Subdirección Académica.
Departamento de Sistemas y Computación.
Ing. En Tecnologías de la Información y Comunicaciones.
Álgebra Lineal.
Prof. María Eugenia Bermúdez.
“Investigación de la Unidad I”
Alumna: Ramírez Salcido Carmen Alicia.
#Control: 12211510.
ÍNDICE
Conceptos, fórmulas y aplicaciones:
Números complejos. --- 3
1.1 Definición y origen de los números complejos. --- 4
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos --- 5
1.3 Potencias de “ i ” , módulos de un número complejo --- 6
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo --- 7
1.5 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un número complejo ---- 8
1.1 Números complejos: Definición y origen.
El origen de los números complejos está en la imposibilidad de sacar raíces cuadradas a números negativos dentro del sistema de números hasta entonces conocido, el de los reales. Por lo que continuando con el mismo proceso histórico que ha llevado al hombre a inventar números, la invención de más números a partir de los reales es para darle solución a las raíces cuadradas negativas. En otras palabras, en el sistema de los números complejos ya se pueden obtener raíces cuadradas a números negativos.[1]
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.
Bien, más detallado y de manera formal lo podemos expresar como lo siguiente:
En el conjunto de los números reales, una ecuación tan sencilla como x2 + 1 = 0 no se puede resolver ya que es equivalente a x2 = -1 y no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Así, para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario construir un conjunto de números que contenga a los reales y en el que se puedan calcular las raíces cuadradas y, en general, de índice par de números negativos.
Un número complejo es un número de la forma a+bi, donde a y b son números reales, llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como i = -1.
El conjunto de números complejos es C = {a+bi ⎜ a, b ∈ R}.
Los números complejos con parte imaginaria no nula, es decir de la forma a+bi con b ≠ 0, se llaman números imaginarios y si además la parte real es nula, es decir son de la forma bi, se llaman números imaginarios puros. Si la parte imaginaria del número complejo a+bi es nula, entonces se tiene el número real a+0i = a, de donde se deduce que R ⊂ C. Se dice que dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir, a+bi = c+di si se verifica a = c y b = d.
Ejemplo:
a) √3-4i es un número complejo con parte real √3 y parte imaginaria -4.
b) El número real -2 se puede considerar como un número complejo con parte real -2 y parte imaginaria 0, ya que se puede escribir -2 = -2+0i.
c)2/7 i es un número complejo con parte real 0 y parte imaginaria 2/7, por tanto, es un número imaginario puro.
Dado un número complejo, a+bi, su conjugado es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria de signo contrario.
____
Se representa a+bi = a-bi.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos:
Suma: Dados dos números complejos se define su suma como otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Propiedades:
1. Asociativa: [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]
2. Elemento neutro: Es el número 0 = 0+0i, ya que se cumple (a+bi) + 0 = 0 + (a+bi) = a+bi
3. Elemento simétrico: Dado a+bi su elemento simétrico, llamado opuesto, es -(a+bi) = -a-bi, ya que se cumple (a+bi) + (-a-bi) = (-a-bi) + (a+bi) = 0
4. Conmutativa: (a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)
Con estas propiedades se puede decir que el conjunto de los números complejos con la operación suma es un grupo conmutativo. El hecho de que dado cualquier número complejo exista su elemento opuesto permite definir la resta en C de la forma: (a+bi) - (c+di) = (a+bi) + (-(c+di)) = (a+bi) + (-c-di)) = (a-c)+(b-d)i
Producto: Dados dos números complejos a+bi y c+di su producto es otro número complejo de la forma: (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Propiedades:
1. Asociativa: [(a+bi).(c+di)].(e+fi) = (a+bi).[(c+di).(e+fi)]
2. Elemento neutro: es el número 1 = 1+0i, ya que se cumple (a+bi).1 = 1.(a+bi) = a+bi
3. Elemento simétrico: Dado a+bi ≠ 0, su elemento simétrico, llamado inverso, es (a+bi)^-1 = a/a^2+b^2 – b/a^2+b^2 i, ya que se cumple
(a+bi)*(a/a^2+b^2 –b/a^2+b^2 i) = (a/a^2+b^2 – b/a^2+b^2 i)* (a+bi) = 1
4. Conmutativa: (a+bi)*(c+di) = (c+di)*(a+bi)
5. Distributiva respecto de la suma:
(a+bi)*[(c+di) + (e+fi)] = [(a+bi)*(c+di)] + [(a+bi)*(e+fi)]
División:
El hecho de que dado cualquier número complejo no nulo exista su elemento inverso permite definir
la división en C como:
(a+bi):(c+di) = (a+bi)*(c+di)^-1 = (a+bi)*(c/c^2+d^2 – d/c^2+d^2 i ) = (ac+bd/c^2+d^2 )+(bc-ad/c^2+d^2 i), si c+di ≠ 0
En la práctica, para calcular (a+bi):(c+di) =a+bi/c+di’, basta multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y realizar operaciones:
a+bi/c+di =(a+bi)*(c-di)/(c+di)*(c-di) =(ac+bd)+(-ad+bc) i/(c^2+d^ 2)+(-cd+dc) i = (ac+bd)+(-ad+bc) i / c^2+d^2 =(ac+bd / c2+d2 )+(bc-ad / c^2+d^2 i )
Este mismo proceso se puede utilizar para calcular el inverso de un número complejo no nulo, escribiéndolo de la forma (a+bi)^-1 = (1/ a+bi )y realizando la división.
1.3 Potencias de “ i ” , módulos de un número complejo:
El módulo o valor absoluto del número complejo a+bi es la distancia del origen de coordenadas al punto (a, b) que representa al número complejo a+bi. Se denota la+bil. Aplicando el Teorema de Pitágoras, se obtiene que la+bil = √a^2 + b^2.
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg (z).
Se calculan algunas potencias n € N0 de la unidad imaginaria i:
i^0=1 i^3=i*i^2=-i i^6=(i^2)^3=-1 i^1=i i^4=i^2*1^2=1 i^7=i*i^6=-i i^2=-1 i^5=i*i^4=i i^8=i^4*i^4=1
[2]
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo:
El producto de dos números complejos diferentes de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
Argumento de un número complejo:
Forma exponencial:
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación podrá expresarse de las siguientes maneras:
[3]
1.5 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un número complejo:
FÓRMULA DE MOIVRE
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x +isen x), entonces:
En donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.
1.6 Ecuaciones polinómicas: La forma general de la ecuación polinómica de grado n es: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0
Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces). En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí. Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser
números reales o complejos. (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución. Esto implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones de grado impar tienen al menos una solución real).
Ecuación de primer grado:
ax + b = 0
Una solución:
Ecuación de segundo grado:
ax2 + bx = 0
Dos soluciones:
y
Ecuaciones de tercer grado:
ax3 + bx2 + cx +d = 0
Ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Cuatro soluciones:
Bibliografía:
[1]- Álgebra/ Tema 11. “Números complejos”/L. Castro.
[2]- Unidad didáctica 4./ Números reales y números complejos/Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal.
[3]-Álgebra Lineal/Ing. Jazmín Morales Ramos/
http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/14-forma-polar-y-exponencial-de-un.html [4]- http://123algebralineal.blogspot.mx/2012/02/teorema-de-moivre-potencias-y.html