iv.- >}OO_{+ >}O _{+ > = 2 cos(2@) −} 3sin(2@)

v.- >OO_{− 5>}O_{+ 6> = @V}D_{vi.- >}OO_{− > = @„gI(@)}

vii.- >OO_{− 2>}O _{+ > = 8V}D_{viii.- >}OO_{− 6>}O_{+ 9> = @}H_{+ V}D

5_{Este tipo de problema lo estará resolviendo en física 4 aquellas persona quienes lleguen ahí. Son conocidos como}

(9)

9

21. 21. 21.

21.---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. i.- >OO_{− > = −11@ + 1 ii.- >}OO_{+ >}O _{− 2> = @}H_{− 2@ + 3} iii.- >OO_{− 3>}O_{+ 2> = V}D_{sin (@) iv.- >}OO_{+ 2>}O_{+ 2> = V}FD_{cos (@)} v.- >OO_{− 4>}O_{+ 4> = @V}HD_{vi.- >}OO_{+ 4>}O_{+ 5> = V}FD_{− sin (2@)} vii.- >OO_{+ >}O_{+ > = cos(@) − @}H_VD_{viii.- >}OO_{+ 3>}O_{− 10> = 6V}MD

ix.- >OO_{+ 4> = 3sin (@) x.- >}OO_{+ 10>}O_{+ 25> = 14V}FpD xi.- >OO_{− 2>}O_{+ 5> = 25@}H_{+ 12 xii.- >}OO_{− >}O_{− 6> = 20V}FHD

xiii.- >OO_{− 3>}O _{+ 2> = 14 sin(2@) − 18 cos(2@) xiv.- >}OO_{+ > = 2cos (@)} xv.- >OO_{− 2>}O _{= 12@ − 10 xvi.- >}OO_{− 2>}O_{+ > = 6V}D

xvii.- >OO_{− 2>}O_{+ 2> = V}D_{sin (@) xviii.- >}OO_{+ >}O _{= 10@}M_{+ 2}

22. 22. 22.

22.---- Encuentre la solución del problema de valor inicial.

i.- >O_{− > = 1 >(0) = 0 ii.}_ii.ii._{ii.---- >}OO_{+ > = 2V}FD_{>(0) = 0 = >}O₍₀₎ iii.- >OO_{− >}O_{− 2> = cos(@) − sin(2@) >(0) = −} …

H‚ >O(0) = E p iv.- >OO_{+ >}O_{− 12> = V}D _{+ V}HD_{− 1 >(0) = 1 >}O_{(0) = 3} v.- >OO_{− > = sin(@) − V}HD

23. 23. 23.

23.---- Determine como es la forma de una solución particular de la ecuación diferencial. i.- >OO_{+ > = sin(@) + @†‡„(@) + 10}D

ii.- >OO_{− >}O_{− 2> = V}D_{cos(@) − @}H_{+ @ + 1} iii.- >OO_{− 4>}O_{+ 4> = @}H_VHD_{− V}HD

iv.- >OO_{− > = V}D _{− 7 + cos (@)}

(10)

10 24.

24. 24. 24.- Sea

>OO_{+ 2>}O_{+ 5> = ˆ(@) >(0) = 0 >}O_{(0) = 0} Con

ˆ(@) = h10, 0 ≤ @ ≤ 3z

2 0, @ >3z₂

(a) Encuentre una solución del problema de valor inicial para 0 ≤ @ ≤ L{_H. (b) Encuentre la solución general para @ >L{_H

(c) Elija ahora las constantes de la solución general de la parte (b) de manera que la solución de la parte (a) y la solución de (b) coincidan en @ = L{_H. Esto proporciona una función continua que satisface la ecuación diferencial excepto en @ =L{_H.

22225555....---- Si >E(@) V >H(@) son soluciones de >OO_{+ Q(@)>}O _{+ R(@)> = ~}

E(@) > >OO+ Q(@)>O+ R(@)> = ~H(@) Pruebe que >(@) = >E(@) + >H(@) es una solución de

>OO_{+ Q(@)>}O_{+ R(@)> = ~}

E(@) + ~H(@) (a) Utilice este método para determinar.

i.- >OO_{+ 4> = 4 cos(2@) + 6 cos(@) + 8@}H_{− 4@} ii.- >OO_{+ 9> = 2 sin(3@) + 4 sin(@) − 26V}FHD_{+ 27@}L

METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS. METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS. METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS. METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS. 26.

26. 26.

