Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y
Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, 2013/2014
Especialidad en Matemáticas
Trabajo Fin de Máster
“Aprendizaje de conceptos matemáticos a partir de
libros de divulgación matemática y literarios”
Autora:
Lidia Pulgar Diez
Índice
1.- Presentación …... 5
2.- Objetivos …... 6
3.- Justificación ... 7
4.- Análisis epistemológico y curricular. Marco teórico …... 8
4.1.- Marco teórico de Educación Secundaria Obligatoria …... 8
4.2.- Marco teórico de Bachillerato ... 15
5.- Desarrollo del trabajo 5.1.- Material/Búsqueda de recursos ... 19
5.2.- Esquemas metodológicos …... 20
5.3.- Criterios de evaluación …... 23
5.4.- Atención a la diversidad …... 24
5.5.- Propuesta didáctica …... 25
6.- Conclusiones y reflexión personal …... 83
7.- Referencias bibliográficas …... 84
1.- Presentación
Se expone el trabajo final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, con especialidad en Matemáticas, realizado en el curso académico 2013/2014. Se enmarca en el Módulo Prácticum y Fin de Máster que consta de dos asignaturas: periodo de prácticas en un centro de Enseñanza Secundaria (10 ECTS) y un Trabajo Fin de Máster (6 ECTS).
El tema del trabajo es el uso de libros de divulgación matemática y literarios para enseñar Matemáticas en Educación Secundaria, apostando por la presencia de variedad de recursos en las aulas. Con ello se pretende mostrar la posibilidad real y las ventajas de la aplicación de este recurso.
2.- Objetivos
Este trabajo se engloba dentro de las iniciativas que pretenden hacer las matemáticas más atractivas al alumnado en Educación Secundaria, intentando cambiar la creencia popular de que éstas no tienen utilidad real y la percepción de inalcanzables que generalmente se les atribuye.
El objetivo principal es desarrollar brevemente la utilización de libros divulgativos y literarios como recurso didáctico en las aulas de Educación Secundaria. Es decir, presentar otra forma alternativa de enseñanza de los conceptos matemáticos para intentar incentivar a su estudio y promover la competencia matemática.
Este propósito se ha intentado alcanzar a través del desarrollo de tres objetivos secundarios. En primer lugar, la recopilación de algunas fuentes de información donde poder encontrar el material necesario. En segundo lugar, la exposición de distintos modelos de actuación y de evaluación para su aplicación. Y, finalmente, la elaboración de una propuesta didáctica concreta en la que se ha pretendido incluir actividades para introducir y/o explicar conceptos, mejorar la comprensión de los alumnos, aportar ejemplos, crear ejercicios y problemas motivadores, y enseñar la utilidad y la historia de las matemáticas. Ésta se ha centrado en un sólo curso de Educación Secundaria Obligatoria para hacerla más representativa y global de un año académico.
La propuesta didáctica pretende ser un ejemplo práctico de cómo usar este recurso. Así mismo se presta como fuente directa de actividades para utilizar en el aula. De ninguna manera se trata de una programación didáctica a implantar durante un curso completo, ni de añadir contenidos al currículo. Es un complemento metodológico para utilizar cuando se necesite o más interese; para utilizar en la clase habitual o en talleres dedicados a la actividad matemática.
La aritmética es lo que permite contar hasta veinte sin tener que sacarse los zapatos. ANÓNIMO
3.- Justificación
Una forma de mejorar la percepción y la predisposición del alumnado hacia las matemáticas en Educación Secundaria Obligatoria es promover el sentido real de éstas. Este aspecto se deja de lado en la enseñanza escolarizada en muchas ocasiones, lo que provoca que el alumno no consiga situarse en la asignatura, sintiéndose perdido porque no sabe qué está haciendo realmente ni para qué. Una manera de evitarlo es presentar los conceptos matemáticos haciendo referencia a su utilidad, a los elementos cotidianos en los que se encuentran, y a cómo ha sido su evolución a lo largo de la historia. Si, además, introducimos recursos motivadores para los alumnos, podremos intentar cambiar la deslucida imagen que las matemáticas tienen en la sociedad.
A este respecto, puede darse el caso de querer mostrar estas facetas pero no conocer los recursos apropiados, por no tener suficiente información o no saber adecuarla al nivel que los alumnos necesitan. En la actualidad hay bastantes referencias bibliográficas, tanto de divulgación matemática como literarias, que incluyen el ámbito matemático en sus argumentos y que solventan estos obstáculos al estar escritos precisamente para este fin y para acercar la asignatura a aquellos lectores no familiarizados con la matemática formal.
Durante el periodo de prácticas de este máster en el que se engloba el presente trabajo, realizado en un centro oficial de Enseñanza Secundaria, he podido comprobar el buen funcionamiento de un Plan de Lectura. Este plan está programado en los cuatro cursos de Educación Secundaria Obligatoria y lleva en marcha entre seis y ocho años. Los profesores del centro constatan que, en un principio, los alumnos leían pero no lo tomaban totalmente en serio. Sin embargo, en cursos posteriores, se ha observado cómo el alumnado ha aceptado el Plan de Lectura como algo natural en el día a día, interesándose en la lectura y llegando a “engancharse” a los libros. Mi propia experiencia como docente en la fase de intervención de este periodo, junto a las respuestas de los alumnos a una encuesta realizada al final de esta fase, corroboran el carácter motivador y el apreciable aprendizaje que conllevan las actividades didácticas complementarias a la clase magistral y al mero seguimiento de un libro de texto.
Además, cabe destacar la importancia de la lectura en la transmisión de la historia de las matemáticas y en el conocimiento de los grandes matemáticos, como señalan también diversos autores (véase, por ejemplo, [7]).
4.- Análisis epistemológico y curricular. Marco teórico
Hasta el momento la literatura ha tenido poca presencia en la enseñanza escolarizada de las Matemáticas. Los antiguos planes de educación no daban pie a ello y la aplicación de la LOE se ha limitado a introducir breves referencias matemáticas sobre historia, la vida cotidiana, o juegos de estrategia, al inicio de las unidades didácticas y/o al final de cada bloque temático en los libros de texto de ciertas editoriales. En gran medida estas referencias son relegadas a simples anécdotas en la enseñanza en el aula, cuando no completamente obviadas.
A pesar de esta situación, existen varios puntos a destacar en la normativa legal que establece las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria, que avalan la presencia metodológica y didáctica de recursos basados en la lectura en todas las materias a impartir.
4.1.- Marco teórico de Educación Secundaria Obligatoria
En primer lugar, en el REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria, podemos encontrar los siguientes extractos:
Artículo 4. Organización de los tres primeros cursos.
7. Sin perjuicio del tratamiento específico en algunas de las materias de la etapa, la comprensión lectora, la expresión oral y escrita, la comunicación audiovisual, las tecnologías de la información y la comunicación, y la educación en valores se trabajarán en todas ellas.
