Pertorbatius a la Dinàmia del Sabor
Vient Mateu Barreda
IFIC, Departamentde FísiaTeòria
Tesi dotoral,Otubre de 2008
Introduió 9
Unadesripióadequadapera lafísia nopertorbativa . . . 9
La teoriade lesinteraions fortes . . . 10
Teories efetives: Teoria de pertorbaions quiral . . . 12
Expansió en 1=N C : Resonànies i barions . . . 14
Funionsde Green . . . 15
Relaionsde dispersió . . . 16
Objetius de latesi . . . 18
1 Chiral Perturbation Theory 19 1.1 Introdutionto eetiveeld theories . . . 19
1.2 The QCD Lagrangian and itssymmetries . . . 20
1.3 The running of s : nonperturbative regime and onnement . . . . 24
1.4 QCD in the presene of external soures: transformation properties of the tensor soure . . . 25
1.5 Spontaneous hiral symmetry breaking and the CCWZ formalism . . 28
1.5.1 The appearane of the Goldstone bosons . . . 28
1.5.2 The CallanColemanWessZuminoformalism . . . 29
1.6 Eetive Lagrangians of order O(p 2 ) and O(p 4 ) . . . 32
1.6.1 Buildingbloks and L 2 . . . 33
1.6.2 On the power ounting for the tensor soure . . . 35
1.6.3 The order O(p 4 ) Lagrangian . . . 37
1.7 The O(p 6 )Lagrangian with tensor soures . . . 38
1.7.1 Partial integration and equations of motion. . . 39
1.7.2 Bianhiidentity . . . 40
1.7.3 Contat terms . . . 40
1.8 Oddintrinsiparity setor . . . 42
1.8.1 WessZuminoWitten funtional. . . 42
1.8.2 Oddintrinsiparity setor with tensorsoures . . . 43
1.9 A simple appliation: One looporretions to VT . . . 45
2 The 1=N C expansion I: Resonane Chiral Theory 47 2.1 Introdution . . . 47
2.3 N
C
ounting rules for orrelation funtions . . . 52
2.4 Phenomenologyand main results . . . 54
2.5 The 1/N C expansionin PT . . . 55
2.6 Resonane ChiralTheory . . . 57
2.6.1 Generalonsiderations . . . 57
2.6.2 The RTLagrangian . . . 58
2.7 Funtional integration of the resonanes . . . 60
2.8 Oddintrinsiparitysetor. . . 62
3 The 1=N C expansion II: Baryons 65 3.1 Introdution . . . 65
3.2 Counting rules for baryons . . . 65
3.3 Consisteny onditions . . . 67
3.4 LargeN C baryon representations . . . 71
3.5 Quark representation . . . 72
3.6 Operatoridentities . . . 74
3.6.1 Zero and onebody operators . . . 75
3.6.2 Twobody identities . . . 75
3.7 Flavour symmetry breaking . . . 77
3.8 Usefulrelations for spinavour operators . . . 78
3.9 Vetor and axialvetor formfators. . . 78
3.9.1 Vetorform fator . . . 79
3.9.2 Axialvetorform fator . . . 81
4 Green funtions of QCD 85 4.1 Introdution . . . 85
4.2 Denitionsof Green funtions and Ward identities . . . 87
4.3 Dispersion relationsfor twopoint Green funtions . . . 91
4.4 Wilson's Operator Produt Expansion (OPE) . . . 95
4.5 CallanSymanzikequation inthe OPE . . . 97
4.6 QCDsum rules . . . 100
4.7 FirstOPE appliations . . . 101
4.8 C hqqi for threepoint Greenfuntions atO( 0 s ) . . . 104
4.9 Hardgluon orretions tothe quark ondensate . . . 105
4.9.1 Twopoint funtions . . . 106
4.9.2 Threepointfuntions . . . 108
4.10 Softgluonorretions: the hq G qi operator . . . 110
4.11 Softgluon orretions: the hG a G a i operator . . . 112
4.12 The fourquark operator hq a qq a qi . . . 113
4.13 Calulationin PT . . . 115
4.13.1 ThreepointGreen funtion: hVVPi . . . 115
4.13.2 Twopoint Green funtions. . . 115
4.14.2 TwopointGreen funtions. . . 119
4.15 Can we maththe MHA tothe OPE atO( s )? . . . 121
4.16 Mathing to the OPE with an innitenumberof resonanes . . . 124
4.16.1 Sign alternation in n . . . 126
4.16.2 Comparison with QCD spetral sum rules . . . 128
4.16.3 Disussion . . . 131
5 Phenomenologial appliations 133 5.1 Weakdeays . . . 133
5.2 Radiativepion deay . . . 134
5.2.1 Introdution . . . 134
5.2.2 Radiative pion deay: vetor and axialvetor formfators . . 135
5.2.3 Vetor formfator . . . 137
5.2.4 Axialvetor formfator . . . 139
5.2.5 Theory versus Experiment . . . 141
5.2.6 Beyond SM: Tensor form fator . . . 142
5.2.7 hVTi Green funtion: the tensorform fator . . . 143
5.2.8 q 2 dependene of the tensor formfator . . . 144
5.2.9 Lattie data and sum rules . . . 145
5.2.10 Analysis of the photon spetrumin the radiativepion deay . 146 5.2.11 Conlusions . . . 147
5.3 V us from hyperon semileptoni deay . . . 148
5.3.1 Introdution . . . 148
5.3.2 Theoretial Desription of Hyperon Semileptoni Deays . . . 149
5.3.3 The AdemolloGattotheorem . . . 152
5.3.4 g 1 /f 1 analysis . . . 154
5.3.5 1/N C Analysisof SU(3) V Breaking Eets . . . 155
5.3.6 Systemati Unertainties . . . 158
5.3.7 V ud fromNeutron Deay . . . 161
5.3.8 Summary . . . 162
6 Dispersion relations and unitarity 165 6.1 Introdution . . . 165
6.2 Unitarity and partialwave deomposition . . . 166
6.3 The linear sigma model. . . 169
6.4 Bounds on hiral LECs fromdispersion relations . . . 173
6.4.1 SU(2) bounds . . . 176
6.4.2 SU(3) bounds . . . 187
6.4.3 Conlusions . . . 195
6.5 Dipionprodution intwophoton reations . . . 196
6.5.1 The pitfall of PT . . . 198
6.5.2 Unitarity inmesonmeson sattering . . . 199
6.5.5 Unitarityviolation . . . 205
6.5.6 Conlusions . . . 207
Conlusions 209
Appendix A: CayleyHamilton relations 215
A.1 SU(3) . . . 216
A.2 SU(2) . . . 216
Appendix B: The L
6
Lagrangian with tensor soures 219
Appendix C: The antisymmetri formalism 225
Appendix D: Wilson oeient C
h qqi
at O(
s
) 229
Appendix E: hVVPi from a Lagrangian 233
Appendix F: LSZ formula for a soft pion 237
Appendix G: Loop funtions 239
Appendix H: Renormalization of the linear sigma model 243
Bibliography 249
Una desripió adequada per a la físia no
pertorba-tiva
Enara que potsemblar estrany omençar l'esriptura d'una tesi quetrata la
Cro-modinàmia Cuàntia (QCD) a energies baixes sense parlar d'aspetes tals om
simetria quiral, teories efetives o semblants, re que és fonamental assentar la
base sobre laqual esonstruiran tots els àlulsdisutits en este treball.
La físia no pertorbativa no es pot estudiar amb els mètodes habituals de la
Teoria Quàntia de Camps (QFT), és a dir, teoria de pertorbaions. En este
úl-tim as els diferents observables admeten una expansió en potènies de la ostant
d'aoblament, que si se suposa petita (omparada amb la unitat) permet establir
una jerarquia entre els termes de l'expansió: els termes amb potènies més altes
de la onstant d'aoblament estan suprimits i per tant podem tallar l'expansió a
un ordre donat. La QFT garanteix que els observables aompleixen tots els
req-uisits d'una teoria quàntia relativista: miroausalitat, unitarietat, analitiitat,
invariània Poinaré, teorema spinestadístia i desomposiió en lusters. Estos
prerequisits nodeneixen unívoament laQFT, però qualsevol teoria que pretenga
donar una desripió adequada de la físia deu omplirlos. El fet de que la físia
no pertorbativa no espuga estudiaramb teoria de pertorbaions a QFT novol dir
que degaser desritaambaltresteoriesquenoomplisquen elsnostresprerequisits.
Pertant enestatesi noesonsideraranmodels peralshadrons talsom elmodelde
quarks onstituentsno relativista(per suposat noes preténfer una rítia
destru-tiva d'estos models, que en alguns asos donen resultats sorprenenment en aord
ambl'experiment).
