EJERCICIOS DE REFUERZO DEL PRIMER Y SEGUNDO TRIMESTRE

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EJERCICIOS DE REFUERZO DEL PRIMER Y SEGUNDO

TRIMESTRE

1. Clasifica los siguientes nummeros en el conjunto numemrico correspondiente y da aproximaciones por defecto y por exceso de los siguientes nummeros reales:

a) , con tres cifras decimales. b) , con seis cifras decimales. c) , con seis cifras decimales.

2. Clasifica los siguientes nummeros en el conjunto numemrico correspondiente y da aproximaciones por defecto y por exceso de los siguientes nummeros reales: a) ,con tres cifras decimales.

b) , con seis cifras decimales. c) , con seis cifras decimales.

a) Es un nummero real racional periomdico puro.

b) Es un nummero real irracional. c) Es un nummero real irracional.

3. Representa en la recta real los siguientes intervalos: a) b) c) d)

4. Representa en la recta real los siguientes intervalos: a) b) c) d)

(2)

5. Representa en la recta real los siguientes intervalos infinitos o semirrectas: a) b) c) d)

6. Representa en la recta real los siguientes intervalos infinitos o semirrectas: a) b) c) d)

a) su representación gráfica es la que se muestra abajo. b) su representación gráfica es la que se muestra abajo. c) su representación gráfica es la que se muestra abajo. d) su representación gráfica es la que se muestra abajo.

7. Dados los intervalos , represéntalos gráficamente y di si tienen puntos en común. Si es un intervalo, di cuál es.

(3)

puntos en común. Si es un intervalo, di cuál es.

Resulta evidente que dichos intervalos no tienen puntos comunes, es decir, La representación gráfica de ambos intervalos es la de la figura.

9. Halla dos números racionales tales que a)

b)

10. Halla dos números racionales tales que a)

b)

a) Elevando al cuadrado:

a = 1, b = 6 ó a = 6, b = 1

b) Elevando al cuadrado:

11. Representa en la recta real los siguientes números:

a) b)

12. Representa en la recta real los siguientes números:

a) b)

a) Para representar la fracción empleamos las relaciones de semejanza del teorema de Thales.

Resultando una figura como la que se ha dibujado abajo.

(4)

13. Representa en la recta real los siguientes números utilizando el teorema de Pitágoras: a) b)

14. Representa en la recta real los siguientes números utilizando el teorema de Pitágoras: a) b)

a) El número se puede expresar utilizando el teorema de Pitágoras de la siguiente forma:

representa por tanto la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1, por lo que resulta la representación de la figura adjunta.

b) De forma análoga, el número puede expresarse de la siguiente forma:

dicho número representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene como catetos 4 y 1, por lo tanto su representación gráfica es la que aparece en la figura siguiente.

(5)

a) b) c)

16. Escribe como intervalos cada uno de los siguientes conjuntos de números reales:

a) b) c) )

a) Es el intervalo

b) Es el intervalo

c) Es nulo ya que

17. Escribe como un único intervalo, y representa el resultado en la recta real:

a) b)

18. Escribe como un único intervalo, y representa el resultado en la recta real:

a) b)

a) cuya representación gráfica es la que se muestra abajo. b) cuya representación gráfica es la que se muestra a

continuación.

19. Escribe los siguientes números en la forma .

a) b) c) d)

20. Escribe los siguientes números en la forma .

a) b) c) d)

a)

(6)

c)

d)

21. Escribe en forma potencial las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

22. Escribe en forma potencial las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

a) Expresando los radicales en forma potencial se tiene:

b) Operando similarmente al caso anterior se tiene:

c) Análogamente:

d) Como y son inversos uno de otro, tendremos .

23. Racionaliza y simplifica el resultado:

a)

b)

24. Racionaliza y simplifica el resultado:

a)

b)

a) b)

25. Racionaliza y simplifica el resultado:

(7)

b)

26. Racionaliza y simplifica el resultado:

a)

b)

a) b)

27. Dadas dos fracciones cualesquiera, la fracción semisuma (media aritmética) está comprendida entre ambas. ¿Es cierto este resultado?

28. Dadas dos fracciones cualesquiera, la fracción semisuma (media aritmética) está comprendida entre ambas. ¿Es cierto este resultado?

La respuesta es sí.

Por ejemplo sean las fracciones: ya que 5 · 7 < 4 · 9; se    

verifica: es decir como puede comprobarse efectuando los

productos cruzados que permiten comparar fracciones. Este resultado es válido para dos fracciones cualesquiera.

En general se tiene:

utilizando los productos cruzados tendremos:

Primera desigualdad: equivalente a:

Segunda desigualdad: equivalente a:

Por tanto, entre dos fracciones distintas existe otra fracción.

(8)

b) log2 256

c) log 0,0000000001

30. Calcula con la definición de logaritmo a) log0,1 100

b) log2 256

c) log 0,0000000001

a) 2

b) 8

c) 10

31. Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes expresiones y desarróllalos:

a) b)

32. Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes expresiones y desarróllalos:

a) b)

a)

b)

33. Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos:

(9)

34. Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos:

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Si es

tendremos:

35. Escribe como un único logaritmo las siguientes expresiones:

a) b) c)

36. Escribe como un único logaritmo las siguientes expresiones:

a) b) c)

a)

b)

c)

37. Calcula:

a) El valor de la suma , sabiendo que , y el

(10)

b) Determina ahora el valor de la suma .

