Aplicacions de mètodes no pertorbatius a la dinàmica del sabor

266  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Pertorbatius a la Dinàmia del Sabor

Vient Mateu Barreda

IFIC, Departamentde FísiaTeòria

Tesi dotoral,Otubre de 2008

(2)
(3)
(4)
(5)

Introduió 9

Unadesripióadequadapera lafísia nopertorbativa . . . 9

La teoriade lesinteraions fortes . . . 10

Teories efetives: Teoria de pertorbaions quiral . . . 12

Expansió en 1=N C : Resonànies i barions . . . 14

Funionsde Green . . . 15

Relaionsde dispersió . . . 16

Objetius de latesi . . . 18

1 Chiral Perturbation Theory 19 1.1 Introdutionto eetiveeld theories . . . 19

1.2 The QCD Lagrangian and itssymmetries . . . 20

1.3 The running of s : nonperturbative regime and onnement . . . . 24

1.4 QCD in the presene of external soures: transformation properties of the tensor soure . . . 25

1.5 Spontaneous hiral symmetry breaking and the CCWZ formalism . . 28

1.5.1 The appearane of the Goldstone bosons . . . 28

1.5.2 The CallanColemanWessZuminoformalism . . . 29

1.6 Eetive Lagrangians of order O(p 2 ) and O(p 4 ) . . . 32

1.6.1 Buildingbloks and L 2 . . . 33

1.6.2 On the power ounting for the tensor soure . . . 35

1.6.3 The order O(p 4 ) Lagrangian . . . 37

1.7 The O(p 6 )Lagrangian with tensor soures . . . 38

1.7.1 Partial integration and equations of motion. . . 39

1.7.2 Bianhiidentity . . . 40

1.7.3 Contat terms . . . 40

1.8 Oddintrinsiparity setor . . . 42

1.8.1 WessZuminoWitten funtional. . . 42

1.8.2 Oddintrinsiparity setor with tensorsoures . . . 43

1.9 A simple appliation: One looporretions to VT . . . 45

2 The 1=N C expansion I: Resonane Chiral Theory 47 2.1 Introdution . . . 47

(6)

2.3 N

C

ounting rules for orrelation funtions . . . 52

2.4 Phenomenologyand main results . . . 54

2.5 The 1/N C expansionin PT . . . 55

2.6 Resonane ChiralTheory . . . 57

2.6.1 Generalonsiderations . . . 57

2.6.2 The RTLagrangian . . . 58

2.7 Funtional integration of the resonanes . . . 60

2.8 Oddintrinsiparitysetor. . . 62

3 The 1=N C expansion II: Baryons 65 3.1 Introdution . . . 65

3.2 Counting rules for baryons . . . 65

3.3 Consisteny onditions . . . 67

3.4 LargeN C baryon representations . . . 71

3.5 Quark representation . . . 72

3.6 Operatoridentities . . . 74

3.6.1 Zero and onebody operators . . . 75

3.6.2 Twobody identities . . . 75

3.7 Flavour symmetry breaking . . . 77

3.8 Usefulrelations for spinavour operators . . . 78

3.9 Vetor and axialvetor formfators. . . 78

3.9.1 Vetorform fator . . . 79

3.9.2 Axialvetorform fator . . . 81

4 Green funtions of QCD 85 4.1 Introdution . . . 85

4.2 Denitionsof Green funtions and Ward identities . . . 87

4.3 Dispersion relationsfor twopoint Green funtions . . . 91

4.4 Wilson's Operator Produt Expansion (OPE) . . . 95

4.5 CallanSymanzikequation inthe OPE . . . 97

4.6 QCDsum rules . . . 100

4.7 FirstOPE appliations . . . 101

4.8 C hqqi for threepoint Greenfuntions atO( 0 s ) . . . 104

4.9 Hardgluon orretions tothe quark ondensate . . . 105

4.9.1 Twopoint funtions . . . 106

4.9.2 Threepointfuntions . . . 108

4.10 Softgluonorretions: the hq G qi operator . . . 110

4.11 Softgluon orretions: the hG a G a i operator . . . 112

4.12 The fourquark operator hq a qq a qi . . . 113

4.13 Calulationin PT . . . 115

4.13.1 ThreepointGreen funtion: hVVPi . . . 115

4.13.2 Twopoint Green funtions. . . 115

(7)

4.14.2 TwopointGreen funtions. . . 119

4.15 Can we maththe MHA tothe OPE atO( s )? . . . 121

4.16 Mathing to the OPE with an innitenumberof resonanes . . . 124

4.16.1 Sign alternation in n . . . 126

4.16.2 Comparison with QCD spetral sum rules . . . 128

4.16.3 Disussion . . . 131

5 Phenomenologial appliations 133 5.1 Weakdeays . . . 133

5.2 Radiativepion deay . . . 134

5.2.1 Introdution . . . 134

5.2.2 Radiative pion deay: vetor and axialvetor formfators . . 135

5.2.3 Vetor formfator . . . 137

5.2.4 Axialvetor formfator . . . 139

5.2.5 Theory versus Experiment . . . 141

5.2.6 Beyond SM: Tensor form fator . . . 142

5.2.7 hVTi Green funtion: the tensorform fator . . . 143

5.2.8 q 2 dependene of the tensor formfator . . . 144

5.2.9 Lattie data and sum rules . . . 145

5.2.10 Analysis of the photon spetrumin the radiativepion deay . 146 5.2.11 Conlusions . . . 147

5.3 V us from hyperon semileptoni deay . . . 148

5.3.1 Introdution . . . 148

5.3.2 Theoretial Desription of Hyperon Semileptoni Deays . . . 149

5.3.3 The AdemolloGattotheorem . . . 152

5.3.4 g 1 /f 1 analysis . . . 154

5.3.5 1/N C Analysisof SU(3) V Breaking Eets . . . 155

5.3.6 Systemati Unertainties . . . 158

5.3.7 V ud fromNeutron Deay . . . 161

5.3.8 Summary . . . 162

6 Dispersion relations and unitarity 165 6.1 Introdution . . . 165

6.2 Unitarity and partialwave deomposition . . . 166

6.3 The linear sigma model. . . 169

6.4 Bounds on hiral LECs fromdispersion relations . . . 173

6.4.1 SU(2) bounds . . . 176

6.4.2 SU(3) bounds . . . 187

6.4.3 Conlusions . . . 195

6.5 Dipionprodution intwophoton reations . . . 196

6.5.1 The pitfall of PT . . . 198

6.5.2 Unitarity inmesonmeson sattering . . . 199

(8)

6.5.5 Unitarityviolation . . . 205

6.5.6 Conlusions . . . 207

Conlusions 209

Appendix A: CayleyHamilton relations 215

A.1 SU(3) . . . 216

A.2 SU(2) . . . 216

Appendix B: The L

6

Lagrangian with tensor soures 219

Appendix C: The antisymmetri formalism 225

Appendix D: Wilson oeient C

h qqi

at O(

s

) 229

Appendix E: hVVPi from a Lagrangian 233

Appendix F: LSZ formula for a soft pion 237

Appendix G: Loop funtions 239

Appendix H: Renormalization of the linear sigma model 243

Bibliography 249

(9)

Una desripió adequada per a la físia no

pertorba-tiva

Enara que potsemblar estrany omençar l'esriptura d'una tesi quetrata la

Cro-modinàmia Cuàntia (QCD) a energies baixes sense parlar d'aspetes tals om

simetria quiral, teories efetives o semblants, re que és fonamental assentar la

base sobre laqual esonstruiran tots els àlulsdisutits en este treball.

La físia no pertorbativa no es pot estudiar amb els mètodes habituals de la

Teoria Quàntia de Camps (QFT), és a dir, teoria de pertorbaions. En este

úl-tim as els diferents observables admeten una expansió en potènies de la ostant

d'aoblament, que si se suposa petita (omparada amb la unitat) permet establir

una jerarquia entre els termes de l'expansió: els termes amb potènies més altes

de la onstant d'aoblament estan suprimits i per tant podem tallar l'expansió a

un ordre donat. La QFT garanteix que els observables aompleixen tots els

req-uisits d'una teoria quàntia relativista: miroausalitat, unitarietat, analitiitat,

invariània Poinaré, teorema spinestadístia i desomposiió en lusters. Estos

prerequisits nodeneixen unívoament laQFT, però qualsevol teoria que pretenga

donar una desripió adequada de la físia deu omplirlos. El fet de que la físia

no pertorbativa no espuga estudiaramb teoria de pertorbaions a QFT novol dir

que degaser desritaambaltresteoriesquenoomplisquen elsnostresprerequisits.

Pertant enestatesi noesonsideraranmodels peralshadrons talsom elmodelde

quarks onstituentsno relativista(per suposat noes preténfer una rítia

destru-tiva d'estos models, que en alguns asos donen resultats sorprenenment en aord

ambl'experiment).

Quina és dons la manera adequada per a estudiar la físia no pertorbativa?

En prinipi hom pot partir dels prinipis fonamentals abans esmentats i amb el

seu sol ús tratar d'obtindre la màxima informaió possible de l'objete que s'està

estudiant. Enaraqueestemètodeéselmésgeneralinoesomprometambninguna

teoria, sol ser molt po restritiu, de talmanera quedóna propietats molt generals

de l'objete sota estudi i requereix de molta informaió experimental adiionalper

a fer una prediió. Per tant esta idea no és gaire atrativa. Per un altra banda,

tenintenomptelareexióquefaWeinberg alseullibre[1℄,aenergiessuientment

(10)

pugaapliarlateoriadepertorbaionsestàndardalafísianopertorbativa,laQFT

segueix sent ladesripió adequada(i pot ser, l'úniapossible).

Elquehemdisutitalparàgrafanteriorsemblaun poontraditori. Tenimque

emprar QFT però no el mètod estàndard de QFT. Com podem dons fer àluls?

Ens alen els mètodes no pertorbatius de la QFT. La manera més direta de fer

açò és denint la QFT desde el formalisme d'integrals de amí, però és prou més

fàilde dirquede fer. Eneste formalismetots elsobservables esdeneixen apartir

d'integrals sobre totes les possibles onguraions dels amps de la teoria, pesades

perl'aiólàsiaexponeniada. Estesintegrals(integralsdeamí)sóninabordables

analítiamentipertanttansolsmètodesnumèrispodenalularles(estosmètodes

es oneixen om àlus en el retíle o lattie). Tot i així es requereixen ordinadors

molt potents, que empren grans quantitats de temps per a fer estos àluls. Les

aproximaions que es deuen fer per a aonseguir reduir el temps de omputaió

fan que els errors assoiats a estos àluls siguen grans. Este mètode és per tant,

insatisfatori(enaraquenousordinadorsméspotentsirenamentsen lestèniques

de àlul el fan més imés preís).