Quina és dons la manera adequada per a estudiar la físia no pertorbativa?
En prinipi hom pot partir dels prinipis fonamentals abans esmentats i amb el
seu sol ús tratar d'obtindre la màxima informaió possible de l'objete que s'està
estudiant. Enaraqueestemètodeéselmésgeneralinoesomprometambninguna
teoria, sol ser molt po restritiu, de talmanera quedóna propietats molt generals
de l'objete sota estudi i requereix de molta informaió experimental adiionalper
a fer una prediió. Per tant esta idea no és gaire atrativa. Per un altra banda,
tenintenomptelareexióquefaWeinberg alseullibre[1℄,aenergiessuientment
pugaapliarlateoriadepertorbaionsestàndardalafísianopertorbativa,laQFT
segueix sent ladesripió adequada(i pot ser, l'úniapossible).
Elquehemdisutitalparàgrafanteriorsemblaun poontraditori. Tenimque
emprar QFT però no el mètod estàndard de QFT. Com podem dons fer àluls?
Ens alen els mètodes no pertorbatius de la QFT. La manera més direta de fer
açò és denint la QFT desde el formalisme d'integrals de amí, però és prou més
fàilde dirquede fer. Eneste formalismetots elsobservables esdeneixen apartir
d'integrals sobre totes les possibles onguraions dels amps de la teoria, pesades
perl'aiólàsiaexponeniada. Estesintegrals(integralsdeamí)sóninabordables
analítiamentipertanttansolsmètodesnumèrispodenalularles(estosmètodes
es oneixen om àlus en el retíle o lattie). Tot i així es requereixen ordinadors
molt potents, que empren grans quantitats de temps per a fer estos àluls. Les
aproximaions que es deuen fer per a aonseguir reduir el temps de omputaió
fan que els errors assoiats a estos àluls siguen grans. Este mètode és per tant,
insatisfatori(enaraquenousordinadorsméspotentsirenamentsen lestèniques
de àlul el fan més imés preís).
Hi ha dons alguna altra possibilitat a banda de lattie? Afortunadament la
resposta és sí. Enara que la teoriafonamentalsiga essenialment nopertorbativa,
quan restringim elnostreestudia unsetor determinatespoden trobarparàmetres
queromanen menuts en estesetor. Pertantpodemorganitzarelnostreàlul om
unaexpanxióenpotèniesreixentsd'estosparàmetresiestablirunajerarquiaentre
ells. Estaideaesmanifestaplenamentalesteoriesefetivesdeamps(EFT).Enun
règim(d'energies,perexemple)donat,notots elsgrausde llibertat(i.e.,partíules)
de la teoria neessiten ser onsiderats. Els modes pesats deuen ser integrats
fun-ionalment de l'aió i els seus efetes es manifestaran en les onstants de energies
baixes (LECs). Per tant, el primer pas per a afrontar l'estudi de la físia no
per-torbativa és trobar els graus de llibertat efetius adients. Esta eleió normalment
determina també quinés elparàmetre d'expansió.
Esta última possibilitat serà la que en la majoria dels asos emprarem per a
afrontarelsàlulsd'estatesi,enaraquequanalga,elsombinaremadequadament
amb prinipisaxiomàtisi altres tèniques.
La teoria de les interaions fortes
La CromodinàmiaCuàntia (QCD) es onsidera lateoria fonamental que governa
les interaions fortes. Hi ha un bon grapat d'evidènies teòriques i experimentals
quesuporten estaarmaió[2℄. QCDéslateoria gaugeSU(3)
C
,ésadiruna teoria
queromaninvariantsotatransformaionsloals delgrupSU(3)de olor. Esta
inva-riàniaimpliaqueelstransmisorsde lainteraiósónvuitgluons,bosonsde gauge
sense massa d'spin 1, que es transformen om la representaió adjunta del grup de
gauge. El aràter no abeliàdel grup SU(3) implia que elsgluons interatuen
material de lateoria són elsquarks (antiquarks), partíules d'spin 1
2
(fermions) que
estransformenomlarepresentaiófonamental(antifonamental)delgrupde gauge,
i pertantes manifestenentres olors diferents. Estos fermionssón en general
mas-sius. Mentre elontinguten bosons degaugede lateoriavexatpelgrupde gauge,
el ontingut material deu ser inferit de la fenomenologia (per exemple no hi ha
ap impediment teòri a inlourebosons d'spin zero transformantse om la
repre-sentaió fonamental,omtamposeriainonsistentinloureampstransformantse
om altres representaions irredutibles del grup de gauge). El nombre de quarks
en lateoria (nombre de famílies)tampove xat. Elmodelestàndard (SM) prediu
que deuen aparèixer sempre en doblets [3℄, i experimentalment s'han trobat tres
famílies:
u
d
;
s
;
t
b
: (1)
El fet que siguen preisament tres famílies és un fet que enara no ha trobat una
expliaió teòria satisfatòria. Nosaltres aeptarem que hi ha tres famílies i no
ens preouparem dels motius fonamentalsque impliquenuna (inexistent)teoria del
sabor. Segons la seua massa, els quarks es poden separar en lleugers (u; d i s) i
pesats (; b i t). L'esala que separa els dos setors es oneix om
QCD
1GeV i
es disutiràa ontinuaió.
Conentremnos en elsetorlleuger de QCD. Eneste setorés unabona
aprox-imaió suposar que la massa dels quarks és zero. D'esta manera la teoria tan sols
depén d'un paràmetre, la onstant d'aoblament
s
. Enara podem dir més: no
hi ha en el Lagrangià de QCD ap paràmetre amb dimensions de massa. Per tant
no tenim ninguna esala per a distingir energies altes de baixes (la teoria és per
tantlàssiamentonforme). Claramentlafenomenologiadistingeixenergies baixes
(físia hadrònia) d'altes (físia de jets). La soluió d'este trenalosques la tenen
els efetes quàntis. El aràter noabeliàdelgrup de gauge SU(3) noes manifesta
tan sols en les partiules transmisores de la interaió. És també responsable dels
fenòmensde llibertatassimptòtiaionnament. Correionsquàntiques fanquela
onstant d'aoblament no siga onstant en el sentit estrite, sino més bé que
de-penga de l'esala d'energia. Açò soluiona els problemes anteriors: la dependènia
en energiad'
s
genera unaesala d'energia,
QCD
(este fenòmenva serbatejat om
transmutaió dimensional) que a més trena la simetria onforme que apareixia a
nivell làssi (a nivell del Lagrangià); el aràter no abelià fa que
s
siga menuda
per a energies altes (llibertat assimptòtia)i gran per a baixes (onnament). Per
tant aenergies menorsque
QCD
la interaióes fa tan intensa quequarks igluons
nopoden existiromapartíuleslliuresiesveuenonnats en hadrons,partíules
que sempre estransformenom larepresentaiótrivialde SU(3)(ésa dir, notenen
olor). Estos sónelsgrausde llibertatassimptòtisque sónobservats
experimental-ment a energies baixes i són els quetratarem en esta tesi.
Unaonsequèniadelagrandàriad'
s
aenergiesbaixesésquenopodememprar
pertorba-alularfenòmens relaionats ambles interaions fortes.
Teories efetives: teoria de pertorbaions quiral
Trets fonamentals de les teories efetives
Seria orrete armarque leslleisde Newton son inorretes? Sabemque notenen
en omptenilarelativitatespeial nilafísiaquàntia. Ilesequaionsde Maxwell?
Ignoren els efetes quàntis de la natura. I l'equaió d'Shrödinger? Enara que
és una teoria quàntia onsidera que la veloitat de la llum és innita. Inlús la
teoria de la relativitat general, el gran llegat d'Einstein seria una teoria errònia al
noonsiderar efetes quàntis, sisom tant restritius en els nostresriteris. De fet,
seguint amb el mateix riteri, seria molt atrevit dir que laQFT és orreta, ja que
ningúenspotassegurarquenohihaunaltrateoriamésfonamentalqueesmanifesta
plenamenta energies més altes.
En esta tesi, per desomptat, no adoptarem este punt de vista tan
intransi-gent. La meània làssia newtoniana és vàlida si onsiderem = 1 i ~ = 0,
l'eletrodinàmia làssia i la relativitat assumeixen ~ = 0 i la meània quàntia
onsidera = 1. Per tant onsiderarem estes aproximaions om teories
efe-tives [4,5℄ d'una teoriamés fonamental,més que onsiderarlesinorretes. De fet,
en elsrègimsen elsqueestesteoriessón vàlidesonstitueixenlameneramés eient
de alularqualsevol proés físi. Al ap i a la no hiha que oblidar que la físia
és una desripió de la natura (ens diu om oorren les oses més que dir perquè
oorren). Per tant el terme efetiu no deu ser despreiatiu, sino més bé deu fer
referènia ala onvenièniadel àlul.
