TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD

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(1)50 Teorías de la Medida. ISBN 84-7723-747-6 ISBN 978-84-7723-747-1. y de la Probabilidad. • Álgebra lineal y Geometría. 9 788477 237471. 50. Colección manuales uex - 57 (E.E.E.S.). Agustín García Nogales. 57.

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(3) TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD.

(4) MANUALES UEX. 57 (E.E.E.S.) Espacio Europeo Educación Superior.

(5) AGUSTÍN GARCÍA NOGALES. TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD. 2008.

(6) La publicación del presente manual forma parte de las “Acciones para el Desarrollo del Espacio Europeo de Educación Superior en la Universidad de Extremadura Curso 2007/08” en el marco de la VI Convocatoria de Acciones para la Adaptación de la UEX al Espacio Europeo de Educación Superior (Proyectos Pilotos: modalidad A1) del Vicerrectorado de Calidad y Formación Continua y financiada por la Junta de Extremadura, el Ministerio de Educación y Ciencia y la Universidad de Extremadura.. FSE. Fo n d o S o c i a l E u ro p e o. Edita Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones C./ Caldereros, 2 - Planta 2ª - 10071 Cáceres (España) Telf. 927 257 041 - Fax 927 257 046 publicac@unex.es www.unex.es/publicaciones. ISSN 1135-870-X ISBN 978-84-691-6411-2 Depósito Legal M-45.182-2008 Edición electrónica: Pedro Cid, S.A. Teléf.: 914 786 125.

(7) A María José y Carlos A mis padres.

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(9) Índice general. Prólogo.. 7. 1. Espacios Medibles. 11. Problemas del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Funciones Medibles. Variables Aleatorias Problemas del Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Espacios de Medida. Espacios de Probabilidad. 16. 19 25. 29. Problemas del Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. Problemas del Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Suma de Medidas. Medida Imagen. Distribuciones de Probabilidad Problemas del Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. Medidas Denidas por Densidades. Teorema de Cambio de Variables 3. 53. 57 62. 67. MANUALES UEX. 4. Integral. Esperanza. 40. 3.

(10) ÍNDICE GENERAL. ÍNDICE GENERAL. agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. Problemas del Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Medida Producto. Medidas de Transición. 75. Problemas del Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. Independencia. Convolución. 9. Función Característica. 94. 105. Problemas del Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. Muestras. 111. 115. Problemas del Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Teorema de Radon-Nikodym. 126. 135. Problemas del Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. Denición de Esperanza Condicional. 142. 143. Problemas del Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. Distribución Condicional y Distribución Conjunta de V.A.. 154. 157. Problemas del Capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. Desigualdad de Jensen. Problema General de Regresión. MANUALES UEX. 84. 87. Problemas del Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 72. 168. 171. Problemas del Capítulo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. APÉNDICES. 180. 183. Distribuciones discretas univariantes en Teoría de la Probabilidad y en Estadística. 4. . . . . . . . . . . .. 183.

(11) ÍNDICE GENERAL. agustín garcía nogales. ÍNDICE GENERAL. teorías de la medida y de la probabilidad. Distribuciones continuas univariantes en Teoría de la Probabilidad y en Estadística (I). . . . . . . . . .. 184. Teoría de la Probabilidad y en Estadística (II) . . . . . . . . .. 185. Distribuciones continuas univariantes en. Distribuciones multivariantes en Teoría de la Probabilidad y en Estadística. 186. 187. MANUALES UEX. ÍNDICE ALFABÉTICO. . . . . . . . . . . .. 5. 5.

(12) 6. 6.

(13) Prólogo. Este manual sobre las teorías de la Medida y de la Probabilidad ha sido elaborado a partir de los apuntes de clase de una asignatura homónima en estudios de Estadística en la Universidad de Extremadura y pretende, antes que convertirse en una obra exhaustiva y autosuciente sobre Medida y Probabilidad, ser de utilidad en clase. Su principal objetivo consiste en presentar la Teoría de la Probabilidad desde un punto de vista matemáticamente riguroso a partir del tronco común que comparte con la Teoría de la Medida, tal y como nos enseñó hace 75 años. vich Kolmogórov,. Andréi Nikoláye-. matemático ruso que consiguió convencernos de que medir áreas. o volúmenes y calcular probabilidades no son problemas tan distintos como pudieran parecer en principio. Permítasenos reproducir aquí parte del Prólogo de Nogales (1998): "... Las trayectorias paralelas que históricamente siguieron la Teoría de la Medida y el Cálculo de Probabilidades hasta que, en 1933, A.N. Kolmogorov jó una base axiomática común para ambas teorías, justica la doble terminología que, para (véase Doob, J.L. (1989), Kolmogorov's early work on convergence theory and foundations, Ann. of Prob., Vol. 17, No. 3, p. 815.), this inuential monograph se reere a Kolmogorov, A.N. (1933), Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer. transformed the character of the calculus of probabilities, moving it into mathematics from its previous state as a collection of calculations inspired by a vague nonmathematical context, a context thought to justify the use of a half-dened pseudomathematical concepts. El lector puede encontrar en Shiryaev, A.N. (1989),. 7. MANUALES UEX. objetos matemáticos idénticos, se usan en las mismas... En palabras de J.L. Doob. 7.

(14) ÍNDICE GENERAL. ÍNDICE GENERAL. agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. Kolmogorov-Life and creative activities, Ann. of Prob., Vol. 17, No. 3, p. 866 un estudio detallado del trabajo de Kolmogorov y que, en particular, recoge las dos citas siguientes:. Itô: Having read Kolmogorov's The Foundations of Probability Theory, I became convinced that probability theory could be developed in terms of measure theory as rigorously as other elds of mathematics. Kac: (describiendo su colaboración con H. Steinhaus) Our work began at a time when probability theory was slowly gaining acceptance as a respectable branch of pure mathematics. The turnabout came as a result of a book by the great Soviet mathematician A.N. Kolmogorov on foundations of probability theory, published in 1933.. No cabe duda de que es el trabajo de Kolmogorov en probabilidad el que ha conseguido modicar denitivamente la imagen que los matemáticos tenían del Cálculo de Probabilidades; las consecuencias de ese hecho son evidentes: un número creciente de matemáticos han ido sumando sus esfuerzos en la construcción del Cálculo de Probabilidades hasta el punto de que, hoy en día, es una de las ramas más interesantes, fértiles y elegantes de la matemática... Son muchas las obras sobre Medida y Probabilidad en las que se pueden encontrar los resultados que presentamos en este manual en versiones, a menudo, más generales y con todas sus demostraciones; permítasenos citar aquí, por ejemplo, las siguientes referencias, a las que este tratado debe tanto:. Ash (1972), Real Analysis and Probability, Academic Press (y su sucesor Ash, R.B., Doleans-Dade, C.A. (2000), Probability & Measure Theory, 2nd ed, Aca-. MANUALES UEX. demic Press). 8. Bauer, H. (1995), Probability Theory, de Gruyter Studies in Mathematics.. Billingsley, P. (1995), Probability and Measure, J. Wiley & Sons.. Cohn. D.L. (1980), Measure Theory, Birkhäuser Verlag.. 8.

(15) ÍNDICE GENERAL. ÍNDICE GENERAL. agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. Dacunha-Castelle, D., Duo, M. (1982), Probabilités et Statistiques, 1. Problémes à temps xe, Masson.. Nogales, A.G. (2004), Bioestadística Básica, @becedario.. Nogales, A.G. (1998), Estadística Matemática, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura.. Se asume un bagaje matemático básico de teoría de conjuntos, álgebra lineal, análisis matemático en una y varias variables y topología.. N⊂Z⊂Q⊂R⊂C. denotarán los conjuntos de los números naturales, enteros,. racionales, reales y complejos, respectivamente. Un conjunto se dice numerable si es nito o existe una aplicación biyectiva de. ¯ = [−∞, +∞] R. N. sobre él.. denotará la recta real ampliada, en la que asumiremos la arit-. mética usual: Dados. a ∈ R. y. b ∈ [−∞, +∞],. se dene. a + ∞ = ∞ + a = ∞,. a − ∞ = −∞ + a = −∞, ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞, b · ∞ = ∞ · b = ∞ = −∞. si. b < 0, 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0,. a ∞. =. a −∞. = 0.. No se denen. ∞−∞. ni. si. b > 0,. ∞ . ∞. Cada capítulo naliza con una colección de problemas. Algunos de ellos vienen precedidos del símbolo (↑); se pretende indicar con ello que, de algún modo, son continuación del problema anterior. Otros, que son interesantes complementos teóricos que pueden obviarse en una primera lectura del manual y que, a menudo, presentan un mayor grado de dicultad, van precedidos del símbolo (F).. MANUALES UEX. Badajoz, verano de 2008. 9. 9.

(16) 10. 10. ÍNDICE GENERAL.

(17) Cap´ıtulo. 1. Espacios Medibles En esta sección se denen las nociones de espacio medible y de medida. Presentamos también algunos de los resultados básicos que habrán de ser útiles en el resto de este capítulo. En lo que sigue. Ω. DEFINICIÓN 1.1. álgebra (resp., si. A. está en. será un conjunto no vacío.. Sea. σ -álgebra). A,. A. una familia de subconjuntos de. si contiene a. su complementario. (resp., numerables). Si. A. es una. Ac. Ω.. Diremos que. A. es un. Ω y es cerrado por complementación (es decir, también está en. σ -álgebra. un espacio medible, los subconjuntos de. A). de partes de. Ω,. y frente a uniones nitas el par. (Ω, A). se llamará. Ω que pertenecen a A se llamarán conjuntos. medibles (A-medibles) o sucesos.. Observación 1.1. Longitudes, áreas, volúmenes y probabilidades son ejemplos conµ asignará a ciertos subconjuntos A de Ω un número µ(A) que llamaremos medida de A. Por razones que veremos posteriormente, no siempre es apropiado llamar suceso a cualquier subconjunto de Ω; exigiremos en cualquier caso que la clase de subconjuntos de Ω que sean declarados medibles satisfaga ciertas propiedades: concretamente, exigiremos que sea una σ -álgebra. Consideraciones probabilísticas proporcionan una buena justicación de esa armación. Supongamos que Ω es el conjunto de resultados posibles de un cierto experimento aleatorio; a ciertos subconjuntos de Ω se les llamará sucesos y se les asignará una probabilidad. Intuitivamente, si A es un suceso, diremos que el suceso A ha ocurrido en una realización del experimento si el resultado 11. MANUALES UEX. cretos de medidas en el sentido amplio que estudiaremos en este capítulo. Una medida. 11.