Artículo 5. Organización del cuarto curso.
5. [Reproduce exactamente el artículo anterior]
Artículo 7. Competencias básicas.
4. La lectura constituye un factor primordial para el desarrollo de las competencias básicas. Los centros deberán garantizar en la práctica docente de todas las materias un tiempo dedicado a la misma en todos los cursos de la etapa.
Artículo 3. Objetivos de la Educación secundaria obligatoria.
h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.
j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.
l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.
Específicamente, sobre la materia Matemáticas, en el Anexo II del REAL DECRETO 1631/2006, destacamos los siguientes extractos, indicando aquellos objetivos que una apropiada elección de libros de divulgación y/o literarios puede ayudar a alcanzar:
Matemáticas
Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los individuos deben ser capaces de apreciarlas […].
Ahora bien, acometer los retos de la sociedad contemporánea supone, además, preparar a los ciudadanos para que adquieran autonomía a la hora de establecer hipótesis y contrastarlas, diseñar estrategias o extrapolar resultados a situaciones análogas […].
Para que el aprendizaje sea efectivo, los nuevos conocimientos que se pretende que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee, tratando siempre de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en un contexto de resolución de problemas. Algunos conceptos deben ser abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que añadan elementos de complejidad […].
En todos los cursos se ha incluido un bloque de contenidos comunes que constituye el eje transversal vertebrador de los conocimientos matemáticos que abarca […]. También se introducen en este bloque la capacidad de expresar verbalmente los procesos que se siguen y la confianza en las propias capacidades para interpretar, valorar y tomar decisiones sobre situaciones que incluyen soporte matemático, poniendo de relieve la importancia de los factores afectivos en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas […].
Objetivos
La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana.
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.
3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados a cada situación.
4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes.
5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.
6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje.
7. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.
adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.
10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica.
11. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica.
Por otro lado, en el DECRETO 52/2007, de 17 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León, podemos advertir:
Principios metodológicos generales
En ocasiones, la tarea del profesor consistirá en proporcionar de una manera ordenada los contenidos relevantes –lo que se conoce como aprendizaje por facilitación–, mientras que otras veces resultara más apropiado disponer las condiciones y los materiales más idóneos para que el alumno, asumiendo una actitud más autónoma, adquiera su propio conocimiento (aprendizaje por descubrimiento). Siempre que sea viable deberá ofrecerse al alumno la posibilidad de practicar o aplicar los conocimientos, puesto que esto supone una de las mejores formas de consolidar los aprendizajes.
Por otra parte, el grado de motivación afecta directamente a su rendimiento académico. Para incrementarlo conviene hacer explícita la utilidad de los contenidos que se imparten. Esta utilidad puede entenderse al menos en dos sentidos, tanto en lo que se refiere a los aspectos académicos como a aquellos que atañen al desenvolvimiento en su ambiente cotidiano. De otro lado, plantear algunas tareas como un desafío, como una meta con cierto grado de dificultad pero asequible al mismo tiempo, aumentará el interés en los adolescentes y contribuirá a incrementar el grado de autonomía y la consideración positiva hacia el esfuerzo.
Por último, el REAL DECRETO 1631/2006, en el Anexo I sobre las competencias básicas, hace la siguiente referencia:
competencias básicas se alcanzará como consecuencia del trabajo en varias áreas o materias.
Queda aclarado que la total adquisición de las competencias básicas se basa en el trabajo conjunto de éstas a través de cada una de las materias, siendo posible y necesario englobar la competencia lingüística dentro de la materia de Matemáticas. Posible, por ejemplo, mediante el uso de libros de divulgación matemática y literarios. Y es necesario porque fomentar la comprensión lectora favorece el desarrollo del razonamiento, lleva a la reflexión, y ayuda a establecer un plan de trabajo y a generar hipótesis, habilidades necesarias para alcanzar la competencia matemática. Al mismo tiempo, la lectura da a conocer la cultura y la historia, aspectos usualmente apartados en lo que respecta a las Matemáticas. Estas habilidades se reflejan en el Anexo I del REAL DECRETO 1631/2006:
1. Competencia en comunicación lingüística.
Esta competencia se refiere a la utilización del lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita, de representación, interpretación y comprensión de la realidad, de construcción y comunicación del conocimiento y de organización y autorregulación del pensamiento, las emociones y la conducta.
Los conocimientos, destrezas y actitudes propios de esta competencia permiten expresar pensamientos, emociones, vivencias y opiniones, así como dialogar, formarse un juicio crítico y ético, generar ideas, estructurar el conocimiento, dar coherencia y cohesión al discurso y a las propias acciones y tareas, adoptar decisiones, y disfrutar escuchando, leyendo o expresándose de forma oral y escrita, todo lo cual contribuye además al desarrollo de la autoestima y de la confianza en sí mismo […].
Leer y escribir son acciones que suponen y refuerzan las habilidades que permiten buscar, recopilar y procesar información, y ser competente a la hora de comprender, componer y utilizar distintos tipos de textos con intenciones comunicativas o creativas diversas. La lectura facilita la interpretación y comprensión del código que permite hacer uso de la lengua escrita y es, además, fuente de placer, de descubrimiento de otros entornos, idiomas y culturas, de fantasía y de saber, todo lo cual contribuye a su vez a conservar y mejorar la competencia comunicativa.
Para finalizar se agregan los contenidos establecidos en el DECRETO 52/2007, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León, para el tercer curso de Matemáticas a los que se hará referencia en el apartado 5.5.- Propuesta didáctica.
Tercer Curso.- Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes.
– Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas, tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada.
– Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales y de procedimientos de resolución utilizando la terminología precisa.
– Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o simbólico o sobre elementos o relaciones espaciales.
– Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.
– Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas.
– Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.
Bloque 2. Números.
– Números racionales. Comparación, ordenación y representación sobre la recta. – Decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Decimales exactos y decimales periódicos. Fracción generatriz.
– Operaciones con fracciones y decimales. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis.
– Potencias de base racional y exponente entero. Significado y propiedades. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones con números expresados en notación científica. Uso de la calculadora.
– Aproximaciones y errores. Cifras significativas. Error absoluto y error relativo. Utilización de aproximaciones y redondeos en la resolución de problemas de la vida cotidiana con la precisión requerida por la situación planteada.
– Resolución de problemas en los que interviene la proporcionalidad directa o inversa. Repartos proporcionales.
– Interés simple. Porcentajes encadenados.
Bloque 3. Álgebra.
– Sucesiones de números enteros y fraccionarios. Sucesiones recurrentes. Progresiones aritméticas y geométricas.
– Estudio de las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de números.
– Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.
