Modelo triatómico de Condensados de Bose Einstein

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA S. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA. “Modelo triatómico de Condensados de Bose-Einstein”. INFORME FINAL DE PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL PARA OPTAR EL TÍTULO DE:. IO T. LICENCIADO EN FÍSICA. AUTOR. BI. BL. Dra. ZEILA VIRGINIA TORRES SANTOS. ASESOR. DR. JOSÉ ÁNGEL ROLDÁN LÓPEZ. TRUJILLO – PERÚ 2017. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. ------------------------------------------------------Profesor Ely Miguel Aguilar (Presidente). -------------------------------------------------------Profesor Ricardo Gil Ramírez. ----------------------------------------------------Profesor José Roldán López (Vocal). BI. BL. IO T. (Secretario). 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. DEDICATORIA. Dedico esta tesis a todos los que deciden salir del país buscando nuevos. CA S. horizontes en el mundo de la investigación, pero cuando por razones personales vuelven a Perú se dan con la sorpresa de que tienen una tesis de. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Licenciatura aún por terminar y necesaria para ejercer la profesión de Docente.. También a mi familia por el soporte y aguante.. BI. BL. IO T. A las amigas de corazón.. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AGRADECIMIENTOS. Agradezco a las personas que colaboraron conmigo en mi formación educativa básica, mi formación universitaria y también en los siguientes años. CA S. en la post graduación. Todos estos son años de aprendizaje, pero no terminan ya que la dedicación a la investigación es continua sobre todo en Perú, ya que es un país en auge. BI. BL. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. que promete algún día estar a la vanguardia en la investigación de ciencias.. 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. PRESENTACIÓN. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Señores miembros del Jurado:. En cumplimiento a los dispuesto por el Reglamento de Grados y Títulos de la Universidad Nacional de Trujillo, es un honor poner a vuestra disposición el presente Informe Final de Práctica Pre-Profesional titulado: “Modelo triatómico de Condensados de Bose-Einstein”, a fin de obtener el Título de Licenciada en Física, en la Escuela Académico Profesional de Física de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de. Trujillo, octubre del 2017. BI. BL. IO T. Trujillo.. --------------------------------------Dra. Zeila Virginia Torres Santos. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen En este trabajo, introducimos un método algebraico para estudiar un Hamiltoniano exactamente integrable, que modela un Condensado de BoseEinstein hetero-triatómico molecular. Tal modelo nos describe la mezcla de. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. para luego formar una molécula triatómica.. CA S. dos especies de átomos en proporciones diferentes que pueden combinarse. El método algebraico llamado de Método de Dispersión Inversa Cuántica (MDIC o QISM (siglas en inglés)), nos permite mapear el Hamiltoniano inicial y re escribirlo en función de los elementos del MDIC, permitiéndonos así encontrar la energía del sistema.. Palabras Clave: Integrabilidad, dispersión, condensados Bose-Einstein, Lie. BI. BL. IO T. algebra.. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Abstract. In this work, we introduce an algebraic method to study an Integrable Hamiltonian, which models a molecular hetero-triatomic Bose-Einstein. CA S. Condensate. This model describes the mixing of two species of atoms in different proportions which can combine to form a triatomic molecule.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. The algebraic method called Quantum Inverse Scattering Method QISM) allows us to map the initial Hamiltonian and re-write it based on the elements of the MDIC, thus allowing us to find the energy of the system.. BI. BL. IO T. Key word: Integrability, dispersion, Bose-Einstein condensates, Lie algebra.. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. . Introducción. . Capítulo 1. CA S. Índice General. 1.1 Integrabilidad. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 1.2 Método de Dispersión Inversa Cuántica MDIC 1.3 MDIC o Ecuaciones de Ansatz de Bethe 1.4 Realización del Algebra. 1.4.1 Realización de los Operadores Bo sónicos. 1.4.2 Realización en términos de los generadores del álgebra de Lie su(2) 1.4.3 Realización en términos de los generadores del álgebra de Lie su(1,1). . Capítulo 2. 2.1 Modelo tri-atómico de Condensado de Bose-Einstein 2.2 Análisis del modelo AABC. Capítulo 3. IO T. . 3.1 Análisis Semi-Clásico. Ecuaciones de Movimiento y puntos fijos. 3.3. Diagrama de parámetros. BI. BL. 3.2. Conclusiones Referencias Bibliográficas. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Índice de Figuras  Fig.1:. CA S. Imagen de los diferentes tipos de estados de la materia respecto a la disminución de la temperatura (disminuyendo de izquierda a. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. derecha)..  Fig.2:. Se observa gráficamente en una curva la fracción entre el número de partículas y la temperatura..  Fig. 3:. Diagrama de energía de los estados de Efimov. Posibilidad de obtener Condensados de moléculas hetero-tri-atómicas.  Fig. 4:. IO T. Comportamiento de la función g(z) para diferentes valores de k.  Fig. 5: Diagrama de parámetros para diferentes valores de k, y las. BI. BL. distintas regiones.. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. INTRODUCCIÓN. En este trabajo de Licenciatura, vamos a enfocar el estudio teórico a sistemas que se caracterizan por presentar fluctuaciones cuánticas, es decir no es apropiado el uso de métodos aproximados, de tal forma es de gran importancia el estudio de modelos exactamente integrables. El Condensado de Bose-Einstein (CBE), es un sistema ultra frío, es una fase de la materia compuesta por Bosones a una temperatura próxima al cero absoluto, produciéndose a esta temperatura un colapso de los átomos hasta que la mayor parte de ellos se encuentren en el estado fundamental. El estudio de la condensación fue teorizado en los años 20, por Bose que trabajó en la mecánica estadística de los fotones ([1],[2],[3]), Einstein intuyó que la teoría. IO T. de Bose no era exclusiva de los fotones y generalizo las ideas y reglas de Bose a los átomos de un gas y otras moléculas. Logrando así avances. BL. teóricos que luego fueron confirmados en laboratorio.. El fenómeno de la condensación se da en partículas bosónicas y sus. BI. características son ([4]): -. Tienen un spin entero (momento angular intrínseco). -. No cumplen el principio de exclusión de Pauli. -. Siguen la estadística de Bose-Einstein. -. La función de onda cuántica es simétrica respecto a la permutación de partículas.. Si pensamos en la posición de las partículas bosónicas, cuando 𝑟1 ≅ 𝑟2 , al realizar una medida de encontrar las partículas en una misma posición o 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. estado cuántico la probabilidad aumentara y se podrá decir que más de una puede ocupar el mismo nivel de energía. En este contexto surge el CBE, siendo la formación de un “super átomo”, formando un estado de agregación. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. de la materia. Como una idea visual vemos la siguiente imagen (fig.1).. Fig.1 A medida que la temperatura baja, la materia cambia de estados hasta llegar a la condensación.. El CBE, fue obtenido el 5 de junio de 1995, en el laboratorio del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de la ciudad de Boulder, en Colorado, por los físicos Eric Cornell y Carl Wienman. Usaron una nube de átomos de rubidio al cual le bajaron la temperatura mediante la técnica de enfriamiento por láser junto a dos campos magnéticos, lo cual produjo una temperatura apropiada que logró formar un nuevo estado de la materia, 180nK o también en otra escala próximo a -270ºC.. IO T. El primer paso para el proceso de disminución de la temperatura es el enfriamiento por láser como hablamos anteriormente, en donde el fotón. BL. colisiona sobre los átomos, pero la luz no debe ser absorbida por los átomos, en caso contrario se calentarán, básicamente se tiene un flujo de partículas. BI. muy leves (fotones) que reciben parte de la energía cinética de las partículas muy pesadas (átomos), el láser enfría de. 1 10000. grados encima del cero. absoluto, pero esta temperatura no es suficiente para que acontezca la condensación. Para disminuir más la temperatura es necesario usar un segundo procedimiento, siendo el enfriamiento evaporativo con armadillas magnéticas, específicamente por medio de bobinas magnéticas se producen campos magnéticos que capturan las partículas menos energéticas, por lo 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. tanto, en el proceso se pierden una fracción de partículas, pero se llega a temperaturas ultra frías. En el grafico (fig.2) siguiente se puede observar la. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. relación entre la fracción número de partículas y la temperatura.. Fig. 2: Fracción relativa bosónicas en estado condensado en función de la fracción de la temperatura sobre la temperatura crítica.. Con los resultados del método de enfriamiento evaporativo, se obtuvieron moléculas compuestas de dos átomos de especies diferentes, donde fueron usadas técnicas de foto-asociación y utilizaron mezclas de 39K y 85Rb ([5],[6]) y con técnica de Resonancia de Feshbach con mezclas de. IO T. ([7],[8]). La. mayoría. de. los. Condensados. moleculares. 41. K y. investigados. 