TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR: El momento angular se define como:
L r p
Teniendo en cuenta que p es el momento lineal (masa por el vector velocidad) la expresión anterior nos queda:
L r mvm r vSi derivamos esta expresión respecto del tiempo:
d L d r d v
m v r
dt dt dt
Teniendo en cuenta que la derivada del vector de posición respecto del tiempo es el vector velocidad y que la derivada del vector velocidad respecto del tiempo es el vector aceleración:
d L
m v v r a dt
Teniendo en cuenta las propiedades del producto vectorial, según las cuales si multiplicamos vectorialmente un vector por si mismo el resultado es cero:
d Lm r a
dt
Moviendo la masa para el interior del producto de los vectores (el orden de factores no altera el producto):
d L
r ma dt
Si ahora tenemos en cuenta que el producto de la masa por el vector aceleración es la fuerza:
d Lr F dt
0 d L 0 tan
Si r F L Cons te
dt
La fuerza gravitatoria es una fuerza central, por lo tanto, el vector fuerza apunta hacia el centro del cuerpo central, por otra parte, el vector de posición r apunta desde el centro del cuerpo centra hacia el centro del cuerpo que gira, con lo que, estos dos vectores llevan la misma dirección y por lo tanto su producto vectorial será nulo (de las propiedades del producto vectorial). Esto quiere decir que el momento angular permanece constante y esto quiere decir que, como el momento angular es un vector:
• Se conserva el módulo del momento angular, por lo tanto, el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales (segunda ley de Kepler)
• Se conserva la dirección del momento angular, por lo tanto las órbitas de los planetas en su movimiento son planas
• Se conserva el sentido, por lo tanto los planetas en sus órbitas no retroceden en su movimiento.
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
La fuerza gravitatoria es una fuerza central, esto quiere decir que el vector fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo que es atraído por otro pasa siempre por un punto fijo llamado foco, que en este caso será la masa por la que se ve atraída la fuerza
PROBLEMAS DE REPASO
1.- Las relaciones entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna son respectivamente 78,5 y 3,46.
a) Calcula la gravedad en la superficie de la Luna.
b) La velocidad de un satélite girando alrededor de la Luna en una órbita circular de 2700 km de radio.
g0=9,8 m/s2 RL=1700 km.
2.- Un satélite de 200 kg describe una órbita circular de 600 km sobre la superficie terrestre, a) deduce la expresión de la velocidad orbital, b) periodo de giro, c) energía mecánica.
3.- Ceres es el planeta enano más pequeño del sistema solar y tiene un periodo orbital alrededor del Sol de 4,60 años, una masa de 9.43·1020 kg y un radio de 477 km. Calcular: a) El valor de la intensidad del campo gravitatorio que Ceres crea en su superficie, b) La energía mínima que debe tener una nave espacial de 1000 kg de masa para que, salindo de su superficie pueda escapar totalmente de la atracción gravitatoria del planeta, c) La distancia media entre Ceres y el Sol, teniendo en cuenta que la idstancia media entre la Tierra y el Sol es de 1,50 · 1011 m y que el periodo orbital de la Tierra alrededor del Sol es de un año. DATO G=6,67·10-11 Nm2kg-2
PROBLEMAS Y CUESTIONES DE CLASE
Cuestión 1.-Unha partícula móvese dentro dun campo de forzas centrais. O seu momento angular respecto do centro de forzas:
a. Aumenta indefinidadamente. b. É cero.
c. Permanece constante.
Cuestión 2.- As órbitas planetarias son planas porque: a. Os planetas teñen inercia.
b. Non varía o momento angular ó ser unha forza central.
c. Non varía o momento de inercia dos planetas no seu percorrido. Cuestión 3.- Un mesmo planeta, describindo circunferencias arredor do sol, irá máis rápido:
a. Canto maior sexa o raio da órbita. b. Canto menor sexa o raio da órbita.
c. A velocidade non depende do tamaño da órbita. Cuestión 4.- No movemento da Terra arredor do Sol
a. Consérvanse o momento angular e o momento lineal.
