La fracción como razón: una experiencia de aula en grado sexto

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(1)1. La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto. Luis Alberto Hoyos Franco. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación Bogotá D.C., Colombia 2018.

(2) 2. La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto. Luis Alberto Hoyos Franco. Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al título de Magister en Educación, modalidad de Investigación. Director: Mg. Deissy Narváez. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad De Ciencias Y Educación Maestría En Educación Bogotá D.C., Colombia 2018.

(3) 3 Nota de aceptación.. El trabajo de Grado titulado La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto, realizado por el estudiante Luis Alberto Hoyos Franco, cumple con los requisitos exigidos por Universidad Distrital Francisco José de Caldas para Optar por el Título de Maestría en Educación.. _________________________________________. _________________________________________. _________________________________________ Director del trabajo de grado: Mg. Deissy Narváez. Bogotá, Febrero de 2018.

(4) 4. Para todos efectos legales, declaro que el presente trabajo es original y en aquellos casos en los cuales se ha requerido el trabajo de otros autores o investigadores, se han dado los respectivos créditos.. “La universidad no será responsable de las ideas expuestas por los graduandos en el trabajo” Artículo 117, capítulo 5°, Acuerdo 029 de 1988..

(5) 5. Agradecimientos. A ti Señor, “ciertamente el bien y la misericordia me seguirán todos los días de mi vida” Salmo. 23,6. Aunque pasado por el valle de sombra de muerte restauras mi alma dándome inspiración y licencia para retomar mi camino y alcanzar un importante crecimiento en mi vida profesional y humana.. A mi esposa Juanita, compañera y amiga en el camino de la vida, a mí hija Juliana, gozo en nuestro hogar: gracias por su apoyo incondicional que ha contribuido para que este sueño sea posible.. A los docentes de la Maestría en Educación por sus valiosas enseñanzas que enriquecieron mis conocimientos y orientaron este trabajo de investigación.. A mi asesora Mg. Deissy Narváez, por su gran paciencia, acompañando este proceso el cual enriqueció con su experiencia y dirección, que el Señor la bendiga.. A las directivas, docentes y estudiantes del colegio Veintiún Ángeles I.E.D. que contribuyeron en el desarrollo de este trabajo..

(6) 6. Dedicatoria. En memoria de Angie Valentina Hoyos, amor ágape que soportó valerosamente su enfermedad durante los años que el Señor nos regaló su compañía y ahora mora tranquila en la casa del Señor. 1996-2008.

(7) 7 Tabla de Contenido. Introducción. 17. Contextualización De La Investigación. 22. Problema De Investigación. 22. Antecedentes Del Problema De Investigación. 25. Pregunta De Investigación. 30. Objetivos. 31. General.. 31. Específicos.. 31. Marco Teórico. 32. La Razón. 33. Razón Y Fracción. 35. La Fracción Como Razón. 37. Categorías De Análisis. 39. Razones Internas.. 39. Razones Externas. 40. Secuencia Didáctica De Thompson, En Su Fase III Marco Metodológico. 41 44. Naturaleza Del Estudio. 44. Participantes. 47. Diseño De La Intervención En El Aula. 48. Paso 1: Entender El Problema.. 49.

(8) 8 Paso 2: Configurar Un Plan.. 50. Paso 3: Ejecutar El Plan.. 51. Paso 4: Mirar Hacia Atrás. 51. Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson, Fase III.. 54. Paso 1, Actividad 1.. 54. Paso 1, Actividad 2.. 56. Paso 1, Actividad 3. 57. Tiempo estimado: 2 sesiones de clase. 57. Paso 1, Actividad 4.. 57. Paso 2.. 58. Paso 3.. 59. Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De Freudenthal Y León Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Razones Internas.. 60 60. Pregunta 1.. 60. Pregunta 2.. 61. Pregunta 3.. 62. Pregunta 4.. 62. Pregunta 5.. 62. Planteamiento De Problemas Escolares Basados En De Razones Externas. Pregunta 1.. 63 63.

(9) 9 Pregunta 2.. 63. Pregunta 3.. 64. Pregunta 4.. 64. Recolección de datos.. 65. Instrumentos.. 65. Dinámica de la recolección de datos.. 65. Resultados Y Análisis. 66. Análisis De La Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson En Su Fase III. 66. Paso 1, Actividad 1. Resultados. Paso 1, Actividad 2 Resultados. Paso 1, Actividad 3 Resultados Paso 1, Actividad 4.. 66 66 69 69 71 71 73. Resultados.. 73. Paso 2.. 77. Resultados. 77. Análisis del paso 2. 78. Análisis del paso 3. 79.

(10) 10 Análisis Del Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De Freudenthal Y León. 81. Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De Razones Internas.. 81. Resultados Pregunta # 1 De Razones Internas. 81. Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Internas. 82. Resultados De La Pregunta # 3 De Razones Internas. 83. Resultados De La Pregunta # 4 De Razones Internas. 84. Resultados De La Pregunta # 5 De Razones Internas. 85. Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De Razones Externas.. 86. Resultados De La Pregunta # 1 De Razones Externas.. 86. Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Externas. 87. Resultados de la pregunta # 3 de razones externas. 88. Resultados de la pregunta # 4 de razones externas. 88. Conclusiones. 90. Lista de Referencias. 94.

(11) 11 Lista De Figuras. Figura 1. Modelo Teórico de las cinco interpretaciones del concepto de fracción. (Behr et al, 1992) citado en Castellón (2008). 23. Figura 2. Razón entre dos segmentos paralelos, Fruedenthal (1983). 40. Figura 3. Relación fracción como razón entre dos árboles, Fruedenthal (1983). 40. Figura 4. Operaciones mentales planteados por Polya.. 49. Figura 5. Aula de clase. 55. Figura 6. Primera secuencia del paso 1. 56. Figura 7. Gráfico al que deben llegar los estudiantes en la actividad dos. 57. Figura 8: Grafico al que debe llegar un estudiante en la actividad tres.. 57. Figura 9: Grafico al que debe llegar un estudiante en el paso 1, cuarta secuencia. 58. Figura 10. Análisis del problema por medio de la secuencia de Polya.. 67. Figura 11. Procedimiento gráfico.. 68. Figura 12. Registro de un estudiante empleando el método grafico. 69. Figura 13. Solución de la segunda actividad, paso 1 por el método grafico. 71. Figura 14. Registro de una estudiante siguiendo los pasos de Polya (1965) y método gráfico 72 Figura 15. Registro de un estudiante siguiendo el método gráfico paso 1, Actividad 3. 73. Figura 16. Registro de una estudiante empleando el método gráfico en la pregunta 4, paso 1 74 Figura 17. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso 2. 78.

(12) 12 Figura 18. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso tres. 80. Figura 19. Registro de una estudiante, método gráfico, problema 2. 83. Figura 20. Registro de un estudiante, método gráfico, problema 3. 84. Figura 21. Registro de un estudiante, método gráfico, problemas 4 y 5. 85. Figura 22. Registro de un estudiante apoyándose en la secuencia de solución de problemas 86 Figura 23. Registro de un estudiante en la solución de problema dos, razón externa. 88.

(13) 13 Lista De Tablas. Tabla 1. Pasos y actividades a realizar, según la Secuencia Didáctica de Thompson, Fase III 52 Tabla 2. Tabla a completar correspondiente a la razón 5:3 (5 es a 3). 59. Tabla 3. Tabla a completar en dirección opuesta con la razón 5:3. 59.