Hi ha dons alguna altra possibilitat a banda de lattie? Afortunadament la

resposta és sí. Enara que la teoriafonamentalsiga essenialment nopertorbativa,

quan restringim elnostreestudia unsetor determinatespoden trobarparàmetres

queromanen menuts en estesetor. Pertantpodemorganitzarelnostreàlul om

unaexpanxióenpotèniesreixentsd'estosparàmetresiestablirunajerarquiaentre

ells. Estaideaesmanifestaplenamentalesteoriesefetivesdeamps(EFT).Enun

règim(d'energies,perexemple)donat,notots elsgrausde llibertat(i.e.,partíules)

de la teoria neessiten ser onsiderats. Els modes pesats deuen ser integrats

fun-ionalment de l'aió i els seus efetes es manifestaran en les onstants de energies

baixes (LECs). Per tant, el primer pas per a afrontar l'estudi de la físia no

per-torbativa és trobar els graus de llibertat efetius adients. Esta eleió normalment

determina també quinés elparàmetre d'expansió.

Esta última possibilitat serà la que en la majoria dels asos emprarem per a

afrontarelsàlulsd'estatesi,enaraquequanalga,elsombinaremadequadament

amb prinipisaxiomàtisi altres tèniques.

La teoria de les interaions fortes

La CromodinàmiaCuàntia (QCD) es onsidera lateoria fonamental que governa

les interaions fortes. Hi ha un bon grapat d'evidènies teòriques i experimentals

quesuporten estaarmaió[2℄. QCDéslateoria gaugeSU(3)

C

,ésadiruna teoria

queromaninvariantsotatransformaionsloals delgrupSU(3)de olor. Esta

inva-riàniaimpliaqueelstransmisorsde lainteraiósónvuitgluons,bosonsde gauge

sense massa d'spin 1, que es transformen om la representaió adjunta del grup de

gauge. El aràter no abeliàdel grup SU(3) implia que elsgluons interatuen

(11)

material de lateoria són elsquarks (antiquarks), partíules d'spin 1

2

(fermions) que

estransformenomlarepresentaiófonamental(antifonamental)delgrupde gauge,

i pertantes manifestenentres olors diferents. Estos fermionssón en general

mas-sius. Mentre elontinguten bosons degaugede lateoriavexatpelgrupde gauge,

el ontingut material deu ser inferit de la fenomenologia (per exemple no hi ha

ap impediment teòri a inlourebosons d'spin zero transformantse om la

repre-sentaió fonamental,omtamposeriainonsistentinloureampstransformantse

om altres representaions irredutibles del grup de gauge). El nombre de quarks

en lateoria (nombre de famílies)tampove xat. Elmodelestàndard (SM) prediu

que deuen aparèixer sempre en doblets [3℄, i experimentalment s'han trobat tres

famílies:

u

d

;

s

;

t

b

: (1)

El fet que siguen preisament tres famílies és un fet que enara no ha trobat una

expliaió teòria satisfatòria. Nosaltres aeptarem que hi ha tres famílies i no

ens preouparem dels motius fonamentalsque impliquenuna (inexistent)teoria del

sabor. Segons la seua massa, els quarks es poden separar en lleugers (u; d i s) i

pesats (; b i t). L'esala que separa els dos setors es oneix om

QCD

1GeV i

es disutiràa ontinuaió.

Conentremnos en elsetorlleuger de QCD. Eneste setorés unabona

aprox-imaió suposar que la massa dels quarks és zero. D'esta manera la teoria tan sols

depén d'un paràmetre, la onstant d'aoblament

s

. Enara podem dir més: no

hi ha en el Lagrangià de QCD ap paràmetre amb dimensions de massa. Per tant

no tenim ninguna esala per a distingir energies altes de baixes (la teoria és per

tantlàssiamentonforme). Claramentlafenomenologiadistingeixenergies baixes

(físia hadrònia) d'altes (físia de jets). La soluió d'este trenalosques la tenen

els efetes quàntis. El aràter noabeliàdelgrup de gauge SU(3) noes manifesta

tan sols en les partiules transmisores de la interaió. És també responsable dels

fenòmensde llibertatassimptòtiaionnament. Correionsquàntiques fanquela

onstant d'aoblament no siga onstant en el sentit estrite, sino més bé que

de-penga de l'esala d'energia. Açò soluiona els problemes anteriors: la dependènia

en energiad'

s

genera unaesala d'energia,

QCD

(este fenòmenva serbatejat om

transmutaió dimensional) que a més trena la simetria onforme que apareixia a

nivell làssi (a nivell del Lagrangià); el aràter no abelià fa que

s

siga menuda

per a energies altes (llibertat assimptòtia)i gran per a baixes (onnament). Per

tant aenergies menorsque

QCD

la interaióes fa tan intensa quequarks igluons

nopoden existiromapartíuleslliuresiesveuenonnats en hadrons,partíules

que sempre estransformenom larepresentaiótrivialde SU(3)(ésa dir, notenen

olor). Estos sónelsgrausde llibertatassimptòtisque sónobservats

experimental-ment a energies baixes i són els quetratarem en esta tesi.

Unaonsequèniadelagrandàriad'

s

aenergiesbaixesésquenopodememprar

(12)

pertorba-alularfenòmens relaionats ambles interaions fortes.

Teories efetives: teoria de pertorbaions quiral

Trets fonamentals de les teories efetives

Seria orrete armarque leslleisde Newton son inorretes? Sabemque notenen

en omptenilarelativitatespeial nilafísiaquàntia. Ilesequaionsde Maxwell?

Ignoren els efetes quàntis de la natura. I l'equaió d'Shrödinger? Enara que

és una teoria quàntia onsidera que la veloitat de la llum és innita. Inlús la

teoria de la relativitat general, el gran llegat d'Einstein seria una teoria errònia al

noonsiderar efetes quàntis, sisom tant restritius en els nostresriteris. De fet,

seguint amb el mateix riteri, seria molt atrevit dir que laQFT és orreta, ja que

ningúenspotassegurarquenohihaunaltrateoriamésfonamentalqueesmanifesta

plenamenta energies més altes.

En esta tesi, per desomptat, no adoptarem este punt de vista tan

intransi-gent. La meània làssia newtoniana és vàlida si onsiderem = 1 i ~ = 0,

l'eletrodinàmia làssia i la relativitat assumeixen ~ = 0 i la meània quàntia

onsidera = 1. Per tant onsiderarem estes aproximaions om teories

efe-tives [4,5℄ d'una teoriamés fonamental,més que onsiderarlesinorretes. De fet,

en elsrègimsen elsqueestesteoriessón vàlidesonstitueixenlameneramés eient

de alularqualsevol proés físi. Al ap i a la no hiha que oblidar que la físia

és una desripió de la natura (ens diu om oorren les oses més que dir perquè

oorren). Per tant el terme efetiu no deu ser despreiatiu, sino més bé deu fer

referènia ala onvenièniadel àlul.

Inlúsenunesenaridonat,enelqueoptemperunad'estesteories,podem

desit-jarassolir un nivellde preissiótalqueelsefetes quantis (orelativistes)nopoden

ser ignorats. Per tant hom pot, en llo de alular en la teoria fonamental

(gen-eralmentmoltmés ompliada)onsiderarorreionspetitesdegudesa estateoria.

Per tant estes orreions es manifestaran om potènies reixents de ~ (o 1=) de

manera que podem trunar la sèrie segons la preissió desitjada. Esta és l'essènia

i un dels trets més fonamentalsde les teories efetives: la possibilitat d'inorporar

de manera organitzada orreions per a millorar la pressiió dels àluls. De fet,

lateoria de pertorbaionsen laonstant d'aoblament espotveure om una teoria

efetiva on els efetes relativistes són exates i els efetes quàntis apareixen om

una sèrie de potènies en ~.

Enelmard'unaQFT,lesteoriesefetivess'obtenenintegrantfunionalmentels

amps pesats de l'aió. Si estem estudiant proesos a energies E integrarem

els graus de llibertat ambmassa M . Elsàluls s'organitzaran om potènies

reixents d'energiasobre l'esala. Elsaoblamentsdels operadorsalateoria

efe-tivas'obtenenpertorbativamentde lateoria mésfonamental. Esteproedimentque

apriori potpareixersenzill,esompliaen elsasosde teoriesfortamentaoblades,

(13)

per arguments generals om simetria: la teoria efetiva ha de tindre les mateixes

simetriesquelateoriafonamental,ielsaoblamentsdeloperadorsnopodenxarse.

La simetria quiral

Restringintnos al setor lleuger de QCD, podem onsiderar quarks sense massa,

m

u = m

d = m

s

= 0. En este límit, el Lagrangià de QCD té una simetria (global)

aidental de sabor que involura tan sols els amps de quark. El Lagrangià és

invariant sota el grup quiral G = SU(3)

L

SU(3)

R

, que transforma de manera

independent els amps de quark dretans q

R

i esquerrans q

L

(estos amps de Weyl

són en realitat els amps fermiònis fonamentals, que pertanyen a representaions

irredutibles delgrup de Poinaré).

Esta simetria deuria tindre un efete sobre l'espetre de la teoria, lassiant

les partíulesen multipletsambaproximadamentla mateixamassaorresponents a

representaions irredutibles de G. En partiular açò impliariaque els multiplets

deurien apareixer per parells amb igual massa i paritat oposada. En la natura

sí trobem multiplets aproximadament degenerats en massa, però els multiplets de

paritat oposada tenen massesprou diferents. Açòfa pensar queel buit de QCD no

és invariantsota G, fenòmen onegut om trenament espontani de la simetria. El

fet de quesí es troben multiplets orresponents algrup H =SU(3)

V

india que la

simetria noestà totalment trenada: elbuit és invariantsota este subgrup H G.

Este fenòmenimplial'apariióenlateoriadevuitpartíulessensemassaonegudes

om els bosons de Goldstone, ; K i [6℄, una per ada generador que no deixa el

buit invariant (orresponent als vuit generadors axials). Enara que realment els

quarks tenen massa, esta és prou menuda i pot onsiderarse una perturbaió del

as sense masses. Açò fa que els bosons de Goldstone adquirisquen una massa (la

simetria quiralestà explíitamenttrenada perlesmassesdels quarks), queésmolt

menor que lade laresta dels hadrons de l'espetre.