– Resolución algebraica de ecuaciones de primer grado y de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
– Resolución algebraica de ecuaciones de segundo grado. Soluciones exactas y aproximaciones decimales. Propiedades de las raíces.
– Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones y sistemas. Interpretación crítica de las soluciones.
Bloque 4. Geometría.
– Revisión de la geometría del plano.
– Lugar geométrico. Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. – Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales.
– Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico.
– Traslaciones, giros y simetrías en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento.
– Revisión de la geometría del espacio. – Planos de simetría en los poliedros.
– Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas. El cilindro y el cono.
– Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construcciones humanas.
– La esfera. Intersecciones de planos y esferas. El globo terráqueo. Coordenadas terrestres y husos horarios. Longitud y latitud de un lugar. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados.
– Estudio de formas, configuraciones y relaciones geométricas. – Cálculo de áreas y volúmenes.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
– Relaciones funcionales. Distintas formas de expresar una función.
– Construcción de tablas de valores a partir de enunciados, expresiones algebraicas o gráficas sencillas.
– Elaboración de gráficas continuas o discontinuas a partir de un enunciado, una tabla de valores o de una expresión algebraica sencilla.
– Estudio gráfico de una función: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías, continuidad y periodicidad. Análisis y descripción de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano. Uso de las tecnologías de la información para el análisis y reconocimiento de propiedades de funciones.
– Formulación de conjeturas sobre el fenómeno representado por una gráfica y sobre su expresión algebraica.
– Estudio gráfico y algebraico de las funciones constantes, lineales y afines. Distintas formas de representar la ecuación de una recta.
la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
– Estadística descriptiva unidimensional. Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales. Variables discretas y continuas.
– Interpretación de tablas de frecuencias y gráficos estadísticos.
– Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias.
– Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado.
– Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de centralización: media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones.
– Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de dispersión: rango y desviación típica.
– Utilización conjunta de la media y la desviación típica.
– Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Análisis y crítica de la información de índole estadístico y de su presentación.
– Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas.
– Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
– Frecuencia y probabilidad de un suceso. Cálculo de probabilidades mediante la Ley de Laplace.
– Cálculo de la probabilidad mediante simulación o experimentación.
– Formulación y verificación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos.
– Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos. Reconocimiento y valoración de las Matemáticas para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas.
4.2.- Marco teórico de Bachillerato
En el REAL DECRETO 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas, podemos encontrar los siguientes extractos que incluyen la lectura en este nivel educativo:
Artículo 3. Objetivos del bachillerato.
l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural.
Artículo 9. Currículo.
6. Las administraciones educativas promoverán las medidas necesarias para que en las distintas materias se desarrollen actividades que estimulen el interés y el hábito de lectura y la capacidad de expresarse correctamente en público así como el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
También encontramos razones a favor del uso de libros de divulgación matemática y literarios como un medio metodológico a través del cual se pueden alcanzar ciertos fines y objetivos. En el Anexo I de este REAL DECRETO 1467/2007 podemos señalar los extractos que siguen:
II. Materias de modalidad
B) Modalidad de Ciencias y Tecnología
MATEMATICAS I Y II
[…] Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva y no como una colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los contenidos que se estudian hay un largo camino conceptual, un constructo intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando a través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.
C) Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual, pocas materias se prestan como ésta a tomar conciencia de que las matemáticas son parte integrante de nuestra cultura. Por eso, las actividades que se planteen deben favorecer la posibilidad de aplicar las herramientas matemáticas al análisis de fenómenos de especial relevancia social, tales como la diversidad cultural, la salud, el consumo, la coeducación, la convivencia pacífica o el respeto al medio ambiente […].
[El último párrafo es idéntico al de la modalidad anterior.]
Respecto al Anexo del DECRETO 42/2008, de 5 de junio, por el que se establece el currículo de bachillerato en la Comunidad de Castilla y León, se indican, entre otros, los siguientes objetivos:
II. Materias de modalidad
MATEMÁTICAS I Y II
Objetivos
La enseñanza de las Matemáticas en el bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber.
4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber.
8. Desarrollar métodos que contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos.
9. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas.
C) Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Objetivos
La enseñanza de las Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en el bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual.
3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento.
6. Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento.
matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.
8. Desarrollar métodos que contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos, para investigar y resolver situaciones problemáticas nuevas.
5.- Desarrollo del trabajo
5.1.- Material/Búsqueda de recursos
En las siguientes fuentes de información se puede encontrar material de trabajo para llevar a cabo una propuesta didáctica del currículo de Matemáticas a través de libros de divulgación matemática y literarios:
Las siguientes secciones de la página web de DivulgaMat,
➢ (véase [A]), el centro virtual de
divulgación de las matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española:
Publicaciones de divulgación. Categoría: Libros de divulgación matemática.
➢
Contiene una exhaustiva lista de libros de divulgación matemática publicados en España desde el año 2000, acompañados cada uno de una pequeña ficha técnica y una reseña del libro realizada por alguien que lo ha leído o, en su defecto, la reseña que incluye el propio libro.
Ficciones matemáticas. Categoría: Érase una vez un problema.
➢
Contiene una serie de cuentos en cuyo argumento se describen ejercicios matemáticos que se les plantea a los personajes y que éstos tendrán que resolver. Se narran con humor, utilizando personajes populares como protagonistas de estas historietas con el objetivo de entretener, atraer, y hacer pensar.
Textos on-line. Categoría: Libros.
➢
En este apartado se encuentran libros disponibles en la red que incluyen las matemáticas en sus argumentos y que tienen permiso legal de descarga gratuita.
Texto literario del mes.
➢
Esta sección contiene una lista de diversos textos que incluyen alguna mención a las matemáticas o al lenguaje matemático. Pretende mostrar que las matemáticas están presentes en cualquier parte. En cada entrada se indica su autor y la fuente de información.
Revista SUMA
➢
La revista SUMA es una publicación sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas realizada por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Cada año se publican tres ejemplares que aparecen en marzo, julio y noviembre.
encuentra cualquier tema relacionado con la didáctica de las matemáticas tanto a nivel divulgativo como formativo. Publican temas sobre actividades en el aula, historia de las matemáticas, desarrollo analítico, etc.
Es una revista de suscripción y de su página web, (véase [B]), se pueden descargar libremente algunos números publicados.
Revista UNO
➢
Se trata de una publicación de didáctica de las matemáticas de la editorial GRAÓ publicada desde 1994 de forma trimestral.
Es también una revista de suscripción y desde su página web, (véase [C]), se pueden comprar los números publicados y descargar libremente algunos artículos de éstos.
Revista SIGMA
➢
Revista de matemáticas publicada por el Departamento de Educación del Gobierno Vasco en colaboración con los Berritzegunes (antiguos Centros de Orientación Pedagógica, COP) de Bilbao, Vitoria y San Sebastián.
