Propiedades y formas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Matemáticasde
2º de Bachillerato
Por Javier Carroquino CaZas
Catedrático de matemáticasdel I.E.S. Siete Colinas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Propiedades y formas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real
Depósito Legal : CE&110&2004
ISBN : 84&6888&9056&1
Número de Registro : 04&74741
Prólogo
E
l estudio de una función real de variable real conlleva la necesidad de buscar y descubrir ciertas propiedades que esa función puede o no cumplir, tanto en uno o más puntos, en un intervalo, en un conjunto o en todo su dominio.Esas propiedades se verán reflejadas en la forma que tomará la gráfica de la función y nos permitirá conocer con profundidad la relación existente entre las variables independiente (x) y dependiente (y), como por ejemplo: “si la variable x crece, ¿la variable y crece o
decrece? Otro ejemplo : ¿En qué valor x la función
alcanza el máximo valor?
Índice
Página
1.Función par. Función simétrica respecto al eje de ordenadas... 1
Ejemplo 1 ... 2
Ejemplo 2 ... 3
Ejemplo 3 ... 4
Ejemplo 4 ... 5
Ejemplo 5 ... 5
2.Función impar. Función simétrica respecto al origen ... 6
Ejemplo 6... 7
Ejemplo 7... 8
Ejemplo 8 ... 8
3.Función creciente en un punto ... 9
Ejemplo 9 ... 11
Ejemplo 10 ... 12
4.Función creciente en un intervalo ... 13
Ejemplo 11... 15
5.Función creciente en todo su dominio ... 15
Ejemplo 12 ... 16
6.Función decreciente en un punto ... 17
Ejemplo 13 ... 19
7.Función decreciente en un intervalo ... 20
Ejemplo 14... 22
8.Función decreciente en todo su dominio ... 22
Ejemplo 15 ... 23
9.Cota superior de una función ... 24
Ejemplo 16 ... 24
10.Extremo superior o supremo de una función ... 26
Ejemplo 17 ... 26
11.Máximo de una función ... 26
Ejemplo 18 ... 27
Ejemplo 19 ... 27
Ejemplo 20 ... 27
12.Función acotada superiormente ... 28
Ejemplo 21 ... 28
13.Cota inferior de una función ... 29
Ejemplo 22 ... 29
14.Extremo inferior o ínfimo de una función ... 30
Ejemplo 23 ... 31
15.Mínimo de una función ... 31
Ejemplo 24 ... 31
Ejemplo 25 ... 32
16.Función acotada inferiormente ... 32
Ejemplo 26 ... 32
17.Función acotada ... 33
Ejemplo 27 ... 33
18.Concavidad-convexidad de una función ... 34
18.1.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en un punto .. 34
Ejemplo 28 ... 35
Página
18.3.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en su dominio. 36
Ejemplo 30 ... 37
Ejemplo 31 ... 37
Ejemplo 32 ... 37
18.4.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un punto .. 38
Ejemplo 33 ... 39
18.5.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un intervalo 39 18.6.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en su dominio. 40 Ejemplo 34 ... 40
Ejemplo 35 ... 41
19.Punto de inflexión de una función ... 41
Ejemplo 36 ... 42
20.Función periódica ... 42
Ejemplo 37 ... 43
Ejemplo 38 ... 44
f x es una funcion par
x D es
x D
f
x
f x
f
f
( )
&
( )
( )
(
)
( )
⇔ ∀ ∈
∗ − ∈
∗∗
− =
E
l estudio de este tema conviene que se realice a continuación de los titulados “Funciones reales de variable real” y “Representación gráfica de las funciones reales de variable real ”, editados en el mismo formato.En “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”, se estudian diversas propiedades y características que pueden tener las funciones y como repercuten estas en su representación gráfica, lo que nos enriquecerá en el conocimiento sobre la relación existente entre las dos variables que intervienen en una función, esto es, la variable independiente y la variable dependiente.
Seguiremos “hablando” de función y su gráfica, el aspecto y forma de esta en un punto P(x,y) del plano y en un intervalo de extremos a y b del eje de abcisas. Veremos los conceptos de función par e impar, función creciente y decreciente, cotas superiores e inferiores de una función, función periódica, etc. Todo ello con el objetivo aprender a conseguir un estudio exhaustivo de cualquier función, aunque en temas sucesivos utilizaremos los conceptos de “límites de funciones” y “derivadas”, para un estudio más completo.
1.Función par. Función simétrica respecto al eje de
ordenadas.-‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.
‘ Sea Dfdú el dominio de esa función.
Vamos a definir el concepto de función par :
Es decir:
“Una función es par si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, el opuesto
de ese número también pertenece al dominio y además la imagen de ambos son iguales.”
Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:
” Supongamos que y = f (x) es una función par.
” Sea Df su dominio.
” Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función par. Además, por el mismo motivo, f (&a) = f (a) = b
” Según el punto anterior, podemos asegurar que (a , b)0Df y (&a , b)0Df
” La interpretación gráfica del punto anterior es que si el punto P(a , b) pertenece a la gráfica de la función, entonces el punto Q(&a , b) también pertenece a la gráfica de f (x).
” El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x), el eje de ordenadas actuaría como un “espejo”, es decir, la gráfica es simétrica con
Propiedades y formas
de las
f x
x
es funcion par
x D es
x D
f
x
f x
f
f
( )
&
( )
( )
(
)
( )
=
−
⇔ ∀ ∈
∗
− ∈
∗∗
− =
3
28
respecto al eje de ordenadas. Veamos:
Ejemplo 1
.-Sea la función y = f (x) = 3x2&8.
Queremos saber si es una función par y dibujar su gráfica. Veamos:
] El dominio de f (x) = 3x2& 8 (función polinómica de grado 2) es ú. Es decir, D
f = ú.