26.---- Hallar una solución particular de cada una de estas ecuaciones. i.- >OO_{+ 4> = tan (2@)}

ii.- >OO_{+ 2>}O_{+ > = V}FD_{log (@)} iii.- >OO_{− 2>}O_{− 3> = 64V}FD iv.- >OO_{+ 2>}O_{+ 5> = V}FD_{sec (2@)} v.- 2>OO_{+ 3>}O _{+ > = V}FLD

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11

22227777.- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial empleando el método de variación de parámetros.

i.- >OO_{+ 4> = tan(2@)} ii.- 2>OO_{− 2>}O_{− 4> = 2V}LD iii.- >OO_{− 2>}O_{+ > = @}FE_VD iv.- >OO_{+ 16> = sec(4@)} v.- >OO_{+ 4> = csc}H_2@ 28

28 28

28....---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. i.- >OO_{+ > = tan(@) + V}LD _{− 1}

ii.- >OO_{+ 4> = sec}M_(2@)

iii.- >OO_{+ > = 2 sec(@) − @}H _{+ 1} iv.- E_H>OO_{+ 2> = tan(2@) −}E

HVD

METODO (3) ANULADOR. METODO (3) ANULADOR. METODO (3) ANULADOR. METODO (3) ANULADOR. 29.

29. 29.

29.---- Encuentre un operador diferencial que anule a la función dada. i.- 3@H_{− 6@ + 1 ii.- @}M_{− @}H_{+ 11 iii.- V}pD iv.- VF…D_{v.- V}HD _{− 6V}D_{vi.- @}H _{− V}D

vii.- @H_VFD_{sin (2@) viii.- @V}LD_{cos (5@) ix.- @}H_VD _{− @„gI(4@) + @}L x.- @ VFHD_{+ @V}FpD_{sin (3@)}

30. 30. 30.

30.---- Utilice el método de los anuladores para determinar la forma de la solución particular las siguientes ecuaciones. Halle el valor de las constantes.

(12)

12 SUPERPOSICION SUPERPOSICION SUPERPOSICION

SUPERPOSICION DE SOLUCIONESDE SOLUCIONESDE SOLUCIONESDE SOLUCIONES.... 31

31 31

31....---- Se le da una ecuación no homogénea y una solución particular de ella. Encuentre la solución general de la ecuación.

i.- >OO_{+ >}O _{= 1 >}

s(@) = @

ii.- >OO_{− >}O_{− 2> = 1 − 2@ >}

s(@) = @ − 1

iii.- >OO_{+ 2>}O_{+ 4> − 4 cos(2@) = 0 >}

s(@) = sin (2@)

iv.- B_BnGŠG −BŠ_Bn + ‹ = sin(j) ‹s(j) = cos (j)

v.- >OO _{= 2> + 2 tan}H_{(@) >}

s(@) = tan (@)

32 32 32

32....- Puesto que >E(@) = cos (@) es solución de >OO− >O+ > = sin (@) y >H(@) = VHD/3 es solución de >OO_{− >}O_{+ > = V}HD_{determine soluciones a cada una de las siguientes} ecuaciones:

i.- >OO_{− >}O_{+ > = 5sin (@)}

ii.- >OO_{− >}O_{+ > = sin(@) − 3V}HD iii.- >OO_{− >}O_{+ > = 4 sin(@) + 18V}HD

ECUACION DE EULER ECUACION DE EULER ECUACION DE EULER ECUACION DE EULER 36

36 36

36....---- Resuelva el siguiente sistema mediante el método de Euler.

kj@_j>O_O= 2@ − > + j_{= 3@ − 2> + 1}FE

37 37 37

37.- Para determinar la resistencia de una pequeña esfera que se mueve a velocidad constante en un fluido viscoso, es necesario resolver la ecuación diferencial

@L_>M_{+ 8@}H_>OOO_{+ 8@>}OO_{− 8>}O _{= 0}

(13)

13 38

38 38

38.- Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. i.- @H_>OO_{+ 3@>}O_{+ 10> = 0 ii.- 2@}H_>OO_{+ 10@>}O_{+ 8> = 0} iii.- @H_>OO_{+ 2@>}O_{− 12> = 0 iv.- 4@}H_>OO_{− 3> = 0}

v.- @H_>OO_{− 3@>}O_{+ 4> = 0} vi.- @H_>OO_{+ 2@>}O_{− 6> = 0} vii.- @H_>OO_{+ 2@>}O_{+ 3> = 0} viii.- @H_>OO_{+ @>}O_{− 2> = 0} ix.- @H_>OO_{+ @>}O_{− 16> = 0} x.- @L_>OOO_{+ 3@}H_>OO _{= 0}

xi.- @L_>OOO_{+ @}H_>OO_{− 2@>}O_{+ 2> = 0} xii.- @L_>OOO_{+ 2@}H_>OO_{+ @>}O _{− > = 0} xiii.- @>OO_{+ 3>}O ₋L