Incluye varias secciones, de Educación Secundaria, artículos con contenido matemático diverso, y reseñas de libros. Su versión electrónica es de acceso libre (véase [D]).
5.2.- Esquemas metodológicos
Podemos realizar un diseño de desarrollo del currículo de Matemáticas en Educación Secundaria utilizando libros de divulgación matemática y/o literarios mediante distintos modelos de actuación. A lo largo de un curso completo se puede optar por la lectura y seguimiento de un único libro, por la lectura y seguimiento de varios libros de forma continua, o por la utilización de diferentes textos y/o partes de distintos libros. En cualquiera de estas tres opciones se tiene en cuenta la posibilidad de que los libros a usar sean tanto de divulgación matemática como literarios.
Así mismo, el diseño de estas tres opciones ofrece varias alternativas. ► Lectura y seguimiento de un único libro:
1) Mantener la lectura del libro en clase y a lo largo del curso:
1.1) Lectura semanal: El profesor establece un día a la semana en el que imparta una sesión de Matemáticas, llamemos a ésta sesión con lectura, de tal forma que todas las semanas, durante esa sesión, se dedican diez minutos a la lectura del libro elegido. Esta opción es más adecuada si es un libro de narrativa porque permite ir recordando el argumento, uno de los incentivos de estas sesiones.
1.2) Lectura al ritmo de los contenidos curriculares: el profesor coordina la lectura del libro elegido en función de los contenidos a enseñar. Esta opción es apropiada en el caso de elegir un libro de divulgación matemática, adecuando las diferentes secciones del libro a los contenidos tratados en clase en cada momento.
2) Lectura de un mismo libro para todos los alumnos a lo largo de un curso completo. Puede ser de manera:
2.1) Libre: cada alumno marcará su propio ritmo de lectura. En este caso es más conveniente la elección de un libro de narrativa.
2.2) Dirigida: será el profesor quien marque el ritmo de lectura aunque cada alumno leerá por su cuenta. El profesor establece ciertas etapas de lectura, por ejemplo mensuales, trimestrales, diferenciando las distintas evaluaciones del curso, o por capítulos/secciones, pudiendo adecuarse a los contenidos vistos en clase.
3) El alumno elige un libro de entre una lista propuesta por el profesor:
Con esta opción es preferible que la lectura del libro sea libre por parte del alumno puesto que puede resultar inviable la atención personalizada por parte del profesor si la lista de libros es demasiado extensa. En esa lista es conveniente incluir la descripción y las características de cada libro propuesto.
► Lectura y seguimiento de varios libros de forma continua:
Este modelo de actuación consiste en la lectura de varios libros elegidos por el profesor durante las clases a lo largo de un curso completo, estableciendo un orden de lectura concreto. Esta opción se pondría en marcha más convenientemente mediante un Plan de Lectura (al igual que en el punto 1.1 del apartado anterior) con una lectura semanal de alrededor de diez minutos en el transcurso de una clase de Matemáticas.
Este modelo es el que conlleva más preparación por parte del profesor puesto que precisa disponer de una “biblioteca” de textos de divulgación matemática y de extractos de diferentes obras, que sean apropiados y oportunos para utilizar en la enseñanza de cada tema y/o concepto concreto del currículo.
De este modo se pretende motivar a los alumnos, mejorar la comprensión de los conceptos, y percibir la utilidad de las matemáticas. Además puede servir como recapitulación de conocimientos previos para aquellos alumnos con una base matemática insuficiente, para introducir actividades relacionadas con la vida cotidiana y el uso real de las matemáticas, y como acicate cultural.
La puesta en práctica puede hacerse de varias maneras: 1) Lectura en clase:
La lectura puede hacerse en clase con una organización premeditada, por ejemplo leyendo un extracto por semana de forma sistemática, o de manera puntual a lo largo del curso, por ejemplo para explicar algunos conceptos concretos o alguna unidad didáctica.
2) Lectura personal de los alumnos:
En el caso de preferir no dedicar tiempo a la lectura en las clases por razones de preferencia o falta de tiempo, se puede optar por proporcionar a los alumnos los extractos y mandar trabajarlos en casa como una tarea más.
Otra opción es la de intercalar estas líneas de actuación, siempre controlando no excederse en cantidad y respetando la enseñanza de los contenidos curriculares.
En todos los casos, se ha de resaltar el cuidado y precaución a la hora de preparar el diseño, teniendo en cuenta el tiempo global del año académico y la respuesta que puede provocar en el alumnado dependiendo de las características de éste. Lo que se pretende es utilizar formas alternativas de enseñanza, no añadir contenidos al currículo.
5.3.- Criterios de evaluación
En función de cada esquema metodológico, el aprendizaje de los conceptos matemáticos realizado por los alumnos se podrá evaluar a través de diferentes actuaciones (puesta en común en clase, entrega de un trabajo, entrega de una ficha técnica del libro más una tarea, actividades, exposiciones en clase, etc.) y criterios de evaluación. Los tres modelos de actuación propuestos anteriormente podrían evaluarse como sigue:
► Lectura y seguimiento de un único libro:
1) Mantener la lectura del libro en clase y a lo largo del curso:
Está opción da paso a una actuación directa en la clase durante los siguientes cinco minutos a la lectura por si surge algún elemento o característica matemáticos a destacar o explicar en la parte leída. Los alumnos ponen en común lo que han entendido o no, y el profesor enseña los conceptos matemáticos que han aparecido.
2) Lectura de un mismo libro para todos los alumnos a lo largo de un curso completo:
La valoración de esta opción como una tarea más a cumplir por los alumnos se puede realizar a través de entregas periódicas como pueden ser:
Un trabajo sobre el libro leído o algún capítulo señalado y las matemáticas que contiene.
La realización de varias actividades y/o cuestiones redactadas por el profesor.
Las actividades a plantear por el profesor tratarían tanto de la resolución como de la invención por parte del alumno de algún ejercicio, problema, acertijo o juego matemático en relación con las matemáticas tratadas en el libro leído.
Para la manera libre, los alumnos harían una única entrega al finalizar el curso. Para la manera dirigida, harían una entrega al final de cada etapa de lectura establecida.
3) El alumno elige un libro de entre una lista propuesta por el profesor:
Al igual que la opción anterior, ésta puede evaluarse a través de una entrega al final del curso. Puede ser la entrega de un trabajo sobre el libro leído y las matemáticas que contiene, o la entrega de una ficha técnica con alguna actividad puesta por el profesor en relación con las matemáticas tratadas en dicho libro.
► Lectura y seguimiento de varios libros de forma continua:
profesor y los alumnos durante la clase tratando la lectura realizada a continuación de ésta durante cinco o diez minutos.