] Veamos si se cumple (() : Como Df = ú, si x0Df , entonces &x0Df Por tanto, se cumple (().
] Veamos si se cumple ((() : f (&x) = 3(&x)2& 8 = 3x2&8 = f (x)
Por tanto, se cumple ((().
Conclusión: y = f (x) = 3x2&8 es una función par.
Ahora vamos a dibujar su gráfica (es una parábola) para comprobar si es simétrica respecto de eje de ordenadas.
En la gráfica puede observarse como se trata de una
función simétrica con respecto al eje de ordenadas.
A la derecha tenemos lo que podría ser la gráfica de una función par.
Observa como el eje de ordenadas actúa como un espejo en el que se refleja la gráfica, es decir, si un punto P(a,b) está en ella, entonces el punto simétrico respecto al eje de ordenadas, es decir Q(-a,b), también está en la gráfica.
x y =3x2&8 Puntos
0 &8 (0,&8) V 1 &5 (1,&5)
&1 &5 (&1,&5)
2 4 ( 2,4 )
&2 4 (&2,4 )
3 19 ( 3,19 )
g x
x
es funcion par
x D es
x D
g
x
g x
g
g
( )
&
( )
( )
(
)
( )
=
⇔ ∀ ∈
∗
− ∈
∗∗
− =
1
∀ ∈
− =
−
=
=
x D es g
x
x
x
g x
g
(
)
(
)
( )
1
1
2 2
Ejemplo 2
.-Queremos saber si la función
y g x
=
( )
=
x12 es par. Veamos:Š Hallemos el dominio de la función g (x) :
Es evidente que œx0ú con x…0 se verifica que
g x
existe.x
( )
=
12
Por tanto: Dg = ú&{0} = (&4 , 0)c(0 ,+4)
Š Veamos si se cumple (() :
Como al dominio de g pertenece todo número real excepto el 0, podemos asegurar que:
œx 0Dg se verifica que &x 0Dg Por tanto se verifica (()
Š Veamos si se cumple ((() :
Por tanto: La función
y g x
es par.x
=
( )
=
12
Dibujemos su gráfica:
En la gráfica puede apreciarse su simetría respecto del eje de ordenadas. También apreciamos que el eje de ordenadas es una asíntota vertical (por ambos lados) y el de abcisas es una asíntota horizontal (también por ambos lados).
x
y
x
=
12 x
•
0y
=
x120 ò 0 ò
1 1 0´5 4
&1 1 &0´5 4
2 0´25 0´1 100
&2 0´25 &0´1 100 4 0´0625 0´01 10000 &4 0´0625 &0´01 10000
100 0´0001 0´001 1000000 &100 0´0001 &0´001 1000000
! ! ! !
+4 0+ 0+ +4
h x es par x D es x D
h x h x
x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇔ ∀ ∈ ∗ − ∈ ∗∗ − = −2
{ }
si x h x
si x h x Dh R
= → ∉ ≠ → ∈ ⇒ = − = −∞ ∪ + ∞ 0
0 0 0 0
( )
( ) ( , ) ( , )
R R
h
x
x
x
h x
ya que
x
x
(
− = −
)
( )
−
= − =
− =
2
2
Ejemplo 3
.-Sea la función
h x
( )
=
−2x . Hagamos lo siguiente por este orden:a) Dibujar su gráfica.
b) A la vista de la gráfica : ¿Es una función par?
c) Demostrar si es o no una función par. Veamos:
a) Para hacer la gráfica, construyamos una tabla de valores:
b) En el dibujo podemos apreciar que la gráfica de la función es simétrica respecto del eje de ordenadas, lo cual nos indica de un modo visual que se trata de una función par (aunque esto no sirve como demostración).
c) Demostremos si es o no función par:
Observamos que :
Lo anterior nos indica que si x0Dh entonces &x0Dh Por tanto, se cumple (().
Veamos si se cumple ((() :
Conclusión:
h x
( )
=
−x2 es una función par.x y= −x2 Puntos
0 ò No corta a OY
1 &2 (1,&2)
&1 &2 (&1,&2) 2 &1 (2,&1)
&2 &1 (&2,&1) 4 &0´5 (4,&0´5)
&4 &0´5 (4,&0´5)
! ! !
+ 4 0& (+ 4,0&)
&4 0& (&4,0&)
x
•
0 y= −x2 Puntos0´1 &20 (0´1,&20)
&0´1 &20 (&0´1,&20)
0´01 &200 (0´01,&200) &0´01 &200 (&0´01,&200)
! ! !
0+ &4 (0+,&4)
r x
x es funcion par
x D es
x D
r
x
r x
r
r
( )
&
( )
( ) (
)
( )
= +
⇔ ∀ ∈
∗ − ∈
∗∗
− =
x
∈
R
tiene imagen
⇔
r x
( )
= +
positivo o cero
⇔ ≥
x
0
s x
e
x
es funcion par
x D es
x D
s x
s x
x
s
s
( )
&
( )
( )
(
)
( )
=
⇔ ∀ ∈
∗
− ∈
∗∗
− =
{ }
x D∉ s ⇔ =x 0 Notese que s 0 =e = ∉ Por to Ds = − = −∞ ∪ +∞ 0
1
0 0 0
0
. & ( ) R. tan R 0 ( , ) ( , )
s
x
e
x
x
x e
s x
e
x
s
x
s x
x e x x x
(
)
( )
(
)
( )
− =
−
=
−
=
− ⋅
=
⇒
− ≠
− 11
Ejemplo 4
.-Demostremos si la función
y r x
=
( )
= +
x
es o no una función par. Veamos:Primero hallemos el dominio de r (x) :
Por tanto :
D
r=
{
x
∈
R
x
≥
0
}
=
[
0,
+ ∞
)
Según lo anterior, si x es un número positivo (x>0), su opuesto &x será negativo (&x<0), es decir, x0Dr y sin embargo &xóDr. Por tanto, no se cumple (()
Conclusión: La función
y r x
=
( )
= +
x
no es par.Ejemplo 5
.-Sea la función
y s x
e
. Queremos saber si es función par.x
x=
( )
=
Veamos:Veamos si se verifica (():
Observamos que si x0
D
s entonces &x0D
s . Por tanto, se verifica (().Veamos si se verifica ((():
Conclusión: La función y = s (x) no es una función par.