(18) 12. CAPÍTULO 1.. agustín garcía nogales. ESPACIOS MEDIBLES. teorías de la medida y de la probabilidad. ω obtenido en esa realización está en A. Sea cual sea el resultado ω del experimento, Ω ocurre; por tanto, Ω debe ser un suceso; le llamaremos suceso seguro. Si pensar en la ocurrencia de A tiene perfecto sentido por ser A un suceso, también tiene perfecto c sentido pensar en la no ocurrencia de A, que equivale a la ocurrencia de A (comc plementario de A); es, por tanto, razonable exigir que A sea un suceso si A lo es. Si tiene sentido pensar en la ocurrencia de A ⊂ Ω y en la ocurrencia de B ⊂ Ω por ser A y B sucesos, también tiene sentido pensar en la ocurrencia de A ∪ B (si sabemos decidir cuándo ocurre A y cuándo ocurre B , también sabremos decidir cuando ocurre A o B ); exigiremos entonces que la unión nita de sucesos sea un suceso. Menos intuitiva es la exigencia de estabilidad frente a uniones numerables; la respuesta más convincente es que, de ese modo, se obtiene una teoría matemática más rica.. Observación 1.2.. Los orígenes y primeros pasos de las teorías de la medida y de. la probabilidad son diferentes. Fue Kolmogorov quien propuso por primera vez un punto de partida formal común para ambas teorías (que conservan aún sus propios objetivos). Debido a ello, subsiste una doble terminología para objetos matemáticos idénticos que comprobaremos en repetidas ocasiones a lo largo de este manual y que, de hecho, ya hemos comprobado: si en teoría de la medida llamamos conjuntos medibles a los elementos de una. Proposición 1.1.. (a) Si. A. σ -álgebra,. en probabilidad les llamamos sucesos.. es un álgebra (resp.,. σ -álgebra). de partes de. Ω, A. es. cerrada frente a la diferencia de conjuntos e intersecciones nitas (resp., numerables) y contiene además al conjunto vacío. (b) Si. A. es un álgebra de partes de. Ω,. será también una. σ -álgebra. si además es. cerrada frente a uniones numerables crecientes o frente a uniones numerables disjuntas.. Demostración. (b) Si. (An )n. Bn = ∪ni=1 Ai. MANUALES UEX. para cada. 12. (a) Trivial.. n.. y. es una sucesión en. Cn = An \ ∪n−1 i=1 Ai .. Si. A. A,. entonces. Siendo. A. A := ∪n An = ∪n Bn = ∪n Cn. un álgebra, se verica que. donde. Bn , Cn ∈ A,. se supone estable frente a uniones numerables crecientes (resp.,. frente a uniones numerables disjuntas) entonces. A = ∪n Bn ∈ A. (resp.,. A = ∪n Cn ∈. A). Antes de ver ejemplos de. σ -álgebras, probaremos una proposición que proporciona. un método (poco descriptivo, pero frecuentemente utilizado) para construirlas..

(19) agustín garcía nogales. Proposición 1.2. Ω. es una. pequeña. teorías de la medida y de la probabilidad. La intersección arbitraria de. σ -álgebra. Ω.. en. Así, si. C. σ -álgebras. 13. de partes de un conjunto. es una familia de partes de. Ω,. existe la más. σ -álgebra en Ω que contiene a C ; la llamaremos σ -álgebra engendrada por C. y la denotaremos. Demostración. primera, pues conjunto de. σ(C).. La primera armación es trivial. La segunda es consecuencia de la. σ(C). es la intersección de todas las. σ -álgebras. los subconjuntos de. σ -álgebras. que contienen a. σ -álgebra P(Ω). que es no vacío pues contiene a la. C,. de todos. Ω.. Ejemplo 1.1. (σ-álgebra discreta) El conjunto P(Ω) de todos los subconjuntos de Ω. σ -álgebra en Ω que llamaremos discreta. No obstante, llamaremos espacio medible discreto un conjunto numerable provisto de la σ -álgebra de todas sus es trivialmente una. partes. En lo que sigue, cualquier conjunto numerable se supondrá provisto de la. σ -álgebra. discreta, a menos que, expresamente, se indique lo contrario.. Ejemplo 1.2. (σ-álgebra trivial o grosera) {∅, Ω} es la más pequeña σ-álgebra que podemos considerar en. Ω.. Se llamará. σ -álgebra. grosera o. σ -álgebra. trivial.. Ejemplo 1.3. Si A es un subconjunto de Ω, la más pequeña σ-álgebra que contiene. A es {∅, A, Ac , Ω}. Si A1 , . . . , An es una partición nita de Ω (es decir, subconjuntos dos a dos disjuntos que recubren Ω), entonces la más pequeña σ -álgebra que contiene a los Ai está formada por el conjunto vacío y las uniones nitas de Ai 's. a. Ejemplo 1.4. (σ-álgebra de Borel) La σ-álgebra de Borel de Rn, Rn. que denotaremos. R si n = 1), se dene como la σ -álgebra engendrada por los n intervalos n-dimensionales de la forma {x ∈ R : xi < a} para algún a ∈ R y algún 1 ≤ i ≤ n. La σ -álgebra de Borel de Rn es también la σ -álgebra engendrada por cada n una de las siguientes familias de subconjuntos de R : la familia de los abiertos de Rn , la de los compactos, la de los intervalos n-dimensionales cerrados y acotados (ver n Problema 1.8). En lo que sigue, R se supondrá provisto de la σ -álgebra de Borel, a por. (o, simplemente,. menos que, expresamente, se indique lo contrario.. ¯ R. ¯ R que se dene como la σ -álgebra engendrada por los conjuntos de la forma [−∞, x], ¯ . Análogamente se dene la σ -álgebra R ¯ n . En lo que sigue, R ¯n ¯ n de Borel en R x∈R se supondrá provisto de la σ -álgebra de Borel, a menos que, expresamente, se indique denotará la recta real ampliada y. ¯ R. la. σ -álgebra. de Borel de. lo contrario.. Ejemplo 1.6. En general, la σ-álgebra de Borel en un espacio topológico es la engendrada por sus abiertos; los sucesos de esta o borelianos.. σ -álgebra se llaman conjuntos de Borel. MANUALES UEX. Ejemplo 1.5.. 13.

(20) 14. CAPÍTULO 1.. agustín garcía nogales. ESPACIOS MEDIBLES. teorías de la medida y de la probabilidad. Ejemplo 1.7. (σ-álgebra producto) Sean (Ωi, Ai), i = 1, 2, espacios medibles y haga-. Ω = Ω1 ×Ω2 . Un rectángulo medible en Ω es un conjunto de la forma A1 ×A2 con Ai ∈ Ai , i = 1, 2. La familia de los rectángulos medibles no es una σ -álgebra, salvo en casos triviales (ver Problema 1.6); la σ -álgebra engendrada por ellos se llamará σ -álgebra producto y se denotará A1 ×A2 . Análogamente se dene el producto de una cantidad nita de espacios medibles. Si (Ωi , Ai )i∈I es una familia de espacios medibles Q Q y Ω = i∈I Ωi , llamaremos σ -álgebra producto en Ω, y la denotaremos i∈I Ai , la σ -álgebra engendrada por los rectángulos medibles (def.: un rectángulo medible en Q Ω es un producto de la forma i∈I Ai , donde Ai ∈ Ai , ∀i y Ai = Ωi si i ∈ I \ I0 n para un cierto subconjunto nito I0 de I ). La σ -álgebra de Borel en R coincide con n el producto de n copias de la de Borel en R; la notación R utilizada para ella no mos. puede dar lugar a confusión.. Ejemplo 1.8. (σ-álgebra inducida en un subespacio) Si (Ω, A) es un espacio medible. Ω entonces AB := {A ∩ B : A ∈ A} es una σ B . Si B ∈ A los elementos de AB son A-medibles. De forma general, todo subconjunto B de una espacio medible (Ω, A) se supondrá provisto, a menos que se indique lo contrario, de la σ -álgebra AB (ver Problema 1.9).. y. B. es un subconjunto no vacío de. álgebra en. Ejemplo 1.9. (Sub-σ-álgebra) Si (Ω, A) es un espacio medible y B es una σ-álgebra Ω tal que B ⊂ A, diremos que B es una sub-σ -álgebra de A. Por ejemplo, {∅, [0, 1], [0, 1]c , R} es una sub-σ -álgebra de R, y ésta lo es de P(R) (ver Proble-. en. ma 10.26).. El teorema siguiente es un resultado de Dynkin que se utiliza para simplicar el trabajo de probar si una cierta familia de subconjuntos de. Ω. DEFINICIÓN 1.2.. Ω.. Sea. C. una familia de subconjuntos de. es una. (a) Diremos que. C. es un. (b) Diremos que. C. es un d-sistema (o una clase de Dynkin). π -sistema. σ -álgebra.(1 ). si es estable frente a la intersección nita. si. Ω ∈ C,. es estable. frente a la unión numerable creciente y frente a diferencias propias (esto último quiere. MANUALES UEX. decir que se verica la implicación. 14. Igual que ocurría con. [A, B ∈ C, A ⊂ B] =⇒ [B \ A ∈ C]).. σ -álgebras,. la intersección de una colección arbitraria de d-. sistemas es un d-sistema y la familia de todos los subconjuntos de. Ω es un d-sistema;. 1 Con ese mismo objetivo se suele usar en la literatura el llamado teorema de la clase monótona; véase, por ejemplo, Ash (1972). No obstante, suele ser más sencillo de manejar el resultado de Dynkin..

