Definición: Un determinante es un número real asociado a una matriz necesariamente

10  1235  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Matrices

Definición: Una matriz en un arreglo rectangular de números, ordenados en N filas y M columnas.

Suele asignarse a la matriz con una letra mayúscula y a cada elemento de ella con letra minúscula.

A =

[

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

]

El orden de una matriz se determina por su número de filas y columnas, el orden es:

NM .

Ejemplos de matrices.

X =

[

−4 0 1

0 2 3

]

Y =

[

2 3

1 −6

−2 0

]

Orden 2∗3 y 3∗2 respectivamente.

Tomaremos particular interés en matrices cuadradas, en las cuales N=M , lo que significa que el número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplos de matrices cuadradas de orden 2.

A =

[

2 −3

1 2

]

B =

[

2 1

4 2

]

C =

[

0 3

2 2 4

]

Ejemplos de matrices cuadradas de orden 3.

D =

[

0 2 1

3 −1 2 4 0 1

]

E =

[

−3 2 1

4 5 6

2 −3 1

]

F =

[

−3 4 2

6 3 1

4 −7 −8

]

Fila

(2)

Determinantes

Definición: Un determinante es un número real asociado a una matriz necesariamente cuadrada.

El determinante se escribe de varias formas, algunas de ellas son:

Det(A) ∣A

a11 a12 a21 a22

Cálculo del determinante de una matriz de orden 2.

1. Se trazan flechas cruzadas de la siguiente manera:

2 −3 1 2

2. Se multiplican los números que son cruzados por una flecha de la siguiente manera:

(2)(2) = 4 (1)(−3) = −3

3. El producto de los números que son cruzados por la flecha descendente permanece con su signo.

4permanece igual

4. El producto de los números que son cruzados por la flecha ascendente cambia de signo.

−3cambia a3

5. Finalmente se suman algebraicamente.

det(A) = 4+3 det(A) = 7

Ejercicios:

Calcular el determinante de la matriz B.

Resultado: det(B) = 0

Calcular el determinante de la matriz C.

(3)

Determinantes

Cálculo del determinante de una matriz de orden 3.

1. Se repiten las dos primeras filas al final de la matriz de la siguiente forma:

0 2 1

3 −1 2

4 0 1

0 2 1

3 −1 2

2. Se trazan flechas cruzadas de la siguiente manera:

0 2 1

3 −1 2

4 0 1

0 2 1

3 −1 2

3. Se multiplican los números que son cruzados por una flecha de la siguiente manera:

(0)(−1)(1) = 0 (3)(0)(1) = 0 (4)(2)(2) = 16

(4)(−1)(1) = −4 (0)(0)(2) = 0 (3)(2)(1) = 6

4. El producto de los números que son cruzados por la flecha descendente permanece con su signo.

0, 0,16 permanecen igual

5. El producto de los números que son cruzados por la flecha ascendente cambia de signo.

−4, 0,6cambian a4, 0,−6respectivamente

6. Finalmente se suman algebraicamente.

det(D) = 0+0+16+4+0−6 det(D) = 14

Ejercicios:

Calcular el determinante de las matrices E y F.

(4)

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de N ecuaciones de primer grado, en las cuales cada una está constituida por N incógnitas.

Para resolver un sistema de ecuaciones, se necesita encontrar un conjunto de N números reales que hagan cumplir cada ecuación del sistema.

Ejemplo de sistema de ecuaciones:

2x + y = 5 3x − 2y = 4

Probar cuál es conjunto solución.

a. x = 5, y = −5

b. x = 4, y = 4

c. x = 2, y = 1

Para a:

(2)(5) + (−5) = 5 5 = 5

(3)(5) − (2)(5) = 4 25 ≠ 4

Cumple con la primera pero no con la segunda, por lo tanto no es conjunto solución.

Para b:

(2)(4) + (4) = 5 12 ≠ 5

(3)(4) − (2)(4) = 4 4 = 4

Cumple con la segunda pero no con la primera, por lo tanto no es conjunto solución.

Para c:

(2)(2) + (1) = 5 5 = 5

(3)(2) − (2)(1) = 4 4 = 4

(5)

Regla de Cramer

Definición: La regla de Cramer es un algoritmo muy útil que sirve para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Aplicación a sistemas de 2∗2.

