Bioestadística
Centro de Investigación Colegio Odontológico
Julián Andrés Tamayo Cardona
Profesor investigador
Investigador Asociado (Categoría Colciencias 2014-2019) Científico de Datos
Introducción a la Probabilidad
Contenidos
- Conceptos básicos de probabilidad - Sucesos de un experimento
- Probabilidad Clásica
¿Qué es probabilidad?
Las probabilidades se pueden usar como medidas del grado de
incertidumbre.
Si se tienen las probabilidades, se podría determinar la posibilidad
de cada evento.
Cuanto más alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el
grado de certeza de que ocurrirá al hacer el experimento aleatorio.
Probabilidad
¿Qué es probabilidad?
0.5
0 1
Mayor posibilidad de ocurrencia
La ocurrencia del evento es tan probable como improbable Difícil que el
evento ocurra
¿Qué es probabilidad?
Experimento
Cualquier acción o proceso cuyo resultado esta sujeto a incertidumbre.
Espacio Muestral (S)
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
estadístico.
Evento
Cualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómeno
aleatorio.
¿Qué es probabilidad?
Experimento
Espacio Muestral (S)
Lanzar una moneda
Cara, Sello
Seleccionar un producto para
inspeccionarlo
Defectuosa, No defectuosa
Lanzamiento de un dado
1, 2, 3, 4, 5, 6
Jugar un partido de futbol
Ganar, Perder, Empatar
Ejemplos:
¿Qué es probabilidad?
Probabilidad clásica:
( )
n
AP A
n
n
Anúmero de opciones del evento
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo:
Se lanza un dado.
¿Cual es la probabilidad de que el dado caiga en número par?
𝑃 𝐴 =
3
¿Qué es probabilidad?
A
Experimento
Lanzamiento de un dado.
Espacio Muestral
Evento A:
El resultado es menor que 4
o
¿Cuál es la probabilidad de A?
1, 2, 3, 4, 5, 6
S
𝑃 𝐴 =
3
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo:
Experimento
El lanzamiento de dos monedas.
Espacio Muestral
A:
Se obtiene al menos una cara.
o
¿Cuál es la probabilidad de A?
( , ), ( , ), ( , ), ( , )
S
c c
c s
s c
s s
A
𝑃 𝐴 =
3
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo:
Espacio muestral del resultado del lanzamiento de un par
de dados:
Defina los eventos:
A:
Suma del resultado de los lanzamientos es mayor que 8
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
A
10
( )
0.27
36
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo:
Espacio muestral del resultado del lanzamiento de un par
de dados:
Defina los eventos:
B:
El resultado del segundo lanzamiento es par.
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
B
18
( )
0.5
36
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo:
Espacio muestral del resultado del lanzamiento de un par
de dados:
Defina los eventos:
C:
“Sale Par” (ambos dados con el mismo resultado)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
C
6
( )
0.16
36
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo: Al lanzar dos dados…
A: la suma de los dos dados sea igual a 7
B: el resultado de ambos dados es igual
¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B ?
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
𝑃 𝐴𝑈𝐵 =
12
¿Qué es probabilidad?
Ejemplo: Al lanzar dos dados…
A: la suma de los dos dados sea igual a 7
B: el resultado de ambos dados es igual
¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B ?
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
𝑃 𝐴𝑈𝐵 =
0
Propiedades de la Probabilidad
Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos (A∩B = ϕ)
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos no tienen ningún elemento en común.
Intersección (A∩B).
La intersección de dos eventos
Propiedades de la Probabilidad
Unión (AUB)
La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.
Complemento (A')
El complemento de un evento A
con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S
Propiedades de la Probabilidad
Representación gráfica de la relación entre eventos y el espacio
muestral (Diagrama de Venn)
S
A
∩
B
A
∩
B
∩
C
A
U
B
A
U(
B
∩
C
)
A
∩
B
'
Propiedades de la Probabilidad
Ejemplo:
En la ciudad se publican 3 periódicos (A, B, C). Realizada una
encuesta, se estima que en la población un 20% lee A, 16% lee B,
14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 4% lee B y C, y tan solo el 2%
lee los tres periódicos.
Del ejemplo se tienen las siguientes probabilidad:
P(A) = 0.20; P(B) = 0.16; P(C) = 0.14
P(A∩B) = 0.08; P(A∩C) = 0.05; P(B∩C) = 0.04; P(A∩B∩C) = 0.02
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
A
B
C
2%
2% 3%
6%
9% 6%
7%
65%
Propiedades de la Probabilidad
Ejercicio:
De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40
ingles, 51 castellano, 11 francés e ingles, 12 francés y castellano y 13 ingles y castellano, y 5 los tres idiomas. Se elige al azar una persona y se desea saber:
1. Represente el problema por medio del Diagrama de Venn 2. ¿Cual es la probabilidad de que hable castellano?
3. ¿Cual es la probabilidad de que no hable francés?
