0.1 – Matemática Básica I

(1)

- Departamento de Matem´atica Aplicada (GMA)

MATEM ´

ATICA B ´

ASICA

Notas de aula

- vers˜

ao 3

2009-1

Marlene Dieguez Fernandez

Observa¸c˜oes gerais

(2)

Sum´

ario

I

No¸c˜

oes de l´

ogica e conjuntos

2

1

Conjuntos

3

1.1 Conceito primitivo . . . 3

1.2 Formas de descrever conjuntos . . . 3

1.3 Atribui¸c˜ao de letra ou de nome a conjunto . . . 4

1.4 A rela¸c˜ao entre elemento e conjunto: o s´ımbolo 00_∈ 00 _{. . . .} ₄

1.5 Conjuntos especiais . . . 5

1.5.1 Conjuntos num´ericos . . . 5

1.5.2 Conjunto vazio . . . 5

1.5.3 Conjunto unit´ario . . . 5

1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito . . . 6

1.5.5 Conjunto universo . . . 6

1.6 Visualiza¸c˜ao: Diagrama de Venn . . . 6

2

Primeiras no¸c˜

oes de l´

ogica

6

2.1 Afirma¸c˜ao ou senten¸ca l´ogica . . . 6

2.2 O operador lógico 00_não00 _{e os conectivos lógicos} 00_e00 00_ou00 _{. . . .} ₇

2.2.1 O operador 00_n˜ao00 _{. . . .} ₇

2.2.2 O conectivo 00_e00 _{. . . .} ₇

2.2.3 O conectivo00_ou00 _{. . . .} ₈

2.2.4 Nega¸c˜oes de 00_e00 _{e de}00_ou00_{: Leis de De Morgan . . . .} ₈

2.3 Quantificadores . . . 9

2.3.1 O quantificador universal: 00_∀00 _{. . . .} ₉

2.3.2 O quantificador existencial: 00_∃ 00 _{. . . .} ₉

2.3.3 As nega¸c˜oes de 00_∃00 _{e de} 00_∀00_{. . . 10}

2.4 Os conectivos l´ogicos =⇒ e ⇐⇒ . . . 10

2.4.1 O conectivo =⇒ (implica¸c˜ao) . . . 10

2.4.2 Quandop=⇒q´e falso? ou seja, quandop6=⇒q´e verdadeiro?. . . 12

2.4.3 O conectivo ⇐= (a rec´ıproca de =⇒) . . . 12

2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivalˆencia) . . . 13

2.5 Defini¸c˜ao: o que ´e? . . . 14

2.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar? . . . 15

3

Outros conceitos da linguagem dos conjuntos

16

3.1 Igualdade, inclus˜ao e subconjuntos . . . 16

3.1.1 Igualdade de conjuntos. . . 16

3.1.2 Inclus˜ao e subconjunto . . . 17

3.1.3 A nega¸c˜ao de 00 _⊂ 00 _{. . . 17}

3.1.4 Propriedades da inclus˜ao. . . 17

3.2 Opera¸c˜oes com conjuntos . . . 18

3.2.1 Uni˜ao e interse¸c˜ao . . . 18

3.2.2 Conjuntos disjuntos . . . 20

3.2.3 Diferen¸ca e complementar . . . 20

3.2.4 Propriedades das opera¸c˜oes e do complementar . . . 20

4

No¸c˜

oes da estrutura de teorias matem´

aticas: axioma, postulado, hip´

otese, tese,

defini¸c˜

ao, propriedade, Teorema, ...

21

5

T´

ecnicas de Demonstra¸c˜

ao

22

5.1 Teste de todos casos admiss´ıveis . . . 23

5.2 M´etodo dedutivo . . . 23

5.3 Redu¸c˜ao ao absurdo e contradi¸c˜ao . . . 24

(3)

Parte I

No¸c˜

oes de l´

ogica e conjuntos

Introdu¸c˜ao

Porque estudar no¸c˜oes de l´ogica?

Se um problema foi resolvido, é claro que a lógica foi usada para resolvê-lo, mas sem o conhecimento de várias informa¸cões sobre o problema, de nada adiantaria simplesmente usar a lógica, não poder´ıamos ter encontrado a solu¸cão. Na verdade, a lógica funciona fazendo a liga¸cão ou conexão entre várias informa¸cões para poder concluir novas informa¸cões.

O que pretendemos nesse in´ıcio de curso é formalizar alguns procedimentos lógicos ou itens da lógica, de forma que se criarmos o hábito de aplicar esses procedimentos lógicos, com certeza não chegaremos a conclusões erradas, tão comuns. Além disso, tendo o claro conhecimento de quais são esses procedimentos lógicos, sempre poderemos recorrer a eles para encontrar a solu¸cão ou as poss´ıveis solu¸cões ou concluir que um problema não tem solu¸cão, bem como compreender ou demonstrar teoremas.

A l´ogica e os conjuntos.

O uso dos procedimentos lógicos podem ser exemplificados em qualquer área de conhecimento humano, mas, por simplicidade e facilidade, a maioria dos nossos exemplos serão com conjuntos. Para isso, primeiramente vamos rever conceitos da linguagem dos conjuntos. A seguir veremos as primeiras no¸cões de lógica. Aplicaremos essas no¸cões de lógica a novos conceitos de conjuntos, voltaremos com mais no¸cões de lógica que serão aplicados aos conjuntos. Isto é, formaliza¸cões conceituais de itens da lógica e de conjuntos serão vistos paralelamente.

1 Conjuntos

1.1

Conceito primitivo

Umconjunto ´e uma cole¸c˜ao de objetos ou deelementos.

Observe que não precisamos especificar a natureza desses elementos, juntando alguns elementos, com similari-dade ou não entre eles, já conseguimos formar um conjunto.

Exemplos

1. os três elementos carbono, hidrogêneo e oxigêneo formam um conjunto 2. gato, cachorro, cavalo e boi formam um conjunto

3. uva, ma¸c˜a, gato e cachorro formam um conjunto 4. os animais mam´ıferos formam um conjunto

5. os n´umeros inteiros entre 4 e 400 formam um conjunto

6. os n´umeros inteiros entre 1 e 10 junto com as 10 primeiras letras do alfabeto formam um conjunto 7. os n´umeros inteiros maiores do que−4 formam um conjunto

1.2

Formas de descrever conjuntos Um conjunto pode ser descrito por:

• Listagem dos elementos entre chaves Exemplos

1. {uva, ma¸c˜a, gato, cachorro} 2. {−4,−2,0,2,4}

(4)

4. {20,40,60,· · · }

Observa¸cão sobre o s´ımbolo00_{· · ·} 00_{. Quando são muitos os elementos a serem listados, podemos usar o s´ımbolo} 00_{· · ·} 00_{no lugar de toda a listagem, desde que fique claro quais são os elementos que foram substitu´ıdos por} 00_{· · ·} 00_.

• Indica¸c˜ao da propriedade de seus elementos. ´

E comum usar essa forma de descri¸cão quando o conjunto tem muitos elementos. As propriedades podem estar ou não entre chaves, isto é,

– podemos descrever em palavras: conjunto dos elementos que possuem a propriedadeP – podemos descrever em s´ımbolos: {x ; x possui a propriedadeP }

No segundo caso00_; 00 _{tem o significado de} 00_{tal que}00_{. Tamb´em ´e comum usar} 00_|00 _significando00_{tal que}00_. Exemplos

1. Conjunto (ou esp´ecie) de animais mam´ıferos. 2. {X tal queX ´e animal mam´ıfero}.

3. {x;x´e n´umero inteiro par situado entre−100 e 100}. 4. {p| p= 20n e n= 1,2,3,4,· · · }

Aten¸cão: em matemática ou em lógica temos que ser bem claros ou precisos, não pode haver dúvida sobre a propriedade que descreve um conjunto.

Exemplo: conjunto de plantas bonitas não faz sentido, beleza não é propriedade porque é subjetiva.

