–  Representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas e identificación de los puntos de la recta como solución de la inecuación

Texto completo

(1)

Sistemas de ecuaciones

lineales

(2)

ORGANIZA TUS IDEAS

E

n este tema se estudian los sistemas de ecuaciones li-neales. Se empieza definiendo que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se estudia la resolu-ción gráfica y, a partir de la representaresolu-ción gráfica, se clasi-fica: es compatible indeterminado si tiene infinitas solucio-nes, es decir, las dos rectas son las mismas; es incompatible si no tiene solución, es decir, las dos rectas son paralelas y no se cortan; es compatible determinado si tiene solución, las rectas se cortan en un punto.

A continuación se exponen los métodos algebraicos de resolución: sustitución, igualación y reducción. Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero se observan ciertas características para resolver cada sistema por el método más apropiado.

El tema finaliza con una sección dedicada a la resolución de problemas numéricos, geométricos, comerciales, de mezclas, de edades, etc. Un ejemplo de estas aplicaciones es calcular el número de unidades que pueden fabricarse en una industria en la que se producen bicicletas de dos tipos, sabiendo que cada una de ellas lleva una cantidad de acero y de aluminio y teniendo en cuenta las existencias almacenadas de dichos metales.

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

⎧ ⎨ ⎩

a x + b y = c

a'x + b'y = c' •gráfico

•igualación

•sustitución

•reducción

compatible determinado

una solución

compatible indeterminado

incompa-tible

resolver problemas infinitas

soluciones solución

es una expresión

y puede ser

tiene tiene no tiene

se utiliza para se resuelve por

(3)

1.1. Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejemplo

Comprueba que x = 2, y = 3 es solución del sistema: Comprobación:

Dos sistemasson equivalentessi tienen las mismas soluciones.

1.2. Resolución gráfica de un sistema lineal

Ejemplo

Resuelve gráficamente el sistema: ⎧ ⎨

2x + y = 9 x – 3y = 1 4 · 2+ 3= 8 + 3 = 11 7 · 2– 6 · 3= 14 – 18 = – 4

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

4x + y = 11 7x – 6y = – 4

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

a) ¿En qué punto se cortan la gráfica roja y la azul del dibujo de la izquierda? b) ¿Tienen algún punto en común las

rectas de la derecha? ¿Cómo son estas rectas?

P I E N S A Y C A L C U L A

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitases una expre-sión algebraica de la forma:

donde a, b, c, a’, b’y c’son números conocidos: xe yson las incógnitas. Una soluciónde un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones. Si un sistema tiene solución, se llama compatible;y, si no la tiene, incompatible.

⎧ ⎨ ⎩

a x + b y = c a’x + b’y = c’

a) Se representa la recta correspondiente a la 1ª ecuación. b) Se representa la recta correspondiente a la 2ª ecuación. c) La solución es el punto de corte de ambas rectas.

X Y

s

r X

Y s

r

2x + y = 9 x – 3y = 1

y = 9 – 2x

Solución: x = 4,y = 1

⇒A(2, 5)

⇒B(5, – 1)

⇒C (1, 0)

⇒D(– 2, – 1) x = 1 + 3y

x y

2 5

5 – 1

x y

1 0

– 2 – 1

X Y

P (4, 1)

2x + y = 9 A (2, 5)

x – 3y = 1 B (5, –1) D (– 2, –1)

(4)

1.3. Número de soluciones de un sistema lineal

La clasificación se puede resumir en la siguiente tabla:

Ejemplo

Comprueba que x = 2, y = – 3 es solución del si-guiente sistema:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene. Haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente:

Escribe un sistema que tenga como solución x = 2, y = 3

6

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = 5 6x + 3y = 3

5

⎧ ⎨ ⎩ x – 3y = – 7 3x + 2y = 1

4

⎧ ⎨ ⎩ – 2x + y = – 1

4x – 2y = 2

3

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = 4

x – 3y = – 5

2

⎧ ⎨ ⎩ 3x – y = 9 5x + 2y = 4

1

A P L I C A L A T E O R Í A

Un sistema lineal se puede clasificar, según el número de soluciones, en: a) Compatible determinado:el sistema tiene una solucióny las dos

rec-tas se cortan en un punto.

b) Incompatible: el sistema no tiene solucióny las dos rectas son paralelas. c) Compatible indeterminado:el sistema tiene infinitas solucionesy

las dos rectas son la misma.