A energies suientment baixes, els bosons de Goldstone són els únis graus

de llibertat dinàmis i per tant podem onstruir una teoria efetiva que tinga les

mateixes simetries que QCD (simetria quiral espontàniament trenada, paritat i

onjugaió de àrrega) tan sols amb estes partíules. El formalisme general per

a parametritzar els amps desribint els bosons de Goldstone va ser desenvolupat

per Callan, Coleman Wess i Zumino [7℄. Com que les masses dels Goldstones són

menudes i les energies baixes, organitzarem el àlul en potènies reixents de

mo-ments i masses sobre

QCD

. Açò es tradueix en una organitzaió del Lagrangià

efetiu en termes reixents de derivades i masses, on en prinipi hi ha un nombre

innitde termesmultipliatsperonstantsdesonegudes. Estateoriaesoneixom

Teoria de Pertorbaions Quiral (PT) i vaser desenvolupada en lesRefs. [8,9℄.

Undelstrets araterístisdelesteoriesefetivesésquenosónrenormalitzables

en el sentit làssi. Calen un nombre innit de termes per a poder absorbir les

divergènies generades pels loops. Com que d'entrada tenim un nombre innit

(14)

Expansió en 1=N

C

: Resonànies i barions

Teoria quiral de resonànies

Si volem extendre el rang d'energies de PT per damunt de la ressonània més

lleugera(elmesò,d'spin1),neessiteminloureexplíitamentampsdinàmisque

reen esta i altres resonànies. En prinipi açò es pot fer de manera relativament

fàil, però perdem una de les propietats més importants de PT: l'existènia d'un

paràmetremenutperaorganitzarelnostreàlul. Eneste rangd'energiesE=

QCD

no és menut, i en prinipi no tenim un riteri lar per a onsider un operador

subdominantrespetred'unaltrepelfetdetindremésderivades. Totselsoperadors

són igualmentimportants. Açòésundesastre desde elpuntde vistafenomenològi,

ja que nohi hamanerade tindrela més mínimaapaitat preditiva.

Part de la soluió la trobem a l'expansió de QCD en 1=N

C

, on N

C

representa

el nombre de olors. 't Hooft [10℄ va suggerir que la teoria gauge SU(N

C ) amb

N

C

tendint a innit presentaria simpliaions notables i al mateix temps podria

desriure la fenomenologia de QCD amb tres sabors. En general hom pot estudiar

este límit om una expansió en termes de 1=N

C

on el primer terme representa el

límitN

C

!1. Entre altres oses, en este límitels loops d'hadrons estansuprimits

i poden en primeraaproximaió ser ignorats. Altres onsequènies son [11℄:

1. Hihaun nombreinnitde resonànies peradaonjuntde nombresquàntis.

Estes resonànies són estables i nointeratuen entre elles.

2. Els vertex d'interaió dels estats hadrònis estan suprimits om 1= p

N

C per

ada estat adiional.

3. Al'ordredominantladinàmiahadròniaesdesriumitjançantunLagrangià

efetiu amb hadrons om a graus de llibertat atius, on només ontribuions

anivellarbre deuen ser onsiderades.

4. Laanòmalia axialdessapareix i QCD ésinvariant sota U(3)

L

U(3)

R .

5. Espotdemostrar queen estelímitlasimetriaquiralestrenaespontàniament

[12℄.

6. Elsmesons són estats purs qq.

Pertant,tenimun riterid'ordenaiódelsoperadorsenelLagrangiàefetiuperales

resonànies. Termesambmés traesde saboriàlulsa un loopsónsubdominants.

Enara tenim, però, un problema: no tenim ap riteri per a ordenar termes amb

diferent nombre de derivades. Per a resoldreeste problema tenim que imposar que

lanostrateoriaambresonànies, queen prinipidesriulafísiaen qualsevolrègim

energèti, empalme bé amb QCD a energies altes. Funions de Green, fators de

(15)

de la mateixa manera. Este proediment es oneix om empalmament amb urtes

distànies. D'esta manera termes amb moltes derivades produiran ontribuions

que no tendeixen a zero en el límit de grans moments, i per tant el orresponent

oeient deu ser zero.

En la majoria de les oasions, tratar amb un nombre innit de resonànies

és massa ambiiós, i s'opta per onsiderar tan sols un nombre de resonànies

su-ientperasatisfertots elslligamsques'estanestudiant. Esteproedimentesoneix

omMinimalHadroniAnsatz (MHA).Enestatesionsideraremlatorresenerade

resonàniesenalgunsasospartiulars. Unavoltaquehemexigitqueelsparàmetres

hadrònissatisfaenQCD,podemintegrarfunionalmentlesresonàniespera

obtin-dre una prediió pera les LECs del Lagrangiàde PT. Esta prediió s'anomena

persaturaió ambresonànies, proedimentque va ser apliatperprimeravoltaen

Ref. [13℄.

Barions en l'expansió 1/N

C

Podem aprotar l'expansió de QCDen 1=N

C

peraprendre físiabariònia? La

res-posta és armativa. L'estudi onjunt de les regles de ontatge en N

C

de QCD i

el proés de dispersió pionuleó a energies baixes permet trobar relaions de

on-sistèniaquedeuensersatisfetespelsoperadorsd'spinsaboren elsetorbariònide

QCD. Com aresultatestroba queenellímitdeN

C

!1elsbarionsdeuensatisfer

una algebra SU(2n

f )

ontreta. n

f

fa referènia al nombre de sabors lleugers i el

2 denota l'spin. El paràmetre que ontrau l'algebra éspreisament 1=N

C

. L'estudi

de les relaions de onsistènia és pot fer emprant una representaió explíita de

l'algebra ontreta. La base òptima per a este estudi és la donada pel modelquark

no relativista (enara que esta eleió no suposa ap hipòtesi del aràter

relati-vista dels quarks que formen el barió). Este estudi ens permet expresar propietats

estàtiques de barions (tals om masses, fators de forma, moments magnètis :::

) om una expansió en operadors de l'algebra d'spinsabor, ordenats en potènies

reixents de 1=N

C

. I el que és més interesant, podem estudiar el trenament de

simetria SU(3) de sabor de manera onjunta a les orreions en 1=N

C

, ja que els

dos efetes són aproximadamentdel mateix ordre[12℄.

Funions de Green

Com ja hem omentat, a energies baixes iintermèdiesels grausde llibertatefetius

no són quarks i gluons, sino més bé hadrons. Per tant un àlul on els estats

assimptòtis són quarks, enara que siga a energies baixes, no té gaire trellat. El

àlulenprinipiéspotfer(siestrobenelsmètodesneessaris),perònoensajudarà

a tindreuna milloromprensióde la físiahadròniaa energies baixes. Enl'esperit

delafórmuladereduióLSZ,podemalularelvaloresperatenelbuitdelprodute

(16)

el produte de dos amps en el mateix punt de l'espaitemps. determina els

nombresquàntisd'spin,paritationjugaióde àrrega,iomelorrentJ oneta

una determinada ressonània amb elbuit, pot fer de amp interpolador per a esta.

El métode més eient per a alular funions de Green es oneix om el métode

dels orrents externs.

Una manerad'obtindre informaiódelmón hadròni ésfer un estudi de les

fun-ions de Green en diferentsrègims energètis i exigirque empalmensuaument. Per

aenergies baixes iintermèdies jahem disutitomafrontarestosàluls, però, om

proedir a energies altes? Hom podria pensar que a energies altes, on la onstant

d'aoblament és prou menuda, un àlul pertorbatiu proporionaun resultat

satis-fatori,peròaçò noésert. Lesontribuionsnopertorbativestambéesmanifesten

a energies altes i a més d'una forma que no pot ser mai simulada per la part

per-torbativa. Per exemple, per a una família de funions de Green oneguda om a

paràmetres d'ordredel trenament espontani de la simetriaquiral,el àlul

pertor-batiuészero enellímitquiral(massadels quarksnulla)atots elsordres d'

s ,però

açò no pot ser tota la veritat. Són preisament els efetes no pertorbatius els que

fan queestes funionsde Green nosiguen idéntiamentnulles.

Elmétode empratperaestudiarlesorreionsnopertorbativesatransferènia

de moment alta es basa en l'expansió en produte d'operadors (OPE) [15℄. Esta

expansió permet esriureel produte de dos (o més) operadors situats en diferents

punts de l'espaitemps x i y, om una sèrie d'operadors loals denits a el punt de

l'espaitempsxmultipliatsperoeients(anomenats de Wilson)quedepenende

la diferènia x y. El primer operador de l'expansió és laidentitat, que orrespon

al resultat pertorbatiu. Normalment hom trata les funions de Green a l'espai de

moments,demaneraquel'OPEestransformaenunaexpanssióenpotèniesinverses

del moment. En prendre el valor d'expetaió en el buit dels operadors, en teories

pertorbatives tan sols l'operador identitat dóna una ontribuió no nulla. La idea

de lesregles de suma [16℄ va ser onsiderar queel buitde QCDés essenialmentno

pertorbatiu i per tant el valord'expetaió en el buit d'operadors nordenats noés

zero. Estos elements de matriu s'anomenen ondensats de buit i parametritzen el

nostre desoneixement dels meanismes nopertorbatius.

Així dons ja tenim les ferramentes adequades per a alular les funions de

Greenen lesdiferents regionsenergètiques. Després d'exigirun empalmamentsuau

alesregionsintermèdies podremobtindre moltainformaiórellevantdelmeanisme

d'hadronitzaió.

Relaions de dispersió

Tal i om hem esmentat prèviament, la desripió teòria adequada per als

fenò-mens no pertorbatius és la QFT. No obstant això, en moltes oasions els prinipis

axiomàtis de la físia de partíules poden omplementar la desripió en termes

(17)

tomàtiament inlosa en la QFT? Laresposta és senzilla: en la majoria dels asos

tan solssabemalularen teories de amps mitjançantuna expansió (no

neessàri-amenten laonstantd'aoblament),de talmaneraque elsprinipisaxiomàtistan

sols es ompleixende manera pertorbativa. Els prinipis axiomàtisens

proporio-nen propietats quedeuenomplir(perexemple)lesamplitutsde dispersióatots els

ordres i en tots el règims energètis: són essenialment resultats no pertorbatius.

Certamentaquestainformaióésmassasuulentaperadeixar de onsiderarla. En

esta tesi emprarem elssegüents prinipis:

1. Simetria Poinaré. Este és el requeriment més bàsi. En primer llo implia

que en tots elsproessos energiai moment(és a dir, tetramoment)són

mag-nituds onservades. Ensegonlloonsideremlasimetriade Lorentz(subgrup

del grup de Poinaré). Tal i om deia Einstein, les equaions que governen

la físia s'esriuen de la mateixa manera en qualsevol sistema de referènia

inerial. Açò estradueix en que l'amplitutde dispersió tan solspot dependre

de quantitats invariantsLorentz(és a dir, produtesesalars).