87. Rb. hasta. BL. recientemente eran del tipo diatómico, ya sea homonucleares o heteronucleares. Una pregunta que surge es si Condensados de Moléculas. BI. mayores y más complejas se podrían obtener en el régimen ultra frío. Existen algunas evidencias experimentales que indican la existencia de tal posibilidad a través de los llamados Estados de Efimov, observados en gases de Cesio ultra fríos, por lo tanto se proporciona una sustentación para tales sistemas. ([9],[10],[11]).. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Recientemente experiencias efectuadas por J. Catani y colaboradores (presentado en la conferencia internacional 1CASTU) sugirieron fuertemente la formación de condensados hetero-triatómicos moleculares formados por compuestos del tipo K K Rb y K Rb Rb ([12]). Podemos ver en el siguiente grafico ([13]) el diagrama de energías de los. CA S. estados de Efimov para una mezcla de K y Rb usando resonancia Feshbach, donde a es la longitud de dispersión. Los estados de Efimov aparecen para dos casos: a) en el umbral átomo-dímero del sistema para longitudes de. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. dispersión positivos a+; b) en el umbral de tres átomos para longitudes de dispersión negativos a_. Dos clases diferentes de trímeros son posibles K K Rb y K Rb Rb, que se muestran por las líneas rojas y azules de la Fig.3. La. IO T. línea verde muestra la dispersión en el umbral de los estados de Efimov:. Fig. 3 Diagrama de energía esquemático de los estados de Efimov para una mezcla. BL. de dos especie de K y Rb, alrededor de una resonancia inter-especie de Feshbach donde. BI. la longitud de dispersión de K-Rb diverge (1 / a = 0). Los estados de Efimov aparecen: (i) en el umbral del dímero-átomo para las longitudes de dispersión positiva a *; (ii) en el umbral de tres átomos para longitudes de dispersión negativas a-. Dos tipos distintos de trímeros de Efimov son posibles, KKRb y KRbRb, mostrados respectivamente por líneas rojas y azules. La línea verde muestra el umbral de disociación de los estados de Efimov.. 1. Castu Cold Atom Conference, realizada en Octubre 2008 en Center for Advanced Study of Tsighua University, China. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA S. Capítulo 1 1.1 INTEGRABILIDAD. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Introduciremos un modelo que describe CBE formado por moléculas triatómicas (hetero-atómicas). Haremos una construcción algebraica e introduciremos la condición de Integrabilidad dada por la ecuación de YangBaxter (Y-B):. 𝑅12 (𝑢 − 𝑣)𝑅13 (𝑢)𝑅23 (𝑣) = 𝑅23 (𝑣)𝑅13 (𝑢)𝑅12 (𝑢 − 𝑣). y a partir del Método de Dispersión Inversa Cuántica el cual nos permite encontrar el espectro de un modelo a través de la solución de un sistema de ecuaciones trascendentales llamadas Ecuaciones de Ansatz de Bethe (EAB), donde los valores y vectores propios son caracterizados por las raíces de estas ecuaciones, se puede decir también que es un método exacto para el cálculo de dichos valores y vectores propios de una selecta clase de modelos cuánticos de sistemas de muchos cuerpos.. IO T. La matriz R introducida, desempeña un papel semejante a las constantes de. BL. estructura en las algebras de Lie ([14]).. BI. En 1931 Hans Bethe presento un método para obtener valores y vectores propios exactos del modelo de Heisenberg 1-D de spin 1⁄2 , siendo este un arreglo lineal de electrones con interacción uniforme entre los primero vecinos. Aunque los valores propios y los vectores propios de un sistema finito pueden obtenerse con menos esfuerzo de una diagonalización numérica de fuerza bruta, el Ansatz de Bethe ofrece dos importantes ventajas: a)todos los estados propios se caracterizan por un conjunto de números cuánticos que pueden utilizarse para distinguirlos de acuerdo con 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. propiedades físicas específicas, b)en muchos casos los valores propios y las propiedades físicas derivadas de ellos, pueden evaluarse en el límite termodinámico, ([15]).. CA S. 1.2 MÉTODO DE DISPERSIÓN INVERSA CUÁNTICA (MDIC). Este método fue desarrollado con el interés de investigar sistemas. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. integrables. Se trata de una poderosa herramienta algebraica que contiene la condición de Integralidad dada por la ecuación de Y-B.. La motivación esencial del método MDIC es la construcción de una familia de matrices conmutantes, conocidas como las matrices de transferencia 𝑡(𝑢). La teoría de los sistemas cuánticos exactamente solucionables, se sustenta en la existencia de un operador invertible 𝑅(𝑢) ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ⊗ 𝑉), donde End es Endomorfismo siendo una aplicación lineal donde el espacio vectorial inicial y final coinciden y V denota un espacio vectorial que satisface la ecuación de Y-B actuando sobre el producto tensorial: 𝑉⊗𝑉⊗𝑉. 𝑅12 (𝑢 − 𝑣)𝑅13 (𝑢)𝑅23 (𝑣) = 𝑅23 (𝑣)𝑅13 (𝑢)𝑅12 (𝑢 − 𝑣). (1.2.1). IO T. Donde Rij denota una matriz en el espacio 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ⊗ 𝑉 ⊗ 𝑉) actuando no trivialmente sobre el i-esimo y j-esimo espacio (i, j =1, 2, 3) y como identidad. BI. BL. en el espacio que no corresponde a los índices i, j.. 