► Utilización de diferentes textos y/o partes de distintos libros:
En esta opción no se contempla una evaluación como tal de las lecturas puesto que este plan de acción lo que pretende no es impartir más contenidos de los que haya que evaluar al alumnado sino aportar herramientas a los alumnos para comprender mejor los conceptos matemáticos que sí son objeto de evaluación.
Otra forma de tarea en la que los alumnos pongan en evidencia su aprendizaje a partir de las lecturas es hacer una exposición. Cada alumno puede preparar una exposición del libro leído o se puede realizar una exposición con todos los alumnos bajo el nombre, por ejemplo, de Matemáticas en los libros, en la que cada alumno tenga que elegir un texto de entre aquellos preparados y tratados por el profesor y hacer ciertas actividades relacionadas con el texto. Después se expondrían sus trabajos a través de paneles en el centro de manera temporal, o de carteles que compongan una exposición permanente en el aula de matemáticas, o de presentaciones ante sus compañeros de manera oral.
5.4.- Atención a la diversidad
Bajo esta denominación, los diversos organismos se refieren a la especial atención que reclaman las aulas escolares ante la gran variedad de niveles educativos y formas de aprendizaje que coexisten en una misma aula con alumnos procedentes de contextos sociales muy dispares. No se contempla al Alumnado con Necesidades Educativas Especiales (ACNEE) ni las adaptaciones curriculares específicas, que requieren una actuación más especializada.
A este respecto, el REAL DECRETO 1631/2006, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria, indica que:
Artículo 12. Atención a la diversidad.
Y el DECRETO 52/2007, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León, dice:
Artículo 10.– Atención a la diversidad.
1. Las diferentes actuaciones educativas deberán contemplar la atención a la diversidad del alumnado, compatibilizando el desarrollo de todos con la atención personalizada de las necesidades de cada uno.
En este punto cabe destacar que el trabajo que aquí se expone contribuye a la atención a la diversidad redactada en la normativa legal por varios motivos que se diferencian a continuación. En el aula el principal causante de la pluralidad de niveles educativos es la suma de las diferentes formas de aprendizaje y de entender los conceptos, junto a la falta de una atención personalizada en los grupos grandes, a lo cual se une la falta de sentido real y el lenguaje formal de las matemáticas estudiadas. El uso de libros de divulgación matemática y literarios permite solucionar estas diferencias gracias a:
♦ El lenguaje coloquial que utilizan para explicar las nociones matemáticas, pensado precisamente para ser asequible a adolescentes de entre 12 y 18 años.
♦ La fuente de información motivadora que puede suponer para éstos.
♦ El formato cotidiano, y bien conocido por los adolescentes de estas edades, en el que se presentan.
Además, otro motivo favorecedor hacia la atención a la diversidad de este recurso didáctico es:
♦ La cantidad de libros de divulgación matemática disponibles actualmente en castellano. El profesor puede elegir sin problemas los textos y/o libros adecuados al nivel educativo de los alumnos dada la gran variedad de éstos que existen.
♦ La preparación meditada, cuidadosa y atenta de las actividades a realizar relacionadas con la lectura seleccionada.
5.5.- Propuesta didáctica
curso de Educación Secundaria Obligatoria utilizando libros de estas características a través del plan de actuación expuesto como tercera opción en el apartado 5.2 de este trabajo:
► Utilización de diferentes textos y/o partes de distintos libros. Con la puesta en práctica:
1) Lectura en clase.
Para este fin, me he basado en los contenidos definidos por el DECRETO 52/2007, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Castilla y León, para preparar una serie de actividades, ejemplos, fundamentos divulgativos y apoyos introductorios, abarcando la mayor parte de las nociones matemáticas englobadas en los contenidos del tercer curso de Educación Secundaria Obligatoria.
La estructura de la propuesta se organiza por contenidos siguiendo, cada uno de los tratados, el siguiente esquema:
Contenidos curriculares que se trabajan con la actividad
• Libro de divulgación matemática o narrativo utilizado y autor
• Extracto utilizado de dicho libro
• Desarrollo de la actividad
BLOQUE 1. CONTENIDOS COMUNES
ACTIVIDAD 1
Contenidos comunes
Libro:Vitaminas matemáticas; Autor: Claudi Alsina
Extracto:
¿Influyen las matemáticas en mi vida cotidiana?
Medite un momentito, por favor, sobre cómo las matemáticas están subyacentes a todo lo que hace en su vida. Puestos a dejar al margen cosas profesionales, escoja para la reflexión el día de la semana más neutral: el domingo. Tiene el día libre, nadie le obliga a nada... ¿tienen también las matemáticas el día libre? ¡Ni pensarlo! Ellas están activadas como siempre. Usted se despierta a una hora razonable, las 10 por ejemplo. Se levanta de la cómoda cama (medidas ergonómicas), regula el termostato (giro de rueda, escala en grados Celsius) y se dirige a la ducha (giros opuestos en el monomando, proporción de agua fría y agua caliente), usa su champú favorito (tanto por ciento de suavidad) y luego se acaba de arreglar frente al espejo (simetría), se lava los dientes (traslación y giros) y se dirige a la cocina a tomar el desgraciado (descafeinado con leche descremada y sacarina) y su ración de cereales (control de calidad en cereales, la caja parece un tratado de teoría de números). Recibe una llamada del móvil (números telefónicos, ondas, antenas parabólicas) y luego se toma una pastilla (estudio estadístico farmacológico, grupo de control en pacientes). Y son las 10:30 (sistema en base 60).
Como puede ya intuir, por poco que haga... allí están las matemáticas. Y en el fondo usted confía en ellas, da por descontado que funcionan.
Desarrollo:
Esta actividad se llevaría a cabo al inicio del curso, dando cuenta de los contenidos que se van a ver en el curso, o al final, repasando los contenidos aprendidos.
Se dice el autor y el libro a leer, y se lee el texto. Después se relee parando en cada concepto matemático, describiendo cómo aparece en la acción cotidiana correspondiente.
Un par de alumnos pueden describir su día anterior concretando entre toda la clase las matemáticas que se esconden en su transcurso.
Aspectos matemáticos:
Con este extracto se muestra la presencia de las matemáticas en el entorno que nos rodea, lo que pone de manifiesto de algún modo su utilidad. Los conceptos matemáticos que aparecen en el texto son:
• Medidas ergonómicas: la cama ha de tener unas medidas adecuadas en relación a las características corporales del cuerpo humano. Importancia de medir.
• Escala en grados Celsius: las escalas constituyen un método para clasificar datos cualitativos partiendo de un punto de referencia. En este caso, la referencia son los valores 0º y 100º atribuidos a las temperaturas de ebullición y congelación del agua, respectivamente.
• Proporción de agua fría y agua caliente: dependiendo de la proporción de agua fría o caliente obtendremos la temperatura deseada.
• Tanto por ciento de suavidad: las características y componentes de los productos suelen cuantificarse en tanto por ciento. Por ejemplo: 100% natural, 0% colorantes, 10% aloe vera, 0% parabenos.