Inlúsenunesenaridonat,enelqueoptemperunad'estesteories,podem
desit-jarassolir un nivellde preissiótalqueelsefetes quantis (orelativistes)nopoden
ser ignorats. Per tant hom pot, en llo de alular en la teoria fonamental
(gen-eralmentmoltmés ompliada)onsiderarorreionspetitesdegudesa estateoria.
Per tant estes orreions es manifestaran om potènies reixents de ~ (o 1=) de
manera que podem trunar la sèrie segons la preissió desitjada. Esta és l'essènia
i un dels trets més fonamentalsde les teories efetives: la possibilitat d'inorporar
de manera organitzada orreions per a millorar la pressiió dels àluls. De fet,
lateoria de pertorbaionsen laonstant d'aoblament espotveure om una teoria
efetiva on els efetes relativistes són exates i els efetes quàntis apareixen om
una sèrie de potènies en ~.
Enelmard'unaQFT,lesteoriesefetivess'obtenenintegrantfunionalmentels
amps pesats de l'aió. Si estem estudiant proesos a energies E integrarem
els graus de llibertat ambmassa M . Elsàluls s'organitzaran om potènies
reixents d'energiasobre l'esala. Elsaoblamentsdels operadorsalateoria
efe-tivas'obtenenpertorbativamentde lateoria mésfonamental. Esteproedimentque
apriori potpareixersenzill,esompliaen elsasosde teoriesfortamentaoblades,
per arguments generals om simetria: la teoria efetiva ha de tindre les mateixes
simetriesquelateoriafonamental,ielsaoblamentsdeloperadorsnopodenxarse.
La simetria quiral
Restringintnos al setor lleuger de QCD, podem onsiderar quarks sense massa,
m
u = m
d = m
s
= 0. En este límit, el Lagrangià de QCD té una simetria (global)
aidental de sabor que involura tan sols els amps de quark. El Lagrangià és
invariant sota el grup quiral G = SU(3)
L
SU(3)
R
, que transforma de manera
independent els amps de quark dretans q
R
i esquerrans q
L
(estos amps de Weyl
són en realitat els amps fermiònis fonamentals, que pertanyen a representaions
irredutibles delgrup de Poinaré).
Esta simetria deuria tindre un efete sobre l'espetre de la teoria, lassiant
les partíulesen multipletsambaproximadamentla mateixamassaorresponents a
representaions irredutibles de G. En partiular açò impliariaque els multiplets
deurien apareixer per parells amb igual massa i paritat oposada. En la natura
sí trobem multiplets aproximadament degenerats en massa, però els multiplets de
paritat oposada tenen massesprou diferents. Açòfa pensar queel buit de QCD no
és invariantsota G, fenòmen onegut om trenament espontani de la simetria. El
fet de quesí es troben multiplets orresponents algrup H =SU(3)
V
india que la
simetria noestà totalment trenada: elbuit és invariantsota este subgrup H G.
Este fenòmenimplial'apariióenlateoriadevuitpartíulessensemassaonegudes
om els bosons de Goldstone, ; K i [6℄, una per ada generador que no deixa el
buit invariant (orresponent als vuit generadors axials). Enara que realment els
quarks tenen massa, esta és prou menuda i pot onsiderarse una perturbaió del
as sense masses. Açò fa que els bosons de Goldstone adquirisquen una massa (la
simetria quiralestà explíitamenttrenada perlesmassesdels quarks), queésmolt
menor que lade laresta dels hadrons de l'espetre.
A energies suientment baixes, els bosons de Goldstone són els únis graus
de llibertat dinàmis i per tant podem onstruir una teoria efetiva que tinga les
mateixes simetries que QCD (simetria quiral espontàniament trenada, paritat i
onjugaió de àrrega) tan sols amb estes partíules. El formalisme general per
a parametritzar els amps desribint els bosons de Goldstone va ser desenvolupat
per Callan, Coleman Wess i Zumino [7℄. Com que les masses dels Goldstones són
menudes i les energies baixes, organitzarem el àlul en potènies reixents de
mo-ments i masses sobre
QCD
. Açò es tradueix en una organitzaió del Lagrangià
efetiu en termes reixents de derivades i masses, on en prinipi hi ha un nombre
innitde termesmultipliatsperonstantsdesonegudes. Estateoriaesoneixom
Teoria de Pertorbaions Quiral (PT) i vaser desenvolupada en lesRefs. [8,9℄.
Undelstrets araterístisdelesteoriesefetivesésquenosónrenormalitzables
en el sentit làssi. Calen un nombre innit de termes per a poder absorbir les
divergènies generades pels loops. Com que d'entrada tenim un nombre innit
Expansió en 1=N
C
: Resonànies i barions
Teoria quiral de resonànies
Si volem extendre el rang d'energies de PT per damunt de la ressonània més
lleugera(elmesò,d'spin1),neessiteminloureexplíitamentampsdinàmisque
reen esta i altres resonànies. En prinipi açò es pot fer de manera relativament
fàil, però perdem una de les propietats més importants de PT: l'existènia d'un
paràmetremenutperaorganitzarelnostreàlul. Eneste rangd'energiesE=
QCD
no és menut, i en prinipi no tenim un riteri lar per a onsider un operador
subdominantrespetred'unaltrepelfetdetindremésderivades. Totselsoperadors
són igualmentimportants. Açòésundesastre desde elpuntde vistafenomenològi,
ja que nohi hamanerade tindrela més mínimaapaitat preditiva.
Part de la soluió la trobem a l'expansió de QCD en 1=N
C
, on N
C
representa
el nombre de olors. 't Hooft [10℄ va suggerir que la teoria gauge SU(N
C ) amb
N
C
tendint a innit presentaria simpliaions notables i al mateix temps podria
desriure la fenomenologia de QCD amb tres sabors. En general hom pot estudiar
este límit om una expansió en termes de 1=N
C
on el primer terme representa el
límitN
C
!1. Entre altres oses, en este límitels loops d'hadrons estansuprimits
i poden en primeraaproximaió ser ignorats. Altres onsequènies son [11℄:
1. Hihaun nombreinnitde resonànies peradaonjuntde nombresquàntis.
Estes resonànies són estables i nointeratuen entre elles.
2. Els vertex d'interaió dels estats hadrònis estan suprimits om 1= p
N
C per
ada estat adiional.
3. Al'ordredominantladinàmiahadròniaesdesriumitjançantunLagrangià
efetiu amb hadrons om a graus de llibertat atius, on només ontribuions
anivellarbre deuen ser onsiderades.
4. Laanòmalia axialdessapareix i QCD ésinvariant sota U(3)
L
U(3)
R .
5. Espotdemostrar queen estelímitlasimetriaquiralestrenaespontàniament
[12℄.
6. Elsmesons són estats purs qq.
Pertant,tenimun riterid'ordenaiódelsoperadorsenelLagrangiàefetiuperales
resonànies. Termesambmés traesde saboriàlulsa un loopsónsubdominants.
Enara tenim, però, un problema: no tenim ap riteri per a ordenar termes amb
diferent nombre de derivades. Per a resoldreeste problema tenim que imposar que
lanostrateoriaambresonànies, queen prinipidesriulafísiaen qualsevolrègim
energèti, empalme bé amb QCD a energies altes. Funions de Green, fators de
de la mateixa manera. Este proediment es oneix om empalmament amb urtes
distànies. D'esta manera termes amb moltes derivades produiran ontribuions
que no tendeixen a zero en el límit de grans moments, i per tant el orresponent
oeient deu ser zero.
En la majoria de les oasions, tratar amb un nombre innit de resonànies
és massa ambiiós, i s'opta per onsiderar tan sols un nombre de resonànies
su-ientperasatisfertots elslligamsques'estanestudiant. Esteproedimentesoneix
omMinimalHadroniAnsatz (MHA).Enestatesionsideraremlatorresenerade
resonàniesenalgunsasospartiulars. Unavoltaquehemexigitqueelsparàmetres
hadrònissatisfaenQCD,podemintegrarfunionalmentlesresonàniespera
obtin-dre una prediió pera les LECs del Lagrangiàde PT. Esta prediió s'anomena
persaturaió ambresonànies, proedimentque va ser apliatperprimeravoltaen
Ref. [13℄.