(14) 14 Resumen. El presente trabajo de investigación, de carácter cualitativo, sustenta una experiencia de aula en el colegio Veintiún Ángeles I.E.D. de la ciudad de Bogotá, con estudiantes de sexto grado de básica, esta propuesta es la de gestionar una secuencia de actividades para promover el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes. Los objetivos propuestos son los de aplicar una estrategia didáctica para que los estudiantes comprendan que las fracciones también son medidas de razón como relación, que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales y que las fracciones equivalentes tienen razón constante. Además desarrollar habilidades para el manejo de razones internas y externas que permitan al estudiante interpretar, comprender y abordar situaciones que requieren del empleo de la fracción como razón..

(15) 15 Abstract. Here is shown a qualitative research project witch is the result of a teaching experience based on its management and analysis. The purpose was to promote the development of the fraction as reason. A group of sixth grade basic education Middle school, sixth grade middle school, a group of sixth grade basic education, from Veintiún Ángeles school I.E.D. Bogotá, Colombia, were the focus within this experience. One of the goals regarding this investigation consisted on applying a didactic strategy for the students, in order to have them understand that fractions are reason measures in relation that different fractions could represent equal amounts and also that equivalent fractions have constant reason.. This process of investigation also allowed the students´ development of skills related to the management of internal and external reasons that help students to interpret understand and approach situations that require the usage of fraction as reason..

(16) 16 Résumé. Le présent travail s'agit d'une recherche du type qualitatif qui consistait en la gestion et l'analyse d'une expérience pédagogique pour promouvoir le développement de l'interprétation de la fraction en tant que raison.. Dans cette expérience, ont participé un groupe d'étudiants de sixième année d'enseignement secondaire, de l'école Veintiún Ángeles I.E.D. à Bogotá-Colombie.. Les intentions de cette recherche étaient: d'appliquer une stratégie didactique dans la salle de classe afin que les élèves comprennent que les fractions sont-ils également des mesures de raison en tant que relation, que fractions différentes peuvent-ils représenter des quantités égales et que les fractions équivalentes ont de raison constant.. Le développement de cette expérience a permis aussi le développement de compétences pour la gestion de raisons internes et externes qui aident l'élève à interpréter, à comprendre et à résoudre les situations nécessitant l'utilisation de la fraction comme raison..

(17) 17 Introducción. Los conocimientos matemáticos en el transcurso de la historia humana, han aparecido de la necesidad del hombre por construir su realidad, siendo uno de estos conocimientos el de la fracción, que nace cuando el hombre observa la imposibilidad de expresar algunas situaciones de su vivir, como en las particiones equitativas, en el cual el número natural no es suficiente. Las fracciones se emplean para resolver situaciones que se presentan en algunas actividades cotidianas y en la escuela los estudiantes desarollan las capacidades para afrontar estas contextos.. La fracción es un tópico de la educación matemática que se ha revelado como una importante base del desarrollo del pensamiento matemático en los escolares, la cual ha generado una gran producción en el campo investigativo; uno de los resultados más contundentes es el reconocimiento de las diferentes interpretaciones a través de las cuales se puede llegar a conocer y utilizar la fracción. El vínculo entre las nociones de razón y fracción en las matemáticas escolares es tenue, impalpable y también confuso tanto para educadores como para estudiantes: algunos de ellos, se apresuran a definir las razones como fracciones, por tanto se puede preguntar: ¿para qué sirven las razones si ya se tiene las fracciones?, ¿qué diferencia hay en decir m es a n en lugar de m/n? En el ambiente de la investigación, el concepto de razón se ha estudiado independientemente de su vinculación con la fracción: tal como en el contexto de la proporcionalidad, como relación que se expresa mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por cada m, etc.).

(18) 18 La interpretación de fracción como razón fundamenta su estructura matemática en torno a las razones como precursoras de las organizaciones matemáticas que posteriormente se construyen para el estudio de los números racionales y por ende, de los decimales. “El trabajo con razones como precursoras de las fracciones permite utilizar la intuición y desarrollar el pensamiento proporcional…antes de adentrarse en el complejo mundo del cálculo con fracciones” Block, D. (2006, p.20), estableciendo pasar del estudio de las cantidades al estudio de las relaciones entre las cantidades, lo cual trae consigo una complejidad inherente al trabajo con razones y asimismo da cuenta de su importancia.. En la actualidad, el orden genético en el cual las razones preceden a las fracciones, está invertido en la enseñanza, debido a que las razones se utilizan una vez que los estudiantes han trabajado en el intrincado mundo del cálculo con fracciones.. La noción de razón se utiliza principalmente, en situaciones en las que hay cantidades que varían pero la razón entre ellas se conserva, así como también en las situaciones en las que se compara el tamaño de dos o más razones diferentes.. El presente trabajo de investigación de carácter cualitativo, sustenta una experiencia de aula en el colegio Veintiún Ángeles I.E.D. de la ciudad de Bogotá, con estudiantes de sexto grado de básica secundaria, esta propuesta es la de gestionar una secuencia de actividades para promover el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes, siendo los objetivos de la enseñanza matemática los siguientes: que los estudiantes sean capaces de coordinar dos variables para dar cuenta de la relación entre ellas, diferenciar relaciones.

(19) 19 multiplicativas de las aditivas y utilizar herramientas aritméticas adecuadas para manejar las relaciones.. Una orientación de tipo cualitativo permite, analizar, detallar y caracterizar la naturaleza de las realidades del tema en estudio, teniendo en cuenta las diferentes variables que la conforman y aquejan. Además, las investigaciones de tipo cualitativo recuperan la esencia de la realidad como objeto del conocimiento científico de constante reflexión y puesto en comparación con la teoría que permiten la comprensión, las dificultades y variación de realidades.. En los estándares curriculares (MEN, 1998), para el grupo de grados sexto/séptimo de la básica, se considera la utilización de los números racionales en sus diferentes expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contexto, sin embargo en la mayoría de textos escolares trabajados en Colombia, para el sexto grado en la educación básica secundaria, el concepto de fracción es tomado exclusivamente desde la noción de fracción como parte todo, excluyendo los demás significados que pueden atribuírsele a las fracciones de acuerdo al contexto donde se estudien, en este sentido se ve la importancia de rescatar la noción de fracción como razón.. En el proceso del tema de investigación se siguieron los principios de la investigación–acción, que permite el estudio de una situación académica con el fin de comprenderla y mejorar la acción del profesor y de los estudiantes dentro de la misma. Este método tiene como propósito el resolver problemas frecuentes e inmediatos, mejorando habilidades concretas..

(20) 20 Este trabajo está estructurado en cinco capítulos que en resumen trata de lo siguiente: En el primer capítulo la contextualización de investigación, en el cual se expone el problema de investigación, los antecedentes presentando algunas investigaciones precedentes y sus respectivos hallazgos.. El capítulo dos hace referencia al marco teórico, el cual presenta los fundamentos teóricos que guiaron el trabajo, considerando como instrumento de investigación las categorías de análisis propuestas por (Freudenthal, 1983) en su fenomenología didáctica del concepto de razón y León (2011), quienes categorizan las razones en internas y externas, a (Thomson, 2008) por medio de su secuencia en la Fase III que propone problemas o situaciones a través de la fracción como razón que den significado a los procedimientos por medio de los cuales los estudiantes lleguen a los conocimientos que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un objeto, de fracciones equivalentes, que las fracciones también son las medidas de razones y que las fracciones equivalentes tienen una razón constante.. El capítulo tres presenta la metodología que se empleó para realizar la experiencia, los participantes, el diseño de la intervención en el aula en la cual se implementaron los instrumentos, la recolección de datos: instrumentos y dinámica de la recolección de datos.. El capítulo cuatro presenta un análisis cualitativo - descriptivo de la información obtenida durante la implementación de los instrumentos, a partir de esta información se analiza los datos obtenidos por parte de los estudiantes y las dificultades que estos encontraron con respecto al.