D> = @H xiv.- @M_>OO_{− 6@}H_{> = 1 − 6@}H xv.- @H_>OO_{+ 3@>}O_{+ 5> = @}H

xvi.- @H_>OO_{+ @>}O_{+ > = ln(@) sin(•I(@))} xvii.- @H_>OO_{− > = ln}H_{(@) − 1}

xviii.- @H_>OO_{+ 3@>}O_{− 8> = ln}L_{(@) − ln (@)} xix.- @H_>OO _{= @>}O_{− 10> + sin(•I(@))} xx.- @H_>OO_{+ 3@>}O_{+ 4> = cos(4 •I(@))} xxi.- @L_>OOO_{+ @}H_>OO_{− 2@>}O _{+ 2> = 0 @ > 0}

xxii.- @M_>M_{+ 6@}L_>OOO_{+ 2@}H_>OO_{− 4@>}O_{+ 4> = 0 @ > 0} xxiii.- @L_>OOO_{− 2@}H_>OO_{+ 13@>}O_{− 13> = 0 @ > 0}

xxiv.-@H_>OO_{− 4@>}O_{+ 4> = 0 >(1) = −2 >}O_{(1) = −11}

xxv.- @H_>OO_{− 3@>}O_{+ 3> = 9 ln}H_{(@) + 4 >(1) = 6 >}O_{(1) = 8}

(14)

14 EXTRA.

EXTRA. EXTRA. EXTRA.

Use el método de Euler para demostrar que

t@L_>OOO_{+ u@}H_>OO_{+ †@>}O _{+ i> = 0 @ > 0} Es igual a

t>OOO_{(j) + (u − 3t)>}OO_{(j) + (2t − u + †)>}O_{+ i>(j) = 0} Ahora resuelva.

a.- @L_>OOO_{− 2@}H_>OO_{+ 3@>}O _{− 3> = 0} b.- @L_>OOO_{+ @}H_>OO_{− 8@>}O_{− 4> = 0}

REVISION

39. 39. 39.

39.---- Utilice el método de variación de parámetros y resuelva lo siguiente: a.- >OO_{+ > = sec}H_{j tan j}

b.- >OO_{− > =} H EKŽ•

c.- >OO_{+ 2>}O_{− 8> = 2V}FHn_{− V}Fn_{>(0) = >}O_{(0) = 0} d.- >OO_{+ 2>}O_{+ > = V}Fn_{ln (j)}

e.- >OOO_{+ >}O _{= tan(j) −}{

H < j < { H 40

40 40

40.- Use el método de coeficientes indeterminados a.- >OO_{+ 8> = 5j + 2V}Fn

b.- >OO_{− >}OO _{= j + V}n

c.- >M_{− 16> = 1 − 16cos (2j)}

d.- >OO_{+ 4>}O_{+ 5> = 10 >(0) = >}O_{(0) = 0}

(15)

15 41

41 41

41.- Resuelva por medio del polinomio anulador. a.- >OO_{+ t}H_{> = sin (tj)}

b.- >OOO_{− >}O _{= V}n _{+ 1}

c.- >OO_{+ 2>}O_{+ > =} E

Mj + VFn

44442222.- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. i.- >OO_{+ 8>}O_{− 9> = 0 ii.- 4>}OO_{− 4>}O_{+ 10> = 0} iii.- 9>OO_{− 30>}O_{+ 25> = 0 iv.- 36>}OO_{+ 24>}O_{+ 5> = 0}

v.- 16>OO_{− 56>}O_{+ 49> = 0 vi.- @}H_>OO_{(@) + 5>(@) = 0 @ > 0} vii.- >(>O₎L_{− >}OO _{= 0 viii.- 3>}OOO_{+ 10>}OO_{+ 9>}O _{+ 2> = 0} ix.- >OOO_{+ 3>}OO_{+ 5>}O_{+ 3> = 0 x.- 4>}OOO_{+ 8>}OO_{− 11>}O_{+ 3> = 0} xi.- >OO_{− 3>}O_{+ 7> = 7@}H_{− V}D_{xii.- >}OO_{+ 16> = tan (4@)}

xiii.- 4>OO_{− 12>}O_{+ 9> = V}pD_{+ V}LD_{xiv.- @}H_>OO_{+ 2@>}O_{− 2> = 6@}FH_{+ 3@} 43

43 43

43.- Determine la solución con condición inicial.

i.- 4>OO_{− 4>}O_{+ 5> = 0 >(0) = 1 >}O_{(0) = −}EE H

ii.- >OO_{− 2>}O_{+ 10> = 6 cos(3@) − sin(3@) >(0) = 2 >}O_{(0) = −8}

iii.- >OOO_{− 12>}OO_{+ 27>}O_{+ 40> = 0 >(0) = −3 >}O_{(0) = −6 >}OO_{(0) = −12} 44