• Control de calidad en cereales, estudio estadístico farmacológico, grupo de control en pacientes: la idoneidad de un proceso o un tratamiento médico se basa en el estudio estadístico y probabilístico.
• Caja de cereales: para el envasado de los productos se estudia la mejor relación entre cantidad de material necesario y volumen que debe contener.
• Números telefónicos: continuamente utilizamos números para identificar sujetos.
• Ondas: las características de éstas se describen matemáticamente a través de la teoría de funciones.
• Antenas parabólicas: se llaman así por su forma geométrica de paraboloide de revolución. Es la superficie geométrica óptima para reflejar las ondas electromagnéticas en la dirección que se requiere.
ACTIVIDAD 2
Contenidos comunes
Libro:El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha; Autor: Miguel de Cervantes
Extracto:
Es una ciencia, replicó don Quijote, que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa ha de ser jurisperito, y saber las leyes de la justicia distributiva y conmutativa, para dar a cada uno lo que es suyo y lo que le conviene; [...] ha de ser teólogo [...]; ha de ser médico; [...] ha de ser astrólogo, para conocer por las estrellas cuántas horas son pasadas de la noche, y en qué parte y en qué clima del mundo se halla; ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad de ellas.
Desarrollo:
Este extracto se utilizaría al inicio del curso para dar la visión de la presencia de las matemáticas en muchos ámbitos, incluso en la literatura clásica.
Se introduce situándolo en el libro: En el capítulo XVIII de la segunda parte de la obra, Don Quijote define lo que él llama ciencia de la caballería andante.
A continuación se lee en voz alta y se pregunta: ¿Para qué va a necesitar Don Quijote las matemáticas?
Aspectos matemáticos:
Mediante este párrafo puede comprobarse que ya en la época de Cervantes las matemáticas eran calificadas como necesarias, y describe diferentes situaciones en las que se echa mano de las mismas.
ACTIVIDAD 3
Contenidos comunes
Libro:El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha; Autor: Miguel de Cervantes
Extracto:
Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío (y esté vuesa merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso); digo pues, que sobre este río estaba una puente, y al cabo de ella una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río de la puente y del señorío, que era en esta forma: si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna. […] Sucedió pues, que tomando juramento a un hombre, juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa. […] Pídese a vuesa merced, señor gobernador, ¿qué harán los jueces del tal hombre?
Desarrollo:
Como en el caso anterior, situamos el párrafo para comprender mejor el contexto: En el capítulo LI de la segunda parte de la obra, Sancho tiene que juzgar, como gobernador de la ínsula Barataria, las complicadas situaciones que los súbditos le plantean buscando justicia. Una de las más conocidas, es la paradoja lógica que se expone en el texto.
Después de leerlo en voz alta, se plantean las siguientes cuestiones:
a) Verificar que los alumnos han comprendido el texto, y aclararlo, si fuera necesario, dado el lenguaje utilizado.
b) ¿Qué solución adoptaría un juez con el hombre? ¿Podría pasar el puente porque dice la verdad, o miente?
c) Se explica qué es una paradoja. Describir más ejemplos de paradojas.
Aspectos matemáticos:
a) Dado el lenguaje del texto, se trata de desarrollar la comprensión lectora de los alumnos, fomentando la necesidad de leer y entender correctamente los problemas en matemáticas. Por otro lado, al presentar paradojas se pretende estimular la lógica matemática.
verdad y tendrían que haberle dejado pasar.
Ante la contradicción en ambas posturas, al final Sancho juzga que “le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado más el hacer bien, que mal”.
c) Una paradoja es una proposición que encierra una contradicción de ideas, de forma que conduce a una situación imposible de resolver. Estas situaciones pueden deberse, por ejemplo, a la afirmación simultánea de dos ideas contrarias entre sí, o a incluir resultados de apariencia imposible. Dos paradojas lingüísticas muy conocidas son:
¿Quién fue primero: el huevo o la gallina? Sólo sé que no sé nada.
En matemáticas existen paradojas que, paradójicamente, han ayudado al avance de las mismas. Ejemplos de paradojas geométricas son las siguientes:
1) ¿Cómo es posible que, reordenando exactamente las mismas piezas en ambas figuras, en la segunda quede un cuadrado blanco?
Se trata de un ardid geométrico: visualmente parece que el segmento formado por las hipotenusas de los dos triángulos es la diagonal del rectángulo cuya mitad ocupan las piezas. Sin embargo, la pendiente de las hipotenusas es ligeramente diferente:
Pendiente triángulo Rojo = 38
Pendiente triángulo Verde =
2 5 Y es claro que 38≠ 2
5 .
por lo que el segmento que forman no es realmente recto. Esto da lugar a la ocupación de un área ligeramente mayor con el cambio de sitio de los triángulos en la segunda figura.
BLOQUE 2. NÚMEROS
ACTIVIDAD 4
Decimales y fracciones
Libro:El diablo de los números; Autor: Hans Magnus Enzensberger
Extracto:
El diablo de los números alzó su bastón, y ante los ojos de Robert apareció una nueva calculadora. […]
-Bueno, teclea uno entre tres -ordenó el anciano. 1:3 -dijo Robert, pulsando las teclas.
En la interminable ventanita apareció la solución, en letras verde claro: 0,3333333333333333333
-¿Es que no termina nunca? -preguntó Robert.
-Sí -dijo el diablo de los números-. Termina donde termina la calculadora. -¿Y luego qué?
-Luego sigue. Sólo que no puedes leerlo.
-Pero siempre sale lo mismo, un tres tras otro. ¡Es como un tobogán! -En eso tienes razón.
-Bah -murmuró Robert-. ¡Es demasiado tonto! Para eso yo escribo simplemente un tercio. Así:
1 3
Y me quedo tan tranquilo. […] Sólo me gustaría saber de dónde salen todos esos treses.
-Es así: el primer tres que hay detrás de la coma son tres décimas. Luego viene el segundo tres, que hace tres centésimas; el tercero, tres milésimas, etc. Puedes sumarlo todo:
0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003
…
» ¿Comprendido? ¿Sí? Entonces intenta todo el tiempo multiplicar por tres: el primer tres, es decir las tres décimas, luego las tres centésimas, etc.
-No hay problema -dijo Robert-. Puedo hacerlo incluso de cabeza: 0,3 x 3 = 0,9
-Bien. Y si sumas todos los nueves otra vez, ¿qué ocurre?
-¡Un momento! 0,9 más 0,09 son 0,99; más 0,009, 0,999. Cada vez más nueves. Parece seguir eternamente así.
-Parece. Pero, si lo piensas bien, verás que no es cierto. Si sumas los tres tercios, tendría que salir 1, ¿no? Porque un tercio por tres da un entero. Eso está claro.