𝑅13 = ∑ 𝑎𝑖 ⊗ 𝐼 ⊗ 𝑏𝑖 𝑖. 𝑅23 = ∑ 𝐼 ⊗ 𝑎𝑖 ⊗ 𝑏𝑖 𝑖. 𝑅12 = 𝑅 ⊗ 𝐼. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La matriz R solución de la ecuación (1.2.1) puede ser entendida como las constantes de estructura del algebra de Y-B, que es generada por la llamada matriz de monodromía T (u) cuyos elementos de matriz generan el algebra. R12 (u − v)T1 (u)T2 (v) = T2 (v)T1 (u)R12 (u − v) ,. CA S. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. donde u, v son llamados parámetros espectrales.. (1.2.2). La ecuación de Y-B es necesariamente asociativa y la interpretación de constantes de estructura de la matriz R queda más evidente cuando está escrita en componentes: j1. j2. j1. j2. k1,k2 ∑ Rk1,k2 j1,j2 (u − v)Ti1 (u)Ti2 (v) = ∑ Ti1 (u)Ti2 (v)R j1,j2 (u − v) j1,j2. (1.2.3). J1,J2. Si analizamos el caso de la matriz R invariante relativa al algebra su (2), en su forma matricial tenemos:. 1 0 0 0 0 b(u) c(u) 0 1 (u. I ⊗ I + ηP) = ( R(u) = ), u+η 0 c(u) b(u) 0 0 0 0 1. IO T. η donde b(u) = u⁄u + η y c(u) = ⁄u + η siendo u parámetro espectral, y η un parámetro arbitrario y como último elemento P el operador de permutación. BL. que satisface P(x ⊗ y) = y ⊗ x. ∀ x, y ∈ V. Para este caso el álgebra de Y-. BI. B posee cuatro elementos que podemos denotar por, A(u) B(u) T(u) = ( ) C(u) D(u). (1.2.4). Siguiendo con el proceso, debemos considerar la existencia de una representación, que denotaremos por π (del algebra de Y-B) y por conveniencia definimos el operador de Lax L, como. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. L(u) = π(T(u)). (1.2.5). Por otro lado, la matriz de transferencia queda definida como t(u) = tr π(T(u)) = π(A(u) + D(u)). (1.2.6). La matriz de transferencia t(u) es definida como la traza o suma de los. CA S. elementos diagonales de la matriz de monodromía, la cual conmuta con el Hamiltoniano:. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. [H, t(u)] = 0. De la ecuación (1.2.1) se desarrolla la conmutación de la matriz de transferencia para diferentes valores del parámetro espectral:. [t(u), t(v)] = 0. ∀ u, v. (1.2.7). Existen dos consecuencias fundamentales que derivan de la ecuación (1.2.7). La primera es que t(u) puede ser diagonalizada independiente de u, es decir los valores propios de t(u) no dependen del parámetro espectral u, siendo esta la característica que hace que el enfoque del AB sea viable. La segunda consecuencia es que, si expandimos t(u) en una serie de potencias,. t(u) = ∑k ck uk ,. IO T. los coeficientes (operadores) ci , satisfacen las siguientes relaciones de [ck , cj ] = 0. ∀ k, j.. (1.2.8). BI. BL. conmutación. Por lo tanto, para cualquier Hamiltoniano que podamos escribir como una función a penas de los operadores ck , entonces cada uno de ellos (ck ) corresponderá a un operador que representara una constante de movimiento, ya que necesariamente conmutan con el Hamiltoniano. Decimos que el modelo es integrable cuando el número de cantidades conservadas es igual al número de grados de libertad del sistema.. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Una ley importante del álgebra de Yang-Baxter es la ley de adición, llamada también de co-multiplicación o co-producto ∆, que mapea el álgebra 𝕍 en el producto tensorial 𝕍 ⊗ 𝕍 y que preserva las relaciones algebraicas de 𝕍, su definición es:. j. ∶. Ti (u) →. 𝕍→𝕍⊗𝕍 j. ∑ Tik (u) ⊗ Tk (u) k. CA S. ∆. La importancia del co-producto ∆ es que permite la construcción de. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. representaciones del producto tensorial. Particularmente, dados dos operadores de Lax LU , LW actuando sobre 𝕍 ⊗ U y 𝕍 ⊗ W respectivamente, entonces tenemos que. L = LU LW , es también un operador de Lax. Se puede observar esto de la relación siguiente:. U W R12 (u − v)L1 (u)L2 (v) = R12 (u − v)LU1 (u)LW 1 (u)L2 (v)L2 (v) W = R12 (u − v)LU1 (u)LU2 (v)LW 1 (u)L2 (v). utilizando (1.2.2). W = LU2 (v)LU1 (u)R12 (u − v)LW 1 (u)L2 (v). BI. BL. IO T. W = LU2 (v)LU1 (u) LW 2 (v)L1 (u)R12 (u − v) W = LU2 (v)LU1 (u) LW 2 (v)L1 (u)R12 (u − v). U W = LU2 LW 2 L1 (u)L1 (u)R12 (u − v). = L2 (v)L1 (u)R12 (u − v) se comprueba que:. R12 (u − v)L1 (u)L2 (v) = L2 (v)L1 (u)R12 (u − v). Es importante observar que, si L(u) es un operador de Lax entonces L(u + α) también lo es para cualquierα, una vez que la matriz R solo depende de la diferencia entre los parámetros espectrales. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 MDIC o Ansatz de Bethe Algebraico. CA S. Una vez que tengamos una realización del algebra de Y-B podemos encontrar para el modelo especifico su solución. El procedimiento general del. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. MDIC o también llamado Ansatz de Bethe algebraico, nos permitirá encontrar los valores propios de la matriz de transferencia, esta matriz hace que podamos escribir el Hamiltoniano en términos de la matriz R y también que el modelo sea Integrable, ya que la matriz es una solución de la ecuación de Y-B.. Para una dada realización del algebra, la solución al problema de encontrar los valores de la matriz de transferencia (1.2.6), por medio del MDIC, se da a partir de la utilización de relaciones de conmutación obtenidas del algebra de Y-B.. Las relaciones de conmutación obtenidas (usando las ecuaciones (1.2.1) –. IO T. (1.2.6)) son:. (1.3.1). [𝐵(𝑢), 𝐵(𝑣)] = [𝐶 (𝑢), 𝐶 (𝑣)] = 0. (1.3.2). BI. BL. [𝐴(𝑢), 𝐴(𝑣)] = [𝐷(𝑢), 𝐷 (𝑣)] = 0. 𝑢−𝑣+𝜂 𝜂 𝐶 (𝑣)𝐴(𝑢) − 𝐶 (𝑢)𝐴(𝑣) 𝑢−𝑣 𝑢−𝑣 𝑢−𝑣−𝜂 𝜂 𝐷 (𝑢)𝐶 (𝑣) = 𝐶 (𝑣)𝐷(𝑢) + 𝐶 (𝑢)𝐷(𝑣) 𝑢−𝑣 𝑢−𝑣 𝐴(𝑢)𝐶 (𝑣) =. (1.3.3) (1.3.4). Para poder seguir con el proceso dentro del MDIC, un punto importante es encontrar un estado apropiado para el modelo a ser estudiado, tal estado es llamado de pseudovacío, siendo este el vacío de Fock: |0,0⟩ = |0 >⊗ |0 >, 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. o alguna combinación diferente ([16]). Luego de elegir el pseudovacío, los elementos de la matriz actúan de la siguiente forma: (1.3.5). 𝐵(𝑢)|0 > = 0. (1.3.6). 𝐶 (𝑢)|0 >≠ 0. (1.3.7). 𝐷 (𝑢)|0 >= 𝑑 (𝑢)|𝜑 >. (1.3.8). CA S. 𝐴(𝑢)|0 >= 𝑎(𝑢)|𝜑 >. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. La idea de pseudovacío es pensar que existe un estado a partir del cual todos los otros estados pueden ser creados.. De (1.3.5 y 1.3.8) 𝑎(𝑢) 𝑦 𝑑(𝑢) son funciones escalares, que pueden ser determinadas a través de la acción de 𝐴(𝑢 ) 𝑦 𝐷(𝑢) sobre el pseudovacío |0 >. La elección del pseudovacío nos permite escoger el estado de Bethe: 𝑀. |𝑣⃗ >≡ |𝑣1 , … , 𝑣𝑀 > ∏ 𝐶 (𝑣𝑖 ) |𝜑 >. (1.3.9). 𝑖=1. Usando (1.3.3) y (1.3.4) y la acción de los operadores sobre el pseudovacío (1.3.5) y (1.3.8) podemos determinar la acción de 𝑡(𝑢) sobre |𝑣⃗ > : (1.3.10). = ⋀(𝑢, 𝑣⃗) |𝑣⃗ >. (1.3.11). IO T. 𝑡(𝑢) |𝑣⃗ > = (𝐴(𝑢) + 𝐷(𝑢)) |𝑣⃗ >. BI. BL. donde:. 𝑀. 𝑀. 𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂 𝑢 − 𝑣𝑖 − 𝜂 ⋀(𝑢, 𝑣⃗) = 𝑎(𝑢) ∏ + 𝑑 (𝑢) ∏ 𝑢 − 𝑣𝑖 𝑢 − 𝑣𝑖 𝑖=1. (1.3.12). 𝑖=1. El enfoque de Ansatz de Bethe Algebraico [17] es usar las relaciones de conmutación para determinar la acción de 𝑡(𝑢) sobre |𝑣⃗ >. De (1.3.11) se puede ver que |𝑣⃗ > se torna un vector propio de la matriz de transferencia con valor propio (1.3.12), desde que 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 para todo 𝑖, 𝑗 .. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Realizaciones del Algebra 1.4.1 Realización de los Operadores Bosónicos Existe una realización en términos de los operadores bosónicos 𝑎, 𝑎+ estos. CA S. operadores satisfacen las relaciones de conmutación siguientes: [𝑎, 𝑎+ ] = 𝐼 [𝑎, 𝑎] = [𝑎+ , 𝑎+ ] = 0. (1.4.1). EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. El operador de Lax es:. (1 + 𝜂 𝑢)𝐼 + 𝜂2 𝑁 𝐿𝑎 (𝑢) = ( 𝜂𝑎+. 𝜂𝑎 ) 𝐼. (1.4.2). Siendo N el operador número, es decir, 𝑁 = 𝑎+ 𝑎.. 1.4.2 Realizaciones en términos de los generadores del Algebra de Lie su (2). El operador de Lax puede ser construido, en algunos casos, como elementos. IO T. de la matriz de la siguiente forma:. 𝟏 𝒖𝑰 + 𝜼𝑺𝒛 ( 𝜼𝑺+ 𝒖. 𝜼𝑺− ), 𝒖𝑰 − 𝜼𝑺𝒛. (𝟏. 𝟒. 𝟑). BI. BL. 𝑳𝑺 (𝒖) =. con los generadores del algebra, [𝑺𝒁 , 𝑺± ] = ±𝑺± ,. [𝑺+ , 𝑺− ] = 𝟐𝑺𝒁. (1.4.4). 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4.3 Realizaciones en términos de los generadores del Algebra de Lie su (1,1) Para esta algebra denotamos los generadores por 𝐾 𝑧 𝑦 𝐾 ± , con el operador de Lax 𝐿𝑘 (𝑢) de la siguiente forma: 1 𝑢𝐼 + 𝜂𝐾 𝑧 ( 𝑢 −𝜂𝐾 +. 𝜂𝐾 − ) 𝑢𝐼 − 𝜂𝐾 𝑧. (1.4.5). EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 𝐿 𝑢) =. CA S. 𝑘(. Y las relaciones de conmutación para su(1,1) siguiente: [𝑲𝒛 , 𝑲± ] = ±𝑲±. [𝑲+ , 𝑲− ] = −𝟐𝑲𝒛. (𝟏. 𝟒. 𝟔). Es interesante observar que entre las algebras su(2) y su(1,1) existe un homeomorfismo del Algebra de Lie:. Υ: 𝑠𝑢(2) ⟶ 𝑠𝑢(1,1),. Y teniendo en cuenta las siguientes elecciones en los operadores. Υ (𝑆 𝑧 ) = 𝐾 𝑧 ,. Υ(𝑆 + ) = −𝐾 + 𝑦 Υ(𝑆 − ) = 𝐾 − ,. IO T. Para diferenciar entre los dos operadores S y K, la transformación Υ tiene que ser no-unitaria.. BL. En el siguiente capítulo usaremos una de las realizaciones que vimos. BI. recientemente para analizar un modelo específico.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 2. 2.1 MODELO TRIATOMICO DE CONDENSADOS DE BOSEEINSTEIN. CA S. Introduciremos un modelo de CBE que describe la inter-conversión de átomos-moléculas, llamado modelo tri-atómico molecular AABC. Es decir dos. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. átomos de una especie (AA), otro átomo de otra especie (B) que combinados producen una molécula (C).. Veremos también la construcción algebraica de este caso y las realizaciones de la matriz de transferencia (1.2.5), las cuales deben de satisfacer la ecuación de Y-B e a partir del MDIC obtendremos las ecuaciones del AB. El Hamiltoniano que describe nuestro sistema es el siguiente:. 