38. Calcula:

a) El valor de la suma , sabiendo que , y el

valor que se obtiene cuando n  50.

b) Determina ahora el valor de la suma .

a)

sacando factor común se tiene la siguiente igualdad

Cuando n=50, tendremos el siguiente valor:

b) Análogamente al caso anterior, tendremos:

teniendo en cuenta el valor tendremos para esta suma el valor:

39. Halla el valor de x, sabiendo que:

40. Halla el valor de x, sabiendo que:

(11)

los intereses y mantienen el dinero durante 15 años?

42. Pedro ingresa 50 000 € para pagar los gastos de la Universidad de su hijo Pedrito. Si el banco le ofrece el 4,5% al año, ¿qué intereses recibirá Pedrito, si todos los años retiran los intereses y mantienen el dinero durante 15 años?

43. Colocamos 1 000 € al interés simple del 2% anual: a) ¿Cuánto recibimos al cabo de 4 meses?

b) ¿Y al cabo de 3 años, 5 meses y 10 días?

44. Colocamos 1 000 € al interés simple del 2% anual: a) ¿Cuánto recibimos al cabo de 4 meses?

b) ¿Y al cabo de 3 años, 5 meses y 10 días?

a) 4 meses son los de año, con lo que

b) 5 meses  10 días  5 · 30  10  160 días

45. ¿Cuál debe ser el interés simple anual al que coloquemos 7 000 € para que en 6 años nos produzca unos intereses de 350 €?

46. ¿Cuál debe ser el interés simple anual al que coloquemos 7 000 € para que en 6 años nos produzca unos intereses de 350 €?

(12)

interés simple anual del 7% para que los intereses obtenidos le financien las vacaciones?

48. Aurora se gasta 1 800 € en sus vacaciones de verano. ¿Qué capital ha de colocar al de interés simple anual del 7% para que los intereses obtenidos le financien las vacaciones?

49. Halla el interés simple anual si sabemos que depositando 1 800 € en un banco durante 8 meses obtenemos 35 € más que si colocamos durante 3 meses 1 200 € en el mismo banco.

50. Halla el interés simple anual si sabemos que depositando 1 800 € en un banco durante 8 meses obtenemos 35 € más que si colocamos durante 3 meses 1 200 € en el mismo banco.

51. Colocamos un capital a un interés compuesto del 4,5%. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el capital se duplique?

52. Colocamos un capital a un interés compuesto del 4,5%. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el capital se duplique?

Tomando logaritmos en ambos miembros queda:

53. Si queremos que nuestro capital inicial se duplique en 8 años, ¿cuánto ha de valer el interés compuesto anual?

(13)

55. ¿Al cabo de cuántos años nuestro capital inicial de 10 000 €, colocado al 7,5% de interés compuesto anual, superará los 30 000 €?

56. ¿Al cabo de cuántos años nuestro capital inicial de 10 000 €, colocado al 7,5% de interés compuesto anual, superará los 30 000 €?

Tomando logaritmos en ambos miembros queda:

, por tanto ha de pasar poco más de 15 años.

57. ¿Cuánto tiempo necesito para obtener unos intereses de 100 € si coloco 5 500 € al 3,5% de interés anual simple?

58. ¿Cuánto tiempo necesito para obtener unos intereses de 100 € si coloco 5 500 € al 3,5% de interés anual simple?

59. ¿Qué produce más interés simple: 5 000 € al 2% durante 3 años o 4 000 € al 2% durante 4 años?

(14)

61. Dos socios se reparten 50 000 € de beneficios. Uno coloca su parte a un interés compuesto del 4 % anual y el otro al 9%. Si al cabo de 5 años ambos tienen la misma cantidad, ¿cuánto recibió cada uno inicialmente?

62. Dos socios se reparten 50 000 € de beneficios. Uno coloca su parte a un interés compuesto del 4 % anual y el otro al 9%. Si al cabo de 5 años ambos tienen la misma cantidad, ¿cuánto recibió cada uno inicialmente?

63. ¿Cuánto dinero tendremos si depositamos 1 500 € durante 18 años al 3% de interés compuesto anual?

64. ¿Cuánto dinero tendremos si depositamos 1 500 € durante 18 años al 3% de interés compuesto anual?

65. Ingresamos 10 000 € en un fondo de inversiones a un interés del 6% anual. Estudia la evolución del capital durante 5 años, suponiendo que no retiramos los intereses y que estos se van acumulando. Compáralo con lo obtenido en caso de que dicha cantidad se hubiera puesto al mismo interés pero simple.

(15)

67. En la República de Malhestán la inflación crece anualmente un 20% desde 1995. Si en dicho año una barra de pan costaba 10 thalegos:

a) ¿Cuánto costará en el año 2002?

b) ¿Qué años sobrepasará la barrera de los 100 thalegos?

68. En la República de Malhestán la inflación crece anualmente un 20% desde 1995. Si en dicho año una barra de pan costaba 10 thalegos:

a) ¿Cuánto costará en el año 2002?

b) ¿Qué años sobrepasará la barrera de los 100 thalegos?

siendo i la inflación anual, si es constante.

a)

b)

69. Si acumulamos semestralmente los intereses al capital, ¿cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si depositamos 3 000 € al 4% anual?