(21) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. por tanto, dada una familia que contienen a. C. C. de partes de. que contiene a. C;. C.. (Teorema de Dynkin) Si. C. π -sistema. es un. en. Ω. y. A. un d-sistema. C , entonces A contiene a la σ -álgebra engendrada por C . En particular,. el d-sistema engendrado por un el. la intersección de todos los d-sistemas. es un d-sistema y es el más pequeño d-sistema que contiene a. se llama d-sistema engendrado por. TEOREMA 1.1.. Ω,. 15. π -sistema. coincide con la. σ -álgebra. engendrada por. π -sistema.. Demostración.. Sea. D el d-sistema engendrado por C . Puesto que las σ -álgebras son d-. sistemas, se verica que. D ⊂ σ(C).. Para probar la otra inclusión, bastará probar que. D es una σ -álgebra. Comenzaremos probando que D es estable por intersección nita. Consideremos la familia. D1 := {A ∈ D : A ∩ C ∈ D. es estable por intersección nita,. C ⊂ D1 ;. además. para cada. D1. C ∈ C}.. Puesto que. es un d-sistema (Ω. ∈ D1. C. pues. C ⊂ D, y las igualdades (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C) y (∪n An ) ∩ C = ∪n (An ∩ C) D1. es cerrada frente a la formación de diferencias propias y frente a. uniones numerables crecientes). Entonces que. D ⊃ D1 ;. luego. Hagamos ahora. D1 = D , D2. D ⊂ D1 . Pero por denición de D1. D = D1 . D2 := {B ∈ D : A ∩ B ∈ D. se tiene que. C ⊂ D2 .. es un d-sistema y que. A∈D. entonces. por intersección nita, crecientes es una. D. para cada. A ∈ D}.. Puesto que. Argumentos análogos a los precedentes prueban que. D2 = D .. Por tanto,. D. De la denición de d-sistema se deduce que tario (si. se tiene. Ac = Ω \ A ∈ D);. es estable por intersección nita.. D. es estable por paso al complemen-. puesto que hemos visto que es estable. es un álgebra. Pero un álgebra estable frente a uniones. σ -álgebra.. MANUALES UEX. implican que. 15.

(22) 16. CAPÍTULO 1.. agustín garcía nogales. ESPACIOS MEDIBLES. teorías de la medida y de la probabilidad. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1 Problema 1.1.. Si. Problema 1.2.. a) Calcular. A. y. B. son sucesos disjuntos, determinar. n ∈ N, sea l´ım inf n An := ∪n ∩k≥n Ak . b) Para cada. A \ B , A4B. y. Ac ∩ B c ..     ∩n −n1 , n1 y ∩n n1 , 1 − n1 . An = − n1 , 1 . Determinar l´ım supn An := ∩n ∪k≥n Ak. c) Repetir el apartado anterior para.   An = − n1 , 1. si. n. es par,.   = −1, n1. si. n. y es. impar.. Problema 1.3.. Ω = {1, 2, 3, 4}. A = {(i, j) ∈ Ω : i + j ≤ 4}. Sea. Describir explícitamente los conjuntos. P(Ω). y. 2. Problema 1.4. Si (An )n es una sucesión de subconjuntos de Ω y A = ∪n An , entonces A = ∪n Bn , donde Bn = ∪nk=1 Ak , y B1 ⊂ B2 ⊂ . . . . Cn = An \ ∪n−1 k=1 Ak , y los Cn son dos a dos disjuntos.. Problema 1.5. y. A = ∪n An ,. Si. (An )n es P una sucesión IA = n IAn .. También. de subconjuntos de. Ω. A = ∪n Cn ,. donde. dos a dos disjuntos. entonces. Problema 1.6.. En cada una de las situaciones siguientes decidir si la familia. subconjuntos de. Ω. es una. 1. La familia. A. de los subconjuntos nitos de un conjunto. A. 2.. Ω=R. 3.. Ω = {1, 2, 3, 4}. y. 4. La familia. σ -álgebra,. un álgebra, un. π -sistema. A. de. o un d-sistema.. Ω.. es la familia de sus subconjuntos numerables.. A. y. A = {∅, Ω, {1, 2}, {3, 4}}.. de los intervalos abiertos de. Ω = R.. 5. La familia de los rectángulos medibles en un espacio medible producto.. Problema 1.7. subconjuntos. ¾Cuál es la más pequeña. A1 , . . . , A n. Problema 1.8.. a) La. de. σ -álgebra. en. Ω. que contiene a ciertos. Ω?. σ -álgebra. de Borel de. R. es también la. σ -álgebra. engendrada. por cada una de las siguientes familias de intervalos: la familia de los intervalos de. ] − ∞, x], x ∈ R; la de los intervalos de la forma ]x, ∞[, x ∈ R; la de los intervalos de la forma [x, ∞[, x ∈ R; la de los intervalos de la forma ] − ∞, r], r ∈ Q. n b) La σ -álgebra de Borel de R es también la σ -álgebra engendrada por cada una n n de las siguientes familias de subconjuntos de R : la familia de los abiertos de R , la de los compactos, la de los intervalos n-dimensionales cerrados y acotados, la de los n semiespacios de la forma {x ∈ R : xi < a} (1 ≤ i ≤ n, a ∈ Q). n c) Probar que la σ -álgebra de Borel en R coincide con el producto de n copias de la σ -álgebra de Borel en R.. MANUALES UEX. la forma. 16.

(23) agustín garcía nogales. Problema 1.9.. teorías de la medida y de la probabilidad. 17. (Ω, A) un espacio medible y B un subconjunto no vacío de Ω. Probar que AB := {A∩B : A ∈ A} es una σ -álgebra de partes de B y que AB ⊂ A, si B ∈ A. Probar que, si A = σ(C), entonces AB = σB (CB ), donde CB = {C ∩B : C ∈ C} y σB (CB ) es la más pequeña σ -álgebra de partes de B que contiene a CB (ver Ejemplo Sean. 1.8).. en. Ω.. Problema 1.11. A. o. A. c. Ω = {1, 2, 3}. y. a) Sea. Ω. A = {∅, Ω, {1, 2}, {3, 4}}.. Problema 1.12. d-sistema. σ -álgebra. C. es una. una. C = {A ∈ P(Ω) :. σ -álgebra.. engendrada por los conjuntos unitarios en. Probar que una familia y un. A es (Ω , A2 ).. Notar que 2. un conjunto innito no numerable y. es numerable}. Demostrar que. b) Describir la. si es un. Sean. Describir explícitamente el espacio medible producto. R.. A de partes de Ω es una σ -álgebra si y sólo. π -sistema.. MANUALES UEX. Problema 1.10. σ -álgebra. 17.

(24) 18. 18. CAPÍTULO 1.. ESPACIOS MEDIBLES.

(25) Cap´ıtulo. 2. Funciones Medibles. Variables Aleatorias La siguiente denición introduce los morsmos en la categoría de los espacios medibles: las funciones medibles (en lenguaje de teoría de la medida) o variables aleatorias (en lenguaje probabilístico).. DEFINICIÓN 2.1. X : Ω −→ Ω0. (Variable aleatoria) Sean. una aplicación. Diremos que. función medible (o una función. (Ω0 , A0 ) = (Rn , Rn ). n = 1,. si se desea más precisión) si. ∀A0 ∈ A0 .. diremos que. X. es una v.a.. Ω,. n-dimensional;. si. σ -álgebra. llamaremos también funciones Borel-medibles a las. n-dimensionales.. Observación 2.1. 0. espacios medibles y. es una v.a. real (v.a.r.) Cuando no hay duda de qué. estamos considerando en. v.a.. (Ω0 , A0 ). 0. (Ω , A ). Supondremos en lo que sigue que la notación 0 lleva implícito que X es (A, A )-medible.. Proposición 2.1.. (a) Si. C. A0 , para comprobar que X. es una familia de partes de. Ω0. que engendra la. es una v.a., es suciente probar que. ello prueba que una función real. X. en. (Ω, A). Ω : X(ω) ≤ x} ∈ A, ∀x ∈ R. 19. X : (Ω, A) →. σ -álgebra. X −1 (C) ∈ A, ∀C ∈ C ;. es Borel-medible si, y sólo si,. {ω ∈. MANUALES UEX. A. X. diremos que. ¯ n, R ¯ n )), (R. (o. y. es una variable aleatoria (v.a.), una. (A, A0 )-medible,. X −1 (A0 ) ∈ A, Si. X. (Ω, A). 19.

