INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA SUBDIRECCIÓN ACADEMICA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓNES

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE

TIJUANA

SUBDIRECCIÓN ACADEMICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y

COMPUTACIÓN

TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y

COMUNICACIÓNES

MIGUEL ÁNGEL OCAMPO HERNÁNDEZ

12211519

SEMESTRE: AGOSTO - DICIEMBRE

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

UNIDAD: II

MAESTRA: MARIA EUGENIA BERMUDEZ

INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 2

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ÍNDICE

Definición de matriz ……… 3

Operaciones con matrices ………. 4

Clasificación de matrices ……….. 5

Calculo de una matriz inversa ……… 6

Definición de determinante ……… .. 6

Propiedades de las determinantes ……….. 7

Inversa de una matriz a través de la adjunta ………. 8

Aplicaciones de matrices ……… 9

Conclusión ……….. 11

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MATRICES

Una matriz A de m x n es un arreglo de mn números reales o complejos ordenados en m Filas horizontales y n columnas verticales

Una matriz nos permite escribir sistemas lineales de una manera compacta que facilite la automatización del método de eliminación en una computadora dándonos un procedimiento rápido y eficaz para determinar las soluciones [ 1 ] Ejemplo:

A =

[

]

fila (renglón i)

Columna j

La i-esima fila de A es 1 ≤ i ≤ m

La j-esima columna de A es [

] 1 ≤ j ≤ n

Diremos que A es una matriz de m por n, si m = n entonces decimos que A es una matriz cuadrada de orden n y que los números [ , ,….., ] forman la diagonal

principal Aplicación:

Un nutriólogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B, C; cada onza de alimento a contiene 2 unidades de proteína, 3 de grasa y 4 de carbohidratos, cada onza de alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 de grasa y 1 de carbohidratos y el

alimento C contiene 3unidades de proteínas, 3 de grasa y 2 de carbohidratos. Si la dieta debe contener exactamente 25 unidades de proteína, 24 de grasa y 21 de

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OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES

Si A = [ ] y B = [ ] son matrices m x n la suma de A + B nos da como resultado la

matriz C = [ ] de m x n definida por

= + (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

Es decir C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B Ejemplo:

Sean A = [ ] y B = [ ] Entonces A + B = [ ] = [ ]

Observe que la suma de matrices A y B solo se define cuando A y B tienen el mismo número de filas y de columnas, es decir cuando A y B son del mismo tamaño [ 1 ] MULTIPLICACION DE MATRICES

Sean A = [ ] y B = [ ] aun cuando no sean de la misma cantidad de renglones y

columnas se multiplica renglón por columna y se hace la suma y se toma como un solo valor para una fila y resulta la matriz C = [ ] [ 1 ]

Ejemplo

A = [ ] B = [

] A*B =C = [

]

Y esta resultado sale por la siguiente operación:

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CLASIFICACION DE MATRICES

MATRIZ CUADRADA tiene igual número de renglones que de columnas

Sea A = [

]

MATRIZ DIAGONAL todos los elementos fuera de la diagonal valen ‘0’ [ 2 ]

Sea A = [

]

MATRIZ IDENTIDAD son cuadradas y la diagonal son 1’s Sea A = [

]

MATRIZ PER SIMÉTRICA los lados arriba y debajo de la diagonal son iguales [ 2 ] Sea A = [

]

MATRIZ CIRCULANTE A LA DERECHA Los elementos se van recorriendo ala derecha y van ingresando nuevos por la izquierda

Sea A = [

]

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas Ejemplo:

A = [2 3 1 4] , = [ ] ; B = [ ] , = [

]

Si se trata de una matriz cuadrada la diagonal principal se mantiene en su lugar Sea A = [

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CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA

Sea A una matriz de n x n no es singular si existe una matriz de B de n x n tal que AB = BA = . La matriz B se denomina inversa de A. Si no existe A se dice que B es singular

Para calcular la inversa de una matriz se utiliza la matriz identidad se le coloca después de la última columna y se realizan las operaciones de modo que la matriz identidad que al principio y se toma lo restante y podemos decir que esa es la matriz inversa [ 2 ] Ejemplo:

A = [ ] = [ ] [ ]

= [ ] -3 + = [ ]

= [

]-4 + ;

= [

] ;

= [

]

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz A(n, n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como módulo de la matriz. [ 2 ]

(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.) [ 2 ]

PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES 1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

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2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. [ 3 ]

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. [ 3 ]

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7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

INVERSA DE UNA MATRIZ ATRAVEZ DE LA ADJUNTA

Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula). Y Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. [ 3 ]

1.- Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

2.- Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. 3.- Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

4.- Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

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APLICACIONES CON MATRICES

En 4 semanas, las dos compañías, Hirter y Zipfer, necesitan las siguientes cantidades de

materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME): [ 4 ]

1ª semana: Hirter: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua Zipfer: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua. 2ª semana: Hirter: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua Zipfer: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua 3ª semana: Hirter: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua Zipfer: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua. 4ª semana: Hirter: 11 ME levadura, 7 ME malta, 9 ME agua Zipfer: 11 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua. Los datos se representan de manera sencilla. Levadura malta agua 1ª semana 8 4 12

Hirter 2ª semana 10 6 5

3ª semana 7 8 5

4ª semana 11 7 9

Matriz resultante [

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Levadura malta agua

1ª semana 6 3 12

Zipfer 2ªsemana 9 5 4

3ªsemana 7 0 5

4ª semana 11 6 5

Matriz resultante [ ] La representación de las dos compañías en forma de matrices nos permite una comparación más fácil. Ahora los elementos pueden ser comparados directamente y fácilmente para conseguir más información acerca de las dos compañías o compararlas, se requiere la suma y resta de matrices Matriz H = [ ] Matriz Z = [ ] ¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia prima levadura, lo que significa: 8+6 =14 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4+3=7 ME malta, y para el agua: 12+12=24 ME agua. [ 4 ]

[ ] + [ ] = [ ] Hirter Zipfer Ambas (Consumos) ¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Hirter, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Hirter? [ 4 ]

Producto escalar:

5 * [

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CONCLUCION

Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costes y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz

Son muchas las circunstancias, que se puedan describir usando matrices: suma de matrices, multiplicación escalar, multiplicación de una matriz por un vector, multiplicación de dos matrices. También podemos aplicar estos cálculos dentro y fuera del área matemática y probar la validez de las reglas de cálculo.

BIBLIOGRAFIA.- [ 1 ] Algebra lineal; sexta edición; Stanley I. , Grossman S.

[ 2 ] Algebra lineal; Octava edición; Bernard Kolman, David R. Hill [ 3 ] Algebra; Carlos Ivorra Castillo

[ 4 ] http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen

Figure

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