Barions en l'expansió 1/N
C
Podem aprotar l'expansió de QCDen 1=N
C
peraprendre físiabariònia? La
res-posta és armativa. L'estudi onjunt de les regles de ontatge en N
C
de QCD i
el proés de dispersió pionuleó a energies baixes permet trobar relaions de
on-sistèniaquedeuensersatisfetespelsoperadorsd'spinsaboren elsetorbariònide
QCD. Com aresultatestroba queenellímitdeN
C
!1elsbarionsdeuensatisfer
una algebra SU(2n
f )
ontreta. n
f
fa referènia al nombre de sabors lleugers i el
2 denota l'spin. El paràmetre que ontrau l'algebra éspreisament 1=N
C
. L'estudi
de les relaions de onsistènia és pot fer emprant una representaió explíita de
l'algebra ontreta. La base òptima per a este estudi és la donada pel modelquark
no relativista (enara que esta eleió no suposa ap hipòtesi del aràter
relati-vista dels quarks que formen el barió). Este estudi ens permet expresar propietats
estàtiques de barions (tals om masses, fators de forma, moments magnètis :::
) om una expansió en operadors de l'algebra d'spinsabor, ordenats en potènies
reixents de 1=N
C
. I el que és més interesant, podem estudiar el trenament de
simetria SU(3) de sabor de manera onjunta a les orreions en 1=N
C
, ja que els
dos efetes són aproximadamentdel mateix ordre[12℄.
Funions de Green
Com ja hem omentat, a energies baixes iintermèdiesels grausde llibertatefetius
no són quarks i gluons, sino més bé hadrons. Per tant un àlul on els estats
assimptòtis són quarks, enara que siga a energies baixes, no té gaire trellat. El
àlulenprinipiéspotfer(siestrobenelsmètodesneessaris),perònoensajudarà
a tindreuna milloromprensióde la físiahadròniaa energies baixes. Enl'esperit
delafórmuladereduióLSZ,podemalularelvaloresperatenelbuitdelprodute
el produte de dos amps en el mateix punt de l'espaitemps. determina els
nombresquàntisd'spin,paritationjugaióde àrrega,iomelorrentJ oneta
una determinada ressonània amb elbuit, pot fer de amp interpolador per a esta.
El métode més eient per a alular funions de Green es oneix om el métode
dels orrents externs.
Una manerad'obtindre informaiódelmón hadròni ésfer un estudi de les
fun-ions de Green en diferentsrègims energètis i exigirque empalmensuaument. Per
aenergies baixes iintermèdies jahem disutitomafrontarestosàluls, però, om
proedir a energies altes? Hom podria pensar que a energies altes, on la onstant
d'aoblament és prou menuda, un àlul pertorbatiu proporionaun resultat
satis-fatori,peròaçò noésert. Lesontribuionsnopertorbativestambéesmanifesten
a energies altes i a més d'una forma que no pot ser mai simulada per la part
per-torbativa. Per exemple, per a una família de funions de Green oneguda om a
paràmetres d'ordredel trenament espontani de la simetriaquiral,el àlul
pertor-batiuészero enellímitquiral(massadels quarksnulla)atots elsordres d'
s ,però
açò no pot ser tota la veritat. Són preisament els efetes no pertorbatius els que
fan queestes funionsde Green nosiguen idéntiamentnulles.
Elmétode empratperaestudiarlesorreionsnopertorbativesatransferènia
de moment alta es basa en l'expansió en produte d'operadors (OPE) [15℄. Esta
expansió permet esriureel produte de dos (o més) operadors situats en diferents
punts de l'espaitemps x i y, om una sèrie d'operadors loals denits a el punt de
l'espaitempsxmultipliatsperoeients(anomenats de Wilson)quedepenende
la diferènia x y. El primer operador de l'expansió és laidentitat, que orrespon
al resultat pertorbatiu. Normalment hom trata les funions de Green a l'espai de
moments,demaneraquel'OPEestransformaenunaexpanssióenpotèniesinverses
del moment. En prendre el valor d'expetaió en el buit dels operadors, en teories
pertorbatives tan sols l'operador identitat dóna una ontribuió no nulla. La idea
de lesregles de suma [16℄ va ser onsiderar queel buitde QCDés essenialmentno
pertorbatiu i per tant el valord'expetaió en el buit d'operadors nordenats noés
zero. Estos elements de matriu s'anomenen ondensats de buit i parametritzen el
nostre desoneixement dels meanismes nopertorbatius.
Així dons ja tenim les ferramentes adequades per a alular les funions de
Greenen lesdiferents regionsenergètiques. Després d'exigirun empalmamentsuau
alesregionsintermèdies podremobtindre moltainformaiórellevantdelmeanisme
d'hadronitzaió.
Relaions de dispersió
Tal i om hem esmentat prèviament, la desripió teòria adequada per als
fenò-mens no pertorbatius és la QFT. No obstant això, en moltes oasions els prinipis
axiomàtis de la físia de partíules poden omplementar la desripió en termes
tomàtiament inlosa en la QFT? Laresposta és senzilla: en la majoria dels asos
tan solssabemalularen teories de amps mitjançantuna expansió (no
neessàri-amenten laonstantd'aoblament),de talmaneraque elsprinipisaxiomàtistan
sols es ompleixende manera pertorbativa. Els prinipis axiomàtisens
proporio-nen propietats quedeuenomplir(perexemple)lesamplitutsde dispersióatots els
ordres i en tots el règims energètis: són essenialment resultats no pertorbatius.
Certamentaquestainformaióésmassasuulentaperadeixar de onsiderarla. En
esta tesi emprarem elssegüents prinipis:
1. Simetria Poinaré. Este és el requeriment més bàsi. En primer llo implia
que en tots elsproessos energiai moment(és a dir, tetramoment)són
mag-nituds onservades. Ensegonlloonsideremlasimetriade Lorentz(subgrup
del grup de Poinaré). Tal i om deia Einstein, les equaions que governen
la físia s'esriuen de la mateixa manera en qualsevol sistema de referènia
inerial. Açò estradueix en que l'amplitutde dispersió tan solspot dependre
de quantitats invariantsLorentz(és a dir, produtesesalars).
2. Unitarietat. És elprinipimés intuïtiu, ibàsiamentens diu quede la
proba-bilitat de quede laollisió de dos (omés)partíules es produïsa algunestat
nal és del 100%; i a l'inrevés, que donat un estat nal, hi hauna
probabili-tat màxima de que es puga produir de la ollisió d'algunes partíules. Estos
requeriments estradueixen en que lamatriu de dispersió és unitària:
SS y
= S y
S = 11; (2)
3. Simetria de reuament. Este prinipirelaionales amplitutsde dispersió dels
proessos obtesos interanviant partíules de l'estat iniiali nal (onvertint
les en antipartíules). Elsproessos així obtesoss'anomenen anals reuats.
4. Analitiitat. Este prinipiés el menys intuïtiu, però és molt i molt útil.
Do-nada una amplitut de dispersió per a un proés de dos partíules anant a
dos partíules podem extraure les diferents ones parials. Mentre l'amplitud
de dispersió depén de l'energia i angles, les ones parials tan sols depenen
de l'energia (normalment emprarem l'energia total en el entre de masses, o
equivalentmentl'invariantrelativistas). Suposantque sés una variable
om-plexa, les ones parials passen a ser funions denides en el pla omplex C.
Analitiitatimposa que adasuna de lesones parialsés una funió analítia
de s exepteperun tallal'eixreal positiu,neessari perasatisferunitarietat.
Com que una amplitud parial en el anal s onté a totes les ones parials
dels anals tiu, laondiiód'analitiitates pottraduiren unaondiiópera
l'amplitutde dispersió om afunió de s i t.
Objetius de la tesi
Totes estes tèniques tenenom a primerobjetiu una major omprensiódels
fenò-mensnopertorbatiusengeneralidel'hadronitzaióenpartiular. Unsegonobjetiu
ésobtindre valuosainformaióde la dinàmiadelsabor. Enaraqueen QCDel
sa-bor és sempre onservat, les interaions eletrofebles en general violen el sabor (i
també simetriesdisretes tals om P, C i CP)[3℄. Enara que el model estàndard
s'esrigaen termesde quarks(ipersuposat tambéleptons), elsproesosfísis
oor-ren entre hadrons. Normalment les interaions febles desriuen la dessintegraió
d'un quark(per exemples) en un altre quark(u)i un parell de leptons,mitjançant
orrents vetorialsi vetoraxials. Com ja hem disutit, elsestats assimptòtis son
hadrons, i per tant hem de alular elements de matriu hadrònis de orrents de
quarks. El mètode dels orrentsexterns apliata lesteoriesefetivesésidoni peral
seu àlul. Éspertantessenialontrolarelfenòmendel'hadronitzaióperapoder
entendre orretamentles interaions eletrofebles.