𝐻 = 𝑈𝑎𝑎 𝑁𝑎2 + 𝑈𝑏𝑏 𝑁𝑏2 + 𝑈𝑐𝑐 𝑁𝑐2 + 𝑈𝑎𝑏 𝑁𝑎 𝑁𝑏 + 𝑈𝑎𝑐 𝑁𝑎 𝑁𝑐 + 𝑈𝑏𝑐 𝑁𝑏 𝑁𝑐 + 𝜇𝑎 𝑁𝑎 + 𝜇𝑏 𝑁𝑏 + 𝜇𝑐 𝑁𝑐. + Ω(𝑎+ 𝑎+ 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑏𝑎𝑎). (2.1.1). Este Hamiltoniano describe una molécula heterogénea tri-atómica llamada. IO T. de 𝑐, con dos tipos de atomos diferentes del tipo 𝑎 y otra del tipo 𝑏. Aquí {𝑁𝑎 , 𝑁𝑏 , 𝑁𝑐 } denotan el operador número (asociada a las diferentes especies. BL. actuando en el espacio de Fock). El Hamiltoniano (2.1.1) tiene dos. BI. cantidades conservadas que son independientes: 𝐼 = 𝑁𝑎 + 2𝑁𝑐 ,. 𝐽 = 𝑁𝑎 − 2𝑁𝑐. (2.1.2). El Hamiltoniano (2.1.1) conmuta con 𝐽, siendo la diferencia (imbalance) entre el número de átomos del tipo 𝑎 𝑦 𝑏, o diferencia entre los modos atómicos. Tenemos también a 𝑁 = 𝑁𝑎 + 𝑁𝑏 + 3𝑁𝑐 el número total de partículas, donde 𝑁𝑎 = 𝑎+ 𝑎, 𝑁𝑏 = 𝑏 + 𝑏, 𝑁𝑐 = 𝑐 + 𝑐 y es posible re escribirlo usando las cantidades independientes: 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 𝑁=. 3𝐼 − 𝐽 2. Por lo tanto 𝑁 también es conservada. La densidad de átomos 𝑁𝑎 𝑦 𝑁𝑏 debe ejercer algún tipo de influencia en la generación de un estado ligado obtenido a partir de 2 átomos de una especie y 1 de otra especie. Los parámetros 𝑈 describen la dispersión de la onda-S, los parámetros 𝜇 son. CA S. llamados los potenciales externos y Ω es la amplitud para la interconversión entre los átomos y moléculas.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Por conveniencia redefinimos las constantes de acoplamiento 𝑈 en la ecuación (2.1.1). 𝑈𝑎𝑎 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾,. 𝑈𝑎𝑏 = −4𝛽 − 2𝛾,. 𝑈𝑏𝑏 = 4𝛽,. 𝑈𝑎𝑐 = 4𝛼 + 2𝛾,. 𝑈𝑐𝑐 = 4𝛼. 𝑈𝑏𝑐 = −4𝛾. Luego el Hamiltoniano (2.1.1) toma una forma más compacta: 𝐻 = 𝛼𝐼 2 + 𝛽𝐽2 + 𝛾𝐼𝐽 + 𝜇𝑎 𝑁𝑎 + 𝜇𝑏 𝑁𝑏 + 𝜇𝑐 𝑁𝑐 + Ω(𝑎+ 𝑎+ 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑏𝑎𝑎). (2.1.3). Como veremos más adelante la forma del Hamiltoniano puede ser obtenida. IO T. a partir de la matriz de transferencia, para establecer la Integrabilidad dentro. BI. BL. del MDIC.. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Análisis del modelo AABC La realización apropiada para la matriz de monodromía, para este caso, consiste en una combinación de operadores matriciales de Lax con elementos de las algebra 𝑠𝑢(2) 𝑦 𝑠𝑢(1,1) que se expresa de la siguiente. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. π(T(u)) = L(u) = u− GLS (u− )LK (u+ ),. CA S. forma (recordando (1.2.5)):. (2.1.4). donde 𝑢± = 𝑢 ± 𝑤, sendo 𝑤 un parámetro arbitrario y G = diag(+1, −1). La matriz de monodromía L(u) [18] puede ser escrita en términos de la siguiente forma matriz:. 1 u − ηS z LS (u) = ( u −ηS − u + ηK z L u) = ( −ηK + K(. −ηS + ), u + ηS z. (2.1.5). ηK − ), u − ηK z. (2.1.6). IO T. Utilizamos el álgebra de Lie 𝑠𝑢(2) cuyos generadores 𝑆 𝑧 𝑦 𝑆 ± obedecen las relaciones de conmutación (1.4.4), trabajaremos junto con el álgebra de Lie. BL. su(1,1) y utilizaremos los generadores 𝐾 𝑧 𝑦 𝐾 ± y que obedecen las relaciones de conmutación (1.4.6).. BI. Recordando los elementos de 𝑇(𝑢) podemos explicitar la forma que tienen para el modelo estudiado (1.3.5 – 1.3.8): 𝐴(𝑢) = (𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑧 )(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾 𝑧 ) + 𝜂2 𝑆 + 𝐾 + 𝐵(𝑢) = 𝜂𝐾 − (𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑧 ) − 𝜂𝑆 + (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾 𝑧 ) 𝐶 (𝑢) = 𝜂𝑆 − (𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾 𝑧 ) + 𝜂𝐾 + (𝑢 − 𝑤 + 𝜂𝑆 𝑧 ) 𝐷(𝑢) = (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾 𝑧 )(−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑧 ) + 𝜂2 𝑆 − 𝐾 −. 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Con el conjunto de ecuaciones de A(u) hasta D(u) arriba escrito podemos expresar con exactitud la matriz de monodromía: 𝑳(𝒖) = =(. (𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑍 )(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾 𝑍 ) + 𝜂 2 𝑆 + 𝐾 + 𝜂𝑆 − (𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾 𝑍 ) − 𝜂𝐾 + (−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑍 ). 𝜂𝐾 − (𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑍 ) − 𝜂𝑆 + (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾 𝑍 ) ) (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾 𝑍 )(−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆 𝑍 ) + 𝜂 2 𝑆 − 𝐾 −. CA S. (2.1.7). EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Que satisface la ecuación de Y-B: 𝑅12 (𝑢 − 𝑣)𝐿1 (𝑢)𝐿2 (𝑣) = 𝐿2 (𝑣)𝐿1 (𝑢)𝑅12 (𝑢 − 𝑣). (2.1.8). Usando los operadores de creación y aniquilación obtenemos una combinación junto con los operadores de las algebras, generándose las siguientes:. 𝑆 + = 𝑏 + 𝑐,. 𝐾+ =. (𝑎+ )2 , 2. 𝑆− = 𝑐+𝑏 ,. 𝐾− =. (𝑎)2 , 2. 𝑆𝑍 =. 𝑁𝑏 − 𝑁𝑐 2. 𝐾𝑍 =. 2𝑁𝑎 + 1 4. IO T. Veamos el procedimiento del MDIC para construir el Hamiltoniano (2.1.1).. Haciendo cálculos podemos obtener el Hamiltoniano (2.1.1) expresado a. BL. través de la matriz de transferencia (1.2.6) la cual conmuta (1.2.7) debido a. BI. la relación (1.2.1): 𝟏 𝑯 = 𝒕(𝒖) − 𝒖− 𝜼 + 𝜶𝑰𝟐 + 𝜹𝑱𝟐 + 𝜸𝑰𝑱 𝟐. (2.1.9). Donde 𝐼 𝑦 𝐽 están definidos (2.1.2) y. de las siguientes. identificaciones: 𝜇𝑎 = −𝑢− 𝜂,. 