70. Si acumulamos semestralmente los intereses al capital, ¿cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si depositamos 3 000 € al 4% anual?

Si el acumulo es semestral y no anual, el interés se reducirá a la mitad y el tiempo se

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71. Efectúa los cocientes:

a)

b)

72. Efectúa los cocientes:

a)

b)

a)

b)

73. Dados y , halla:

a) p(x) + q(x). b)q(x) − p(x).

74. Dados y , halla:

a) p(x) + q(x). b)q(x) − p(x).

a)

b)

75. Determina el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo (deja el resultado de forma indicada) del siguiente grupo de polinomios: ; y

.

(17)

forma indicada) del siguiente grupo de polinomios: ; y .

Factorizamos los polinomios:

por Ruffini:

De las anteriores descomposiciones de los polinomios dados se tiene:

77. Simplifica las siguientes fracciones, factorizando previamente:

a) b)

78. Simplifica las siguientes fracciones, factorizando previamente:

a) b)

a)

b)

79. Simplifica las siguientes fracciones, factorizando previamente:

a) b)

(18)

a) b)

a)

Factorización de (Ruffini)

b)

81. Calcula las soluciones reales de la ecuación:

82. Calcula las soluciones reales de la ecuación:

1ª ecuación tiene solución x = -1

2ª ecuación, desarrollada es:

83. Halla las cuatro raíces enteras del polinomio y haz su

descomposición en un producto de cuatro factores.

84. Halla las cuatro raíces enteras del polinomio y haz su

descomposición en un producto de cuatro factores.

La ecuación la resolvemos por Ruffini:

(19)

85. Resuelve la ecuación .

86. Resuelve la ecuación .

La ecuación: es bicuadrada

Resolvemos en x2:

De x2 = 4, se sigue x =

De x2 = 9, se sigue x =

87. Ana y Javier invierten 12.000 euros cada uno. Ana coloca una cantidad X al 3%, de interés, una cantidad Y al 4% y el resto, Z, al 5%. Javier invierte la misma cantidad X al 4% , la Y al 5% y el resto al 3%. Determinar las cantidades que invirtieron cada uno, sabiendo que Ana obtuvo 500 euros de intereses y Javier obtuvo 470 euros.

88. Ana y Javier invierten 12.000 euros cada uno. Ana coloca una cantidad X al 3%, de interés, una cantidad Y al 4% y el resto, Z, al 5%. Javier invierte la misma cantidad X al 4% , la Y al 5% y el resto al 3%. Determinar las cantidades que invirtieron cada uno, sabiendo que Ana obtuvo 500 euros de intereses y Javier obtuvo 470 euros.

Se trata de resolver el sistema:

Ordenando el sistema se obtiene:

Resolviéndolo resulta: x = 3000 €, y = 4000 €, z = 5000 €.

89. Se quiere obtener un lingote de oro de 1 kg de peso y ley 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas, oro de 925 milésimas y oro de 850 milésimas. Sabiendo que del segundo tipo hemos usado 200 g más que del primero, averigua qué cantidad hay que fundir de cada clase.

(20)

Llamando x a los gramos del primer tipo de oro, y a los del segundo y z a los del tercero, se trata de resolver el sistema:

Ordenando el sistema y resolviéndolo, se obtiene: x = 175 g, y = 375 g, z = 450 g. 91. Halla el dominio de las funciones:

a) b)

92. Halla el dominio de las funciones:

a) b)

El denominador de la fracción sólo tiene sentido si es distinto de 0. La función no existe si:

.

Dominio: D(f) =  - {1}

La raíz cuadrada sólo está definida para números reales mayores o iguales que 0. La función existe si:

Dominio: D(f) = [3, )

93. Halla el dominio de las funciones:

a) b)

94. Halla el dominio de las funciones:

a) b)

El denominador de la fracción sólo tiene sentido si es distinto de 0. La función no existe si:

Dominio: D(f) =  - {-2, 2}

(21)

si:

Dominio: D(f) = (- , 4]

95. Halla el dominio de la función:

96. Halla el dominio de la función:

La raíz cuadrada sólo está definida para números reales mayores o iguales que 0, a su vez, el denominador no puede ser 0. La función existe si:

Dominio: D(f) = (- , -1] (1,+ ).

97. Representa la siguiente función definida a trozos:

(22)

99. Considera la siguiente función definida a trozos:

Halla su dominio y represéntala gráficamente.

100. Considera la siguiente función definida a trozos:

Halla su dominio y represéntala gráficamente.

101. Dadas y , calcula (f - g)(x), (f + g)(x) y (fg)(x).

(23)

103. Dada y , se pide: a) f(2), g(2)

b) f(g(2)), g(f(2)). ¿Son iguales?

c) f(g(x)), g(f(x)).

104. Dada y , se pide: a) f(2), g(2)

b) f(g(2)), g(f(2)). ¿Son iguales?

c) f(g(x)), g(f(x)).

a) f(2) = 5; g(2) = 7

b) f(g(2)) = f(7) = 50 g(f(2)) = g(5) = 13

c) f(g(x)) = (2x + 3)2 + 1 = 4x2 + 12x + 10 g(f(x)) = 2(x2 + 1) + 3 = 2x2 + 5

105. Halla la función recíproca de:

Escribe el dominio de f y de la recíproca.