Al Capítol 1 es fa una introduió a la PT i en partiular es disutiràom
in-loureorrentsifontstensorialsen QCDien teoriesefetives. Estos orrents,amés
de odiarinformaióimportantperaentendrel'estruturabarióniaila
dessinte-graióde mesons pesats ambbellesa,apareixende maneranaturalen esenaris més
enllàdelSM.Enpartiular esonstruiràlabased'operadorsd'ordres O(p 4
)iO(p 6
),
disutint els meanismes que fan que siga mínima i no redundant. Al Capítol 2
s'introduirà l'expansió en 1=N
C
de QCD i om dóna llo a la teoria de resonànies
quiral (RT). En partiular s'introduiran les fonts tensorialsi les resonànies amb
nombres quàntis J PC
=1 +
. També s'esriurà la base d'operadors en elsetor de
paritatintrínseanegativa. AlCapítol3s'apliaranlestèniquesde1=N
C
en el
se-torbariòni. Estrobaranlesrelaionsdeonsistèniailesidentitatsentreoperadors
de l'algebra d'spinsabor. Com a apliaió alularem els fators de forma
veto-rial ivetoraxial tenint en ompte el trenament de simetriaSU(3). Al Capítol 4
introduirem les funions de Green i derivarem les diferents identitats de Ward. Es
disutiràl'OPEiesalularan lesfunionsde Greenrellevantsperala
fenomenolo-giaen els diferents règimsenergètis. Al Capítol5 empraremels resultatsanteriors
peradues apliaions fenomenòlogiques: ladesintegraió radiativadelpioarregat
i la determinaió del paràmetre V
us
en desintegraions semileptòniques d'hiperons.
Finalment,alCapítol6esdisutiran àmpliamentlesapliaions delsprinipis
axio-màtis de la físia de partíules. Fent una anàlisi ombinada amb teories efetives
obtindrem, per una banda, otes per a les LECs de PT, i per un altra obtindrem
ladesripióòptima de laproduió de mesons mitjançant fotons sota el llindarde
Chiral Perturbation Theory
1.1 Introdution to eetive eld theories
Although theultimategoalof physisisadesriptionofnatureinterms ofa
funda-mentaltheory(letussay,thetheoryofeverything),thisdoesnotmeanthatinorder
togetapreditionforagiven phenomenonweneessarilyneedtoknowthattheory.
Even if that theory were known (whihis very unlikelyto happen), itwould not be
sensible to employ it for desribing any proess that one may imagine. Moreover,
the knowledgeofthis ultimatetheorydoesnotneessarilyinvalidateless
fundamen-tal theories (however, a model an indeed be invalidated by a more fundamental
theory). This less fundamentaltheory must be regarded asavalidtheory that only
applies under ertainonditions.
Letus illustratethis with anexample. If weare interested in the desription of
the translational movement of the Earth aroundthe Sun, it is of littlesense to use
quantummehanis. Forinstane theradialexitationquantumnumberwouldhave
avaluen 310 68
,learlypointingoutthatthesystem isutterlylassi(although
in prinipleit is not forbiddenat all,it seems more sensibleto use the Shrödinger
equation for desribing the hydrogen atom, where the radialexitation number lies
between one and ten). It seems more reasonable then to assume } = 0 and use
lassial mehanis. It is also an exellent approximation to use the Newtonian
desription (assuming then = 1) for the gravitational fore and use Newton's
laws (this will give us a desription whih is valid within a 5% auray). But if
we want to beat that preision we need to inlude relativisti orretions due to
the niteness of the speed of light and the urvature of the spaetime. Sine this
problem possesses spherial symmetry the exat analyti solution an be obtained
easily,butingeneralthis isnotthe ase. Forthosemore ompliatedases, onean
employnumerialmethodsandobtaintheexat solution,butthelakofananalyti
struture willtranslateintolessinsightintothephysialsituation. Iftheorretions
are expetedtobesmall,asitisthe aseforourexample,thereisanotherapproah
whihyieldstoanalytisolutions. Weanidentifyasmallquantitythat anqualify
under study). Then the rst term in the expansion would orrespond to = 1
( = 0) representing the Newtonian desription, and the rest of the terms would
orrespond to the relativisti orretions. The more aurate we want our result
to be, the more terms in the expansion we need to inlude. And what it is more
important, the magnitude of the orretions dereases with the number of powers
(so orretions are under ontrol). Other usual expansion parameters are ~,
em ,
m
e =m
p :::
From the example disussed above we learn that the appropriate hoie of the
theoryisessential. IntheaseofQuantumFieldTheory,though,itisompulsoryto
makethe optimumhoieof the degrees offreedom. This issobeause anypartile
existinginthespetrumofnature,nomatterhowheavyitis,entersouralulations
as virtual exitations from the vauum. Sine it is impossible to know the whole
spetrum of partiles (let alone the details of their interations with the partiles
weare interested in)we needasmartway oftaklingthis problem. Theonepts of
symmetryandEetiveFieldTheoryarethekeytosolveitandonstitutethe main
tooltostudythephysisatenergies muhsmallerthanatypialsale. Usingamore
tehniallanguage,ifweareinterestedinanenergysaleE weshouldintegrate
out of the ation those degrees of freedom heavier than (typially partiles with
mass higher than ). Those loal operators remaining after the integration (in
generalaninnitenumberofthem)willhavethesamesymmetriesastheunderlying
more fundamentaltheory and the eets of the degrees of freedom that have been
integratedoutwillbeenodedintheouplings. TheApplequistCarazonnetheorem
istherigorousformulationofthisresult[17℄. Fortheaseswherethetheoryisknown
and it is weakly oupled, this integration an be performed analytially. In those
ases where the fundamental theory is not known, or where the theory is strongly
oupled,symmetrywillbetheonlyguidaneforbuildingtheEetiveFieldTheory.
As a last remark, Eetive Field Theories are not renormalizable in the usual,
strit sense, beause they have operators with dimension higher than four. This is
not however adrawbak, as fromthevery beginningweare dealingwith aninnite
number of operators. For the ase of theories built only from symmetry priniples
the oeients aompanying eah operator are a priory unknown, in suh a way
that if we want to inrease the preision of the alulations we will fae more and
more unknown parameters.
The theoretial issues disussed inthis haptersare niely explainedin Refs.[4,
5,18,19℄.
1.2 The QCD Lagrangian and its symmetries
Nowadays Quantum Chromodynamis(QCD for short)isregarded asthe theory of
the strong interations. It isthe gaugetheory assoiatedto the Lie group SU(N
C )
where N
C
stands for the numberof olours. The olourdegree of freedom was rst
introdued to aount for the apparent violation of the Pauli priniple in hadroni
number assoiated to a global symmetry (it restrits the form of the interation).
The gauge priniple assumes that this symmetry is loal and this loal invariane
ditates the form of the interation. Gauge symmetry is a suessful method to
generate interationsbetweenmattereldsarriedbygaugebosons (masslessinthe
ase ofunbrokensymmetry)ensuringitsrenormalizability. Furthermore,inthease
of nonAbelian theoriesthefull lotof proessesisgoverned byasingle ouplingper
eah gauge group, for instane
s
in the ase of the strong interations. There are
plenty of argumentspointing out that the number of oloursis indeedthree [2℄.
One the symmetry group and matter ontent is speied, the Lagrangian is
unique. InourasethebuildingbloksareN
f
(numberofavours)massivespin1=2
partiles alled quarks. We will use a rather ompat notation and use a single
symbol q to denote an N
f
omponent vetor olumn, eah omponent having N
C
dierent olours. The QCD Lagrangian then reads:
L
QCD
= q(iD= M)q 1
4 G
a
G
a + L
FP + L
GF ;
D
=
ig
s G
a
a
2 ;
G a
=
G
a
G
a
+ g
s f
ab
G b
G
;
s
g 2
s
4
; a
s
s
; (1.1)
where G a
are the N 2
C
1 spinone massless gluon elds, g
s
is the strong oupling
onstant,f ab
are thestrutureonstantsoftheSU(N
C
)groupand a
areits
gener-ators. L
FP
standsforthe FaddeevPopovterm andL
GF
forthe GaugeFixingterm,
both requiredfor aorretquantizationof the theory. Two niefeatures of this
La-grangianare thatamass termforthe gluonsisforbiddenandthat theirouplingto
the fermionsdoes not depend onthe partiular avour. M=diag fm
u ;m
d ;m
s :::g
stands for the mass matrix, whih without loss of generality an be hosen to be
diagonal. Unfortunatelysymmetry does not onstrain the value of the masses.