[…]
-¡Uf! -exclamó Robert-. ¿Esto ocurre sólo con los treses y los nueves? ¿O también los otros números forman esas repugnantes serpientes?
-Hay tantas serpientes interminables como arena a la orilla del mar, querido. ¡Piensa cuántas habrá sólo entre 0,0 y 1,0!
Desarrollo:
Después de presentar el libro y su argumento, se lee el texto (puede leerse como un diálogo entre dos alumnos) y se propone la siguiente actividad para reflexionar:
a) ¿Cómo se denomina el tipo de números decimales que aparecen en el texto? ¿Cómo se denotan para no tener que escribir cifras decimales infinitamente ya que a Robert no le gustan?
b) Robert escribe 1
3 para no tener que escribir treses sin parar. ¿También se pueden
utilizar fracciones para escribir 0,7777777777777...? En caso afirmativo, escribir su fracción equivalente. ¿Cuál es la fracción equivalente de 0,9999999999999...?
c) ¿Cuántos números como éstos hay entre 0,0 y 1,0? Proponer tres ejemplos.
Aspectos matemáticos:
Este libro narra los sueños de un chico llamado Robert en los que aparece el diablo de los números para enseñarle unas cuantas cosas que lo sorprenderán.
a) El tipo de números que aparecen son números decimales periódicos puros con una cifra en el periodo. Es conocida la notación
0,3333333333333... = 0,3 b) En efecto,
0,7777777777777... = 0,7 = 7 9 porque:
0,7 × 10 – 0,7 = 0,7 × (10 – 1) = 0,7 × 9 también 0,7 × 10 – 0,7 = 7,7 – 0,7 = 7 entonces 0,7 × 9 = 7, es decir: 0,7 = 7
9
también 0,9 × 10 – 0,9 = 9,9 – 0,9 = 9 entonces 0,9 × 9 = 9, es decir: 0,9 = 99 = 1
¡Como dice el diablo de los números!
c) Entre 0,0 y 1,0 hay infinitos números (por tanto, infinitos números decimales así como infinitos números decimales periódicos). Por ejemplo:
0,010101010101010101010101... 0,505050505050505050505050...
0,293293293293293293293...
Extracto:
-Pero algunas de tus cifras detrás de la coma se comportan de forma muy peculiar. ¿Quieres que te enseñe cómo?
-¡Claro! Siempre que no llenes toda la playa de esas asquerosas serpientes. -Tranquilo. Tu gran calculadora lo hará. Sólo tienes que pulsar: siete entre once. No hizo falta que se lo repitieran.
7:11 = 0,6363636363636...
-¡Qué está pasando! -exclamó-. Siempre 63, y 63 y otra vez 63. Es probable que continúe así para siempre.
-Sin duda; pero esto aún no es nada. ¡Prueba con seis entre siete! Robert tecleó:
6:7 = 0,8571428571428...
-¡Siempre vuelven a aparecer las mismas cifras! -exclamó-: 857 142, y vuelta a empezar. ¡El número gira en círculos!
Sí, son unas criaturas fantásticas, los números. ¿Sabes?, en el fondo no hay números normales. Cada uno de ellos tiene sus propios rasgos, sus propios secretos. Nunca acaba uno de conocerlos. La serpiente de nueves tras el cero y la coma, por ejemplo, que no termina nunca y sin embargo es prácticamente lo mismo que un simple uno. Además, hay otros muchos que se portan de forma mucho más testaruda y se vuelven completamente locos detrás de su coma.
Desarrollo:
Se continúa la lectura con este otro extracto junto a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué tipo de decimales son los resultantes de dividir 7:11 y 6:7? Escribirlos con notación periódica.
b) Dar ejemplos de decimales periódicos puros con 3, 7 y 9 cifras en el periodo y transformarlos en fracciones.
c) ¿A qué números completamente locos detrás de la coma se refiere el diablo de los números al final del texto? Citar dos de éstos números locos.
Aspectos matemáticos:
a) 7:11 = 0,6363636363636... es decimal periódico puro con dos cifras en el periodo: 0,6363636363636... = 0,63
6:7 = 0,8571428571428... es decimal periódico puro con seis cifras en el periodo: 0,8571428571428... = 0,857142
b) Un ejemplo de decimal periódico puro con tres cifras en el periodo es el siguiente: 4,1231231231231... = 4,123 = 1373333
ya que:
4,123 × 1000 – 4,123 = 4,123 × (1000 – 1) = 4,123 × 999 también 4,123 × 1000 – 4,123 = 4123,123 – 4,123 = 4123 – 4
entonces 4,123 × 999 = 4123 – 4, es decir: 4,123 = 4123999– 4 = 4119999 = 1373333
Un ejemplo de decimal periódico puro con siete cifras en el periodo es: 15,526894352689435... = 15,5268943 = 15526879
9999999
ya que:
15,5268943 × 10.000.000 – 15,5268943 = 15,5268943 × (10.000.000 – 1) = 15,5268943 × 9.999.999
también
15,5268943 × 10.000.000 – 15,5268943 = 155268943,5268943 – 15,5268943 = 155268943 – 15
entonces
15,5268943 × 9.999.999 = 155268943 – 15, es decir: 15,5268943 = 155268943 – 15
9999999 =
15526879 9999999
Un ejemplo de decimal periódico puro con nueve cifras en el periodo es: 1,57737504757737504757... = 1,577375047 = 526318333667 ya que:
1,577375047 × 1.000.000.000 – 1,577375047 = 1,577375047 × (1.000.000.000 – 1) = 1,577375047 × 999.999.999
también
1,577375047 × 1.000.000.000 – 1,577375047 = 1577375047,577375047 - 1,577375047 = 1577375047 – 1
1,577375047 × 999.999.999 = 1577375047 – 1, es decir: 1,577375047 = 1577375047999.999.999– 1 = 1577375046999.999.999 = 526318333667
c) El diablo se refiere a los números decimales no periódicos que tienen infinitas cifras decimales sin seguir ningún orden. Por eso no tienen una fracción equivalente y se llaman irracionales. El primer número irracional que apareció es
√
2 . Otro número irracional muy importante en geometría es el número pi: π = 3,141592653589793... Pero también se pueden describir otros, como por ejemplo:0,1234567891011121314151617... 356,101101110111101111101111110... d) Faltan de nombrar los dos siguientes tipos:
– Números con un número finito de decimales. Por ejemplo: 0,56841 = 100.00056841
– Números decimales periódicos mixtos: son aquellos con infinitas cifras decimales en las que el periodo aparece a partir de un cierto decimal. Por ejemplo:
63,4715715715715715... = 63,4715 = 634715– 634 9.990 =
ACTIVIDAD 5
Decimales y fracciones. Fracción generatriz. Operaciones con fracciones
Libro:Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números; Autor: Carlo Frabetti
Extracto:
—Eso significa que el Sombrerero Loco y sus amigos están tomando el té de las cinco —comentó Charlie—. Lo cual no tiene nada de extraño, pues lo toman a todas horas.