Clasificación de los sistemas

Criterio

Compatible

determinado Incompatible

Compatible indeterminado

≠ b

b’ a

a’ = ≠ c c’ b b’ a

a’ = = c c’ b b’ a a’

Interpretación

gráfica Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

Sistema ⎧⎨ ⎩ x + 2y = 8 3x – y = 3

Criterio

Clasificación Interpretación

gráfica

≠ 2

– 1 1 3

Sistema compatible determinado

Sistema incompatible

Sistema compatible indeterminado

= ≠ 6

– 3 3 6 2

4 = =

1 – 3 – 2

6 1 – 3 ⎧

⎨ ⎩ 2x + 3y = 6 4x + 6y = – 3

⎧ ⎨ ⎩ x – 2y = 1 – 3x + 6y = – 3

X Y

P (2, 3)

Rectas secantes

X Y

Rectas paralelas

X Y

(5)

2.1. Método de sustitución

Ejemplo

Resuelve por sustitución el sistema:

Sistemas con denominadores

Cuando un sistema tiene denominadores, primero hay que transformarlo en otro equivalente que no los tenga. Para ello, se halla el m.c.m. de los denomi-nadores de cada una de las ecuaciones y se multiplica toda la ecuación por dicho m.c.m.

Ejemplo

Resuelve el sistema:

m.c.m. (2, 4) = 4. Se multiplica la 1ª ecuación por 4 m.c.m. (2, 6) = 6. Se multiplica la 2ª ecuación por 6

⎧ ⎨ ⎩

2x = y 15x – 7y = 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x y

— = —

2 4

5x 7y 1

— – — = —

2 6 2

⎧ ⎨ ⎩

3x – 5y = 4 2x + y = 7

2. Métodos de sustitución e igualación

Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de y de la primera ecuación en la segunda:

⎧ ⎨ ⎩

y = 2x x + y = 150

P I E N S A Y C A L C U L A

a) En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar. b) Se sustituye su valor en la otra ecuación.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita.

a) Se despeja la incógnita yde la 2ª ecuación. y = 7 – 2x b) Se sustituye su valor en la 1ª ecuación. 3x – 5(7 – 2x) = 4

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción donde estaba despejada la incógnita inicial.

La solución es x = 3,y = 1

3x – 35 + 10x = 4 13x = 39

x = 3

x = 3en y = 7 – 2x y = 7 – 2 · 3= 7 – 6 = 1

X Y

P (3, 1) 2x + y = 7

3x – 5y = 4

Se resuelven fácilmente por

sustituciónlos sistemas en

los que una de las incógnitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones.

Ejemplo

2x + 3x = 20 5x = 20 x = 4

y = 3 · 4= 12

Solución: x = 4,y = 12

(6)

De la 1ª ecuación se obtiene y = 2x. Sustituyendo en la 2ª ecuación: 15x – 7 · 2x = 3

15x – 14x = 3 x = 3

Sustituyendo x = 3 en y = 2x ⇒y = 6 La solución es x = 3,y = 6

2.2. Método de igualación

Ejemplo

Resuelve por igualación el sistema: ⎧ ⎨

5x + y = 15 – 3x + y = – 1

Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por igualación:

Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

Resuelve por igualación el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por sustitución:

Resuelve el siguiente sistema por igualación: ⎧

⎨ ⎩ 0,5x + y = 1 0,25x – y = – 0,25

12

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x

— + 3y = 11 2

y 2x – — = 7

3

11

⎧ ⎨ ⎩ x – 2y = 1 x + 6y = – 1

10

⎧ ⎨ ⎩ 2x + 3y = 12

x – 5y = – 7

9

⎧ ⎨ ⎩ 3x – y = 7 2x + y = 13

8

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = 3 3x – 4y = 10

7

A P L I C A L A T E O R Í A

a) Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos

ecua-ciones.

b) Se igualan los valores obtenidos. c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita.

a) Se despeja la incógnita yde las dos ecuacio-nes.

y = 15 – 5x y = – 1 + 3x

b) Se igualan los valores obtenidos. 15 – 5x = – 1 + 3x

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita.

La solución es x = 2,y = 5

– 8x = – 16 8x = 16

x = 2

x = 2en y = 15 – 5x y = 15 – 5 · 2= 15 – 10 = 5

X Y

P (2, 5)

y = 15 – 5x

y = –1 + 3x

Se resuelven fácilmente por

igualaciónlos sistemas en

los que una de las dos incóg-nitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones.