In order to disuss the (aidental) global symmetries of (1.1) we will restrit
ourselvestothesoalledlightsetorofQCDwithn
f
lightavours. Itomprisesthe
u,d ands(light)quarkswhosemassismuhlighterthanthe soalledheavy quarks
(, b andt),whihwillnot bedisussedinthis thesis. Itisnot abadapproximation
to onsider their mass equalto zero (the soalled hiral limit), being (1.1) redued
to
L 0
QCD = iq
L D=q
L + iq
R D=q
R 1
4 G
a
G
a + L
FP + L
GF
; (1.2)
where q
L and q
R
orrespond tothe left and righthanded quark elds dened as 1
q
L;R = P
L;R
q; P
L;R =
1
2
(1
5
): (1.3)
1
Inouronventions
5 =i
0
1
2
3
and
= i
[
;
Sine the left and righthanded quarks do not mix among eah other, (1.2) is
invariant under independent phase redenitionsand rotations for eah set of hiral
elds, what an be expressed in group theoretial languageas aninvariane under
the ation of the group U
V
(1) U
A
(1)SU(n
f ) L SU(n f ) R
. Quantum eets
(anomalies) break the U(1)
A
transformations and the U(1)
V
symmetry is trivially
realized as the baryoni number. The remaining transformations belong to the so
alled hiral group G=SU(n
f ) L SU(n f ) R
whoseelementsan bewritten as
g = g L 0 0 g R = exp i a L T a L 0 0 i a R T a R (g L ; g R
) = [exp(i a
L T
a
L
);exp(i a
R T
a
R
)℄ ; (1.4)
being T a L;R = a 2
the generators of the subgroups SU(3)
L;R
. Its ation on the quark
elds is
q
L;R
(x)!g
L;R q
L;R
(x): (1.5)
The hiral group has two obvious invariant subgroups SU(3)
L
and SU(3)
R
whose
elements are of the type (g
L
;11) and (11;g
R
), respetively. There is another non
invariant but interesting subgroup, H = SU(3)
V
, whose elements are dened as
(g
V ;g
V
) or equivalently a
L =
a
R
. We an dene the set of axial transformations
dened as =(g
A ;g y A ) or a L = a R
that do not form a subgroup of G. One an
take the quotient G=H but sineH isnot invariantthe result has not thestruture
of agroup. Thereis, however, a onetoone orrespondene between theelements of
the quotient spae and the elements of either SU(3)
L
, SU(3)
R
or . This freedom
willbeexploitedtondthebuildingbloksofChiralPerturbationTheory(PT for
short). The 2(n 2
f
1)assoiatedNoetherurrents, L a
and R a
are onserved and
the orresponding harges Q a X = R d 3 ~ xX a 0
are timeindependent. They satisfy the
group algebraof a diretprodut spae:
Q a X ;Q b Y
= iÆ
XY f ab Q X : (1.6)
Forfuturepurposes itisbettertouse linearombinationsofthem, alledtheotets
ofvetorand axialvetorurrents,assoiatedtothesets ofvetorand axialvetor
transformations:
V a
(x) = R a + L a = q(x) a 2
q(x); A a
(x) = R a L a = q(x) a 2 5 q(x); (1.7)
their assoiatedharges satisfyingthe group algebrastruture
Q a V(A) ;Q b V(A)
= if ab Q V ; Q a A ;Q b V
= if ab
Q
A
; (1.8)
transforming under parity as
PQ a P 1 = Q a
; PQ
Of ourse they ommute with the Hamiltonian of massless QCD [Q a
V ;H
0
QCD ℄ =
[Q a
A ;H
0
QCD
℄=0. Theeletromagnetiurrentandtheeletrihargeanbewritten
as linear ombinationsof the otet of vetor urrents and harges:
J
em = V
3 +
1
p
3 V
8 V
3+ 8
p
3
; Q
em =Q
3 +
1
p
3 Q
8
Q
3+ 8
p
3
: (1.10)
The vetor and axialvetor urrents that mediate the weak deay of hadrons are
also linear ombinationsof the otet of urrents:
V 1 i2
; A 1 i2
; u!d ;
V 4+i5
; A 4+i5
; s!u : (1.11)
Wewillintroduenowfor futureuse the rest ofthe QCDotets ofurrents: salar,
pseudosalar and tensor urrents
S a
(x) = q(x) a
q(x); P a
(x) = iq(x) a
5 q(x);
T a
(x) = q(x)
a
2
q(x); (1.12)
and the singlet urrents
V
(x) = q(x)
q(x); A
(x) = q(x)
5 q(x);
S(x) = q(x) q(x); P(x) = iq(x)
5 q(x);
T
(x) = q(x)
q(x): (1.13)
These omprise all independent soures beause we have used a omplete basis of
the Dira Algebra. We remind the reader that there is no pseudotensor urrent
beauseof the identity 2
:
5 =
i
2 "
: (1.14)
Of ourseonean handlewithotetsand singletsofurrentswithinasingle
expres-sion allowing a to take the value 0and dening 0
= p
2=n
f 11
33
. It will turn out
useful todene the left and righthanded salar and tensorurrents
S a
L =
1
2 (S
a
+iP a
) ; T a
L
= P
L T
a
;
S a
R =
1
2 (S
a
iP a
); T a
R
= P
R T
a
; (1.15)
whereP
L;R
aredenedlaterinEq.(1.24). Itisinterestingtoknowthederivativesof
the vetor and axialvetor urrents whenthe hiral symmetryis expliitlybroken.
Using the identities
(q
j
q
i
) = i(m
j m
i )q
j q
i
;
(q
j
5 q
i
) = (m
j +m
i )q
j i
5 q
i
; (1.16)
inferred fromthe equationsof motion weget:
V a
(x) = iq(x)
M;
a
2
q(x);
V
(x) = 0;
A a
(x) = iq(x)
M;
a
2
5 q(x);
A
(x) = 2iq(x) M
5
q(x) + n
f g
2
s
32 2
"
G
a (x)G
a
(x); (1.17)
where the gluon term in the last divergene omes from the axial anomaly. Note
thatinthespeialaseofM = m11
n
f n
f
[thatis,havingexatSU(n
f
)symmetry℄
the otetvetor urrent is stillonserved and
A a
(x) = 2mP a
(x);
A
(x) = 2mP(x) + n
f g
2
s
32 2
"
G
a (x)G
a
(x): (1.18)
1.3 The running of
s
: nonperturbative regime
and onnement
In the hiral limitthe QCD Lagrangian (1.2) has noenergy sale. Naïvely one an
think then that there is no possible distintion between long and short distanes,
sinethere isnomass saletoompare with. This isinlear ontradition withthe
phenomenology, whih shows that at energies below one GeV QCD is a onning
theory and at high energies the quarks and gluons are almost free (this is the
el-ebrated asymptoti freedom of QCD [20,21℄). The quantum behaviour of QCD is
generating anenergy sale, usually denoted by
QCD .
To geta rmergriponthat idealetushavealookatthe renormalizationgroup
equation of QCDat the onelooplevel:
d
s
d
=
QCD (
s ) =
(1)
QCD
s
2
+ O( 3
s );
(1)
QCD =
11
6 N
C n
f
3
: (1.19)
This equation is only valid in perturbation theory, that is, as we shall see, at high
energies. Forthe physial values of n
f
and N
C
QCD
>0,what pointsout that the
strengthoftheinterationinreasesatlowenergiesanddereasesathighenergies(a
distintivefeatureofnonAbeliantheories). Thesolutionof(1:19)iswidelyknown:
s () =
s (
0 )
1+
(1)
QCD
s (
0 ) log
0
(1)
QCD log
QCD
; (1.20)
where a new sale
QCD
0 exp
h
QCD
S (0)
i
of the tensor soure 25
between long and short distanes. At the sale = M
Z
= 91:12GeV the strong
oupling onstant has a value of
s (M
Z
) = 0:119 small enough for perturbation
theory to work. Applying the fourloop running equation and taking into aount
themathingfatorswhenquarkthresholdsarerossed,atatypiallowenergysale
m
p
1GeV one gets
s
(1GeV )=0:5. Then at low energies the ouplingonstant
is so big that the theory beomes nonperturbative and onning. Of ourse in
suh regime Eq. (1.19) no longer applies, but we an extrapolate its behaviour to
onlude thatthetheorybeomesstronglyoupled. Beingnonperturbativeimplies
that the mathematial expression of the observables does not admit an expansion
as a power series in the oupling onstant. Connement means that the degrees of
freedom are not quark and gluonsany more, but rather hadrons.