Nótese que si y = f (x) es una función par y ocurre que (x, f (x))0Df entonces (&x, f (x))0Df
f x es una funcion impar
x D es
x D
f
x
f x
f
f
( )
&
( )
( )
(
)
( )
⇔ ∀ ∈
∗ − ∈
∗∗
− = −
2.Función impar. Función simétrica respecto al
origen.-‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.
‘ Sea Dfdú el dominio de esa función.
Vamos a definir el concepto de función impar :
Es decir:
“Una función es impar si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, el
opuesto de ese número también pertenece al dominio y además las imágenes de ambos
números son opuestas.”
Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:
” Supongamos que y = f (x) es una función impar.
” Sea Df su dominio.
” Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función impar. Además, por el mismo motivo, f (&a) = &f (a)
” Según el punto anterior, podemos asegurar que , si f (a) = b, entonces: (a , b)0Gf y (&a , &b)0Gf , siendo Gf el grafo de f
” La interpretación gráfica de lo último es que si el punto P(a , b) pertenece a la gráfica de la función, entonces el punto Q(&a , &b) también pertenece a la gráfica.
” El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x), el origen de coordenadas actuaría como un punto de simetría, es decir, la gráfica es
simétrica con respecto al origen de coordenadas.
Veamos:
La gráfica nos indica que los puntos P(a,b) y Q(&a,&b), que son simétricos respecto del origen O, pertenecen a la gráfica de la función, es decir, los puntos de la gráfica son simétricos respecto del punto origen de coordenadas.
Nótese que la distancia desde O hasta P es igual que la distancia desde O hasta Q.
Nótese también que si una parte de la gráfica de la función está en el cuadrante I, “la otra parte” estaría en el cuadrante III y sería el reflejo de la primera.
También puede darse el caso en que la gráfica esté en los cuadrantes II y IV.
Si y
f x es funcion impar entonces
si a b
G
fse verifica que
a b
G
f=
∈
− − ∈
( )
&
,
:
( , )
,
(
, )
f x
x es funcion impar x D se verica que
x D
f x f x
f
f
( ) & ( )
( ) ( ) ( ) = ⇔ ∀ ∈ ∗ − ∈ ∗∗ − = − 1
{ }
f x
no existe
x
D
x f( )
.
,
(
, )
( ,
)
=
⇔ =
= −
= −∞
∪
+∞
10
0
0
0
Por tanto
R
f
x
x
x
f x
Es decir se cumple la condicion
(
− =
)
( ).
,
&
( )
−
= − = −
∗∗
1
1
En las gráficas anteriores tenemos dos casos posibles de funciones impares. En la figura de la izquierda (en la que hemos graduado los ejes), la gráfica de la función se sitúa en los cuadrantes I y III, mientras que en la de la derecha la gráfica de la función está en los cuadrantes II y IV. En ambos casos puede apreciarse la simetría respecto del origen de coordenadas, esto es, si un punto P(a,b) está en la gráfica, entonces el punto Q(&a ,&b) también lo está.
Lo anterior nos viene a decir, con respecto al grafo de una función impar que:
Ejemplo 6
.-Sea la función y f x . Queremos saber si es una función impar y dibujar su gráfica.
x
= ( )= 1 Veamos:
M Determinemos el dominio de la función:
M Veamos si se verifica la condición (() :
Es evidente que œx0(&4,0)c(0,+4) se verifica que &x0(&4,0)c(0,+4). Por tanto, se verifica la condición (().
M Veamos si se verifica la condición ((() :
Conclusión: La función
y
f x
es impar.x
=
( )
=
1
M Dibujemos su gráfica:
x
y
x
=
1 Puntos1 1 (1,1)
&1 &1 (&1,&1)
2 0´5 (2,0´5)
&2 &0´5 (&2,&0´5)
4 0´25 (4,0´25)
&4 &0´25 (&4,&0´25)
Nótese que
g x x es funcion impar x D es x D
g x g x
g
g
( ) & ( )
( ) ( ) ( )
= − ⇔ ∀ ∈ ∗ − ∈
∗∗ − = −
h x x es funcion impar x D se verifica que x D
h x h x
h
h
( ) & ( )
( ) ( ) ( )
= ⇔ ∀ ∈ ∗ − ∈
∗∗ − = −
3
Ejemplo 7
.-Queremos demostrar si la función y = g (x) = &x es impar. Veamos:
a Veamos el dominio: œx0ú , se verifica que g(x) = &x0ú
Por tanto: Dg = ú= (&4 , + 4)
a Veamos si se verifica la condición (() : œx0Dg = ú se verifica que &x0Dg = ú. Por tanto, se cumple la condición (().
a Veamos si se verifica la condición ((() : g (&x) = &(&x) = &g (x) Por tanto, se cumple la condición ((().
Conclusión: La función y = g (x) = &x es impar.
El grafo de esta función está formado por todos los puntos de la forma (x,&x), es decir: Gg = { (x , &x)0ú×ú*x0ú }dú×ú
Por ejemplo: (&1,1) ; (&2,2) ; (1,&1) ; (2,&2) ; (0´37,&0´37) ; (3´245,&3´245) etc. son puntos del grafo de esa función.
Ejemplo 8
.-Sea la función y = h (x) = x3.
