Luego resulta antisimétrica. b) Si f es antisimétrica se deduce que es alternada

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(1)

1

SOLUCIONES ESPACIO EUCLÍDEO

Enunciado 1

Se considera el espacio vectorial 3

referido a la base B

e e e1, ,2 3

. Hallar las coordenadas en la base dual B*

f f1, 2,f3

de la forma lineal que hace corresponder a los vectores de 3

1 2 3

, v (2,1,0) ,t v (1,1,1) ,t v (1,1,0)t los escalares 1, 2, 0 respectivamente.

Solución

Sea

1

1 2 3 2

3 ( )

x f x a a a x x    

 

   

Las coordenadas de f en la base dual B* serán

1 1 2 2 3 3

( ) , ( ) , ( )

f ea f ea f ea . Por tanto

1 1 2 1 2 1 2

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 1 2 1 2 1 2

( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) 0

f v f e e f e f e a a

f v f e e e f e f e f e a a a f v f e e f e f e a a

      

         

      

Resolviendo el sistema resulta: a1 1 ,a2  1 ,a32 f

1 1 2

Por tanto

1

2 1 2 3

3

1 2 3

( ) 1 1 2 2

2 x

f x x x x x

x f f f f

  

  

 

 

  

    

Enunciado 2

Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una forma bilineal sea alternada es que sea antisimétrica.

Demostración

a) Si f es alternada se deduce que es antisimétrica

(

,

)

( , )

( , )

( , )

( , )

0

f x

y x

y

f x x

f x y

f y x

f y y

Al ser f alternada

f x x

( , )

0

;

f y y

( , )

0

. Por tanto

( , )

( , )

0

( , )

( , )

f x y

f y x

 

f x y

 

f y x

Luego resulta antisimétrica. b) Si f es antisimétrica se deduce que es alternada

( , )

( , )

f x y

 

f y x

. Haciendo yx resulta

( , )

( , )

2 ( , )

0

f x x

 

f x x

f x x

 

f x x

( , )

0

. Luego es alternada. Enunciado 3

Sea E un espacio vectorial sobre referido a la base B

e e1, 2

. Comprobar que existe una forma bilineal alternada D que se denomina función determinante.

Solución

Sea D E E:   una forma bilineal alternada. 1 1 2 2 1 1 2 2

, : ,

x y x x e x e y y e y e

     

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

D x y D x e x e y e y e x y D e e x y D e e x y D e e x y D e e

      

(2)

2

1 1 2 2 1 2 2 1

Alternada: ( , )D e eD e e( , )0 , Antisimetrica: Si ( ,D e e )1 ,D e e( , ) 1

 

1 1 1

1 2 2 1 1 2

2 2 2

0 1

( , ) ,

1 0

x y y

D x y x y x y D x y x x

x y y

 

 

       

   

Enunciado 4

En el espacio vectorial 3 referido a la base B

e e e1, ,2 3

se consideran las formas lineales:

1 1 2 3 1 2 3

3

2 1 2 3 1 2 1 2 3

3 1 2 3 1 3

, ,

, , , ,

, ,

g x x x x x x

g x x x x x x x x g x x x x x

    

   

   

1. Demostrar que son linealmente independientes 2. Hallar la base B de 3

respecto a la cual B*

g g g1, 2, 3

es su base dual. Solución

1 2 3

1 1 1

1 1 1 , 1 1 0 , 1 0 1 1 1 0 1 0

1 0 1

ggg     

Luego son linealmente independientes.

1 2 3

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 2 1 ' 1 2 1

1 0 1 1 1 0 1 1 0

u u u

R P RB

 

   

         

 

         

           

 

       

         

 

También se puede hacer usando la delta de Kronecker: ,

1 si ( )

0 si i j i j

i j g u

i j

  

 

1

1 1 2

3

1 2 3 1

1

2 1 2 1 2 2 1

3 1 3 3

1

3 1 2

3

( ) 1 1 1 1

1 1 1

( ) 1 1 0 0 0 1 1

1

0 1

( ) 1 0 1 0

x

g u x

x

x x x x

x

g u x x x x u

x x x x

x

g u x

x

   

 

   

   

 

   

  

   

 

       

       

           

 

 

 

   

 

  