Figure1.1: Running of the QCD strongoupling onstant
s .
1.4 QCD in the presene of external soures :
trans-formation properties of the tensor soure
As explained in this hapter, the asymptoti states of QCD are not quarks and
gluons,buthadrons. Thenitisoflittleusetoalulatematrixelementswithquarks
This objets are usually alled Green funtions and their disussion is relegated to
Chapter 4.
Thereisapowerfulmethodforomputing matrixelementsofoperatorsmade of
quark elds inthe same spaetime point alled the external eld method [22℄. At
thesame timethismethodensures thatthehiralWard identities areautomatially
satisedforany Green funtion(the onept ofWard identities willbeexplainedin
detailinChapter4). Theidea istoextendthe masslessQCDLagrangian(1.2) with
external soures oupledtothe dierent quarkbilinears:
L
QCD
= L 0
QCD + L
ext ;
L
ext
= q
(v
+
5 a
)q q(s i
5
p)q+q
t
q
= q
R
r
q
R + q
L
`
q
L q
R
(s + ip)q
L q
L
(s ip)q
R +
q
L
t y
q
R + q
R
t
q
L
; (1.21)
where wehave dened r
v
+a
and `
v
a
. The vetor and axialvetor
external elds are hosen to be traeless in avour spae, but the rest of them will
in generalhavea nonvanishing trae; forinstane
t
= 8
X
a=0
a
2
t
a
; (1.22)
The salar urrent has been introdued with a minus sign for latter onveniene
(it has the same sign as the mass term). It is well known that an antisymmetri
tensor
t
doesnotorrespondtoanirreduiblerepresentationoftheLorentzgroup,
moreover, it is ompletely reduible. So it an be deomposed into two irreduible
representations using the identity [23℄
t
= P
L t
+ P
R t
y
; t
= P
L
t
; (1.23)
where P
L;R
are the analogs of P
L;R
in Eq. (1.3) forthe tensorelds, given by
P
R =
1
4 (g
g
g
g
+ i"
); P
L =
P
R
y
: (1.24)
Atually one an hek that indeed they satisfy the usual properties of hiral
pro-jetors
P
R(L) P
R(L)
= P
R(L)
; P
L(R) P
R(L)
= 0: (1.25)
Eq.(1.23) abovejust statesthe fatthat t
and t
y
are the leftand righthanded
projetions of the tensor eld and an be seen as the analog of Eq. (1.3). The six
independent omponentsof
t
an be split in a ovariantway into three leftand
three righthanded omponents. A hiral rotation ould mix v
with a
, s with p
andthe tensorwithitself. This ispreiselywhatone expets,sine
5
atingon
of the tensor soure 27
These external soures are n
f n
f
hermitianmatries. They are not operators
but rather funtions, hene they are not quantized and do not propagate. We
want (1.21) to have the same symmetries as (1.2) and this imposes restritions in
the way this soures transformunder eitherdisrete symmetries(parity and harge
onjugation) and the hiral group. Furthermore, we an nowimpose the invariane
of (1.21)underloal hiral transformations,wherethetransformation matriesg
R;L
now depend onthe spaetime point in whih they are applied. Something similar
is impossibletobe satisedin (1.2). It ispreisely thisloalinvarianewhatmakes
hiralWard identitiestobesatisedforanyGreenfuntionatanyorder[22℄. These
transformation properties are skethed inTable 1.1.
G(x)=SU(3)
L
SU(3)
R
P C
s+ip g
R
(s+ip)g y
L
s ip (s ip) >
`
g
L `
g
y
L +ig
L
g
y
L
r
r >
r
g
R r
g
y
R +ig
R
g
y
R
`
` >
t
g
R t
g
y
L
t y
t >
Table 1.1: Transformation properties of the external soures.
If one denes the generating funtional, whih an be regarded as the vauum
tovauum transitionamplitude inthe presene of externalelds
exp(iZ[v
;a
;s;p;
t
℄) =
Z
DqDqDG
exp
i Z
d 4
x
L 0
QCD +L
ext (v
;a
;s;p;
t
)
= h0jT exp[iL
g:f: (v
;a
;s;p;
t
)℄j0i
= Z
DqDqDG
exp
i Z
d 4
xL 0
QCD
h0
out j0
in i
v
;a
;s;p;
t
;(1.26)
then Green funtions are omputed by funtional derivativestaken with respet to
the external soures.
As a last omment, we an use the external soure s to expliitly introdue a
symmetry breakingtermdue tothenonzero massesof thequarksand theexternal
souresr
and`
tobreak expliitlythesymmetrydue toeletromagnetiandweak
interations:
r
! r
+ eQA
;
`
! `
+ eQA
+
2e
p
2 sin
W W
y
T
+
+ h::
being
Q = 0
B
B
2
3
0 0
0 1
3 0
0 0 1
3 1
C
C
A ; T
+ =
0
B
B
0 V
ud V
us
0 0 0
0 0 0
1
C
C
A
: (1.28)
1.5 Spontaneous hiral symmetry breaking and the
CCWZ formalism
Sine (1.2) isinvariantunder global transformationsof the Ggroup, we expet the
hadroni spetrum to organize itself aording to irreduible representations of G.
This implies the existene of an equalmass parity partner for eah partile, a
sit-uation that does not seem to our in nature. The hadroni spetrum is however,
organized as a series of irreduible representation of the group SU(3)
V
. This
indi-atesthatwearefaingthephenomenonofspontaneousbreakdownofthesymmetry
group Gintoasmaller subgroup H G,where some generators of the group Gdo
not annihilatethe vauum of the theory (so the interation is indeedinvariantbut
the vauumis not).
1.5.1 The appearane of the Goldstone bosons
InRef. [24℄ itwasshown thatfor masslessQCDthe groundstatemustbeinvariant
undervetortransformations(muhashappens inquantum mehanis: theground
state of a system desribed by a symmetri potential has even parity) and then
the vauum is annihilated by their orresponding operators. So the hiral group
G = SU(3)
L
SU(3)
R
is spontaneously broken to SU(3)
V
and we an hoose the
axialgenerators to be the ones not annihilating the vauum:
Q a
V
j0i = 0; Q a
A
j0i 6= 0: (1.29)
The Goldstone theorem [6℄ tells us that there must appear a number of massless
partiles(the soalledGoldstone bosons) equaltothe number ofoperators thatdo
not annihilatethe vauum (broken generators), eightin our ase. We an assoiate
these partilesto the lightest pseudosalar otet.
Let us show now that the existeneof a nonvanishing salar quark ondensate
implies Eq. (1.29). It an be shown that (the proedure to reah this result is
relegated tothe next hapters)
Q a
V ;S
b
(x)
= if ab
S
(x); (1.30)
and taking vauum expetationvalue of this expression and using (1.29) we arrive
athS
i = 0 orhuui =
dd
= hssi hqqi. With this result we an showthat
0
i
Q a
A ;P
b
(x)
0
= 2
Æ
ab
being the righthand side of (1.31) the order parameter of the spontaneous
break-down of the hiral symmetry. Then the Goldstone theorem tellsthat there exists a
set of masslessstates a
suh that (no summation implied)
h0jA a 0 j a ih a jP a
j0i 6= 0; (1.32)
being the quantum numbers of these states are determined by this expression. Let
us rst determine the parity of the Goldstone bosons 3
h0jQ a A j a i = 0 P 1 PQ a A P 1 P a
= h0jQ a A Pj a i ; Pj a
i = j a
i ; (1.33)
and now we onentrate in their transformation behaviour under an innitesimal
transformation of SU(3)
V :
h0jQ a
A j
a
i = h0jg y V g V Q a A g y V g V j a i = 0 1 i b Q b V
1+i
b Q b V Q a A 1 i b Q b V
1+i
b Q b V a
= h0jQ a A j a i + b f ab
h0jQ
A j
a
i+i
b 0 Q a A Q b V a ; 0 Q a A Q b V a
= if ab
h0jQ
A j
a
i = if ab
h0jQ a A j i ; Q a V b
= if ab
j
i : (1.34)
So they form an otet of pseudosalar mesons. We an parametrize the non
vanishingmatrix element in Eq.(1.32) as
0 A a (0) b (p)
= ip
F Æ
ab
; (1.35)
whereF hasdimensionsofenergyanditsapproximatevalueisF 92:4MeV . Sine
the axialvetor urrent is onserved, its matrix element between the Goldstone
bosons and the vauum must bezero
0 A a (0) b (p) = m 2 F Æ ab
=0; (1.36)
what points out that either m or F is zero. The latter ase orresponds to a
sym-metry realized a la WignerWeyl whereas the former orresponds to the Nambu
Goldstone realization. So, if (1.35)is not zero thenthe Goldstone bosons are
mass-less.