Ejemplo

2x = 10 – 3x 5x = 10 x = 2

y = 2 · 2= 4

Solución: x = 2,y = 4

(7)

3.1. Método de reducción

Ejemplo

Resuelve por reducción el sistema:

La mejor estrategia que se puede utilizar en el apartado a) cuando los coefi-cientes no sean iguales, opuestos o uno múltiplo del otro consiste en: a) Si no son primos entre sí, se halla el m.c.m. de ambos y se multiplica cada

ecuación por un número, de forma que este m.c.m. sea el coeficiente.

Ejemplo

m.c.m. (4, 6) = 12 ⇒ ⎧ ⎨

12x + 15y = 39 – 12x + 14y = – 10

12 : 4= 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 12 : 6= 2 ⇒– 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎧

⎨ ⎩ ⎧

⎨ ⎩ 4x + 5y = 13

6x – 7y = 5

⎧ ⎨ ⎩

3x + 2y = 12 – 5x + 6y = 8

3. Reducción y qué método utilizar

Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de x Sustituye mentalmente este valor en la primera ecuación y halla el valor de y

⎧ ⎨ ⎩

5x + 2y = 12 3x – 2y = 4

P I E N S A Y C A L C U L A

a) Mediante multiplicaciones apropiadas, se obtiene un sistema equiva-lente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos.

b) Se suman las dos ecuaciones.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita.

a) Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y la 2ª se cambia de signo.

⎧ ⎨ ⎩ 9x + 6y = 36 5x – 6y = – 8

b) Se suman las dos ecuaciones.

14x = 28

⎧ ⎨ ⎩ 9x + 6y = 36 5x – 6y = – 8

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecua-ción inicial más sencilla.

La solución es x = 2,y = 3

x = 2

x = 2en 3x + 2y = 12 3 · 2+ 2y = 12

6 + 2y = 12 2y = 6

y = 3

X Y

3x + 2y = 12 5x – 6y = – 8

P (2, 3)

Se resuelven fácilmente por

reducciónlos sistemas en los

que una incógnita tenga los coeficientes:

a) Iguales: restando ambas ecuaciones.

b) Opuestos: sumando am-bas ecuaciones.

c) Uno múltiplo de otro: multiplicando la ecuación que tenga el menor coefi-ciente por un número para que ambos coeficientes sean opuestos.

Ejemplo

7x = 21 x = 3

2 · 3+ 3y = 12 3y = 6 y = 2

Solución: x = 3,y = 2

(8)

b) Si son primos entre sí, se multiplica cada ecuación por el coeficiente de la incógnita de la otra ecuación.

Ejemplo

3.2. ¿Qué método utilizar?

Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero hay sistemas en los que un método es mucho más sencillo de aplicar que otro. Para elegir un método se puede tener en cuenta:

Ejemplo

¿Por qué método se debería resolver cada uno de los sistemas siguientes?

a) b) c)

El sistema del apartado a) se debe hacer por igualación.La incógnita y

está despejada en las dos ecuaciones.

El sistema del apartado b) se debe hacer por reducción.No parece fácil despejar ninguna de las incógnitas.

El sistema del apartado c) se debe hacer por sustitución.La incógnita xya está despejada en la 1ª ecuación y de la otra ecuación no parece fácil de despejar.

⎧ ⎨ ⎩

x = 2y – 7 3x + 4y = 9

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 1 4x – 5y = 13

⎧ ⎨ ⎩

y = 3x – 9 y = – 4x + 5

⎧ ⎨ ⎩

35x – 15y = 55 – 27x + 15y = – 39

×5

⎯⎯⎯→ ×3 ⎯⎯⎯→ ⎧

⎨ ⎩

7x – 3y = 11 – 9x + 5y = – 13

Resuelve el siguiente sistema por reducción:

Resuelve el siguiente sistema por reducción:

Resuelve el siguiente sistema por reducción:

Resuelve el siguiente sistema por reducción:

Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo:

⎧ ⎨ ⎩ x = 2y – 1 x = 3y – 6

19

⎧ ⎨ ⎩ 2x + 3y = 7 4x – 3y = – 4

18

⎧ ⎨ ⎩ y = 4x – 1 2x + 3y = 25

17

⎧ ⎨ ⎩ 3x – 2y = 13 4x + 5y = 2

16

⎧ ⎨ ⎩ 2x + 3y = 5 6x + 5y = 3

15

⎧ ⎨ ⎩ 3x – 2y = 8 3x + 7y = – 1

14

⎧ ⎨ ⎩ 3x + 2y = 7 5x – 2y = 1

13

A P L I C A L A T E O R Í A

a) Se resuelven por sustituciónlos sistemas en los que una de las incógnitas

ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones. b) Se resuelven por igualaciónlos sistemas en los que una de las

incógni-tas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones. c) Se resuelven por reducciónlos sistemas en los que se tenga una