𝜇𝑐 = −𝜇𝑏 = 𝑢+ 𝜂, 𝛿=. 𝑈𝑏𝑏 , 4. 𝛾=−. Ω=. 𝜂2 2. ,. 𝛼=. 4𝑈𝑎𝑎 −𝑈𝑏𝑏 +𝑈𝑏𝑐 4. 𝑈𝑏𝑐 4. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Pero debido a la ecuación (2.1.9), teniendo en cuenta que el Hamiltoniano está ahora escrita en función de la matriz de transferencia siendo este un objetivo del proceso, podemos resolver el problema de valores propios de la matriz (1.2.6) puede diagonalizarse el Hamiltoniano (2.1.1). Por lo tanto,. 𝑀. (𝑣𝑖 − 𝑤 − 𝜂𝑠𝑧 )(𝑣𝑖 + 𝑤 + 𝜂𝑘) 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 − 𝜂 − =∏ , (𝑣𝑖 − 𝑤 + 𝜂𝑠𝑧 )(𝑣𝑖 + 𝑤 − 𝜂𝑘) 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 + 𝜂. 𝑖, 𝑗 = 1, . . , 𝑀. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 𝑖≠𝑗. CA S. podremos llegar a obtener las ecuaciones de Ansatz de Bethe:. (2.1.10). Y consecuentemente podemos obtener la energía 𝐸 del Hamiltoniano (2.1.1): 𝑀. 𝑀. 𝑖=1. 𝑖=1. 𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂 𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂 𝐸 = (𝑢 − 𝜂𝑠𝑧 )(𝑢 + 𝜂𝑘) ∏ − (𝑢− + 𝜂𝑠𝑧 )(𝑢+ − 𝜂𝑘) ∏ 𝑢 − 𝑣𝑖 𝑢 − 𝑣𝑖 −. +. 1 − 𝑢− 𝜂 + 𝛼𝐼 2 + 𝛽𝐽2 + 𝛾𝐼𝐽. 2. BI. BL. IO T. (2.1.11). 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 3. 3.1 Análisis Semi-Clásico. CA S. Con el objetivo de profundizar un poco más, haremos un estudio sobre la respuesta semi-clásica del Hamiltoniano (2.1.1), estudiando. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. puntos fijos y curvas de nivel.. Consideremos ahora 𝑁𝑗 , 𝜙𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 como siendo variables cuánticas que satisfacen las relaciones canónicas:. [𝜙𝑗 , 𝜙𝑘 ] = [𝑁𝑗 , 𝑁𝑘 ] = 0. (3.1.1). [𝑁𝑗 , 𝜙𝑘 ] = 𝑖𝛿𝑗𝑘 𝐼. (3.1.2). Hacemos un cambio de variable de los operadores j para una representación número-fase:. 𝑗 = 𝑒 𝑖𝜙𝑗 √𝑁𝑗. De tal forma que las relaciones de conmutación canónicas se mantienen preservadas, y luego del siguiente cambio de variables:. IO T. 𝑧=. (𝑁𝑎 +𝑁𝑏 −3𝑁𝑐 ). ,. 𝑁. 𝜙=. 𝑁(2𝜙𝑎 +𝜙𝑏 −𝜙𝑐 ) 6. (3.1.3. Tal que 𝑧 𝑦 𝜙 son variables canónicamente conjugadas, es decir. BL. [𝑧, 𝜙] = 𝑖𝐼.. Definimos z como la diferencia normalizada entre el número de átomos y el. BI. número de moléculas, 𝑧 ∈ [1, −1]. Con todo esto escribimos el siguiente Hamiltoniano, valido en el límite clásico, donde N es muy grande:. 4Ω𝑁 2 (𝜆𝑧 2 + 2(𝛼 − 𝜆)𝑧) + 𝛽 𝐻= 36 + (𝑧 + 𝑐+ √(1 − 𝑧)(𝑧 + 𝑐− ) cos(. 6𝜙 ) 𝑁. (3.1.4). 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Llevando en cuenta para tal Hamiltoniano las siguientes igualdades:. 𝜆 = Δ(4𝑈𝑎𝑎 + 𝑈𝑏𝑏 + 𝑈𝑐𝑐 + 2𝑈𝑎𝑏 − 2𝑈𝑎𝑐 − 𝑈𝑏𝑐 ) 𝛼 = Δ(4𝑈𝑎𝑎 (𝑐+ + 1) + 𝑈𝑏𝑏 (𝑐− + 1) + 𝑈𝑎𝑏 (𝑐+ + 𝑐− + 2) − 𝑈𝑎𝑐 (𝑐+ + 1) − 𝑈𝑏𝑐. (1 + 𝑐− ) 3 + (2𝜇𝑎 + 𝜇𝑏 − 𝜇𝑐 ) 2 𝑁. 6 (2𝜇𝑎 𝑐+ + 𝜇𝑏 𝑐− + 𝜇𝑐 )) 𝑁. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. +. CA S. 𝛽 = Δ(4𝑈𝑎𝑎 𝑐+2 + 𝑈𝑏𝑏 𝑐−2 + 𝑈𝑐𝑐 + 2𝑈𝑎𝑏 𝑐+ 𝑐− + 2𝑈𝑎𝑐 𝑐+ + 𝑈𝑏𝑐 𝑐− ). Teniendo que llevar también en consideración: Δ=. 1 4Ω. , 𝑐+ = 1 + 𝑘. ,. 𝑐− = 1 − 2𝑘. ,. 𝑘=. 𝐽 𝑁. 𝑘 ∈ [−2,1]. Siendo k la diferencia (imbalance) hetero-atómica normalizada, 𝑘 𝑦 𝑁 son conservados y pueden ser vistos como constantes.. 3.2. Ecuaciones de Movimiento y puntos fijos. Vamos a considerar a (3.1.4) como un Hamiltoniano Clásico, derivamos las. IO T. ecuaciones de movimiento a partir del mismo [14]: 𝒅𝒛 𝝏𝑯 −2 6𝜙 = = Ω𝑁(𝑐+ + 𝑧)√(𝑐− + 𝑧)(1 − 𝑧) sin ( ) 𝒅𝒕 𝝏𝝓 3 𝑁. BI. BL. 𝑎). 𝑏) −. 𝒅𝝓 𝒅𝒕. =. 𝝏𝑯 𝝏𝒛. =. 4Ω𝑁2 36. (2𝜆𝑧 + 2(𝛼 − 𝜆) +. 2((𝑐− +𝑧)(1−𝑧))+(𝑐+ +𝑧)(1−𝑧)−(𝑐+ +𝑧)(𝑐− +𝑧). 6𝜙. cos( )) 𝑁. 2 √(𝑐− +𝑧)(1−𝑧). (3.1.5) 𝜕𝐻. Usando la condición:. 𝜕𝜙. =. 𝜕𝐻 𝜕𝑧. =0. (3.1.6). Con la condición anterior determinamos los puntos fijos en el espacio de parámetros (𝜆, 𝛼). 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Vamos a restringir el análisis al intervalo 𝜙 ∈ [0, 𝑁𝜋⁄3) por motivos de periodicidad de las soluciones. Para facilitar la notación, en los cálculos vamos a definir las funciones 𝑓 (𝑧)𝑦 𝑔(𝑧): 𝑓(𝑧) = 𝜆𝑧 + 𝛼 − 𝜆 2((𝑐− +𝑧)(1−𝑧))+(𝑐+ +𝑧)(1−𝑧)−(𝑐+ +𝑧)(𝑐− +𝑧). (3.1.8). 4 √(𝑐− +𝑧)(1−𝑧). CA S. 𝑔(𝑧) = −. (3.1.7). El dominio de 𝑔(𝑧) depende de k, la diferencia hetero-atómica normalizada,. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. que tiene un papel importante en la construcción de 𝑔(𝑧). Por ejemplo: . Para 𝑘 ≤ 0, tenemos que 𝑔(𝑧) es divergente en 𝑧 = 1,. . Para 𝑘 > 0, tenemos que 𝑔(𝑧) es divergente en 𝑧 = 2𝑘 − 1 y 𝑧 = 1. Se observa que k afecta el dominio y la forma de la función 𝑔(𝑧) por lo tanto afecta también en las soluciones de (3.1.6).. En la siguiente figura (fig.4) vemos el comportamiento de la función 𝑔(𝑧)para. BI. BL. IO T. diferentes valores de 𝑘.. Fig.4 Es el comportamiento de 𝑔(𝑧) para valores diferentes valores de k.. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Diagrama de parámetros Usando la ecuación (3.1.6) podemos obtener un diagrama de parámetros que se divide en diferentes regiones, para cada valor que 𝑘. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. pueda tomar. Fig.5 Diagrama de parámetros identificando los diferentes tipos de soluciones para la ecuación (3.1.6) para valores de 𝑘 = −1; 0; 0.5.. a) Se observan 5 regiones diferentes para 𝑘 negativo b) cuatro regiones diferentes para 𝑘 = 0. c) tres regiones diferentes para el caso 𝑘 positivo. Así tenemos un escenario diferente para los distintos parámetros,. IO T. dependiendo si la diferencia hetero-atómica normalizada 𝑘 es negativa, cero o positiva.. -. Cuando 𝑘 es negativo, el diagrama de parámetros es dividido en 5. BI. BL. Podemos hacer un análisis del comportamiento de la siguiente forma:. regiones: en la región A no existe solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =0 y existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. . En la región B existen dos. soluciones para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =0 y una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. .. En la región C existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. y dos soluciones para 𝜙 cuando 𝑧 = −𝑘 − 1. En. la región D existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y dos soluciones. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. . En la región E existe una solución para. 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y ninguna solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. .. o Para el caso de 𝑘 = 0, la región C desaparece y el diagrama de parámetros se queda con cuatro regiones A,B,D,E analizadas anteriormente.. CA S. o Para 𝑘 positivo, el diagrama es dividido en 3 regiones: en la región I existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución Nπ. . En la región II, existen 3 soluciones para. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. 6. 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. . En la. región III, existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y tres soluciones para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =. Nπ 6. .. Las bifurcaciones de los puntos fijos separan el espacio de parámetros. BI. BL. IO T. acoplados en diferentes regiones, tres distintos escenarios se encontraron.. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CONCLUSIONES El estudio de un modelo integrable nos permitió describir la interconversión de átomos y moléculas dentro del modelo de Condensados de Bose-Einstein hetero-tri-atómico molecular.. CA S. Este proceso se desarrolló con la introducción de realizaciones del algebra de Lie y el método algebraico de Ansatz de Bethe. Donde. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. encontramos las ecuaciones del Ansatz y la energía del sistema.. Mediante un cambio de variables, pudimos construir el Hamiltoniano valido en el límite clásico lo cual nos permitió hacer un análisis de los puntos fijos, y donde el espacio de parámetros se dividió en diferentes regiones. BI. BL. IO T. dependiendo del k.. Bibliografía. 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. [1]Einstein, A. (1924). Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Physikalisch-Mathematische, 261-267. [2]Einstein, A. (1925). Quantentheorie de einatomigen idealen Gases Zweite Abhandlung. Physikalisch-Mathematische Klasse, 3-14. [3]Bose, S. N. (1924). Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese.. CA S. Zeitschrift for Physik, 178-181 [4]Gonzales, F. H. (2008). Condensados de Bose-Einstein. Obtenido de http://mural.uv.es/ferhue/1o/Condensados_Bose-Einstein_FHG.pdf. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. [5]B. Damski, L. S. (2003). Phys. Rev. Lett. 90, 110401 [6]D. Wang, J. Q. (2004). Phys. Rev. Lett. 93, 243005. [7]G. Thalhammer, G. B. (2008). Phys. Rev. Lett. 100, 210402 [8]J. Catani, L. S. (2008). Phys. Rev. A77, 011603(R). [9]J. Herbig, T. K.-C. (2003). Science 301, 1510. [10]G. Santos, A. F. (2008). J. Phys. A: Math. Theor. 41, 295003. [11J. von Stecher, J. P. (2009). Nature Physics 5, 417.. [12] Catani, J. (s.f.). Private communication related to work in collaboration with G. Barontini, F.Rabati, G. Talhammer, C. Weber, F. Mirandi and M. Inguscio.. .[13]G. Barontini, C. W. (2009). Observation of Heteronuclear atomic Efimov resonances, 043201.. IO T. [14] Melissa Duncan, (2006), https://arxiv.org/abs/quant-ph/0610244v1. [15]Muller, M. K. (1997). Introduction to the Bethe Ansatz I. Computer in. BL. Physics vol. 11, 36-42. BI. [16]A. Foerster, E. R. (2007). Exactly solvable models in atomic and molecular physics. Nuclear Physics B, 373-403. [17]Bethe, H., Theory of metals, Z. Phys., vol.71, pag. 205-226, 1931. [18]Jon Link, H.-Q. Z. (2003). Algebraic Bethe Ansatz method fot the exact calculation of energy spectra and form factors: applications to models of Bose-Einstein condensates and metallic nanograins. J. Physics A: Mathematical and General, R63-R104. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) BI. BL. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

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