44 44

44....- Encuentre la solución general de la ecuación dada. i.- >OOO_{− 2>}OO_{− 5>}O_{+ 6> = V}D_{+ @}H

ii.- >OOO_{+ 3>}OO_{− 4> = V}FHD

iii.- >OOO_{+ 4>}OO_{+ >}O_{− 26> = V}FLD_{sin(2@) + @}

iv.- >OOO_{+ 2>}OO_{− 9>}O_{− 18> = −18@}H_{− 18@ + 22 >(0) = −2 >}O_{(0) = −8 >}OO_{(0) =} −12

(16)

16

(17)

17

PPPPREGUNTA 1.REGUNTA 1.REGUNTA 1. REGUNTA 1.

i.- @ = †VDCG

ii.- 2 + 5@>H_{= †@}‘_G_{iii.- @ = †>V}DC

PREGUNTA 2. PREGUNTA 2. PREGUNTA 2. PREGUNTA 2.

log(>) = 2@H_{+ †@}

PREGUNTA 3. PREGUNTA 3. PREGUNTA 3. PREGUNTA 3.

i.- (u) > = †EVHD+ †HVLD (†)> = VHD− 2VLD

ii.- (u)> = †EVDcos(2@) + †HVDsin (2@)

(†)> = 2VD_{cos(2@) − V}D_{sin (2@)}

iii.- (u)> = †E@H+ †H@FE (†) > = −3@H+ @FE

iv.- 6VD_{+ 2V}FHD_{v.- > = 0 vi.- > = 4V}FHD_{− 3V}FLD

vii.- > = VFH_{− V}FD

PREGUNATA 4. PREGUNATA 4. PREGUNATA 4. PREGUNATA 4.

(†) ](@) = VD_{+ (−1)(V}D_{− V}FZD₎

](@) = (−3)VD_{+ (1)(3V}D_{+ V}FZD₎

PREGUNTA 5 PREGUNTA 5 PREGUNTA 5 PREGUNTA 5

WVt >H= `(@). >E(@) derivamos dos veces

>O

H(@) = `(@). >′E+ `O. >E

>′′H= `. >′′E+ 2>′E`O+ `OO. >′E

Sustituimos en >OO_{+ Q(@)>}O_{+ R(@)> = 0 reordenamos}

`(@)’>OO

E+ Q(@)>OE+ R(@)>E“ + `OO(@)>E

+ `O_’2>O

E+ Q>E“ = 0

Como >E es solución se tiene

`OO_(@)>_E_{+ `}O_’2>O

E+ Q>E“ = 0

`OO_(@)>

E= −`O’2>OE+ Q>E“

`OO_(@)

`O_{(@) = −}2> O

E

>E − Q>E= log’`

O_{(@)“ − 2 log(>}

E) − ” Q i@

`O_{(@) =} 1

>EHV

F • –(D)BD_{=> —(˜) = ”} ™

š™›œ

F • •(˜)ž˜_ž˜

i.- > = VHD_{iii.- > = @}FL_{v.- > = @ + 1}

i.- Ÿ@ =LH†EVHn− †HVFLn

> = †EVHn+ †HVFLn

ii.- Ÿ@ = −EH†EVLn+ E H†HVFn

> = †EVLn+ †HVFn

iii.- k@ = −5_{> = 1}

iv.- o@ = †E+ †HVFn+

E HVn+

p Lj

> = †E− 2†HVFn+p_Lj

v.- @ = †EVn+

E

Mcos(j) − E Msin (j)

> = −3†EVn−L_Mcos(j) −E_Msin (j)

vi.- k@ = −†Esin(j) + †Hcos(j) + 2j − 1

> = †Ecos(j) + †Hsin(j) + jH− 2

vii.- Ÿ@ = −HL†EVHn+ †HV…n+ j + 1

> = †EVHn+ †HV…n− 5j − 2

viii.-

h

@ =E_HVn_’(†_E_{− †}_H_{) cos(j) + (†}_E_{+ †}_H_{) sin(j)“+†}_L_VHn

> = Vn_(†_E_{cos(j) + †}_H_sin(j))

< =L_HVn_’(†

E− †H) cos(j) + (†E+ †H) sin(j)“ + †LVHn

x.- k@ = 2†EVFn+ †HVn

> = †EVFn+ †HVn

xi.- k_{> = V}_Ln_{(†E(cos(3j) + 2 sin(3j)) + †H(sin(3j) − 3 cos(3j))}@ = VLn(2†Ecos(3j) + 2†Hsin(3j))

xii.- k_{> = V}_Ln_{(†E(sin(2j) − cos(2j)) − †H(sin(2j) + cos(2j))}@ = VLn(†Ecos(2j) + †Hsin(2j))

xiii.- k@ = −2†EVLn+ †L(1 + 2j)VLn

> = †EVLn− †HjVLn

xiv.- k @ = 3†E+ †HVFHn

> = 4†E+ 2†HVFHn

xv.- k@ = †EVHn

> = †HVLn

xvi.- k@ = †EVFLn+ †H(1 − j)VFLn

> = −†EVFLn+ †HjVFLn

xvii.- k@ = 2†EVE‚n+ 3†HVLn

(18)

