2012
–
2013
Índice
Funciones de múltiples variables
1
Definición, dominio e imagen
1
Gráficos y curvas de nivel
4
Límites y continuidad
5
Límites de funciones de múltiples variables
5
Continuidad de funciones
8
Trabajo práctico
10
Ejemplos con Sage
12
Graficar funciones f
(
x
,
y
)
12
Funciones de múltiples variables
Definición, dominio e imagen
Comentarios preliminares
Muchas funciones dependen de más de una variable indepen-diente.
Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto es una funciónV=πr2hdel radio y la altura.
O sea, es una funciónV(r,h)de dos variableryh.
Extenderemos las ideas básicas que ya conocemos, de funciones de una variable, a funciones de múltiples variables.
¿Qué es una función de múltiples variales?
Definición1(función de múltiples variables). Supongamos que
Des un conjunto de n-tuplas de números reales(x1,x2, . . . ,xn).
Unafunción real f enDes una regla que le asigna un único nú-mero
w= f(x1,x2, . . . ,xn)
a cada elemento del conjuntoD.
wes lavariable dependiente, y losx1, . . . ,xn son las n variables
independientes.
x y
D O
(a,b) (x,y)
f
f(a,b)
f(x,y)
0
z
Figura1: representación de
una función f de dos variables, con su dominioDy su imagen.
Como siempre, para evaluar una función f reemplazamos por los valores de la variables independientes.
Por ejemplo, el valor de f(x,y,z) = px2+y2+z2en el punto
(3, 0, 4)es
f(3, 0, 4) =p32+02+42=√25=5
Dominio e imagen de f
Como siempre, el dominio Dno debe incluir puntos que produz-can resultados no reales o divisiones por cero . . .
Por ejemplo, si f(x,y) = py−x2,yno puede ser menor que x2. . .
O por ejemplo, si f(x,y) =1/xy,xyno puede ser cero. . .
Salvo que se especifique explícitamente, el dominioDse deberá asumir tan grande como sea posible.
Y la imagen será el conjunto de todos los posibles valores de f sobreD.
Ejemplo1. El dominio y la imagen de algunas funciones.
a) f de dos variables.
Función Dominio Imagen
z=py−x2 y≥x2 [0,∞)
z= xy1 xy6=0 (−∞, 0)∪(0,∞) z=sinxy todo el planoxy [−1, 1]
b) f de tres variables.
Función Dominio Imagen
w=px2+y2+z2 todo el espacioxyz [0,∞) w= x2+y12+z2 (x,y,z)6= (0, 0, 0) [0,∞)
Puntos interiores y puntos frontera
Definición2(punto interior). Un punto(x0,y0)en una región (un
conjunto)Rdel planoxyes unpunto interiordeRsi es centro de un disco que estécompletamentedentro de R.
Definición3(punto frontera). Un punto(x0,y0)en una región (un
conjunto)Rdel planoxyes unpunto fronteradeRsi cualquier disco del que sea centro contiene puntos dentro y fuera de R.
(x0,y0)
R
Figura2:(x0,y0)es un
pun-to interior de la región Rdel planoxy.
(x0,y0)
R
Figura3:(x0,y0)es un
pun-to frontera de la regiónRdel planoxy.
Regiones abiertas y regiones cerradas
Definición4.1. El conjunto de puntos interiores deRforman su
interior.
2. El conjunto de puntos frontera deRforman sufrontera.
3. Una regiónResabiertasi solo incluye los puntos interiores.
4. Una regiónRescerradasi también incluye los puntos frontera.
O y
x
Figura4:(x,y)|x2+y2<1
es un disco unidad abierto.
O y
x
Figura5:(x,y)|x2+y2≤1
es un disco unidad cerrado. Regiones limitada e ilimitadas
Definición5.1. Una regiónRdel planoxyeslimitadasi puede ser
contenida dentro de un disco de radio fijo.
2. Una regiónResilimitadasi no es limitada.
Ejemplos de regiones limidas:
segmentos de recta
triángulos
rectángulos
discos
elipses
etc.
Ejemplos de regiones ilimidas:
rectas
ejes coordenados
graficos de funciones definidas en(−∞,∞)
cuadrantes, semiplanos
etc.
Ejemplo2. Describir el dominioDde la función f(x,y) =py−x2.
1. f está definida solo dondey−x2≥0.
3. La parábolay=x2es la frontera deD.
4. Formalmente se escribe
D=n(x,y)|y−x2≥0o
−1 0 1 1
x y dondepuntos interioresy−x2>0
la parábola
y=x2
es la frontera afuera
y−x2<0
Figura6: el dominio de
f(x,y) =py−x2.