(9)

4.1. Procedimiento de resolución de problemas

Para resolver un problema se debe leer el enunciado varias veces hasta que se entienda muy bien cuáles son las incógnitas,los datos,las relacionesy las preguntas.En los problemas geométricos se debe hacer siempre el dibujo, y en los numéricos, un esquema.

Este procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos:

4.2. Problemas numéricos

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800€. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

b) Manos a la obra

c) Solución y comprobación

4. Problemas de sistemas

En el dibujo de la izquierda está planteado un sistema correspon-diente a dos ecuaciones con dos incógnitas.

a) Suma las dos ecuaciones y halla el valor de un CD.

b) Observando la primera ecuación y sabiendo el valor de un CD, calcula el valor de una cinta de vídeo.

P I E N S A Y C A L C U L A

a) Entérate:se escriben las incógnitas,los datosy las preguntas. b) Manos a la obra:se plantean las relaciones, se transforman en un

sis-tema y se resuelve este sissis-tema.

c) Solución y comprobación:se escriben las respuestas a las preguntas que plantea el problema, y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.

x = 3y x + y = 800

Sistema

x = 3y x + y = 800

Suman 800 € Ana tiene el

triple que Julio Ecuaciones Incógnitas: Dinero de Ana: x Dinero de Julio: y

}

Ana tiene el triple que Julio x = 3y

(Dinero de Ana) + (Dinero de Julio) = 800 €x + y = 800

Sistema: Se resuelve el sistema por sustitución.

3y + y = 800 4y = 800 y = 200

Sustituyendo y = 200en x = 3y x = 3 · 200= 600

x = 600, y = 200 x = 3y

x + y = 800

}

Dinero que tiene Ana: x; Dinero que tiene Julio: y

Ana tiene el triple que Julio. Entre los dos tienen 800 €

¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Ana tiene600 €y Julio tiene200 €

Ana tiene el triple que Julio 600 = 3 · 200

(10)

4.3. Problemas geométricos

En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y de la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado?

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

b) Manos a la obra

c) Solución y comprobación

Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 51

En un garaje hay 18 vehículos entre coches y motos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay?

El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m, y cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

El doble de un número más el triple de otro número es igual a 80, y el quíntuplo del primero menos la mitad del segundo es igual a 56. ¿De qué números se trata?

Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El pre-cio de una entrada sin descuento es de 4,5 €y con descuento especial para colegios es de 1,5 €. Se sacan 250 entradas, unas con descuento y otras sin descuento, y en total se pagan 675 €. ¿Cuántas entradas se han comprado con descuento? ¿Y sin descuento?

Tres cintas de vídeo y 2 CD cuestan 12 €; 4 cintas de vídeo y 4 CD cuestan 18 €. Calcula cuánto cuestan cada cinta de vídeo y cada CD.

Halla la ecuación de la recta ax + by = 2 sabiendo que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 7)

26 25 24

23 22 21 20

A P L I C A L A T E O R Í A

x + y = 35

x – y = 7 Sistema

x + y = 35 x – y = 7

Base menos altura 7 m Suman 35 m

Ecuaciones Incógnitas: Medida de la base: x Medida de la altura: y

}

y

x

La base mide 21 m La altura mide 14 m

Suma de la base y de la altura: 21 + 14 = 35 m Base menos altura: 21 – 14 = 7 m

Base + Altura = 35 x + y = 35

Base – Altura = 7 x – y = 7

Sistema: Se resuelve por reducción.

Sumando las dos ecuaciones se obtiene: 2x = 42

x = 21

Sustituyendo x = 21en x + y = 35

21+ y = 35

y = 14 x = 21, y = 14

x + y = 35

x – y = 7

}

Medida de la base: x Medida de la altura: y

La suma de la base y de la altura es 35 m La base menos la altura es 7 m

(11)

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

Comprueba que x = – 1, y = 5 es solución del siguiente sistema:

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de los siguientes sistemas para hallar cuántas solucio-nes tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente:

Escribe un sistema que tenga como solución:

x = – 1, y = 2

2. Métodos de sustitución e igualación

Resuelve por el método más sencillo, sustitución o igualación, los siguientes sistemas:

3. Reducción y qué método utilizar

Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas:

4. Problemas de sistemas

Halla dos números sabiendo que uno es el cuá-druplo del otro y que entre los dos suman 55

Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y 12 barras y una hogaza pesan 4 kg. ¿Cuánto pesa cada barra de pan y cada hogaza?