18

xviii.- o@ = €EV

Hn_{− €}

HVFn− €LVFn+ jVFn+ VFn

> = €EVHn+ €LVFn

< = €EVHn+ €HVFn− jVFn+ 1

i.- †EVD+ †HVFHD ii.- †EVFHD+ †HVFLD

iii.- †EVMD+ †H@VMD iv.- †EVFLD+ †H@VFLD

v.- †EV

’¡¢¡√‘“£

G + †_HV’¡¢¤√‘“£G vi.- †_EVHD+ †_HVLD

vii.- †EVF

¢¥£

¦ viii.- †_EV’¢¤§√‘“£G + †_HV’¢¡§√‘“£G

ix.- †EV

£

G+ †_HVFG£§ x.- †_EV’¢¤√G“£G + †_HV’¢¡√G“£G

xi.- †EVF

‘£

G + †_H@VF‘£G xii.- †_EV’¡¢¢¤√G¥‘“£G + †_HV’¡¢¢¡√G¥‘“£G

i.- 3 − VFD_{ii.- 3V}FMn

iii.- VFD_{− 2@V}FD_iv.-M LVn−

E LVLn

v.- ¨√L_H© ’V’EK√L“D_{− V}’EF√L“D_“

vii.- (2 − @)VHDFH

(a) > = †EVFD+ †HVHD

(b) > = †EVFD+ †HVHD− 2@ + 1

i.- †EVHD+ †H VFLD ii.- †EVFD+ †H@VFD

iii.- †Ecos’2√2@“ + †Hsin (2√2@)

iv.- VD_’†_E_{cos’√3@“ + †}_H_{sin’√3@““}

v.- †EVHD+ †H@VHD vi.- †EVpD+ †HVMD

vii.- VF£_G_¨†

Ecos ¨√pD_H © + †Hsin ¨√pD_H ©©

viii.- †EV

§£

G + †_H@V§£G ix.- †_E+ †_HVFD

x.- VLD_(†

Ecos(4@) + †Hsin(4@))

xi.- †EVF

‘£

G + †_H@VF‘£G xii.xii.xii.xii.---- VFD’†_Ecos’√2@“ + †Hsin’√2@““

xiii.- †EVHD+ †HVFHD xiv.- VD¨†Ecos ¨√LD_H © +

†Hsin ¨√LD_H ©©

xv.- †EV

£

G+ †_HVFD xvi.- †_EV£ª+ †_H@V£ª

xvii.- VFHD_(†

Ecos(@) + †Hsin(@))

xviii.- †EVD+ †HVFpD

i.- VLDFE_{ii.- V}D_{+ 2V}pD

iii.- 5@VLD_{iv.- V}FHD_{(cos(@) + 2 sin(@))}

v.- > = V’FHK√H“D_{− 2V}’FHF√H“D

vi.- > =«_pVDFE₊E

pVF«(DFE)

i.- †Ecos(@) + †Hsin (@)

ii.- †EVLDcos(@) + †HVLDsin (@)

iii.- †EVFHDcos’√2@“ + †HVFHDsin’√2@“

iv.- †EVF

£

Gcos ¨√pD

H © + †HVF

£

Gsin ¨√pD

H ©

i.- †EeFH¬(cos(2@) + †HVFHDsin(2@)

ii.- †EVFpD+ †H@VFpD

iii.- †EVFDcos(2@) + †HVFDsin (2@)

iv.- †EV

’§¤√‘§“£

G + †_HV’§¡√‘§“£G

v.- †EV

£

Gcos ¨L√LD

H © + †HV

£

Gsin ¨L√LD

H ©

i.- VFD_{cos(@) + 3V}FD_{sin (@)}

ii.- √H_M ’V’HK√H“D_{− V}’HF√H“D_“

iii.- VD_{− 3@V}D

iv.- VD_{sin(@) − V}D_{cos (@)}

(19)

19

iii.- >s= 3@H− 2@ + 4

iv.- >s= sin(2@) v.- >s=DŽ

£

H + LŽ£

M

vi.- >s= −D-®A(D)K¯°±(D)_H

vii.- 4@H_VD_viii.-DG « + MD H…+ H H…+ Ž£ M PREGUNTA 21 PREGUNTA 21 PREGUNTA 21 PREGUNTA 21

i.- †EVD+ †H VFD+ 11@ − 1

ii.- †EVD+ †HVFHD−D

G H + D H− … M

iii.- †EVD+ †HVHD+Ž

£_{(¯°±(D)F±²³(D))}

H

iv.- VFD_(†_E_{cos(@) + †}_H_{sin(@)) + @V}FD_{sin(@) /2}

v.- †EVHD+ †H@VD+ @LVHD/6

vi.- VFHD_(†_E_{cos(@) + †}_H_{sin(@)) +}Ž¡£ H −

E

Zpsin(2@) + ´

Zpcos (2@)