2. Unitarietat. És elprinipimés intuïtiu, ibàsiamentens diu quede la

proba-bilitat de quede laollisió de dos (omés)partíules es produïsa algunestat

nal és del 100%; i a l'inrevés, que donat un estat nal, hi hauna

probabili-tat màxima de que es puga produir de la ollisió d'algunes partíules. Estos

requeriments estradueixen en que lamatriu de dispersió és unitària:

SS y

= S y

S = 11; (2)

3. Simetria de reuament. Este prinipirelaionales amplitutsde dispersió dels

proessos obtesos interanviant partíules de l'estat iniiali nal (onvertint

les en antipartíules). Elsproessos així obtesoss'anomenen anals reuats.

4. Analitiitat. Este prinipiés el menys intuïtiu, però és molt i molt útil.

Do-nada una amplitut de dispersió per a un proés de dos partíules anant a

dos partíules podem extraure les diferents ones parials. Mentre l'amplitud

de dispersió depén de l'energia i angles, les ones parials tan sols depenen

de l'energia (normalment emprarem l'energia total en el entre de masses, o

equivalentmentl'invariantrelativistas). Suposantque sés una variable

om-plexa, les ones parials passen a ser funions denides en el pla omplex C.

Analitiitatimposa que adasuna de lesones parialsés una funió analítia

de s exepteperun tallal'eixreal positiu,neessari perasatisferunitarietat.

Com que una amplitud parial en el anal s onté a totes les ones parials

dels anals tiu, laondiiód'analitiitates pottraduiren unaondiiópera

l'amplitutde dispersió om afunió de s i t.

(18)

Objetius de la tesi

Totes estes tèniques tenenom a primerobjetiu una major omprensiódels

fenò-mensnopertorbatiusengeneralidel'hadronitzaióenpartiular. Unsegonobjetiu

ésobtindre valuosainformaióde la dinàmiadelsabor. Enaraqueen QCDel

sa-bor és sempre onservat, les interaions eletrofebles en general violen el sabor (i

també simetriesdisretes tals om P, C i CP)[3℄. Enara que el model estàndard

s'esrigaen termesde quarks(ipersuposat tambéleptons), elsproesosfísis

oor-ren entre hadrons. Normalment les interaions febles desriuen la dessintegraió

d'un quark(per exemples) en un altre quark(u)i un parell de leptons,mitjançant

orrents vetorialsi vetoraxials. Com ja hem disutit, elsestats assimptòtis son

hadrons, i per tant hem de alular elements de matriu hadrònis de orrents de

quarks. El mètode dels orrentsexterns apliata lesteoriesefetivesésidoni peral

seu àlul. Éspertantessenialontrolarelfenòmendel'hadronitzaióperapoder

entendre orretamentles interaions eletrofebles.

Al Capítol 1 es fa una introduió a la PT i en partiular es disutiràom

in-loureorrentsifontstensorialsen QCDien teoriesefetives. Estos orrents,amés

de odiarinformaióimportantperaentendrel'estruturabarióniaila

dessinte-graióde mesons pesats ambbellesa,apareixende maneranaturalen esenaris més

enllàdelSM.Enpartiular esonstruiràlabased'operadorsd'ordres O(p 4

)iO(p 6

),

disutint els meanismes que fan que siga mínima i no redundant. Al Capítol 2

s'introduirà l'expansió en 1=N

C

de QCD i om dóna llo a la teoria de resonànies

quiral (RT). En partiular s'introduiran les fonts tensorialsi les resonànies amb

nombres quàntis J PC

=1 +

. També s'esriurà la base d'operadors en elsetor de

paritatintrínseanegativa. AlCapítol3s'apliaranlestèniquesde1=N

C

en el

se-torbariòni. Estrobaranlesrelaionsdeonsistèniailesidentitatsentreoperadors

de l'algebra d'spinsabor. Com a apliaió alularem els fators de forma

veto-rial ivetoraxial tenint en ompte el trenament de simetriaSU(3). Al Capítol 4

introduirem les funions de Green i derivarem les diferents identitats de Ward. Es

disutiràl'OPEiesalularan lesfunionsde Greenrellevantsperala

fenomenolo-giaen els diferents règimsenergètis. Al Capítol5 empraremels resultatsanteriors

peradues apliaions fenomenòlogiques: ladesintegraió radiativadelpioarregat

i la determinaió del paràmetre V

us

en desintegraions semileptòniques d'hiperons.

Finalment,alCapítol6esdisutiran àmpliamentlesapliaions delsprinipis

axio-màtis de la físia de partíules. Fent una anàlisi ombinada amb teories efetives

obtindrem, per una banda, otes per a les LECs de PT, i per un altra obtindrem

ladesripióòptima de laproduió de mesons mitjançant fotons sota el llindarde

(19)

Chiral Perturbation Theory

1.1 Introdution to eetive eld theories

Although theultimategoalof physisisadesriptionofnatureinterms ofa

funda-mentaltheory(letussay,thetheoryofeverything),thisdoesnotmeanthatinorder

togetapreditionforagiven phenomenonweneessarilyneedtoknowthattheory.

Even if that theory were known (whihis very unlikelyto happen), itwould not be

sensible to employ it for desribing any proess that one may imagine. Moreover,

the knowledgeofthis ultimatetheorydoesnotneessarilyinvalidateless

fundamen-tal theories (however, a model an indeed be invalidated by a more fundamental

theory). This less fundamentaltheory must be regarded asavalidtheory that only

applies under ertainonditions.

Letus illustratethis with anexample. If weare interested in the desription of

the translational movement of the Earth aroundthe Sun, it is of littlesense to use

quantummehanis. Forinstane theradialexitationquantumnumberwouldhave

avaluen 310 68

,learlypointingoutthatthesystem isutterlylassi(although

in prinipleit is not forbiddenat all,it seems more sensibleto use the Shrödinger

equation for desribing the hydrogen atom, where the radialexitation number lies

between one and ten). It seems more reasonable then to assume } = 0 and use

lassial mehanis. It is also an exellent approximation to use the Newtonian

desription (assuming then = 1) for the gravitational fore and use Newton's

laws (this will give us a desription whih is valid within a 5% auray). But if

we want to beat that preision we need to inlude relativisti orretions due to

the niteness of the speed of light and the urvature of the spaetime. Sine this

problem possesses spherial symmetry the exat analyti solution an be obtained

easily,butingeneralthis isnotthe ase. Forthosemore ompliatedases, onean

employnumerialmethodsandobtaintheexat solution,butthelakofananalyti

struture willtranslateintolessinsightintothephysialsituation. Iftheorretions

are expetedtobesmall,asitisthe aseforourexample,thereisanotherapproah

whihyieldstoanalytisolutions. Weanidentifyasmallquantitythat anqualify

(20)

under study). Then the rst term in the expansion would orrespond to = 1

( = 0) representing the Newtonian desription, and the rest of the terms would

orrespond to the relativisti orretions. The more aurate we want our result

to be, the more terms in the expansion we need to inlude. And what it is more

important, the magnitude of the orretions dereases with the number of powers

(so orretions are under ontrol). Other usual expansion parameters are ~,

em ,

m

e =m

p :::

From the example disussed above we learn that the appropriate hoie of the

theoryisessential. IntheaseofQuantumFieldTheory,though,itisompulsoryto

makethe optimumhoieof the degrees offreedom. This issobeause anypartile

existinginthespetrumofnature,nomatterhowheavyitis,entersouralulations

as virtual exitations from the vauum. Sine it is impossible to know the whole

spetrum of partiles (let alone the details of their interations with the partiles

weare interested in)we needasmartway oftaklingthis problem. Theonepts of

symmetryandEetiveFieldTheoryarethekeytosolveitandonstitutethe main

tooltostudythephysisatenergies muhsmallerthanatypialsale. Usingamore

tehniallanguage,ifweareinterestedinanenergysaleE weshouldintegrate

out of the ation those degrees of freedom heavier than (typially partiles with

mass higher than ). Those loal operators remaining after the integration (in

generalaninnitenumberofthem)willhavethesamesymmetriesastheunderlying

more fundamentaltheory and the eets of the degrees of freedom that have been

integratedoutwillbeenodedintheouplings. TheApplequistCarazonnetheorem

istherigorousformulationofthisresult[17℄. Fortheaseswherethetheoryisknown

and it is weakly oupled, this integration an be performed analytially. In those

ases where the fundamental theory is not known, or where the theory is strongly

oupled,symmetrywillbetheonlyguidaneforbuildingtheEetiveFieldTheory.

As a last remark, Eetive Field Theories are not renormalizable in the usual,

strit sense, beause they have operators with dimension higher than four. This is

not however adrawbak, as fromthevery beginningweare dealingwith aninnite

number of operators. For the ase of theories built only from symmetry priniples

the oeients aompanying eah operator are a priory unknown, in suh a way

that if we want to inrease the preision of the alulations we will fae more and

more unknown parameters.

The theoretial issues disussed inthis haptersare niely explainedin Refs.[4,

5,18,19℄.

1.2 The QCD Lagrangian and its symmetries

Nowadays Quantum Chromodynamis(QCD for short)isregarded asthe theory of

the strong interations. It isthe gaugetheory assoiatedto the Lie group SU(N

C )

where N

C

stands for the numberof olours. The olourdegree of freedom was rst

introdued to aount for the apparent violation of the Pauli priniple in hadroni

(21)

number assoiated to a global symmetry (it restrits the form of the interation).

The gauge priniple assumes that this symmetry is loal and this loal invariane

ditates the form of the interation. Gauge symmetry is a suessful method to

generate interationsbetweenmattereldsarriedbygaugebosons (masslessinthe

ase ofunbrokensymmetry)ensuringitsrenormalizability. Furthermore,inthease

of nonAbelian theoriesthefull lotof proessesisgoverned byasingle ouplingper

eah gauge group, for instane

s

in the ase of the strong interations. There are

plenty of argumentspointing out that the number of oloursis indeedthree [2℄.