Y así sucesivamente. Enunciado 5

Se consideran 2 bases de 3, B1

a a a1, 2, 3

, B2 

b b b1, ,2 3

de modo que

1 1 2

2 1 3 3 1 3

2 a b b a b b a b b   

   

   

Se considera la forma bilineal 3 3 :

(3)

3 Cuya matriz asociada a la base B1 es

1 0 2

1 1 0

0 1 0 A

 

 

  

 

 

Hallar la matriz asociada a la base B2

Solución

2

1 3

2 3 1

1 1 2

2 1 3 2 1 2 3

3 1 3 2 3

3

0 1 0

2 2

1 1

1

2 2

1 1

1 2

2 b 2

b b

a a b

a b b

a b b b a a a P

a b b a a

b

 

 

 

 

 

  

          

  

 

  

  

 

1 1 1 1 1

0 1 0

0

1 0 2

2 2 2 2 2

1 1

' 1 1 1 1 1 0 1 2 4 0

2 2

1 1 0 1 0 1

1 1

0 0 0

1

2 2 2

2 2

t A P A P

 

   

     

    

         

 

   

   

Enunciado 6

Dadas las formas bilineales siguientes sobre 3. Hallar los valores del parámetro  para los que las formas cuadráticas asociadas sean definidas positivas.

1. f x y( , )5x y1 12x y1 2 x y1 32x y2 1x y2 2x y2 3x y3 1x y3 2x y3 3 2. f x y( , )x y1 1x y1 3x y2 22x y2 3x y3 12x y3 2

Solución

1. La matriz de la forma bilineal será

5 2 1

2 1 1

1 1 A

 

 

 

Se verifica que

1 2 3

5 2 1

5 2

5 5 0 , 1 0 , 2 1 1 2 0 2

2 1

1 1

M M M  

            

 

Por tanto si 2 es definida positiva la forma cuadrática asociada. 2. La matriz de la forma bilineal será

1 0 1

0 2

1 2 0

A  

 

 

 

Se verifica que

2

1 2 3

1 0 1

1 0

1 1 0 , 0 , 0 2 4 0

0

1 2 0

M MM    

           

(4)

4

Si  0 M30. Luego NUNCA puede ser definida positiva la forma cuadrática asociada.

Enunciado 7

Se considera la forma bilineal 3 3

1 2 3 1 2 3

: , ( , , ) , ( , , )

f   xx x x yy y y

1 1 1 3 2 2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 2 3

( , ) 2 ; , ,

f x yx yx yx yx yx yx yx y Be e e 1. Expresión matricial de f.

2. Rango y núcleo de la forma bilineal.

3. En 3

se considera el cambio de base:

1 2 3

1 3 2 3

' 2 2 3

'

'

x x x x

y x x

z x x

  

    

    

siendo (x’,y’,z’)

las coordenadas de un vector en una cierta base B’ de 3

. Hallar la expresión matricial de la forma bilineal f en la base B’.

Solución

1.

1

1 2 3 2

3

1 0 1

( , ) 0 1 1

1 1 2 y

f x y x x x y

y

   

   

  

 

   

2. rg A( )2. Por tanto es una forma bilineal degenerada. El núcleo:

1 1

2 2 ker

3 3

1 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 1 2 0 1

y y

y y B

y y

  

   

       

  

          

       

    

        

3.

1 1

1

2 2

3 3

' 2 2 3 2 2 3 1 1 2

' 1 0 1 1 0 1 1 2 1

' 0 1 1 0 1 1 1 2 2

x x

x x P P

x x

         

     

         

     

   

      

   

         

1 1 1 1 0 1 1 1 2 4 6 8

' 1 2 2 0 1 1 1 2 1 6 9 12

2 1 2 1 1 2 1 2 2 8 12 17

t A P A P

 

     

     

      

    

     

1 2 3

12

3

4 6 8 '

( , ) ' ' ' 6 9 12 '

8 12 17 ' y

f x y x x x y

y

   

   

 

  

   

Enunciado 8

Sea S2 el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden 2 referido a la base 1 0 , 0 1 , 0 0

0 0 1 0 0 1

B       

     

 . Sea una forma bilineal simétrica cuya

expresión matricial en la base B es

1 2 3

12 2

3

1 1 0

( , ) 1 2 1 ,

0 1 1 y

f M N x x x y M N S

y

   

   

    

 

   

(5)

5

2. Hallar el subespacio conjugado de la matriz 1 2 2 0

 

