10 UT X Dinámica del cuerpo rígido (2)

Unidad Temática X

Dinámica del Sólido

Contenidos.

Electrones, núcleos atómicos, moléculas, ruedas, engranajes, planetas, estrellas y galaxias realizan movimientos de rotación.

Momento de una fuerza. Torque

Definición:Se define al momento de una fuerza con respecto a un punto O, como el producto vectorial del vector posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto O, por la fuerza .

r F





 

 

( )

( )

r F sen

d

r sen











Módulo

total

r

F







  







 



Cantidad de movimiento de una partícula.

Definimos la cantidad de

movimiento de una partícula como



  

  d p

p mv F

dt

Momento angular de un partícula

( )     

    L r p r mv

El análogo rotacional de la cantidad de movimiento es el momento angular, que es el momento de la cantidad de movimiento:

[L]=kg m2_/s

=L ( ) ( )



 

   

L r psen r mv sen r p r p Su módulo

es:

Partícula describiendo un circulo

2

( ) =L (90º )

  

     

      

   

L R p R mv L R p sen Rmv

v R L mR I

Partícula moviéndose en línea recta

=L ( )





 

L R psen mv r

Si v = Cte => L = Cte Si a  0 => L = L(t)

La dirección de L se determina utilizando la regla de la mano derecha o del tirabuzón.

Relación entre L y



d L d d r d p

r p p r

dt dt dt dt

  

   

 

 _  _   

 

d L d p r

dt dt

 



  F d p

dt

 





2º ley de

Newton

d L

r F

dt







   

   







Análogo

rotacional de la 2º ley de Newton

pero

y

paralelo a 0

d r d r

v p m v p

dt dt

 

   

1 2

1

. . .

N

i N

i

i

i i

i i i

L

l

l

l

l

d l

d L

d

l

dt

dt

dt



    

  

 

  











_

_

















El momento angular total de un sistema de N partículas es:

i



es el momento total sobre la i-ésima partícula, y tiene una componente debida a las fuerza internas y otra debida a las fuerzas externas

int ext

i i i

 













Momento angular de un sistema de partículas

int ext

i i i

i i i







 





 



Únicamente los momentos de las fuerzas externas pueden cambiar el momento angular

total del sistema

ext

i i

d L

dt











Si _ext 0 0

i

d L dt



 

   



i

i

L

l

Cte

 







Si el momento total de las fuerzas externas sobre el sistema es nulo el momento angular se conserva

int

pero

_i

0

i

Dinámica rotacional de un sólido rígido alrededor de un eje fijo

i: partícula del cuerpo de momento angular li

z i i z

i z i

L _ l _  l









i i i

l

r

p

  

 

(90º )

i i i i i i i i i

l



r p sen



r m v



r m R



2

( ) ( ) [ ( )]

i z i i i i i z i i i z i i i i z

l l sen



r m R



sen



m R



r sen



m R



R_i y _z se refieren al eje => la expresión es válida para cualquier punto O del eje

Plano xz

Sumando para todas las partículas que constituyen el objeto

2 2

z i z i i z z i i

i i i

L





l





m R









m R

2

i i i

I 



m R Momento

de Inercia

L

z



I



z

Componente axial del momento angular

Esta ecuación es válida para cualquier objeto rígido.

z

L

L k





Si el cuerpo posee simetría respecto del eje de rotación las componentes radiales de l_ide puntos opuestos se cancelan entre si, y tenemos: =>

Ecuación de movimiento

z z

L  I





z

z

dL I

dt 



pero

z z dL dt







z I z









Ecuación de movimiento de un sólido rígido que rota alrededor de un eje fijo

ext CM

F M a

 





Ecuación de movimiento de un sólido rígido con movimiento de traslación

Movimiento rotacional Movimiento traslacional





z z z z

dL d d

I I I

dt dt dt







  

Trabajo y potencia en el movimiento rotacional

La fuerza F hace rotar al cuerpo con respecto a un eje fijo que pasa por O.