One the symmetry group and matter ontent is speied, the Lagrangian is

unique. InourasethebuildingbloksareN

f

(numberofavours)massivespin1=2

partiles alled quarks. We will use a rather ompat notation and use a single

symbol q to denote an N

f

omponent vetor olumn, eah omponent having N

C

dierent olours. The QCD Lagrangian then reads:

L

QCD

= q(iD= M)q 1

4 G

a

G

a + L

FP + L

GF ;

D

=

ig

s G

a

a

2 ;

G a

=

G

a

G

a

+ g

s f

ab

G b

G

;

s

g 2

s

4

; a

s

s

; (1.1)

where G a

are the N 2

C

1 spinone massless gluon elds, g

s

is the strong oupling

onstant,f ab

are thestrutureonstantsoftheSU(N

C

)groupand a

areits

gener-ators. L

FP

standsforthe FaddeevPopovterm andL

GF

forthe GaugeFixingterm,

both requiredfor aorretquantizationof the theory. Two niefeatures of this

La-grangianare thatamass termforthe gluonsisforbiddenandthat theirouplingto

the fermionsdoes not depend onthe partiular avour. M=diag fm

u ;m

d ;m

s :::g

stands for the mass matrix, whih without loss of generality an be hosen to be

diagonal. Unfortunatelysymmetry does not onstrain the value of the masses.

In order to disuss the (aidental) global symmetries of (1.1) we will restrit

ourselvestothesoalledlightsetorofQCDwithn

f

lightavours. Itomprisesthe

u,d ands(light)quarkswhosemassismuhlighterthanthe soalledheavy quarks

(, b andt),whihwillnot bedisussedinthis thesis. Itisnot abadapproximation

to onsider their mass equalto zero (the soalled hiral limit), being (1.1) redued

to

L 0

QCD = iq

L D=q

L + iq

R D=q

R 1

4 G

a

G

a + L

FP + L

GF

; (1.2)

where q

L and q

R

orrespond tothe left and righthanded quark elds dened as 1

q

L;R = P

L;R

q; P

L;R =

1

2

(1

5

): (1.3)

1

Inouronventions

5 =i

0

1

2

3

and

= i

[

;

(22)

Sine the left and righthanded quarks do not mix among eah other, (1.2) is

invariant under independent phase redenitionsand rotations for eah set of hiral

elds, what an be expressed in group theoretial languageas aninvariane under

the ation of the group U

V

(1) U

A

(1)SU(n

f ) L SU(n f ) R

. Quantum eets

(anomalies) break the U(1)

A

transformations and the U(1)

V

symmetry is trivially

realized as the baryoni number. The remaining transformations belong to the so

alled hiral group G=SU(n

f ) L SU(n f ) R

whoseelementsan bewritten as

g = g L 0 0 g R = exp i a L T a L 0 0 i a R T a R (g L ; g R

) = [exp(i a

L T

a

L

);exp(i a

R T

a

R

)℄ ; (1.4)

being T a L;R = a 2

the generators of the subgroups SU(3)

L;R

. Its ation on the quark

elds is

q

L;R

(x)!g

L;R q

L;R

(x): (1.5)

The hiral group has two obvious invariant subgroups SU(3)

L

and SU(3)

R

whose

elements are of the type (g

L

;11) and (11;g

R

), respetively. There is another non

invariant but interesting subgroup, H = SU(3)

V

, whose elements are dened as

(g

V ;g

V

) or equivalently a

L =

a

R

. We an dene the set of axial transformations

dened as =(g

A ;g y A ) or a L = a R

that do not form a subgroup of G. One an

take the quotient G=H but sineH isnot invariantthe result has not thestruture

of agroup. Thereis, however, a onetoone orrespondene between theelements of

the quotient spae and the elements of either SU(3)

L

, SU(3)

R

or . This freedom

willbeexploitedtondthebuildingbloksofChiralPerturbationTheory(PT for

short). The 2(n 2

f

1)assoiatedNoetherurrents, L a

and R a

are onserved and

the orresponding harges Q a X = R d 3 ~ xX a 0

are timeindependent. They satisfy the

group algebraof a diretprodut spae:

Q a X ;Q b Y

= iÆ

XY f ab Q X : (1.6)

Forfuturepurposes itisbettertouse linearombinationsofthem, alledtheotets

ofvetorand axialvetorurrents,assoiatedtothesets ofvetorand axialvetor

transformations:

V a

(x) = R a + L a = q(x) a 2

q(x); A a

(x) = R a L a = q(x) a 2 5 q(x); (1.7)

their assoiatedharges satisfyingthe group algebrastruture

Q a V(A) ;Q b V(A)

= if ab Q V ; Q a A ;Q b V

= if ab

Q

A

; (1.8)

transforming under parity as

PQ a P 1 = Q a

; PQ

(23)

Of ourse they ommute with the Hamiltonian of massless QCD [Q a

V ;H

0

QCD ℄ =

[Q a

A ;H

0

QCD

℄=0. Theeletromagnetiurrentandtheeletrihargeanbewritten

as linear ombinationsof the otet of vetor urrents and harges:

J

em = V

3 +

1

p

3 V

8 V

3+ 8

p

3

; Q

em =Q

3 +

1

p

3 Q

8

Q

3+ 8

p

3

: (1.10)

The vetor and axialvetor urrents that mediate the weak deay of hadrons are

also linear ombinationsof the otet of urrents:

V 1 i2

; A 1 i2

; u!d ;

V 4+i5

; A 4+i5

; s!u : (1.11)

Wewillintroduenowfor futureuse the rest ofthe QCDotets ofurrents: salar,

pseudosalar and tensor urrents

S a

(x) = q(x) a

q(x); P a

(x) = iq(x) a

5 q(x);

T a

(x) = q(x)

a

2

q(x); (1.12)

and the singlet urrents

V

(x) = q(x)

q(x); A

(x) = q(x)

5 q(x);

S(x) = q(x) q(x); P(x) = iq(x)

5 q(x);

T

(x) = q(x)

q(x): (1.13)

These omprise all independent soures beause we have used a omplete basis of

the Dira Algebra. We remind the reader that there is no pseudotensor urrent

beauseof the identity 2

:

5 =

i

2 "

: (1.14)

Of ourseonean handlewithotetsand singletsofurrentswithinasingle

expres-sion allowing a to take the value 0and dening 0

= p

2=n

f 11

33

. It will turn out

useful todene the left and righthanded salar and tensorurrents

S a

L =

1

2 (S

a

+iP a

) ; T a

L

= P

L T

a

;

S a

R =

1

2 (S

a

iP a

); T a

R

= P

R T

a

; (1.15)

whereP

L;R

aredenedlaterinEq.(1.24). Itisinterestingtoknowthederivativesof

the vetor and axialvetor urrents whenthe hiral symmetryis expliitlybroken.

Using the identities

(q

j

q

i

) = i(m

j m

i )q

j q

i

;

(q

j

5 q

i

) = (m

j +m

i )q

j i

5 q

i

; (1.16)

(24)

inferred fromthe equationsof motion weget:

V a

(x) = iq(x)

M;

a

2

q(x);

V

(x) = 0;

A a

(x) = iq(x)

M;

a

2

5 q(x);

A

(x) = 2iq(x) M

5

q(x) + n

f g

2

s

32 2

"

G

a (x)G

a

(x); (1.17)

where the gluon term in the last divergene omes from the axial anomaly. Note

thatinthespeialaseofM = m11

n

f n

f

[thatis,havingexatSU(n

f

)symmetry℄

the otetvetor urrent is stillonserved and

A a

(x) = 2mP a

(x);

A

(x) = 2mP(x) + n

f g

2

s

32 2

"

G

a (x)G

a

(x): (1.18)

1.3 The running of

s

: nonperturbative regime

and onnement

In the hiral limitthe QCD Lagrangian (1.2) has noenergy sale. Naïvely one an

think then that there is no possible distintion between long and short distanes,

sinethere isnomass saletoompare with. This isinlear ontradition withthe

phenomenology, whih shows that at energies below one GeV QCD is a onning

theory and at high energies the quarks and gluons are almost free (this is the

el-ebrated asymptoti freedom of QCD [20,21℄). The quantum behaviour of QCD is

generating anenergy sale, usually denoted by

QCD .

To geta rmergriponthat idealetushavealookatthe renormalizationgroup

equation of QCDat the onelooplevel:

d

s

d

=

QCD (

s ) =

(1)

QCD

s

2

+ O( 3

s );

(1)

QCD =

11

6 N

C n

f

3

: (1.19)

This equation is only valid in perturbation theory, that is, as we shall see, at high

energies. Forthe physial values of n

f

and N

C

QCD

>0,what pointsout that the

strengthoftheinterationinreasesatlowenergiesanddereasesathighenergies(a

distintivefeatureofnonAbeliantheories). Thesolutionof(1:19)iswidelyknown:

s () =

s (

0 )

1+

(1)

QCD

s (

0 ) log

0

(1)

QCD log

QCD

; (1.20)

where a new sale

QCD

0 exp

h

QCD

S (0)

i

(25)

of the tensor soure 25

between long and short distanes. At the sale = M

Z

= 91:12GeV the strong

oupling onstant has a value of

s (M

Z

) = 0:119 small enough for perturbation

theory to work. Applying the fourloop running equation and taking into aount

themathingfatorswhenquarkthresholdsarerossed,atatypiallowenergysale

m

p

1GeV one gets

s

(1GeV )=0:5. Then at low energies the ouplingonstant

is so big that the theory beomes nonperturbative and onning. Of ourse in

suh regime Eq. (1.19) no longer applies, but we an extrapolate its behaviour to

onlude thatthetheorybeomesstronglyoupled. Beingnonperturbativeimplies

that the mathematial expression of the observables does not admit an expansion

as a power series in the oupling onstant. Connement means that the degrees of

freedom are not quark and gluonsany more, but rather hadrons.

Figure1.1: Running of the QCD strongoupling onstant

s .

1.4 QCD in the presene of external soures :

trans-formation properties of the tensor soure

As explained in this hapter, the asymptoti states of QCD are not quarks and

gluons,buthadrons. Thenitisoflittleusetoalulatematrixelementswithquarks

(26)

This objets are usually alled Green funtions and their disussion is relegated to

Chapter 4.