El triple de un número menos el doble de otro número es igual a 45 y el doble del primero menos la cuarta parte del segundo es igual a 43. ¿De qué números se trata?

El perímetro de un romboide mide 42 m y un lado mide 7 metros más que el otro. ¿Cuánto mide cada lado?

Un ángulo de un rombo mide el doble que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

61 60 59 58 57 ⎧ ⎨ ⎩ y = 2x + 8 y = – x – 1

56

⎧ ⎨ ⎩ 2x – 3y = 9 5x + 4y = 11

55

⎧ ⎨ ⎩ y = 3x + 1 y = 4x – 2

54

⎧ ⎨ ⎩ 3x – 4y = 3 5x + 6y = 5

53

⎧ ⎨ ⎩ x = 2y + 3 3x + 4y = 5

52

⎧ ⎨ ⎩ 4x – 5y = 22 3x – 5y = 19

51

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = 3 3x – 4y = 10

50

⎧ ⎨ ⎩ 3x + 2y = 17 – 3x + 5y = 11

49

⎧ ⎨ ⎩ x + 0,75y = 3 x – 0,5y = 5

48 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x y — + — = 5

3 2

x y — – — = 1

2 4

47

⎧ ⎨ ⎩ y = – 2x + 3 y = 5x – 4

46

⎧ ⎨ ⎩ 2x – 3y = 1 3x + y = 7

45

⎧ ⎨ ⎩ x – 3y = – 8 x + 2y = 17

44

⎧ ⎨ ⎩ 3x – y = 5 2x + y = 1

43

⎧ ⎨ ⎩ 7x + 2y = 4 5x + y = 1

42

⎧ ⎨ ⎩ x + 2y = 0 3x + 7y = 1

41 40

⎧ ⎨ ⎩ 2x – y = 9 3x – 5y = 10

39

⎧ ⎨ ⎩ – 2x + y = – 1

4x – 2y = 2

38

⎧ ⎨ ⎩ x + 3y = 7 3x + 9y = – 5

37

⎧ ⎨ ⎩ 3x – y = – 5

x + 2y = – 4

36

⎧ ⎨ ⎩ x + 2y = 3 2x + 4y = 6

35

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = 1 2x + y = – 1

34

⎧ ⎨ ⎩ 3x + y = 10 2x + 3y = 9

33

⎧ ⎨ ⎩ x – 4y = 12 x + 3y = – 2

32

⎧ ⎨ ⎩ 2x + y = – 6 3x – y = 1

31

⎧ ⎨ ⎩ x – 2y = – 4 2x + y = 7

30

⎧ ⎨ ⎩ x + y = 1 x – 2y = – 8

29

⎧ ⎨ ⎩ 3x – y = 5 2x + 3y = – 4

28

⎧ ⎨ ⎩ – 3x + 2y = 13

4x + y = 1

27

(12)

Resuelve gráficamente los sistemas:

a) b)

Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas:

Escribe un sistema que tenga la solución:

x = 3, y = –1

Calcula el valor de kpara que x = 2, y = 1 sea solución del sistema:

Calcula dos números sabiendo que suman 92 y que su diferencia es 22

Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 €y bolsas de frutos secos a 1,25 €. Por cada refresco se compran tres bolsas de frutos secos y en total se pagan 230 €. ¿Cuántos refrescos y bolsas se han comprado?

Halla dos números cuya suma sea 12 y el pri-mero más el doble del segundo sea igual a 19

Un ángulo de un rombo mide el triple que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Halla la edad de un padre y la de su hijo sabien-do que la edad del padre es el triple de la del hijo y la diferencia de las edades es de 28 años.

Halla los lados de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide 130 m y que la base es 3/2 de la altura.

Un pantalón y una camisa cuestan 60 €y he pagado por ellos 52,8 €. Si en el pantalón me han hecho el 10 % de descuento y en la camisa, el 15 %, ¿cuánto costaba cada prenda?