(21) 21 concepto de fracción como razón, las diferentes representaciones y la forma de llevarlo al aula para su enseñanza.. En el capítulo cinco se presenta las conclusiones, de acuerdo con los objetivos específicos, respecto a los cuales se refieren estas conclusiones, según los resultados obtenidos en la aplicación de la secuencia didáctica de (Thomson, 2008), por medio de su secuencia en la Fase III y los problemas escolares basados en las categorías de análisis presentados por (Freudenthal, 1983) en su fenomenología didáctica del concepto de razón y León (2011).. Palabras claves: razón, fracción, secuencia, didáctica, aprendizaje, problemas escolares.

(22) 22 Contextualización De La Investigación. Problema De Investigación En nuestra experiencia como aprendices de la matemática hemos notado que un lugar de conflicto en el aprendizaje de la matemática radica en el cambio de universo numérico; el cambio de los números para contar hacia los números para medir y comparar genera siempre conflictos en la escuela, conflicto presentado a lo largo de la historia de los números racionales. Las fracciones constituyen un obstáculo notable, dado que la aceptación de este objeto por parte de la comunidad matemática se dio en tiempos remotos (desde el 2000 a. C. en Egipto o tal vez antes), parecería que no existen indicios de obstáculo epistemológico, pero un estudio histórico atento y crítico muestra, por el contrario, que no es así, (Castaño, 2015, p.7). Un obstáculo epistemológico puede producir una especie de indiferencia o desinterés, causantes de estancamiento o, incluso, del retroceso del conocimiento anterior dificultando el aprendizaje de un nuevo conocimiento.. Por otra parte la dificultad en el aprendizaje de la matemática y en este caso de los números fraccionarios, podría estar en la desconexión de los temas que se tratan en clase con la vida diaria, debido a que no hay un vínculo práctico del conocimiento escolar y la matemática cotidiana. Al menos en relación con las operaciones básicas y la comprensión de los números enteros y los racionales: “conservar la razón de aplicaciones en contextos de hecho y situaciones problémicas” (Freudenthal, 1983, p.35). “No se puede negar que la didáctica de las fracciones está caracterizada por tendencias unificadoras. Por regla general, los números naturales se enfocan desde varias perspectivas. Cuando llega el turno de las fracciones, se supone que los alumnos están lo suficientemente.

(23) 23 avanzados como para quedarse satisfechos con un único enfoque desde la realidad. Desde mi punto de vista, este supuesto erróneo es la razón por la que las fracciones funcionan mucho peor que los números naturales y por la que mucha gente nunca aprende las fracciones”. (Fruedenthal, 1983, p. 2).. La enseñanza de la fracción ha sido ampliamente investigada por la comunidad de educación matemática: Figueras (1996), Freudenthal (1983), Kieren (1993), Perera y Valdemoros (2002), Pitkethly y Huntigg (1996), todos ellos citados en (Valdemoros, 2004), quienes afirman que las fracciones presentan dificultades para su enseñanza aprendizaje en especial en los niveles básicos de educación, destacando que quizás lo más complejo del proceso de aprendizaje de las fracciones radica en su multiplicidad de interpretaciones: (Fandiño, 2009) establece 14 significados, (Lamon, 2004) encuentra 12 significados, Kieren (1988) encuentra cinco significados, (Behr, Hare, Post, y Lesh, 1992) refiere cinco significados y Nesher (1985) refiere tres significados principales; estos trabajos demuestran grandes progresos en la semántica de las fracciones. En el Modelo Teórico de (Behr, Hare, Post, y Lesh, 1992) con sus cinco interpretaciones del concepto de fracción, se puede ver la función que desempeña la fracción como razón, la cual se relaciona directamente con el conocimiento de equivalencia de fracciones e igual que los demás modelos con la resolución de problemas, (figura 1).. Figura 1. Modelo Teórico de las cinco interpretaciones del concepto de fracción. (Behr et al, 1992) citado en Castellón (2008).

(24) 24 En el ámbito de la investigación, la noción de razón ha sido materia de estudio desde los trece libros que conforman la obra de Euclides, en los cuales son dos los dedicados a esta temática: el libro V, destinado a las magnitudes y el libro VII, dedicado a la aritmética. En esta investigación el concepto de razón no se encuentra definido de forma evidente y especifica: en el libro V se expresa es que "una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas" (V, Def. 3) y que "guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra" (V, Def. 4). Considerando lo anterior, en la definición 3, indica que la razón entre dos magnitudes tiene cierto nexo respecto con su tamaño, no especificando cual y lo que se puede entender, de acuerdo con la primera de estas dos definiciones es que la razón no es, en ninguna manera, un número.. En la actualidad, en algunas investigaciones, la noción de razón ha sido apartada de su vínculo con la fracción: en el contexto de la proporcionalidad, como relación que se formula mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por cada m, etc.). Por otra parte, análisis de los conocimientos de los alumnos y de las prácticas de la enseñanza tienden a mostrar cierto nivel de divorcio entre fracciones y razones en la escuela, tal como lo afirma (Block, 2001) citado por (Uriza, Chavez, Marquez, Andalón, y Vasquez, 2015, p. 497) En los estudios sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales, las razones son tematizadas como uno de los significados (o constructos) posibles de las fracciones (i.e, Kieren, 1988). El interés se pone directamente en la fracción (y sus distintos significados) y no en lo que la precedió, es decir, las razones aún no expresadas con fracciones. Ramírez, M. y (Block, 2009, p. 64)..

(25) 25 La fracción como razón es considerada como la comparación numérica entre dos magnitudes o cantidades (Kieren, 1980), citado en (Valdemoros, 2004), (Stelzer, Andrés, Canet, Juric, Introzzi, & Urquijo, 2016) y (Chamorro, 2003).. El concepto de razón expresado por (Silva, 2005), afirma que las tareas relacionadas al concepto de razón generalmente no permiten asociar la idea de partición como los otros conceptos, sino asocia la idea de comparación entre dos medidas; en este sentido la representación A: B, o B: A, no siempre se asocia a la noción de cociente, sino puede ser entendida como una comparación. (Flores, 2010) en relación a este concepto, plantea que la fracción se usa para mostrar la relación entre dos cantidades de determinada magnitud, es decir, si se establece un índice de comparación entre esas partes, se habla de la fracción como razón.. Antecedentes Del Problema De Investigación A continuación se presentan algunas investigaciones realizadas en el campo, que directa o indirectamente tienen que ver con el presente trabajo de investigación, en estas veremos cómo sus principales hallazgos permitieron tomar decisiones en el trabajo aquí presentado.. En su trabajo de grado (Beltran y Chamorro, 2002), expresa que la motivación para presentar en este trabajo una secuencia didáctica fue “la tendencia actual de los currículos de las matemáticas para la enseñanza de las fracciones y la falta de información y/o atención de los educadores a los procesos de aprendizaje de los conceptos de fracción”. El trabajo tuvo en cuenta la investigación de tipo cualitativo, porque esta se desarrolla a partir de un análisis de los resultados obtenidos en la prueba de diagnóstico y experiencias que.