1.3

Atribui¸c˜ao de letra ou de nome a conjunto

Por simplicidade, quando dentro de uma ou mais frases, precisamos nos referir a um mesmo conjunto várias vezes, é aconselhável atribuirmos uma letra a esse conjunto, o usual é letra maiúscula. Neste caso dizemos que a letra é igual ao conjunto com significado de nome ou letra representar o conjunto.

Obs. pode ser uma palavra ou uma ´unica letra que representa o conjunto, o que acharmos conveniente. 1. Arepresenta o conjunto dos ´ımpares entre -100 e 100

A= conjunto dos ´ımpares entre -100 e 100

A={−99,−97,−95,−93, · · · ,93,95,97,99}

2. r´e o conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixosAeB, todos no mesmo plano

r= conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos AeB, todos no mesmo plano

Aqui preferi usar a letra minúscular, em geometria essa é a nota¸cão usual para retas. Observe que o conjunto são os pontos de uma reta.

1.4

A rela¸c˜ao entre elemento e conjunto: o s´ımbolo 00_∈ 00

O s´ımbolo 00_∈ 00_{é usado para dizer que um elemento}_a_pertence _{a um conjunto A, isto é,}_a_∈_A_. O s´ımbolo 00_6∈ 00_{é usado para dizer que um elemento}_a_{não pertence} _{a um conjunto A, isto é,}_a_6∈_A_. Exemplos

1. SejaP = conjunto dos n´umeros pares. 1000∈P e 10016∈P.

2. SejaA= conjunto dos valores de xque são solu¸cões da equa¸cão (x−2)(x+ 10) = 0. Verifique que 2∈A , −10∈A, 06∈A.

(5)

1.5

Conjuntos especiais 1.5.1 Conjuntos num´ericos

Os seguintes conjuntos numéricos serão estudados com detalhes mais adiante. • Conjunto dos números naturais, denotado porN={1,2,3,· · · }

Provavelmente você está surpreso com o fato do número zero não fazer parte desse conjunto. Aqui cabe uma observa¸cão de carater geral: uma das mais importantes caracter´ısticas da Matemática é ser uma linguagem universal, por isso, usamos tantos s´ımbolos e conceitos. Se, na internet você usar um buscador para encontrar

<números naturais> ficará surpreso com a quantidade de sites de discussão se o zero é ou não um número natural. Na verdade, estamos diante de um conceito matemático não universal, considerar ou não o zero um número natural tem consequências, precisamos fazer uma escolha ou conven¸cão. É claro que o número 0 é importante, por isso está inclu´ıdo nos inteiros. Quando 0 é convencionado natural, sempre que uma afirma¸cão não for verdadeira paran= 0 será preciso dizer que né natural,n >0. Quando um texto (livro, notas de aula, artigo, etc) fizer referência aos números naturais, procure em algum lugar no texto qual a conven¸cão usada para os naturais, em geral fica no in´ıcio, como estamos fazendo aqui.

• Conjunto dos n´umeros inteiros, denotado porZ={· · ·,−3,−2,−1,0,1,2,· · · }. • Conjunto dos n´umeros racionais, denotado porQ

• Conjunto dos n´umeros reais, denotado porR • Conjunto dos n´umeros complexos, denotado porC

Por enquanto, vamos admitir que se apresentamos um número, sabemos dizer se esse número pertence ou não pertence a cada um desses conjuntos. Exemplos,

1. 10∈N; 10∈Z; 10∈Q; 10∈R; 10∈C

2. −106∈N; −10∈Z; −10∈Q; −10∈R; −10∈C 3. 2

5 6∈N; 256∈Z; 25 ∈Q; 25 ∈R; 25 ∈C

4. √26∈N; √26∈Z; √26∈Q; √2∈R; √2∈C

5. √−26∈N; √−26∈Z; √−26∈Q; √−26∈R; √−2∈C 1.5.2 Conjunto vazio

Se não há como listar elementos ou não há elemento que possui a propriedade do conjunto dizemos que esse é um conjunto vazio. Denotamos um conjunto vazio pelos s´ımbolos{ }ou∅.

Exemplos

1. O conjunto dos animais imortais ´e um conjunto vazio.

2. O conjunto dos números reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero é vazio. 1.5.3 Conjunto unitário

Um conjunto é dito um conjunto unitário quando possui um único elemento. Exemplos

1. A= conjunto dos pa´ıses pentacampeões da Copa do Mundo até o ano de 2009. O Brasil é o único elemento desse conjuntoA!!!

2. Conjunto dos números reais aproximados em duas casas decimais que resultam da extra¸cão da raiz quadrada do número 2.

O ´unico elemento desse conjunto ´e 1,41.

(6)

1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito

Um conjunto A é dito finito quando é poss´ıvel contar todos os seus elementos. O resultado dessa contagem é chamado de número de elementos do conjunto A ou cardinal de A, denotado por # A, com valor poss´ıvel 0 ou número natural.

Observa¸c˜oes

• Elementos repetidos s˜ao contados uma ´unica vez.

• Apesar de não ser poss´ıvel contar os elementos do conjunto vazio, por conven¸cão e coerência com o que será visto adiante sobre outros conceitos de conjuntos (união e interse¸cão), diz-se que o conjunto vazio é finito e possui 0 elementos.

• Se um conjunto não é finito podemos dizer qualquer uma das duas afirma¸cões: o conjunto éinfinitoou possui umainfinidade de elementos. Denota-se por #A=∞.

Exemplos

1. A={−100,−98,−96,−94, · · · ,94,96,98,100}´e finito. #A= 101. Verifique.

2. A= conjunto dos números reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero é finito. #A= 0. 3. A={0,2,4,· · ·,94,96,98,100, . . .}é infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A=∞.

4. A= conjunto dos n´umeros reais entre -100 e 100 ´e infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A=∞. 1.5.5 Conjunto universo

O conjunto Universo ´e o maior conjunto no contexto que estamos trabalhando (livro, cap´ıtulo de livro, tese, notas de aula, teoria, problema, etc).

Em alguns casos há necessidade de citar qual o conjunto Universo está sendo considerado, pois dependendo do conjunto universo, chega-se a conclusões distintas. Por exemplo,A=©x;x é solu¸cão da equa¸cão 4x2_{= 25}ª_.

Se o conjunto universo (isto é, o conjunto em que devemos encontrar os valores de x) são os racionais ou os reais, encontramos duas solu¸cões,x= 5

2 ex=−52. Se o conjunto universo são os inteiros, não há solu¸cão.

´

E usual explicitar o conjunto universo no in´ıcio, se no exemplo anterior o conjunto universo são os racionais, dever´ıamos ter escrito: A=©x∈Q;x é solu¸cão da equa¸cão 4x2_{= 25}ª_.

1.6

Visualiza¸c˜ao: Diagrama de Venn

Dado um conjunto, atribuimos uma letra a esse conjunto e envolvemos ou cercamos essa letra com uma curva fechada qualquer, como na figura ao lado. A curva e a letra formam o Diagrama de Venn, uma representa¸c˜ao visual do conjunto. A figura ao lado ´e o diagrama de Venn de um conjuntoA.

Quando estamos lidando com vários conjuntos e as rela¸cões existentes entre eles, a representa¸cão dos conjuntos em diagramas de Venn é particularmente ´

util. Veremos exemplos mais adiante.

A

2 Primeiras no¸c˜

oes de l´

ogica

2.1

Afirma¸c˜ao ou senten¸ca l´ogica

Uma afirma¸cão pode ser considerada uma afirma¸cão ou senten¸ca lógica quando for poss´ıvel atribuir um e só um dos dois valores a essa afirma¸cão: verdadeiro ou falso.

Observa¸c˜oes

• Algumas afirma¸cões não são consideradas afirma¸cões lógicas. Por exemplo, ”ma¸cã é uma fruta sem gra¸ca” tem muita subjetividade, uns vão responder que é verdadeira, outros vão responder que é falsa por causa do ”sem gra¸ca”. Logo essa não é uma afirma¸cão lógica.

Se a afirma¸cão fosse apenas ”ma¸cã é uma fruta”, todos iriam responder que é verdadeira. Logo essa é uma afirma¸cão lógica.