Thereisapowerfulmethodforomputing matrixelementsofoperatorsmade of

quark elds inthe same spaetime point alled the external eld method [22℄. At

thesame timethismethodensures thatthehiralWard identities areautomatially

satisedforany Green funtion(the onept ofWard identities willbeexplainedin

detailinChapter4). Theidea istoextendthe masslessQCDLagrangian(1.2) with

external soures oupledtothe dierent quarkbilinears:

L

QCD

= L 0

QCD + L

ext ;

L

ext

= q

(v

+

5 a

)q q(s i

5

p)q+q

t

q

= q

R

r

q

R + q

L

`

q

L q

R

(s + ip)q

L q

L

(s ip)q

R +

q

L

t y

q

R + q

R

t

q

L

; (1.21)

where wehave dened r

v

+a

and `

v

a

. The vetor and axialvetor

external elds are hosen to be traeless in avour spae, but the rest of them will

in generalhavea nonvanishing trae; forinstane

t

= 8

X

a=0

a

2

t

a

; (1.22)

The salar urrent has been introdued with a minus sign for latter onveniene

(it has the same sign as the mass term). It is well known that an antisymmetri

tensor

t

doesnotorrespondtoanirreduiblerepresentationoftheLorentzgroup,

moreover, it is ompletely reduible. So it an be deomposed into two irreduible

representations using the identity [23℄

t

= P

L t

+ P

R t

y

; t

= P

L

t

; (1.23)

where P

L;R

are the analogs of P

L;R

in Eq. (1.3) forthe tensorelds, given by

P

R =

1

4 (g

g

g

g

+ i"

); P

L =

P

R

y

: (1.24)

Atually one an hek that indeed they satisfy the usual properties of hiral

pro-jetors

P

R(L) P

R(L)

= P

R(L)

; P

L(R) P

R(L)

= 0: (1.25)

Eq.(1.23) abovejust statesthe fatthat t

and t

y

are the leftand righthanded

projetions of the tensor eld and an be seen as the analog of Eq. (1.3). The six

independent omponentsof

t

an be split in a ovariantway into three leftand

three righthanded omponents. A hiral rotation ould mix v

with a

, s with p

andthe tensorwithitself. This ispreiselywhatone expets,sine

5

atingon

(27)

of the tensor soure 27

These external soures are n

f n

f

hermitianmatries. They are not operators

but rather funtions, hene they are not quantized and do not propagate. We

want (1.21) to have the same symmetries as (1.2) and this imposes restritions in

the way this soures transformunder eitherdisrete symmetries(parity and harge

onjugation) and the hiral group. Furthermore, we an nowimpose the invariane

of (1.21)underloal hiral transformations,wherethetransformation matriesg

R;L

now depend onthe spaetime point in whih they are applied. Something similar

is impossibletobe satisedin (1.2). It ispreisely thisloalinvarianewhatmakes

hiralWard identitiestobesatisedforanyGreenfuntionatanyorder[22℄. These

transformation properties are skethed inTable 1.1.

G(x)=SU(3)

L

SU(3)

R

P C

s+ip g

R

(s+ip)g y

L

s ip (s ip) >

`

g

L `

g

y

L +ig

L

g

y

L

r

r >

r

g

R r

g

y

R +ig

R

g

y

R

`

` >

t

g

R t

g

y

L

t y

t >

Table 1.1: Transformation properties of the external soures.

If one denes the generating funtional, whih an be regarded as the vauum

tovauum transitionamplitude inthe presene of externalelds

exp(iZ[v

;a

;s;p;

t

℄) =

Z

DqDqDG

exp

i Z

d 4

x

L 0

QCD +L

ext (v

;a

;s;p;

t

)

= h0jT exp[iL

g:f: (v

;a

;s;p;

t

)℄j0i

= Z

DqDqDG

exp

i Z

d 4

xL 0

QCD

h0

out j0

in i

v

;a

;s;p;

t

;(1.26)

then Green funtions are omputed by funtional derivativestaken with respet to

the external soures.

As a last omment, we an use the external soure s to expliitly introdue a

symmetry breakingtermdue tothenonzero massesof thequarksand theexternal

souresr

and`

tobreak expliitlythesymmetrydue toeletromagnetiandweak

interations:

r

! r

+ eQA

;

`

! `

+ eQA

+

2e

p

2 sin

W W

y

T

+

+ h::

(28)

being

Q = 0

B

B

2

3

0 0

0 1

3 0

0 0 1

3 1

C

C

A ; T

+ =

0

B

B

0 V

ud V

us

0 0 0

0 0 0

1

C

C

A

: (1.28)

1.5 Spontaneous hiral symmetry breaking and the

CCWZ formalism

Sine (1.2) isinvariantunder global transformationsof the Ggroup, we expet the

hadroni spetrum to organize itself aording to irreduible representations of G.

This implies the existene of an equalmass parity partner for eah partile, a

sit-uation that does not seem to our in nature. The hadroni spetrum is however,

organized as a series of irreduible representation of the group SU(3)

V

. This

indi-atesthatwearefaingthephenomenonofspontaneousbreakdownofthesymmetry

group Gintoasmaller subgroup H G,where some generators of the group Gdo

not annihilatethe vauum of the theory (so the interation is indeedinvariantbut

the vauumis not).

1.5.1 The appearane of the Goldstone bosons

InRef. [24℄ itwasshown thatfor masslessQCDthe groundstatemustbeinvariant

undervetortransformations(muhashappens inquantum mehanis: theground

state of a system desribed by a symmetri potential has even parity) and then

the vauum is annihilated by their orresponding operators. So the hiral group

G = SU(3)

L

SU(3)

R

is spontaneously broken to SU(3)

V

and we an hoose the

axialgenerators to be the ones not annihilating the vauum:

Q a

V

j0i = 0; Q a

A

j0i 6= 0: (1.29)

The Goldstone theorem [6℄ tells us that there must appear a number of massless

partiles(the soalledGoldstone bosons) equaltothe number ofoperators thatdo

not annihilatethe vauum (broken generators), eightin our ase. We an assoiate

these partilesto the lightest pseudosalar otet.

Let us show now that the existeneof a nonvanishing salar quark ondensate

implies Eq. (1.29). It an be shown that (the proedure to reah this result is

relegated tothe next hapters)

Q a

V ;S

b

(x)

= if ab

S

(x); (1.30)

and taking vauum expetationvalue of this expression and using (1.29) we arrive

athS

i = 0 orhuui =

dd

= hssi hqqi. With this result we an showthat

0

i

Q a

A ;P

b

(x)

0

= 2

Æ

ab

(29)

being the righthand side of (1.31) the order parameter of the spontaneous

break-down of the hiral symmetry. Then the Goldstone theorem tellsthat there exists a

set of masslessstates a

suh that (no summation implied)

h0jA a 0 j a ih a jP a

j0i 6= 0; (1.32)

being the quantum numbers of these states are determined by this expression. Let

us rst determine the parity of the Goldstone bosons 3

h0jQ a A j a i = 0 P 1 PQ a A P 1 P a

= h0jQ a A Pj a i ; Pj a

i = j a

i ; (1.33)

and now we onentrate in their transformation behaviour under an innitesimal

transformation of SU(3)

V :

h0jQ a

A j

a

i = h0jg y V g V Q a A g y V g V j a i = 0 1 i b Q b V

1+i

b Q b V Q a A 1 i b Q b V

1+i

b Q b V a

= h0jQ a A j a i + b f ab

h0jQ

A j

a

i+i

b 0 Q a A Q b V a ; 0 Q a A Q b V a

= if ab

h0jQ

A j

a

i = if ab

h0jQ a A j i ; Q a V b

= if ab

j

i : (1.34)

So they form an otet of pseudosalar mesons. We an parametrize the non

vanishingmatrix element in Eq.(1.32) as

0 A a (0) b (p)

= ip

F Æ

ab

; (1.35)

whereF hasdimensionsofenergyanditsapproximatevalueisF 92:4MeV . Sine

the axialvetor urrent is onserved, its matrix element between the Goldstone

bosons and the vauum must bezero

0 A a (0) b (p) = m 2 F Æ ab

=0; (1.36)

what points out that either m or F is zero. The latter ase orresponds to a

sym-metry realized a la WignerWeyl whereas the former orresponds to the Nambu

Goldstone realization. So, if (1.35)is not zero thenthe Goldstone bosons are

mass-less.

1.5.2 The CallanColemanWessZumino formalism

The general formalism to parametrize the set of elds desribing the dynamis of

the Goldstone bosons of asystem suering spontaneousbreakdown of aontinuous

symmetry was developed by Callan, Coleman, Wess and Zumino (CCWZ

presrip-tion)[7℄. Wereviewherethemostrelevantaspets. Letusonsider adimensionn

G

groupGbeingspontaneouslybrokentoonedimensionn

H

(noninvariant)subgroup

(30)

H,givingriseton

G n

H

masslessGoldstonebosons. Firstletusshowthatthereis

anisomorphism between the Goldstone boson elds manifold M

1

and the quotient

spae G=H. Let usdene the transformation ' of the set of elds (or vetor) of

the Goldstone bosons under one element g of the group G (itwill be shown that it

is not a lineartransformation)

' : GM

1

!M

1 ;

'(g;)= 0

; (1.37)

satisfying 4

'(e;) = 82M

1 ;

'(g

1 ;'(g

2

;)) = '(g

1 g

2

;) 8g

1 ;g

2

2G; 8 2M

1

: (1.38)

Wethenrequirethattheorigin=0ofM

1

(groundstateonguration)ismapped

ontoitselfwhentransformedbyelementsh2Hor'(h;0)=0(andsoH onstitutes

the littlegroup of = 0). With this it is lear that the origin is mapped into the

same onguration eld by allelements satisfyingg

1 g

1

2

2 H, that is, all elements

belonging to the same left oset of H, whih is one element of the quotient spae

G=H: '(gH;0)='(g;0). This denes a one to one (it an be shown to be

invert-ible)mappingbetweentheosetspae andthevetorspaeoftheGoldstonebosons

elds: ='(f;0)='(gH;0)wheref 2G=H and an behosen toberepresented

by an element g 2 f. Then the transformation properties of the Goldstone elds

under anelement g~2G read '(~g;) ='(~g;'(f;0))='(~ggH;0)='(gH;0)where

g = gg~ h is the representative of the element of the oset spae ggH~ (in general

dierentfrom g~g).

Aneasywayofunderstandingtheformalproedurefollowed aboveistoonsider

the parametrization of the vetor of Goldstone boson elds (x) asa loalrotation

underanelementg(x)2Goftheonstantvauumstatehivetor: (x)=g(x)hi.

ThentheGoldstoneeldsarespeiedbyg(x). Butsinebyassumptionhhi =hi

for h 2 H, two elements g

1

and g

2

satisfying g

1 g

1

2

2 H render the same (x),

g

2

hi =g

1

hhi=g

1

hi. Weonlyneedthentoonsider elementsofGbelongingto

the same left oset gH tofully speify a given (x) onguration. Then, as stated

above, toeah elementof G=H orresponds one eld onguration .