(26) 20 CAPÍTULO 2.. FUNCIONES MEDIBLES. VARIABLES ALEATORIAS. agustín garcía nogales (b) Sean. teorías de la medida y de la probabilidad. Ω un conjunto, (Ω0 , A0 ) un espacio medible y X : Ω −→ Ω0 una aplicación.. X −1 (A0 ) es una σ -álgebra en Ω que llamaremos σ -álgebra inducida por X , pues es la más pequeña. σ -álgebra. anterior, para que. Demostración.. X. en. sea. (a) Sea. Ω. que hace a. (A, A0 )-medible. A0 ⊂ B .. B. Pero. σ -álgebra.. es necesario y suciente que. A0 = σ(C). Puesto que. Ω = X −1 Ω0 ∈ A;. X −1 (A0 c ) = X −1 (A0 )c ∈ A; pues. medible. En las hipótesis de la denición. B := {A0 ∈ A0 : X −1 A0 ∈ A}.. trata de probar que es una. X. y si. (A0n )n. si. X −1 (A0 ) ⊂ A.. Por hipótesis. C ⊂ B.. Se. será suciente probar que. A0 ∈ B. es una sucesión en. entonces. B,. A0 c ∈ B. entonces. pues. ∪n A0n ∈ B. X −1 (∪n A0n ) = ∪n X −1 (A0n ) ∈ B .. (b) La conmutatividad de la imagen inversa con el paso al complementario y la unión numerable utilizadas en la parte (a) prueban ahora que álgebra que obviamente hace medible a. A. sub-σ -álgebra de la más pequeña. que haga. σ -álgebra. X. X;. X. es una. σ-. por denición de medibilidad, cualquier. medible debe contener a. que hace. X −1 (A0 ). X −1 (A0 ). que, por tanto, es. medible.. Ejemplo 2.1. Toda función constante X : (Ω, A) −→ (Ω0, A0) es (A, A0)-medible. Ejemplo 2.2. (Indicador de un conjunto) Si A ⊂ Ω, llamaremos indicador de A a la aplicación. ( =1 IA : ω ∈ Ω −→ IA (ω) = =0 Es evidente que. IA. es una v.a. si, y sólo si,. A ∈ A.. si si. ω∈A . ω 6∈ A. Diremos que. A. es el soporte de. IA .. Ejemplo 2.3. (Función simple) Una aplicación X : Ω −→ R se dice simple si toma un. x1 , . . . , xn ∈ R los valores que toma X y Ai = {X = xi } X −1 (xi ) = {ω ∈ Ω : X(ω) = P X = i xi IAi y que X es medible si, y sólo si, los Ai son medibles.. MANUALES UEX. número nito de valores. Sean. 20. ({X. = xi }. xi }),. es claro que. es una forma breve de denotar el conjunto. La siguiente proposición proporciona otros ejemplos de v.a.. Proposición 2.2.. (a) La composición de funciones medibles es medible.. (b) Las funciones crecientes de. R. en. R. son Borel-medibles.. (c) Las aplicaciones continuas entre espacios topológicos son medibles si aquellos se suponen provistos de sus correspondientes. σ -álgebras. de Borel..

(27) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. 21. (d) Las proyecciones en un espacio medible producto (nito o no) son v.a. La. σ -álgebra producto es la más pequeña que hace medibles las proyecciones. Se verica también que una aplicación a valores en un producto es medible si, y sólo si, se obtienen funciones medibles al componer con las proyecciones. En particular, una aplicación. Xi. X = (X1 , . . . , Xn ) a valores en Rn. es una v.a. si, y sólo si, las componentes. son v.a.r.. Demostración.. X : (Ω, A) → (Ω0 , A0 ). (a) En efecto, si. e. Y : (Ω0 , A0 ) → (Ω00 , A00 ),. A00 ∈ A00 , (Y ◦ X)−1 (A00 ) = X −1 (Y −1 (A00 )) ∈ X −1 (A0 ) ⊂ A.. entonces, para cada. (b) La Proposición 2.1 reduce el problema a probar que la contraimagen de un. ] − ∞, y]. es un boreliano, lo cual es trivial (es, de hecho, un. σ -álgebra. de Borel de un espacio topológico está generada por. intervalo de la forma intervalo). (c) Puesto que la. sus conjuntos abiertos, basta probar -de nuevo la Proposición 2.1- que la contraimagen de un abierto por una aplicación continua es un boreliano; pero esa contraimagen es, incluso, un abierto, por denición de continuidad. (d) Sean. I. un conjunto de índices y. medible producto. Xj−1 (Aj ). Q. i∈I. Ωi ,. Q. i∈I. Ai. . πj , j ∈ I ,. la proyección. j -ésima. del espacio. j -ésimo (Ωj , Aj ). Si Aj ∈ Aj , Q i∈I Ai , donde Ai = Ωi si i∈I Ai ∈. sobre el factor. coincide con el rectángulo medible. Q. i 6= j .. entonces, para cada. B es una σ -álgebra en i∈I. y cada. para cada subconjunto nito se verica que. I0. Q. Ai ∈ A i , de. ∩i∈I0 πi−1 (Ai ) ∈ B ,. I. i. Ωi que hace medibles a las proyecciones,. se verica que. πi−1 (Ai ) ∈ B. y, por tanto,. Ai ∈ Ai , i ∈ I0 , Q i Ai ⊂ B , pues i Ai está. y cada elección de sucesos. lo que prueba que. engendrada por los conjuntos de la forma. Q. ∩i∈I0 πi−1 (Ai ).. Finalmente, la composición de una función medible a valores en un espacio producto con una de las proyecciones es también una función medible, por el apartado (a); recíprocamente, si. (Ω, A). es una aplicación tal que. πi ◦X. y. (Ωi , Ai )i∈I. es. son espacios medibles y. X : Ω −→. Q. i. Ωi. (A, Ai )-medible, para cada i ∈ I , entonces, dado un. MANUALES UEX. Por otra parte, si. 21.

(28) 22 CAPÍTULO 2.. FUNCIONES MEDIBLES. VARIABLES ALEATORIAS. agustín garcía nogales rectángulo medible si. i ∈ I \ I0 ,. Q. i. teorías de la medida y de la probabilidad. Ai ∈. Q. i. Ai ,. existe. I0. subconjunto nito de. I. tal que. Ai = Ω i. y.  Q X −1 ( i Ai ) = X −1 ∩i∈I0 πi−1 (Ai ) = ∩i∈I0 (πi ◦ X)−1 (Ai ) ∈ A. Probamos a continuación algunas propiedades de estabilidad de la clase de las funciones medibles.. Proposición 2.3.. (a) Sea. tualmente a una función. (Xn )n. una sucesión de v.a.. ¯. X:Ω→R. Entonces. X. ¯ -valoradas R. convergente pun-. es también una v.a.. (b) El supremo y el ínmo de una sucesión de funciones. ¯ -valoradas R. Borel-. medibles son también Borel-medibles. (c) Si. X−. de. X. X. es una v.a.r., se denen la parte positiva. mediante:. de. X + = m´ax(X, 0). y. X − = m´ax(−X, 0).. X = X+ − X−. y. |X| = X + + X − .. v.a.r. y se verica que. Demostración.. X+. (a) Nótese que, dado. X. y la parte negativa. Tanto. X+. como. X−. son. x ∈ R,. ∞ {ω : X(ω) > x} = ∪∞ n=1 ∩k=n {ω : Xk (ω) > x + 1/n} ∈ A.. (b) Sea que. (Xn )n. una sucesión de funciones Borel-medibles; dado. {ω : supn Xn (ω) ≤ x} = ∩n {ω : Xn (ω) ≤ x} ∈ A. y. x∈R. se verica. {ω : ´ınf n Xn (ω) ≥ x} =. ∩n {ω : Xn (ω) ≥ x} ∈ A.. MANUALES UEX. (c) La primera armación es consecuencia de (b). La segunda es trivial.. 22. Un método a menudo útil a la hora de probar resultados sobre integración consiste en probar en primer lugar el resultado para indicadores para extenderlo después por linealidad a funciones simples medibles y, en n, por continuidad a v.a.r. Ese proceso de extensión es posible gracias al teorema siguiente, que utilizaremos también para completar las propiedades de estabilidad de la clase de funciones reales medibles..

(29) agustín garcía nogales. TEOREMA 2.1. sión creciente. (a) Sea. (Xn )n. puntualmente a. X : (Ω, A) −→ [0, +∞] una v.a. Existe entonces una suce-. de funciones reales simples medibles no negativas que converge. X.. ¯ una v.a. Existe entonces una sucesión (Xn )n de funciones X : (Ω, A) −→ R. (b) Sea. reales simples medibles. |Xn | ≤ |X|,. para cada. Demostración.. R-valoradas.   =. k−1 2n. (Xn (ω))n. k 2k−2 , entonces n+1 2n 2. n0 ,. si. k−1 2n. k = 1, 2, . . . , n2n .. X(ω) ≥ n. 2k y 2n+1. 2n+1. k−1 2n. Xn (ω) :=. Xn (ω) := n ≤ Xn+1 (ω). (2n+k)2n. Xn. k ∈ {1, 2, . . . , n2n }. pues. : k = 0, 1, . . . , 2n+1 − 1}. converge puntualmente a. si. X. tal que. ≤ X(ω) <. ≤ Xn+1 (ω) ∈ { 2k−2 , 2k−1 }. 2n+1 2n+1. Xn+1 (ω) = n + 1. n=. k−1 2n. 2n2n 2n+1. si. X(ω) ≥ n + 1. ≤ X(ω) < n + 1 =. pues, dado. ω ∈Ω. Si. tal que. o. 2(n+1)2n 2n+1. .. X(ω) < ∞,. n0 ∈ N tal que X(ω) < n si n > n0 . Por denición de Xn , se verica que, si n >. entonces. El caso. X(ω). dista de. X(ω) = ∞. (b) Sean. (Sn ). Xn (ω). menos que. Sn. 2−n. y, por tanto,. X(ω) = l´ımn Xn (ω).. es trivial.. e. (Sn0 ). sucesiones crecientes de funciones simples medibles no ne-. gativas puntualmente convergentes a pues. k , 2n. ≤ X(ω) <. es creciente. Si existe. ≤ X(ω) <. entonces. Xn+1 (ω) ∈ {. existe. si. Xn es una función simple medible no negativa. Veamos que, para cada ω ,. Es claro que. Por último,. y tales que. n ∈ N..  = n. la sucesión. X. que converge puntualmente a. (a) Se dene. Xn (ω) =. X(ω) ≥ n. 23. teorías de la medida y de la probabilidad. X+. y. X −,. resp. Basta tomar. Xn = Sn − Sn0 ,. es una función simple medible que converge puntualmente a. X. y tal que. TEOREMA 2.2. Borel-medibles. X1 , X2. son funciones Borel-medibles de. X1 + X2 , X1 − X2 , X1 · X2. denidas, es decir, de la forma. Si. ∞/∞. X1 + X2 o. a/0).. y. X1 /X2. no es nunca de la forma. Ω. en. ¯, R. también son. (suponiendo que están bien. +∞ − ∞. y. X1 /X2. no es nunca. MANUALES UEX. |Xn | ≤ Sn + Sn0 ≤ X + + X − = |X|.. 23.