(26) 26 giran en torno a una intencionalidad comprensiva, trabaja con la lógica del descubrimiento basándose en “la pertenencia del intérprete a lo interpretado y a las consecuencias de ello, no a la presunta neutralidad del observador objetivo”; debido a la misma naturaleza del problema, al requerimiento de análisis de textos y testimonios y a la interpretación que ha de realizarse a partir del trabajo en equipo. El autor llevó a cabo el diseño de (Garcia y Mayorca, 1997) para establecer el nivel inicial de los estudiantes en cuanto a la fracción parte todo. También sirvió para orientar el planteamiento de la secuencia de actividades que permiten el desarrollo de estas potencialidades. Finalmente da a conocer el reporte del proceso desarrollado a través de la aplicación de la secuencia didáctica, en tres estudiantes que se seleccionaron de acuerdo a sus resultados en la prueba diagnóstico. Se reporta el análisis de los resultados de estos estudiantes frente al desarrollo – potenciación de los atributos de la relación parte todo. Además, esta observación muestra en detalle el avance individual de estos tres niños en el desarrollo de las actividades propuestas en la secuencia de enseñanza. El trabajo de (Beltran y Chamorro, 2002) contribuyó en el desarrollo del presente trabajo de investigación en el descubrimiento de actividades orientadoras para el planteamiento de la secuencia de actividades de este trabajo, las cuales permitan el desarrollo de las potencialidades en el manejo de la fracción como razón por parte de los estudiantes.. Durante la investigación realizada por (Block, 2001), este reveló que “el papel de la noción de razón en las matemáticas de la escuela primaria, y sobre todo el de su vínculo con la noción de fracción, no están claramente definidos en el currículo, ni tampoco en la enseñanza en el aula..

(27) 27 En su obra presenta aspectos importantes de la génesis de “razón”, destacando algunas dificultades que se generan en torno al vínculo razón-fracción en las clases de un docente de sexto grado de primaria de una escuela pública: el docente realizó una secuencia de 12 clases no experimentales, con una duración de 90 a 120 minutos cada una, realizando los registros de clase por medio de grabadora, lápiz y papel, procurando hacer descripciones muy detalladas del desarrollo de cada clase, teniendo en cuenta las interacciones verbales entre docente y alumnos. El análisis se centró en la secuencia de situaciones didácticas organizadas por el profesor, particularmente en la manera en la que éstas ponen en juego y articulan los conocimientos matemáticos. El trabajo de (Block, 2001) aportó al desarrollo de la presente investigación en cuanto al descubrimiento de las problemáticas en el uso de las fracciones para expresar razones, tal como, la posibilidad de propiciar algunos procedimientos para resolver la variedad de los problemas de razón y proporción que el maestro propone, se ve limitada por el hecho de que el maestro orienta poco los procedimientos realmente utilizados por sus estudiantes y propiciados por el tipo de problemas que él plantea, esto es, la conservación de las razones internas. En su trabajo de grado titulado “Desarrollo de una propuesta sobre fracciones: reporte de una experiencia de aula en grado séptimo”, (Castro, 2015) expresa que la enseñanza y aprendizaje del número racional y en particular de la fracción han sido objeto de investigación durante muchos años, y la pertinencia de su enseñanza y el lugar que debe ocupar dentro del currículo han generado controversia. Señala que es necesario hacer una indagación de los conocimientos previos y de los constructos que existen tanto en docentes como estudiantes, que es ineludible tomar en cuenta los diferentes significados de los cuales se está dotando a la fracción desde tres.

(28) 28 enfoques, personal (estudiante y docente), legal (estándares y planes institucionales) y teórico relacionado con los resultados de investigaciones en educación matemática. En cuanto a la metodología empleada de este trabajo se enmarcó en el enfoque cualitativo, el cual le permitió analizar, describir e identificar la naturaleza de los contextos de forma profunda, teniendo en cuenta las diferentes variables que los conforman y afectan. Para el desarrollo de la intervención siguió los principios de la investigación- acción que posibilita el estudio de una situación educativa con el objeto de comprenderla y mejorar la acción del docente y de los estudiantes dentro de la misma. El trabajo de (Castro, 2015) aporta a la presente investigación el modelo de la intervención en el aula con la adecuación que hizo de la secuencia de (Thompson, 2001), en sus fases I y II, durante la cual hace registros, en el diario de campo del docente, de aquellas cosas de interés, preguntas de los estudiantes, en este trabajo se retoma esta secuencia en su fase III.. En su trabajo de grado de maestría, (Flores, 2010) centra su estudio desde la noción de discurso matemático escolar, para así dar cuenta de los diversos significados que le han sido incorporados a la fracción en la escuela secundaria a través de tres perspectivas: la primera se centra en la revisión teórica realizada, vinculada con las investigaciones que sobre fracciones se han realizado, los alcances y limitaciones que han encontrado. Se referencia en trabajos realizados como la tesis de (Fandiño, 2009) y tesis de (Lamon, 2004), en las cuales se evidencian significados asociados a la noción de fracción, los cuales tienen conexiones entre sí mismos. En las investigaciones realizadas sobre las diferentes interpretaciones de la noción de fracción se hallan estudios como la de (Fandiño, 2009), quien expone 14 diferentes.

(29) 29 interpretaciones para la noción de fracción, mientras que (Lamon, 2004), hace referencia a cinco nociones provenientes del modelo teórico de (Kieren, 1988), a saber: medida, operador, cociente, razón y comparaciones parte-todo. De acuerdo a la diversidad de significados que adquiere la noción de fracción, frecuentemente se presentan investigaciones que se limitan a explorar uno o dos de estos significados. El trabajo de (Flores, 2010) aporta al presente trabajo de investigación los conocimientos de su estudio desde la noción de discurso matemático escolar, en el cual da cuenta de los diversos significados que le han sido incorporados a la fracción en la escuela secundaria.. En su trabajo de grado (Garcia y Mayorca, 1997), expresan que el trabajo de investigación surge de sus experiencias en el aula, en la que observó que los estudiantes de grado séptimo presentaban dificultades en algunos temas del área de matemáticas y en especial con el tema de números fraccionarios. Estas autoras se preguntan el porqué de las dificultades en la comprensión de los conceptos de número fraccionario, en el grado séptimo de educación básica secundaria, dado que estos vienen trabajando el concepto de fracciones desde hace varios años y por tanto se preguntan: ¿la propuesta de trabajo con fracciones en séptimo grado corresponde o no, a las concepciones de fracción que tiene el estudiante? Para la realización de su trabajo, las autoras se guían por la propuesta de Kieren desde la perspectiva de los modelos de representación de área, conjuntos discretos y longitud, para lo cual tomaron una muestra del 25% de los estudiantes de séptimo del año lectivo 1997. El objetivo general de este trabajo fue el de encontrar algunas dificultades en los estudiantes de séptimo grado, para la comprensión del concepto de número fraccionario en “la relación Parte-Todo”, sobre modelos de representación de áreas, conjuntos discretos y.

(30) 30 longitud, mediante la elaboración y aplicación de una prueba diseñada para tal fin. Se realiza a los estudiantes cinco pruebas con base en los diferentes atributos de la relación Parte-Todo”, se presentan las tablas correspondientes a cada una de las preguntas y las gráficas en las cuales se observan las dificultades de cada una de las preguntas. El trabajo de (Garcia y Mayorca, 1997), aporta a la presente investigación la expectación de su estudio desde sus experiencias en el aula, en cuanto a las dificultades presentadas por los estudiantes de grado séptimo, en algunos temas del área de matemáticas y en especial con el tema de números fraccionarios.. Pregunta De Investigación Las investigaciones realizadas sobre el tema indican que en los planes de estudio escolares, la noción de fracción estudiada en un gran porcentaje de escuelas del pais, corresponde a la fracción como parte todo y se prescinde de los demás nociones que pueden atribuírsele a las fracciones de acuerdo al contexto donde se estudien. De acuerdo a lo anterior, se hace necesario el estudio de las demás nociones: como la fracción como razón, en la cual se establecen las siguientes preguntas de investigación: ¿Qué estrategia de enseñanza se puede gestionar para facilitar el aprendizaje del significado de la fracción como razón en los estudiantes de grado sexto del colegio Veintiún Ángeles, I.E.D?.

