AMPLIACIÓN DEL CAMPO NUMÉRICO

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AMPLIACIÓN DEL CAMPO NUMÉRICO

Diofanto, un adelantado a su época.

Este triángulo está construido con una cuerda en la que se han realizado doce nudos a igual distancia unos de otros. Los lados miden 3, 4 y 5 unidades y el triángulo es rectángulo, ya que se verifica el teorema de Pitágoras: 2 2 2

4

3

5

.

El perímetro de dicho triángulo es p = 3 + 4 + 5 = 12 unidades, y su área es

6

2

4

·

3

S

unidades

cuadradas.

El gran matemático griego Diofanto (275 d.C.) trató de construir un triángulo rectángulo con la misma cuerda de 12 nudos y que su área fuera igual a 7 unidades cuadradas.

Como el área tenía que ser igual a 7, si el cateto medía x, el otro mediría

x

14

. Por tanto, los lados

tendrían que medir x,

x

14

y h.

Teniendo en cuenta que el perímetro debía ser de 12 unidades y que por ser rectángulo el triángulo debía de verificarse el teorema de Pitágoras, Diofanto llegó a la solución:

12

1

167

32

12

167

32

x

Pero Diofanto no conocía ningún número real que elevado al cuadrado fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución. Veremos como Diofanto fue un adelantado a su tiempo, planteando por primera vez una situación que tardó muchos siglos en resolverse.

La unidad imaginaria. Números imaginarios.

Para poder resolver estos problemas tenemos que ir ampliando el campo numérico: N: conjunto de los números naturales.

Z: conjunto de los números enteros, tanto los positivos (naturales) como los enteros negativos. Q: conjunto de los números racionales (los enteros y los fraccionarios).

R: conjunto de los números reales (los racionales y los irracionales).

Al intentar resolver las siguientes ecuaciones:

x

2

1

0

,

x

2

4

0

,

x

2

6

x

13

0

, aparece

1

. Como no hay ningún número real, ni positivo ni negativo, cuyo cuadrado valga –1, se hace necesario ampliar el conjunto de los números reales, inventando un número cuyo cuadrado sea igual a –1. Así, definimos la unidad imaginaria:

i

1

, y observamos que otros números, como

4

, quedan de la

(2)

Números complejos en forma binómica

Llamaremos unidad imaginaria:

i

1

.

Se llama número complejo, en forma binómica, a la expresión: a + bi, donde “a” y “b” son números reales. El número “a” se llama parte real y el número “b” se llama parte imaginaria.

El conjunto de los números complejos se representa por C.

Si b=0, el número complejo se reduce a un número real, ya que a+0i=a. Por tanto, los números reales son un subconjunto de los números complejos.

Si b0, al número complejo le llamaremos imaginario.

Si a=0 y b0, el número complejo se reduce a “bi”, y se dice que es un número imaginario puro.

Igualdad de números complejos:

Dos números complejos son iguales si los son las partes reales e imaginarias, respectivamente:

a+bi=a’+b’i  a=a’ y b=b’.

Números complejos opuestos y conjugados:

Para un número complejo z=a+bi, llamaremos opuesto de z al número complejo –z=-a-bi.

Dos números complejos son conjugados si tienen la misma parte real y las partes imaginarias opuestas. Para un número complejo z=a+bi, llamaremos conjugado de z al número complejo

z

a

bi

.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de abscisas se representa la componente real, y se llama eje real, y en el eje de ordenadas la componente imaginaria, y se llama eje imaginario. En este sistema de coordenadas los números complejos se representan haciendo corresponder al número a+bi el punto de coordenadas A(a,b). A este punto se le llama afijo del número complejo a+bi.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y diferencia de números complejos:

(3)

Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Diferencia: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i

Ejemplo:

(3 + 2i) + (8 - 5i) = 3 + 8 + 2i - 5i = 11 - 3i

Producto de números complejos:

El producto de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2=-1.