(30) 24 CAPÍTULO 2.. FUNCIONES MEDIBLES. VARIABLES ALEATORIAS. agustín garcía nogales. Demostración.. Sean. sn , tn sucesiones de funciones simples medibles R-valoradas pun-. tualmente convergentes a. sn tn I{X1 6=0} I{X2 6=0}. teorías de la medida y de la probabilidad. X1 y X2 . Entonces sn +tn converge puntualmente a X1 +X2 ,. converge puntualmente a. tn + converge a. X1 /X2 .. X1 X2. sn 1 I n {tn =0}. Puesto que todas esas son sucesiones de funciones simples medi-. MANUALES UEX. bles, el resultado se sigue de la Proposición 2.3.. 24. y.

(31) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. 25. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 2 Problema 2.1.. Sean (Ωi , Ai ), i = 1, 2, espacios medibles, A1 ∈ A1 y X : A1 −→ Ω2 c c y X : A1 −→ Ω2 funciones medibles para las σ -álgebras que A1 induce en A1 y A1 . 0 c Entonces, la aplicación S : Ω1 −→ Ω2 que coincide con X en A1 y con X en A1 es. 0. medible.. 1. Problema 2.2. a) Sean X, Y : (Ω, A) −→ (R, R) dos A, {X 6= Y } ∈ A, {X < Y } ∈ A y {X > Y } ∈ A.. v.a.r. Probar que. {X = Y } ∈. n b) En cada uno de los apartados siguientes, decidir si el conjunto A ⊂ R es un P n 2 2 n 2 boreliano: b.1) A = {(x, y) ∈ R : y = x }. b.2) A = {x ∈ R : i=1 xi < 1}. b.3) 2 ∞ A = Z × Z ⊂ R . b.4) A = ∪k=1 ]k − 1/k, k + 1/k[⊂ R.. Problema 2.3.. Sean. Ω0. aplicación. Probar que la familia Ω0 que hace medible a X .. Problema 2.4. Probar que. (Ω, A) un espacio medible y X : Ω −→ Ω0 una {B ⊂ Ω0 : X −1 (B) ∈ A} es la mayor σ -álgebra en. un conjunto,. ¯ -valoradas y Borel-medibles. (Xn )n una sucesión de funciones R {ω ∈ Ω : l´ımn Xn (ω) existe y es nito} es un conjuntos medible. Sea. Problema 2.5.. Calcular. supn Xn ,. siendo. ( = 2n x Xn : x ∈ [0, 1] −→ Xn (x) = =1. si si. 0 ≤ x ≤ 2−n 2−n < x ≤ 1. Problema 2.6. conjuntos de. Ω. 0 Sean X : Ω −→ Ω una aplicación, (Ai )i∈I una familia de sub0 0 y (Ai )i∈I una familia de subconjuntos de Ω . Probar las siguientes. proposiciones: (a). X −1 (∪i A0i ) = ∪i X −1 (A0i ).. (b). X −1 (∩i A0i ) = ∩i X −1 (A0i ).. (c). X(∪i Ai ) = ∪i X(Ai ).. (d). X(∩i Ai ) ⊂ ∩i X(Ai ). A0 ⊂ Ω 0. entonces. X −1 (A0 c ) = X −1 (A0 )c .. Problema 2.7. Consideremos las aplicaciones X : (x, y) ∈ R2 −→ X(x, y) := x+y ∈ R Ω.. e. Y : (x, y) ∈ R2 −→ X(x, y) := x2 + y 2 ∈ R.. 1. A1. y. Ac1. constituyen una partición medible de. Ω,. Determinar. X −1 ([0, 1]). e. Y −1 (]0, 1]).. es decir, son sucesos disjuntos que recubren. El resultado se generaliza sin dicultad al caso de una partición medible numerable de. Ω. MANUALES UEX. (e) Si. La igualdad no siempre se da en este caso.. 25.

(32) 26 CAPÍTULO 2.. FUNCIONES MEDIBLES. VARIABLES ALEATORIAS. agustín garcía nogales. Problema 2.8. minar. l´ımn Xn IAn. Para cada. n ∈ N,. consideremos la aplicación. Xn = I[ 1 ,1− 1 ] . n n. Deter-. (si existe).. Problema 2.9. tonces. teorías de la medida y de la probabilidad. a) Probar que si. (An )n. es una sucesión creciente de conjuntos en-. es una sucesión creciente de funciones y. b) Probar que si. l´ımn An = I∪n An .. (An )n es una sucesión decreciente de conjuntos entonces l´ımn An =. I∩n An .. Problema 2.10. a) Sean Ω = {1, 2, 3, 4} y A la σ-álgebra engendrada por los conjun{1, 2}, {3} y {4}. Probar que, si X : Ω → R es A-medible, entonces X(1) = X(2). A1 , A2 . . . una partición numerable de un conjunto Ω y A la σ -álgebra engendrada por los An . Probar que A = {∪n∈I An : I ⊂ {1, 2, . . . }}. ¾Cómo son las funciones reales A-medibles? Ejemplo concreto: Sea Ω = [0, 3]. Describir explícitamente la σ -álgebra engendrada por los intervalos [0, 1], ]1, 2[ y [2, 3]. ¾Cómo son las funciones reales medibles para esa σ -álgebra? c) Un átomo en un espacio medible (Ω, A) es un suceso A ∈ A tal que, si B ∈ A y B ⊂ A, entonces B = ∅ o B = A (ver una denición de átomo relativo a una probabilidad en el Problema 12.11). Probar que, si A es un átomo de A y X : Ω → R es A-medible, entonces X es constante en A.. tos. b) Sea. Problema 2.11.. f : Ω → Ω una aplicación biyectiva. Demostrar que la clase S = {A ∈ P(Ω) : f (A) = A} de los subconjuntos de Ω invariantes por f es una σ -álgebra. Sea. Problema 2.12. (F). Sea. f : Ω → Ω0 ,. y sea. C. una clase de subconjuntos de. Ω0 .. Probar que:. σ(f −1 (C)) = f −1 (σ(C)) f −1 (C) = {f −1 (A) : A ∈ C}. Problema 2.13. (F) (R¯ n es Borel equivalente a R¯ ) Denición: Dos espacios medibles donde. se dicen Borel-equivalentes si existe una biyección bimedible entre ellos. 1. Si. (Ω, A) y (Ω0 , A0 ) son Borel-equivalentes y n ∈ N, entonces (Ωn , An ) y (Ω0 n , A0 n ). son Borel-equivalentes. 2. Dos espacios topológicos homeomorfos son Borel-equivalentes si se suponen pro-. MANUALES UEX. vistos de sus. 26. σ -álgebras. de Borel.. 3. La aplicación. ¯ 7→ f (x) = f :x∈R. es un homeomorsmo entre. ¯ R. y.    x 1    2 1+|x| + 0   1. [0, 1].. 1 2. si. x∈R. si. x = −∞ x = +∞. si.

(33) agustín garcía nogales 4. Si. n ∈ N, {0, 1}N. teorías de la medida y de la probabilidad es homeomorfo a. {0, 1}N. n. cuando. {0, 1}. 27. se supone pro-. visto de la topología discreta y los productos de la correspondiente topología producto. 5. Sea. A = ∪n≥1 {k2−n /1 ≤ k ≤ 2n − 1}.. admiten dos representaciones en base. Probar que los puntos de. 2. A,. y sólo ellos,. de la forma. 00 b1 b2 b3 . . . con. b = (bi ) ∈ {0, 1}N .. 6. Hagamos.  S = ∪n≥1 {b ∈ {0, 1}N /bi = 0, ∀i ≥ n}  ∪{b ∈ {0, 1}N /bi = 1, ∀i ≥ n} \{(0, 0, . . .), (1, 1, . . .)}. a1 , a2 , . . . y s1 , s2 , . . . enumeraciones P de A y S , ∞ N i resp. Se dene una aplicación T : {0, 1} 7→ [0, 1] mediante T (b) = i=1 bi /2 i i −1 si b 6∈ S , T (s ) = a , i ∈ N. Probar que T es biyectiva y que T y T son. A. y. S. son numerables. Sean. 2. medibles.( ). ¯n R. es Borel-equivalente a. ¯. R. 2 Esta aplicación biyectiva y bimedible, además de identicar como espacios medibles el intervalo. [0, 1] y el espacio medible producto {0, 1}N nos permitirá -ver Problema 8.31- obtener una descripción alternativa de la medida de Lebesgue en [0, 1]. es decir, de la distribución uniforme continua en ese intervalo.. MANUALES UEX. 7. Probar ya que. 27.

(34) 28 CAPÍTULO 2.. FUNCIONES MEDIBLES. VARIABLES ALEATORIAS. MANUALES UEX. agustín garcía nogales. 28. teorías de la medida y de la probabilidad.