(7)

• Uma afirma¸cão lógica pode ter um termo variável ou indeterminado, por exemplo 00_x_{é um n´}_{umero real}00 _. Dependendo do valor que se atribua à letraxpodemos responder se a senten¸ca é verdadeira ou falsa. Neste caso, diz-se que éuma afirma¸cão aberta ou senten¸ca lógica aberta.

• Caso não exista termo variável ou indeterminado na afirma¸cão, dizemos que é umaafirma¸cão fechada ou senten¸ca lógica fechada. Por exemplo, 00_{o n´}_{umero 10.000 é uma potência de 10}00_{é uma afirma¸cão lógica} fechada e é verdadeira. 00_{o n´}_{umero 300 é divis´ıvel por 10.000}00_{é uma afirma¸cão lógica fechada e é falsa.} • E bastante comum usar a palavra´ proposi¸cão em vez de afirma¸cão. Assim, podemos substituir a palavra

afirma¸c˜ao pela palavra proposi¸c˜ao em tudo que foi dito acima. Ora vamos usar uma, ora outra.

• Quando é pedido ”verificar queuma afirma¸cão ou proposi¸cão é verdadeira”, já está dito que é verdadeira, é só para provar que é verdadeira. Por exemplo,00_{Verifique que 2437 é um n´}_{umero primo}00_{, já está dizendo} que é verdadeiro que o número 2437 é primo, está sendo pedido para provar que é um número primo. Quando é pedido ”verificar se uma afirma¸cão ou proposi¸cão é verdadeira”, não está dito que é verdadeira, a resposta pode ser uma das duas, verdadeira ou falsa. 00_{Verifique se 4693 é um n´}_{umero primo}00_{, não está} afirmando que é verdaderio, nem que é falso, é preciso descobrir, a resposta poderá ser verdadeira ou falsa. • Muitas afirma¸cões são da forma: ”suponha quexpossui a propriedadeP”. Neste caso a única possibilidade

éxpossuir a propriedadeP ser verdadeiro, isto é, no lugar de x, só podemos atribuir um valor que possui a propriedadeP.

• Por simplicidade, podemos atribuir letras a uma afirma¸c˜ao, por exemplo 00_p_{: suponha x um n´}_{umero inteiro} maior que 1000_.

• Uma afirma¸cão pode ser uma afirma¸cão ou senten¸ca simples, isto é, com uma ´unica senten¸ca, bem como pode ser uma afirma¸cão ou senten¸ca composta, isto é, formada por várias afirma¸cões, todas ligadas entre si por termos com significado lógico bem definido, chamados conectivos lógicos. Veremos alguns desses conectivos com detalhes nas próximas se¸cões.

2.2

O operador l´ogico 00_n˜_ao00 _{e os conectivos l´}_ogicos 00_e00 00_ou00 2.2.1 O operador 00_n˜_ao00

A toda afirma¸cão 00_p00 _{corresponde uma afirma¸cão} 00_não_p00 _{e denotamos} 00_∼_p00_. Observa¸cão:

- Quando p é verdadeira, ∼p é falsa. - Quando p é falsa, ∼p é verdadeira.

Exemplos

1. p:−2 é um n´umero inteiro (pé verdadeira) não p:−2 não é um n´umero inteiro (nãopé falsa) 2. q: 10 é múltiplo de 3 (qé falsa) nãoq: 10 não é múltiplo de 3 (nãoqé verdadeira) 3. r: −38

10 está entre−4 e−3 (ré verdadeira) ∼r:−3810 não está entre−4 e−3 (∼ré falsa)

4. p:xé um número maior do que zero ∼p:xnão é um número maior do que zero 5. p:xé solu¸cão da equa¸cão 2x−1 = 4 nãop:xnão é solu¸cão da equa¸cão 2x−1 = 4 6. p:{x∈R; 2x−1 = 4}=©5

2

ª

n˜aop:{x∈R; 2x−1 = 4} 6=©5 2

ª

2.2.2 O conectivo 00_e00

Dadas duas afirma¸c˜oes 00_p00 _e 00_q00_{, podemos formar uma afirma¸c˜ao composta} 00_p _e _q00 _{tal que}

(8)

1. p: 20 é par (V) q: 20 é maior do que 10 (V) peq: 20 é par e maior do que 10 (V) 2. p: 20 é par (V) q: 20 é menor do que 10 (F) peq: 20 é par e menor do que 10 (F) 3. p: 20 é ´ımpar (F) q: 20 é maior do que 10 (V) peq: 20 é ´ımpar e maior do que 10 (F) 4. p: 20 é ´ımpar (F) q: 20 é menor do que 10 (F) p∧q: 20 é par e menor do que 10 (F) 5. p: se xé par é V q: se x é maior do que 10 é V peq: x é par e maior do que 10 é V

6. p: x∈A (V) q: x∈B (V) p∧q: x∈Aex∈B (V)

7. p: x∈A (V) q: x∈B (V) ∼q: x6∈B (F) p∧ ∼q: x∈Aex6∈B (F) 8. p: x∈A (V) ∼p: x6∈A (F) q: x∈B (V) ∼p∧q: x6∈Aex∈B (F)

9. p: x∈A (V) ∼p: x6∈A (F) q: x∈B (V) ∼q: x∈B (F) ∼p∧ ∼q: x6∈Aex6∈B (F) 2.2.3 O conectivo 00_ou00

Dadas duas afirma¸cões00_p00 _e00_q00_{, podemos formar uma afirma¸cão composta}00_p_ou_q00 _{tal que} 00_p_ou_q00 _{é verdadeira quando pelo menos uma das afirma¸cões}00_p00 _ou00_q00 _{é verdadeira.}

Uma outra nota¸cão usual é00_p _∨ _q00_{. Usaremos indistintamente uma das duas:} 00_{p ou q}00 _ou00_p _∨ _q00_. Observa¸cão:

O00_ou00 _{l´ogico tem o mesmo significado do}00_e/ou00_{da nossa linguagem corrente.}

Na linguagem corrente, apenas00_ou00_{muitas vezes significa um ou outro, não os dois simultâneamente. Por} exem-plo,00_{o documento deverá ser assinado pelo diretor ou pelo sub-diretor}00_{. Em lógica, este}00_ou00_{é dito}00_{ou exclusivo}00_. Exemplos

1. p: 20 é par (V) q: 20 é negativo (F) 00_p _∨ _q00_{: 20 é par ou negativo (V)} 2. p: 20 é ´ımpar (F) q: 20 é positivo (V) 00_p _∨ _q00_{: 20 é ´ımpar ou positivo (V)} 3. p: 20 é par (V) q: 20 é positivo (V) 00_p _∨ _q00_{: 20 é par ou positivo (V)} 4. p: 20 é ´ımpar (F) q: 20 é negativo (F) 00_p _∨ _q00_{: 20 é ´ımpar ou negativo (F)}

5. p: o carro avan¸cou sinal (V) q: o carro derrapou (V) 00_p _∨ _q00_{: o carro avan¸cou sinal ou derrapou (V)} 6. p: o carro avan¸cou sinal (V) q: o carro derrapou (F) 00_p _∨ _q00_{: o carro avan¸cou sinal ou derrapou (V)} 7. p: o carro avan¸cou sinal (F) q: o carro derrapou (V) 00_p _∨ _q00_{: o carro avan¸cou sinal ou derrapou (V)} 8. p: o carro avan¸cou sinal (F) q: o carro derrapou (F) 00_p _∨ _q00_{: o carro avan¸cou sinal ou derrapou (F)} 2.2.4 Nega¸c˜oes de 00_e00 _{e de} 00_ou00_{: Leis de De Morgan}

Dadas as afirma¸cõespeq, são válidas as seguintes leis: (I) ∼(p e q) tem o mesmo significado de ∼p ou ∼q

(II) ∼(p ou q) tem o mesmo significado de ∼p e ∼q

Para verificar (I), basta construir as quatro possiblidades para peq e verificar que em qualquer dos casos os resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo s˜ao iguais.

p q ∼p ∼q (peq) ∼(peq) (∼p ou ∼q)

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

(9)