81 80 79 78 77 76 75 ⎧ ⎨ ⎩ x + 2y = 4 kx – y = 9

74 73

⎧ ⎨ ⎩ 0,25x + 0,5y = 2 0,75x – 0,5y = 5

72 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + 2y

———— = 3 5

2x + 5y – 8 = 4(y + 1)

71 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x y

— + — = 3

2 3

5x + 2y = 4x + 10

70 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x y — = — 3 4

2x + 3y = 9

69

⎧ ⎨ ⎩ 5x + 3y = 11 3x + 5y = 13

68

⎧ ⎨ ⎩ x = y – 7 x + 2y = 5

67

⎧ ⎨ ⎩ 3x – 5y = 4 2x + y = 7

66

⎧ ⎨ ⎩ 2x + 3y = 12 3x – 2y = 5

65

⎧ ⎨ ⎩ x + y = 16 x + 1 = y – 1

64

⎧ ⎨ ⎩ 3x + 2y = 2 5x – 4y = 40

63

⎧ ⎨ ⎩ 2x – y = 0

x – 2y = 0 ⎧

⎨ ⎩ x + y = 0 x – y = 0

62

Ejercicios y problemas

Para ampliar

Problemas

Se mezcla café de calidad extra de 12€/kg con café normal de 7€/kg para obtener una mezcla de 40 kg a 9€/kg. ¿Cuántos kilos hemos mez-clado de cada clase?

Halla la ecuación de la recta y = ax + b sabien-do que pasa por los puntos A(1, 5) y B(–1, 1)

José ha comprado en el mercado 3 kg de man-zanas y 2 kg de higos y ha pagado 14€. Sabien-do que el kilo de higos cuesta el Sabien-doble que el de manzanas, halla el precio del kilo de manza-nas y del kilo de higos.

84

(13)

El perímetro de un triángulo isósceles mide 27,5 m y cada uno de los lados iguales mide 2,5 m más que el desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

Por una camisa y un pantalón se han pagado 120€, y por dos camisas y tres pantalones se han pagado 312€. ¿Cuánto cuestan cada cami-sa y cada pantalón?

El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide la mitad de cada uno de los iguales. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

Pedro y María van a comprar cuadernos y bolí-grafos. Pedro paga 30€por 5 cuadernos y 6 bolígrafos, y María paga 34€por 7 cuadernos y 2 bolígrafos. ¿Cuánto cuestan cada cuaderno y cada bolígrafo?

Una fábrica hace bicicletas del tipo A, que llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y otras del tipo B, que llevan 2 kg de acero y 2 kg de alumi-nio. Si la empresa tiene 240 kg de acero y 360 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas puede construir de cada modelo?

Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5€el litro con aceite de orujo de 2,5€el litro, para obte-ner 400 litros de mezcla a 2,75€el litro. ¿Cuán-tos litros hemos mezclado de cada aceite?

Halla dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 2 y de resto 3, y que la suma de los dos números es 39

Entre conejos y gallinas hay 48 animales en un corral. Sabiendo que en total hay 86 patas, ¿cuántos conejos y gallinas hay? Interpreta el resultado.

El perímetro de un rectángulo mide 21 m y uno de los lados mide el doble del otro. ¿Cuánto mide cada lado?

El triple de un número más otro número es igual a 29 y el doble del primero menos la mitad del segundo es igual a 10. ¿De qué núme-ros se trata?

Reparte 55€proporcionalmente a 2 y 3

En una tienda, 2 pares de zapatos y 3 pares de deportivos cuestan 170€, y se han pagado por

ellos 132€. Si en los zapatos han hecho el 25% de descuento y en los deportivos el 20%, ¿cuánto costaba cada par?

Dos revistas deportivas y una de automóviles cuestan 6€. Cuatro revistas deportivas y dos de automóviles cuestan 12€. Calcula cuánto cues-tan cada revista deportiva y cada revista de auto-móviles. Interpreta el resultado que se obtiene.

Para profundizar

Halla dos números tales que su suma sea 25 y la sexta parte del primero más cinco veces el segundo sea igual a 38

Entre Juan y Antonio hacen un trabajo por el que cobran 654€. Si Juan ha hecho los 2/3 del trabajo que ha hecho Antonio, ¿cuánto tiene que cobrar cada uno?

En un puesto se venden melones y sandías por unidades. Por la compra de 3 melones y 2 san-días se pagan 8€, y por la compra de 6 melo-nes y 4 sandías se pagan 15€. Calcula el precio de cada melón y de cada sandía e interpreta el resultado que obtengas.