Gráficos y curvas de nivel
Curvas de nivel y gráfico de una función f(x,y)
Definición6(curva de nivel de f). El conjunto de puntos en el
plano, donde la función f(x,y)toma un valor constante f(x,y) =c, se llamacurva de nivelde f.
Definición7(gráfico de f).El conjunto detodoslos puntos x,y,f(x,y)
en el espacio, para(x,y)en el dominio de f, se llamagráficode f. Al gráfico de f también se le dicesuperficie z= f(x,y).
Ejemplo3. Graficar f(x,y) = 100−x2−y2y dibujar las curvas de
nivel f(x,y) =0, f(x,y) = 51 y f(x,y) = 75 en el dominio de f en el plano.
1. El dominio de f es todo el planoxy, y su imagen es(−∞, 100].
2. El gráfico de f es el paraboliodez=100−x2−y2.
x
y z
f(x,y) =75
100 la superficie
z=f(x,y) =100−x2−y2
es el gráfico de f
f(x,y) =51
f(x,y) =0 10 10
Figura7: el gráfico, y algunas
curvas de nivel, de la función z= f(x,y) =100−x2−y2.
3. La curva de nivel f(x,y) =0 es el conjunto de puntos, del plano
xy, que cuemplen
100−x2−y2=0
lo que es equivalente a
x2+y2=100
o sea un círculo de radior=10.
4. Similarmente, las curvas de nivel f(x,y) = 51 y f(x,y) =75 son
el círculo
100−x2−y2=51
o sea
x2+y2=49 (r=7)
y el círculo
100−x2−y2=75
o sea
Funciones de tres variables
Definición8. El conjunto de puntos(x,y,z)del espacio donde una
función de tres variables tiene un valor constante f(x,y,z) = cse llamasuperficie de nivelde f.
Gráficos de funciones de tres variables
Como los gráficos de funciones de tres variables consisten en puntos x,y,z,f(x,y,z)
de cuatro dimensiones, no pueden graficarse en nuestro espacio tridimensional.
Para ”ver como se comporta” la función debemos utilizar sus superficies de nivel.
Ejemplo4. Describir las superficies de nivel de f(x,y,z) =px2+y2+z2
1. El valor de f corresponde a la distancia del origen al punto (x,y,z).
2. Cada superficie de nivel f(x,y,z) =c, conc>0, es una esfera de
radioccon centro en el origen. . .
x
y z
p
x2+y2+z2=1
p
x2+y2+z2=2
p
x2+y2+z2=3
1 2 3
Figura8: las superficies de
ni-vel de la función f(x,y,z) = p
x2+y2+z2son esferas con-céntricas.
3. Es importante notar quenoestamos graficando la función;
esta-mos mirando lassuperficies de nivelen el dominio de f.
4. Las superficies de nivel nos dicen como cambia la función
cuan-do nos movemos en el cuan-dominio.
5. Si nos modemos sobre una esfera de radioc, centrada en el
ori-gen, la función tendrá un valor constante.
6. Si nos alejamos del origen f crece, si nos acercamos al origen f
decrece. . .
Repaso de ideas clave
1. El dominio de f(x,y)esuna región del plano xy.
2. Una región es abierta o cerrada según incluya o no sus puntos
frontera.
3. El gráfico de f(x,y)esuna superficie del espacio xyz.
4. Lascurvas de nivel f(x,y) = cse dibujan en el dominio de de la
función f.
Límites y continuidad
Límites de funciones de múltiples variables
Definición9. Se dice que una función f(x,y)tiende allímite La medida que(x,y)se acerca a(x0,y0), y se escribe
l´ım (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) =L
sí, para todo númeroe>0, existe un correspondiente númeroδ>0 tal que para cualquier(x,y)en el dominio de f
|f(x,y)−L|<e cuando 0< q
(x−x0)2+ (y−y0)2)<δ
Intepretación gráfica de la definición de límite
La diferencia entre el valor de f(x,y)y el númeroLpuede ser tan pequeña como queramos, si la distancia entre(x,y)y(x0,y0)
es muy pequeña (peronunca0).
y
x z
f
D δ
(x0,y0)
(x,y)
O O L−e L L+e
Figura9: en la definición de
límite,δes el radio de un dis-co centrado en(x0,y0). Para todos los puntos(x,y)dentro de ese disco, los valores de la función f(x,y)caen dentro del intervalo(L−e,L+e).
Algunos comentarios importantes
No puede considerarse el límite de puntos aislados en el domi-nio de f.
Si el límite existe, entonces es único.
Para una f de una variable, el l´ımx→x0 f(x)existe si y solo si existen, y son iguales, los límites por derecha y por izquierda. . .