Para verificar (II), basta construir as quatro possiblidades para peq e verificar que em qualquer dos casos os resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo s˜ao iguais.

p q ∼p ∼q (pouq) ∼(pouq) (∼p e ∼q)

V V F F V F F

V F F V V F F

F V V F V F F

F F V V F V V

Exemplos

1. (peq) : xé par e positivo ∼(peq) : xnão é par ouxnão é positivo

2. (pouq) : né múltiplo de 2 ou de 5 ∼(pouq) : nnão é múltiplo de 2 e não é múltiplo de 5 3. (peq) : 36 é múltiplo de 3 e de 2 (V) ∼(peq) : 36 não é múltiplo de 3 ou não é múltiplo de 2 (F) 4. (peq) : 32 é múltiplo de 2 e de 5 (F) ∼(peq) : 32 não é múltiplo de 2 ou não é múltiplo de 5 (V) 5. (peq) : 3∈A e4∈A ∼(peq) : 36∈Aou46∈A

6. (pouq) : 8∈B ou10∈B ∼(pouq) : 86∈B e106∈B

2.3

Quantificadores

2.3.1 O quantificador universal: 00 _∀00

Quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjuntoA, dizemos: para todox∈A, usamos o s´ımbolo ∀x∈A.

Outras formas de escrever, com mesmo significado: para qualquerx∈A, para qualquer que sejax∈A. Exemplos

1. √x≥0 ∀x; x∈R e x≥0

2. ConsidereA= conjunto dos m´ultiplos de 10. Podemos verificar que: ∀x∈A, x´e par. 2.3.2 O quantificador existencial: 00_∃ 00

Quando queremos nos referir a alguns dos elementos de um conjuntoA, dizemos: para algumx∈A, usamos o s´ımbolo ∃x∈A.

Exemplos

1. ∃x∈Rtal que√x >3. Neste caso existe uma infinidade de valores de x∈R, mas n˜ao s˜ao todos. 2. ∃x∈Qtal que 5x= 1. Neste caso existe apenas um valor dex∈Q, x= 1

5.

3. x2_{= 9 para algum} _x_∈_R_{, ou, escrevendo de outra forma,} _∃_x_∈_R_; _x2_{= 9.}

Neste caso existem dois valores dex∈R, s˜ao: x= +√9 = +3 ou x=−√9 =−3. 4. Dada uma constante a∈R; a≥0, podemos afirmar que ∃x∈R; x2₌_a_.

No casoa= 0 existe um valor dex∈Rque ´ex= 0

No casoa >0, existem dois valores dex∈R, s˜ao: x= +√a ou x=−√a.

Observa¸cão: a seguir temos várias formas alternativas de escrever afirma¸cões, todas com mesmo significado. • A propriedade P é válida para algumx∈A.

(10)

• Para pelo menos umx∈A, xpossui a propriedadeP.

• Existex∈A tal que xpossui a propriedadeP (00 _{tal que}00 _{pode ser substitu´ıdo por}00 _; 00_). • Existe pelo menos umx∈A; xpossui a propriedadeP.

• Existe algumx∈A; xpossui a propriedadeP. • ∃x∈A; xpossui a propriedadeP.

2.3.3 As nega¸c˜oes de 00_∃00 _{e de} 00_∀00

A nega¸cão de p: ∀x; x possui a propriedadeP é ∼p: ∃x; x não possui a propriedadeP A nega¸cão de p: ∃x∈A; x possui a propriedadeP é ∼p: ∀x∈A; x não possui a propriedadeP

Mas a nega¸c˜ao de p tamb´em pode ser: ∼p: 6 ∃x∈A; x possui a propriedadeP Exemplos

1. p: x≥1 ∀x∈R (F) ∼p: ∃x∈R; x <1 (V) 2. p: ∀aconstante real, x2₌_a2 _{admite solu¸c˜ao real} _(V)

∼p: ∃aconstante real: x2₌_a2 _{n˜ao admite solu¸c˜ao real} _(F)

3. p: Existe algum planeta que possui seres vivos (V). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos. ∼p: Todos os planetas n˜ao possuem seres vivos (F). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos. 4. p: Existe algum planeta que n˜ao possui seres vivos (pode ser V ou pode ser F).

Por enquanto, n˜ao h´a justificativa para verdadeira nem para falsa.

∼p: Todos os planetas possuem seres vivos (pode ser F ou pode ser V, respectivamente)

2.4

Os conectivos l´ogicos =⇒ e ⇐⇒ 2.4.1 O conectivo =⇒ (implica¸c˜ao)

Dadas duas afirma¸c˜oes (ou proposi¸c˜oes) p e q

temos que a afirma¸cão (ou proposi¸cão) p =⇒ q é verdadeira quando

sempre que p é uma afirma¸cão verdadeira então q também é uma afirma¸cão verdadeira

Em outras palavras, estamos supondo que são dadas duas afirma¸cões, p e q e supomos também que p é verdadeira. Neste caso, quandopé verdadeira, o que acontece comq? é verdadeira ou falsa? Se de alguma forma conseguirmos concluir queqsó pode ser verdadeira, dizemos quep =⇒ q.

Observa¸c˜oes

• Esse de 00_{alguma forma conseguimos concluir que é verdadeira}00_{, podemos citar que alguém já conseguiu} provar a conclusão ou que a conclusão foi provada em algum lugar ou temos que provar a conclusão. Existem vários métodos de prova, mais adiante veremos alguns.

• Há várias formas alternativas de escrever a afirma¸cão ou proposi¸cão p =⇒ q , todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir. Sugestão: leia antes o exemplo 1.

– Se p é uma afirma¸cão verdadeira então q é uma afirma¸cão verdadeira. – Se pentão q.

– p implica em q (da´ı vem a palavra implica¸c˜ao) – p implica q

– pverdadeira é uma condi¸cão suficiente paraqverdadeira. – pécondi¸cão suficiente paraq.

(11)

– Se ∼qé verdadeira então ∼pé verdadeira.

Essa precisamos verificar que de fato tem o mesmo significado. Vejamos, primeiro estamos admitindo que ∼ q é verdadeira, isto é q é falsa. Mas p só tem uma das duas possibilidades, verdadeira ou falsa. Se p for verdadeira, como admitimos que p=⇒q, temos que q é verdadeira. Como assim?

q não pode ser verdadeira e falsa, logo p não pode ser verdadeira,psó pode ser falsa, isto é, ∼pé verdadeira, como quer´ıamos verificar.

– Se q é falsa então pé falsa. (idem anterior) – Se ∼qé verdadeira =⇒ ∼pé verdadeira. – Se q é falsa =⇒ pé falsa.

– qser verdadeira é uma condi¸cão necessária parapser verdadeira.

A condi¸cãoqprecisa ser verdadeira, porque seqfosse falsa, entãopseria falsa também, como vimos em parágrafo anterior.

– qé uma condi¸cão necessária parap.

– Uma condi¸cão necessária parapser verdadeira é qser verdadeira. – Uma condi¸cão necessária parap é q.

• O conectivo lógico =⇒ é transitivo, ou seja, se p=⇒q e q=⇒r então p=⇒r. Ver exemplo 2.

• ATENÇ ÃO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condi¸cãop é falsa, simplesmente porque a afirma¸cão

p=⇒qsó garante o que acontece quandopé verdadeira, é omissa quandopé falsa. Isso significa que quando

pé falsa e só sabemos quep=⇒q, nada podemos concluir sobreq, isto é, tantoqpode ser verdadeira quanto

qpode ser falsa. Ver exemplo 3. Exemplos

1. A = conjunto das infra¸cões de trânsito numpa´ıs ideal. B = conjunto das penalidades de trânsito num pa´ıs ideal. Obs. pa´ıs ideal é aquele onde de fato a lei é aplicada.

Uma das infra¸cões é00_{invadir sinal}00 _{que significa desobedecer sinal vermelho.} Uma das penalidades é ser multado.