TheCCWZpresriptiononsistsinpikingasetofeightbrokengeneratorsfA a

g

suh that A a

hi 6= 0 and hoose as a representative for eah element of G=H the

followingSU(3)

L

SU(3)

R

matrix:

(x) = e iA

a

a

(x)

= [

L (x);

R

(x)℄!(x) = (x)hi : (1.39)

One we selet from the ontinuum of degenerate states with equal minimal

en-ergy one to be the vauum, we are at the same time spontaneously breaking the

symmetry and speifying the broken generators. But of ourse this hoie is

om-pletely arbitrary and so are the broken generators (as far as we do not hoose the

(31)

ones generating H!). Under a global g 2 G transformation the (x) rotates to

another matrix whih is not neessarily of the form (1.39), but an be written as

g(x) = 0

(x)h 1

(g;(x)) where 0

(x)has the form (1.39) and h(g;(x)) 2H is

denoted asthe ompensatingeld. Itislearthatg(x)hi= 0

(x)hi. h(g;(x))

has animpliitxdependenethroughitsdependene on(x)andsineitisavetor

transformationanbewrittenash(g;(x))=[ ~

h(g;(x)); ~

h(g;(x))℄. Thenwean

write the transformationof (x) as

'(g;(x)) = g(x)h 1

(g;(x));

'

L(R) (g;

L(R)

(x)) = g

L(R) L(R) (x) ~ h 1

(g;(x)): (1.40)

Weommentonpassingthat themapping'isanonlinear realizationofthegroup

beause the matries (x) do not form a vetor spae (the sum of two unitary

matriesisnolongerunitary). Thevauumstate(thatis,theongurationwiththe

Goldstone boson elds equal to zero) aording to (1.39) is represented by = 11

(

L =

R

= 11). Sine we want the vauum to be mapped onto itself by vetor

transformations g H =(g V ;g V

), aordingto (1.40)h(g

H

;11)=g

H or

~

h(g

H

;11)=g

V .

One an get rid of the ompensating eld ombining the relations of (1.40) into

the simpler form U(x) =

R (x)

y

L

(x) transforming under g as U(x) ! g

R

U(x)g y

L ,

whih is equivalent to hoose as broken generators T a

R or

L

(x) = 11,

R (x) =

U(x) and the ompensating eld ~

h(g;x) = g

L

. This is denoted as the Ubasis.

Another possibility is to take (x) = U y (x) = L (x) y R

(x) transforming under g

as (x) ! g

L

(x)g y

R

, whih is equivalent to hoose as broken generators T a

L or

R

(x) = 11,

L

= (x) and ~

h(g;x) = g

R

. These is to the so alled basis and

orresponds to the hoie

R

(x) = 11,

L

(x) = U(x) and the ompensating eld

~

h(g;x) = g

R

. Choosing the axial generators T a

L T

a

R

as the broken ones (the so

alledbasis)orrespondsto

L

(x)= y

R

(x)(x)transformingunderg as(x)!

g L (x) ~ h 1

(g;x)= ~

h(g;x)(x)g y

R

. Thistransformationimpliesthatifg

L =g R g V then ~

h(g;x) g

V

and it is independent of (x), as it happens also in the U

basis. Our preferred hoie is the ubasis orresponding to the hoie T a R T a L for

broken generators, and u(x) =

R (x) = y L (x) = y

(x) transforming as u(x) !

g R u(x) ~ h 1

(g;x)= ~

h(g;x)u(x)g y

L .

TheGoldstonebosoneldsare angularvariablesandhenedimensionless.

How-ever for a eld theoretial desription we want them to have dimension one and so

wewrite

u(x)=exp i (x) p 2F ; (1.41)

where itan beshown that atlowest order F equals that ofEq. (1.35). The matrix

(x) interms of physialelds reads

(32)

Underavetortransformationoftheeldsu(x)!g

V

u(x)g y

V

,the(x)!g

V

(x)g y

V

undergoesthesame transformation,pointingittransformsasanotet. Forthease

ofageneraltransformation (e.g. anaxialtransformation)the Goldstone bosonsare

transformed as anonlinear funtion of the elds.

As a nal ommentin the Ubasis representation wean identify

U(x) = u(x) 2

= exp "

i p

2(x)

F #

; (1.43)

and of ourse inthe basis,(x)=(x) 2

.

1.6 Eetive Lagrangians of order O(p

2

) and O(p 4

)

If one restrits oneself to very low energies then the only interating partiles will

be the Goldstone bosons. With the ingredients disussed in the preeding setion

one an build atheory madeonly of the Goldstone boson elds asativedegrees of

freedom. This theory is known as Chiral Perturbation Theory and was developed

in Ref. [9℄. In this range of energies one an expand the observables in inreasing

powers of both the external momentum and quark masses, what translates intoan

organizationof the Lagrangian interms of aninreasing numberof derivativesand

mass operators

L

PT =

X

n=1 L

2n

: (1.44)

The range of validity of the theory is provided by a harateristi hiral symmetry

breaking sale

. When omputing the hiral expansion eah loop orretion is

aompaniedbyafator1=(4F) 2

givingusanestimate

4F 1:2GeV[25℄.

Counterterms have a typial size of the inverse of the mass of a resonane, what

gives us

m

R

1GeV . So the radius of onvergene of the power expansion

orresponds to the mass of the lightest resonane m

=775MeV .

ThealulationsperformedinPTareorganizedinthesoalledWeinbergpower

ounting [8℄. Given adiagramwithN

2n

vertiesfromL

2n

andLloopsithas ahiral

dimension

D

= 2L + 2 + 2 X

n N

2n

(n 1): (1.45)

Sine n1, D

isalways positive. Expression (1.45)makeslear that onlya nite

Figure

Figure1.1:explainedbutformationQCDRunningoftheQCDstrong
oupling
onstant�s.inthepresen
eofexternalsour
es:propertiesofthetensorsour
einthis
hapter,theasymptoti
statesofQCDarenotquarkshadrons.Thenitisoflittleuseto
al
ulatematrixelementswith
Figure1.1:explainedbutformationQCDRunningoftheQCDstrong oupling onstant�s.inthepresen eofexternalsour es:propertiesofthetensorsour einthis hapter,theasymptoti statesofQCDarenotquarkshadrons.Thenitisoflittleuseto al ulatematrixelementswith p.25
Fig.b(q2dimensionshaveenergyusual�
Fig.b(q2dimensionshaveenergyusual� p.45
Figure2.2:Flatdiagraminboththeordinaryanddoublelinerepresentations.
Figure2.2:Flatdiagraminboththeordinaryanddoublelinerepresentations. p.51
Figure3.1:diagramsne
essarily(outgoing)relatelinesanSelf�intera
tionofabaryonandits
onne
tedpie
e.willbereferredtoasann�bodyintera
tion.The
oloursofthen�bodyintera
tionareapermutationofthenin
omingquarks.nquarks
onne
tedgraphsforbaryonsintera
tionswithva
uumwithasinglequarkintheoutermostedge,by
uttingthequarkpla
es,andsettingthe
olourofea
hquarklinewiththatofanquarkinthebaryon.Curiously,dominant�planar�diagrams�atwhenwrittenonasheetofpaper.
Figure3.1:diagramsne essarily(outgoing)relatelinesanSelf�intera tionofabaryonandits onne tedpie e.willbereferredtoasann�bodyintera tion.The oloursofthen�bodyintera tionareapermutationofthenin omingquarks.nquarks onne tedgraphsforbaryonsintera tionswithva uumwithasinglequarkintheoutermostedge,by uttingthequarkpla es,andsettingthe olourofea hquarklinewiththatofanquarkinthebaryon.Curiously,dominant�planar�diagrams�atwhenwrittenonasheetofpaper. p.66
Figure3.3:Consisten
yfundamenationsameDiagramofbaryon�meson
oupling.duetoWittenisthattheNC�
ountingrulesasina�eldtheorywith
oupling
onstantal�eldsandbaryonsaresolitoni
solutions.
onditions
Figure3.3:Consisten yfundamenationsameDiagramofbaryon�meson oupling.duetoWittenisthattheNC� ountingrulesasina�eldtheorywith oupling onstantal�eldsandbaryonsaresolitoni solutions. onditions p.67
Figure3.4:Diagramsforbaryon�mesons
attering.
Figure3.4:Diagramsforbaryon�mesons attering. p.67
Figure3.5:onederivMomentumoftheparti
lesinvolvedinpion�nu
leons
attering.are
onsideringstati
baryonsourLagrangianwillhaveonlyonebaryonantibaryon�eld.Themostgeneralsu
hLagrangianwiththelowestnumbativesis(two�avours)[45℄=���iD=�M+gA2���5u���:=���iD=�M+gA2���5ti�a�i���iF��(3.4)
Figure3.5:onederivMomentumoftheparti lesinvolvedinpion�nu leons attering.are onsideringstati baryonsourLagrangianwillhaveonlyonebaryonantibaryon�eld.Themostgeneralsu hLagrangianwiththelowestnumbativesis(two�avours)[45℄=���iD=�M+gA2���5u���:=���iD=�M+gA2���5ti�a�i���iF��(3.4) p.68
Tabletableaux3.5Inquarkop
Tabletableaux3.5Inquarkop p.72
Table
orrespthe�spa
es2a�

Table orrespthe�spa es2a�

p.102
Fig�written���parameterO++Op=
Fig�written���parameterO++Op= p.102
Fig.quark4.4.Inwing
ounCSSS(Shq�qiCVVP(AAPhq�qi
Fig.quark4.4.Inwing ounCSSS(Shq�qiCVVP(AAPhq�qi p.105
Figure(a)4.5:
Figure(a)4.5: p.106
Fig.when
ondensateatta
Diagramse
tiv
orre
tions4.6.twoinsertionselyhedbothout.thisrendersgeneralCF8
Fig.when ondensateatta Diagramse tiv orre tions4.6.twoinsertionselyhedbothout.thisrendersgeneralCF8 p.108
Figure4.6:���wnqi
Figure4.6:���wnqi p.109
Fig.(4.4)����=
Fig.(4.4)����= p.109
Figure�+��=p�ergen=p�(��=p��)+�p6�=pgsD�G��(0)3if���;=pg+p1gsG��(0)4i�=piS4.7:Diagramsofthemixedquark-gluon
ondensate:(a)Infrareddivtdiagramrenormalizingthehq�qi
ondensate,(b)
ontributiontothequark�gluon
ondensate
omingfromtheba
kgroundgluons.Gluoni

orre
tions
annowbe
al
ulatedby
onsideringthatourvirtualquarksandgluonspropagateintothisba
kground�eld,beingpropagatorsmodi�ed(infa
twewillonlyneedthemodi�
ationofthequarkpropagator).Thismodi�edpropagatorinmomentumspa
eandformasslessquarksreadsF(p)=4(4.95)
Figure�+��=p�ergen=p�(��=p��)+�p6�=pgsD�G��(0)3if���;=pg+p1gsG��(0)4i�=piS4.7:Diagramsofthemixedquark-gluon ondensate:(a)Infrareddivtdiagramrenormalizingthehq�qi ondensate,(b) ontributiontothequark�gluon ondensate omingfromtheba kgroundgluons.Gluoni orre tions annowbe al ulatedby onsideringthatourvirtualquarksandgluonspropagateintothisba kground�eld,beingpropagatorsmodi�ed(infa twewillonlyneedthemodi� ationofthequarkpropagator).Thismodi�edpropagatorinmomentumspa eandformasslessquarksreadsF(p)=4(4.95) p.111
Fig.(0)
omputationmak(x)fx132�log(�
Fig.(0) omputationmak(x)fx132�log(� p.111
Fig.4.10),indepinsertions).spa
e�timepropagatorvgluonemethoenden
Fig.4.10),indepinsertions).spa e�timepropagatorvgluonemethoenden p.113
Figure(a)Cal
ulation
Figure(a)Cal ulation p.116
Fig.:three�momenmomenexpressionse
i�
haonenEq.itsandv0in6.1.sp�naleusedta
ompletetotaltum
Fig.:three�momenmomenexpressionse i� haonenEq.itsandv0in6.1.sp�naleusedta ompletetotaltum p.167
Figure6.2:Levyse
tiondes
ribingGraphi
representationofthesandt
rossed
hannels.Thelinearsigmamodelweintrodu
eanddis
usstheSU(2)linearsigmamodelofGell�Mann[166℄.Thismodelwasoriginallydevelopedasatoymodelforthenu
leon�pionintera
tions.Itin
orporatesinanspe
i�
Figure6.2:Levyse tiondes ribingGraphi representationofthesandt rossed hannels.Thelinearsigmamodelweintrodu eanddis usstheSU(2)linearsigmamodelofGell�Mann[166℄.Thismodelwasoriginallydevelopedasatoymodelforthenu leon�pionintera tions.Itin orporatesinanspe i� p.169
Figure6.3:whereMandelstamplanefor��s
attering.Thesmalltriangleinthe
enteristheMandelstamtriangle.Thebigtriangleistheregionfreefromsingularities.Theouterdashedregionsdenotethephysi
alregionsforthethree
rossed
hannels,andtheinnerdashedregion
orrespondstotheareaAinwhi
hthepositivity
onditionsarede�ned.�xedparameter.We
anthenuseCau
hy'stheoremtowriteTI(s;t)=12�iI�dxTI(x;t)x�s;(6.42)wherevertheamplitudeisanalyti
inaneighborhood(ins)ofthepoint(s;t),andthe
ontour�en
losesthepointx=s[seeFig.6.4(a)℄.
Figure6.3:whereMandelstamplanefor��s attering.Thesmalltriangleinthe enteristheMandelstamtriangle.Thebigtriangleistheregionfreefromsingularities.Theouterdashedregionsdenotethephysi alregionsforthethree rossed hannels,andtheinnerdashedregion orrespondstotheareaAinwhi hthepositivity onditionsarede�ned.�xedparameter.We anthenuseCau hy'stheoremtowriteTI(s;t)=12�iI�dxTI(x;t)x�s;(6.42)wherevertheamplitudeisanalyti inaneighborhood(ins)ofthepoint(s;t),andthe ontour�en losesthepointx=s[seeFig.6.4(a)℄. p.178
Fig.alongamplituderapidlythat
ut
ann!2�iin�nitn+1
Fig.alongamplituderapidlythat ut ann!2�iin�nitn+1 p.179
Figure6.8:onlyS
atteringofparti
leswithdi�erentmasses.Insidethetriangletheamplitudes
atteringisfreefromsingularities.Inthedashedregiontheunitarity
onditionapplies.Symmetrybreaking
orre
tionstotheboundsThe�rste�e
tshowingupwhen
onsideringm�<mKisthatforseveralpro
essestheunitaritybran
h
utmighto

urbeforerea
hingthephysi
althreshold.This,aswedis
ussnext,spoilsthepositivity
ondition.Letus�rstobtaintheanalyti
triangleforthepresentsituation.Wewill
onsiderpro
esseswithequalinitialand�nalstatesa+b!a+b,ofmassesma=M
Figure6.8:onlyS atteringofparti leswithdi�erentmasses.Insidethetriangletheamplitudes atteringisfreefromsingularities.Inthedashedregiontheunitarity onditionapplies.Symmetrybreaking orre tionstotheboundsThe�rste�e tshowingupwhen onsideringm�<mKisthatforseveralpro essestheunitaritybran h utmighto urbeforerea hingthephysi althreshold.This,aswedis ussnext,spoilsthepositivity ondition.Letus�rstobtaintheanalyti triangleforthepresentsituation.Wewill onsiderpro esseswithequalinitialand�nalstatesa+b!a+b,ofmassesma=M p.192
Fig.6.9.thinktheseenthevelengh!energywhetherand
onsider�em),
Fig.6.9.thinktheseenthevelengh!energywhetherand onsider�em), p.197
Figure6.13:Integrated
ross�se
tionfor��!�0�0asafun
tionofs.Thedotsaretheexperimentaldata.Thelinemarked�PTisthepredi
tionofthelowestorder�PT[188,189℄andthedashedlinesare
orre
tionstothisresult.6.5.2Unitarityinmeson�mesons
atteringBeforeenteringintothedetaileddis
ussionoftheunitarity
onstraintsforthedipionprodu
tion,wewillexplainwithsomedetailtheveryspe
ial
aseof��s
attering.Inprin
ipleone
ouldthinkthatwealreadyexploitedalltheni
efeaturesimplied
Figure6.13:Integrated ross�se tionfor��!�0�0asafun tionofs.Thedotsaretheexperimentaldata.Thelinemarked�PTisthepredi tionofthelowestorder�PT[188,189℄andthedashedlinesare orre tionstothisresult.6.5.2Unitarityinmeson�mesons atteringBeforeenteringintothedetaileddis ussionoftheunitarity onstraintsforthedipionprodu tion,wewillexplainwithsomedetailtheveryspe ial aseof��s attering.Inprin ipleone ouldthinkthatwealreadyexploitedalltheni efeaturesimplied p.199
Figure6.17:
onstrainwpro6.5.6AgainarePredi
tionsofRef.[193℄forthe
harged(upplot)andtheneutral(downplot)pionprodu
tion
ross�se
tions.Inthe
hargedpionprodu
tionplotealsoshowthebornamplitude.The
ross�se
tionismeasuredinnanobarnsasafun
tionofthe��invariantmass,inGeV.Con
lusionswehaveexperien
edthattheaxiomati
prin
iplesofunitarityand
rossingapowerfultoolforthedes
riptionofmeson�mesons
atteringandtwophoton
esses.Inparti
ular,belowthefour�pionthreshold,theseprin
iplesseverelythebehaviourofthes
atteringamplitudes.Inthe
aseofmeson�meson
Figure6.17: onstrainwpro6.5.6AgainarePredi tionsofRef.[193℄forthe harged(upplot)andtheneutral(downplot)pionprodu tion ross�se tions.Inthe hargedpionprodu tionplotealsoshowthebornamplitude.The ross�se tionismeasuredinnanobarnsasafun tionofthe��invariantmass,inGeV.Con lusionswehaveexperien edthattheaxiomati prin iplesofunitarityand rossingapowerfultoolforthedes riptionofmeson�mesons atteringandtwophoton esses.Inparti ular,belowthefour�pionthreshold,theseprin iplesseverelythebehaviourofthes atteringamplitudes.Inthe aseofmeson�meson p.207
Figure6.18:andobtainedUnitarityviolationfun
tionj�IjforI=0pionprodu
tion(upplot)I=2(downplot).Thisfun
tion
anbeinterpretedasaper
entualviolation,anditisplottedasafun
tionoftheinvariantmassofthepionsinGeV.inaunitaryway,andresonan
eex
hangeis
onsideredinthetree�leveltermandtheres
attering.Thisamountstoaparti
ularmodelizationofsomerealparts,not�xedbyunitarity.Adetailedstudyshowsthatthetreatmentoftheresonan
e
ontributionsleadinfa
ttounitarityviolations.Despitetheex
ellentdes
riptionoftheexistingdatawithsu
hamplitudes,wehaveexpli
itly
he
kedthatunitarityisbadlyviolatedatintermediateenergies.
Figure6.18:andobtainedUnitarityviolationfun tionj�IjforI=0pionprodu tion(upplot)I=2(downplot).Thisfun tion anbeinterpretedasaper entualviolation,anditisplottedasafun tionoftheinvariantmassofthepionsinGeV.inaunitaryway,andresonan eex hangeis onsideredinthetree�leveltermandtheres attering.Thisamountstoaparti ularmodelizationofsomerealparts,not�xedbyunitarity.Adetailedstudyshowsthatthetreatmentoftheresonan e ontributionsleadinfa ttounitarityviolations.Despitetheex ellentdes riptionoftheexistingdatawithsu hamplitudes,wehaveexpli itly he kedthatunitarityisbadlyviolatedatintermediateenergies. p.208
FigureH.1:ofOnepoint�fun
tion.Doublelinedenotes�parti
leanddashedlinepions.Itmustvanishtoensurethatperturbationtheoryisdonearoundaminimumthepotential.FigureH.2:One�loopdiagramsforthe�propagator.
FigureH.1:ofOnepoint�fun tion.Doublelinedenotes�parti leanddashedlinepions.Itmustvanishtoensurethatperturbationtheoryisdonearoundaminimumthepotential.FigureH.2:One�loopdiagramsforthe�propagator. p.244
Figure3I��(s)�+4I��(m2�)+�5ertex.singlet,theI���(s)+��2m2222��mV�(s)+6m��m82�H.3:Quantum
orre
tionstothe����v�intotwopions.ThediagramsareshowninFig.H.3.its
ouplingtothepair�a�bmustbeproportionalbedisplayed.Therenormalizedresultthenreads=�2gv+gv�2;
Figure3I��(s)�+4I��(m2�)+�5ertex.singlet,theI���(s)+��2m2222��mV�(s)+6m��m82�H.3:Quantum orre tionstothe����v�intotwopions.ThediagramsareshowninFig.H.3.its ouplingtothepair�a�bmustbeproportionalbedisplayed.Therenormalizedresultthenreads=�2gv+gv�2; p.245

Referencias

Actualización...

Related subjects : Symmetry Breaking