Cálculo de límites

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(1)MATEMATICAS 1º Bachillerato. Proyecto. MaTEX. r=A+lu A. d B s=B+mv. Fco Javier González Ortiz. Directorio Tabla de Contenido Inicio Artı́culo. c 2004 javier.gonzalez@unican.es D.L.:SA-1415-2004. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Lı́mites-Continuidad. ISBN: 84-688-8267-4. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(2) MATEMATICAS 1º Bachillerato. 1. Introducción 2. ¿Qué es un lı́mite? 2.1. Cálculo de lı́mites usando tablas 2.2. Algebra de los lı́mites 3. Lı́mites laterales 4. Lı́mites Infinitos 5. Lı́mites en el Infinito 6. Lı́mites Indeterminados 7. Cálculo de lı́mites Indeterminados 7.1. Calculo de lı́mites 00 • Por factorización • Por el conjugado ∞ 7.2. Calculo de lı́mites ∞ • Por división de la mayor potencia 7.3. Calculo de lı́mites ∞ − ∞ • Se hacen operaciones • Por el conjugado 7.4. Calculo de lı́mites a±∞ 7.5. Calculo de lı́mites f (x)g(x) 8. El número e 8.1. Calculo de lı́mites 1±∞. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Tabla de Contenido. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(3) 9. Continuidad 9.1. ¿Qué es una función continua? 9.2. Definición de continuidad 10. Discontinuidad 10.1.Discontinuidad Evitable 10.2.Discontinuidad de salto finito 10.3.Discontinuidad de salto infinito 11. Ası́ntotas 11.1.Ası́ntota Vertical 11.2.Ası́ntota Horizontal 11.3.Ası́ntota Oblicua 12. Cuestionarios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests. 3. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Tabla de Contenido (cont.). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(4) 4. 1. Introducción El concepto de lı́mite es el fundamento del cálculo. En el siglo XIX, eminentes matemáticos, Augustin-Louis Cauchy1 y Karl Weiertrass2 entre otros trataron de precisar el concepto de lı́mite. Ellos lograron dar una definición rigurosa de lı́mite, la definición −δ, que aunque la incluimos en este capı́tulo no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto. El nivel de este capı́tulo es adecuado para alumnos de 4o de ESO y 1o de Bachillerato. Se incluye en este capı́tulo también el estudio del concepto de continuidad de una función que está basado en el concepto de lı́mite. Se incide en la aplicación de los lı́mites para la representación de funciones, sobre todo las racionales en el cálculo de las ası́ntotas, horizontales, verticales y oblicuas.. 1. Eminente matemático frances (1789-1857) que escribió mas de 700 artı́culos, y fue pintor, abogado y escalador. 2 Eminente matemático alemán (1815-1897) que precisó la definición de continuidad.. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 1: Introducción. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(5) Sección 2: ¿Qué es un lı́mite?. 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 2. ¿Qué es un lı́mite?. A. lı́m f (x) = L. x→a. Ası́ decimos que lı́m x2 = 1 pues cuando x → 1, x2 → 1, x→1. o también decimos que lı́m x2 = 4 pues cuando x → 2, x2 → 4, x→2. o bien decimos que lı́m x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125. x→5. Hay una definición formal de lı́mite pero por su dificultad, en este nivel se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva. A continuación usaremos una técnica simple e intuitiva de calcular el lı́mite diseñando una tabla de valores para la función. Vamos a verlo.. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Para una función matemática y = f (x), en un punto x = a, la expresión ((lı́mite de f (x) cuando x es tan próximo a a como queramos)) (x → a), es el valor al que se aproxima la función cuando el valor de x se acerca a a tanto como se quiera, simbólicamente lo escribimos de la forma. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(6) Sección 2: ¿Qué es un lı́mite?. 6. r=A+lu. 2.1. Cálculo de lı́mites usando tablas. A. 0.9 0.99 0.9999 ↓ 1−. 2. x −1 x−1 1,9 2,1 1,99 2,01 1,9999 2,0001 ↓ ↓ 2 2. 1+ ← x 1.1 1.01 1.0001 ↓ 1+. x2 − 1 → 2. x−1 I Atención Notar que x puede acercarse a 1 tanto como se quiera, pero 0 no puede ser 1 pues nos encontrarı́amos con la expresión f (1) = que no 0 esta definida.  Esto parece indicar que cuando x → 1 la función. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. x2 − 1 con una tabla de valores. x→1 x − 1 Solución: Con la ayuda de la calculadora o de un computador damos valores de x próximos a 1 por su izquierda y por su derecha.. Ejemplo 2.1. Determinar lı́m. x → 1−. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(7) Sección 2: ¿Qué es un lı́mite?. 7. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejemplo 2.2. Hallar con una tabla lı́m sen x.. A. x→0. Solución: Como antes, damos valores a x próximos a 0 por su izquierda y por su derecha.. d B s=B+mv. CIENCIAS. x→0 -0.1 -0.01 -0.001 ↓ 0−. sen x -0.0998 0.0998 -0.00999 0.00999 -0.00099998 0.00099998 ↓ ↓ 0 0. +. 0 ←x 0.1 0.01 0.001 ↓ 0+. MaTEX. Se observa que para valores cada vez más próximos a 0, el valor de la función se aproxima más y más a su lı́mite, que en este caso es 0, es decir lı́m sen x = 0. x→0.  El uso de tablas permite intuir al alumno la idea de aproximación de una manera mecánica, si bien para calcular lı́mites no se utilizan. En su lugar usaremos reglas y técnicas que se exponen a continuación.. Lı́mites y Continuidad. −. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(8) Sección 2: ¿Qué es un lı́mite?. 8. r=A+lu. 2.2. Algebra de los lı́mites. A. A continuación se recogen las primeras reglas de paso al lı́mite. Aunque tienen una estructura intuitiva sencilla, se demuestran con la definición rigurosa de lı́mite, pero esta demostración está fuera del nivel de este curso.. x→a. x→a. lı́m f (x) · g(x) = lı́m f (x) · lı́m g(x). x→a. x→a. x→a. lı́m f (x) f (x) = x→a x→a g(x) lı́m g(x). Regla del cociente. CIENCIAS. lı́m. Lı́mites y Continuidad. Regla del producto. lı́m [f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x). x→a. d B s=B+mv. MaTEX. Reglas del calculo de limites Regla de la suma. MATEMATICAS 1º Bachillerato. x→a. Regla de la potencia. lı́m f (x)g(x) = [ lı́m f (x)]lı́mx→a g(x). x→a. A continuación se aplican estas reglas.. x→a. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(9) Sección 2: ¿Qué es un lı́mite?. 9. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejemplo 2.3. Veamos algunos casos de como aplicar estas reglas:. A. d. 2. = lı́m x + lı́m 1 x→0. =0+1. x→0. 1. CIENCIAS. 2. lı́m (3 x + x ). = lı́m 3 lı́m x + lı́m x. =3·1+1. 4. lı́m (sen x + cos x). = lı́m sen x + lı́m cos x. =0+1. 1. = lı́m x2 − lı́m 3x. =1−3. −2. = 16 · 2. 32. 1+1 3. 2 3. x→1. x→0. lı́m (x2 − 3x). x→1. √ lı́m (x2 x). x→4. x2 + 1 x→1 3x lı́m. x→1. x→1. x→0. x→0. x→1. x→1. = lı́m x2 · lı́m x→4. x→1. 2. x→4. √. x. lı́m x + 1. =. x→1. lı́m (3)x+1. lı́m 3x lı́m x + 1 = [ lı́m 3]x→2. lı́m (x + 3)5x. lı́m 5x = [ lı́m x + 3]x→2. x→2. x→2. x→1. x→2. x→2. =. = 33. 