Para una f de dos variables, el l´ım(x,y)→(x0,y0)f(x,y)existe si y solo si f(x,y)tiendeal mismonúmeroLsiempre que(x,y)se aproxima a(x0,y0),sin importar por qué camino.
(x,y)puede acercarse a(x0,y0)siguiendocualquiercurva que pertenezca a D.
No es necesario queL= f(x0,y0), incluso si f(x0,y0)está defini-do.
Teorema1(algunas propiedades del límite). Supongamos que L, M y
k son números reales, y que
l´ım (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) =L l´ım (x,y)→(x0,y0)
entonces
a) Suma o resta: l´ım (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)±g(x,y)
=L±M
b) Múltiplo: l´ım (x,y)→(x0,y0)
k f(x,y) =kL
c) Producto: l´ım (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)g(x,y) =LM
d) Cociente: l´ım (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
g(x,y) =L/M
Ejemplo5. Calcular los siguientes límites.
1. l´ım
(x,y)→(0,1)
x−xy+3 x2y+5xy−y3 =
0−0·1+3
02·1+5·0·1−13 =−3
2. l´ım
(x,y)→(3,−4) q
x2+y2=q32+ (−4)2=√25=5
Ejemplo6. Calcular
l´ım (x,y)→(0,0)
x2−xy √
x−√y
l´ım (x,y)→(0,0)
x2−xy √
x−√y =(x,yl´ım)→(0,0)
(x2−xy) √x+√y
√
x−√y √
x+√y
= l´ım (x,y)→(0,0)
x(x−y) √x+√y
x−y
= l´ım (x,y)→(0,0)x
√
x+√y
=0√0+√0=0
Ejemplo7. Calcular, si existe, l´ım (x,y)→(0,0)
4xy2 x2+y2.
1. ¿Qué pasa si nos acercamos a(0, 0)a lo largo de la rectax =0?
l´ım (x,y)→(0,0)
porx=0
4xy2
x2+y2 =yl´ım→00=0
2. ¿Y qué pasa si nos acercamos por la rectay=0?
l´ım (x,y)→(0,0)
pory=0
4xy2
x2+y2 =xl´ım→00=0
3. ¿Y qué pasa si nos acercamos por la rectay=x?
l´ım (x,y)→(0,0)
pory=x
4xy2
x2+y2 =yl´ım→0 4y3
2y2 =yl´ım→02y=0
4. Podemos seguir probando por otras rectas, por parábolas, por
5. Para demostrar quepor todos los caminos posiblesel límite vale0,
debemos utilizar la definición
f(x,y)−L =
4xy2 x2+y2−0
= 4|x|y
2
x2+y2≤4|x|=4 √
x2
utilizando la desigualdad x2y+2y2 ≤1. Entonces
f(x,y)−L ≤4
√
x2≤4qx2+y2<4δ
para cualquier punto dentro del disco con centro(0, 0), donde 0<px2+y2<δ. Si elegimos un númeroe=4δnos queda
f(x,y)−L <e
Entonces, por la definición, l´ım (x,y)→(0,0)
4xy2 x2+y2 =0.
Ejemplo8. Si f(x,y) = y
x, ¿existe el límite(x,yl´ım)→(0,0)f(x,y)?
1. El dominio de f no incluye la rectax = 0, así que no podemos
acercarnos por ella al punto(0, 0). . .
2. Si podemos acercarnos por la rectay=0
l´ım (x,y)→(0,0)
pory=0
y
x =xl´ım→00=0
3. También podemos acercarnos por la rectay=x
l´ım (x,y)→(0,0)
pory=x y
x =xl´ım→01=1
4. Como 16=0, resulta que el límite no existe.
Continuidad de funciones
Utilizando límites para definir la continuidad de f
Definición10(continuidad). Una función f(x,y)escontinua en el
punto(x0,y0)sí
1. f está definida en(x0,y0)(o sea, si se puede calcular allí)
2. l´ım
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)existe
3. l´ım
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) = f(x0,y0).
Se dice que una función escontinua(a secas) si es continua en cada punto de su dominio.
Ejemplo9. Mostrar que
f(x,y) = ( 2xy
x2+y2 sí(x,y)6= (0, 0) 0 sí(x,y) = (0, 0)
1. La función f es continua en cualquier punto(x,y) 6= (0, 0), ya
que allí está definida, puede calcularse el límite por substitución, y el valor y el límite coinciden.
2. En(x,y) = (0, 0)la función está definida, y toma el valor
f(0, 0) =0; pero resulta que l´ım (x,y)→(0,0)
2xy
x2+y2 no existe. . .