Y, efectivamente, siguieron avanzando por la diagonal del bosque de números y poco tiempo después vieron al Sombrerero y la Liebre de Marzo tomando el té en una mesa dispuesta bajo un árbol. Entre ellos, el Lirón dormía profundamente.
La mesa era muy grande, y sin embargo los tres comensales se habían agrupado muy juntos en una esquina. Al ver acercarse a Alicia, la Liebre y el Sombrerero empezaron a gritar:
—¡No hay sitio! ¡No hay sitio!
—Hay sitio de sobra —replicó la niña, indignada, a la vez que se sentaba en una amplia butaca que había a la cabecera de la mesa. Charlie, que la seguía sonriendo enigmáticamente, se sentó a su lado.
—¿Qué prefieres, media tarta de manzana o dos cuartas partes? —le preguntó la Liebre de Marzo a Alicia, mientras le ofrecía una obsequiosa sonrisa.
—¿Te estás quedando conmigo? Media tarta es lo mismo que dos cuartas partes — dijo la niña.
—Muy bien, acabas de descubrir las fracciones equivalentes —la felicitó el Sombrerero Loco.
—Claro: 1/2 = 2/4 —añadió la Liebre.
—Aunque a lo mejor eres una glotona y prefieres comerte el 50% de la tarta —dijo el Sombrerero.
—¡Ya está bien de tomarme el pelo! —protestó Alicia—. El 50% de la tarta también es lo mismo que la mitad.
—¡Qué niña tan lista! —exclamó la Liebre de Marzo, aplaudiendo con las orejas. —¿Por qué el 50% es lo mismo que la mitad? —preguntó el Lirón sin abrir los ojos. —Porque si de cien partes tomas cincuenta, es lo mismo que tomar la mitad — contestó rápidamente Alicia.
—¿Ah, sí? ¡Cómo se nota que no eres tú la que tiene que partir la tarta! —replicó el Sombrerero—. ¿Crees que es lo mismo partirla en dos trozos y darte uno que partirla en cien trozos y darte cincuenta?
Desarrollo:
Con este extracto se propondrían las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué respuesta convendría a la última pregunta del Sombrerero loco? ¿Por qué? b) ¿De cuántas formas distintas aparece expresada la fracción de tarta que la Liebre y el Sombrerero le ofrecen a Alicia? ¿Cuál es la fracción generatriz?
comiendo en el té de las cinco. Los ingredientes para seis personas son los siguientes:
2 huevos 1 yogur de limón
½ taza de leche ¾ taza de aceite 1 y ½ tazas de harina
2 manzanas ¼ taza de mermelada
¿Qué cantidad necesita de cada ingrediente para invitar a todos sus amigos? ¿Y si hubiesen ido también a tomar el té la Reina de Corazones y el Gato de Cheshire?
El Lirón era el encargado de hacer la compra, pero se quedó dormido y, cuando llegó a la tienda, sólo quedaba un huevo. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitará para un sólo huevo? ¿A cuántos comensales podrá invitar?
Aspectos matemáticos:
a) La cantidad de tarta es la misma porque 10050 = 50: 50
100: 50= 1
2 . No obstante, requiere más trabajo partir la tarta en un centenar de trozos que en dos, de ahí la importancia de la fracción generatriz.
b) 1/2; 2/4; 50%; y 50/100. La fracción generatriz es la irreducible, es decir, aquella en la que numerador y denominador son primos entre sí. En este caso es 1/2.
c) Sus amigos son la Liebre, el Lirón, Alicia y Charlie, es decir, cuatro. La tarta es para seis personas, entonces cada persona tocaría a 1/6 de cada ingrediente. Como van a comer cuatro, el Sombrerero necesita 4⋅1
6 = 4
6 de cada ingrediente para invitar a todos sus amigos. Es decir:
4 6⋅2=
8 6 =
4 3 =1 y
1
3 huevos 4
6⋅1= 4 6 =
2
3 de yogur de limón 4 6⋅ 1 2 = 4 12 = 1
3 tazas de leche 4 6⋅ 3 4= 12 24 = 1
2 tazas de aceite 4
6⋅(1+ 1 2) =
4 6+ 4 12 = 8 12 + 4 12 = 12
12 =1 taza de harina 4
6⋅2= 8 6 =
4
3 =1 y 1 3 manzanas 4 6⋅ 1 4 = 4 24 = 1
Si también hubiesen ido la Reina de Corazones y el Gato de Cheshire, habrían sido seis amigos a los que invitar por lo que necesitaría la totalidad de los ingredientes, es decir, toda la tarta.
En la receta se necesitan dos huevos. Si sólo tenemos un huevo, es decir, la mitad de los que necesitábamos, el resto de ingredientes necesarios también se reduce a la mitad, por tanto la receta para un sólo huevo es:
1
2⋅2=1 huevos 1
2⋅1= 1
2 de yogur de limón 1
2⋅ 1 2 =
1
4 tazas de leche 1
2⋅ 3 4 =
3
8 tazas de aceite 1
2⋅(1+ 1 2) =
1 2 + 1 4 = 2 4 + 1 4 = 3
4 tazas de harina 1
2⋅2=1 manzana 1
2⋅ 1 4 =
1
8 tazas de mermelada
Además, por la misma razón, con esta receta podrá invitar a la mitad de personas que con la anterior receta que era para seis. Podrá invitar a:
1
ACTIVIDAD 6
Expresión de números muy grandes. Notación científica Libro:La biblioteca de Babel; Autor: Jorge Luis Borges
Extracto:
A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras […] La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sesa, todo lo que es dable expresar. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte.
Desarrollo:
Después de la presentación del extracto, se plantea éste como el enunciado de un problema a resolver:
¿Cuántas letras hay en cada hexágono descrito? Expresarlo en notación científica.
Aspectos matemáticos:
En primer lugar, calculamos cuántas letras tiene cada libro: un libro tiene 410 páginas y cada una de éstas, 40 renglones, por lo que cada libro tiene
410 × 40 = 16400 renglones = 1,64 × 104 renglones
Cada renglón tiene unas 80 letras, entonces un libro tiene alrededor de 80 × 1,64 × 104 = 131,2 × 104 = 1,312 × 106 letras
Por otro lado, cada anaquel contiene 32 libros, por lo que cada uno contendrá 32 × 1,312 × 106 = 41,984 × 106 = 4,1984 × 107 letras
En cada muro de un hexágono hay cinco anaqueles, es decir,
5 × 4,1984 × 107 = 20,992 × 107 = 2,0992 × 108 letras