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 306 m y cuya altura mide los 3/4 de la base.

Se mezcla cebada de 0,15€/kg con trigo de 0,2€/kg para obtener 500 kg de pienso para animales a 0,17€/kg. ¿Cuántos kilos de cebada y de trigo hemos mezclado?

El perímetro de un rectángulo mide 24 m y la suma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcu-la Calcu-la longitud de los Calcu-lados del rectángulo e interpreta el resultado que obtengas.

Halla dos números directamente proporciona-les a 5 y 7 cuya suma sea 36

La suma de las edades de un padre y su hijo es de 75 años y la diferencia es de 45 años. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

Un número está compuesto de dos cifras que suman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras de orden, el número aumenta en 18 unidades. ¿De qué número se trata?

106 105 104 103 102 101 100 99 98 97

96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85

(14)

Problemas de velocidades

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 600 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a 80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad B hacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada vehículo.

El tiempo tes el mismo para los dos y hay que aplicar la fórmula e = v · t

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 800 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un tren de mer-cancías a 80 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma estación A otro tren de pasajeros a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia que han recorrido los dos trenes.

108 107

Aplica tus competencias

Clasifica un sistema a partir del número de soluciones y pon un ejemplo de un sistema incompatible.

Resuelve gráficamente el sistema:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800€. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Un prado tiene forma rectangular. La altura del rectángulo mide 5 m menos que la base y el períme-tro mide 82 m. Halla el área del prado.

8 7

⎧ ⎨ ⎩

x = 2y – 1 x = 3y – 6

6

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 7 5x – 6y = 4

5

⎧ ⎨ ⎩

2x + y = 2 3x – y = – 7

4

⎧ ⎨ ⎩

3x + y = 0 2x – 3y = 11

3

⎧ ⎨ ⎩

2x + y = 5 x – 3y = – 1

2 1

Comprueba lo que sabes

600 km

A B

600 – x

80 km/h 120 km/h

x

A B

80 km/h

120 km/h

x

C Tiempo del tren de mercancías: t + 3

(15)

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

a) Elige en la barra de menús Resolver/Siste-ma…En el número de ecuaciones escribe 2y pulsa el botón

b) Introduce las ecuaciones, una en cada cua-dro de texto, y pulsa el botón Resolver

[x = 2 ∧ y = 3]

El sistema es compatible determinado.

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver [ ]

Como no hay solución, el sistema es incom-patible.

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

a) Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver [3x – y = –1]

Como la solución es una ecuación, el siste-ma es compatible indeterminado.

b) Elige Resolver o despejary en el cua-dro Variablesmarca solo la variable y.Haz

clicen el botón Resolver [y = 3x + 1]

Dando valores a xse obtienen los corres-pondientes valores de y,que son las infini-tas soluciones que tiene el sistema. Por ejemplo: x = 0, y = 1; x = 1, y = 4, etcétera.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible determinado, halla la solución.

Solución:

a) En la ventana Álgebraelige Ventana 2D b) Selecciona en la barra de menús:

Ventana/Mosaico Vertical c) Escoge en la barra de menús:

Opciones/Pantalla…/RejillaMostrar/Líneascolor azul claro.

• En Intervalosescribe en Horizontal:12 y en Vertical: 12

d) En la Entrada de Expresionesescribe la primera ecuación:

2x + y = 9

e) Pulsa Introducir Expresión

f ) Activa la Gráficas-2Dy haz clicen Representar Expresión

g) Representa de igual forma la 2ª ecuación.

El sistema es compatible determinado. La solución es x = 4, y = 1

Internet.Abre la web: www.editorial-bru-no.esy elige Matemáticas, cursoy tema.

113

⎧ ⎨ ⎩

2x + y = 9 x – 3y = 1

112

⎧ ⎨ ⎩

3x – y = – 1 – 9x + 3y = 3

111

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 6 4x + 6y = – 3

110

⎧ ⎨ ⎩

x + 2y = 8 3x – y = 3

109

Paso a paso

Ajusta la configuración:en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

(16)

Resuelve algebraicamente los siguientes siste-mas y clasifícalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve algebraicamente los siguientes siste-mas y clasifícalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas, clasifícalos y, si son compatibles determina-dos, halla la solución:

a) b)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado?