Queremos averiguar si es función impar y dibujar la gráfica. Veamos:
d Hallemos el dominio de la función: Es evidente que œx0ú , h(x) = x30ú
Por tanto: Dh = ú = (&4 , +4)
d Veamos si se cumple la condición ((): œx0Dh = ú , se verifica que &x0Dh = ú
Por tanto, se verifica la condición (().
d Veamos si se verifica la condición (((): h(&x) = (&x)3 = &x3 = &h(x)
Por tanto, se verifica la condición (((). Conclusión: y = h (x) = x3 es una función impar.
Para dibujar su gráfica, construimos una tabla de valores:
x y = x3 Puntos
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
&1 &1 (&1,&1)
2 8 (2,8)
&2 &8 (&2,&8) +4 +4 Rama Parabolic
3.Función creciente en un
punto.-Z Sea y = f (x) una función real de variable real.
Z Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df
La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y que el punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:
Vamos a definir el concepto de función creciente en el punto a :
Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:
Recuérdese que “entorno de centro
a
y radiog
” se define de la siguiente forma:“Entorno de centro a0ú y radio g>0 (número positivo) es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre
a
&
g
ya
+
g
(sin incluir a estos)”.Matemáticamente:
{
}
E a
ε( )
=
x
∈
R
a
− < < +
ε
x a
ε
= −
(
a
ε
,
a
+
ε
)
←
Intervalo
Expliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:
L y = f (x) es creciente en el punto
a
sí y sólo si:L Existe un entorno de centro
a
y radiog
:L Tal que
Se dice que la función y = f (x) es creciente en el punto
a
si existe un entorno de centroa
y radiog
tal que six
está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor o igual que la dea
y six
está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor o igual que la dea
.y f x es creciente en a E a a a si x verifica que a x a entonces f x f a si x verifica que a x a entonces f a f x
= ⇔ ∃ = − + − < < ≤
< < + ≤
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( )
ε ε ε
ε ε
La interpretación gráfica de una función y = f (x) que es creciente en el punto x = a es que la gráfica de esa función “atraviesa” la recta vertical “situada” en x = a “pasando” del
“lado izquierdo” al “lado derecho” “subiendo”.
Es decir:
Observa la gráfica de la izquierda e intenta comprender la coherencia de esta con la definición de que y = f (x) es creciente en el punto x = a.
Nótese que la “franja” delimitada por el entrono Eg = (a&g, a+g) es “atravesada” por la función de izquierda a derecha “subiendo”. Fuera de esa “franja”, es posible que la función cambie de tendencia, es decir, “baje” El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño, infinitamente pequeño, etc.
La forma de la gráfica de la función creciente en un punto x = a puede ser muy distinta. Veamos:
En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos” de las gráfica de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas son crecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones:
( La función y = f (x) atraviesa la recta vertical en x = a de forma horizontal, es decir, ni sube ni baja. (Obsérvese que cumple la definición).
( La función y = g (x) es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tiene pendiente positiva.
( Las otras dos gráficas son curvas.
Otra forma de expresar que una función y = f (x) es creciente en un punto x = a, es la siguiente:
Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función creciente en a, si es bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:
y f x es creciente en a R f a f a f a f a
= ∈ ⇔ ≤
≤
−
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Hemos definido el concepto de función creciente en un punto. Ahora vamos a modificar ligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente creciente en un punto”.
Matemáticamente sería:
El gráfico de la izquierda nos aclara la diferencia entre función creciente y estrictamente creciente en un punto x = a.
) Las cuatro funciones representadas son crecientes en x = a , pero las funciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x) son, además, estrictamente crecientes.
) Observa que la función y = f (x) cumple la definición de función creciente en x = a, pero no cumple la de función estrictamente creciente.
) Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+)
g (a&) < g (a) < g (a+)
h (a&) < h (a) < h (a+)
r (a&) < r (a) < r (a+)
Un caso de una función creciente en el punto a, pero no estrictamente creciente, podría tener la siguiente gráfica:
Observa que en este caso no es posible encontrar un entorno
E
g(a) = (a
&
g
, a+
g
)
tal que:Si a&g < x < a entonces f (x) < f (a) Si a < x < a + g entonces f (a) < f (x)
Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno de centro
E
g(a) = (a
&
g
, a+
g
)
tal que:Si a&g < x < a entonces f (x) # f (a) Si a < x < a + g entonces f (a) # f (x) Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.
Ejemplo 9
.-Dada la función y = f (x) = x5 , demostrar que es estrictamente creciente en x = 0.
Veamos:
Se dice que la función y = f (x) es estrictamente creciente en el punto
a
si existe un entorno de centroa
y radiog
tal que six
está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor que la dea
y six
está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor que la dea
.y f x es estric crec en a E a a a si x verifica que a x a entonces f x f a si x verifica que a x a entonces f a f x
= ⇔ ∃ = − + − < < <
< < + <
( ) . . ( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( )
ε ε ε
(
)
(
)
x g g
x g g
= → = − + = + = + = > =
= → = − + = + = + = > =
− − − − + + + + + + + +
3 3 3 3 1 0 1 0 1 1 1 3
3 3 3 3 1 0 1 0 1 1 1 3
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
¯ El dominio de esta función es ú, es decir, Df = ú = (&4 , +4)
¯ Para x = 0 es f (0) = 05 = 0.
¯ Podemos imaginar un entorno de centro 0 y radio g, Eg = (0&g , 0+g) = (&g , +g) tal que 0& y 0% estén en ese entorno.
Tenemos que
( )
( )
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5
5
− − −
+ + +
= = < =
= = > =
Es decir, en ese entorno, los números que están en la mitad izquierda (números menores que 0) tienen imagen negativa (menor que f (0) = 0 ) y los números que están en la mitad derecha (números mayores que 0) tienen imagen positiva (mayor que f (0) = 0 ). Conclusión: La función y = f (x) = x5 es estrictamente creciente en x = 0.