4. ¿Cual es la probabilidad de que se entienda solo en castellano? 5. ¿Cual es la probabilidad de que solo hable un idioma?
Probabilidad Condicional
A la probabilidad de que un evento B se dé cuando se sabe que
algún otro evento A se ha presentado se llama
probabilidad
condicional
y se escribe como:
A
P
A
B
P
A
B
P
|
Si P(A)>0Probabilidad Condicional
Ejemplo: supóngase la existencia de una población de adultos de un
pequeño pueblo, los cuales se pueden clasificar de acuerdo con su género
y si trabajan o no actualmente. La información se presenta en la siguiente
tabla:
Empleado (E) Desempleado (D) Total
Hombre (H) 460 40 500
Mujer (M) 140 260 400
Total 600 300 900
Si la persona seleccionada es Desempleada, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Si la persona seleccionada es Mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea empleado?
Probabilidad Condicional
La forma más sencilla de resolver el problema….
Población (N=900)
Hombres (n=500)
Mujeres (n=400)
Empleados (n=460)
Desempleados (n=40)
Empleadas (n=140)
Desempleadas (n=260)
Probabilidad Condicional
En términos de probabilidad….
Población (N=900)
P(H)=500/900
P(H) = 0.55
P(M)=400/900 P(M)=0.45 P(E/H)=460/500 P(E/H)=0.92 P(D/H)=40/500 P(D/H)=0.08 P(E/M)=140/400 P(E/M)=0.35 P(D/M)=260/400 P(D/M)=0.65
Diagrama de Árbol
0.55x0.92=0.506
0.55x0.08=0.044
0.45x0.35=0.1575
Probabilidad Condicional
Si la persona seleccionada es Desempleada, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
P(H/D) = P(H ∩ D) = 0.044/0.3365 = 0.1307 P(D)
P(H ∩ D) = 0.044
P(D) = 0.044 + 0.2925 = 0.3365
Si la persona seleccionada es Mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea empleado?
P(E/M) = P(E ∩ M) = 0.1575/0.45 = 0.35 P(M)
Ejercicio
Se ha realizado un pequeño estudio a un grupo de trabajadores de una empresa. Entre sus conclusiones está que un 40% ha recibido asistencia en prevención de accidentes laborales (capacitación). Además, el 20% de los que recibieron con anterioridad asistencia en prevención de accidentes sufrieron algún tipo de accidente laboral. Un 70% de trabajadores que no recibieron asistencia en prevención de accidentes sufrieron alguno de estos, durante su labor.
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no reciba asistencia en prevención de accidentes laborales?
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador reciba asistencia en prevención de accidentes laborales?
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador reciba asistencia en prevención de accidentes laborales y no tenga algún tipo de accidente?
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no reciba asistencia en prevención de accidentes y sufra algún tipo de accidente?
Si un trabajador sufre algún tipo de accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido asistencia en prevención de accidentes laborales?
Si un trabajador no recibió capacitación, ¿Cuál es la probabilidad de que se accidente?
Ejercicio-i
En un grupo de estudiantes de odontología se realizó una encuesta sobre la salud oral. Se encontró que el 72% presentaba caries, el 51% presentaba apiñamiento y un 30% enfermedad periodontal. El 34% tenia caries y apiñamiento, el 27% tenia caries y enfermedad periodontal, el 12% tenia apiñamiento y enfermedad periodontal y sólo y 10% presentaba los tres tipos de lesiones.
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante presente al menos una lesión?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea sano?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sólo tenga caries?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga caries y apiñamiento, pero no enfermedad periodontal?
Ejercicio-ii
En un grupo de estudiantes de odontología se realizó una encuesta sobre la salud oral. Se encontró que el 68% presentaba caries, el 41% presentaba apiñamiento y un 39% enfermedad periodontal. El 24% tenia caries y apiñamiento, el 30% tenia caries y enfermedad periodontal, el 15% tenia apiñamiento y enfermedad periodontal y sólo y 8% presentaba los tres tipos de lesiones.
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea sano?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sólo tenga apiñamiento?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante presente al menos una lesión?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga caries y enfermedad periodontal, pero no apiñamiento?