106. Halla la función recíproca de:

Escribe el dominio de f y de la recíproca.

Despejando x en la expresión.

(24)

Cambiando de nombres a las variables se obtiene la función recíproca:

El dominio de f son todos los números reales menos el 2 (x 2), el dominio de la recíproca son todos los reales menos el 1.

107. Considera las funciones y g(x) = 5x a. Halla a para que .

108. Considera las funciones y g(x) = 5x a. Halla a para que .

Despejando x en la expresión:

se tiene:

Cambiando de nombres a las variables se obtiene la función recíproca:

Análogamente con g:

(25)

Dibuja la gráfica de la función f 1

110. Considera una función f, cuya gráfica es

Dibuja la gráfica de función f 1.

Ambas gráficas deben ser simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Luego, la gráfica pedida es:

111. Dadas las funciones f(x) = 3x + 4 y , calcula: a) f(g(x)) b) g(f(x))

(26)

a)

b)

113. Considera las funciones y . Calcula: a) (f + g)(x)

b) f(g(x))

114. Considera las y . Calcula:

a) (f + g)(x)

b) f(g(x))

a)

b)

115. El número de habitantes de cierto municipio viene expresado por la siguiente tabla: Años 1970 1980 1990 2000

Población 958 1204 1456 1714

Comprueba que es factible aplicar la interpolación lineal.

Calcula el valor interpolado de la población en el año 1975. ¿Cuál será el número de habitantes que se estima tendrá en el año 2020?

(27)

Años 1970 1980 1990 2000 Población 958 1204 1456 1714

Comprueba que es factible aplicar la interpolación lineal.

Calcula el valor interpolado de la población en el año 1975. ¿Cuál será el número de habitantes que se estima tendrá en el año 2020?

Para comprobar si una interpolación lineal es factible, basta con comprobar si el conjunto formado por los cuatro puntos:

A(1970,958); B(1980,1204); C(1990,1456) y D(2000,1714) están próximos a cierta recta de ecuación y = mx + b

Ambas pendientes toman valores muy próximos por lo que resulta factible la aproximación lineal mediante una recta cuya pendiente será la media aritmética de las anteriores, esto es m=25,2. La ecuación de esa recta es y - 958 = 25,2(x - 1950) siendo x el número que indica el año e y el número de habitantes de la población.

Utilizando la anterior recta interpoladora, se tiene:

Población en el año 1957: y - 958 = 25,2(1975 - 1970)  y = 1084 habitantes

Población en el año 2020: y - 958 = 25,2(2020 - 1970) y = 2218 habitantes

117. El precio de cada bloque de un determinado material es proporcional al cuadrado de su peso. Sabemos que un bloque de 20 kg cuesta 80 euros.

a) Escribe la función que determina el precio de un bloque, dependiendo de los x kg que pese.

b) Si el bloque se rompe en dos trozos de 5 y 15 kg, ¿cuál es el precio de cada uno de los trozos?

c) Representa gráficamente la función.

118. El precio de cada bloque de un determinado material es proporcional al cuadrado de su peso. Sabemos que un bloque de 20 kg cuesta 80 euros.

a) Escribe la función que determina el precio de un bloque, dependiendo de los x kg que pese.

(28)

c) Representa gráficamente la función.

a) . Entonces k=0,2 y p(x)=0,2x2

b) p(5)=0,2·52=5; p(15)=45

c)

119. En una granja, hay 3000 raciones de alimento. Si cada vaca come una ración y hay x vacas, expresar el número de días que dura el alimento en función del número de vacas. Haz una representación gráfica con una escala adecuada.

120. En una granja, hay 3000 raciones de alimento. Si cada vaca come una ración y hay x vacas, expresar el número de días que dura el alimento en función del número de vacas. Haz una representación gráfica con una escala adecuada.

x = número de vacas, y = número de días que dura la comida.

121. Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas:

a) b) c)

(29)

a) b) c)

a)

b)

c)

123. Calcula los siguientes límites de funciones racionales para los valores del dominio:

a) b) c) d)

124. Calcula los siguientes límites de funciones racionales para los valores del dominio:

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

125. Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas en + :

a) b) c)

126. Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas en + :

a) b) c)

(30)

b)

c)

127. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, si existen; caso contrario halla los límites laterales:

a) b) c)

128. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, si existen; caso contrario halla los límites laterales:

a)

b) c)

El límite esta determinado, su valor es:

Este límite presenta en x = 3 una indeterminación del tipo . Por tanto hay que tomar límites laterales:

Como los límites laterales son distintos la función carece de límite en ese punto.

c) Este límite presenta en x = 1 una indeterminación del tipo Por tanto hay que tomar límites laterales

(31)

129. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a) b)

130. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a)

b)

El límite da una indeterminación del tipo

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador, se tiene:

como no existe el limite en x = 1 de la expresión considerada

El límite da una indeterminación del tipo

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador, se tiene:

131. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a) b)

132. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a) b)

El límite da una indeterminación del tipo  - 

(32)

El límite da la misma indeterminación que en el caso anterior.