(35) Cap´ıtulo. 3. Espacios de Medida. Espacios de Probabilidad DEFINICIÓN 3.1.. (Medida) Sea. es una función de conjuntos si. (An ). µ : A −→ [0, +∞]. es una sucesión disjunta en. el vacío (es decir, medida. (Ω, A) un espacio medible. Una medida en (Ω, A). µ. µ(∅) = 0).. se dice nita si. A,. La terna. µ(Ω) < +∞;. numerablemente aditiva (es decir,. entonces. (Ω, A, µ) se dice. µ(∪n An ) =. P. n. µ(An )). y nula en. se llamará espacio de medida. Una. σ -nita. si. Ω. puede ser recubierto por. una colección numerable de conjuntos medibles de medida nita. Una medida dice una probabilidad si. µ(Ω) = 1;. la terna. (Ω, A, µ). µ. se. se llamará entonces espacio de. probabilidad.. Observación 3.1.. El concepto de probabilidad nos viene bien para justicar la. denición de medida. Parece razonable suponer que la probabilidad del conjunto imposible (o la medida del conjunto vacío) sea cero. Parece natural también exigir que la probabilidad de la unión de dos sucesos disjuntos (resp., la medida de la medidas) de ambos. Menos natural puede parecer el requisito de que eso siga siendo cierto para la unión numerable disjunta, axioma que asumiremos por el hecho de que así se obtiene una teoría matemática de la medida y la integración más satisfactoria.. Otras propiedades igualmente razonables para la medida o la probabilidad son consecuencia de la denición anterior. En adelante. 29. (Ω, A, µ). será un espacio de me-. MANUALES UEX. unión de dos conjuntos medibles disjuntos) sea la suma de las probabilidades (resp.,. 29.

(36) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad ESPACIOS DE PROBABILIDAD. 30 agustín garcía nogales dida.. Proposición 3.1. µ(A) ≤ µ(B),. (a) (Monotonía) Si. y, si además. A. µ(A) < +∞,. (b) (Continuidad hacia arriba) Si. B. y. son sucesos tales que. entonces. (An )n. A ⊂ B,. entonces. µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).. es una sucesión creciente en. A,. entonces. µ(∪n An ) = l´ımn µ(An ). (c) (Continuidad hacia abajo) Si de los. An. tiene medida nita, entonces. (An )n. (a). µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) ≥ µ(A).. Si. µ(A). P. igualdad anterior que (b) Sea. k≥n. n. A y alguno. µ(∩n An ) = l´ımn µ(An ). Si. µ(∪n An ) ≤. Demostración.. es una sucesión decreciente en. σ -subaditividad). (d) (Subaditividad numerable o entonces. (An )n. es una sucesión en. A,. µ(An ). es nito, se sigue de la. µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).. A = ∪n An . Si µ(An ) = +∞ para algún n, entonces µ(Ak ) = ∞ para cada. y el resultado es obvio. Si todos los. An. tienen medida nita podemos escribir. A = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ · · · ∪ (An \ An−1 ) ∪ . . . , con lo cual. µ(A) = µ(A1 ) + µ(A2 ) − µ(A1 ) + · · · + µ(An ) − µ(An−1 ) + · · · = l´ım µ(An ). n. (c) Podemos suponer sin pérdida de generalidad que. (An )n. es una sucesión decreciente a. creciente a. A := ∩n An ,. entonces. A1. tiene medida nita. Si. (A1 \ An )n. es una sucesión. A1 \A. Por (2) se verica que µ(A1 \An ) converge a µ(A1 \A). El resultado. se sigue de (a).. MANUALES UEX. (d) Puesto que. 30. n−1 ∞ A := ∪∞ n=1 An = ∪n=1 (An \ ∪i=1 Ai ) se deduce X X µ(A) = µ(An \ ∪n−1 µ(An ). i=1 Ai ) ≤ n. que. n. Ejemplo 3.1. (Medida de Dirac) Si (Ω, A) es un espacio medible y ω ∈ Ω, la función de conjuntos. εω. denida para. A ∈ A. por. εω (A) = 1. si. ω ∈ A, = 0. si no, es una. probabilidad que llamaremos probabilidad de Dirac (o distribución de probabilidad degenerada) en el punto. ω..

(37) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. 31. Ejemplo 3.2. (Medida cardinal) Si, para A ∈ A, denotamos por µ(A) el cardinal de A (µ(A) = +∞. si. A. es un conjunto innito) obtenemos una medida que llamaremos. σ -nita si Ω si (Ω, A) es un. medida cardinal; esta medida es todas las partes de. Ω. (es decir,. es numerable y. A. es el conjunto de. espacio discreto).. Ejemplo 3.3. Si Ω = {x1, x2, . . . } es un conjunto numerable y p1, p2, . . . son números. P A la σ -álgebra de las partes de Ω, obtenemos una P medida µ en A mediante: µ(A) = i≥1 pi IA (xi ); esta medida es una probabilidad si i pi = 1. no negativos, tomando como. DEFINICIÓN 3.2.. (Propiedades que ocurren casi seguro) Sea. de medida. Diremos que una propiedad de puntos de a. µ. (o. µ-c.s.). si el conjunto de los puntos de. Ω. Ω. (Ω, A, µ). un espacio. ocurre casi seguro respecto. que no verican dicha propiedad está. contenido en un conjunto medible de medida nula.. Observación 3.2. La medida µ se dice concentrada en un suceso A ∈ A si µ(Ac) = 0. Observación 3.3. Si A es un suceso tal que µ(A) > 0, entonces µA : B ∈ A 7→ µA (B) := µ(B ∩ A) ∈ [0, +∞] es una medida concentrada llamaremos restricción al suceso A de la medida µ.. en el suceso. A,. que. Describimos a continuación un método clásico de construcción de medidas, basado en el concepto de medida exterior, que utilizaremos para construir la medida de Lebesgue en. Rn .. DEFINICIÓN 3.3. Ω. (Medida exterior) Una medida exterior en un conjunto no vacío. es una función de conjuntos. µ∗ : P(Ω) → [0, +∞]. nula en el vacío, monótona y. numerablemente subaditiva.. caso. n = 1.. (]ai , bi [)i∈N. Si. (Medida exterior de Lebesgue en. A ⊂ R,. denotaremos por. recorre. CA .. A ⊂ ∪i ]ai , bi [. Se P. λ∗ (A) como el ínmo de las sumas. Se prueba que. λ∗. el conjunto de todas las sucesiones. acotados (es decir,. Ri. dene también. i (bi − ai ) cuando. es una medida exterior que asigna a cada. intervalo de la recta su longitud. En el caso general, si. CA. Comenzaremos con el. el conjunto de todas las sucesiones. de intervalos abiertos acotados tales que. la medida exterior de Lebesgue. (]ai , bi [)i. CA. Rn ). (Ri )i∈N. A ⊂ Rn ,. denotaremos por. de intervalos abiertos. es un conjunto de la forma. I1 × · · · × In. n-dimensionales. donde los. Ik. son. MANUALES UEX. DEFINICIÓN 3.4.. 31.

(38) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad ESPACIOS DE PROBABILIDAD. 32 agustín garcía nogales intervalos abiertos acotados de. λ∗n (A). de Lebesgue. R). como el ínmo de las. donde vol(Ri ) denota el volumen de intervalos. Ik. si. Ri ,. es decir, el producto de las longitudes de los. Ri = I1 × · · · × In .. Proposición 3.2.. La medida exterior de Lebesgue. que asigna a cada intervalo. Demostración. λ∗n (∅) = 0 cada. A ⊂ ∪i Ri . Se dene la medida exterior P sumas i vol(Ri ) cuando (Ri )i recorre CA ,. tales que. n-dimensional. pues. λ∗n. en. Rn. es una medida exterior. su volumen.. 1. 1. ∅ ⊂] −  n /2,  n /2[n. y vol(]. 1. 1. −  n /2,  n /2[n ) = ,. para.  > 0.. λ∗n. es trivialmente monótona pues, para cada. B ⊂ ∪∞ i=1 Ri } ⊂ { λ∗n. otra parte,. n. i=1 vol(Ri ). : A ⊂ ∪∞ i=1 Ri }. y, por tanto,. Rn ,. cada.  > 0. k ∈ N,. y cada. i=1 vol(Rik ). i=1 vol(Ri ). λ∗n (A) ≤ λ∗n (B).. existe una sucesión. dimensionales abiertos y acotados tal que. P∞. P∞. es numerablemente subaditiva pues, para cada sucesión. subconjuntos de intervalos. P∞. A ⊂ B ⊂ Rn , {. − /2k ;. n-dimensionales. por tanto,. (Rik )i,k. B ⊂ ∪∞ i=1 Rik. Por. (Bk )k∈N. de. (Rik )∞ i=1. de. y. λ∗n (Bk ) ≥. es una colección numerable de intervalos. abiertos y acotados y. X. λ∗n (Bk ) ≥. X. vol(Rik ). −  ≥ λ∗n (∪k Bk ) − .. k,i. k. Veamos ahora que la medida exterior de Lebesgue asigna a cada intervalo dimensional. I. su volumen. Consideremos en primer lugar el caso. Puesto que, para cada por tanto,.  > 0, I ⊂]a − 2 , b + 2 [,. λ∗n (I) ≤ b − a.. Por otra parte, si. abiertos que recubren el intervalo compacto. MANUALES UEX. Se deduce de ahí (ver Problema 3.14) que. 32. luego. b − a ≤ λ∗n (I). y, en denitiva,. arbitrario de extremos y, por tanto,. :. se tiene que. (]ai , bi [)i. n=1. e. n-. I = [a, b].. λ∗n (I) ≤ (b − a) + ;. es una sucesión de intervalos. I , existe k ∈ N tal que ]a, b[⊂ ∪ki=1 ]ai , bi [. P P b − a ≤ ki=1 (bi − ai ) ≤ ∞ i=1 (bi − ai );. λ∗n ([a, b]) = b − a.. Si. I. es un intervalo acotado. a y b, entonces, para cada  > 0, [a + , b − ] ⊂ I ⊂ [a − , b + ]. (b − a) − 2 ≤ λ∗n (I) ≤ (b − a) + 2,. que prueba que. λ∗n (I) = b − a.. Un intervalo no acotado de la recta tiene medida exterior de Lebesgue innita pues contiene intervalos compactos de longitud arbitrariamente grande..