 

 

3. Clasificar la forma cuadrática asociada por el criterio de Sylvester. Solución

1. Dado que F1F2F3rg A( )2. Por tanto es degenerada. En cuanto al núcleo:

1 2 1

1

2 1 2 3 2

3 2 3 3

0

1 1 0 0 1

1 2 1 0 2 0 1

0 1 1 0 0 1

y y y

y

y y y y y B

y y y y

  

      

 

       

   

        

       

      

         

Este vector corresponde a la matriz 1 1 1 1

 

 

 

2. Subespacio conjugado:

12

12 1 2 3

3 3

1 1 0

1 2 0 1 2 1 3 5 2 0 3 5 2 0

0 1 1

y y

y y y y y

y y

     

     

     

   

     

2 2 1 2

Por ejemplo la matriz es conjugada de

2 8 2 0

   

   

   

1 1 0 2 2

1 2 0 1 2 1 2 3 5 2 2 3 2 5 2 2 8 0

0 1 1 8 8

     

          

     

   

     

Clasificar la forma cuadrática mediante el criterio de Sylvester:

1 2 3

1 1 0

1 1

1 1 0 , 1 0 , 1 2 1 0

1 2

0 1 1

M    M    M   

. Semidefinida positiva.

Enunciado 9 En 4

con el producto escalar habitual, obtener un vector unitario que sea ortogonal a los vectores u

1, 2,1,0 ,

t v

0, 1,1,0 ,

t w

1,1, 2,1

t.

Solución

1 0 1

2 0

2 1 1

0 0 0 0

1 1 2

2 0

0 0 1

x y z

x y z t y z

x y z t

   

     

       

  

 

2 2 2 2

3 3

; 9 16 27

4 4

x a a

y a a

v v a a a a a

z a a

t a a

  

  

 

 

   

 

  

unitario

3 1 1 4

27 27 27 27

t

v    

(6)

6 Enunciado 10

En 4

con el producto escalar habitual, obtener el subespacio ortogonal de V cuyas ecuaciones implícitas son:

x   y z t 0 , 2x   y z 3t 0

Solución

Los coeficientes de las ecuaciones implícitas del subespacio son las coordenadas de un vector, respectivamente ortogonal.

1 1 1 1 1 ; 2 2 1 1 3

t t

v   v  

Por tanto un vector ortogonal al subespacio debe ser una combinación lineal de ambos. Dichos vectores engendran un subespacio que se denomina suplementario ortogonal:

1,1, 1,1 , (2,1, 1,3)t t

V L  

Cuya dimensión es 4

dim( )V dim(V)dim( )dim(V)  4 2 2

4

1 2 1 2

, , , : , , , 1 1 1 1 2 1 1 3 , ,

V x y z tx y z t       

Enunciado 11

En 2 referido a la base canónica

 

,

Bi j se da otra base

1 2

' ; 2

Bu   i j u  i j .

1. Obtener la matriz de cambio de base.

2. Obtener la matriz de Gram respecto a la base B'.

3. Se dan los vectores: v  i 2j y w2u1u2. Obtener las coordenadas de los vectores v y w en la base B y en la base B'.

4. Obtener el producto escalar

v w

en la base B y en la base B'. 5. Hallar, en la base B’, la proyección ortogonal de v sobre w 6. Obtener la distancia entre ambos vectores en la base B’. Solución

1.

 

1

1 2

Matriz de cambio de base

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

u ui j   P  P  

 

     

2. 1 1 1 2

Matriz de Gram 2 2

2

2 3

3

3 5 5

u u

u u G

u u   

 

     

 

 

   

3.

1

1 2 Antiguas Nuevas

1 2 1 3

2 3

1 1 2 1

P

v i j v u u

     

           

 

     

1 2

Nuevas Antiguas

1 2 2 0

2

1 1 1 1

P

wuu           w j

     

4. En la base B:

1 2

0 2 1 v w      

 

En la base B’:

3 1

2 3 2

3 1

1 2

3 5 1 1

v w                

 

     

(7)

7

5. 1 2

1 2

Ort. P.O.

