PRIMER TEOREMA DEL ISOMORFISMO

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PRIMER TEOREMA DEL ISOMORFISMO

JUNETH ANDREA TERAN TARAPUES

JHONY FERNANDO CARANGUAY MAINGUEZ

UNIVERSIDAD DE NARI ˜

NO

LICENCIATURA EN MATEMATICAS

TEORIA DE GRUPOS

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´

Indice

1. Conocimientos previos 2

1.1. Clase Lateral de H en G . . . 2

1.2. Propiedades de las Clases Laterales . . . 2

1.3. Teorema de Lagrange . . . 2

1.4. Subgrupos Normales . . . 2

1.5. Grupos Factores . . . 2

1.6. Homomorfismos . . . 2

1.7. Kernel . . . 2

1.8. Teorema 10.1 . . . 2

1.9. Teorema 10.2 . . . 3

2. Primer teorema del isomorfismo 4 2.1. Teorema 10.3: Primer teorema del isomorfismo . . . 4

2.1.1. Demostraci´on . . . 4

2.1.2. Ejemplo 10 . . . 4

2.2. Corolario . . . 5

2.2.1. Demostraci´on . . . 5

2.2.2. Ejemplo . . . 5

2.3. Teorema 10.4: Subgrupos normales son Kernel . . . 6

2.3.1. Demostraci´on . . . 6

(3)

1.

Conocimientos previos

1.1.

Clase Lateral de H en G

Definici´on:SeaGun grupo,H ⊆Gya∈Gtal que

aH ={ah:h∈Hb

Ha={ha:h∈H}

Tambi´en se conoce comocoset

1.2.

Propiedades de las Clases Laterales

Lema:SeanGun grupo,H ≤Gya, b∈G

2. aH =H ⇔ a∈H

1.3.

Teorema de Lagrange

Definici´on:SiGes un grupo finito yH ≤Gentonces|H|divide a|G|

1.4.

Subgrupos Normales

Definici´on:Un subgrupo H de un grupoGse llama un subgrupo normal deGsigH =Hg para todo

g∈G.Denotamos comoHCG

1.5.

Grupos Factores

Definici´on:SeaGun grupo yHCG. El conjuntoG/H={gH:g∈G} (el conjunto de todas las clases laterales deG), es un grupo bajo la operaci´on (aH) (bH) =abH.

1.6.

Homomorfismos

Definici´on:Seaφ:G→Gcon G, Ggrupos. Un homomorfismo es una funci´on deGenGque preserva la operaci´on deGenGtal queφ(ab) =φ(a)φ(b).

1.7.

Kernel

Definici´on:El Kernel de un homomorfismoφ:G→GdondeGtiene identidade, es el conjunto

Kerφ={x∈G:φ(x) =e}

1.8.

Teorema 10.1

Seaφ:G→Gun homomorfismo ya, b∈G

5. φ(a) =φ(b) ⇔ aKerφ=bKerφ

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1.9.

Teorema 10.2

Seaφ:G→Gun homomorfismo yH ≤G

(5)

2.

Primer teorema del isomorfismo

2.1.

Teorema 10.3: Primer teorema del isomorfismo

Seaφun homomorfismo deG a G. Luego la funci´on deG/Kerφa φ(G) dada porgKerφ→φ(g), es un isomorfismo. En s´ımbolos,G/Kerφ≈φ(G)

2.1.1. Demostraci´on

Denotemos conψa la correspondencia ψ:gKerφ→φ(g).

1. Probaremos que la funci´on est´a bien definida. Es decir que la correspondencia sea independiente de la escogencia de un representante de la clase lateral.

En efecto por la propiedad 5 del teorema 10.1, sig, h∈Gentonces

gKerφ=hKerφ

si y solo si

φ(g) =φ(h) 2. Probaremos queψ es un isomorfismo.

Por la raz´on anterior podemos afirmar queψes inyectiva. Es sobreyectiva por como est´a definida.

Falta probar queψ preserva la operaci´on, para ello debemos probar que

ψ(xKerφ yKerφ) =ψ(xKerφ) ψ(yKerφ) parax, y ∈G. Como

ψ(xKerφ yKerφ) =ψ(xyKerφ)

ψ(xKerφ yKerφ) =φ(xy)

ψ(xKerφ yKerφ) =φ(x) φ(y)

ψ(xKerφ yKerφ) =ψ(xKerφ) ψ(yKerφ) Asiψes un isomorfismo y G/Kerφ≈φ(G)

2.1.2. Ejemplo 10

Consideremos el homomorfismoφdeD4 a si mismo, dado por:

EntoncesKerφ={R0, R180} y la funci´onψque se defini´o en el teorema 10.3 es

R180Kerφ = R0Kerφ→φ(R0) = R0

(6)

R90Kerφ = R270Kerφ→φ(R90) =H

HKerφ = V Kerφ→φ(H) = R180

DKerφ = D0Kerφ→φ(D) = V

Entoncesψ es un isomorfismo.

Una representaci´on del teorema 10.3

γ:G→G/Kerφ

dada porγ(g) =gKerφ

La funci´onγ es llamadala funci´on natural deG aG/Kerφ

2.2.

Corolario

Siφes un homomorfismo de un grupo finitoGaG, entonces|φ(G)|divide a|G|yG.

2.2.1. Demostraci´on

Por el teorema 10.3:φ(G)≈G/Kerφ, y

|φ(G)|=|G/Kerφ| |φ(G)|= |G|

|Kerφ|

Esto por el teorema de Lagrange. Entonces

|G|=|φ(G)| |Kerφ|

lo que implica que|φ(G)|divide a|G|

Ahora, por la propiedad 1 del teorema 10.2φ(G)≤G. Por lo tanto, por el teorema de Lagrange,|φ(G)|

divide aG

2.2.2. Ejemplo

Consideremos el ejemplo 10 estudiado en clase. Sea

(7)

Sabemos queZ12 yZ30son grupos finitos. En clase se concluy´o queapodia tener uno de los siguientes valores:a= 0,15,10,5,20,25.φ(Z12) es el conjunto de las imagenes enZ30entonces tenemos:

φ0, φ5, φ10, φ15, φ20, φ25

Ahora debemos encontrar el orden de cada uno y ver que divide a|Z12|y a |Z30|

φ0(Z12) =h0i={0} → |φ0(Z12)|= 1

φ5(Z12) =h5i={0,5,10,15,20,25} → |φ5(Z12)|= 6

φ10(Z12) =h10i={0,10,20} → |φ10(Z12)|= 3

φ15(Z12) =h15i={0,15} → |φ15(Z12)|= 3

φ20(Z12) =h20i={0,20} → |φ20(Z12)|= 2

φ25(Z12) =h25i={0,25} → |φ25(Z12)|= 2

Asi, es f´acil ver que cada orden, de los escritos anteriormente, divide a|Z12|= 12 y a|Z30|= 30

2.3.

Teorema 10.4: Subgrupos normales son Kernel

Cada subgrupo normal de un grupoGes el Kernel de un homomorfismo deG. En particular, un subgrupo normalN es el Kernel de la funci´ong→gN deGaG/N

2.3.1. Demostraci´on

Definamosγ:G→G/N dada porγ(g) =gN cong∈G

1. γest´a bien definida, es f´acil ver que a cadagle corresponde un solo gN. 2. Probaremos queγ es un homomorfismo, es decir queγpreserva la operaci´on.

Queremos probar que six, y∈Gentoncesγ(xy) =γ(x)γ(y). Asi, seax, y∈Gentonces

γ(xy) = (xy)N γ(xy) =xN yN γ(xy) =γ(x)γ(y) esto se cumple porqueNCG. Por tantoγpreserva la operaci´on. 3. Probaremos queN es el kernel deγ:G→G/N.

Se sabe queN es la identidad deG/N porque se cumple quegN eN =gN parag∈GasiN =eN

Entoncesg∈Kerγ⇔γ(g) =gN=N lo que es verdad si y solo sig∈N y esto se cumple por la propiedad 2 de las clases laterales.

En s´ımbolos

g∈Kerγ⇔γ(g) =gN=N ⇔g∈N

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se ha probado basicamente que:

⇒Kerγ⊆N

y que

⇐N ⊆Kerγ

Es decir queN =Kerγ. Con esto se concluye la demostraci´on

2.3.2. Ejemplo

Consideremosα:GL(2,R)→GL(2,R)/SL(2,R) dada porα(A) = (A)SL(2,R) procederemos siguiendo los pasos de la demostraci´on del teorema 10.4.

1. αest´a bien definida.

2. αdebe ser un homomorfismo. Probaremos queαpreserva la operaci´on. SeaA, B∈GL(2,R) se debe probar queα(AB) =α(A)α(B). Entonces

α(AB) = (AB)SL(2,R)

α(AB) = (A)SL(2,R) (B)SL(2,R)

α(AB) =α(A)α(B)

esto se cumple porqueSL(2,R)CGL(2,R). Por tanto αpreserva la operaci´on. 3. SL(2,R) debe ser el kernel de α:GL(2,R)→GL(2,R)/SL(2,R).

Sabemos queSL(2,R) es la identidad deGL(2,R)/SL(2,R) porque se cumple que (A)SL(2,R) (E)SL(2,R) = (A)SL(2,R)

dondeE es la matriz identidad,SL(2,R) = (E)SL(2,R) y conA∈GL(2,R).

Asi es f´acil ver queA∈Ker(α)⇔α(A) = (A)SL(2,R) =SL(2,R) y esto se cumple si y solo si

A∈SL(2,R) (propiedad 2 de las clases laterales) Se ha probado basicamente que:

⇒Kerα⊆SL(2,R) y que

⇐SL(2,R)⊆Kerα Es decir queSL(2,R) =Kerα.

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Referencias

[1] Gallian, J. (2010). Contemporary Abstract Algebra: S´eptima Edici´on. USA: Student Edition.

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