27. = (2 + 3)10. 510. MaTEX Lı́mites y Continuidad. lı́m (x + 1). x→0. B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(10) Sección 3: Lı́mites laterales. 10. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3. Lı́mites laterales. A. Hasta ahora, con las tablas hemos determinado el lı́m f (x) realizando los. d. x→a. −. f (a ) = lı́m− f (x) x→a. f (a+ ) = lı́m f (x) x→a+. Como veremos en los ejemplos siguientes no siempre los lı́mites laterales coinciden. En este caso diremos que el lı́mite f (a− ) 6= f (a+ ) =⇒ lı́m f (x) no existe x→a. ya que los lı́mites laterales son distintos. También vamos a ver la interpretación geométrica de las funciones que en la proximidad de un punto presentan un comportamiento distinto, según nos aproximemos al valor de a por la izquierda o por la derecha .. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. cálculos por ambos lados de a, por la izquierda cuando x → a− y por la derecha cuando x → a+ . A partir de ahora escribiremos ambos lı́mites laterales por la izquierda y derecha, abreviadamente como f (a− ) y f (a+ ). Es decir. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(11) Sección 3: Lı́mites laterales. 11. |x| . x→0 x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Ejemplo 3.1. Realizar una tabla para hallar lı́m. d. Solución: Recordemos que |x| = x → 0−. B s=B+mv. −x x ≤ 0 x 0≤x |x| x. CIENCIAS. MaTEX. 0+ ← x. -0.5. -1. 1. 0.5. -0.1. -1. 1. 0.1. -0.001. -1. 1. 0.001. Esto indica que |x| |x| = −1 y lı́m+ =1 x x x→0 Cuando los lı́mites laterales de una función en un punto son distintos decimos que el lı́mite no existe. Ası́, en este caso tenemos que lı́m. x→0−. f (0− ) = −1 6= f (0+ ) = 1 =⇒6 ∃ lı́m f (x) x→0. . Lı́mites y Continuidad. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(12) Sección 3: Lı́mites laterales. 12. Ejemplo 3.2. Veamos otro ejemplo de una función que tiene lı́mites laterales distintos en un punto. Sea la función definida a trozos Solución:. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. y = f (x) =. −x + 2 x ≤ 1 x+1 1<x. −. f (1 ) = lı́m (−x + 2) = 1 x→1−. y =x+1. MaTEX Lı́mites y Continuidad. . y = −x + 2. f (1+ ) = lı́m+ (x + 1) = 2 x→1. f (1− ) 6= f (1+ ) luego @ lı́m (−x + 2) x→1. 1.  Decimos que el lı́mite existe cuando ambos lı́mites laterales son finitos e iguales, lim f (x) = L ⇐⇒ f (a− ) = f (a+ ) = L x→a. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(13) Sección 4: Lı́mites Infinitos. 13. r=A+lu. 4. Lı́mites Infinitos. A. 1 Ejemplo 4.1. Hallar con una tabla lim 2 x→0 x Solución: Tomamos valores próximos a 0 1 x2. -0.1. 0+ ← x. 100. 100. 4. 4. 0.1. -0.01. 10. 10. -0.0001. 1016. 1016. ↓. ↓. ↓. ∞. ∞. 0+. ↓ −. 0. 0.01 0.0001. A medida que x → 0− , o bien x → 0+ , la función f (x) se hace tan grande como se quiera, y decimos en este caso que la función f (x) diverge a ∞ 1 1 = =∞ lim x→0 x2 0.  1 I Atención Cuando escribimos = ∞ lo hacemos en el sentido anterior 0 en el cálculo de un lı́mite, pues recuerda que la división por 0 no está definida.. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Se presenta el caso que cuando x → a la función toma valores grandes y más grandes a medida que nos aproximamos a a, en este caso decimos que la función f (x) diverge a ∞ en el punto x = a. Veamos un ejemplo. x → 0−. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(14) Sección 4: Lı́mites Infinitos. 14. 1 x→2 x − 2 Solución: Damos valores próximos a 2. r=A+lu. Ejemplo 4.2. Hallar con una tabla lim. x→2. 1 x−2. +. 2 ←x. 1.9. -10. 10. 2.1. 1.99. −100. 100. 2.01. 1.9999. −104. 104. 2.0001. lim−. x→2. 1 = −∞ x−2. A. d. A medida que x → 2− , la función f (x) se hace tan grande y negativa como se quiera, y a medida que x → 2+ , la función f (x) se hace tan grande y positiva como se quiera, decimos que la función f (x) diverge a ∞. lim+. x→2. 1 = +∞ x−2 . El efecto gráfico de un lı́mite infinito en un punto se indica con la presencia de las ası́ntotas verticales. Más adelante, en el apartado de las ası́ntotas, se explica la representación gráfica de los lı́mites infinitos. Ejercicio 1. Indicar en que puntos las funciones divergen a infinito: 2 2 x a) f (x) = b) g(x) = 2 c) h(x) = 3x x −1 1+x. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. −. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(15) Sección 5: Lı́mites en el Infinito. 15. r=A+lu. 5. Lı́mites en el Infinito. A. 1 x. x→∞. −102. −0,01. 0,01. 102. −104. −0,0001. 0,0001. 104. −1012. −10−12. 10−12. 1012. A medida que x → ∞, o bien x → −∞, toma valores tan grandes como queramos positivos o negativos, la función f (x) se hace tan pequeña como se quiera, y decimos en este caso que la función f (x) tiende a 0. 1 =0 x→∞ x lim.  Veamos otro ejemplo:. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Si queremos estudiar el comportamiento de una función f (x) cuando los valores de x se hacen tan grandes como queramos, lo expresamos diciendo que x tiende a infinito x → ∞. Veamos un ejemplo; 1 Ejemplo 5.1. Hallar con una tabla lim x→∞ x Solución: Damos valores grandes positivos y negativos x → −∞. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(16) 16. Ejemplo 5.2. Estudiar el comportamiento en el infinito de x+1 f (x) = x+2 Solución: Se divide por la mayor potencia de x, y 1 1+ x f (x) = 2 1+ x si hacemos x tan grande como queramos, bien para valores positivos o neg1 2 ativos, observamos que los sumandos y se hacen tan pequeños como x x queramos. De este modo la función se aproxima a 1 tanto como queramos. En sı́mbolos tenemos que 1 1+ x+1 x lim = lim =1 2 x→∞ x + 2 x→∞ 1+ x  Ejercicio 2. Indicar el comportamiento de las funciones cuando x tiende a infinito: 2 x x2 + 1 a) f (x) = b) g(x) = 2 c) h(x) = 3x x −1 x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 5: Lı́mites en el Infinito. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(17) Sección 6: Lı́mites Indeterminados. 17. r=A+lu. 6. Lı́mites Indeterminados. A. lim (x2 − 1). 0 x2 − 1 = x→1 = x→1 x − 1 lim (x − 1) 0 lim. indeterminado. x→1. lim (x2 − 1) ∞ x2 − 1 x→∞ lim = = indeterminado 2 x→∞ 2x2 − 1 ∞ lim (2x − 1) x→∞ p lim (x − x2 + 1) = ∞ − ∞ indeterminado x→∞. A continuación veremos las técnicas necesarias para resolver estos casos indeterminados Casos Indeterminados ∞ ∞. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Con las reglas que hemos aprendido de lı́mites, se nos presentan situaciones más complicadas en las que no podemos dar la solución sin hacer un estudio detallado de la función. Por ejemplo. 0 0. MATEMATICAS 1º Bachillerato. ∞−∞ JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(18) 18. 7. Cálculo de lı́mites Indeterminados En esta sección veremos las técnicas necesarias para calcular lı́mites cuando se presenta el caso indeterminado. Básicamente aprenderemos la técnica de cálculo: Por descomposición en factores de un polinomio. Por producto y división de la mayor potencia de x. y por producto y división del conjugado de un binomio Indeterminaciones 0 0. ∞ ∞. ∞−∞. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(19) Test. Responde a las siguientes preguntas. 1. Cuando en un lı́mite encontramos 0 × ∞ el lı́mite vale : (a) 0 (b) ∞ (c) No se sabe 2. Cuando en un lı́mite encontramos −∞ × ∞ el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe 3. Cuando en un lı́mite encontramos −∞ − ∞ el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe 4. Cuando en un lı́mite encontramos +∞ + ∞ el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe 5. Cuando en un lı́mite encontramos +∞ − ∞ el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe 6. Cuando en un lı́mite encontramos 0 − ∞ el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe 7. Cuando en un lı́mite encontramos +∞ − 0 el lı́mite vale : (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe ∞ 8. Cuando en un lı́mite encontramos el lı́mite vale : ∞ (a) −∞ (b) ∞ (c) 0 (d) no se sabe. 19. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(20) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 7.1. Calculo de lı́mites. 20. 0 0. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. • Por factorización. d B s=B+mv. Consiste en descomponer los polinomios en factores.. CIENCIAS. Ejemplo 7.1. Calcular los siguientes lı́mites factorizando y simplificando: x2 − 4 x→2 x − 2 lim. x2 − 5x + 6 x→2 x2 − 4 lim. MaTEX. x2 − 5x x→0 x2 − x. Lı́mites y Continuidad. x2 − 1 x→1 x − 1 lim. lim. Solución: x2 − 1 0 (x − 1)(x + 1) = = lim = lim (x + 1) = 2 x→1 x − 1 x→1 0 x→1 x−1 lim. x2 − 4 0 (x − 2)(x + 2) = = lim = lim (x + 2) = 4 x→2 x − 2 x→2 0 x→2 x−2 lim. 0 (x − 2)(x − 3) (x − 3) 1 x2 − 5x + 6 = = lim = lim =− 2 x→2 x→2 x→2 x −4 0 (x − 2)(x + 2) (x + 2) 4 lim. x2 − 5x 0 x(x − 5) x−5 = = lim = lim =5 2 x→0 x − x 0 x→0 x(x − 1) x→0 x − 1 lim. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(21) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 21. r=A+lu. • Por el conjugado. A. Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado del denominador √ x−1 Ejemplo 7.2. Calcular por el conjugado lim x→1 x − 1 Solución: √ x−1 0 = por el conjugado lim x→1 x − 1 0 √ √ ( x − 1)( x + 1) x−1 1 √ √ = lim = lim = x→1 (x − 1)( x + 1) x→1 (x − 1)( x + 1) 2. x→0. √. CIENCIAS. MaTEX . 1−x x. √. 1−x 0 = por el conjugado x→0 x 0 √ √ 1− 1−x 1+ 1−x √ = operar = lim · x→0 x 1+ 1−x x 1 √ √ = lim = lim = 1/2 x→0 x(1 + 1 − x) x→0 1 + 1 − x lim. 1−. 1−. d B s=B+mv. . Lı́mites y Continuidad. Ejemplo 7.3. Calcular por el conjugado lim Solución:. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(22) ∞ ∞ • Por división de la mayor potencia 7.2. Calculo de lı́mites. Ejemplo 7.4. Para calcular el lı́mite ∞ x−1 lim = dividimos por x x→∞ x ∞ (1 − x1 ) 1 = lim (1 − ) = 1 = lim x→∞ x→∞ 1 x Ejemplo 7.5. Para calcular el lı́mite 2x2 + 1 ∞ = dividimos por x2 2 x→∞ x + x ∞ 1 2+ 2 2+0 x = lim =2 = 1 x→∞ 1+0 1+ x lim. Ejemplo 7.6. Como en el caso anterior √ 2x2 + 1 ∞ lim = dividimos por x x→∞ 2+x ∞ q √ 2 + x12 2+0 √ = lim 2 = = 2 x→∞ 0+1 x +1. 22. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(23) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 23. 2x3 + 1 x→∞ x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Ejemplo 7.7. Calcular el lı́mite lim. d. Solución:. B s=B+mv. ∞ 2x3 + 1 = dividimos por x3 x→∞ x ∞ 1 2− 3 x = 2−0 =∞ = lim 1 x→∞ 0 x3 lim. CIENCIAS.  5x2 + x Ejemplo 7.8. Calcular el lı́mite lim x→∞ x3 Solución: 5x2 + x ∞ = dividimos por x3 lim 3 x→∞ x ∞ 5 1 + 2 0+0 = lim x x = =0 x→∞ 1 1 . Lı́mites y Continuidad. MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(24) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 24. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 7.3. Calculo de lı́mites ∞ − ∞. A. • Se hacen operaciones. d. En los más sencillos basta realizar operaciones y simplificar. x→∞. CIENCIAS. x2 − 1 x. MaTEX. Solución: 2. x −1 =∞−∞ operamos x x2 − x2 + 1 1 = lim = lim =0 x→∞ x→∞ x x. lim x −. x→∞.  2. Ejemplo 7.10. Calcular el lı́mite lim. x→∞. x +x −x x. Solución: x2 + x −x=∞−∞ operamos x→∞ x x2 + x − x2 x = lim = lim =1 x→∞ x→∞ x x lim. . Lı́mites y Continuidad. Ejemplo 7.9. Calcular el lı́mite lim x −. B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(25) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. • Por el conjugado. A. Ejemplo 7.11. Calcular lim. x→+∞. √. 1+x−. √. x por el conjugado. d B s=B+mv. √. CIENCIAS. √ 1+x− x=∞−∞ por el conjugado x→+∞ √ √ √ √ ( 1 + x − x)( 1 + x + x) √ = lim = se opera √ x→+∞ 1+x+ x 1 1 =0 = lim √ √ = x→+∞ ∞ 1+x+ x lim. MaTEX . p Ejemplo 7.12. Calcular lim 1 + x2 − x por el conjugado x→+∞. Solución: p 1 + x2 − x = ∞ − ∞ por el conjugado x→+∞ √ √ ( 1 + x2 − x)( 1 + x2 + x) √ = lim = se opera x→+∞ 1 + x2 + x 1 1 = lim √ = =0 2 x→+∞ ∞ 1+x +x lim. . Lı́mites y Continuidad. Solución:. 25. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(26) 26. Ejercicio 3. Calcular los lı́mites siguientes:: 2 3 a) lim b) lim 2 x→0+ 3x x→1+ x − 1 c) lim−. 2 3x. d ) lim−. x2. e) lim−. 1 1−x. f ) lim+. 1 1−x. x→0. x→1. x→1. x→1. 3 −1. Ejercicio 4. Calcular los lı́mites siguientes:: 2x + 1 3+x a) lim+ b) lim+ 2 x−1 x→0 x→0 x − 1 c) lim− x→1. 2x − 3 3x. d ) lim. x→1−. x2 x→+∞ 1 + x. e). 1 x→+∞ 1 − x. f). g). −x x→+∞ 2 − x. h) lim. lim lim. −3 + x x−1. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. lim. x→2+. 1 x−2. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(27) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 27. Ejercicio 5. Calcular los lı́mites siguientes dividiendo por la mayor potencia cuando sea necesario: 1 1 a) lim b) lim x + x→∞ x x→∞ x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. x5 e) lim 4,98 x→∞ x +1. 3x2 d ) lim x→−∞ x − 1 √ x f ) lim x→−∞ 1 + x. Ejercicio 6. Calcular los lı́mites siguientes por la técnica de descomposición: x2 − x − 2 x2 − 4x + 3 a) lim 2 b) lim 2 x→2 x + 3x − 10 x→1 x + 4x − 5 √ x2 − 25 x+2 c) lim 2 d ) lim √ x→5 x − 10x + 25 x→2 x2 − 4 Ejercicio 7. Calcular los lı́mites siguientes aplicando la técnica del conjugado:: √ √ 2− x 2− x+2 a) lim b) lim x−2 x→4+ x − 4 x→2+. MaTEX Lı́mites y Continuidad. 2x − 1 c) lim x→∞ 1 + 3x. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(28) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 28. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 7.4. Calculo de lı́mites a±∞. A. Analicemos el comportamiento de ax con 0 < a 6= 1 en algunos ejemplos. d B s=B+mv. CIENCIAS. • 1,25 = 2,4883. 1,215 = 15,4070. • 0,85 = 0,3277. 0,815 = 0,0352. 1,235 = 590,6682 0,835 = 0,00040565. Ası́ cuando x crece, las potencias de a se hacen tan grandes como queramos o tan pequeñas como queramos dependiendo de si a es mayor o menor que 1. I a>1. lim ax = +∞. x→+∞. I a<1. lim ax = 0. x→+∞. (1). Teniendo en cuenta la expresión a−x =. 1 1 = ( )x x a a. se obtienen las expresiones I a>1. x. lim a = 0. x→−∞. I a<1. x. lim a = +∞. x→−∞. (2). MaTEX Lı́mites y Continuidad. Ejemplo 7.13.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(29) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 29. r=A+lu. Ejemplo 7.14.. A. • •. lim 1,2x = +∞  x 7 lim = +∞ x→+∞ 3  x 4 =0 lim x→+∞ 5 x→+∞. lim 1,2x = 0  x 7 lim =0 x→−∞ 3  x 4 lim = +∞ x→−∞ 5. Test. Responde a las cuestiones: 1. El lim 0,2x es: x→+∞. (a) 0 −x. 2. El lim 3,1 x→+∞. 3. El lim 3,1. −x. (b) −∞. (c) ∞. (b) −∞. (c) ∞. (b) −∞. (c) ∞. es:. (a) 0 es:. (a) 0 3 4. El lim ( )x es: x→+∞ 2 (a) 0. (b) −∞. d. x→−∞. (c) ∞. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. •. x→−∞. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(30) Sección 7: Cálculo de lı́mites Indeterminados. 30. r=A+lu. 7.5. Calculo de lı́mites f (x)g(x). A. Si no hay problemas de indeterminación , el cálculo de dichos lı́mites se realiza por paso al lı́mite   lim g(x) lim f (x)g(x) = lim f (x) x→a x→a. MATEMATICAS 1º Bachillerato. x→a. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Ejemplo 7.15. Los siguientes lı́mites son inmediatos con la regla anterior Solución:  x 2x + 1 +∞ • lim = (2) = +∞ x→+∞ x x  +∞  2 2x + 1 = =0 • lim x→+∞ 3x 3  −2x  −∞ 2x + 1 2 • lim = = +∞ x→+∞ 3x 3  −x  −∞ 5x + 1 5 • lim = =0 x→+∞ 3x − 1 3 −2x  −∞  x+1 1 • lim = = +∞ x→+∞ 3x + 1 3 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(31) Sección 8: El número e. 31. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 8. El número e. A. Uno de los lı́mites de mayor importancia lo estudió el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783). x 1 lim 1 + x→∞ x Si pasamos al lı́mite se tiene la expresión 1∞ , que nos hace pensar en las potencias de 1 y por tanto concluir erróneamente que 1∞ = 1. 1 Este no es el caso pues 1 + 6= 1 para cualquier valor de x. x Para mostrarlo realicemos una tabla. d B s=B+mv. CIENCIAS. . x. 1 1+ x. x.  x. 1 1+ x. x. 10. 2,59374246. 10000. 2,71814592. 100. 2,70481382. 100000. 2,71826823. 1000 2,71692393 1000000 2,71828046 El lı́mite corresponde a uno de los números más importantes de la matemática, el número e. e = 2, 7182818284590452353602874713527 · · ·. Lı́mites y Continuidad. . MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(32) Sección 8: El número e. 32. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. El número e. A. lim. x→∞. 1 1+ x. x. d. =e. (3). El mismo resultado se obtiene si sustituimos x por cualquier variable que tienda a infinito. f (x)  1 =e lim 1+ f (x) f (x)→∞ Los siguientes lı́mites dan todos el número e.  2x  x2 1 1 lim 1 + =e lim 1 + 2 =e x→∞ x→∞ 2x x √  x + 2   x 1 1 lim 1 + =e lim 1 + √ =e x→∞ x→∞ x+2 x  x3  10 x 1 1 lim 1 + 3 =e lim 1 + =e x→∞ x→∞ x 10 x. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(33) Sección 8: El número e. 33. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 8.1. Calculo de lı́mites 1±∞. A. . y como 1 α → 1 =⇒ →∞ α−1 " 1+. 1. #. 1 α−1. 1 α−1. → e =⇒ αβ → eβ(α − 1). En general se tiene que entonces   lim g(x) = ∞ x→a.  lim f (x) = 1. lim g(x)[f (x) − 1] lim f (x)g(x) = ex→a (4). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. β→∞ Todos los lı́mites de la forma αβ donde , se pueden escribir α→1 como 1 β(α − 1) β α − 1 α = [1 + (α − 1)]. x→a. x→a. Esta es la fórmula que se utiliza para los lı́mites de la forma 1. ±∞. .. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(34) Sección 8: El número e. 34.  Ejemplo 8.1. Calcular lim. x→+∞. 2x + 1 2x. MATEMATICAS 1º Bachillerato. x. r=A+lu A. d. Solución:  lim. x→+∞. 2x + 1 2x. x. ∞. =1. lim x. x→+∞. =e . lim x = ex→+∞. 1 2x. 2x + 1 −1 2x. B s=B+mv. . CIENCIAS. =. MaTEX.  = e1/2 =. √. e .  Ejemplo 8.2. Calcular lim. x→+∞. 2x + 1 2x − 1. −2x. Solución:   lim. x→+∞. 2x + 1 2x − 1. −2x. lim −2x. = 1∞ = ex→+∞  lim −2x. = ex→+∞. 2 2x − 1. 2x + 1 −1 2x − 1.  =. Lı́mites y Continuidad. .  = e-2 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(35) Ejercicio 8. Calcular los lı́mites siguientes del tipo del 3x   1 a) lim b) lim 1+ 1+ x→+∞ x→+∞ x  x2  x c) lim 1− 2 d ) lim 1+ x→+∞ x→+∞ x −1. 35. número e: −2x 2 x2 x+3 8 x. Ejercicio 9. Calcular los lı́mites siguientes del tipo del número e:  x  3x x+2 x+1 a) lim b) lim x→+∞ x − 3 x→+∞ x − 1 −x √  2 3x x +x x+1 √ d ) lim c) lim x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x−1 Ejercicio 10. Hallar los lı́mites siguientes de potencias de una forma inmediata pues no necesitan ninguna técnica especial :  x  x 1 1 a) lim b) lim x→+∞ 2 x→−∞ 2 x  −x  1 + 3x 5x c) lim d ) lim x→+∞ 2x − 1 x→+∞ 2x  1   2x+1 x x+2 x 2x + 1 e) lim f ) lim x→+∞ x→−∞ 2x x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 8: El número e. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(36) 36. Ejercicio 11. Calcular los lı́mites siguientes dividiendo por la mayor potencia de x : x2 + 6 3x4 − 2x + 1 a) lim b) lim x→∞ 4x2 − 3 x→∞ x4 + x2 − 4 q p p √ √ 2x 2x 2x x + 2x c) lim p d ) lim q p √ √ x→∞ x→∞ x − 2x x x x Ejercicio 12. Calcular los lı́mites siguientes aplicando la técnica del conjugado: √ p p x − x2 + 1 a) lim b) lim x2 + x − x2 + 2 x→∞ x→∞ x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 8: El número e. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(37) Sección 9: Continuidad. 37. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 9. Continuidad. A. 9.1. ¿Qué es una función continua?. d. 2. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Para una primera aproximación gráfica, si piensas en el grafo de una función, decimos que una función es continua cuando podemos recorrer el grafo de la función si tener que realizar ningún salto. Observa las figuras de abajo. 2. La función de la izquierda no presenta ningún salto y decimos que es continua. La función de la derecha presenta un salto en el punto x = 2. Decimos que no es continua en este punto.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(38) Sección 10: Discontinuidad. 38. r=A+lu. 9.2. Definición de continuidad. A. x→a. La continuidad de f en x = a implica que se cumplan las condiciones: 1. La función está definida en x = a, es decir exista f (a). 2. Exista el lı́mite de f en x = a. 3. Los dos valores anteriores coincidan. 10. Discontinuidad Definición 10.1 Decimos que una función es discontinua en el punto x = a cuando no es continua en x = a. Tipos de Discontinuidad Evitable, cuando lim f (x) 6= f (a) x→a. Salto finito, cuando lim f (x) 6= lim f (x). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Definición 9.1 Sea f una función y a ∈ Dom(f ) decimos que f es continua en x = a cuando lim f (x) = f (a) (5). x→a−. MATEMATICAS 1º Bachillerato. x→a+. Salto infinito, cuando algún lateral lim− f (x), lim+ f (x) es inx→a. x→a. finito A continuación analizamos cada uno de los tipos de discontinuidad que hemos clasificado en el cuadro superior. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(39) Sección 10: Discontinuidad. 