3 2

v wz   uu  uuz Se halla el ortogonal de w

2 3 2

1 0 1

3 5 1 1 1

w

a b        a b       a b z   

 

       

1 2 1 2 1 2

2 3 2

3 2

1 1

u uu uu u   

  

    

 

      

   

 

1 2

1 2 1 2

P.O. 2 2uu  4u 2u ; Ort. u u

Para hallar el valor de  se puede multiplica la ecuación escalarmente por w

1 2 1 2

0 2 P.O. 2 4 2 ; Ort. 2

w z        w  uu  v w u u

La proyección ortogonal es un invariante.

6. La distancia entre dos vectores es: d v w( , ) vw

vw

 

vw

 

 

5 2

2 3 5 10

3 5 2

vwvw           

 

   

( , ) 10 d v w

En la base canónica: 2 2

3 1 ( 3) 10

v   w i j v w    

La distancia es un invariante. Enunciado 12

Se considera el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1 y el producto escalar

1

1( ) 2( ) 0 1( ) 2( ) p x p x

p x p x dx

1. Matriz de Gram del producto escalar referida a la base B

 

1,x . 2. Ángulo que forman los polinomios: p1(x)2+6x y ( )p x2  4 6x. 3. Proyección ortogonal de 2 6 sobre 4-6x x .

4. Hallar la distancia de p x1( ) a ( )p x2 Solución

1. Matriz de Gram: formada por los productos escalares de los vectores de la base:

 

 

 

1 1

11 0 0

1 2 1

12

0

0 1 3 1

22 0

0

( ) ( ) 1 1 1

1 1

1 2

( ) ( ) 1

1 1

2 2

2 3 1

( ) ( )

3 3

g p x p x dx x

x

g p x q x x dx G

x g q x p x x x dx

 

     

 

  

              

  

 

     

  

(8)

8 2. Ángulo de 2 polinomios



1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

0 0

1 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( ) 2 1

cos

( ) ( ) 28 4 2 7

1 1 / 2 4

( ) ( ) 2 6 2

1 / 2 1 / 3 6

Tambien: ( ) ( ) 2 6 4 6 2

1 1 / 2 2

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) 2 6 28

1 / 2 1 / 3 6

( ) ( ) ( ) ; ( ) p x p x

p x p x p x p x

p x p x dx x x dx p x p x p x p x p x

p x p x p x p x

    

   

    

   

    

   

      

   

 

2

1 1 / 2 4

( ) 4 6 4

1 / 2 1 / 3 6

p x    

     

   

3. Proyección ortogonal

Se halla el polinomio ortogonal de (4 6 ) x

1 1 / 2 4

1 0 0

1 / 2 1 / 3 6 0

a b     a b     a

     

1

4 2

(2 6 ) (4 6 ) 2

6 6

9

x x bx

b

b

 

 

 

   

  

 

1

P.O. (4 6 ) 2 3 ; Ort. 9

2 x x x

    

También se puede hacer (2 6 ) x (4 6 ) xp x( )

(2 6 ) xa(4 6 ) xp x( ) Se multiplica escalarmente por (4 6 ) x

1 1

2 4 ; P.O. (4 6 ) 2 3 ; Ort. 9

2 2 x x x

 

       

4. Distancia de 2 polinomios

 1( ), 2( ) 1( ) 2( )  1( ) 2( )  1( ) 2( )

d p x p xp xp xp xp xp xp x

    

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) (4 6 ) (2 6 ) 2 12

1 1 / 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 28 28 2 7

1 / 2 1 / 3 12

p x p x x x x

p x p x p x p x d

      

   

         

   

Enunciado 13

En el espacio geométrico ordinario los ejes son unitarios siendo e1 ortogonal a 2 y 3

e e éstos forman entre si un ángulo de 120º.

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,0,1) y es ortogonal al plano x  y 1 0.

Solución

(9)

9

2 2 2

11 1 22 2 33 3

12 13 23 2 3

1; 1; 1

2 1

0 ; cos

3 2

g e g e g e

g g g e e

     

        

 

;

1 0 0

1 0 1

2 1

0 1

2 G

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Ecuaciones paramétricas del plano: 1 x y z

  

        

Con vectorial asociado:

1 2

1 0

1 ; 0

0 1

u u V

 

   

 

              

 

 

El vector característico del plano (ortogonal), es el vector director de la recta.