(31) 31 Objetivos General. Gestionar una secuencia de actividades para promover el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes de un grupo de grado sexto de un colegio público de la ciudad de Bogotá.. Específicos. . Aplicar la estrategia didáctica para que los estudiantes comprendan que las fracciones también son medidas de razón como relación, que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales y que las fracciones equivalentes tienen razón constante..  Desarrollar habilidades para el manejo de razones internas y externas que permitan al estudiante interpretar, comprender y abordar situaciones que requieren del empleo de la fracción como razón..

(32) 32 Marco Teórico. El concepto de fracción como razón en la matemática de la escuela primaria y primeros años de la básica secundaria, no está claramente definido en el currículo, ni tampoco en la enseñanza en el aula, donde algunas veces se considera que la noción de la fracción partetodo es suficiente para dar respuesta a cualquier situación o problema matemático que se presente en el ámbito de las fracciones. En el ambiente de la investigación, la noción de razón ha sido centro de estudio independientemente de su vinculación con la fracción: en el contexto de la proporcionalidad, como relación que se expresa mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por cada m, etc.). Algunos de los investigadores que han estudiado la razón son los siguientes: Desde la perspectiva del desarrollo conceptual (Noelthing, 1980); (Karplus et al., 1983), desde la perspectiva fenomenológica (Freudenthal, 2001), (Streefland, 1984), la didáctica (Block, 2008) entre otros. En los estándares curriculares, para el grupo de grados sexto y séptimo grados, en la educación básica secundaria, se contempla el manejo de los números racionales en sus diferentes expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes), para resolver problemas en contexto, sin embargo se puede evidenciar que en la mayoría de los textos escolares usados en Colombia para el sexto grado en la educación básica secundaria, que el concepto de fracción es tomado solamente desde la fracción como parte todo, excluyendo los demás significados que adquiere la noción de fracción de acuerdo al contexto donde se estudien, por tanto es significativo rescatar y evidenciar la importancia de la fracción como razón..

(33) 33 La Razón La razón forma parte de nuestra experiencia cotidiana, la capacidad de reconocer cuándo dos objetos " de una misma naturaleza " -en el sentido de alguna de sus características tales como su longitud o su peso por ejemplo- son equivalentes o no, determinando cual es más grande respecto de la característica observada. De igual manera, si observamos un diseño y su ampliación o su reducción somos capaces de diferenciar alguna diferenciación, en el sentido del respeto a las proporciones del objeto original. Si procedemos a medir cada una de las dimensiones del objeto reducido o ampliado -operación que a veces solicitamos a una fotocopiadora para efectos de elaborar material para una clase y comparamos dividiendo de a pares, las medidas de cada parte correspondiente al objeto original respecto del modificado, constataremos que se obtiene un mismo valor. A este valor se le llama “escala” de la reproducción. En matemáticas este hecho se expresa diciendo que una reproducción presenta una "razón" de paso de una figura a la otra y a este valor se le llama "razón externa”. Por su parte, si se compara dividiendo de a pares, partes del mismo objeto en el original y luego en el modificado, obtenemos un mismo valor en cada caso. En matemáticas se expresa esta situación señalando que las "razones internas" se preservan en un diseño a escala, dicho de otro modo, hay una relación entre la existencia de una razón externa y la conservación de las razones internas: una reproducción a escala respeta las proporciones y las formas. En el proceso de investigación de la enseñanza y aprendizaje de las razones, las proporciones y la proporcionalidad, van más de 30 años en este campo, teniendo una considerable influencia los trabajos sobre el razonamiento formal de los adolescentes en los cuales evidenció la habilidad de los niños para trabajar con ideas de proporcionalidad,.

(34) 34 dando inicio a las discusiones acerca de las comparaciones entre el razonamiento cualitativo y el razonamiento cuantitativo (Piaget e Inhelder, 1958). Para (Hart, 1988) citado por (Sanchez, 2013), la habilidad de razonar proporcionalmente en un sentido cualitativo aparece después de los 11 a 13 años, agrega además que el razonamiento proporcional es el proceso cognitivo que generalmente se investiga, en este sentido (Diez, Giménez y García 2007) citados por (Sanchez, razones, proporciones y proporcionalidad en una situación de reparto: una mirada desde la teoría, 2013) coinciden en esta misma idea. (Streefland, 1984) aseveró que el aprendizaje de las razones y las proporciones es un proceso de larga espera que comienza con una comparación cualitativa, por lo cual sugirió que la formalización e introducción de algoritmos no debería darse tan prematuramente y que los niños lograrían reconocer mejor las proporciones a través de tareas que sean significativas, útiles y reales para ellos. Posteriormente, la fenomenología didáctica de Freudenthal ayudó a los investigadores a relacionar ideas matemáticas complejas con objetos mentales, actividades humanas y fenómenos de la vida real que se ajustan apropiadamente a dichas ideas matemáticas.. Esta autora expresa que a partir de la afirmación de (Behr, Hare, Post y Lesh, 1992), que “el dominio de la investigación que incluye fracciones, números racionales, razones y proporciones no ha alcanzado un nivel de madurez desde el cual ofrecer proposiciones empíricas para la enseñanza, esto es, generalizaciones que se deriven directamente desde los hallazgos empíricos”..

(35) 35 Razón Y Fracción En la literatura clásica sobre razones y proporciones, las nociones de “razón” y “fracción” pierden sus diferencias históricas al confundirse una con la otra, por ejemplo, Leyssenne (1913, p. 169), citado por (Chevallard y Jullien, 1989) señala que "una fracción puede ser considerada como una razón" y que "las razones desempeñan todas las propiedades de las fracciones, y todas las operaciones de cálculo se ejecutan tanto en unas como en otras". Para Díaz (1998), en una primera aproximación, la razón matemática es una manera de comparar dos magnitudes, formando esa comparación por división de dos números o de las medidas de dos cantidades de magnitudes. Para Batanero, Cid y Godino (2003), es un par ordenado de pares de magnitudes cada una de las cuales se expresa con un número real y una unidad de medida.. En el estudio sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales, las razones son tematizadas como uno de los significados (o constructos) posibles de las fracciones, tal como afirma Kieren (1988) y el interés se orienta directamente en la fracción y no en lo que la precedió, es decir, las razones aún no expresadas con fracciones. En la génesis escolar de las fracciones y los decimales, las razones desempeñan un papel implícito como precursoras de las fracciones. En las razones se hace referencia a cantidades de magnitudes que son medibles, cada una con una respectiva unidad, haciendo que la razón se diferencie de la fracción en los siguientes aspectos: 1. En una razón hay dos magnitudes con unidades diferentes, por ejemplo cuando se refiere a la velocidad de un vehículo, se dice que transita a 80 Km por hora, se tiene.

(36) 36 una magnitud de distancia versus tiempo. Por el contrario en las fracciones se hace referencia a magnitudes de la misma unidad. 2. Existen razones que no se representan en forma de razón, por ejemplo cuando se habla de la densidad de una ciudad o población se puede decir que habitan 200 personas por metro cuadrado, obteniéndose una información de 200:1 o de 200. 1 sobre dicho aspecto poblacional.. 3. Las razones tienen sus propios símbolos que difieren de las fracciones, por ejemplo, utilizando el caso anterior podemos decir que se tiene una razón 200 a 1; la cual se puede escribir como 200:1 o 200. 1.. 4. En las fracciones se dice que es un número de la forma A/B, a/b en la cual el denominador tiene que ser diferente a cero, por el contrario en las razones el consecuente si puede ser cero. Como por ejemplo en una rifa se tiene una bolsa de balotas blancas y rojas con la razón 20:2, siendo los ganadores los que saquen una balota roja, pero si todas las balotas son blancas la razón será 20:0 no tratando de hacer ninguna división por cero. 5. En términos generales, las operaciones con razones no se realizan de igual manera que las fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del siguiente modo. 2:5 + 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de fracciones..