1. Primero se forma la matriz A con los coeficientes del sistema.

Sistema:

4x − 2y = 10 3x − 5y = 11

Matriz de coeficientes:

A =

[

4 −2

3 −5

]

2. Después, se sustituye la columna de constantes en la columna de la incógnita “ x ” y se forma la matriz Ax.

Ax =

[

10 −2

11 −5

]

3. Después, se sustituye la columna de constantes en la columna de la incógnita “ y ” y se forma la matriz Ay.

Ay =

[

4 10

3 11

]

4. Se calculan los determinantes de cada matriz.

det(A) = −14 det(Ax) = −28 det(Ay) = 14

5. Finalmente el conjunto solución viene dado por la siguientes expresiones:

x = det(Ax)

det(A) y =

det(Ay)

det(A)

x = −28

−14 y = 14

−14

(6)

Ejercicios

Resolver por regla de Cramer los siguientes sistemas:

1. 3x 5x ++ 3y 4y == 4−2

Conjunto solución: x = 2, y = −2

2. 3x 6x ++ 2y 4y == 4−2

Conjunto solución: No se puede resolver por regla de Cramer, ya que det(A) = 0

3. 6x − 5y = 17

−13x + 3y = −76

Conjunto solución: x = 7, y = 5

4. − 0.2x 0.4x ++ 0.8y 0.3y == 1.6 2.2

Conjunto solución: x = 32

7 , y = 30

7

5. 7x x + 6y = 27

− 3y = 9

Conjunto solución: x = 3, y = 4

6. − 13y 8x ++ 11x 7y == 94−163

(7)

Regla de Cramer

Aplicación a sistemas de 3∗3.

1. Primero se forma la matriz A con los coeficientes del sistema.

Sistema:

x + 2y − 3z = 1 2x + 0y + z = 0 3x − 4y + 4z = 2

Matriz de coeficientes:

A =

[

−1 2 −3

2 0 1

3 −4 4

]

2. Después, se sustituye la columna de constantes en la columna de la incógnita “ x ” y se forma la matriz Ax.

Matriz:

Ax =

[

1 2 −3

0 0 1

2 −4 4

]

3. Después, se sustituye la columna de constantes en la columna de la incógnita “ y ” y se forma la matriz Ay.

Matriz:

Ay =

[

−1 1 −3

2 0 1

3 2 4

]

4. Después, se sustituye la columna de constantes en la columna de la incógnita “ z ” y se forma la matriz Az.

Matriz:

Az =

[

−1 2 1

2 0 0

(8)

Regla de Cramer

5. Se calculan los determinantes de cada matriz.

det(A) = 10 det(Ax) = 8 det(Ay) = −15 det(Az) = −16 6. Finalmente el conjunto solución viene dado por la siguientes expresiones:

x = det(Ax)

det(A) y =

det(Ay)

det(A) z =

det(Az)

det(A)

x = 8

10 y =

−15

10 z =

−16 10

x = 0.8 y = −1.5 z = −1.6

Ejercicios

Resolver por regla de Cramer los siguientes sistemas:

1. 4x

y + z = −5 2x + 2y + 3z = 10 5x − 2y + 6z = 1

Conjunto solución: x = −1, y = 3, z = 2

2. x

+ 2y + 3z = −3

−2x + yz = 6 3x − 3y + 2z =−11

Conjunto solución: x = −2, y = 1, z = −1

3.

2x + 3y + z = 1 6x − 2y − z = −14 3x + yz = 1

(9)

Ejercicios

4.

5x − 3z = 2 2z − y = −5 x + 2y − 4z = 8

Conjunto solución: x = −2, y = −3, z = −4

5.

x + y = 1 y + z = −1 z + x = −6

Conjunto solución: x = −2, y = 3, z = −4

6. x 2 + y 2 − z

3 = 3 x

3 + y 6 −

z

2 = −5 x

6 − y 3 +

z

6 = 0

Conjunto solución: x = 6, y = 12, z = 18

7.

xy+2

5 = z+4 yz+4

2 = x−6 zx−7

3 = y−5

Conjunto solución: x = 10, y = 8, z = 4

8.

x + y + z = 1 x − 2y + 3z = 2 x + z = 5

Conjunto solución: x = 21

2 , y = −4, z = − 11

(10)

Bibliografía:

1. Álgebra

Aurelio Baldor

Grupo editorial patria

Año de edición: 2009

2. Precálculo

Ron Larson & Robert Hostetler

Editorial reverté

Año de edición: 2008

3. Álgebra y trigonometría con geometría analítica

Earl William Swokowsky

Cengage learning

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...