3 1

1 0 0 1 0 0 4

2

0 1 1/ 2 1 0

1

0

0 1/ 2 1 0 1 1

2

2 x x y z

x y z y

y z

z

 

 

     

 

 

   

 

      

; 3 4

2 v

          

Recta que pasa por P(1,0,1) y tiene por vector director v:

1

1

3

4

2

x

 

y

z

Enunciado 14

Sea

B

u u

1

,

2

,

u

3

una base de un espacio vectorial EUCLÍDEO de dimensión 3. Se sabe que: 1 2 1 ; 3 2 ; 1 3 2 3; 1 2 .

3 2

uuuu u  u u u u  1. Obtener la Matriz de Gram:

G

en la base B

u u1, 2,u3

2. Comprobar que

G

es definida positiva. Solución

La matriz de Gram está formada por los productos escalares de los vectores de la base

B

u u

1

,

2

,

u

3

. g11g22 1;g334;g13g23  1 2 cos(60)1;g120

1 0 1

0 1 1 1 1 4

G

 

 

 

 

(10)

10 Enunciado 15

En un espacio vectorial EUCLÍDEO E de dimensión 3 referido a la base

1

,

2

,

3

B

u u

u

. La matriz de Gram en dicha base es

1

2

0

2

5

1

0

1

2

G

1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores u1 y u2

2. Comprobar que

G

es definida positiva.

3. Obtener la matriz P de cambio de base para que G sea diagonal Solución

El coseno del ángulo de los vectores u1 y u2: 1 2 1 2

2 2

cos

1 5 5

u u

u u

    

1 2 0

2 5 1

0 1 2

 

 

 

G

Utilizando el criterio de Sylvester se observa que todos los menores principales son positivos: M1 1 0 ;M2  1 0 ;M3 1 0 .

Este ejercicio puede realizarse mediante el método de Gauss:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 0

2 5 1 4 5 2 2

0 1 2

4 5 2 2 ( 2 ) 2 2 ( )

Z

X Y

x

x y z y x xy y yz z

z

x xy y yz z x y y yz z X y z z X Y Z

   

  

   

 

   

               

2 2 2 1 2 2

0 1 1

0 0 1

      

       

         

     

 

   

       

Antiguas Matriz de cambio de base Nuevas

X x y x X Y Z x X

Y y z y Y Z y Y

Z z z Z z Z

1 0 0 1 2 0 1 2 2 1 0 0

2 1 0 2 5 1 0 1 1 0 1 0

2 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1

t

P A P

 

     

     

      

    

     

1 2 3

 

1 2 3

1 2 2

0 1 1

0 0 1

 

 

 

 

 

Base ortonormal Base inicial

Matriz de cambio de base

e e e u u u

1

1

e

u

e

2

 

2

u

1

u

2

e

3

 

2

u

1

u

2

u

3 Son las columnas de la matriz de cambio de base

Enunciado 16

(11)

11

Se da el subespacio

V

x y z

, ,

3

/

x

  

y

z

0

Obtener una base ortonormal de V. Solución

Ecuaciones paramétricas de

V

:

x

  

 

,

y

,

z

a) Se podrían elegir 2 vectores ortogonales:

1 ,

0

1, 1,0

1 ,

2

1,1, 2

t

t

  

 

  



b) Sean por ejemplo

v

V v

,

 

(1, 1,0)

y

w V

,

w

(1,1,1)

es ortogonal al plano, pues sus coordenadas son los coeficientes del plano. Basta obtener un vector ortogonal a los anteriores mediante su producto vectorial.

1

1

1

2

1

1 0

i

j

k

u

  

w v

  

i

j

k

.

B

'

 

u v

,

es una base ortogonal de

V

,

Al dividir cada vector por su norma se obtiene una base ortonormal.

1 2

1 2

1

1

1

1

2

''

,

;

,

, 0

;

,

,

2

2

6

6

6

v

u

B

e e

e

e

v

u

Enunciado 17

En el espacio vectorial R4 referido a una base ortonormal B

e e e e1, , ,2 3 4

Hallar la proyección ortogonal del vector z   e1 e2 e3 e4 sobre el subespacio

1 2 3 4

: 0 , 0

S xxxxSolución

La proyección ortogonal se obtiene fácilmente al descomponer el vector dado en uno sobre el subespacio y otro sobre el ortogonal al subespacio.