Por ser estrictamente creciente, también es creciente. Dibujemos su gráfica:
Ejemplo 10
.-Sea la función y = g (x) = (x&3)2 + 1. Demostrar si es o no estrictamente creciente en 3.
Veamos:
Observamos que todo número tiene imagen, es decir, Dg = ú = (&4 , +4). Para x = 3 tenemos g (3) = (3&3)2 + 1 = 0 + 1 = 1
Veamos que ocurre en las “proximidadeslaterales” de x = 3 :
Observando la gráfica de la izquierda, destacamos lo siguiente:
g La gráfica atraviesa la recta vertical en x = 0 (eje de ordenadas) de izquierda a derecha “subiendo”.
g En este caso apreciamos que cualquier entorno de centro 0 es válido para aplicar la definición.
g El punto anterior se aprecia al ver que si x<0 es f (x)<0 y si x>0 es f (x)>0.
Es decir, para los números infinitamente próximos a x = 3 (tanto por su izquierda como por su derecha), las imágenes son mayores que la imagen de 3.
Conclusión :
La función y = g (x) = (x&3)2 + 1
f x creciente en A
( )
⊂
D
f⇔ ∀ ∈
a
A f x creciente en a
, ( )
f x es creciente en A D
a b A a b entonces f a f b
f
( )
, , ( ) ( )
⊂
∀ ∈ < ≤
1444442444443
c
64444444744444448
4.Función creciente en un intervalo
.-º Sea y = f (x) una función y sea Dfdú su dominio.
º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, AdDf . Vamos a definir el concepto “ f (x) creciente en A”
) Una forma de definirlo:
Matemáticamente:
) Otra forma de definirlo:
Es decir, y = f (x) es creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).
Matemáticamente será:
Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo: En la figura de la derecha tenemos:
A = [α,β] intervalo cerrado.
Cualesquiera que sean los números
a y b del intervalo A , tales que sea
a < b, entonces se verifica que
f (a) #f (b). En este caso concreto es f (a) < f (b).
Nótese como la gráfica de la función atraviesa la franja existente entre la rectas x = α y x = β ”subiendo” de izquierda a derecha.
Nótese como en cualquier punto del intervalo A la función y = f (x) es creciente.
En este caso la función es estrictamente creciente en todos los puntos del intervalo A, es decir, es estrictamente creciente en todo el intervalo A.
La definición de función estrictamente creciente en un intervalo A es la siguiente:
“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”
f x estr crec en A
( )
.
.
⊂
D
f⇔ ∀ ∈
a
A f x estr crec en a
, ( )
.
.
f x es estrictamente creciente en A D
a b A a b entonces f a f b
f
( )
, , ( ) ( )
⊂
∀ ∈ < <
1444444442444444443
c
64444444744444448
Matemáticamente:
Otra forma de definirlo:
Es decir, y = f (x) es estrictamente creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).
Matemáticamente será:
Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función creciente y estrictamente creciente en un intervalo:
“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”.
En la página anterior tenemos cuatro gráficas de funciones trazadas en un intervalo de extremos α y β.
La función y = f (x) es estrictamente creciente en todo el intervalo [α , β].
Las funciones y = g (x) , y = h (x) e y = r (x) son crecientes en el intervalo [α , β], pero no son estrictamente crecientes.
La función y = g (x) es constante en todo el intervalo (aunque sea constante, cumple la definición de ser creciente). Se entiende así que una función constante es creciente, aunque no estrictamente.
Ejemplo 11
.-Demuestra que y f x que es estrictamente creciente en el intervalo A = (&4 , 0).
x
= ( )= 12 Veamos:
Si construimos la gráfica de esa función tendremos:
Por tanto, hemos demostrado que
∀
α β
,
∈ −∞
(
,
0
)
tales que
α β
<
,
es f
( )
α
<
f
( )
β
(Nótese que hemos llamado α =&a y β = &b ).
Conclusión: La función y f x es estrictamente creciente en el intervalo A = (&4 , 0)
x
= ( )= 12
5.Función creciente en todo su dominio
.-Una función y = f (x) es creciente en todo su dominio si es creciente en cada uno de los puntos del dominio.
Es decir: f x creciente en D( ) f ⇔ ∀ ∈a Df , es f x creciente en a( )
Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de función creciente Gráfica de la función y f x
x
= ( )= 12
Obsérvese como todo número real, excepto el cero tiene imagen.
Q En la gráfica, a simple vista se aprecia que la función es estrictamente creciente en todo el intervalo (& 4,0), ya que la curva “viaja” por todo el intervalo de izquierda a derecha subiendo.
Q V a m o s a d e m o s t r a r l o matemáticamente:
,Sean &a y &b dos números negativos, es decir, &a,&b0 (& 4,0) tales que
&a<&b.
, Es evidente que a y b son positivos. Además a > b.
, Es evidente que (&a)2= a2 >b2 =(&b)2 , Entonces:
f a
a a b b f b
( )
( ) ( ) ( )
− =
− = < = − = −
1 1 1 1
f x creciente en D
( )
f⇔ ∀
a b
,
∈
D
fa b entonces f a
<
,
( )
≤
f b
( )
f x creciente en D
( )
f⇔ ∀
a b
,
∈
D
fa b entonces f a
<
,
( )
<
f b
( )
f a
e
e
e
e
f b
Notese que
a
b positivos
a
a b
b
( )
( )
&
(
)
=
=
<
=
=
− > −
− −
1
1
f a e
e n mayor que
f b e
f a f b
a a b ( ) º ( ) ( ) ( )
= = = <
= >
⇒ <
−
1 1
1 1
1 en un intervalo. Veamos:
Es decir, si comparamos las imágenes de dos números del dominio, el número menor tiene una imagen menor o igual que la del número mayor.
La interpretación gráfica de este concepto es que si visualizamos la gráfica de la función y la “seguimos” de “izquierda” a “derecha”, siempre la “veremos” “subiendo”.