39. r=A+lu. 10.1. Discontinuidad Evitable. A. Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad evitable cuando existe ∃ lim f (x) = L ( finito) , pero no coincide con f (a). x→a. CIENCIAS. MaTEX. f(a). lim f (x) = lim f (x) = L. x→a−. d B s=B+mv. x→a+. f(x). pero f (a) 6= L ∃ lim f (x) 6= f (a) x→a. a. x2 − 1 . x−1 Solución: lim f (x) = 2 pero f (1) no existe, en x = 1 presenta una discon-. Ejemplo 10.1. Analizar la continuidad de la función f (x) = x→1. Lı́mites y Continuidad. Se tiene que los lı́mites laterales coinciden. MATEMATICAS 1º Bachillerato. tinuidad evitable. lim f (x). x→1. x2 − 1 = x→1 x − 1 (x − 1)(x + 1) = lim = lim (x + 1) = 2 x→1 x→1 x−1 =. lim. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(40) Sección 10: Discontinuidad. 40. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 10.2. Discontinuidad de salto finito. A. Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad de salto finito cuando existe los lı́mites laterales y son distintos.. d B s=B+mv. CIENCIAS. = l1. lim+ f (x). = l2. x→a− x→a. ) f(x). l1 6= l2. MaTEX Lı́mites y Continuidad. lim f (x). l1. El salto de la función viene dado por lim f (x) − lim− f (x). x→a+. x→a. l2 a . Ejemplo 10.2. Analizar la continuidad de f (x) =. x+1 x≤0 x2 − 1 0 < x. Solución: En x = 0, f (0) = 1, pero los lı́mites laterales ) lim f (x) = lim x + 1 = 1 − − x→0 x→0 =⇒ f (0− ) 6= f (0+ ) lim f (x) = lim x2 − 1 = −1 x→0+. x→0+. son distintos, luego en x = 0 hay una discontinuidad de salto finito.. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(41) Sección 10: Discontinuidad. 41. r=A+lu. 10.3. Discontinuidad de salto infinito. A. lim f (x) = +∞ lim+ f (x) = +∞. x→a. a. lim f (x) = −∞. x→a−. lim f (x) = +∞. x→a+. a. Estas funciones presentan una discontinuidad de salto infinito en x = a.. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad de salto infinito cuando algún lı́mite lateral de f (x) en x = a es infinito. En las figuras se muestran dos ejemplos de salto infinito en x = a. x→a−. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(42) 42. r=A+lu. Ejemplo 10.3. Hallar a para que f (x) sea continua en x = 1.  3 x −1 x≤1 f (x) = ax − 2 1 < x. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Solución: Para que sea continua en x = 1. MaTEX. f (1− ) = 0 = f (1+ ) = a − 2 =⇒ a = 2  Ejercicio 13. Hallar a para que las funciones sean continuas en x = 1.   2 x+a x≤1 a x x≤1 a) f (x) = b) g(x) = 2 1<x 1 1<x   2 ax x≤1 a x+2 x≤1 c) h(x) = d ) y(x) = x−a 1<x 1 1<x Ejercicio 14. Dada la función  x ≤ −1  2x + a f (x) = −x2 + 2 −1 < x ≤ 1  ln x 1<x a) Hallar a para que f (x) sea continua en x = −1 b) ¿Es continua en x = 1?. MATEMATICAS 1º Bachillerato. Lı́mites y Continuidad. Sección 10: Discontinuidad. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(43) Sección 10: Discontinuidad. 43. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. J Pulsa y elige el botón Funciones a Trozos y realiza la siguiente práctica con las funciones del ejercicio 13.. d B s=B+mv. CIENCIAS. . x+a x≤1 . Para representarla introduce en 2 1<x f (x) la expresión x<1 ? x+a:2 y pulsa en el botón Nueva Función. Desplaza el botón de los valores de a y observa que la función es continua cuando a = 1.  2 a x x≤1 b) Sea la función: g(x) = . Para representarla introduce en f (x) 1 1<x la expresión x<1 ? aˆ2*x:1 y pulsa en el botón Nueva Función. Desplaza el botón de los valores de a y observa que la función es continua cuando a = ±1.  ax x≤1 . Para representarla introduce en c) Sea la función: h(x) = x−a 1<x f (x) la expresión x<1 ? a*x:x-a y pulsa en el botón Nueva Función. Desplaza el botón de los valores de a y observa que la función es continua cuando a = 0,5.  2 a x+2 x≤1 d ) Sea la función: y(x) = . Para representarla introduce 1 1<x en f (x) la expresión x<0 ? aˆ2*x+2:1 y pulsa en el botón Nueva Función. Desplaza el botón de los valores de a y observa que la función es discontinua para cualquier valor de a. a) Sea la función: f (x) =. J. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Práctica 10.1.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(44) 44. 11. Ası́ntotas En este apartado usaremos el concepto de lı́mite para mostrar el aspecto gráfico de las funciones. Cuando una función en la proximidad de un punto x = a o en el infinito se aproxima a una recta tanto como queramos decimos que tiene una ası́ntota o que la función tiene una rama asintótica. En caso contrario decimos que tiene una rama parabólica. Las funciones polinómicas y = P (x) no tienen ası́ntotas, solo ramas parabólicas. P (x) Las funciones racionales y = , donde P (x) y Q(x) son polinomios Q(x) puede tener ası́ntotas de tres tipos: a) ası́ntota horizontal b) ası́ntota vertical c) o ası́ntota oblicua Vamos a analizar con detalle estos tres tipos para las funciones racionales.. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 11: Ası́ntotas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(45) Sección 11: Ası́ntotas. 45. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 11.1. Ası́ntota Vertical. A. Ası́ntota Vertical Cuando en un punto x = a se tiene. d B s=B+mv. lim f (x) = ∞. x→a. CIENCIAS. decimos que la función presenta una rama infinita o ası́ntota Vertical. Lı́mites y Continuidad. Ejemplo 11.1. Halla y representa la ası́ntota vertical de y =. MaTEX. 1 x. Solución: 1 x tiene como ası́ntota vertical el eje OY , x = 0. 1 lim = +∞ x→0+ x 1 lim = −∞ x→0− x f (x) =. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(46) Sección 11: Ası́ntotas. 46. Ejemplo 11.2. Halla la ası́ntotas de f (x) =. 1 1 y g(x) = 2 x−1 x −1. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Solución:. d. x=1. 1 tiene x = ±1 x2 − 1 1 1 = +∞ lim = −∞ lim x→1+ x2 − 1 x→1− x2 − 1 1 1 = −∞ lim = +∞ lim 2 2 − + x→−1 x − 1 x→−1 x − 1. g(x) =. x = −1. x=1. . CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. 1 tiene x = 1. x−1 1 lim = +∞ x→1+ x − 1 1 = −∞ lim − x→1 x − 1. f (x) =. B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(47) Sección 11: Ası́ntotas. 47. Ejemplo 11.3. Halla y representa la ası́ntota vertical de y =. x2. 1 − 2x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. Solución: 1 dos ası́ntotas − 2x verticales x = 0 y x = 2 1 lim+ 2 = +∞ x→1 x − x 1 = −∞ lim 2 − x→1 x − x 1 lim+ 2 = −∞ x→0 x − x 1 = +∞ lim x→0− x2 − x. CIENCIAS. x2. MaTEX x=0. x=2.  Ejercicio 15. Hallar y representar, si las hay, las ası́ntotas verticales de las funciones: 2+x x2 a) f (x) = b) g(x) = 3−x x+1. Lı́mites y Continuidad. f (x) =. B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(48) Sección 11: Ası́ntotas. 48. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 11.2. Ası́ntota Horizontal. A. Ası́ntota Horizontal Cuando se tiene. d B s=B+mv. lim f (x) = L. x→∞. CIENCIAS. decimos que la función tiene la ası́ntota horizontal y = L. 1 tiene y = 0 x 1 lim =0 x→+∞ x Para dibujarla, lo más cómodo es dar valores grandes a x. 1 Si x > 0 =⇒ > 0 x 1 Si x < 0 =⇒ < 0 x f (x) =. y=0. . Lı́mites y Continuidad. MaTEX. 