vii.- VF£_G_¨†

Ecos ¨√L_H @© + †Hsin ¨√L_H @©© + sin(@) +

VD_¨−DG L +

H L@ −

M «©

viii.- †EVHD+ †HVFpD+E_LVMD

ix.- †Esin(2@) + †Hcos(2@) + sin (@)

x.- †EVFpD+ †H@VFpD+ 7@HVFpD

xi.- VD_(†

Ecos(2@) + †Hsin(2@)) + 2 + 4@ + 5@H

xii.- †EVLD+ †HVFHD− 4@VFHD

xiii.- †EVD+ †HVHD+ 2 sin(2@) + 3cos (2@)

xiv.- †Esin(@) + †Hcos(@) + @„gI(@)

xv.- †E+ †HVHD+ 2@ − 3@H

xvi.- †EVD+ †H@VD+ 3@HVD

xvii.- VD_(†

E†‡„(@) + †Hsin(@)) −E_H@VDcos (@)

xviii.- †E+ †HVFD+ 2@p− 10@M+ 40@L− 120@H+ 242@

i.- VD_{− 1 ii.- V}FD_{+ sin(@) − cos (@)}

iii.- _H‚Lsin(2@) −_H‚Ecos(2@) −_E‚L cos(@) −_E‚Esin (@)

iv.- Ž_Z‚¡ª£+_EHE −_E‚Ž£−ŽG£_Z +…Ž_Z§£

v.- −E_Hsin(@) −ŽG£_L +L_MVD₊ … EHVFD

i.- (µ@H_{+ ¶@) sin(@) + (€@}H_{+ l@) cos(@) + •10}D

ii.- VD_{’µ†‡„(@) + ¶„gI(@)“ + €@}H_{+ l@ + •}

iii.- VHD_(µ@M_{+ ¶@}L_{+ €@}H₎

iv.- µ@VD_{+ ¶ + €„gI(@) + l†‡„(@)}

(a) – VFD_{sin(2@) − 2V}FD_{cos(2@) + 2}

(b) VFD_(†_E_{sin(2@) + †}_H_cos(2@))

(c)

> = o – V

FD_{sin(2@) − 2V}FD_{cos(2@) + 2 0 ≤ @ ≤}L{ H

H PREGUNTA 25 PREGUNTA 25 PREGUNTA 25 PREGUNTA 25

i.- †Esin(2@) + †Hcos(2@) + @„gI(2@) + 2 cos(@) − 1 −

@ + 2@H

ii.- †Esin(3@) + †Hcos(3@) −E_L@†‡„(@) +E_Hsin(@) −

2VFHD_{+ 3@}L_{− 2@}

i.- >s= −E_Mcos(2@) log(„V†(2@) + jtI(2@))

ii.- >s=E_H@HVFDlog(@) −L_M@HVFD

iii.- >s= −VFD(16@ − 4)

iv.- >s=E_H@VFDsin(2@) +E_MVFDcos(2@) log (cos(2@))

v.- >s=_E‚EVFLD

vi.- >s= VDlog(1 + VFD) − VD+ VHDlog(1 + VFD)

i.- †Ecos(2@) + †Hsin(2@) −E_Mcos(2@) ln(„V†(2@) +

jtI(2@))

(20)

20

iii.- †EVD+ †H@VD+ @VDln (@)

iv.- †Ecos(4@) + †Hsin(4@) +D_Msin(4@) +

_EZEcos(4@) ln(†‡„(4@))

v.- †Ecos(2@) + †Hsin(2@) +E_M(cos(2@) ln(†„†(2@) +

†‡jˆ(2@) − 1))

i.- †Ecos(@) + †Hsin(@) +Ž

§£

E‚ − 1 − cos(@) ln(„V†(@) +

jtI(@))

ii.- †Ecos(2@) + †Hsin(2@) +_HME secH(2@) −E_´+ E

´(sin(2@) . ln(„V†(2@) + jtI(2@))

iii.- †Ecos(@) + †Hsin(@) − @H+ 3 + 3@„gI(@) +

3 cos(@) ln(†‡„(@))

iv.- †Ecos(2@) + †Hsin(2@) −Ž

£

p − E

H(cos(2@) ln(„V†(2@) + jtI(2@))