( ) ( )

( )

z z

dW F ds F sen ds F sen r d

F r sen dW d

                f i z

W



d



 





Si



_z es Cte => f

(

)

i

z z f i z

W



d





  



 









 

f i x x x

W





F dx

Obtendremos una ecuación equivalente al teorema de la energía cinética

total z

dW 



 d pero z z z

d I I dt













z

total z z

d

dW I d I dt

dt



 



  2 1 2 z z z d d dt dt





 _



_  

 

 

2 2 2

1 1 1

2 2 2

total z z

d d d

dW I dt I dt I dt

dt



dt



dt



 

 _{ }  

 

 

2

 

2



2 2



1 1 1

2 2 2

f f

i i

t t

total f i

t t

d

W I dt I d I

dt

















 

Potencia. La velocidad con que F realiza trabajo en la rotación es:

z z z

dW

d

P

dt

dt





 







2 2 1 1 2 2

total f i

W  I



 I



2 2

1 1

2 2

total f i

W  m v  m v

Teorema rotacional de la energía cinética

Teorema traslacional de la energía cinética

Movimiento rotacional Movimiento traslacional

P

F v

 

 

Potencia rotacional Potencia traslacional z z

Conservación del momento angular total d L dt





    



Vimos que:

Momento total de las fuerzas externas

 

0 d L d l_i 0

dt dt



     





si inicial final i

L

l

Cte

L

L

  











Principio de conservación del momento angular Si el momento total de las fuerzas externas es nulo, el

momento angular se conserva.

d dt   d dt    I   







2 2 2 1 2 2 f i

f i i

f i f i t

Si Cte t t

                   _      _{  }  dx v dt  dv a dt 

F m a





2 2 2 1 2 2 f i

f i i

f i f i

v v a t

Si a Cte x x v t a t

v v a x x

      _      _{  } 

f i

W



d



 





2

1 2

R

Ec  I

P



 

L



I



dL dt







f i

x

x x

W 



F dx

2

1 2

R

Ec  m v

P



F v

p



mv

dp F

dt





Ecuaciones análogas entre traslación y rotación alrededor de un eje fijo

Fuerzas centrales

Puede darse el caso de que no siendo nula la fuerza total externa, el momento angular se conserve. Sucede cuando el momento de fuerza total se mide con respecto de un punto contenido en la recta de acción de la fuerza total. Ej: fuerza de atracción gravitatoria del sol sobre los planetas medida desde el sol.

El brazo de F con respecto al sol es nulo, por tanto L se conserva. Si

m es la masa del planeta, r y v su posición y velocidad instantáneas se cumple:

( )

L

r p

L

r m v sen



Cte

  

r, v y  cambian a lo largo de la órbita pero el producto mvr sen() no cambia. En los puntos a y p de la orbita es =90º, por tanto:

a a p p a a p p

mv r mv r  v r v r

Cuando el planeta se aleja del sol su velocidad orbital disminuye, y cuando se acerca aumenta.

a: afelio p: perihelio

Cuando la fuerza que actúa sobre un objeto esta en todo momento dirigida a lo largo de una línea que pasa por un punto fijo, y además su módulo depende únicamente de la distancia entre el objeto y el punto, la fuerza se denomina fuerza central.

La fuerza gravitatoria es una fuerza central.

Si un cuerpo se mueve bajo la influencia de una fuerza central, su momento angular se conserva.

Movimiento de Trompos y Giróscopos

CM g

r F



   

El torque produce una variación en L en la dirección de 

d L L dt t



 

 

  



i f

L L L



t

   

    

L L L

  

   Cambia de dirección, _{pero su módulo}

permanece constante El cambio en la dirección de provoca el

L



La fuerza de gravedad Mg produce un torque  respecto del pivote O, perpendicular al eje. Este torque produce un cambio dL en el momento angular en dirección perpendicular al eje. El eje barre un ángulo d en el tiempo dt.

L I



N no produce torque. Suponemos que la contribución al momento angular total del movimiento del CM es despreciable frente a la contribución de la rueda, pues  es grande, luego:

; dL dL

M g h M g h

dt dt

dL L d d M g h M g h

dL M g h dt dt L I

 

 





   

 

  



 _

p p

d

M g h

dt

I















En casi todas sus aplicaciones prácticas, los giróscopos están montados en un soporte que les permite girar libremente en cualquier dirección. En ausencia de torques externos, el giróscopo en rotación tiende a mantener su posición inalterable en el espacio, proporcionando una dirección de

referencia.

El giróscopo es cualquier cuerpo en rotación que presenta dos propiedades fundamentales: la inercia rotacional giroscópica y la precesión, que es la inclinación del eje en ángulo recto ante cualquier fuerza que tienda a cambiar el plano de rotación. Estas

propiedades son inherentes a todos los cuerpos en rotación, incluida la Tierra.

Se utilizan mucho en la aviación y los vuelos espaciales. Así, el piloto automático detecta las variaciones con respecto al plan de vuelo establecido, y proporciona señales correctoras a las superficies de control del avión: alerones, elevadores y timón de cola.