(37) 37 La Fracción Como Razón De acuerdo a (Gairín, 2001), la ausencia en los textos escolares de este significado podría justificarse por las exigencias que se demandan para su construcción, como son la consideración de la noción de razón, en la cual se debe tener en cuenta que en la fracción a/b, cualquier cambio en a producirá un cambio en b, si existe una determinada relación entre a y b. Además, se debe considerar la equivalencia de fracciones como invariante de la relación entre las cantidades, de tal manera que se conciba el mantenimiento de la proporción con afectación a la cantidad más no a la relación. Adicionalmente, puede agregarse a lo anterior que las demandas curriculares de la instrucción sobre la proporcionalidad han permitido alejar a la razón de las fracciones. Según este autor: A pesar de que la razón y la proporción son tópicos adecuados para aplicar las fracciones a la resolución de problemas, desde el primer cuarto del siglo XX los manuales escolares presentan un estudio separado de las fracciones y de las razones y proporciones. Esta realidad no responde al desarrollo histórico, ni está justificada didácticamente, más bien responde a la idea de mantener la tradición de quienes, a principio del siglo XX, decidieron tratar separadamente teoría y práctica, y en consecuencia, las razones y proporciones se alejaron de las fracciones, (Gairín, 2001). Silva (2005), manifiesta que las tareas asociadas al concepto de razón generalmente no permiten asociar la idea de partición como los otros conceptos, sino asocia la idea de comparación entre dos medidas. En este sentido la representación A:B, o B:A, no siempre se asocia al concepto de cociente, sino podría ser entendida como una comparación, sin necesariamente transmitir una idea de número. (Flores, 2010) en relación a esta concepción, plantea que la fracción se usa para mostrar la relación entre dos cantidades de determinada magnitud, es decir, si se establece un índice de comparación entre esas partes,.

(38) 38 se habla de la fracción como razón. En estos casos no existe una unidad, un todo que permita ver la fracción. Se asocia esta interpretación a la relación parte-parte y a la relación conjunto a conjunto. Cuando hay una relación entre a y b (una razón) todo cambio en a producirá un cambio en b. Algunas de las situaciones donde se presenta este uso de fracciones están asociadas a mezclas y aleaciones, comparaciones, escalas de mapas y planos, recetas de cocina, entre otras. Dos de las formas más claras de ver la fracción como razón están en la probabilidad y en los porcentajes. Si se considera la razón como una forma de comparar, precisamente la probabilidad es una manera de comparación todo-todo (casos favorables vs. casos posibles). Los porcentajes también se asocian a una comparación parte-todo, pero vistos como relaciones entre conjuntos. Así, la representación fraccionaria 2/3, por ejemplo, asociada al concepto de razón, no permitirá la lectura “dos tercios” y si “dos para tres”. El estudio en la educación básica con fracciones que representan “razones” desde los primeros niveles escolares, favorece el razonamiento proporcional, sienta las bases para una mejor comprensión de las fracciones como expresión de medidas, de razones, y de operadores multiplicativos, por tanto se abordará su estudio con procesos didácticos que pueden favorecer la articulación de las razones de enteros con las fracciones y decimales. Se puede decir que el razonamiento proporcional se ha posicionado como un campo privilegiado para las investigaciones debido a su lugar central en las matemáticas escolares, en tanto pone en relación ámbitos conceptuales necesarios para la comprensión y modelación de múltiples situaciones de las matemáticas, las ciencias naturales y sociales y de la vida diaria..

(39) 39 Categorías De Análisis En la elaboración de este trabajo de investigación se tomará como instrumento de investigación las categorías de análisis propuestas por (Freudenthal, 1978) en su fenomenología didáctica del concepto de razón y León (2011) en su trabajo fin de máster, quienes categorizan las razones en internas y externas, esta categorización será tomada en el trabajo de investigación como categorías de análisis. Las razones internas son razones entre términos pertenecientes a un sistema, por ejemplo, dos longitudes, dos pesos; corresponden a la misma magnitud. Las razones externas son razones entre términos de distintos sistemas, por ejemplo, espacio y tiempo.. Razones Internas. Estas razones comparan cantidades de magnitudes iguales, definiendo un número que representa la medida de una de las magnitudes tomando como unidad a la otra; estas no salen de un dominio de magnitudes. Por ejemplo si se trata de partidos jugados, la razón 3/5 señala que se ganaron 3 partidos de un total de 5 jugados. En este caso se trabaja con un solo tipo de magnitud, por lo que suele omitirse esta magnitud, en la expresión escrita de la razón. En un segundo ejemplo de este tipo de razones se tienen los segmentos lineales, como representación visual más simple de valores de magnitud. Dos valores de magnitud en una relación fraccionaria, los cuales se visualizan fácilmente mediante dos segmentos lineales en la misma razón, para hacer más fácil la comparación de la razón, las partes pertinentes se pueden marcar; los segmentos representativos se toman, preferiblemente paralelos (figura 2)..

(40) 40. Figura 2. Razón entre dos segmentos paralelos, Fruedenthal (1983). Otra versión a la anterior puede ser el de dos árboles contiguos que están en una relación fraccionaria, la cual puede ser presentada mediante medidas o escalas intermedias (figura 3).. Figura 3. Relación fracción como razón entre dos árboles, Fruedenthal (1983). Estos entre muchas más como podrían ser: . Las edades entre dos personas. . Los pesos en la escala de una báscula. . Dinero para las onces que tienen dos estudiantes. . Número de hijos que tienen los padres de los estudiantes. Razones Externas Estas razones comparan cantidades de magnitudes diferentes. Los distintos valores que puede tomar una razón externa pueden considerarse las medidas de una nueva magnitud. Como ejemplos de razones externas las magnitudes de velocidad y de densidad.

(41) 41 poblacional. La primera expresa la comparación entre una magnitud de espacio recorrido, respecto del tiempo ocupado en ese recorrido. La segunda indica la comparación entre el número de individuos de una población y las unidades de superficie en las que esos individuos habitan. Al determinar distintos tipos de magnitudes la razón externa establece un tipo de medida indirecta, por tanto se debe señalar en la expresión escrita y en la verbal cuales son las magnitudes que intervienen.. Secuencia Didáctica De Thompson, En Su Fase III Para el trabajo de investigación se utilizará como herramienta la Secuencia Didáctica de (Thomson, 2008) en su fase III en la que se desarrolla una serie de actividades específicas en el aula, la cual tiene como fin proporcionar a los niños una fundamentación firme para la comprensión de las fracciones como razón y el concepto de equivalencia. En este sentido se pretende que los niños y niñas de grado sexto adquieran habilidades en fracciones en varias fases, en las cuales van ganando con el tiempo comprensiones a ritmos variados.. El análisis de las respuestas entregadas por los estudiantes de sexto grado en la educación básica secundaria, se realiza mediante la observación e identificación de las dificultades encontradas durante el desarrollo de la secuencia de (Thompson, 2001), en su fase III, las cuales problematizan el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón, siendo algunas de las posibles dificultades que encuentren los estudiantes las siguientes:. 1.. Formación o agrupación de subgrupos iguales en cuanto a tamaño. 2.. Presentación de un modelo gráfico de acuerdo a la secuencia.