i.- lL_{iii.- l − 5m v.- (l − 2m)(l − m)}

vii.- ((l + m)H_{+ 4m)}L

ix.- lM_{(l − m)}L_(lH_{+ 16m)}H

i.- †Lcos(2@) + †Msin(2@) + †p

†L=_pHE ; †M= −_pHp ; †p=E_Z

ii.- †L@VLD+ †M@H+ †p@ + †Z

†L= 1 ; †M= −E_Z ; †p= −_E´p ; †Z= −_E´p…G

iii.- †L@H+ †M@ + †p

†L= 1 ; †M= −5 ; †p= 9

iv.- †L@VFDcos(@) + †M@VFDsin(@) + †p@H+ †Z@ + †…

†L= 0 ; †M=E_H ; †p=E_H ; †Z= −1; †…=E_H

v.- †H@ + †L@H+ †Z@HVD

†H= 2 ; †L=E_H ; †Z= −E_H

PREGUNTA 31 PREGUNTA 31 PREGUNTA 31 PREGUNTA 31 i.- †E+ †HVFD+ @

ii.- †EVHD+ †HVFD+ @ − 1

iii.- VFD_’†_E_{cos’√3@“ + †}_H_{sin’√3@““ + sin (2@)}

iv.- VG•¨†_Ecos ¨√L

H @©© + cos(j)

v.- †EV√HD+ †HVF√HD+ tan (@)

i.- 5cos (@) ii.- cos(@) − VHD

iii.- 4 cos(@) + 6VHD

i.i.i.i.---- †EVD+ †HVFD+ †LVLD ii.- †EVFD+ †HVF

G

§D+ †_LV£G

iii.- †EVFD+ †HV’FEK√…“D+ †LV’FEF√…“D

iv.- †EVFD+ †HVDcos(@) + †LVDsin (@)

v.- †EVLD+ †H@VLD+ †L@HVLD

vi.- †EVD+ †HVFLD+ †L@VFLD

vii.- †Ecos’√2@“ + †H@†‡„’√2@“ + †Lsin’√2@“ +

†Msin’√2@“

viii.- †E+ †HVD+ †LVHD

ix.- †EVD+ VD(†Hcos(@) + †Lsin(@))

x.- †EVD+ VF

£

G¨†_Hcos ¨√L

H @©©

xi.- †EVFD+ V

£

G¨†_Hcos ¨√L

H @©©

xii.- (†E+ †H@ + †L@H)VFD

xiii.- (†E+ †H@ + †L@H+ †M@L)VFD

xiv.- †EVD+ †HVFD+ †Lcos(@) + †Msin (@)

xv.- †Ecos(@) + †Hsin(@) + †Lcos(2@) + †Msin (4@)

xvi.- (†E+ †H@)VºD+ (†L+ †M@)VFºD

xvii.- (†E+ †H@) cos(t@) + (†L+ †M@) sin(t@)

xviii.- (†E+ †H@)VFD+ †Lcos(@) + †Msin (@)

(21)

21

xx.- †EVD+ †HVHD+ †LVLD

xxi.- †EVHD+ (†H+ †L@+†M@H)VFD

xxii.- (†E+ †H@)VHD+ (†L+ †M@)VFHD+ †pVZD

i.- †EVD+ †H @VD+ †LVFLD+ (†M+ †p@)VFDcos(2@) +

(†Z+ †…@)VFDsin (2@)

iii.- (†E+ †H@ + †L@H)VD+ †MVHD+ †pVF

£ Gcos ¨√L

H @© +

†ZVF

£ G sin ¨√L

(†E‚+ †EE@ + †EH@H)VFLDsin (@)

i.- VFD_{− V}FHD_{+ V}FMD_{iii.- V}HD_{− √2V}D_{sin (√2@)}

h@ = €Ej + €Hj

FE₋3

4 jFE−12 jFEln(j) + 1 > = €Ej + 3€HjFE−3_{4 j}FE−3_{2 j}FEln(j) + 2

i.- @FE_(†_E_{cos(•‡ˆ(@}L_{)) + †}_H_{sin(•‡ˆ(@}L₎₎

ii.- †E@FH+ †H@FHlog (@)

iii.- †E @L+ †H@FM

iv.- †E@

§

G+ †_H@F¢G

v.- †E@H+ †H@Hlog (@)

vi.- †E@H+ †H@FL

vii.- @F¢_G_(†

viii.- †E@√H+ †H@F√H

ix.- †E@M+ †H@FM

x.- †E+ †H@ + †L@FE

xi.- †E@ + †H@H+ †L@FE

xii.- †E@ + †Hcos(•‡ˆ(@)) + †Lsin(•‡ˆ(@))

xiii.- €E@ + €H@FL+D

§

EH

xiv.- €E@L+ €HVFH−E_p@FHln(@) + 1

xv.- @FE_(€

Ecos(2 •I(@)) + €Hsin(2 •I(@)) +D

G

EL

xvi.- €Ecos (ln(@) + €Hsin(•I(@)) −E_MlnH(@) cos(•I(@))

−E_Mln(@) sin(•I(@))

xxiv.- @ − 3@M

xxv.- −6@ + 2@L_{+ 3 ln}H_{(@) + 8 ln(@) + 10}

EXTRA. EXTRA. EXTRA. EXTRA.

a.a.a.a.---- €E@ + €H@•I(@) + €L@L

b.- €E@FE+ €H@FEln(@) + €L@M

PREGUNTA 39,40,41 PREGUNTA 39,40,41 PREGUNTA 39,40,41 PREGUNTA 39,40,41

Revise el libro de Viola Prioli para las soluciones.