Para el caso de función estrictamente creciente será:
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 12
.-Consideremos la función exponencial y = f (x) = ex (recuerda que e = 2´71828182....) ¿Es creciente en todo su dominio? Vamos a verlo:
– Cualquier número real x tiene imagen, ya que f (x) = ex es un número real para todo x. Por tanto, Df = ú.
– Veamos si es creciente en todo su dominio:
Supongamos a,b0ú tales que a<b. ¿Podemos asegurar que f (a)#f (b) ? La imagen de x = 0 es : f (0) = e0 = 1
Supongamos que a>0 y b>0. Entonces, es evidente que 1< f (a) = ea < eb = f (b). Supongamos que a<0 y b<0. Veamos qué ocurre en este caso:
Supongamos que a<0 y b>0. En este caso :
– Hemos demostrado que la función y = f (x) = ex es estrictamente creciente en todo ú.
– Vamos a dibujar su gráfica:
Destaquemos lo que se puede apreciar en la gráfica a simple vista:
‹ La función tiene imagen para todo ú ‹ De izquierda a derecha la gráfica
“sube” a lo “largo” de todo ú. Esto es una forma visual de apreciar que la función es estrictamente creciente en todo ú.
‹ Hay rama parabólica por la derecha y hacia arriba, es decir, f (+4) = +4.
6.Función decreciente en un
punto.- Sea y = f (x) una función real de variable real.
Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df
La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y que el punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:
Vamos a definir el concepto de función decreciente en el punto a :
Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:
Expliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:
L y = f (x) es decreciente en el punto a sí y sólo si:
L Existe un entorno de centro a y radio g :
L Tal que
La interpretación gráfica del concepto de función y
= f (x) decreciente en un punto x = a es que la gráfica de la función “atraviesa” la recta vertical trazada en x = a “pasando” de la “parte izquierda” a la “parte derecha” “bajando”.Es decir:
Nótese que la “franja” delimitada por el entrono (a&g, a+g) es “atravesada” por la función de izquierda a derecha “bajando”.
Fuera de ese entrono, es posible que la función cambie de tendencia, es decir, “suba”.
El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño, infinitamente pequeño, etc.
Se dice que la función y = f (x) es decreciente en el punto a si existe un entorno de centro a y radio
g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor o igual que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor o igual que la de a.
y f x es decreciente en a E a a a si x verifica que a x a entonces f x f a si x verifica que a x a entonces f a f x
= ( ) ⇔ ∃ ( ) (= − , + ) < < +− < < ( )≥≥ ( ) ( ) ( )
ε ε ε
ε ε
La gráfica de una función decreciente en un punto x = a puede ser muy diversa. Veamos:
En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos” de las gráficas de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas son decrecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones:
( La función y = f (x) atraviesa la recta vertical en x = a de forma horizontal, es decir, no sube ni baja. (Obsérvese que cumple la definición).
( La función y = g (x) es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tiene pendiente negativa.
( Las otras dos gráficas son curvas.
Otra forma de expresar que la función y = f (x) es decreciente en un punto x = a, es la siguiente:
Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función decreciente en a, si es bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:
Hemos definido el concepto de función decreciente en un punto. Ahora vamos a modificar ligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente decreciente en un punto”.
Matemáticamente sería:
Nótese que si una función es estrictamente decreciente en un punto a, es decreciente en él, pero el enunciado recíproco no es cierto, es decir, puede ser decreciente en a y no estrictamente.
Se dice que la función y = f (x) es estrictamente decreciente en el punto
a
si existe un entorno de centroa
y radiog
tal que six
está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor que la dea
y six
está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor que la dea
.y f x es decreciente en a R f a f a
f a f a
= ∈ ⇔ ≥
≥
−
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
y f x es estric decrec en a E a a a si x verifica que a x a entonces f x f a si x verifica que a x a entonces f a f x
= ( ) . . ⇔ ∃ ( ) (= − , + ) < < +− < < ( )>> ( ) ( ) ( )
ε ε ε
ε ε
“La función y = f (x) es decreciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de x
El gráfico de la izquierda nos aclara la diferencia entre función decreciente y estrictamente decreciente en un punto x = a.
) Las cuatro funciones representadas son decrecientes en x = a , pero las funciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x) lo son estrictamente.
) Observa que la función y = f (x) cumple la definición de función decreciente en x = a, pero no cumple la de función estrictamente decreciente.
) Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+)
g (a&) > g (a) > g (a+)
h (a&) > h (a) > h (a+)
r (a&) > r (a) > r (a+)
Otro caso de una función decreciente en el punto a, pero no estrictamente decreciente, podría tener la siguiente gráfica:
Observa que en este caso no es posible encontrar un entorno
E
g(a) = (a
&
g
, a+
g
)
tal que (ambas):Si a&g < x < a entonces f (x) > f (a) Si a < x < a + g entonces f (a) > f (x) Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno de centro
E
g(a) = (a
&
g
, a+
g
)
tal que:Si a&g < x < a entonces f (x) $ f (a) Si a < x < a + g entonces f (a) $f (x) Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.
Ejemplo 13
.-Demostrar que la función y = f x( )= ′0 5x es estrictamente decreciente en x = 0. Veamos:
Construyamos una tabla de valores para dibujar su gráfica.
Calculemos algunos de los valores de la tabla:
( )
( )
( )
f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 11 1 1 0
0 1 1
1 1 1 0
1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 + + − − − +
= = = = < =
= = = = > =
+ +
+
−
+
Obsérvese que:
f(0−)> f( )0 > f(0+) ,es decir,1+ > >1 1− Por tanto:
La función es estrictamente decreciente en el punto x = 0.
x y = 0´5x x y = 0´5 x
0 1 0+ 1+
1 0´5 0& 1&
&1 2 + 4 0+
2 0´25 &4 + 4 &2 4
f(x) decrec. en A
⊂
D
f⇔ ∀ ∈
a
A, f(x) decrec en a
.
f x es decreciente en A D
a b A a b entonces f a f b
f
( )
, , ( ) ( )
⊂
∀ ∈ < ≥
144444424444443
c
64444444744444448
Ya estamos en condiciones de dibujar la gráfica:
7.Función decreciente en un
intervalo.-º Sea y = f (x) una función y sea Dfdú su dominio.