1 2 3 4

1

1 2 2

1 2 3 4

3 4 3

4

; ,

1 0

1 0

paramétricas de :

0 1

0 1

1 0 1

0

1 0 1

:

0

0 1 0

0 1 0

S

S z x y x S y S

x a x a

S B

x b

x b

x a

x x x a

S x x x x B

x x x b

x b

 

   

  

    

 

   

   

    

    

   

  

  

   

 

 

   

 

   

   

0 0 1 1

  

   

  

  

  

  

 

(1,1,1,1)a(1,1,0,0)b(0,0, 1,1)  y

Se multiplica escalarmente por u1 y u2 22a a 1 ; 02b b 0

Proyección ortogonal:

P.O. Ort.

(1,1,0,0)t ; (0,0,1,1)t

(12)

12 Enunciado 19

En el espacio vectorial de las matrices

M

3 2

 

referido a la base canónica se define el producto escalar

t

A B

tr A B

siendo

tr

la traza de la matriz. 1. Comprobar que la base canónica es ortonormal

11 12 21 22 31 32

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1 , 0 0 , 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

B E E E E E E

            

            

 

       

 

11 11 11 11 11 11

1 0

1 0 0 1 0

0 0 1

0 0 0 0 0

0 0

T T

E E E E tr E E

 

    

   

   

11 12 11 12 11 12

0 1

1 0 0 0 1

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

T t

E E E E tr E E

 

    

   

    

 

son ortogonales

Así sucesivamente

2. Dadas las matrices

3

1

1

1

2

0

;

0

1

5

2

4

3

A

B

Calcular

A B

1

1

3

2

5

23

16

0

1

1 0

2

9

7

4

3

23

16

23 7

30

9

7

t

A B

A B

tr

 

 

2. Calcular la norma euclídea de la matriz

A

y

B

3

1

3

2

5

38

13

2

0

1 0

2

13

5

5

2

38

13

43

43

13

5

1

1

1

0

4

17

13

0

1

28

28

1 1

3

13

11

4

3

t

t t

A

A A

A A

A A

tr

A

B B

tr B B

B

 

 

(13)

13

3

1

1

1

2

0

( , )

2

0

0

1

2

1

5

2

4

3

4

0

2

0

2

2

4

24

2

2

1

25

0

1 0

2

1

4

0

( , )

25

5

t t

d A B

A

B

C

A

B

C C

tr C C

d A B

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Calcular el coseno que forman A y B

cos

;

30

;

43

;

28

30

15

cos

43 28

43 7

A B

A B

A

B

A

B

Enunciado 20

Dado el subespacio SM2( ) de las matrices simétricas de orden 2 referido a

la base 1 2 3

1 1 0 1 0 0

, ,

1 0 1 0 0 1

S

B E  E  E 

     

 

Se define el producto escalar:

A B

tr A B

t

siendo

tr

la traza de la matriz. 1. Comprobar que la base no es ortonormal

1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 3 1 3 1 3

1 1 1 1 2 1

3 3

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1

2. No ortogonales 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1

0. Ortogonales

1 0 0 1 0 0

t t

t t

t t

E E E E tr E E E

E E E E tr E E

E E E E tr E E

    

         

    

    

       

    

    

       

    

2 2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3

3 3 3 3 3 3 3

0 1 0 1 1 0

2 2

1 0 1 0 0 1

0 1 0 0 0 1

0. Ortogonales

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1

0 1 0 1 0 1

t t

t t

t t

E E E E tr E E E

E E E E tr E E

E E E E tr E E E

    

         

    

    

       

    

    

         

    

2. Obtener la matriz de Gram

3 2 0 2 2 0 0 0 1 G

 

 

  

 

(14)

14

3. Obtener directamente y mediante la matriz de Gram el producto escalar:

2 3 2 3

1 2 1 1

Siendo y

2 1 1 2

A AA  A   

    matrices de M2( ) Directamente:

2 3 2 3

1 2 1 1 1 3

1

2 1 1 2 1 0

t

A A tr AAtr  tr  

    

 

Mediante la matriz de Gram. En la base dada las coordenadas son 1

1 2 1 1 0 1 0 0

1

2 1 1 0 1 0 0 1

1 a

a b c b

c

 

       

       

         

1

1 1 1 1 0 1 0 0

2

1 2 1 0 1 0 0 1

2 a

a b c b

c

  

        

      

         

2 3

3 2 0 1 1

1 1 1 2 2 0 2 5 4 1 2 1

0 0 1 2 2

A A

     

     

         

    

Figure

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