PREGUNTA 42 PREGUNTA 42 PREGUNTA 42 PREGUNTA 42 i.- †EVF«D+ †HVD

ii.- †EV

£ Gcos ¨L

H@© + †HV

£ Gsin ¨L

H@©

iii.- †EV

‘

§D+ †_H@V‘§D

v.- †EV

¦

ªD+ †_H@V¦ªD

vi.- @¢G((†_Ecos ¨√E«

H •I(@)©)

vii.- @ = †E+ †H> −C

§

Z ó > ≡ €

viii.- †EVFHD+ †HVFD+ †LVF

£ §

ix.- VFD_’†

E+ †Hcos’√2@“ + †Lsin’√2@““

x.- †EVFLD+ †HV

£

G+ †_L@V£G

xi.- †EV

§

GDcos ¨√E«

H @© + †HV

§

GDsin ¨√E«

H @© − Ž£

p + @H+ Z …@ + M

M«

xii.- †Ecos(4@) + †Hsin(4@) −_EZE cos(4@) ln(„V† 4@ +

jtI(4@))

xiii.- †EV

§

GD+ †_H@V§GD+Ž§£

(22)

22

xiv.- †E@ + †H@FH− 2@FHln(@) + @•I(@)

i.- V¢GDcos(@) − 6V¢GDsin (@)

ii.- 2VD_{cos(3@) −}…

LVDsin(3@) − sin (3@)

iii.- −VFD_{− 3V}pD_{+ V}´D

i.- †EVD+ †HVLD+ †LVFHD−_ZE@VD+E_Z@H+_E´p @ +_E‚´L…

ii.- †EVD+ †HVFHD+ †L@VFHD−E_Z@HVFHD

iii.- †EVHD+ †HVFLDcos(2@) + †LVFLDsin(2@) + p

EEZ@VFLDcos(2@) − E

p´@VFLDsin(2@) − E HZ@ −

E Z…Z

iv.- −2VLD_{+ V}FHD_†

L@VFHD−E_Z@HVFHD

(23)

23

PUNTOS FINALES. PUNTOS FINALES. PUNTOS FINALES. PUNTOS FINALES. 1.

1. 1.

1.---- Para mayor apoyo en la resolución de los ejercicios descargue la guía de ayuda teórica publicada en la página.

2. 2. 2.

2.---- Practique muy bien la resolución de esta segunda parte para el segundo parcial, son temas muy fáciles pero que si se equivoca en una raíz, autovector, es un error horrible.

3. 3. 3.

3.---- Habrá notado que hay presente en la guía gran cantidad de ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden 2, aunque en el curso de matemática 4 no se detalla como un tema en particular (corresponde a ecuaciones lineales de orden “n”) por lo tanto trate todas estas ecuaciones como de orden “n=2”. Dicho tema se especifica más delante de la guía cuyos órdenes llegan hasta orden 5. La razón porque detallé las ecuaciones de grado 2 es que estas ecuaciones representan gran utilidad en la ingeniera aplicada por lo cual lo considero de gran importancia.

4. 4. 4.

4.---- La SUPERPOSICION de las soluciones es una herramienta muy útil que le permite determinar soluciones a ecuaciones NO HOMOGENEAS cuando el término forzante está compuesto por varias funciones específicas.

5. 5. 5.

5.---- Recuerde muy bien cómo obtener la solución particular de los SISTEMAS DE ECUACIONES diferenciales, y tengo siempre en cuenta la diferencia con las ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n”.

SIRVASE DE AYUDA PARA PRATICAR ECUACIONES DIFERENCIALES PARA EL SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICAS 4.

CUALQUIER ERROR TIPOGRAFICO O DE REDACCION FAVOR AVISAR A magt_123@hotmail.com PARA SU CORRECION, MENCIONE NUMERO DE PAGINA,

EJERCICIO QUE DICE Y QUE DEBERIA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.

(1) Ana M de Viola-Prioli, ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Editorial

Equinoccio Universidad Simón Bolívar, Publicación Libros de EL NACIONAL.

(2) George F. Simmons, DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS AND

HISTORICAL NOTES, Ediciones McGraw-Hill

(3) R. Kent Nagle, Edward B. Saff, A. David Snider “FUNDAMENTALS OF

DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS” FOURTH EDITION, PEARSON ADDISON WESLEY, 2004.