(39) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. Supongamos ahora que. n > 1. y que. I =. 33. Qn. i=1 [ai , bi ] es un intervalo compacto. n-dimensional. Los detalles son similares al caso n = 1 (ver Problema 3.14). Notemos Qn k solamente que, si I ⊂ ∪j=1 Ij , donde Ij = i=1 ]aji , bji [, podemos descomponer I como unión de intervalos. n-dimensionales. compactos. Ks. cuyos interiores son disjuntos y. cada uno de ellos está contenido en alguno de los intervalos. P. s vol(Ks ). ≤. Ij .. Entonces vol(I). =. P. j vol(Ij ), y de aquí se deduce el resultado como en el caso real.. En lo que sigue. µ∗. será una medida exterior en. DEFINICIÓN 3.5.. (Conjunto. medible si, para cada. A ⊂ Ω,. µ∗ -medible). Ω.. Un subconjunto. B. de. Ω. se dice. µ∗ -. µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (A ∩ B c ). Denotaremos por. A µ∗. la familia de subconjuntos de. junto Lebesgue-medible en. TEOREMA 3.1. Aµ∗ B⊂Ω. tales que. Rn. es una. µ∗ (B) = 0. o. es un conjunto. σ -álgebra. Ω. µ∗ -medibles.. Un con-. λ∗n -medible.. de partes de. µ∗ (B c ) = 0.. que son. Ω. que contiene a los conjuntos. Además, la restricción de. µ∗. a. A µ∗. es una. medida.. Demostración. B c );. Siendo. subaditiva, siempre ocurre que. así pues, para probar que. B) + µ∗ (A ∩ B c ), trivial si. µ∗. µ∗. para cada. µ∗ (A) = +∞.. B. es. A⊂Ω. µ∗ -medible,. tal que. Por otra parte, si. prueba inmediatamente que. µ∗ (A) ≤ µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (A ∩. basta probar que. µ∗ (A) < +∞,. µ∗ (B) = 0. o. µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩. ya que esa desigualdad es. µ∗ (B c ) = 0,. µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ B) + µ∗ (A ∩ B c ),. la monotonía de. es decir, que. B. es. Para probar que. A µ∗. es una. σ -álgebra,. probaremos que es un álgebra estable. frente a la unión numerable disjunta (eso basta, de acuerdo con la Proposición 1.1).. ∅, Ω ∈ Aµ∗. pues. µ∗ (∅) = 0. Por otra parte, en la denición de que B sea µ∗ -medible los. papeles de. B. Bc. lo es.. y. son intercambiables y, por tanto, si. B. es. µ∗ -medible, B c. también. MANUALES UEX. µ∗ -medible.. 33.

(40) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad ESPACIOS DE PROBABILIDAD. 34 agustín garcía nogales B1. Supongamos ahora que. B1 ∪ B2 .. Siendo. B2. y. son. µ∗ -medibles. y probemos que también lo es. B1 µ∗ -medible. µ∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) = µ∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 ) ∩ B1 ) + µ∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 ) ∩ B1c ) = µ∗ (A ∩ B1 ) + µ∗ (A ∩ B1c ∩ B2 ). Puesto que. (B1 ∪ B2 )c = B1c ∩ B2c. y luego que lo es. B1 ,. y teniendo en cuenta primero que. B2. es. µ∗ -medible,. se tiene que. µ∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )) + µ∗ (A ∩ (B1 ∪ B2 )c ) = µ∗ (A ∩ B1 ) + µ∗ (A ∩ B1c ∩ B2 ) + µ∗ (A ∩ B1c ∩ B2c ) = µ∗ (A ∩ B1 ) + µ∗ (A ∩ B1c ) = µ∗ (A). Queda, pues, probado que Sea ahora. (Bn ). A µ∗. es un álgebra.. una sucesión disjunta de conjuntos. inducción que, para cada. A. y cada. ∗. µ (A) =. n X. µ∗ -medibles.. Probemos por. n ∈ N,. µ∗ (A ∩ Bi ) + µ∗ (A ∩ (∩ni=1 Bic )).. (3.1). i=1 El caso. n = 1 se obtiene de la medibilidad de B1 . Supuesta cierta para n esa expresión,. teniendo en cuenta que. Bn+1 es medible y que los Bi son disjuntos dos a dos, se verica. que. c ) µ∗ (A ∩ (∩ni=1 Bic )) = µ∗ (A ∩ (∩ni=1 Bic ) ∩ Bn+1 ) + µ∗ (A ∩ (∩ni=1 Bic ) ∩ Bn+1 c = µ∗ (A ∩ Bn+1 ) + µ∗ (A ∩ (∩n+1 i=1 Bi )).. MANUALES UEX. Eso prueba la igualdad (3.1). Se deduce de ella y de la monotonía de. 34. ∗. µ (A) ≥. n X. µ∗. que. c µ∗ (A ∩ Bi ) + µ∗ (A ∩ (∩∞ i=1 Bi )).. i=1 Notando que. c ∞ c ∩∞ i=1 Bi = (∪i=1 Bi ). ∗. µ (A) ≥. ∞ X i=1. y tomando límite cuando. n → ∞,. c µ∗ (A ∩ Bi ) + µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Bi ) ).. se tiene que. (3.2).

(41) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. De esto y de la subaditividad numerable de. ∞ X. ∗. µ (A) ≥. µ∗. 35. se deduce que. c µ∗ (A ∩ Bi ) + µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Bi ) ). i=1 c ∗ ∗ ∞ ≥ µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Bi )) + µ (A ∩ (∪i=1 Bi ) ) ≥ µ (A). ∪∞ i=1 Bi. que prueba que. es medible y, en denitiva, que. Para probar que la restricción de aditividad numerable. Si. ∪∞ i=1 Bi. (Bn ). µ∗. a. A µ∗. A µ∗. es una. σ -álgebra.. es una medida, basta comprobar la. es una sucesión disjunta en. A µ∗ ,. reemplazando. A. por. en la desigualdad (3.2), se obtiene. P∞. µ∗ (∪∞ i=1 Bi ) ≥. i=1. µ∗ (Bi ) + 0;. puesto que la desigualdad contraria es cierta por la subaditividad numerable, queda probado el teorema.. DEFINICIÓN 3.6. Rn. Rn ) Aλ∗n. (Medida de Lebesgue en. es una. σ -álgebra. de partes de. cuyos elementos se llaman conjuntos Lebesgue medibles. La restricción de. Aλ∗n. se denotará por. Proposición 3.3.. λ∗n. a. λn (λ, en el caso n = 1) y se llamará medida de Lebesgue en Rn .. (a) Los borelianos de. Rn. son conjuntos Lebesgue-medibles.. (b) La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones.. Demostración. de la forma y algún. (a) Puesto que. I=. a ∈ R,. Qn. i=1 Ii , donde. Rn. está generada por los intervalos. Ij =] − ∞, a]. e. basta probar que, para cada. Ii = R,. A⊂R. si. i 6= j ,. tal que. n-dimensionales. para algún. 1≤j≤n. λ∗n (A) < ∞,. se verica. que. λ∗n (A) ≥ λ∗n (A ∩ I) + λ∗n (A ∩ I c ).  > 0,. podemos elegir una sucesión. acotados que recubren y. Ri ∩ I c. A. son intervalos. y satisfacen. (Ri ) P∞. de intervalos. i=1 vol(Ri ). n-dimesionales. Ri ∩ I c ⊂ Ri00. y. < λ∗n (A) + .. abiertos y. Para cada. i, Ri ∩ I. disjuntos y acotados (posiblemente vacíos) y,. por tanto, podemos tomar intervalos abiertos. Ri ∩ I ⊂ Ri0 ,. n-dimensionales. n. dimensionales. 0 vol(Ri ). Ri0. y. Ri00. tales que. + vol(Ri00 ) ≤ vol(Ri ) + /2i .. MANUALES UEX. para un tal intervalo (ver el comienzo de la demostración del Teorema 3.1). Dado. 35.

(42) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad ESPACIOS DE PROBABILIDAD. 36 agustín garcía nogales Las sucesiones. (Ri0 ). y. (Ri00 ). λ∗n (A∩I)+λ∗n (A∩I c ) ≤. recubren. P∞. A∩I. 0 i=1 vol(Ri )+. y. A ∩ I c,. P∞. 00 i=1 vol(Ri ). resp., y, por tanto,. P ∗ ≤( ∞ i=1 vol(Ri ))+ ≤ λn (A)+2. lo que acaba la prueba. (b) Se deduce inmediatamente de la denición de intervalo. n-dimensional. λ∗n. y de que el volumen de un. es invariante por traslaciones.. Ejemplo 3.4.. (Ejemplo de Vitali de un conjunto no Lebesgue-medible) No todo. subconjunto de. R. es Lebesgue-medible. Vitali, haciendo uso del axioma de elección,. propuso un ejemplo: Se dene una relación de equivalencia. ∼. en. R. del siguiente. x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q. Las clases de equivalencia son de la forma Q + x y R. El axioma de elección asegura la existencia de un subconjunto E de ]0, 1[ que contiene uno y sólo un elemento de cada clase de equivalencia. Sea (rn )n una enumeración de los racionales del intervalo ] − 1, 1[ y hagamos En = rn + E . Entonces los En son dos a dos disjuntos, están contenidos en el intervalo ] − 1, 2[ y recubren el P intervalo ]0, 1[. Si E fuese Lebesgue-medible, puesto que λ(∪n En ) = n λ(En ) y que los En tienen la misma medida de Lebesgue que E , llegaríamos a una contradicción con lo dicho anteriormente (distinguir los casos λ(E) = 0 y λ(E) > 0). modo:. son densas en. Observación 3.4.. (Compleción de un espacio de medida). Una medida. µ. en una. σ -álgebra A se dice completa si, dado A ∈ A tal que µ(A) = 0, se verica que B ∈ A para cada subconjunto B de A. La medida µ∗ en Aµ∗ denida anteriormente es completa. Un espacio de medida (Ω, A, µ) se completa del siguiente modo: se dene Aµ como la clase de los conjuntos de la forma A ∪ N cuando A recorre A y N la clase de los subconjuntos de los sucesos µ-nulos. Se prueba que Aµ es una σ -álgebra. µ se extiende a Aµ deniendo µ(A ∪ N ) = µ(A) si A ∈ A y N es un subconjunto de un suceso µ-nulo. Se prueba que la denición es correcta y que µ es una medida completa en Aµ . El espacio de medida (Ω, Aµ , µ) se llama compleción de (Ω, A, µ). n La medida de Lebesgue en la σ -álgebra de los conjuntos Lebesgue-medibles de R es la compleción de la medida de Lebesgue sobre la σ -álgebra de Borel. El lector puede. MANUALES UEX. encontrar la demostración de estas armaciones en Cohn (1980, p.36 y ss).. 36. Para concluir este tema, presentaremos el teorema de extensión de Carathéodory que necesitaremos para construir medidas de Lebesgue-Stieljes y para extender el teorema de la medida producto al caso de una cantidad numerable de factores.. TEOREMA 3.2. un álgebra. A0. (Teorema de extensión de Carathéodory) Sea. de subconjuntos de. Ω. (es decir,. µ0 : A0 → [0, +∞]. µ0. una medida en. es una función de.