SOLUCIÓN AL EJERCICIO DE REPASO 1
La gravedad en la superfície de un planeta viene dada por:
2
M
g G
R
La gravedad en la superfície de la luna será:
2 L L L M g G R
La gravedad en la superfície de la Tierra será:
2 T T T M g G R
Como los datos que nos dan son las relaciones entre masas y radios, lo más fácil es dividir una ecuación entre la otra:
2
2 2 2
2 2 2
·
L T LL T T T T L T T L
L
T L L L T L L T
T
L T
M
M
g
G
G
R
g
R
g
M
R
g
M
R
M
M
g
g
M
R
g
M
R
G
g
G
R
R
Ahora podemos sustituir los datos que nos da el problema de las relaciones (cocientes) entre masas y radios:
2 29,8
1
78.5
1, 49
/
3.46
LL
g
m s
g
Para calcular el valor de la velocidad de un satélite girando alrededor de la Luna, tenemos que deducir, en primer lugar, la expresión de la velocidad orbital de un cuerpo girando alrededor de otro cuerpo central:
2 2 0 2 g c g R
Mm v GM
F F G m v
r r r r
Ahora podemos sustituir los datos que nos da el problema, teniendo en cuenta que ahora es la Luna el cuerpo central, por lo que R hace referencia al radio de la Luna y g0 hace referencia al valor de la gravedad en la superfície de la Luna que es la que actúa ahora como cuerpo central.
Sustituyendo los datos que nos da el problema:
2 3 2 0 31, 49· 1700·10
1263 / 2700·10
g R
v m s
r
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE REPASO 2
1.- Un satélite de 200 kg describe una órbita circular de 600 km sobre la superficie terrestre, a) deduce la expresión de la velocidad orbital
La velocidad orbital, se puede deducir, teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es igual a la masa del satélite por su aceleración normal:
2
2
2
g N
Mm
v
F
ma
G
m
r
r
M
M
G
v
v
G
r
r
b) Calcular el periodo de giro:
2 3 2 2 3 2 2 0
2 2 4
4
T
r r r
T T T
v M GM
G r r T g R
Sustituyendo los datos del problema:
3
2 3 3
2 3
2
2 3
0
4 600·10 6400·10 4
5808 1, 61 9,8· 6400·10
T r
T s h
g R
c) Calcular la energía mecánica:
2
1
1
2
2
2
M c p
M
Mm
M
Mm
E
E
E
mv
G
mG
G
r
r
r
Mm
E
G
r
Sustituyendo los datos del problema
2 3 2 9 0 3 39,8· 6400·10
·200
5.7344·10
2
2
2 600·10
6400·10
T M
g R m
Mm
E
G
r
r
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE REPASO 3
Ceres es el planeta enano más pequeño del sistema solar y tiene un periodo orbital alrededor del Sol de 4,60 años, una masa de 9.43·1020 kg y un radio
de 477 km. Calcular: a) El valor de la intensidad del campo gravitatorio que Ceres crea en su superficie, b) La energía mínima que debe tener una nave espacial de 1000 kg de masa para que, salindo de su superficie pueda escapar totalmente de la atracción gravitatoria del planeta, c) La distancia media entre Ceres y el Sol, teniendo en cuenta que la idstancia media entre la Tierra y el Sol es de 1,50 · 1011 m y que el periodo orbital de la Tierra
alrededor del Sol es de un año. DATO G=6,67·10-11 Nm2kg-2
a) Para calcular la intensidad del campo gravitatorio que un planeta crea en su superficie usamos:
2
planeta
planeta M
g G
R
Sustituyendo los datos que nos da el problema:
220 11
2
9, 43·10
6, 67·10 0.276 477000
m s
g
b) Como este apartado consiste en un lanzamiento, debemos aplicar el principio de conservación de la energía entre el punto de lanzamiento (la superficie del planeta) y el punto al que queremos que llegue (el infinito, en el que la energía es 0):
0 0
0
MA MB
MA
MA
p
E E
E E
E
E E
M M
E G E G
R R
Sustituyendo los datos que nos da el problema:
20 119, 43·10
6, 67·10 131861 477000
E J
c) Para resolver el apartado c), al ser un problema en el que tenemos dos cuerpos distintos girando alrededor del mismo cuerpo central, se resuelve aplicando la tercera ley de Kepler:
2 2
1 2
3 3
1 2
T T
r r
2 2
11 2
3 3
11
2
1 4, 60
4,15·10 1,5·10
r m
r