(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i

Ejemplo:

(2 + 3i) · (6 - 5i) = 12 – 10i + 18i - 15 2

i

= 12 - 10i + 18i + 15 = 27 + 8i

Cociente de números complejos:

La división de números complejos se hace racionalizando el divisor; es decir, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:





i

d

c

ad

bc

d

c

bd

ac

d

c

i

ad

bc

bd

ac

di

c

di

c

di

c

bi

a

di

c

bi

a

2 2 2 2 2

2

·

·

Ejemplo:



i



i

i

i

i

i

i

i

7

9

10

70

90

3

·

3

3

·

30

20

3

30

20

Potencia de números complejos:

La potencia de un número complejo se hace desarrollando la potencia del binomio (a+bi) y teniendo en cuenta las potencias del número i (que se repiten de cuatro en cuatro).

i0 = 1 (por definición). i1 = i (por definición). i2 = -1 (por definición). i3 = i2·i = (-1)·i = -i i4 = i2· i2 = (-1)·(-1) = 1 i5 = i4· i = 1·i = i i6 = i4· i2 = 1·(-1) = -1 i7 = i4· i3 = 1·(-i) = -i i8 = i4· i4 = 1·1 = 1

………..

(4)

Ejemplo:

i

211

i

4·523

 

i

4 52

·

i

3

1

·

i

3

i

3

1

Ejercicio resuelto

3º.- Calcula el valor de a para que el cociente

i

i

a

6

4

8

2

dé como resultado un número real. Calcula,

asimismo, el valor de a para que dicho resultado sea un número imaginario puro.

Solución:







6

0

13

2

12

.

3

8

0

13

3

8

13

3

8

13

2

12

6

4

·

6

4

6

4

·

8

2

6

4

8

2

a

a

puro

im

a

a

real

i

a

a

i

i

i

i

a

i

i

a

Representación gráfica de la suma

de complejos:

Representación gráfica del

conjugado de complejos:

Multiplicación por la unidad imaginaria i:

Multipliquemos por i el número complejo a+bi:

a

bi

·

i

ai

bi

2

b

ai

(5)

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Hemos representado los números complejos asociados al número z=a+bi, el punto de coordenadas A(a,b). La distancia del afijo A al origen de coordenadas, O, se llama módulo del número complejo z=a+bi. Se designa así:

2 2

b

a

OA

z

r

.

El ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con la recta OA medido en sentido contrario a las agujas del reloj, se llama argumento del número complejo z=a+bi al Se representa por =arg(z) y su relación con las componentes real e imaginaria del complejo z es:

a

b

tg

Si el número complejo z=a+bi tiene por módulo r y por argumento , se escribe

r

. Esta forma de

expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar.

 Por trigonometría sabemos que

a

b

arctg

nos proporciona dos ángulos menores que 360º. Sin

embargo, sólo uno será válido. Se sabe cuál es por los signos de a y b.

 El argumento de un número complejo en forma polar no es único, pues es indiferente considerar , o

+360º, +2·360º, …

Ejemplo: Escribe el número complejo 1+i en forma polar. El módulo:

r

1

1

2

; el argumento:

º

45

1

1

arctg

(pues el afijo de 1+i está en el primer cuadrante). Por tanto:

1

i

2

45º

DE FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA Y TRIGONOMÉTRICA

Si conocemos el módulo y el argumento de un número complejo:

Podemos deducir que:

a=r·cos

b=r·sen

Por tanto, en forma binómica, se tiene:

z = a + bi = r·cos + ir·sen = r (cos + isen)

A la expresión r(cos+isen) se le llama forma trigonométrica del número complejo a+bi.

Forma binómica Forma trigonométrica Forma polar

a + bi r (cos + isen)

r

Ejemplo: Escribe el número complejo

3

(6)

En forma polar: 3·(cos60º+isen60º). Sustituyendo las razones trigonométricas de 60º tendremos la

forma binómica:

i

2

3

3

2

3

Ejercicio resuelto

22º.- ¿Qué número debe sumarse a

i

2

2

5

2

2

para obtener otro número de módulo 1 y argumento

4

radianes?

Solución:

i

z

i

z

i

i

3

2

i

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

5

2

2

4 /













Producto y cociente de números complejos en forma polar.

Producto

Paran multiplicar dos números complejos

r

 y

r

`

 que están expresados en forma polar, los

escribiremos en forma trigonométrica y operando:

 

·

r

`

r

cos

i

·sen

·

r

`

cos

i

·sen

r

r

·

r

`

cos

cos

sen

sen

i

cos

sen

sen

cos

 



r

·

r

`

cos

i

sen

r

·

r

`

Al multiplicar dos números complejos se obtiene otro complejo; su módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos.