º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, AdDf . Vamos a definir el concepto “ f (x) decreciente en A”
) Una forma de definirlo:
Matemáticamente:
) Otra forma de definirlo:
Es decir, y = f (x) es decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).
Matemáticamente será:
Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo:
Dibujamos la gráfica de una función que es decreciente en un intervalo A = [α,β] Gráfica de la función exponencial y = 0´5 x
“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A” De la simple observación de la gráfica destacamos:
v La gráfica “baja” de izquierda a derecha, a lo “largo” de todo
ú, lo cual nos indica que es estrictamente decreciente en todo ú.
v Hay rama parabólica por la izquierda y hacia arriba, es decir, f (&4) = +4
v El eje de abcisas es asíntota horizontal por la derecha, es decir, f (+4) = 0+.
{
f x estrictamente
decreciente en A Df a A f x estrictamente decreciente en a
( )
, ( ) ⊂
⇔ ∀ ∈
f x es estrictamente decreciente en A D
a b A a b entonces f a f b
f
( )
, , ( ) ( )
⊂
∀ ∈ < >
144444444424444444443
c
64444444744444448
Observa la gráfica de la derecha.
A = [α,β] intervalo cerrado.
Cuales quieran que sean los
números reales a y b del intervalo A
, tales que a < b, entonces se verifica que
f (a) $f (b). En este caso concreto es f (a) > f (b).
Nótese como la gráfica de la función atraviesa la franja existente entre la rectas x = α y x = β
”bajando” de izquierda a derecha.
Nótese como en cualquier punto del intervalo A la función y = f (x) es decreciente.
En este caso la función es estrictamente decreciente en todos los puntos del intervalo A, es decir, es estrictamente decreciente en todo el intervalo A.
La definición de función estrictamente decreciente en un intervalo A es la siguiente:
Matemáticamente:
Otra forma de definirlo:
Es decir, y = f (x) es estrictamente decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b).
Matemáticamente será:
Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función decreciente y estrictamente decreciente en un intervalo:
“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”.
[ ]
f
x f x x
: ,
( ) cos 0 π →
→ =
R
A la izquierda tenemos cuatro gráficas de otras cuatro funciones.
La función y = f(x) es estrictamente decreciente en todo el intervalo [α , β]
Las funciones y=g(x),
y=h(x) e y = r(x) son decrecientes, pero no en sentido estricto.
La función y = g (x) es constante en todo el intervalo [α , β]. Nótese que es creciente y decreciente.
Ejemplo 14
.-Consideremos la función coseno definida en el intervalo cerrado de extremos 0 y π :
Veamos que es estrictamente decreciente en todo el intervalo [0 , π].
H f (0) = cos 0 = 1 ; f (π) = cosπ = &1
H œx0[0 , π] , se verifica que &1 #f (x) #1
H Sabemos que œα,β0 [0 , π] tales que α<β , se verifica que f (α) = cos α < cosβ = f (β) (Recordar la definición de coseno de un ángulo y su interpretación gráfica en la circunferencia goniométrica o círculo trigonométrico).
Dibujemos su gráfica:
En la gráfica de la izquierda, correspondiente a la función f (x) = cosx , definida en el intervalo cerrado [0,π], apreciamos que:
∀
a b
,
∈
[ ]
0
,
π
a b es f a
<
,
( )
>
f b
( )
La gráfica “recorre” todo el intervalo [0,π], de izquierda a derecha, “bajando”.
Nótese que la gráfica corta al eje de abcisas en el punto (π/2 , 0)
8.Función decreciente en todo su
f x decreciente en D
( )
f⇔ ∀
a b
,
∈
D
fa b entonces f a
<
,
( )
≥
f b
( )
f x es decrec en D
( )
f⇔ ∀ ∈
a
D
f, ( )
f x es decrec en a
∀ ∈
x
f x
=
e
−=
∈
≠
∀ ∈
e
ya que e
x
x
x x
R
, ( )
1
R
0
R
Como a b se verifica que e e
Como e e se verifica que
e e
Por f a e
e e e f b
a b
a b
a b
a
a b b
< <
< >
= − = > = − = ,
,
: ( ) ( )
1 1
1 1
tanto Es decir:
Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de función decreciente en un intervalo. Veamos:
Ejemplo 15
.-Demostrar que la función y = f (x) =
e
&x es estrictamente decreciente en todo su dominio. Veamos:ý En primer lugar determinemos el dominio de la función:
Es decir, todo número real tiene imagen. Por tanto: Df = ú = (&4 , +4)
ý Debemos demostrar que la función y = f (x) =
e
&x es estrictamente decreciente en ú. Sean dos números cualesquiera a,b0ú* a<bEntonces :
Hemos demostrado que œa,b0ú * a<b , se verifica que f (a)>f (b)
Es decir, la función verifica la definición de función estrictamente decreciente en todo ú.
ý Construyamos su gráfica:
ý En la gráfica puede apreciarse como la función es estrictamente decreciente en todo ú, como corta al eje de ordenadas el punto (0,1) y como el eje de abcisas es una asíntota horizontal por la derecha, situándose la gráfica por encima de aquella. Nótese también como existe rama parabólica por la izquierda y hacia arriba.
x $0 y = e&x x < 0 y = e&x
0 1 0& 1+
1 0´3678... &1 e
2 0´1353... &2 7´3890... 3 0´0497... &3 20´0855...
4 0´0183... &4 54´5981...
! ! ! !
9.Cota superior de una
función.-K Sea y = f (x) una función real de variable real de dominio Df.
K Sea k un número real, es decir, k0ú
Vamos a definir el concepto cota superior de una función.
Definamos este concepto matemáticamente:
Gráficamente se interpreta como que la “gráfica de la función no atraviesa la recta horizontal
de ecuación y = k”, aunque sí puede que la toque en uno o más puntos.
Dicho de otra forma: “Por encima de la recta y = k no existe gráfica de la función” Veamos:
A la izquierda tenemos la gráfica de una función
y = f (x). Observa lo siguiente:
9 k es una cota superior de f (x) porque por encima de la recta y = k no existe gráfica de la función, es decir, œx0ú
ocurre que f (x) #k.
9 Cualquier número mayor que k, también es una cota superior de f (x). Es decir, si
s > k, entonces œx0ú es f (x) #s.
9 En este caso concreto, vemos que k es la
menor de todas las cotas superiores de la función f (x).
9 En este caso concreto, el conjunto [k,+4) es el conjunto formado por todas las cotas superiores de f (x).
9 En este caso concreto, apreciamos en la gráfica que hay un valor x tal que su imagen es k, es decir, f (x) = k.
9 Puede darse el caso de una función que tenga cota superior, pero ningún x tenga por imagen a una cota superior, es decir, òx0Df tal que f (x)= k (siendo k cota superior de f)
Ejemplo 16
.-Sea la función
f x
x
. Se pide :x
( )
=
+
2
1
2 2
a) Halla una cota superior de f (x).
b) Halla el conjunto formado por todas las cotas superiores de f (x). Veamos:
“Se dice que el número real k es una cota superior de la función f (x), si la imagen de cualquier número x del dominio de fes menor o igual que k”.
f x k Buscamos un k x
x k x k x por ser x
x
k x con k
Tomando k tenemos que x x es cierto
Por k es una erior
( )
( ) ( ) ( )
.
, sup .
≤
+ ≤ ⇒ ≤ ⋅ + + > ⇒ ≤ + >
= ≤ +
= 2
1 2 1 1 0
2
1 0
2 1
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
tanto cota
∀ ∈ =
+ ≤ <
x R es f x x
x mas concretamente
( ) 2 ( & )
1 2 2
2 2 f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +∞ = ⋅ +∞
+∞ + = <
−∞ = ⋅ −∞
−∞ + =
⋅ +∞
+∞ + = <
− − 2
1 2 2 2
1 2
1 2 2
2 2 2 2 2 2
a) Fácilmente se observa que Df = ú Nos hacemos la siguiente pregunta:
¿ › k0ú * œx0ú , se verifica que f (x)#k ? Veamos:
Conclusión :
A simple vista puede apreciarse que
b) ¿ Hay alguna cota superior de f (x) que sea menor que 2 ? Veamos:
Es decir, la recta y = 2 es una asíntota horizontal por ambos lados, de tal modo que la gráfica está por debajo de la asíntota. El concepto de asíntota horizontal y la posición de la gráfica con respecto a ella, nos informa suficientemente que “2 es la menor de las cotas superiores”.
Conclusión:
Dibujemos la gráfica de la función:
Observando la gráfica, destacamos lo siguiente:
œx0ú es f (x) < 2
œk0ú* k>2 ,es una cota superior de f(x)
2 es la menor de todas las cotas superiores de f (x).
Cualquier número menor que 2 no es cota superior de f (x), ya que es superado por esta.
Decrece en (&4,0] y crece en [0,+4).
k = 2 es una cota superior de f x x x ( )= + 2 1 2 2
10.Extremo superior o supremo de una
función.-’ Sea y = f (x) una función que está acotada superiormente. Esto significa que tiene alguna cota superior k.
’ Si una función tiene alguna cota superior k, entonces tiene infinitas cotas superiores ya que todo número mayor que k también será una cota superior.
Vamos a definir el concepto extremo superior o supremo de una función:
Vamos a definir este concepto matemáticamente:
Para abreviar indicaremos supremo de f (x) = sup ( f )
Es evidente que si sup ( f ) = s , entonces [s , +4) será el conjunto de todas las cotas superiores. Si una función está acotada superiormente, entonces tiene supremo.
Ejemplo 17
.-Considera la función del ejemplo 16, es decir, f x x . x
( )=
+
2 1
2
2
Hemos visto que está acotada superiormente.
Hemos visto que 2 y cualquier número mayor que 2 es una cota superior de esa función. Hemos visto que [2 , +4) es el conjunto de las cotas superiores.
Hemos visto que los números menores que 2 no son cotas superiores de f (x). Pues bien:
S La menor de las cotas superiores es 2.
S Extremo superior o supremo de f (x) = mínimo de [2 , +4) = 2.
11.Máximo de una
función.-˜ Sea y = f (x) una función acotada superiormente. Entonces tendrá supremo s.
˜ Como s es el supremo, sabemos que œx0Df , se verifica que f (x) # s
˜ Pueden ocurrir una de los dos puntos siguientes:
Î Que exista un a 0Df tal f (a) = s, es decir, hay un número cuya imagen es el supremo de la función.
Ï Que no existe un a0Df tal f (a) = s, es decir, œx0Df ocurre que f (x) < s
˜ Pues bien, cuando ocurre Î, decimos que s es el máximo de la función, es decir, al supremo se le llama máximo. Llamaremos max ( f ) = s
Se dice que f (x) alcanza el máximo en x = a, siendo el valor del máximo f (a) = s.
El punto M(a , s) estará en la gráfica de la función y se denomina punto máximo.
˜ Puede ocurrir que una función tenga más de un máximo. En efecto, puede ocurrir que: Se llama extremo superior o supremo de una función
acotada superiormente a la menor de sus cotas superiores.