Procediendo análogamente, se tiene:

133. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a) b)

134. Calcula los límites de las siguientes expresiones irracionales:

a) b)

a) El límite tiene sentido si se formula así:

b)

135. Calcula las asíntotas de .

136. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: No hay.

Verticales: No hay.

(33)

137. Calcula las asíntotas de .

138. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: Asíntota horizontal y = .

Verticales: Asíntota vertical x = 0.

Asíntota vertical x = .

Oblicuas: No hay.

139. Calcula las asíntotas de .

140. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: No hay.

Verticales: Asíntota vertical x = 0.

Oblicuas: Asíntota oblicua y = x

-1.

141. Calcula las asíntotas de .

(34)

Horizontales: No hay.

Verticales: Asíntota vertical x = 2.

Oblicuas: Asíntota oblicua y = x + 2

143. Calcula las asíntotas de .

144. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: No hay.

Verticales: Asíntotas verticales x = 1, x = -1.

Oblicuas: Asíntota oblicua y = x.

145. Calcula las asíntotas de .

146. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: No hay.

Verticales: Asíntota vertical x = 0.

(35)

147. Calcula las asíntotas de .

148. Calcula las asíntotas de .

Horizontales: Asíntota horizontal y = 1.

Verticales: Asíntota vertical x = -2

Oblicuas: No hay.

149. Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

150. Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

La función:

tiene como dominio -{0}

Es continua para cada punto de su dominio.

En x = 0, no está definida y no puede decirse que sea continua o discontinua en dicho punto.

Tampoco tiene límite en el origen, dado que:

La función:

tiene como dominio .

Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas.

(36)

En x = 0, presenta una discontinuidad inevitable.

151. Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

152. Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

La función:

tiene como dominio .

Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas.

En x = 0, carece de límite dado que sus límites laterales son distintos:

En x = 0, presenta una discontinuidad inevitable.

La función:

tiene como dominio .

Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas.

En x = 2 es continua dado que:

(37)

Se pide:

a) Para k = 1 estudia sus puntos de discontinuidad.

b) ¿Existen valores de k, para los que la función obtenida sea continua en todo su dominio?

154. Dada la función:

Se pide:

a) Para k = 1 estudia sus puntos de discontinuidad.

b) ¿Existen valores de k, para los que la función obtenida sea continua en todo su dominio?

Estudio de las discontinuidades para k = 1:

Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, la función es:

En x = -2, se tiene:

la función presenta una discontinuidad inevitable.

En x = 2, se tiene:

la función presenta una discontinuidad inevitable.

Tenemos que ver si la función:

admite un valor del parámetro k, para que tenga en x = ±2 discontinuidades evitables, para ello

k debe de verificar simultáneamente las igualdades:

En x = -2, se tiene:

(38)

Por tanto, para la función f(x) sería continua asignando en x = 2 y x = 2, los valores de sus límites en esos puntos.

155. Dada la función:

Se pide:

a) Estudia los puntos de discontinuidad de la función.

b) Estudia sus asíntotas horizontales.

c) Razona que se trata de una función creciente.

156. Dada la función:

Se pide:

a) Estudia los puntos de discontinuidad de la función.

b) Estudia sus asíntotas horizontales.

c) Razona que se trata de una función creciente.

La función:

es continua en su dominio: . Dado que:

Tomando límites en el infinito, se tiene:

Por tanto la función presenta dos asíntotas horizontales: Las rectas y = 1 e y = 1

Hay que probar que la función es creciente, es decir:

(39)

157. Dada la función:

Se pide:

a) Estudia los puntos de discontinuidad de la función.

b) Estudia sus asíntotas horizontales.

c) Haz un dibujo aproximado de su gráfica, razonando que se trata de una función creciente.

158. Dada la función:

Se pide:

a) Estudia los puntos de discontinuidad de la función.

b) Estudia sus asíntotas horizontales.

c) Haz un dibujo aproximado de su gráfica, razonando que se trata de una función creciente.

a) La función es continua en su dominio: . Dado que

b) Tomando límites en el infinito, se tiene:

Por tanto la función presenta dos asíntotas horizontales: Las rectas y = 0 e y = 1

c) Hay que probar que la función es creciente, es decir: . Para ello:

(40)

la gráfica de la función es:

159. Dada la función:

Se pide:

a) Calcula a, para que la función sea continua en su dominio.

b) Representa la función.

c) Deduce cuál es su recorrido.

160. Dada la función:

Se pide:

a) Calcula a, para que la función sea continua en su dominio.

b) Representa la función.

c) Deduce cuál es su recorrido.

Se trata de una función a trozos, cuyo dominio es .

Cada una de las funciones parciales que definen la función, son continuas en sus dominios.

En x = 7, se verifica:

(41)

Teniendo en cuenta que:

la gráfica de la función es:

A partir del dibujo adjunto, los valores que toma la función son:

por tanto su recorrido es el conjunto:

161. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

162. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) b)

La función:

es continua en todos los puntos de su dominio: R--2,2

En los puntos x = -2 y x = 2, la función no está definida, luego no puede decirse que en esos puntos la función sea continua o discontinua.

La función:

está definida a trozos, mediante dos funciones continuas.