(43) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. conjuntos nula en el vacío y numerablemente aditiva, en el sentido de que. P. n. µ0. µ0 (An ). σ -nita. es. en. A0. en. µ0 (An ) < +∞ µ. (An ). para cada sucesión (es decir,. para cada. n).. Ω. A0. en. tal que. puede descomponerse como. Entonces. µ0. µ0 (∪n An ) =. y supongamos que. ∪n An ,. con. An ∈ A 0. y. admite una única extensión a una medida. σ(A0 ).. Demostración.. (Primera etapa) Se dene. µ∗ : B ⊂ Ω 7→ µ∗ (B) := ´ınf{ Es claro que. µ∗. P. n. µ0 (An ) : B ⊂ ∪n An , An ∈ A0 , ∀n}.. es una función de conjuntos nula en el vacío y monótona. Veamos. que también es numerablemente subaditiva: sean de. ∪n An ∈ A0 ). 37. Ω. y, para cada. >0. y cada. n ∈ N, (Ank )k. (Bn ). una sucesión de subconjuntos. una sucesión en. A0. Bn. que recubre a. y tal que. X. µ0 (Ank ) ≤ µ∗ (Bn ) + /2n .. k Entonces. ∪n ∪k Ank ⊃ ∪n Bn y. XX n siendo.  > 0. arbitrario y. X. µ0 (Ank ) ≤.  µ∗ (Bn ) + ;. n. k. (Ank )nk. un recubrimiento numerable en. A0. de. ∪n Bn ,. se. verica que. µ∗ (∪n Bn ) ≤. X. µ∗ (Bn ).. n. µ. es una medida exterior.. (Segunda etapa) Veamos ahora que. ∪n An. por. ∪n A0n ,. donde. µ∗ (B) := ´ınf{ Dados. P. n. A0n = An \ ∪n−1 k=1 Ak ,. coincide con. µ0. sobre. A0 .. tales que. A = ∪n (An ∩ A). y. Reemplazando. se prueba fácilmente que. µ0 (An ) : B ⊂ ∪n An , An ∈ A0 , ∀n; An ∩ Am = ∅,. A, A1 , A2 , · · · ∈ A0. a dos disjuntos,. µ∗. si. n 6= m}.. A ⊂ ∪n An , se verica que, si los An son P P µ0 (A) = n µ0 (A ∩ An ) ≤ n µ0 (An ), lo. dos que. MANUALES UEX. Por tanto,. ∗. 37.

(44) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad ESPACIOS DE PROBABILIDAD. 38 agustín garcía nogales prueba que. µ0 (A) ≤ µ∗ (A).. Por otra parte, por denición de. µ∗ (A) ≤ µ0 (A) + µ0 (∅) + µ0 (∅) + · · · = µ0 (A). (Tercera etapa) Probaremos ahora que cada.  > 0,. existe una sucesión disjunta. X. Luego. en. A0. para cada. µ∗ (A) = µ0 (A). A 0 ⊂ Aµ ∗ .. (An ). µ∗ ,. Dados. tal que. A ∈ A0 ,. si. A ∈ A0 .. y. B ⊂ Ω,. A ∈ A0. B ⊂ ∪n An. para. y. µ0 (An ) ≤ µ∗ (B) + .. n. µ0. Puesto que. es nitamente aditiva,. X. µ∗ (B) +  ≥. µ0 (An ) =. X. n. [µ0 (An ∩ A) + µ0 (An ∩ Ac )] ≥ µ∗ (B ∩ A) + µ∗ (B ∩ Ac ). n. donde la última desigualdad es cierta por denición de y. ∪n (An ∩ Ac ) ⊃ B ∩ Ac .. µ∗ (B ∩ A) + µ∗ (B ∩ Ac ), una.  > 0. Siendo. es decir, que. µ∗ y porque ∪n (An ∩A) ⊃ B∩A. arbitrario, queda probado que. A ∈ A µ∗ .. Por tanto,. A 0 ⊂ Aµ ∗. µ∗ (B) ≥. y, siendo. A µ∗. σ -álgebra, σ(A0 ) ⊂ Aµ∗ .. (Cuarta y última etapa) La restricción. A := σ(A0 ). de la medida exterior. es una medida que coincide con. de la extensión, supongamos que. µ0 σ -nita,. µ. µ0. µ0. en. A0 .. µ∗. a la. σ -álgebra. Para probar la unicidad. es una segunda extensión a. podemos suponer sin pérdida de generalidad que. A. de. µ0 ;. siendo. µ(Ω) = µ0 (Ω) < ∞;. un procedimiento similar al utilizado en la resolución del Problema 3.8 acaba la prueba.. Observación 3.5. Stieljes en. R. (Medidas de Lebesgue-Stieljes en. es una medida. µ. en. R. R). Una medida de Lebesgue-. que asigna medida nita a cada intervalo aco-. tado de la recta. Una función de distribución en. R. es una aplicación. F : R → R. que es creciente y continua por la derecha en cada punto. Ocurre que la fórmula. µ(]a, b]) = F (b) − F (a). establece una correspondencia biunívoca entre las medidas. MANUALES UEX. de Lebesgue-Stieljes y las funciones de distribución, si identicamos dos funciones. 38. de distribución que dieren en una constante. Concretamente: si. µ. es una medi-. F jando arbitrariamente F (0) y exigiendo que F (b)−F (a) = µ(]a, b]) (p.ej., F (x) = F (0)+µ(]0, x]) si x > 0 y F (x) = F (0)−µ(]x, 0]) si x < 0), entonces F es una función de distribución; recíprocamente, como consecuencia del teorema de Carathéodory, dada una función de distribución F , existe una única medida de Lebesgue-Stieljes µ tal que µ(]a, b]) = F (b) − F (a). La medida de Lebesgue-Stieljes correspondiente a la función de distribución F (x) = x es la. da de Lebesgue-Stieljes y denimos.

(45) agustín garcía nogales. teorías de la medida y de la probabilidad. 39. R. En particular, µ(] − ∞, a[) = F (a−) = l´ımx→a− F (x), µ({a}) = F (a) − F (a−) y µ([a, b]) = F (b) − F (a−). Una medida de Lebesgue-Stieljes µ en R se dice continua si µ({x}) = 0, para cada x ∈ R; ello es equivalente a que su medida de Lebesgue en. función de distribución sea continua. El lector interesado puede encontrar la demostración de todas las armaciones de esta observación en Ash (1972, p. 22 y ss). Ver. MANUALES UEX. también la observación 5.2.. 39.

(46) CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE MEDIDA. teorías de la medida y de la probabilidad 40 agustín garcía nogales ESPACIOS DE PROBABILIDAD PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 3 Problema 3.1.. Probar que en un espacio de probabilidad. siguientes relaciones, donde. A, B, A1 , A2 , . . .. (Ω, A, P ). se verican las. son sucesos:. 1.. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).. 2.. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).. 3.. ∞ c P (∪∞ n=1 An ) = 1 − P (∩n=1 An ).. 4. (Principio de inclusión-exclusión). P (∪ni=1 Ai ). =. n X i=1. − ... +. Problema 3.2. sobre. (Ω, F),. Sea. Ω. X. P (Ai ) −. X. P (Ai1 ∩ Ai2 ) +. i1 <i2 ≤n (−1)n+1 P (∩ni=1 Ai ). P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ). i1 <i2 <i3 ≤n. un conjunto innito numerable y sea. F = P(Ω).. Denimos. la siguiente aplicación:.  µ(A) = 1. Probar que. µ. 0 +∞. A es nito A es innito. si si. es nitamente aditiva pero no numerablemente aditiva.. Ω es el límite de una sucesión creciente de conjuntos An con µ(An ) = 0, ∀n ∈ N, pero µ(Ω) = ∞.. 2. Probar que. Problema 3.3. Sean (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y {A1 , . . . , An } una partición medible de. Ω. (es decir,. A1 , . . . , A n. son sucesos dos a dos disjuntos que recubren. Ω). Recordemos que, dados dos sucesos A y B , se dene la probabilidad condicionada de B supuesto que ha ocurrido el suceso A mediante:. MANUALES UEX. P (B|A) := si. P (A) > 0. PA : B ∈ B 7→ PA (B) := P (B|A) ∈ [0, 1] es una A restricción P de P al suceso A dividida por P (A)).. (a) Probar que la aplicación probabilidad (es, de hecho, la. (b) (Teorema de la probabilidad total) Probar que. P (B) =. n X i=1. 40. P (B ∩ A) P (A). P (B ∩ Ai ) =. n X i=1. P (B|Ai )P (Ai ).

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