Uma das leis é: invadir sinal será penalizado com multa e perderá sete pontos na carteira de habilita¸cão. Dessa lei, podemos concluir que

p: invadir sinal (V) =⇒ q: recebe multa (V)

• Podemos escrever tamb´em em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado. – invadir sinal =⇒ receber multa

– Se p: invadir sinal (V) ent˜ao q: recebe multa (V). – Se invadir sinalent˜ao recebe multa.

– p: invadir sinal (V) implica em q: receber multa (V) – invadir sinal implica receber multa

– p: invadir sinal (V) é uma condi¸cão suficiente paraq: receber multa (V). – invadir sinal écondi¸cão suficiente para receber multa.

– Se∼q: não recebe multa (V) então ∼p: não invadiu sinal (V).

Vejamos, primeiro estamos admitindo ∼q: n˜ao receber multa (V). Parapresta uma das duas possibilidades, p: invadiu sinal (V) ou ∼p: n˜ao invadiu sinal (V).

Vamos escolher a primeira,p: invadiu sinal (V).

Neste caso,p: invadiu sinal (V) =⇒ q: recebe multa (V).

Como assim? ∼q : não recebe multa (V) e q: recebe multa (V) não podem ser verdadeiras simultaneamente. Logo só resta a outra possibilidade,∼p: não invadiu sinal (V).

– Se não recebe multa então não invadiu sinal.

(12)

2. p: x é múltiplo de 10 =⇒ q: x é par.

Podemos afirmar que a implica¸cão é verdadeira. Acreditamos que você saiba porquê. Se não sabe, aqui está uma prova.

xé múltiplo 10 =⇒xé múltiplo de 2 e de 5 =⇒xé múltiplo de 2 =⇒xé par.

• Podemos escrever também em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado. – Sexé múltiplo 10 entãoxé par.

– xser múltiplo de 10 é condi¸cão suficiente paraxser par. – xnão é par =⇒xnão é múltiplo de 10.

– xser número par é condi¸cão necessária para xser múltiplo de 10. 3. No exemplo 2 anterior,

sexfor igual a 25, a afirma¸cãopé falsa e a afirma¸cãoqé falsa. sexfor igual a 22, a afirma¸cãopé falsa e a afirma¸cãoqé verdadeira.

Este exemplo serve para evidenciar que não estamos afirmando nada quando pé falsa, isto é, a afirma¸cão

p=⇒qsó garante queqserá verdadeira sempre quepfor verdadeira, não garante nada sobreqquandopfor falsa.

2.4.2 Quando p=⇒q´e falso? ou seja, quandop6=⇒q´e verdadeiro?

No caso p verdadeira e q falsa. Exemplos:

1. 3 é primo =⇒7 é divisor de 37 é FALSA.

Justificativa: 3 é primo é VERDADEIRA e 7 é divisor de 37 é FALSA.

2. Quando as afirma¸cões p e q são senten¸cas abertas, a implica¸cão será falsa se apresentarmos um caso ou exemplo em que p seja verdadeira e q seja falsa.

∀a∈R; a <1 =⇒a2_<₁ _{´e FALSA,} _{isto ´e,} _∀_a_∈_R_; _{a <}₁₆₌_⇒_a2_<_1.

Justificativa: a=−2<1 ´e VERDADEIRA e a2_{= (−2)}2_{= 4}_<_{1 ´e FALSA.}

2.4.3 O conectivo ⇐= (a rec´ıproca de=⇒)

temos que a afirma¸cão (ou proposi¸cão) p ⇐= q é verdadeira quando q=⇒pé verdadeira.

Em outras palavras, estamos supondo que são dadas duas afirma¸cões, p e q e supomos também que q é verdadeira. Neste caso, quandoqé verdadeira, o que acontece comp? é verdadeira ou falsa? Se de alguma forma conseguirmos concluir quepsó pode ser verdadeira, dizemos quep ⇐= q.

Observa¸c˜oes

• Há várias formas alternativas de escrever a afirma¸cão ou proposi¸cão p ⇐= q , todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir. Para a maioria basta fazer uma troca de ordem de pe q na observa¸cão análoga dep=⇒q.

– Se q é uma afirma¸cão verdadeira então p é uma afirma¸cão verdadeira. – Se qentãop.

– p ´e implicado por q (da´ı vem a palavra rec´ıproca) – q implica em p

– q implica p

– qverdadeira é uma condi¸cão suficiente parapverdadeira. – qécondi¸cão suficiente parap.

(13)

– Se p: é falsa então qé falsa.

– pser verdadeira é uma condi¸cão necessária paraqser verdadeira.

A condi¸cãopprecisa ser verdadeira, porque sepfosse falsa, entãoqseria falsa também, como vimos em parágrafo anterior.

– pé uma condi¸cão necessária paraq.

– Uma condi¸cão necessária paraqser verdadeira é pser verdadeira. – Uma condi¸cão necessária paraq é p.

• ATENÇ ÃO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condi¸cãoq é falsa, simplesmente porque a afirma¸cão

p⇐=qsó garante o que acontece quandoqé verdadeira, é omissa quandoqé falsa. Isso significa que quando

qé falsa e só sabemos quep⇐=q, nada podemos concluir sobrep, isto é, tantoppode ser verdadeira quanto

ppode ser falsa. Exemplo

∀x∈R; x2_<₄_⇐₌_∀_x_∈_R_{; 0}_≤_{x <}_{2. Queremos provar que a proposi¸c˜ao ´e verdadeira.}

Vamos usar aqui uma propriedade de ordem dos números reais que será vista com detalhes mais adiante. Considerea, b, c, constantes reais. Vale a seguinte propriedade : a < b e c >0 =⇒ac < bc. Em palavras, a desigualdade não se altera quando multiplica-se os dois lados por um número positivo.

Admitimosx∈R; 0≤x <2 (isto ´e, supomos verdadeira a afirma¸c˜ao). 0≤x <2 =⇒x <2 e (x= 0 ou x >0).

Casox= 0 temos que x2_{= 0}_<_{4 ´e verdadeiro.}

Casox >0 ex <2, podemos multiplicar os dois lados porx, obtendo: x·x <2·x. Masx >0 ex <2, podemos multiplicar os dois lados por 2, obtendo 2·x <2·2 = 4.

Logo x2₌_x_·_{x <}₂_·_x _{e 2}_·_{x <}₂_· _{2 = 4 =}_⇒ _x2_<_4. _cqd

A última implica¸cão é justificada por uma das propriedades de ordem dos números reais (as propriedades serão estudadas mais adiante), descrita a seguir.

Propriedade transitiva de ordem dos reais : Sejam a, b, creais. a < b e b < c =⇒ a < c.

Apenas por curiosidade, observamos que a rec´ıproca de ∀x∈ R; x2 _< ₄ _⇐₌ _∀_x _∈ _R_{; 0} _≤ _{x <} _{2. n˜ao ´e}

verdadeira, isto ´e,

∀x∈R; x2_<_{4 =}_{⇒ ∀}_x_∈_R_{; 0}_≤_{x <}_{2 ´e FALSA.}

Justificativa: Parax=−1 : x2_{= 1}_<_{4 ´e VERDADEIRA.} _Para_x₌_{−1 :} ₀_{< x}₌₋₁_<_{2 ´e FALSA.}

Logo a rec´ıproca ´e FALSA.

2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivalˆencia)

temos que a afirma¸cão (ou proposi¸cão) p ⇐⇒ q é verdadeira quando

p=⇒q e p⇐=q são verdadeiras, isto é, quando a implica¸cão e a sua rec´ıproca são verdadeiras.

Há várias formas alternativas de escrever a afirma¸cão ou proposi¸cão p ⇐⇒ q , todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir.

• p é uma afirma¸cão verdadeira se e somente se q é uma afirma¸cão verdadeira. • pse e só se q.

• p ´e equivalente a q (da´ı vem a palavra equivalˆencia) • p equivale a q

(14)

• qverdadeira é uma condi¸cão necessária e suficiente para pverdadeira. • pécondi¸cão necessária e suficiente paraq.

• qécondi¸cão necessária e suficiente parap. • ∼pé verdadeira se e somente se ∼qé verdadeira. • p: é falsa se e somente qé falsa.