(42)

los límites laterales son distintos y la función presenta una discontinuidad inevitable.

163. La función:

consigna el precio que durante diez años obtuvo cierto producto en el mercado expresado en miles de euros en función del tiempo transcurrido t en años, desde su lanzamiento. Se pide:

a) Representa la función P(t), sabiendo que se trata de una función continua y que el precio de salida fue de 9000 euros.

b) ¿En qué año alcanzó el mayor precio?

164. La función:

consigna el precio que durante diez años obtuvo cierto producto en el mercado expresado en miles de euros en función del tiempo transcurrido t en años, desde su lanzamiento. Se pide:

a) Representa la función P(t), sabiendo que se trata de una función continua y que el precio de salida fue de 9000 euros.

b) ¿En qué año alcanzó el mayor precio?

Cálculo de a y b:

Precio de salida: P(0) = 9 mil eurosb = 9

La función precio es una función a trozos, definida por dos funciones continuas en su dominio.

Continuidad en t = 8:

Por tanto hemos de representar la función:

(43)

El mayor precio lo alcanza en el vértice de la parábola, el cual se produce para el valor:

para ese valor la función precio toma el valor P(4) = 25 mil euros.

165. ¿Las funciones lnx y ln(7x) tienen la misma derivada? Razónalo sin calcularlas.

166. ¿Las funciones lnx y ln(7x) tienen la misma derivada? Razónalo sin calcularlas.

Como ln(7x) = ln7 + lnx y ln7 es una constante, las derivadas de lnx y de ln(7x) son iguales por ser la derivada de ln7 nula.

167. Aplicando la definición, halla la función derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio en los que la función no sea derivable? Calcula las derivadas de la función en los puntos x = 1 y x = 2

168. Aplicando la definición, halla la función derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio en los que la función no sea derivable? Calcula las derivadas de la función en los puntos x = 1 y x = 2.

El dominio de la función:

es el conjunto  de los números reales.

(44)

Su función derivada, es:

que está definida en todos los puntos del dominio

Los valores de las derivadas en los puntos x = 1 y x = 2 son:

169. Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la función derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio en donde la función no sea derivable? Calcula las derivadas en los puntos x = 0 y x = 4.

170. Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la función derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio en donde la función no sea derivable? Calcula las derivadas en los puntos x = 0 y x = 4.

El dominio de la función:

es el conjunto:

Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera del dominio, se tiene:

Por tanto su función derivada es:

(45)

El valor de la derivada en el punto x = 4, vale:

171. Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio donde la función no sea derivable? Calcula los valores de la derivada de la función en x = 1 y x = 2.

172. Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la derivada de la función:

¿Existen puntos del dominio donde la función no sea derivable? Calcula los valores de la derivada de la función en x = 1 y x = 2.

El dominio de la función:

es el conjunto  de los números reales.

Aplicando la definición de derivada en un punto x cualquiera de su dominio, se tiene:

Por tanto su función derivada es:

definida en todos los puntos del dominio.

Los valores de la derivada de la función en los puntos x = 1 y x = 2, son:

173. Dada la función definida mediante la expresión:

a) Determina para qué valores del parámetro a, la función es continua en x = 1.

b) ¿Para qué valores de a, la función es derivable en x = 1?

(46)

a) Determina para qué valores del parámetro a, la función es continua en x = 1.

b) ¿Para qué valores de a, la función es derivable en x = 1?.

Estudiamos la continuidad en x = 1. Para ello debe cumplirse

Por otro lado, para que exista el límite de la función en x = 1, tienen que ser iguales los límites laterales en dicho punto.

Igualando obtenemos la ecuación:

Estudiamos la derivabilidad en x = 1. Hemos de tomar derivadas laterales y se presentan dos casos:

Si a = 1, se tiene la función:

Si a = 2, se tiene la función:

Para a = 1, las dos derivadas laterales en x = 1 coinciden, por tanto la función es derivable en dicho punto.

Para a = 2, las dos derivadas laterales en x = 1son distintas, por tanto la función no es derivable en dicho punto.

(47)

176. Estudiar la derivabilidad de:

Como y , la función no es continua en x = 0, y por

tanto tampoco es derivable en x = 0. En el resto de valores de x sí es derivable.

177. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula la recta tangente a la curva y = x2 + x + 5 en el punto de abscisa x = 2.

178. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula la recta tangente a la curva y = x2 + x + 5 en el punto de abscisa x = 2.

f'(x) = 2x + 1; f'(2) = 5; f(2) = 11

y - 11 = 5 (x - 2) y = 5x - 9

179. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva

y = x2 + x + 7 donde la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x + 5.

180. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva

y = x2 + x + 7 donde la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x + 5.

f'(x) = 2x + 1 = 3 x = 1

(48)

182. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula la recta tangente a la curva y = x2 - 5x + 1 en el punto (0, 1).

f'(x) = 2x - 5; f'(0) = -5

y - 1 = -5 (x - 0) y = -5x + 1

183. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquella tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva

y = x2 - 5x + 3 donde la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

184. La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dicho punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva

y = x2 - 5x + 3 donde la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

f'(x) = 2x - 5 = 1 x = 3

185. Determina a y b para que la función:

tenga una tangente horizontal en el punto de coordenadas (-1,2)

¿Cuál es la ecuación de esa tangente?