(42) 42 3.. Capacidad de representar una relación entre dos magnitudes, mediante una fracción menor que la unidad.. 4.. Capacidad de comprender que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un objeto.. 5.. Capacidad de comprender que son fracciones equivalentes. 6.. Capacidad de comprender que las fracciones equivalentes tienen una razón constante. 7.. Manejo de tablas de fracciones. 8.. Paso de una situación cotidiana a diagrama. 9.. Paso de forma escrita a diagrama. Las dificultades encontradas por los estudiantes en los problemas escolares basados en las categorías de (Freudenthal, 1978) y León (2011), quienes categorizan las razones en internas y externas, se constituyeron en unas categorías emergentes, las cuales se analizarán desde el punto de vista argumentativo y procedimental, se podrá determinar los procesos utilizados y si las respuestas fueron contestadas de manera correcta o no, como también si el desarrollo de la argumentación fue realizada con o sin procedimiento, además del análisis de la forma o clase de proceso utilizado: si se realizó por medio de operaciones o con ayuda de gráficas.. Debido a la tendencia que se presenta en algunos estudiantes de entregar sus respuestas sin ninguna explicación sobre el análisis y proceso utilizado para llegar a sus respuestas, se hace necesario encontrar una herramienta que los ayude a explicitar sus análisis y procesos.

(43) 43 utilizados, en este sentido, la secuencia y los problemas serán enriquecidos con los conceptos planteados por (Polya, 1965) sobre cómo plantear y resolver problemas..

(44) 44 Marco Metodológico Naturaleza Del Estudio El presente trabajo de investigación se enmarca en la orientación de tipo cualitativa, la cual incluye el análisis, detalle y caracterización de la naturaleza de los contextos del tema en estudio, teniendo en cuenta las diferentes variables que la conforman y aquejan. Las investigaciones de tipo cualitativo recuperan la esencia de la realidad como objeto del conocimiento científico de constante reflexión y puesta en comparación con la teoría que permiten la comprensión, las dificultades y alternativas de realidades. En el proceso del tema de investigación se tomaron los principios de la investigación– acción, que permite el estudio de una situación académica con el fin de comprenderla, mejorando la acción del profesor y de los estudiantes dentro de la misma. Esta metodología tiene como finalidad resolver problemas frecuentes e inmediatos y mejorar prácticas concretas, (Martínez, 2000). Su propósito principal se centra en aportar información que guíe la toma de decisiones para programas, procesos y modificaciones estructurales. Los cimientos sobre los cuales se fundamentan los diseños de investigación-acción son:  Los participantes que están viviendo un problema son los que están mejor capacitados para abordarlo en un entorno natural.  La conducta de estas personas está influida de manera importante por el entorno natural en que se encuentran.  La metodología cualitativa es la mejor para el estudio de los entornos naturales.. La investigación–acción propone optimar las prácticas del profesor, aportando elementos que le den la oportunidad de auto reflexionar y mejorar también sus propias.

(45) 45 prácticas, en este sentido el profesor identificó mediante la indagación y la observación la problemática que de acuerdo a su criterio debía ser tratada, debido a la falta de correspondencia entre los planteamientos institucionales y lo realizado por los estudiantes en cuanto al trabajo con las fracciones. El análisis es visto como el proceso de examinar con atención las particularidades de la práctica docente y detectar los conflictos con las que se encuentran los estudiantes en el momento de abordar situaciones que involucren la fracción como razón. A través de la indagación y el análisis se evidenció que las dificultades encontradas por los estudiantes coincidían con el problema al trabajar con la interpretación de la fracción como razón debido a la falta de dominio de atributos, necesidad de congruencia entre las partes y su dominio simbólico.. Las tres fases esenciales de los diseños de investigación-acción según (Stringer, 1999) son: . Observar (construir un bosquejo del problema y recolectar datos),. . Pensar (analizar e interpretar) y. . Actuar (resolver problemas e implementar mejoras).. Estas fases se dan de una manera cíclica, una y otra vez, hasta que el problema es resuelto, el cambio se logra o la mejora se introduce satisfactoriamente, (Hernández, Fernández y Baptista, 2006). De acuerdo a (Sampieri, 2006), los tipos básicos de anotaciones son los siguientes:.

(46) 46 . Anotaciones de la observación directa. Descriptores de lo que estamos viendo, escuchando, olfateando y palpando del contexto y de los casos o participantes observados.. . Anotaciones interpretativas. Comentarios sobre los hechos, es decir, nuestras interpretaciones de lo que estamos percibiendo.. . Anotaciones temáticas. Ideas, hipótesis, preguntas de investigación, especulaciones vinculadas con la teoría, conclusiones preliminares y descubrimientos que, a nuestro juicio, vallan arrojando las observaciones.. . Anotaciones personales. Del aprendizaje, los sentimientos, las sensaciones del propio observador o investigador.. . Anotaciones de la reactividad de los participantes. Como cambios inducidos por el investigador, problemas en el campo y situaciones inesperadas.. En síntesis, “Las anotaciones, nos ayudan contra la “mala memoria”, señalan lo importante, aquello que contribuya a interpretar y encontrar significado, contienen las impresiones iniciales las que tenemos durante la estancia en el campo y documentan la descripción del ambiente, las interacciones y experiencias”, (Sampieri, 2006); Continuando con el trabajo de investigación se hace la revisión de artículos, revistas, libros, trabajos de grado de la Universidad Distrital y documentos de internet, con el propósito de hallar la manera más apropiada de realizar la intervención en el aula de clase, de acuerdo a las necesidades de los estudiantes y los propósitos del docente..

(47) 47 Participantes Los participantes involucrados en esta investigación fueron 40 estudiantes de grado sexto de educación básica, pertenecientes a la sede A del colegio Veintiún Ángeles I.E.D. de la zona 11 de Suba; estos estudiantes tienen edades comprendidas entre los 11 a 13 años de edad, en su gran mayoría de estratos uno y dos. El colegio fue inaugurado por el alcalde Lucho Garzón en el año de 2006, el colegio cuenta con cuatro sedes que albergan alrededor de tres mil estudiantes. En Bogotá, Suba es la primera localidad en número de habitantes estimada en el 2015 en 1.174.736 personas, similar a la población de Bucaramanga, según las cifras que manejan los respectivos Cabildos de la localidad, la población indígena muisca de la localidad de Suba, se estima en 2.500 familias, por ende en el colegio son muy comunes apellidos de origen Muisca como Piracun, Niviayo, Yopasá, Bulla, Cabiativa, Caita, Chisaba, Mususú, Nivia, Quinche y Neuque entre otros.. De acuerdo al proyecto curricular, estos estudiantes inician los principales conceptos sobre la fracción como parte- todo en el grado tercero de primaria, profundizando gradualmente sus conocimientos hasta llegar al grado sexto de la básica secundaria. Otro participante es el profesor investigador que interviene activamente en la observación del trabajo que se va desarrollando en cada una de etapas de la secuencia y da orientaciones a los estudiantes cuando ve que estos necesitan ser cuestionados con preguntas orientadoras que los hagan reflexionar sobre un procedimiento no acertado que ha tomado, además el contestar las preguntas que se pueden presentar por parte de los estudiantes, además se cuenta con la constante orientación de la directora del trabajo de.