• ∼pé verdadeira ⇐⇒ ∼qé verdadeira. • p: é falsa ⇐⇒ qé falsa.

Exemplos:

1. x∈R e x2₌_x_⇐⇒_x_{= 0} _ou _x_{= 1.}

Primeiro vamos provar que a implica¸cão é verdadeira, isto é, provar (=⇒):

Novamente vamos usar propriedades dos reais que ser˜ao vistas com detalhes mais adiante.

x2₌_x₌_⇒_x2_{+ (−}_x_{) =}_x_{+ (−}_x_{) = 0 =}_⇒_x₍_x₋_{1) = 0 =}_⇒_x_{= 0 ou} _x₋_{1 = 0 =}_⇒_x_{= 0 ou}_x_{= 1.}

Em cada implica¸cão foi usada uma ou mais propriedades dos reais, admitindo-se todas as variáveis ou cons-tantes números reais. Por exemplo, na primeira foi usada: a=b=⇒a+c=b+ctomandoa=x2_{, b}₌_{x, c}₌

−x. Na mesma implica¸c˜ao, foi usada a propriedade de elemento sim´etrico x+ (−x) = 0. Fica com exerc´ıcio

a cita¸c˜ao das propriedades usadas nas demais implica¸c˜oes. cqd.

Agora vamos provar que a rec´ıproca da implica¸cão é verdadeira, isto é, provar (⇐=): Novamente temos que usar propriedades dos reais.

x= 0 e 0∈R=⇒x2_{= 0}2_{= 0 e} _x_∈_R₌_⇒_x2₌_x_{= 0 e 0 =}_x_∈_R_.

x= 1 e 1∈R=⇒x2_{= 1}2_{= 1 e} _x_∈_R₌_⇒_x2₌_x_{= 1 e 1 =}_x_∈_R_. _cqd.

2. Suponhax∈R. E verdade que´ x2_>₄_⇐⇒_{x <}_{−2 ou} _{x >}_{2 ?}

A resposta ´e sim, porque? Para responder vamos usar algumas propriedades de ordem dos reais que ser˜ao vistas com detalhes mais adiante.

x2_>₄_⇐⇒_x2₋₄_>₀ _{(usamos a propriedade: para}_{a, b, c}_{reais ´e verdade que}_{a < b}_⇐⇒_a₊_{c < b}₊_c_).

Podemos aplicar a propriedade de produtos not´aveis x2₋_{4 = (}_x₋₂₎₍_x_{+ 2).}

Logo x2_>₄_⇐⇒₍_x₋₂₎₍_x_{+ 2)}_>_0.

Agora vamos usar outra propriedade:

para a, b reais é verdade que: ab >0 ⇐⇒(a >0 e b >0) ou (a <0 e b < 0), em palavras, o produto de dois números reais é positivo se e só se os dois são positivos ou os dois são negativos. Logo (x−2)(x+ 2)>0⇐⇒

 



x−2>0 e x+ 2>0 ou

x−2<0 e x+ 2<0 ⇐⇒

 



x >2 e x >−2 ou

x <2 e x <−2 ⇐⇒

 



x >2 ou

x <−2

cqd

2.5

Defini¸c˜ao: o que ´e?

Quando estamos falando ou escrevendo alguma palavra ou conceito e sabemos que possivelmente quem está nos ouvindo ou lendo não sabe o significado claro e preciso dessa palavra ou conceito, é preciso definir o que essa palavra ou conceito representa, caso contrário, ninguém vai saber do que estamos falando ou escrevendo.

Algumas formas usuais de definir palavras ou conceitos estão listadas a seguir. Defini¸cão 1 - Um XXé aquilo que possui as propriedadesP1, P2, eP3.

Defini¸cão 2 - Um ZZ é chamado deY Y Y Y quandoZZ satisfaz uma das condi¸cões: C1 ouC2.

Defini¸cão 3 - Um ZZ é chamado deY Y Y Y seZZ satisfaz uma das condi¸cões C1 ouC2.

(15)

por trás de qualquer defini¸cão (isto é, implicitamente) sempre existe uma equivalência, mesmo que a defini¸cão não esteja escrita na forma de equivalência.

As defini¸c˜oes 1, 2 e 3 anteriores devem ser entendidas como:

Defini¸c˜ao 1 - ´E umXX ⇐⇒ XX possui as propriedadesP1, P2, eP3.

Defini¸cão 2 - Um ZZ é chamado deY Y Y Y ⇐⇒ZZ satisfaz uma das condi¸cões: C1 ouC2.

Defini¸cão 3 - Um ZZ é chamado deY Y Y Y ⇐⇒ ZZ satisfaz uma das condi¸cõesC1 ouC2.

Exemplos

1. Defini¸c˜ao (n´umero par)

Um número inteironé umnúmero par se ∃k∈Z;n= 2k. Apesar de não estar escrito ”se e só se”, isto significa: Um número inteironé umnúmero par ⇐⇒ ∃k∈Z;n= 2k. 2. Defini¸cão (número ´ımpar)

Um número inteironé umnúmero ´ımpar se ∃k∈Z;n= 2k+ 1. Isto significa:

Um número inteironé umnúmero ´ımpar ⇐⇒ ∃k∈Z;n= 2k+ 1.

2.6

Exemplos e contra-exemplos: quando usar?

Já vimos que quando queremos verificar que uma afirma¸cão é verdadeira é preciso provar que é verdadeira. Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirma¸cão é verdadeira?

A resposta ´e: depende!!!

• se for poss´ıvel testar que a afirma¸cão é verdadeira em todos os exemplos admiss´ıveis para essa afirma¸cão então teremos provado que é verdadeira em qualquer caso.

• se testarmos se a afirma¸cão é verdadeira apenas em alguns dos exemplos, mas não em todos os exemplos admiss´ıveis para essa afirma¸cão, não estamos provando que a afirma¸cão é verdadeira porque ela poderia ser falsa nos casos que não foram testados.

Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirma¸cão é falsa? A resposta é: sim!!!

• se testarmos a afirma¸cão em um único exemplo, e a resposta for falsa, então podemos afirmar imediatamente que a afirma¸cão é falsa porque para ser verdadeira teria que ser verdadeira em todos os exemplos admiss´ıveis. Um exemplo em que a afirma¸cão é falsa é chamado decontra-exemplo.

Exemplos e contra-exemplos:

1. Todo múltiplo de 10 é par. (outra forma dessa afirma¸cão: mé múltiplo de 10 =⇒mé par) A afirma¸cão é verdadeira para x= 10, x= 20, x= 30. Não provei. É imposs´ıvel esgotar todos os exemplos. Então temos que provar, sem ser através de exemplos.

Já provamos essa afirma¸cão no exemplo 2 da se¸cão 2.4.1. Agora vamos ver outra prova, diferente daquela. Para provar, primeiro, vamos lembrar a defini¸cão de múltiplo:

Defini¸c˜ao (m´ultiplo)

Um número inteiromé múltiplo de um número inteironquando existe um inteiroqtal que m=qn. Agora, vamos supor quemé um múltiplo de 10. Pela defini¸cão de múltiplo,

∃q∈Z; m=q×10. Mas, sabemos que 10 = 2×5 e tamb´em podemos aplicar as propriedades comutativa e associativa dos n´umeros inteiros,

∃q∈Z; m=q×2×5 = 2×(q×5). Como o produto de dois inteiros ´e um inteiro (propriedade de fechamento dos inteiros), temos queq×5 =k, ondek´e inteiro. Logo,

(16)

2. x∈R; (x2₋₁₎₍_x2₊_x_{) = 0 =}_{⇒ |}_x_|_{= 1 ou}_|_x_|_{= 0.}

Queremos provar que a afirma¸cão é verdadeira. Neste caso, resolvendo a equa¸cão, é poss´ıvel encontrar todos os exemplos admiss´ıveis dex∈R; (x2₋₁₎₍_x2₊_x_{) = 0. Vejamos,}

(x2₋₁₎₍_x2₊_x_{) = 0} _⇐⇒ _x2₋_{1 = 0 ou} _x2₊_x_{= 0}

⇐⇒ (x−1)(x+ 1) = 0 ou x(x+ 1) = 0.