186. Determina a y b para que la función:

tenga una tangente horizontal en el punto de coordenadas (-1,2)

¿Cuál es la ecuación de esa tangente?

La derivada de la función es

Como el punto T(-1,2) es punto de tangencia, la función y su derivada verifican:

f(-1) = 2  -a + b =2

f'(-1) = 0  3a - 2b = 0

Resolviendo el sistema formado por esas dos ecuaciones, se tiene a = 4 y b = 6

(49)

Dicha ecuación es: y - 2 = 0

187. Halla a, b y c, sabiendo que la función:

verifica las siguientes condiciones:

Su gráfica pasa por el punto de coordenadas (-1,0)

La tangente a la gráfica de la función trazada por el punto de coordenadas (0,4) es horizontal.

188. Halla a, b y c, sabiendo que la función:

verifica las siguientes condiciones:

Su gráfica pasa por el punto de coordenadas (-1,0)

La tangente a la gráfica de la función trazada por el punto de coordenadas (0,4) es horizontal.

La función tiene como derivada

La función pasa por (-1,0):

El punto (0,4) es de tangencia y la tangente tiene pendiente nula:

Por tanto: - 1 + a - 0 + 4 = 0 a = -3

189. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

(50)

191. Halla la derivada de las funciones:

a) b)

192. Halla la derivada de las funciones:

a) b)

a)

b)

193. Halla las derivadas de las siguientes funciones, y calcula su valor en x = 2, si es posible:

194. Halla las derivadas de las siguientes funciones, y calcula su valor en x = 2, si es posible:

Pasando a forma potencial se tiene:

(51)

195. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

196. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

197. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

198. Halla las derivadas de las siguientes funciones.

(52)

Se pide:

a) ¿En qué puntos de su dominio, la función f(x) tiene derivada estrictamente positiva (crece)?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) en el punto de abscisa nula.

200. Dadas las funciones:

Se pide:

a) ¿En qué puntos de su dominio, la función f(x) tiene derivada estrictamente positiva (crece)?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) en el punto de abscisa nula.

La función:

.

Su función derivada es:

Por tanto:

La función:

La ecuación de su recta tangente en x = 0, es:

Su función derivada es:

Se tiene:

es la ecuación de la tangente en x = 0

(53)

Encuentra los valores de a y b para los que la función en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 tiene derivada nula. Para los anteriores valores, estudia en qué puntos del dominio la función tiene derivada estrictamente positiva (crece) y en qué puntos es estrictamente negativa (decrece).

202. Dada la función:

Encuentra los valores de a y b para los que la función en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 tiene derivada nula. Para los anteriores valores, estudia en qué puntos del dominio la función tiene derivada estrictamente positiva (crece) y en qué puntos es estrictamente negativa (decrece).

La función:

tiene como dominio el conjunto de números reales positivos.

- Cálculo de los parámetros a y b:

- Para los valores anteriores, la expresión de la derivada de la función es:

203. Dada la función:

Halla sus extremos relativos:

a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función.

(54)

204. Dada la función:

Halla sus extremos relativos:

a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función.

b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando el criterio de la curvatura.

a) El dominio de la función es -{-1}.

Primera derivada:

Puntos críticos:

Intervalos de monotonía:

La función presenta un máximo en x = -3 ya que en dicho punto pasa de creciente a decreciente.

La función presenta un mínimo en x = 1 ya que en dicho punto pasa de decreciente a creciente.

b) Comprobación:

Segunda derivada:

205. La función:

(55)

206. La función:

presenta un punto de derivada nula en (1,1) que no es un extremo relativo, razona qué valores han de tomar los parámetros a, b y c para que eso ocurra. Estudia los intervalos de monotonía de la función e infiere de ese estudio, la existencia de extremos relativos.

La función y su derivada verifican en el punto P(1,1),

las siguientes dos condiciones:

Con esos valores, la derivada de la función es:

Para que el punto P(1,1) no sea un punto extremo, la función derivada no puede cambiar de signo en x = 1.

Como sabemos que f'(1) = 0, la expresión de la derivada ha de ser de la forma:

Identificando las expresiones de f'(x), se tiene:

Con el valor obtenido de a = -3 b = 3 y c = 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Como,

la función obtenida es creciente en su dominio , por tanto no tiene extremos.

207. Dada la función:

a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

(56)

208. Dada la función:

a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

b) Estudia sus intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Dominio de la función .

Función y derivadas:

Puntos críticos:

Monotonía:

En x = -4 la función tiene un máximo relativo porque en este punto pasa de creciente a decreciente.

En x = 0 la función tiene un mínimo relativo porque en este punto pasa de decreciente a creciente.

Curvatura:

La función presenta sólo dos inflexiones en x = -6 y en x = -2, puntos donde cambia la curvatura.

209. La altura, en metros, alcanzada al cabo de t segundos por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, viene dada por la función:

Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5 segundos. ¿Existe algún instante entre t = 0 y t = 5, en el que la velocidad instantánea coincida con dicha velocidad media?

(57)

Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 5 segundos. ¿Existe algún instante entre t = 0 y t = 5, en el que la velocidad instantánea coincida con dicha velocidad media?