(48) 48 investigación, quien con sus conocimientos y experiencia corrige y aconseja al profesor investigador durante el desarrollo del trabajo en el aula de clase.. Diseño De La Intervención En El Aula En el presente estudio, el profesor investigador a través de la observación participante logra sumergirse en la realidad del aula y en la dinámica del desarrollo de las actividades diseñadas, registrando por escrito los sucesos más importantes de la investigación durante la implementación de la secuencia de (Thomson, 2008) en su fase III y los problemas escolares basados en las categorías de razones internas y externas, expuestas por (Freudenthal, 1978) y (León, 2011) los cuales se constituyeron como instrumentos para lograr el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes de grado sexto. Con el propósito de indagar sobre la forma en que los estudiantes resuelven los problemas planteados en la secuencia y los problemas, estos fueron enriquecidos con los conceptos planteados por (Polya,1965) sobre cómo plantear y resolver problemas, con la intención que los estudiantes expliciten la forma como llegaron a las respuestas en cada una de las secuencias, ya que es una acostumbre entregar sus respuestas sin ninguna explicación sobre el proceso o análisis de la forma en que llegaron a las respuestas. George Polya nació en Hungría en 1887, obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest, fue maestro de importantes universidades como el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza, en la Universidad de Brown en EE.UU y en la Universidad de Stanford en 1942. Durante sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos, advirtiendo que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. En este sentido su enseñanza.

(49) 49 enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en cuatro pasos: entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás como se muestra en la (figura 4).. Figura 4. Operaciones mentales planteados por Polya.. Paso 1: Entender El Problema. En el cual el estudiante reflexiona teniendo en cuenta alguna de las siguientes preguntas que lo ayudan a ubicarse en torno al problema y a partir en la solución del problema de forma más segura: 1.. ¿Entiendes todo lo que dice?. 2.. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?. 3.. ¿Distingues cuáles son los datos?. 4.. ¿Sabes a qué quieres llegar?. 5.. ¿Hay suficiente información?. 6.. ¿Hay información extraña?. 7.. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?.

(50) 50 Paso 2: Configurar Un Plan. Continuando con el proceso, el estudiante decide de qué manera ha de resolver el problema, si puede utilizar alguna de las siguientes estrategias, teniendo en cuenta que una estrategia es un artificio ingenioso que conduce a un final. Algunas estrategias que el estudiante puede utilizar son las siguientes:  Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).  Usar una variable.  Buscar un Patrón  Hacer una lista.  Resolver un problema similar más simple.  Hacer una figura.  Hacer un diagrama  Usar razonamiento directo.  Usar razonamiento indirecto.  Usar las propiedades de los Números.  Resolver un problema equivalente.  Trabajar hacia atrás.  Usar casos  Resolver una ecuación  Buscar una fórmula.  Usar un modelo.  Usar análisis dimensional.  Identificar sub-metas..

(51) 51  Usar coordenadas.  Usar simetría.. Paso 3: Ejecutar El Plan. Cuando el estudiante ha entendido el problema y ha decido que estrategia ha de utilizar, el siguiente paso es poner en acción este plan, teniendo en cuenta: . Implementar la o las estrategias escogida (s) hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso.. . Concederse un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia al profesor. No se debe tener miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.. Paso 4: Mirar Hacia Atrás En este último paso el estudiante ha de examinar su respuesta, analizando si hay alguna forma de comprobar que esta correcta, teniendo en cuenta: . ¿Es su solución correcta? ¿Su respuesta satisface lo establecido en el problema?. . ¿Advierte una solución más sencilla?. . ¿Puede ver cómo extender su solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que utiliza símbolos matemáticos..

(52) 52 En la secuencia de (Thomson, 2008), el autor en su Fase III propone problemas o situaciones a través de la fracción como razón, por medio de tres pasos, en cada uno de los cuales se direccionan conceptos y actividades en los cuales los estudiantes obtendrán y aplicarán varias estrategias para razonar acerca de las fracción como razón; además se espera que los estudiantes apliquen experiencias y estrategias previas adquiridas en años anteriores. Se espera que las actividades y conceptos establecidos en cada uno de los pasos sean reconocidos y comprendidos por los estudiantes, ya que a ellos les servirán de guía para realizar acertadamente las tareas propuestas en esta secuencia, por medio de los cuales los estudiantes lleguen a los siguientes conocimientos: . Fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un objeto. . Fracciones equivalentes. . Las fracciones también son las medidas de razones. . Las fracciones equivalentes tienen una razón constante. Las actividades y duración de los pasos de esta secuencia se muestran en la tabla 1.. Tabla 1. Pasos y actividades a realizar, según la Secuencia Didáctica de Thompson, Fase III PASO UNO. ACTIVIDADES Este paso consta de cuatro actividades en el cual se presenta una situación en la cual se hace necesario repartir 18 panqueques, en cantidades iguales, para 24 personas. Actividad 1. Se sientan 24 personas que vienen en grupo, en una misma mesa, cada una solicita un. DURACIÓN 8 sesiones de 55 minutos.

(53) 53 panqueque, el mesero se excusa y les trae los únicos 18 panqueques que había. Los integrantes del grupo acuerdan repartir equitativamente los panqueques. Actividad 2. En este caso el mismo grupo de 24 personas, se sientan ya en dos mesas, repartiéndose el mismo número de personas en cada mesa y el mesero les sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18 panqueques existentes. Actividad 3. En este caso el mismo grupo de 24 personas, se sientan ya en tres mesas, repartiéndose el mismo número de personas en cada mesa y el mesero les sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18 panqueques existentes. Actividad 4. . En este caso el mismo grupo de 24 personas, se sientan ya en seis mesas, repartiéndose el mismo número de personas en cada mesa y el mesero les sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18 panqueques existentes. En cada una de las situaciones se les pregunta a los estudiantes: ¿Cuánto come cada persona, si los panqueques son repartidos equitativamente entre todos y no sobra ninguna parte de panqueque? DOS. El trabajo en este paso consiste en la construcción y/o completar tablas de razones, utilizando los datos. 4 sesiones de 55 minutos. obtenidos en las anteriores actividades. TRES. En esta actividad se trabaja con tablas de razones, comenzando a trabajar en direcciones opuestas y cambiando la razón anterior para afianzar el conocimiento de equivalencia entre fracciones.. 4 sesiones de 55 minutos.

(54) 54. Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson, Fase III. La fase III de Thompson estudia las relaciones entre dos cantidades en lugar de examinar una parte de un todo simplemente, en este sentido la actividad que se va a desarrollar en el trabajo de investigación es la razón entre panqueques y personas en un establecimiento de venta de estos productos comestibles. Es posible que se presente la situación en que algunos estudiantes no entiendan porque se utilizan dos objetos diferentes en una misma situación como lo son panqueques y personas, por tanto en esta fase se pretende la familiarización del estudiante con el lenguaje de la fracción como razón, potenciando el desarrollo del control simbólico. Es de aclarar que los tiempos para los que se diseñó la secuencia son extensos, según lo expresa Thompson, el cual indica que el camino por recorrer hacia la constitución del objeto mental fracción es extenso, pero debido a la edad de los estudiantes y a las experiencias escolares que ya han tenido con la fracción se hace necesario adecuar los tiempos para la implementación de esta secuencia. El fin de los conceptos y actividades específicas realizadas en esta secuencia es que los estudiantes puedan adquirir el conocimiento de equivalencia y de fracciones como razón.. Paso 1, Actividad 1. Tiempo estimado: 2 sesiones de clase Materiales: hoja guía para entregar a los estudiantes Preguntas o aclaraciones para tener en cuenta en la acción: se debe aclarar a los estudiantes que no debe haber panqueques sobrantes y que a cada persona se le debe entregar la misma cantidad de panqueques. Es necesario preguntar a los estudiantes ¿qué.