⇐⇒ x−1 = 0 ou x+ 1 = 0 ou x= 0 ou x+ 1 = 0

⇐⇒ x= 1 ou x=−1 ou x= 0 (uma das possibilidades pˆode ser eliminada porque estava repetida)

Vamos testar em todos exemplos admiss´ıveis.

Para testar, vamos ter que usar módulo ou valor absoluto de um número real, colocamos aqui a defini¸cão de módulo, em Pré-Cálculo as propriedades do módulo serão estudadas com detalhes.

Defini¸c˜ao (m´odulo ou valor absoluto)

O módulo ou valor absoluto de um número realxé denotado por|x|e definido por|x|= ½

x se x≥0

−x se x <0 para x= 1,|x|=|1|= 1 =⇒ |x|= 1 =⇒ |x|= 1 ou |x|= 0 (afirma¸c˜ao verdadeira)

ou para x=−1,|x|=| −1|=−(−1) = 1 =⇒ |x|= 1 =⇒ |x|= 1 ou |x|= 0 (afirma¸c˜ao verdadeira) ou para x= 0,|x|=|0|= 0 =⇒ |x|= 0 =⇒ |x|= 1 ou |x|= 0 (afirma¸c˜ao verdadeira)

Conclusão: a afirma¸cão é verdadeira para todos os exemplos admiss´ıveis, logo a afirma¸cão é verdadeira. 3. ∀x∈R, √x2₌_x

Testando a afirma¸c˜ao em alguns exempos admiss´ıveis,

x= 1, temos que√x2₌√₁2₌√_{1 = 1 =}_x_{(afirma¸c˜ao verdadeira)}

x= 2, temos que√x2₌√₂2₌√_{4 = 2 =}_x_{(afirma¸c˜ao verdadeira)}

x=√3, temos que√x2₌q¡√₃¢2₌√_{3 =}_x_{(afirma¸c˜ao verdadeira)}

A afirma¸cão é verdadeira nesses exemplos, mas esses não são todos os exemplos admiss´ıveis. Queremos provar que essa afirma¸cão é falsa.

Contra-exemplo:

x=−1, temos que√x2₌p₍₋₁₎2₌√_{1 = 1.}

Como 16=−1, fica claro que √x2₆₌_x_quando_x₌_{−1 ou,}

de outra forma, a afirma¸c˜ao √x2₌_x_{, quando}_x₌_{−1, ´e falsa.}

Ou seja, a afirma¸c˜ao∀x∈R, √x2₌_x_{´e falsa.}

Dizemos que x=−1 ´e um contra-exemplo para a afirma¸c˜ao∀x∈R, √x2₌_x_.

3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos

3.1

Igualdade, inclus˜ao e subconjuntos

3.1.1 Igualdade de conjuntos

Defini¸c˜ao(Igualdade de conjuntos)

Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. 1. A=©x∈R; x é solu¸cão da equa¸cão (x−2)¡x2_{+ 1}¢_{= 0}ª

Resolvendo as equa¸cões, verifica-se queA={2}eB={2}. LogoA=B. (a resolu¸cão das equa¸cões fica como exerc´ıcio)

2. A={x∈Z; x≥1} B =N

(17)

3.1.2 Inclus˜ao e subconjunto

Defini¸c˜ao(subconjunto).

Sejam AeB conjuntos. Aé umsubconjunto deB quando todo elemento deAtambém é elemento deB. Quando Aé subconjunto de B, dizemos queAestá contido emB e denotamos por A⊂B.

Tamb´em dizemos queB cont´em A e denotamos porB⊃A.

Observe que implicitamente entendemos queA é umsubconjunto deB se e só todo elemento deA também é elemento deB.

Em s´ımbolos,

DadosAeB conjuntos,A⊂B se e s´o se: ∀x∈A=⇒x∈B. Isto significa:

se admitimosA⊂B podemos afirmar que∀x∈A=⇒x∈B.

se conseguimos provar que∀x∈A=⇒x∈B podemos afirmar queA⊂B.

Exemplo ConsidereA={n∈Z; n é múltiplo de 10} e B={n∈Z; n é múltiplo de 2}. Vamos verificar que A⊂Bé verdadeiro.

´

E suficiente provar que∀n∈A=⇒n∈B. Provamos isto a seguir.

∀n∈A=⇒ ∃q∈Z; n= 10q= 2×5×q= 2k, ondek= 5q ek∈Z=⇒ ∃k∈Z; n= 2k=⇒n∈B. 3.1.3 A nega¸c˜ao de 00 _⊂ 00

Sabemos que p: A⊂B significa p: ∀x∈A=⇒x∈B. Logo ∼p: A6⊂B significa ∼p: ∃x; x∈A e x6∈B. 3.1.4 Propriedades da inclus˜ao

Para quaisquer conjuntosA, B, C, valem as propriedades:

P1 A⊂A (justificativa: ∀x∈A=⇒x∈A)

P2 A=B⇐⇒A⊂B e B⊂A

Justificativa:

(=⇒) Precisamos provar A=B=⇒ (i) A⊂B e (ii) B⊂A. (i)∀x∈AeA=B=⇒x∈B=⇒A⊂B

e

(ii)∀x∈B eB=A=⇒x∈A=⇒B⊂A

(⇐=) Precisamos provar p: A⊂B e B⊂A =⇒ q: A=B. J´a vimos que (p=⇒q) tem o mesmo significado de (∼q=⇒∼p).

Neste caso é mais fácil provar (∼q=⇒∼p), é o que faremos a seguir. ∼q: A6=B=⇒

* _∃_x_; _x_∈_A _e _x_6∈_B ou

∃x; x6∈A e x∈B

=⇒

* _A_6⊂_B ou

B6⊂A

Por outro lado, p: (A⊂B e B⊂A) e ∼p: (A6⊂B ou B6⊂A). Logo, comparando com o resultado anterior, provamos (∼q=⇒∼p). P3 A⊂B e B ⊂C =⇒ A⊂C (propriedade transitiva)

Podemos visualizar com o diagrama de Venn, como na figura abaixo. A seguir, apresentamos uma prova. B

A

C B C B

A

(18)

Exemplos:

1. A= conjunto dos m´ultiplos de 6 B= conjunto dos m´ultiplos de 2 e de 3. Queremos verificar queA=B.

Primeiro provaremos queA⊂B e depois queB ⊂A, assim, pela propriedade P2, concluiremos queA=B. ProvandoA⊂B:

∀n∈A=⇒ ∃q∈Z; n= 6q= 2×3×q= 2(3q) = 3(2q). =⇒(∃k1= 3q∈Z;n= 2k1) e (∃k2 = 2q∈Z;n=

3k2) =⇒né múltiplo de 2 ené múltiplo de 3 =⇒n∈B=⇒A⊂B.

ProvandoB⊂A:

∀n∈B =⇒né múltiplo de 2 ené múltiplo de 3 =⇒(∃q1∈Z;n= 2q1) e (∃q2∈Z;n= 3q2)

=⇒(∃q1∈Z; 3n= 3×2q1) e (∃q2∈Z; 2n= 2×3q2). Observe que

3n−2n=n= 6q1−6q2= 6(q1−q2) = 6k, isto ´e,∃k=q1−q2∈Z; n= 6k=⇒n∈A=⇒B⊂A.

2. A={x∈R; x≥ −4} e B ={x∈R; x≥2}.

Queremos responder as seguintes perguntas: A⊂B ? B ⊂A ? A=B ? Vamos come¸car pela primeira,A⊂B?

Se pretendemos provar que A ⊂ B é verdadeiro, então precisaremos provar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B é verdadeiro.

Se pretendemos provar que A 6⊂B, isto é, provar que A⊂B é falso, basta apresentar um contra-exemplo para a implica¸cão: ∀x∈A=⇒x∈B, isto é, apresentar um exemplo dexem quex∈Aex6∈B. Vamos come¸car testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for falso, significa que encontramos um contra-exemplo.