1 Ejemplo 11.4. Halla y representa la ası́ntota horizontal de y = x Solución:. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(49) Sección 11: Ası́ntotas. Ejemplo 11.5. Halla y representa la ası́ntota horizontal de y =. 49. x+1 x. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Solución:. CIENCIAS. MaTEX y=1.  Ejercicio 16. Hallar y representar, si las hay, las ası́ntotas horizontales de las funciones: 2+x x2 a) f (x) = b) g(x) = 2 3−x x +1. Lı́mites y Continuidad. Ası́ntotas horizontal y = 1 pues x+1 lim =1 x→∞ x Para dibujarla, lo más cómodo es dar valores ((grandes)) a x. 10 + 1 Si x = 10 =⇒ >1 10 (−10) + 1 Si x = −10 =⇒ <1 −10. d B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(50) Sección 11: Ası́ntotas. 50. x+1 , responder a: x−1. 1. El dominio de f (x) es: (a) R (b) R − {1}. r=A+lu A. d. (c) R − {0}. 2. El lim+ f (x) es: x→1. (a) 2. (b) +∞. (c) -∞. (b) +∞. (c) -∞. (b) 1. (c) −1. (b) 1. (c) −1. 3. El lim− f (x) es: x→1. (a) −2 4. El lim f (x) es: x→0. (a) 0 5. El lim f (x) es: x→∞. (a) 0. 6. La ası́ntota horizontal de la función es: (a) ninguna (b) y = 1. (c) y = −1. 7. La ası́ntota vertical de la función es: (a) ninguna (b) x = −1. (c) x = 1. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Test. Dada la función f (x) =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(51) Sección 11: Ası́ntotas. 51. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 11.3. Ası́ntota Oblicua. A. Una función f (x) en la proximidad del infinito x → ∞ decimos que tiene como ası́ntota oblicua, cuando se aproxima a una recta. d B s=B+mv. CIENCIAS. Primero explicamos como calcularlas para las funciones racionales y después damos una expresión más general. Sea la función. MaTEX. y = f (x) =. x2 + 1 x. Si dividimos, la podemos expresar como f (x) = x +. 1 x. 1 y para valores de x tan grandes como queramos, cuando x → ∞, como → 0 x tenemos que 1 f (x) = x + ≈ x x es decir para valores de x “grandes” la función toma valores cercanos a x, y por tanto su gráfica se aproxima a la recta y = x. En este caso la ası́ntota oblicua es yo = x. Lı́mites y Continuidad. y = mx + n. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(52) Sección 11: Ası́ntotas. 52. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. x2 + 1 1 f (x) = =x+ x x Aı́ntota oblicua y = x y=x. f (x) > x f (x) < x. Ası́ntota Oblicua La función racional f (x) = f (x) =. CIENCIAS. MaTEX. P (x) con Q(x). P (x) R(x) = C(x) + Q(x) Q(x). tiene la ası́ntota oblicua y0 = C(x) siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador.. Lı́mites y Continuidad. x → +∞ x → −∞. d B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(53) Sección 11: Ası́ntotas. 53. Ası́ pues para determinar la ası́ntota oblicua se dividen los polinomios y se toma el cociente cuando es de grado uno, es decir una recta. En el siguiente ejemplo se muestra como se calcula. Ejemplo 11.6. Veamos algunos ejemplos: = = = = = =. 3 x−1 + x−1 2 3x − 3 + x+1 3 −x − 2 + 1−x 1 x2 + x 1 1 + x 2 −x + x. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. yo = x − 1 yo = 3x − 3 yo = −x − 2 No hay oblicua y = 1 horizontal yo = −x. Ejercicio 17. Hallar y representar, si las hay, las ası́ntotas oblicuas de las funciones: 2 + x2 x2 − 2 a) f (x) = b) g(x) = 2+x 1−x. MaTEX Lı́mites y Continuidad. x2 + 2 f (x) = x−1 3x2 − 1 g(x) = x+1 x2 + x + 1 h(x) = 1−x 3 x +1 j(x) = x x+1 k(x) = x 2 − x2 h(x) = x. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(54) Sección 11: Ası́ntotas. 54. Ejemplo 11.7. Hallar y representar la oblicua de f (x) =. x2 x+1. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. Solución:. B s=B+mv. Dividimos y. CIENCIAS. 2. 1 x = x−1 + x+1 x+1 yo = x − 1 • f (x) > x − 1 f (x) < x − 1 | {z } | {z } x→−∞. y =x−1. Para explicar la posición • de la curva respecto a la ası́ntota, lo más fácil, es dar un valor a x lo suficientemente grande, y comparar el valor de la función y de la ası́ntota. Por ejemplo en x = 10 y x = −10.. Lı́mites y Continuidad. x→+∞. MaTEX. f (10) = 9,09 y0 (10) = 9 =⇒ f (x) > y0. JJ. II. f (−10) = −11,11 y0 (−10) = −11 =⇒ f (x) < y0. J. I. J Doc. Doc I. . Volver Cerrar.

(55) Sección 11: Ası́ntotas. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 55. r=A+lu. Ejemplo 11.8. Estudiar y representar las ası́ntotas de la función 1 y= 2 x. A. d B s=B+mv. Solución:. CIENCIAS. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. MaTEX. 1 x2. y=. 3. La función presenta: una ası́ntota vertical en x = 0 una ası́ntota horizontal y = 0 . 4. Lı́mites y Continuidad. 1 Ramas del Infinito de 2 x 1 +∞ lim+ 2 x→0 x 1 lim +∞ x→0− x2 1 0 lim x→+∞ x2 1 lim 0 x→+∞ x2. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(56) Sección 12: Cuestionarios. 56. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 12. Cuestionarios. A. d. Inicio del Test A partir de la gráfica de la función f (x), responder a:. B s=B+mv. CIENCIAS. y=. x x−1. 2. El lim f (x) es: x→1+. (a) 2. (b) +∞. (c) -∞. 3. El lim− f (x) es: x→1. (a) −2. (b) +∞. (c) -∞. 4. El lim f (x) es: x→0. (a) 0. (b) 1. (c) −. 1 2. 5. El lim f (x) es:. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. MaTEX Lı́mites y Continuidad. 1. El dominio de f (x) es: (a) R (b) R − {1}. x→∞. (a) 0. (b) 1. Final del Test Puntos:. (c) −1 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(57) Sección 12: Cuestionarios. 57. 1. El dominio de f (x) es: (a) R (b) R − {2}. 1 , responder a: x−2. d. (c) R − {1}. 2. El lim+ f (x) es: x→2. (a) 2. (b) +∞. (c) -∞. (b) +∞. (c) -∞. (b) 1. (c) −. (b) 1. (c) −1. 3. El lim− f (x) es: x→2. (a) −2 4. El lim f (x) es: x→0. (a) 0. 1 2. 5. El lim f (x) es: x→∞. (a) 0. 6. La ası́ntota vertical de f (x) es: (a) x = 2 (b) x = 0 Final del Test Puntos:. r=A+lu A. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Inicio del Test Dada la función f (x) =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. (c) no tiene JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(58) Sección 12: Cuestionarios. 58. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. Inicio del Test Dada la función f (x) = 1. El dominio de f (x) es: (a) R (b) R − {−1}. x , responder a: x+1 (c) [0, ∞) +. 2. El lı́mite en x = −1 por la derecha, f (−1 ) es: (a) @ (b) +∞ (c) -∞ 3. El lim f (x) es: x→1. (a) @. 1 2. (b) +∞. (c). (b) 1. (c) −. (b) 1. (c) ∞. 4. El lim f (x) es: x→0. (a) 0. 1 2. 5. El lim f (x) es:. (d) (0, ∞). B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. √. x→+∞. (a) 0 Final del Test Puntos:. Correctas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(59) Sección 12: Cuestionarios. 59. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. En las siguientes cuestiones abreviamos lim f (x) como f (+∞) x→+∞. CIENCIAS. 2x. 2x. g(x) = (0,3). responder a las cuestiones. 