Velocidad media en el intervalo de tiempo [0, 5]:

Velocidad instantánea en un instante cualquiera:

Por tanto la velocidad instantánea es:

Igualando ambas velocidades, se tiene: 20 - 4t = 10 t = 2,5 segundos

Por tanto en el instante 2,5 segundos la velocidad instantánea coincide con la media.

211. El número de socios de un club, viene dado en función del número t de meses desde que se fundó, por la función:

a) Determina la velocidad media de crecimiento del club.

b) Determina la velocidad instantánea de crecimiento del club.

c) ¿En qué mes, desde su fundación, el club no crecerá?

212. El número de socios de un club, viene dado en función del número t de meses desde que se fundó, por la función:

a) Determina la velocidad media de crecimiento del club.

b) Determina la velocidad instantánea de crecimiento del club.

c) ¿En qué mes, desde su fundación, el club no crecerá?

(58)

operando se tiene:

b) Velocidad instantánea de crecimiento del club. Se aplica la definición de derivada:

c) Como la velocidad instantánea de crecimiento es:

el crecimiento es nulo, si:

La anterior ecuación no tiene soluciones reales, por tanto la velocidad de crecimiento nunca se hace cero.

213. Representa la función:

214. Representa la función:

215. Representa la función:

(59)

217. Representa la función:

218. Representa la función:

219. Una función logarítmica es de la forma:

y su gráfica pasa por el punto A(9, 2)

a) Escribe su expresión algebraica.

b) Represéntala gráficamente.

220. Una función logarítmica es de la forma:

y su gráfica pasa por el punto A(9, 2).

a) Escribe su expresión algebraica.

(60)

Si pasa por A, entonces:

La función es:

La gráfica es:

221. Una función logarítmica es de la forma:

y su gráfica pasa por los puntos A(2, 4) y B(8, 12).

a) Escribe su expresión algebraica.

b) Represéntala gráficamente.

222. Una función logarítmica es de la forma:

y su gráfica pasa por los puntos A(2, 4) y B(8, 12).

a) Escribe su expresión algebraica.

b) Represéntala gráficamente.

Si pasa por A y B, entonces:

La función es:

(61)

223. El número de bacterias que existe en un determinado cultivo, en miles de individuos, viene dado por la función:

dondet indica el tiempo en horas.

a) ¿Cuál era la población inicial?

b) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas?

c) ¿Cuántas horas deben pasar para que en el cultivo haya un millón de bacterias?

(Utiliza la calculadora en la resolución del problema)

224. El número de bacterias que existe en un determinado cultivo, en miles de individuos, viene dado por la función:

dondet indica el tiempo en horas.

a) ¿Cuál era la población inicial?

b) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas?

c) ¿Cuántas horas deben pasar para que en el cultivo haya un millón de bacterias?

(Utiliza la calculadora en la resolución del problema)

a) f(0)=3,2 miles de bacterias

b) f(5)=70485 miles

(62)

225. La población de una granja avícola crece de forma exponencial de 1 000 a 1 300 individuos en un mes.

a) Halla la función P(x) que expresa la población en función del tiempo x en meses.

b) Calcula el número de aves que habrá en la granja al cabo de un año.

226. La población de una granja avícola crece de forma exponencial de 1 000 a 1 300 individuos en un mes.

a) Halla la función P(x) que expresa la población en función del tiempo x en meses.

b) Calcula el número de aves que habrá en la granja al cabo de un año.

a) La función que expresa la población de aves de la granja es de la forma:

siendox el tiempo en meses, Po = 1000 la población inicial de aves; a> 0 y k

Sabemos que:

por tanto la función de población es:

es decir:

b) Al cabo de un año el número de aves de la granja, será:

227. Construir por traslación las siguientes funciones. ¿Cuál es el vector de traslación?

a)

b)

(63)

a)

b)

a)

b)

229. Divide una cuerda de 60 cm de longitud en dos partes, de forma tal que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros que pueden construirse con cada trozo sea la menor posible.

230. Divide una cuerda de 60 cm de longitud en dos partes, de forma tal que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros que pueden construirse con cada trozo sea la menor posible.

Sean x y 60 - x las longitudes en cm de cada uno de los trozos en los que se divide la cuerda.

Podemos construir dos triángulos equiláteros T1 y T2 cuyos lados son respectivamente x y 60 - x.

La función S que expresa la suma de las áreas de dichos triángulos viene dada por la función:

La superficie total será tanto menor, cuanto menor lo sea la función:

Dicha función es una parábola cóncava hacia arriba cuyo mínimo valor se corresponde con el de la abscisa x de su vértice, por tanto:

(64)
(65)

232. Un fabricante quiere construir cajas prismáticas de base cuadrada, cuyo volumen debe ser 10 L. Expresa la altura de la caja en función de su lado básico x, y la función S(x) que permite calcular la superficie total de esas cajas en función de su lado básico.

Consideremos una de las cajas de altura h y lado básico x en dm.

Como el volumen del prisma es 10 dm3, se tiene:

por tanto la altura viene dada por:

La superficie total S en dm2 es la suma de las dos caras básicas y las cuatro laterales, por tanto:

Figure

figura siguiente.

figura siguiente.

p.4

Referencias

Actualización...

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