Testando,

x= 5>−4 e x= 5>2, logo x∈A ex∈B , nada se pode afirmar sobreA⊂B.

x= 3>−4 e x= 3>2, logo x∈A ex∈B, nada se pode afirmar sobreA⊂B.

x= 0>−4 e x= 0<2, logo 0∈Ae 06∈B, isto é, este é um contra-exemplo que mostra queA⊂B é falso, ou seja, mostra queA6⊂B.

ComoA6⊂B, j´a podemos responder a terceira pergunta: A6=B. S´o falta responder: B⊂A?

Vamos come¸car testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for falso, significa que encontramos um contra-exemplo.

x= 5>2 e x= 5>−4, logo x∈B ex∈A, nada se pode afirmar sobreB⊂A.

x= 3>2 e x= 3>−4, logo x∈B ex∈A, nada se pode afirmar sobreB ⊂A.

x= 0 <2, 06∈ B. Aten¸cão: este não é um exemplo admiss´ıvel para teste pois é preciso que x∈B para então verificar sex∈A.

Se continuarmos testando em mais alguns n´umerosxtal quex >2, isto ´e,x∈B verificaremos que para este

x, x∈A. Como é imposs´ıvel testar em todos os valores, come¸camos a desconfiar que de fato é verdadeiro para todox∈B. Para provar precisamos encontrar um argumento que pode ser aplicado em todox∈B. Este argumento será uma das propriedades de ordem dos números reais que serão vistas com detalhes mais adiante, descrita a seguir.

Propriedade transitiva da ordem dos reais : Sejama, b, c reais. a < b e b < c =⇒ a < c. Assim, considere x∈B, isto é, x >2. Sabemos que 2>−4, aplicando a propriedade transitiva da ordem, conclu´ımos quex >−4, isto é,x∈A. Acabamos de verificar que∀x∈B=⇒x∈A, isto é,B⊂A.

3.2

Opera¸cões com conjuntos 3.2.1 União e interse¸cão

Defini¸c˜ao(Uni˜ao)

Sejam AeB conjuntos. A opera¸cão união deAeB, denotada porA∪B, é definida por:

(19)

Observa¸c˜ao: lembrando o significado do00_ou00_{l´ogico, podemos dizer que,}

x∈A∪B⇐⇒ocorre uma das situa¸c˜oes descritas a seguir:

(i)x∈Aex6∈B (ii)x6∈Aex∈B (iii)x∈Aex∈B

Defini¸c˜ao(Interse¸c˜ao)

Sejam AeB conjuntos. A opera¸cão interse¸cão de AeB, denotada porA∩B, é definida por:

A∩B={x; x∈A ex∈B} Exemplos

1. A= conjunto dos n´umeros pares B= conjunto dos m´ultiplos de 3 ´

E f´acil verificar que: 10∈A =⇒ 10∈A∪B

106∈B =⇒ 106∈A∩B

10∈A e 106∈B =⇒10∈A∪B e 106∈A∩B

336∈A e 33∈B =⇒33∈A∪B e 336∈A∩B

36∈A e 36∈B =⇒36∈A∪B e 36∈A∩B

496∈A e 496∈B =⇒496∈A∪B e 496∈A∩B

2. Dados os conjuntosA eB é fácil verificar as seguintes afirma¸cões:

(i)∀x∈A=⇒x∈A∪B , isto é, A⊂A∪B (de fato, ∀x∈A=⇒x∈A ou x∈B=⇒x∈A∪B ). (ii)∀x∈B=⇒x∈A∪B , isto é, B ⊂A∪B (de fato, ∀x∈B=⇒x∈A ou x∈B=⇒x∈A∪B ). (iii)∀x∈A∩B=⇒x∈A , isto é, A∩B ⊂A (de fato, ∀x∈A∩B=⇒x∈A e x∈B =⇒x∈A). (iv)∀x∈A∩B=⇒x∈B , isto é, A∩B⊂B (de fato,∀x∈A∩B=⇒x∈A e x∈B=⇒x∈B ). 3. Dados A e B, vamos provar as seguintes equivalências:

A∪B=B ⇐⇒ A⊂B ⇐⇒ A∩B=A.

Ver diagramas de Venn ao lado, com duas situa¸c˜oes admiss´ıveis paraA⊂B.

B

A

A=B

A⊂B eA6=B A⊂B eA=B

Vamos come¸car por A⊂B ⇐⇒ A∪B=B.

(=⇒) Estamos supondo: A⊂B. Queremos provar: A∪B=B.

(i)∀x∈A∪B=⇒x∈Aoux∈B=⇒x∈A⊂B oux∈B (pois supomos no in´ıcio queA⊂B) =⇒x∈B=⇒A∪B ⊂B.

(ii) Vimos no exemplo anterior: B ⊂A∪B. Logo, por (i) e (ii) conclu´ımosA∪B=B. (⇐=) Estamos supondo: A∪B=B. Queremos provar: A⊂B.

∀x∈A=⇒x∈A ou x∈B =⇒x∈A∪B =⇒x∈A∪B =B =⇒x∈B=⇒A⊂B.

Agora vamos provarA⊂B ⇐⇒ A∩B=A.

(=⇒) Estamos supondo: A⊂B. Queremos provar: A∩B=A. (i) Vimos no exemplo anterior: A∩B⊂A.

(ii)∀x∈A=⇒x∈Aex∈A⊂B (pois supomos no in´ıcio queA⊂B) =⇒x∈Aex∈B

=⇒x∈A∩B=⇒A⊂A∩B. Logo, por (i) e (ii) conclu´ımosA∩B=A. (⇐=) Estamos supondo: A∩B=A. Queremos provar: A⊂B.

(20)

3.2.2 Conjuntos disjuntos

Defini¸c˜ao(conjuntos disjuntos)

Diz-se que dois conjuntos A e B sãodisjuntos quando A∩B=∅. Isto é o mesmo que dizer queAeB não têm elementos em comum.

Exemplo: Os conjuntosA={x∈R; x≤ −2} eB ={x∈R; x≥2} s˜ao disjuntos. 3.2.3 Diferen¸ca e complementar

Defini¸c˜ao(Diferen¸ca)

SejamAeBconjuntos. A opera¸c˜ao diferen¸ca entreAeB ouAmenosB, denotada porA−B, ´e definida por:

A−B={x; x∈Aex6∈B} Outra nota¸c˜ao usual para a diferen¸ca ´eA\B.

A seguir est˜ao representados os diagramas de Venn deA−B em trˆes casos distintos.

B A

B

A - B

B A

B

A - B

B A

B

A - B

Caso 1: A∩B6=∅ e B6⊂A Caso 2: A∩B=B⇐⇒B⊂A Caso 3: A∩B=∅(AeB disjuntos)

Defini¸c˜ao(Complementar deB emA) Sejam AeB conjuntos tais que B⊂A.

Neste caso diz-se queA−B´e ocomplementar deB em Ae denota-se por{AB. Veja o diagrama de Venn no caso 2 acima

Defini¸c˜ao(Complementar)

SejaB conjunto tal queB⊂U, ondeU ´e o conjunto Universo.

Neste caso diz-se simplesmente queU−B ´e ocomplementar deB e denota-se por{B ouBc_.

3.2.4 Propriedades das opera¸c˜oes e do complementar

Sejam A, B eC conjuntos. A seguir listamos algumas propriedades das opera¸cões união, interse¸cão, diferen¸ca e complementar.

1. Idempotˆencia: A∪A=A e A∩A=A

2. Comutativa: A∪B=B∪A e A∩B =B∩A

3. Associativa: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) =A∪B∪C e (A∩B)∩C=A∩(B∩C) =A∩B∩C

4. Distributiva: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) e A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 5. QuandoAeB finitos, #(A∪B) = #(A) + #(B) − #(A∩B)

6. (A−B)∪(B−A) = (A∪B)−(A∩B)

7. SendoU o conjunto universo, Uc₌_∅ _e _∅c ₌_U

8. SendoU o conjunto universo, A∪Ac₌_U _e _A_∩_Ac ₌_∅

9. (A∪B)c₌_Ac_∩_Bc _{e (}_A_∩_B₎c₌_Ac_∪_Bc

10. (Ac₎c₌_A