 

  

·

r

'

r

·

r

' 

r

Cociente

Como consecuencia inmediata del producto, podemos deducir que, para dividir dos números complejos en forma polar, el cociente es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.

' ' '

'

:

    

r

r

r

r

, con r’0.

Potenciación de números complejos en forma polar.

Teniendo en cuenta el producto de números complejos, la potencia n-ésima se obtiene del siguiente modo:

 

 

·

·...·

 

n·

n n n

r

r

r

r

r

z

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo, que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento n veces el argumento del complejo dado:

 

 

n·

n n

r

(7)

Fórmula de Moivre:

Si escribimos el resultado obtenido al elevar a una potencia:

 

 

n·

n n

r

r

en forma trigonométrica obtenemos:

r

·

cos

i

·sen

n

r

n

·

cos(

n

)

i

·sen(

n

)

Si hacemos r=1, obtenemos la fórmula de Moivre:

cos

i

·sen

n

cos(

n

)

i

·sen(

n

)

que es muy útil en trigonometría, pues permite calcular cos(n) y sen(n) en función de sen y cos.

Ejercicio resuelto

24º.- Escribe en la forma binómica y en la forma polar el resultado de la potencia:

5

2

2

i

z

. Solución:

isen

i

i

z

128

128

2

2

2

2

2

128

º

135

º

135

cos

2

128

2

128

8

8

1578 135

5 5 º

315





Radicación de números complejos en forma polar.

Nos proponemos encontrar las raíces n-ésimas de un número complejo:

z = r (cos + isen)

Se llama raíz n-ésima del número complejo z a todo número complejo w tal que

w

n

z

.

Sea w = R (cos + isen) una de sus raíces n-ésimas; entonces

w

n

z

; aplicando la fórmula de Moivre

se tiene:

cos

i

·sen

R

cos(

n

)

i

·sen(

n

)

r

n

Como estos complejos son iguales, deberán tener iguales los módulos, diferenciándose los argumentos en un múltiplo de 2; luego:

r

R

n

y n =  + 2k

de donde:

n

R

r

y

n

k

n

2

Observa que k toma los valores 0, 1, 2, …, n-1. Para k=n resulta la misma raíz que para k=0, para k=n+1 la misma que para k=1, etc., ya que los valores de los ángulos correspondientes difieren en un múltiplo de 2.

Ejemplo: calculemos la raíz cúbica de –8. Para ello, lo primero que hacemos es expresar este número en forma polar:

8

180º.

2

8

3

R

R

Para k = 0

60

º

z

2

1

3

i

3

º

180

º 60 1

1

(8)

Para k = 1

180

º

2

2

3

º

360

º

180

º 180 2

2

z

Para k = 2

300

º

z

2

1

3

i

3

2

º·

360

º

180

º 300 3

3

El módulo de las raíces n-ésimas de un número complejo se obtiene hallando la raíz n-ésima del módulo del complejo dado. Hay n argumentos; el primero se obtiene dividiendo el argumento entre

n y, los demás, sumando

n

º

360

al argumento anterior.

Es decir:

n k n

n

R

R

 

2

Ejercicio resuelto

30º.- Halla las raíces cúbicas del complejo 8i.

Solución:

2

30,

2

150,

2

270.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RAÍCES DE COMPLEJOS

Hemos visto que las raíces n-ésimas de un complejo z = r (cos + isen) tienen todas el mismo módulo que es precisamente n

R

r

; de aquí que los afijos de las n raíces n-ésimas de z se encuentran sobre

la circunferencia de radio R y centro el origen de coordenadas.

Además, la diferencia de los argumentos de dos raíces consecutivas es constante e igual a

n

º

360

. Por

tanto, gráficamente los afijos de las n raíces n-ésimas de z están situados en los vértices de un polígono regular de n lados.

Ejercicio resuelto

36º.- Calcula el valor de las cuatro raíces cuartas de

8

192

i

y dibuja sus afijos. ¿Qué figura

determinan?

Solución:

345 4 / 1380

255 4 / 1020

165 4 / 660

75 4 / 300

4 300 4

2

2

2

2

2

2

2

2

16

192

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