3. Si probamos acercarnos a(0, 0)por rectasy=mx, resulta
l´ım (x,y)→(0,0)
pory=mx 2xy
x2+y2 =xl´ım→0
2mx2
(1+m2)x2
= l´ım
x→0 2m
(1+m2)
= 2m (1+m2)
Entonces, según sea la pendientemde la recta, el resultado será un valor distinto. . . Esto indica justamente que el límite no existe.
Repaso de ideas clave
1. Si l´ım
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)existe, entonces debe ser único.
2. El punto límite(x0,y0)puede no pertencer al dominio de la
función f.
3. Una función f será continua en(x0,y0)solamente si se cumple
que
l´ım (x,y)→(x0,y0)
Trabajo práctico
1. Obtenga y grafique el dominio de cada función.
a) f(x,y) = 1
ln(4−x2−y2)
b) f(x,y) =p
y−x−2
c) f(x,y) = (x−1)(y+2) (y−x)(y−x3)
2. Para cada función, obtenga y bosqueje las curvas de nivel f(x,y) =c,
para cada valor decindicado.
a) f(x,y) =x+y+1 c=−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
b) f(x,y) =x2+y2 c=0, 1, 4, 9, 16, 25
c) f(x,y) =p25−x2−y2 c=0, 1, 2, 3, 4
3. Determine la ecuación para la superficie de nivel de la función
en el punto dado.
a) f(x,y,z) =√x−y−lnz (3,−1, 1)
b) f(x,y,z) =ln x2+y+z2
(−1, 2, 1)
c) g(x,y,z) =px2+y2+z2 1,−1,√2
4. Calcule los siguientes límites.
a) l´ım (x,y)→(0,0)
3x2−y2+5 x2+y2+2
b) l´ım (x,y)→(π/2,0)
cosy+1 y−sinx
c) l´ım (x,y,z)→(π,0,3)
ze−2ycos 2x
5. Calcule los siguientes límites, replanteando primero las
fraccio-nes.
a) l´ım (x,y)→(1,1)
x2−2xy+y2 x−y
b) l´ım (x,y)→(1,1)
x2−y2 x−y
c) l´ım (x,y)→(2,0)
p
2x−y−2
2x−y−4 con 2x−y6=4
6. ¿En cuales puntos(x,y,z)del espacioR3son continuas las
si-guientes funciones?
a) f(x,y,z) =x2+y2−2z2
b) f(x,y,z) = 1
z−p
x2y2
c) f(x,y,z) = 1
7. Considerando diferentes caminos de aproximación, demuestre
que las funciones siguientesnotienen límite cuando(x,y)→(0, 0).
a) f(x,y) =−p x
x2+y2
b) f(x,y) = x
4
x4+y2
Ejemplos con Sage
.
El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.Graficar funciones f
(
x
,
y
)
Gráfico de funciones y de sus curvas de nivel # las variables independientes son x e y
x,y = var("x,y")
# crear la función f(x,y) =100−x2−y2
f(x,y) = 100 -x**2 -y**2
print f
# hacer el gráfico de f(x,y)
g1 = plot3d(f,(-10,10),(-10,10),color="red") g1.show() # esto es en 3D
# hacer el gráfico de las curvas de # nivel c=0, 51, 75
g2 = contour_plot(f,(x,-10,10),(y,-10,10), contours=[0,51,75])
g2.show() # esto es en 2D
.
Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.Graficar una función continua f(x,y)
# las variables independientes son x e y
x,y = var("x,y")
# crear la función f(x,y) =sin(x2+y2)(x2+y2)−1
# que es continua en (0, 0)
f(x,y) = sin(x**2+y**2)/(x**2+y**2)
print f
# hacer el gráfico de f(x,y)
g1 = plot3d(f,(-3,3),(-3,3),color="green") g1.show() # esto es en 3D
# hacer el gráfico de algunas curvas de nivel
g2 = contour_plot(f,(x,-3,3),(y,-3,3)) g2.show() # esto es en 2D
Graficar una función discontinua f(x,y)
# las variables independientes son x e y
x,y = var("x,y")
# crear la función f(x,y) =yx−1 # que no es continua en (0, 0)
f(x,y) = y*x**(-1)
print f
# hacer el gráfico de f(x,y)
g1 = plot3d(f,(-1,1),(-1,1),color="green") g1.show() # esto es en 3D
# hacer el gráfico de algunas curvas de nivel
Graficar una función discontinua f(x,y)
# las variables independientes son x e y
x,y = var("x,y")
# crear la función f(x,y) =2xy(x2+y2)−1
# que no es continua en (0, 0)
f(x,y) = 2*x*y*(x**2+y**2)**(-1)
print f
# hacer el gráfico de f(x,y)
g1 = plot3d(f,(-1,1),(-1,1),color="green") g1.show() # esto es en 3D
# hacer el gráfico de algunas curvas de nivel