118 117

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 12 3x – 2y = 5

⎧ ⎨ ⎩

x – y = 1 – 2x + 2y = 5

116

⎧ ⎨ ⎩

3x – 5y = 4 2x + y = 7

⎧ ⎨ ⎩

9x – 6y = 12 – 3x + 2y = – 4

115

⎧ ⎨ ⎩

4x – 6y = 3 – 2x + 3y = 5

⎧ ⎨ ⎩

3x + 2y = 2 5x – 4y = 40

114

Así funciona

Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas En la ventana Álgebra,barra de menús, se elige Resolver/Sistema…,en el núme-ro de ecuaciones se escribe 2y se pulsa el botón

Se introducen las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y se pulsa el botón Resolver

Se pueden presentar tres casos:

a) Si el sistema es compatible determinado,escribe la solución. b) Si el sistema es incompatible,escribe [ ]

c) Si el sistema es compatible indeterminado,elimina una ecuación. Después, se tiene que elegir Resolver o des-pejar.En el cuadro Variablesse marca solo la variable que se quiere despejar y se hace clicen el botón Resolver

Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

a) Se hace clicen Ventana 2D.Se abre dicha ventana.

b) Se selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical c) Se escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla…/Rejilla

Mostrar/Líneascolor azul claro.

• En Intervalosse escribe en Horizontal:12 y en Vertical:12

d) En la Entrada de Expresionesse escribe la 1ª ecuación y se pulsa Introducir Expresión

e) Se activa la Ventana 2Dy se hace clicen Representar Expresión

f ) En la Entrada de Expresionesse escribe la 2ª ecuación y se pulsa Introducir Expresión

g) Se activa la ventana Gráficas-2Dy se hace clicen Representar Expresión

Borrar gráficas

Estando activa la ventana Gráficas-2D,se elige Borrarla última gráfica

Practica

(17)

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

a) En , elige

y escribe las dos ecuaciones.

b) Pulsa Calcular

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

Solución:

Le añadimos {y}para que despeje la 2ª varia-ble en función de la 1ª

Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible determinado, halla la solución.

Solución:

a) En , elige y

escri-be:

representar(2x + y = 9, {color = rojo}) b) Pulsa [Intro] para continuar en el mismo

bloque y escribe:

c)representar(x – 3y = 1, {color = azul})

d) Pulsa Calcular

Internet.Abre la web: www.editorial-bru-no.esy elige Matemáticas, cursoy tema.

113

⎧ ⎨ ⎩

2x + y = 9 x – 3y = 1

112

⎧ ⎨ ⎩

3x – y = – 1 – 9x + 3y = 3

111

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 6 4x + 6y = – 3

110

⎧ ⎨ ⎩

x + 2y = 8 3x – y = 3

109

Paso a paso

(18)

Resuelve algebraicamente los siguientes siste-mas y clasifícalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve algebraicamente los siguientes siste-mas y clasifícalos a la vista del resultado:

a) b)

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas, clasifícalos y, si son compatibles determina-dos, halla la solución:

a) b)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado?

118 117

⎧ ⎨ ⎩

2x + 3y = 12 3x – 2y = 5

⎧ ⎨ ⎩

x – y = 1 – 2x + 2y = 5

116

⎧ ⎨ ⎩

3x – 5y = 4 2x + y = 7

⎧ ⎨ ⎩

9x – 6y = 12 – 3x + 2y = – 4

115

⎧ ⎨ ⎩

4x – 6y = 3 – 2x + 3y = 5

⎧ ⎨ ⎩

3x + 2y = 2 5x – 4y = 40

114

Así funciona

Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

En , se elige ; en el número

de ecuaciones se escribe 2y se pulsa el botón Aceptar

Se escriben las dos ecuaciones y se pulsa el botón Calcular

Se pueden presentar 3 casos:

a) Si el sistema es compatible determinado,escribe la solu-ción.

b) Si el sistema es incompatible,escribe [ ]

c) Si el sistema es compatible indeterminado,despeja la 1ª variable en función de la 2ª. Si se quiere la 2ª variable en fun-ción de la 1ª, hay que añadir la 2ª entre llaves después del sis-tema: resolver({sistema},{y})

Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

a) En , se elige y se escribe la 1ª ecuación:

representar(2x + y = 9, {color = rojo})

b) Se pulsa [Intro] para continuar en el mismo bloque y se escribe la 2ª ecuación:

representar(x – 3y = 1, {color = azul})

c) Se pulsa Calcular

Practica

Figure

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Referencias

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