1.5.2 The CallanColemanWessZumino formalism
The general formalism to parametrize the set of elds desribing the dynamis of
the Goldstone bosons of asystem suering spontaneousbreakdown of aontinuous
symmetry was developed by Callan, Coleman, Wess and Zumino (CCWZ
presrip-tion)[7℄. Wereviewherethemostrelevantaspets. Letusonsider adimensionn
G
groupGbeingspontaneouslybrokentoonedimensionn
H
(noninvariant)subgroup
H,givingriseton
G n
H
masslessGoldstonebosons. Firstletusshowthatthereis
anisomorphism between the Goldstone boson elds manifold M
1
and the quotient
spae G=H. Let usdene the transformation ' of the set of elds (or vetor) of
the Goldstone bosons under one element g of the group G (itwill be shown that it
is not a lineartransformation)
' : GM
1
!M
1 ;
'(g;)= 0
; (1.37)
satisfying 4
'(e;) = 82M
1 ;
'(g
1 ;'(g
2
;)) = '(g
1 g
2
;) 8g
1 ;g
2
2G; 8 2M
1
: (1.38)
Wethenrequirethattheorigin=0ofM
1
(groundstateonguration)ismapped
ontoitselfwhentransformedbyelementsh2Hor'(h;0)=0(andsoH onstitutes
the littlegroup of = 0). With this it is lear that the origin is mapped into the
same onguration eld by allelements satisfyingg
1 g
1
2
2 H, that is, all elements
belonging to the same left oset of H, whih is one element of the quotient spae
G=H: '(gH;0)='(g;0). This denes a one to one (it an be shown to be
invert-ible)mappingbetweentheosetspae andthevetorspaeoftheGoldstonebosons
elds: ='(f;0)='(gH;0)wheref 2G=H and an behosen toberepresented
by an element g 2 f. Then the transformation properties of the Goldstone elds
under anelement g~2G read '(~g;) ='(~g;'(f;0))='(~ggH;0)='(gH;0)where
g = gg~ h is the representative of the element of the oset spae ggH~ (in general
dierentfrom g~g).
Aneasywayofunderstandingtheformalproedurefollowed aboveistoonsider
the parametrization of the vetor of Goldstone boson elds (x) asa loalrotation
underanelementg(x)2Goftheonstantvauumstatehivetor: (x)=g(x)hi.
ThentheGoldstoneeldsarespeiedbyg(x). Butsinebyassumptionhhi =hi
for h 2 H, two elements g
1
and g
2
satisfying g
1 g
1
2
2 H render the same (x),
g
2
hi =g
1
hhi=g
1
hi. Weonlyneedthentoonsider elementsofGbelongingto
the same left oset gH tofully speify a given (x) onguration. Then, as stated
above, toeah elementof G=H orresponds one eld onguration .
TheCCWZpresriptiononsistsinpikingasetofeightbrokengeneratorsfA a
g
suh that A a
hi 6= 0 and hoose as a representative for eah element of G=H the
followingSU(3)
L
SU(3)
R
matrix:
(x) = e iA
a
a
(x)
= [
L (x);
R
(x)℄!(x) = (x)hi : (1.39)
One we selet from the ontinuum of degenerate states with equal minimal
en-ergy one to be the vauum, we are at the same time spontaneously breaking the
symmetry and speifying the broken generators. But of ourse this hoie is
om-pletely arbitrary and so are the broken generators (as far as we do not hoose the
ones generating H!). Under a global g 2 G transformation the (x) rotates to
another matrix whih is not neessarily of the form (1.39), but an be written as
g(x) = 0
(x)h 1
(g;(x)) where 0
(x)has the form (1.39) and h(g;(x)) 2H is
denoted asthe ompensatingeld. Itislearthatg(x)hi= 0
(x)hi. h(g;(x))
has animpliitxdependenethroughitsdependene on(x)andsineitisavetor
transformationanbewrittenash(g;(x))=[ ~
h(g;(x)); ~
h(g;(x))℄. Thenwean
write the transformationof (x) as
'(g;(x)) = g(x)h 1
(g;(x));
'
L(R) (g;
L(R)
(x)) = g
L(R) L(R) (x) ~ h 1
(g;(x)): (1.40)
Weommentonpassingthat themapping'isanonlinear realizationofthegroup
beause the matries (x) do not form a vetor spae (the sum of two unitary
matriesisnolongerunitary). Thevauumstate(thatis,theongurationwiththe
Goldstone boson elds equal to zero) aording to (1.39) is represented by = 11
(
L =
R
= 11). Sine we want the vauum to be mapped onto itself by vetor
transformations g H =(g V ;g V
), aordingto (1.40)h(g
H
;11)=g
H or
~
h(g
H
;11)=g
V .
One an get rid of the ompensating eld ombining the relations of (1.40) into
the simpler form U(x) =
R (x)
y
L
(x) transforming under g as U(x) ! g
R
U(x)g y
L ,
whih is equivalent to hoose as broken generators T a
R or
L
(x) = 11,
R (x) =
U(x) and the ompensating eld ~
h(g;x) = g
L
. This is denoted as the Ubasis.
Another possibility is to take (x) = U y (x) = L (x) y R
(x) transforming under g
as (x) ! g
L
(x)g y
R
, whih is equivalent to hoose as broken generators T a
L or
R
(x) = 11,
L
= (x) and ~
h(g;x) = g
R
. These is to the so alled basis and
orresponds to the hoie
R
(x) = 11,
L
(x) = U(x) and the ompensating eld
~
h(g;x) = g
R
. Choosing the axial generators T a
L T
a
R
as the broken ones (the so
alledbasis)orrespondsto
L
(x)= y
R
(x)(x)transformingunderg as(x)!
g L (x) ~ h 1
(g;x)= ~
h(g;x)(x)g y
R
. Thistransformationimpliesthatifg
L =g R g V then ~
h(g;x) g
V
and it is independent of (x), as it happens also in the U
basis. Our preferred hoie is the ubasis orresponding to the hoie T a R T a L for
broken generators, and u(x) =
R (x) = y L (x) = y
(x) transforming as u(x) !
g R u(x) ~ h 1
(g;x)= ~
h(g;x)u(x)g y
L .
TheGoldstonebosoneldsare angularvariablesandhenedimensionless.
How-ever for a eld theoretial desription we want them to have dimension one and so
wewrite
u(x)=exp i (x) p 2F ; (1.41)
where itan beshown that atlowest order F equals that ofEq. (1.35). The matrix
(x) interms of physialelds reads
Underavetortransformationoftheeldsu(x)!g
V
u(x)g y
V
,the(x)!g
V
(x)g y
V
undergoesthesame transformation,pointingittransformsasanotet. Forthease
ofageneraltransformation (e.g. anaxialtransformation)the Goldstone bosonsare
transformed as anonlinear funtion of the elds.
As a nal ommentin the Ubasis representation wean identify
U(x) = u(x) 2
= exp "
i p
2(x)
F #
; (1.43)
and of ourse inthe basis,(x)=(x) 2
.
1.6 Eetive Lagrangians of order O(p
2
) and O(p 4
)
If one restrits oneself to very low energies then the only interating partiles will
be the Goldstone bosons. With the ingredients disussed in the preeding setion
one an build atheory madeonly of the Goldstone boson elds asativedegrees of
freedom. This theory is known as Chiral Perturbation Theory and was developed
in Ref. [9℄. In this range of energies one an expand the observables in inreasing
powers of both the external momentum and quark masses, what translates intoan
organizationof the Lagrangian interms of aninreasing numberof derivativesand
mass operators
L
PT =
X
n=1 L
2n
: (1.44)
The range of validity of the theory is provided by a harateristi hiral symmetry
breaking sale
. When omputing the hiral expansion eah loop orretion is
aompaniedbyafator1=(4F) 2
givingusanestimate
4F 1:2GeV[25℄.
Counterterms have a typial size of the inverse of the mass of a resonane, what
gives us
m
R
1GeV . So the radius of onvergene of the power expansion
orresponds to the mass of the lightest resonane m
=775MeV .
ThealulationsperformedinPTareorganizedinthesoalledWeinbergpower
ounting [8℄. Given adiagramwithN
2n
vertiesfromL
2n
andLloopsithas ahiral
dimension
D
= 2L + 2 + 2 X
n N
2n
(n 1): (1.45)
Sine n1, D
isalways positive. Expression (1.45)makeslear that onlya nite