1. El valor de f (+∞) es? (a) 0 (b) +∞. (c) −∞. 2. El valor de f (−∞) es? (a) 0 (b) +∞. (c) −∞. 3. El valor de g(+∞) es? (a) 0 (b) +∞. (c) −∞. 4. El valor de g(−∞) es? (a) 0 (b) +∞. (c) −∞. 5. El valor de g(∞) es? (a) @ (b) +∞. (c) −∞. Final del Test. Puntos:. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Inicio del Test A partir de las funciones, f (x) = (1,3). B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(60) Sección 12: Cuestionarios. 60. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. Inicio del Test A partir de la gráfica de la función f (x), responder a:. y=. MaTEX. 1 x2. 2. El lim f (x) es: x→0+. (a) 0. (b) +∞. (c) -∞. 3. El lim− f (x) es: x→0. (a) −2. (b) +∞. (c) -∞. -4. -3. -2. -1. 4. El lim f (x) es: x→0. (a) 0. (b) 1. (c) +∞. 5. El lim f (x) es:. 0. 1. 2. 3. 4. Lı́mites y Continuidad. 1. El dominio de f (x) es: (a) R (b) R − {0}. CIENCIAS. x→∞. (a) 0. (b) 1. Final del Test Puntos:. (c) −1 Correctas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(61) 61. Ejercicio 18. Estudiar y representar las ası́ntotas de la función 1 y= x−1 Ejercicio 19. Estudiar y representar las ası́ntotas de la función x y= x−1 Ejercicio 20. Estudiar y representar las ası́ntotas de la función 1 y= 2 x −1 Ejercicio 21. Estudia y representa con las ası́ntotas la función: y=. x2 + 1 x. Ejercicio 22. Estudia y representa con las ası́ntotas la función: y=. x2 − 4 x+1. Ejercicio 23. Estudia y representa con las ası́ntotas la función: 3. y=. 2. x − 3x + 4 x2. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Sección 12: Cuestionarios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(62) 62. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Soluciones a los Ejercicios. A. Ejercicio 1. Estas funciones son de tipo racional y presentan puntos donde divergen a infinito en los valores que anulan el denominador. 2 a) f (x) = . En x = 0 3x 2 2 = =∞ lim x→0 3x 0 2 b) g(x) = 2 . En x = ±1 x −1 2 2 2 2 lim = =∞ lim = =∞ x→−1 x2 − 1 x→1 x2 − 1 0 0 x . En x = −1 c) h(x) = 1+x x −1 lim = =∞ x→−1 1 + x 0 Ejercicio 1. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(63) 63. Ejercicio 2. Indicar el comportamiento de las funciones cuando x tiende a infinito: 2 2 a) lim = =0 x→∞ 3x ∞ b) Dividimos por x2 1 0 x x = lim =0 lim = 1 x→∞ x→∞ x2 − 1 1−0 1− 2 x c) Dividimos por x2 1 1+ 2 1+0 x2 + 1 x = lim = =∞ lim 1 x→∞ x→∞ x 0 x Ejercicio 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(64) 64. r=A+lu. Ejercicio 3. a) lim. x→0+. b) lim+ x→1. c) lim− x→0. d ) lim. x→1−. e) lim− x→1. f ) lim. x→1+. MATEMATICAS 1º Bachillerato A. d. 2 2 = + = +∞ 3x 0 3 3 = + = +∞ x2 − 1 0 2 2 = − = −∞ 3x 0 3 3 = − = −∞ 2 x −1 0 1 1 = + = +∞ 1−x 0 1 1 = − = −∞ 1−x 0. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. Ejercicio 3. Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(65) Soluciones a los Ejercicios. 65. r=A+lu. Ejercicio 4.. A. d. 2x + 1 0+1 = = −1 x−1 0−1 3+0 3+x = = −3 lim+ 2 x − 1 0−1 x→0 2−3 1 2x − 3 lim = =− 3x 3 3 x→1− −2 −3 + x = − = +∞ lim 0 x→1− x − 1 1 1 lim = =0 x→+∞ 1 − x −∞ x2 lim = +∞ x→+∞ 1 + x −x lim =1 x→+∞ 2 − x 1 1 lim+ = + = +∞ 0 x→2 x − 2. a) lim. B s=B+mv. x→0+. c) d) e) f) g) h). CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. b). MATEMATICAS 1º Bachillerato. Ejercicio 4. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(66) 66. Ejercicio 5. En el caso necesario dividimos por la mayor potencia: 1 1 a) lim = =0 x→∞ x ∞ 1 b) lim x + = ∞ + 0 = ∞ x→∞ x 1 2− 2−0 2 2x − 1 x c) lim = lim = = x→∞ 1 + 3x x→∞ 1 0+3 3 +3 x 3 3x2 3 d ) lim = lim = − = −∞ 1 x→−∞ x − 1 x→−∞ 1 0 − x x2 x5 x5 e) lim 4,98 = lim 4,98 = ∞ x→∞ x + 1 x→∞ x √ x f ) lim =@ x→−∞ 1 + x Ejercicio 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(67) Soluciones a los Ejercicios. 67. r=A+lu. Ejercicio 6. Se descompone en factores y se simplifica: a). A. d. b) x2 − 4x + 3 0 (x − 1)(x − 3) x−3 1 lim 2 = = lim = lim =− x→1 x + 4x − 5 0 x→1 (x − 1)(x + 5) x→1 x + 5 3 c) x2 − 25 0 (x − 5)(x + 5) x+5 10 = = lim = lim = =∞ x→5 x2 − 10x + 25 0 x→5 (x − 5)(x − 5) x→5 x − 5 0 lim. √ √ x−2 0 x−2 1 1 lim √ = = lim p = lim √ = 2 x→2 x→2 x→2 0 2 x+2 x −4 (x − 2)(x + 2). B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. x2 − x − 2 0 (x − 2)(x + 1) x+1 3 lim 2 = = lim = lim = x→2 x + 3x − 10 0 x→2 (x − 2)(x + 5) x→2 x + 5 7. d). MATEMATICAS 1º Bachillerato. Ejercicio 6 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(68) Soluciones a los Ejercicios. 68. r=A+lu. Ejercicio 7. En estos lı́mites aplicamos la técnica del conjugado: a) √ √ √ 2− x 0 2− x 2+ x √ lim+ = = lim+ · x−4 0 x→4 x − 4 2 + x x→4 4−x √ = lim + x) x→4 (x − 4)(2 + 1 −1 √ =− = lim+ 4 x x→4 2 +. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. √ √ √ 2− x+2 0 2− x+2 2+ x+2 √ lim = = lim · x−2 0 x→2+ x−2 x→2+ 2+ x+2 2−x √ = lim+ x→2 (x − 2)(2 + x + 2) −1 1 √ =− = lim+ 4 x→2 2 + x+2. Lı́mites y Continuidad. b). MATEMATICAS 1º Bachillerato. Ejercicio 7 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(69) Soluciones a los Ejercicios. 69. r=A+lu. Ejercicio 8. En estos lı́mites aplicamos la fórmula 4: 1  3x lim 3x(1 + − 1) 1 ∞ x→+∞ x a) lim 1+ =1 =e = e3 x→+∞ x. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. b) lim. x→+∞. 2 1+ 2 x. −2x =1. lim −2x(. ∞. =. ex→+∞. lim −. =. ex→+∞. MaTEX. 2 ) x2 =. 4 x = e0 = 1. c)  lim. x→+∞. x 1− 2 x −1. x2. ∞. =1. lim −x2 (. =. ex→+∞. x ) x2 − 1. −x3 = ex→+∞ x2 − 1 = e−∞ = 0 lim.  lim. x→+∞. 1+. 8 x. x+3. 8 lim (x + 3)( ) x = e8 = ex→+∞ Ejercicio 8. Lı́mites y Continuidad. . d). MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(70) Soluciones a los Ejercicios. 70. r=A+lu. Ejercicio 9. En estos lı́mites aplicamos la fórmula 4: a)   lim. x→+∞. x+2 x+3. x. lim x = 1∞ = ex→+∞. MATEMATICAS 1º Bachillerato A. d.  x+2 −x −1 lim x+3 = ex→+∞ x + 3 = e-1. B s=B+mv. CIENCIAS.   lim. x→+∞. x+1 x−1. 3x. lim 3x. = 1∞ = ex→+∞.  x+1 6x −1 lim x−1 x→+∞ x − 1 = e6 =e. c)   lim. x→+∞. 2. x +x x2 − 1. −x. lim −x. = ex→+∞.  x2 + x −x2 − x − 1 lim x2 − 1 x→+∞ x2 − 1 = e-1 =e. Lı́mites y Continuidad. MaTEX. b). d) √ 3x lim 3x x+1 √ lim = ex→+∞ x→+∞ x−1.  √ x+1 6x √ −1 lim √ x→+∞ x−1 x − 1 = +∞ =e. Ejercicio 9. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(71) 71. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 10.  x 1 a) lim =0 x→+∞ 2  x 1 b) lim = +∞ x→−∞ 2  x  +∞ 5x 5 c) lim = = +∞ x→+∞ 2x − 1 2 −x  −∞  3 1 + 3x = =0 d ) lim x→+∞ 2x 2  0  1 1 x+2 x = e) lim =1 x→+∞ 2x 2   2x+1 x 2x + 1 2 f ) lim = (2) = 4 x→−∞ x. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. Ejercicio 10. Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(72) 72. Ejercicio 11. En el caso necesario dividimos por la mayor potencia: x2 + 6 x2 a) lim ≡ lim = 1/4 2 x→∞ 4x − 3 x→∞ 4x2 3x4 − 2x + 1 3x4 b) lim 4 ≡ lim =3 x→∞ x + x2 − 4 x→∞ x4 p √ √ x + 2x x p √ lim =1 c) lim √ ≡ x→∞ x→∞ x x − 2x q p √ √ 8 √ 2x 2x 2x 27 x7 8 d ) lim q p √ ≡ lim √ = 27 8 7 x→∞ x→∞ x x x x Ejercicio 11. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(73) 73. Ejercicio 12. En estos lı́mites aplicamos la técnica del conjugado: a) √ x − x2 + 1 ∞−∞ = x 0√ √ x − x2 + 1 x + x2 + 1 √ · = x x + x2 + 1 −1 −1 √ = =0 = lim 2 x→∞ x(x + ∞ x + 1) p p b) lim x2 + x − x2 + 2 = ∞ − ∞ x→∞. √ √ √ √ ( x2 + x − x2 + 2)( x2 + x + x2 + 2) √ √ = lim x→∞ x2 + x + x2 + 2 x−2 √ = lim √ x→∞ x2 + x + x2 + 2 x = lim = 1/2 x→∞ 2x Ejercicio 12. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(74) Soluciones a los Ejercicios. 74. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 13.. A.  a) Para que f (x) =. d. x+a x≤1 sea continua en x = 1 2 1<x. B s=B+mv. CIENCIAS. f (1− ) = 1 + a = f (1+ ) = 2 =⇒ a = 1  2 a x x≤1 b) Para que g(x) = sea continua en x = 1 1 1<x g(1− ) = a2 = g(1+ ) = 1 =⇒ a = ±1  ax x≤1 c) Para que h(x) = sea continua en x = 1 x−a 1<x h(1− ) = a = h(1+ ) = 1 − a =⇒ a = 1/2  2 a x+2 x≤1 d ) Para que y(x) = sea continua en x = 1 1 1<x. Lı́mites y Continuidad. MaTEX. y(1− ) = a2 + 2 = y(1+ ) = 1 =⇒ a2 = −1 no existe ningún valor de a que haga continua la función. Ejercicio 13. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(75) 75. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14.  x ≤ −1  2x + a Siendo f (x) = −x2 + 2 −1 < x ≤ 1  ln x 1<x a) Para que sea continua en x = −1. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. f (−1− ) = −2 + a = f (−1+ ) = 1 =⇒ a = 3 b) ¿Es continua en x = 1? No, pues f (1− ) = 1 6= f (1+ ) = ln 1 = 0 Ejercicio 14. Lı́mites y Continuidad. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(76) Soluciones a los Ejercicios. 76. r=A+lu. Ejercicio 15.. A. 2+x en x = 3 3−x 2+x lim = −∞ x→3+ 3 − x 2+x lim = +∞ − x→3 3 − x. g(x) =. x2 en x = 0 x+1 x2 lim + = +∞ x→−1 x + 1 lim. x→−1−. x2 = −∞ x+1. x=3 x = −1. Ejercicio 15. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. f (x) =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(77) Soluciones a los Ejercicios. 77. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 16.. A. x2 tiene y = 1 x2 + 1 x2 lim 2 =1 x→∞ x + 1 100 Si x = 10 =⇒ <1 100 + 1 100 <1 Si x = −10 =⇒ 100 + 1. g(x) =. y=1. y = −1. Ejercicio 16. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. 2+x tiene y − 1 3−x 2+x lim = −1 x→∞ 3 − x 2 + 10 Si x = 10 =⇒ < −1 3 − 10 2 − 10 Si x = −10 =⇒ > −1 3 + 10. f (x) =. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(78) Soluciones a los Ejercicios. 78. r=A+lu. Ejercicio 17.. A. 2 + x2 2+x. Oblicua yo = x − 2. x2 − 2 1−x Oblicua yo = −x − 1 g(x) =. f (10) = 8,5 > yo (10) = 8. h(10) = −10,8 > yo (10) = −11. f (−10) = −12,75 < yo (−10) = −12. h(−10) = 8,9 < yo (−10) = 9 y = −x − 1. y =x−2. Ejercicio 17. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. f (x) =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(79) Soluciones a los Ejercicios. 79. r=A+lu. Ejercicio 18.. A. 1 x→1+ x − 1 1 lim − x→1 x − 1 1 lim x→+∞ x − 1 1 lim x→−∞ x − 1. 1 x−1. d. y=. 1 x−1. +∞. CIENCIAS. MaTEX. −∞ 0. B s=B+mv. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 0. La función presenta: una ası́ntota vertical en x = 1. Lı́mites y Continuidad. Ramas del Infinito de lim. MATEMATICAS 1º Bachillerato. una ası́ntota horizontal y = 0 Ejercicio 18. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(80) Soluciones a los Ejercicios. 80. r=A+lu. Ejercicio 19.. A. x x→1+ x − 1 x lim − x→1 x − 1 x lim x→+∞ x − 1 x lim x→−∞ x − 1. x x−1. d. y=. x x−1. +∞. CIENCIAS. MaTEX. −∞ 1. B s=B+mv. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 1. La función presenta: una ası́ntota vertical en x = 1. Lı́mites y Continuidad. Ramas del Infinito de lim. MATEMATICAS 1º Bachillerato. una ası́ntota horizontal y = 1 Ejercicio 19 JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(81) Soluciones a los Ejercicios. 81. r=A+lu. Ejercicio 20.. A. x2. 1 −1. lim f (x). +∞. lim f (x). −∞. lim f (x). −∞. lim f (x). +∞. lim f (x). 0. lim f (x). 0. x→1+. x→1−. x→−1+. x→−1− x→+∞. x→−∞. d. y=. 1 x2 −1. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. La función presenta: dos ası́ntotas verticales en x = ±1. Lı́mites y Continuidad. f (x) =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. una ası́ntota horizontal y = 0 Ejercicio 20. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(82) Soluciones a los Ejercicios. 82. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 21.. A. Horizontal no tiene. d B s=B+mv. Vertical x = 0 x2 + 1 lim+ = +∞ x x→0. MaTEX -5. x2 + 1 1 = x + x x Posición: f (10) = 10,1 > y0 (10) = 10. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. y=. 4. 5. (x2 +1) x. f (−10) = −10,1 < y0 (−10) = −10 Ejercicio 21. Lı́mites y Continuidad. x2 + 1 = −∞ lim− x x→0 Oblicua yo = x, pues. CIENCIAS. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(83) Soluciones a los Ejercicios. 83. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 22.. A. Horizontal no tiene. d B s=B+mv. Vertical x = −1 x2 + 1 lim + = −∞ x+1 x→−1. MaTEX -5. x2 − 4 3 = x−1 − x+1 x−1 Posición:. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. y=. 3. 4. 5. (x2 −4) (x+1). f (10) = 8,72 < y0 (10) = 9 f (−10) = −10,66 > y0 (−10) = −11 Ejercicio 22. Lı́mites y Continuidad. x2 + 1 lim = +∞ − x+1 x→−1 Oblicua yo = x − 1, pues. CIENCIAS. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(84) Soluciones a los Ejercicios. 84. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 23.. A. Horizontal no tiene. d B s=B+mv. Vertical x = 0 x3 − 3x2 + 4 lim+ = +∞ x2 x→0. MaTEX -5. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. x3 − 3x2 + 4 4 = x−3 + 2 x2 x Posición: f (10) = 7,04 > y0 (10) = 7 f (−10) = −12,96 > y0 (−10) = −13. y=. (x3 −3x2 +4) x2. Ejercicio 23. Lı́mites y Continuidad. x3 − 3x2 + 4 lim− = +∞ x2 x→0 Oblicua yo = x − 3, pues. CIENCIAS. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(85) Soluciones a los Tests. 85. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Soluciones a los Tests. A. Solución al Test: En efecto • Ası́ntota vertical x = 1. d B s=B+mv. x+1 = +∞ x→1 x − 1 x+1 = −∞ lim− x→1 x − 1 • Ası́ntota horizontal, y = 1, pues cuando x → ∞ x+1 lim =1 x→∞ x − 1. CIENCIAS. lim+. Final del Test. Lı́mites y Continuidad. MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

(86) MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. a±∞ , 28 indeterminados, 18 algebra de, 8 con tablas, 6 laterales, 10. continuidad, 37 en un punto, 38. método de factorización, 20 del conjugado, 21. discontinuidad, 38 de salto finito, 40 de salto infinito, 41 evitable, 39 tipos de, 38. número e, 31. indeterminación 1±∞ , 33 0 , 20 0 ∞ , 22 ∞ ∞ − ∞, 24 lı́mites, 5 86. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Lı́mites y Continuidad. Índice alfabético Ası́ntotas, 44 horizontales, 48 oblicuas, 51 verticales, 45. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.

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