INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
TIJUANA
SUBDIRECCIÓN ACADEMICA
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y
COMPUTACIÓN
TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y
COMUNICACIÓNES
MIGUEL ÁNGEL OCAMPO HERNÁNDEZ
12211519
SEMESTRE: AGOSTO - DICIEMBRE
MATERIA: ALGEBRA LINEAL
UNIDAD: II
MAESTRA: MARIA EUGENIA BERMUDEZ
INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 2
ÍNDICE
Definición de matriz ……… 3
Operaciones con matrices ………. 4
Clasificación de matrices ……….. 5
Calculo de una matriz inversa ……… 6
Definición de determinante ……… .. 6
Propiedades de las determinantes ……….. 7
Inversa de una matriz a través de la adjunta ………. 8
Aplicaciones de matrices ……… 9
Conclusión ……….. 11
MATRICES
Una matriz A de m x n es un arreglo de mn números reales o complejos ordenados en m Filas horizontales y n columnas verticales
Una matriz nos permite escribir sistemas lineales de una manera compacta que facilite la automatización del método de eliminación en una computadora dándonos un procedimiento rápido y eficaz para determinar las soluciones [ 1 ] Ejemplo:
A =
[
]
fila (renglón i)
Columna j
La i-esima fila de A es 1 ≤ i ≤ m
La j-esima columna de A es [
] 1 ≤ j ≤ n
Diremos que A es una matriz de m por n, si m = n entonces decimos que A es una matriz cuadrada de orden n y que los números [ , ,….., ] forman la diagonal
principal Aplicación:
Un nutriólogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B, C; cada onza de alimento a contiene 2 unidades de proteína, 3 de grasa y 4 de carbohidratos, cada onza de alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 de grasa y 1 de carbohidratos y el
alimento C contiene 3unidades de proteínas, 3 de grasa y 2 de carbohidratos. Si la dieta debe contener exactamente 25 unidades de proteína, 24 de grasa y 21 de
OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES
Si A = [ ] y B = [ ] son matrices m x n la suma de A + B nos da como resultado la
matriz C = [ ] de m x n definida por
= + (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)
Es decir C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B Ejemplo:
Sean A = [ ] y B = [ ] Entonces A + B = [ ] = [ ]
Observe que la suma de matrices A y B solo se define cuando A y B tienen el mismo número de filas y de columnas, es decir cuando A y B son del mismo tamaño [ 1 ] MULTIPLICACION DE MATRICES
Sean A = [ ] y B = [ ] aun cuando no sean de la misma cantidad de renglones y
columnas se multiplica renglón por columna y se hace la suma y se toma como un solo valor para una fila y resulta la matriz C = [ ] [ 1 ]
Ejemplo
A = [ ] B = [
] A*B =C = [
]
Y esta resultado sale por la siguiente operación:
CLASIFICACION DE MATRICES
MATRIZ CUADRADA tiene igual número de renglones que de columnas
Sea A = [
]
MATRIZ DIAGONAL todos los elementos fuera de la diagonal valen ‘0’ [ 2 ]
Sea A = [
]
MATRIZ IDENTIDAD son cuadradas y la diagonal son 1’s Sea A = [
]
MATRIZ PER SIMÉTRICA los lados arriba y debajo de la diagonal son iguales [ 2 ] Sea A = [
]
MATRIZ CIRCULANTE A LA DERECHA Los elementos se van recorriendo ala derecha y van ingresando nuevos por la izquierda
Sea A = [
]
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas Ejemplo:
A = [2 3 1 4] , = [ ] ; B = [ ] , = [
]
Si se trata de una matriz cuadrada la diagonal principal se mantiene en su lugar Sea A = [
CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de n x n no es singular si existe una matriz de B de n x n tal que AB = BA = . La matriz B se denomina inversa de A. Si no existe A se dice que B es singular
Para calcular la inversa de una matriz se utiliza la matriz identidad se le coloca después de la última columna y se realizan las operaciones de modo que la matriz identidad que al principio y se toma lo restante y podemos decir que esa es la matriz inversa [ 2 ] Ejemplo:
A = [ ] = [ ] [ ]
= [ ] -3 + = [ ]
= [
]-4 + ;
= [
] ;
= [
]
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz A(n, n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como módulo de la matriz. [ 2 ]
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.) [ 2 ]
PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES 1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2. |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. [ 3 ]
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. [ 3 ]
7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
INVERSA DE UNA MATRIZ ATRAVEZ DE LA ADJUNTA
Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula). Y Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. [ 3 ]
1.- Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.
2.- Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. 3.- Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.
4.- Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.
APLICACIONES CON MATRICES
En 4 semanas, las dos compañías, Hirter y Zipfer, necesitan las siguientes cantidades de
materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME): [ 4 ]
1ª semana: Hirter: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua Zipfer: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua. 2ª semana: Hirter: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua Zipfer: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua 3ª semana: Hirter: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua Zipfer: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua. 4ª semana: Hirter: 11 ME levadura, 7 ME malta, 9 ME agua Zipfer: 11 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua. Los datos se representan de manera sencilla. Levadura malta agua 1ª semana 8 4 12
Hirter 2ª semana 10 6 5
3ª semana 7 8 5
4ª semana 11 7 9
Matriz resultante [
Levadura malta agua
1ª semana 6 3 12
Zipfer 2ªsemana 9 5 4
3ªsemana 7 0 5
4ª semana 11 6 5
Matriz resultante [ ] La representación de las dos compañías en forma de matrices nos permite una comparación más fácil. Ahora los elementos pueden ser comparados directamente y fácilmente para conseguir más información acerca de las dos compañías o compararlas, se requiere la suma y resta de matrices Matriz H = [ ] Matriz Z = [ ] ¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia prima levadura, lo que significa: 8+6 =14 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4+3=7 ME malta, y para el agua: 12+12=24 ME agua. [ 4 ]
[ ] + [ ] = [ ] Hirter Zipfer Ambas (Consumos) ¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Hirter, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Hirter? [ 4 ]
Producto escalar:
5 * [
CONCLUCION
Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costes y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz
Son muchas las circunstancias, que se puedan describir usando matrices: suma de matrices, multiplicación escalar, multiplicación de una matriz por un vector, multiplicación de dos matrices. También podemos aplicar estos cálculos dentro y fuera del área matemática y probar la validez de las reglas de cálculo.
BIBLIOGRAFIA.- [ 1 ] Algebra lineal; sexta edición; Stanley I. , Grossman S.
[ 2 ] Algebra lineal; Octava edición; Bernard Kolman, David R. Hill [ 3 ] Algebra; Carlos Ivorra Castillo
[ 4 ] http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen