ECUADIONES DIFERENCIALES

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:

•

Encuentre soluciones generales y/o

particulares de Ecuaciones Diferenciales de

primer orden

•

Determine Estabilidad dinámica cuantitativa

y/o cualitativamente

•

Resuelva problemas de aplicaciones

económicas

1.1

Introducción

1.2

Ecuaciones Lineales

1.3

Ecuaciones de Bernoulli

1.4

Ecuaciones separables

1.5

Ecuaciones Homogéneas

1.6

Ecuaciones exactas

1.7

Factor Integrante

1.8

Estabilidad dinámica del equilibrio

1.9

Aplicaciones

1.1 INTRODUCCIÓN

En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear

una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo, suponga que

entonces

2

x

e

y

=

2

2

x

xe

dx

dy

₌

; la razón de cambio relativa

y

y

´

sería

x

e

xe

y

y

x x

2

2

´

2 2

=

=

, despejando tenemos

y

´

−

2

xy

=

0

. Esta última expresión

representa una ecuación diferencial.

1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación que contiene derivadas de una o más

variables dependientes con respecto a una o más

variables independientes se denomina

Ecuación

Diferencial

.

Ejemplo

donde

0

2

´

−

xy

=

y

y

=

f

(

x

)

Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el

caso del ejemplo anterior, se la llama

Ecuación Diferencial Ordinaria

.

Si la función desconocida depende de más de una variable se llama

Ecuación Diferencial Parcial

o

en Derivadas Parciales.

Ejemplo

xz

y

z

xy

x

z

₌

∂

∂

+

∂

∂

2

donde

z

=

f

(

x

,

y

)

Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias.

1.1.2 Orden de una ecuación diferencial

El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada

presente en la ecuación:

Ejemplos

1.

−

2

xy

=

0

dx

dy

2.

₂

´

2

y

xy

dx

y

d

₊

₌

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden

3.

3

₂

2

2

4 4

=

+

dx

y

d

dx

y

d

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Cuarto Orden

1.1.3 Grado de una ecuación diferencial

El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero

positivo de la más alta derivada presente en la ecuación.

Ejemplos

1.

y

´´

+

5

(

y

´)

3

−

4

y

=

x

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden y

primer grado

2.

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer orden y segundo

grado

( )

y

´

2

−

2

xy

=

0

1.1.4 Ecuaciones Lineales

Una Ecuación Diferencial es

lineal

si lo es en todas

sus derivadas y también en su variable dependiente.

Ejemplos

1.

+

2

xy

=

0

dx

dy

Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de primer orden

2.

0

2 2

=

−

+

y

dx

dy

x

dx

y

d

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Lineal de

Segundo Orden

Como ejemplos de Ecuaciones Diferenciales no lineales, tenemos:

Ejemplos

1.

y

´´

+

5

(

y

´)

3

−

4

y

=

x

2.

yy

´

−

2

x

=

2

3.

(

x

+

y

)

dx

+

(

x

−

y

)

dy

=

0

4.

y

´

−

y

=

e

y

Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puede

representar en forma polinómica de la siguiente manera:

[

(

)

]

[

(

)

]

[

0

(

)

]

(

)

) 1 ( 1

) (

x

g

y

x

a

y

x

a

y

x

a

_n n

+

_n− n−

+

"

+

=

1.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial

Se dice que una función

y

=

f

(

x

)

definida en un intervalo

I

, es

solución de una ecuación diferencial en el intervalo

I

, si sustituida en la

ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, se

convierte en una identidad.

Ejemplo

Determinar si la función

16 ) (

4

x x f

y= =

es solución de la ecuación

´ 2 0

1

=

−xy

y

.

SOLUCIÓN:

De

16

4 x

y=

se obtiene

4 16 4 ´

3 3 _x

x

y= =

Reemplazando resulta:

0 4 4

0 4 4

0 16 4

0 ´

3 3

2 3

2 / 1 4 3

2 / 1

= −

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= −

x x

x x x

x x x

xy y

0 = 0

Por tanto, la función si es solución de la Ecuación Diferencial.

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER

ORDEN

Una Ecuación Diferencial lineal de primer orden se puede expresar de la

siguiente forma:

y

´

+

[

p

(

x

)

]

y

=

g

(

x

)

Bien, ahora determinemos su solución.

Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por la función

,

tenemos

:

∫

p x dx

[

]

)

(

)

(

´

)

(

)

(

´

) ( )

( )

(

) ( )

(

x

g

e

x

p

ye

e

y

x

g

e

y

x

p

y

e

dx x p dx

x p dx

x p

dx x p dx

x p

∫

∫

∫

∫

∫

=

+

=

+

Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del

producto de la función buscada

y

(

x

)

con la función

∫

, es decir:

dx x p

e

( )

d

ye

∫

p(x)dx

⎟

=

e

∫

p(x)dx

g

(

x

)

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Integrando miembro a miembro:

C

dx

x

g

e

ye

dx

x

g

e

ye

d

dx x p dx

x p

dx x p dx

x p

+

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

)

(

)

(

) ( )

(

) ( )

(

Finalmente, se obtiene

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

∫

∫

∫

e

g

x

dx

C

e

x

y

p x dx

dx x

p

(

)

1

)

(

( )

)

(

. La cual

llamaremos Solución General.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general para

y

´

−

2

xy

=

x

SOLUCIÓN:

Para este caso tenemos:

p

(

x

)

=

−

2

x

y

g(x)=x

Calculando primero,

2

2

)

(

x

dx

xdx

_x

p

e

e

e

∫

=

∫

−

=

−

Luego utilizando la formula

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+

=

∫

∫

∫

e g x dx C

e x

y p xdx

dx x

p ( )

1 )

( ( )

)

(

, resulta:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡_{− +}

=

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ =

− − −

∫

C e e y

C xdx e e y

x x

x x

2 2

2 2

2 1 1

o lo que es lo mismo:

2

2

1 _x

Ce

y=− +

. Solución General

Ejemplo 2

Encontrar la solución general para

y x x x

y´−2 = 2sen3

SOLUCIÓN:

Para este caso tenemos:

x x

Primeramente

ln 2 2

)

( − 2 −

= =

=

∫

−

∫

_{e e x}

e x

dx x dx

x p

.

Luego:

2 2

2

2 2

2 2

3 3 cos

3 3 cos

3 3

1

cx x x y

c x x

y

x sen x x sen x x x y

+ −

=

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡_{− +}

=

=

=

∫

−

∫

−

Ejemplo 3

Encontrar la solución general para

xy

´

+

2

y

=

sen

x

SOLUCIÓN:

Dividiendo para "

x

", tenemos:

x x y x y

x x x

y x xy

sen 2 ´

sen 2 ´

= +

= +

Entonces:

x x x g x x

p( )=2 ∧ ( )=sen

Por lo tanto:

2ln ln 2

2

2 x e

e

e x x

dx

x _{= = =}

∫

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ =

∫

∫

C xdx x x

C dx x x

x x x y

sen 1

sen 1 ) (

2

2 2

La integral que resulta se la encuentra empleando la técnica de integración por Partes.

Haciendo

x xdx v

xdx dv

dx du x u

cos sen

sen 1

− = =

→ =

= → =

∫

resulta:

(

)

x x x

xdx x

x xdx x

sen cos

cos cos

sen

+ − =

+ −

=

∫

∫

Por lo tanto:

[

x x x C

x x

y( )= 1 − cos +sen +

2

]

es la solución general

1.2.1

Teorema

Si las funciones y son continuas en un intervalo

p

g

(

a

,

b

)

que contiene el punto , entonces existe una

x

₀

diferencial

y

´

+

p

(

x

)

y

=

g

(

x

)

, para

x

∈

(

a

,

b

)

que

cumple la condición inicial

y

(

x

0

)

=

y

0

Ejemplo 4

Encontrar la solución particular

2

4

2

´

y

x

xy

+

=

si

y

₍

₁

₎

=

₂

SOLUCIÓN:

Dividimos para "

x

":

x

y

x

y

x

y

xy

4

2

´

4

2

´

2

=

+

=

+

Entonces:

g x x x

x

p( )= 2 ∧ ( )=4

Por lo tanto:

2ln ln 2

2 )

( 2

x

e

e

e

e

x x

dx x dx

x p

=

=

=

=

∫

∫

[

]

GENERAL SOLUCIÓN

x C x y

C x x C xdx x x y

2 2

4 2 2

2

1 4

1

+ =

+ =

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+

=

∫

Con la condición

y

=

2

∧

x

=

1

se obtiene:

1 1

1

2= +C ⇒ C =

Finalmente

SOLUCIÓN

PARTICULAR

x

x

y

2 2

₊

1

=

Ejemplo 5

Encontrar la solución particular

y´−y=2xe2x ; y(0)=1

SOLUCIÓN:

Aquí tenemos que

_{p(x)=−1 ∧ g(x)=2xe}2x

Entonces:

p x dx dx x

e

e

e

∫

( )

=

∫

−1

=

−

Reemplazando y resolviendo resulta:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ =

∫

∫

− −

C dx xe e

C dx e xe e

x y

x x

x x x

2 2 1 )

( 2

La integral que resulta se la encuentra integrando Por Partes.

Haciendo

x x x

e dx e v dx e dv

dx du x u

= =

→ =

= → =

∫

1

x x x x x e xe dx e xe dx xe − = − =

∫

∫

Por lo tanto:

y(x)=ex

[

2

(

xex−ex

)

+C

]

es la

SOLUCIÓN GENERAL

.

Empleando la condición inicial

x=0

y

y

=

1

,

encontramos C

(

)

[

]

3 1 2 1 0 2 ) 0

( 0 0 0

= = + − = + − = C C C e e e y

Finalmente

y(x)=ex

[

2

(

xex−ex

)

+3

]

es la S

OLUCIÓN

P

ARTICULAR

.

Ejemplo 6

Encontrar la solución particular

y´+2y=g(x) ; y(0)=0

para

a)

g(x)=1

y b)

g(x)=0

SOLUCIÓN:

a) Si g(x)=1, entonces:

x x x x x x x x dx e e y C C x y e C y C e e C dx e e y e e y y 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 , 0 2 1 2 1 1 ) 1 ( 1 1 2 ´ − = − + = − = + = = = ∧ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = = = +

∫

∫

b) Si g(x)=0, entonces:

Ejemplo 7

Encontrar la solución de

x e y _y

+ = 1

´

SOLUCIÓN:

La ecuación dada NO ES LINEAL con respecto a

"

x

"

y y y

e

x

dy

dx

x

e

dy

dx

x

e

dx

dy

=

−

+

=

+

=

1

Pero es lineal con respecto a " ", entonces:

y

[

y

C

]

e

y

x

C

dy

e

C

dy

e

e

e

y

x

e

e

y

y y

y y

y dy

=

+

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

=

∫

∫

− −

− − −

∫

)

(

1

1

)

(

1

)

(

1

Segundo Método:

Haciendo cambio de variable

resulta:

⎩ ⎨ ⎧

→ → x y

y x

x x

x y

e y y

y e dx dy

y e dy dx

x e dx dy

= −

+ =

+ =

+ =

´ 1 1

La última es una ecuación lineal, por lo tanto:

[

x C

]

e x y

C dx e

C dx e e e

x y

x x

x x dx

+ =

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ =

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ =

∫

∫

− −

∫

) (

1 ) (

1

Finalmente, regresando la variable:

Ejercicio Propuesto 1.1

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales:

1.

x

x

y

'

y

−

=

2

+

2.

x

y

x

dx

dy

3

−

2

=

3.

+

2

y

=

sen

x

,

y

(

2

)

=

1

dx

dy

x

4.

+

xy

=

1

−

y

,

y

(

1

)

=

0

dx

dy

x

5.

y

'

=

e

2x

+

y

−

1

6.

x

y

e

dx

dy

₌

x

−

7.

0

3

1

=

=

=

+

+

x

,

y

cuando

x

x

y

'

y

8.

y

'

−

2

y

=

e

x

9.

2

xy

'

−

y

=

x

3

−

x

10.

2

1

₂

x

y

x

'

y

+

=

11.

e

y

dx

dy

x

3

2

+

=

12.

_x

e

y

dx

dy

+

=

+

1

1

13.

(

2

y

+

3

x

)

dx

=

−

xdy

14.

1

2

2

4

+

−

+

=

x

y

x

dx

dy

15.

y

x

'

y

3

1

−

=

16.

(

e

y

+

x

+

3

)

y

'

=

1

1.3. ECUACIONES DE BERNOULLI

Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden

transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.

Una Ecuación de Bernoulli tiene la forma

y

´

+

p

(

x

)

y

=

g

(

x

)

y

n

donde

. Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos:

1

0

∧

≠

≠

n

n

PASO 1: Dividir para

n

y

.

)

(

)

(

´

)

(

)

(

´

1

x

g

y

x

p

y

y

y

y

x

g

y

y

x

p

y

y

n n

n n

n n

=

+

=

+

− −

PASO 2: Cambiar de variable:

v

=

y

1−n

Además, derivando la nueva variable con respecto a

, se

obtiene:

dx dv n y y

dx dv y n dx

dy

dx dy y n dx dv

dx dy y n dx dv

n n n n

) 1 ( ´

) 1 (

1 ) 1 (

) 1

( 1 1

− =

= −

= − =

− =

− −

− −

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:

) ( ) ( 1

1

) ( ) ( )

1 (

) ( )

(

´ 1

x g v x p dx dv n

x g v x p y dx dv n y

x g y x p y y

n n

n n

= +

−

= + −

= +

− − −

La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable

v

,

Paso 3: Encontrar

v

(

x

)

.

Paso 4: Encontrar

y

(

x

)

, empleando el cambio de variable utilizado.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de

2 3

2

´

xy

y

y

x

+

=

SOLUCIÓN:

PASO 1:

2 2 3

3 3

2 3 3

3 2

2 3

2

3 2

1

2

´

1

2

´

1

2

´

2

´

2

´

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

x

y

y

y

x

y

x

y

x

y

x

xy

y

y

xy

y

x

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

− −

Dividiendo para

x

2

Dividiendo para

y

3 Ecuación de Bernoulli

PASO 2:

Aquí el cambio de variable sería:

=

−2

y

v

, entonces

dx dy y dx

dv 3 2 −

−

=

o también

dx

dv

y

dx

dy

3

2

1

−

−

=

Reemplazando en

3

2

2

1

₂

´

x

y

x

y

2 2

2

4

1

2

2

1

x

v

x

dx

dv

x

v

x

dx

dv

−

=

−

=

+

−

PASO 3: Encontrar . La última ecuación es lineal con respecto a , por tanto

podemos encontrarla de la manera descrita anteriormente.

v v

4ln ln

( )

4 4

4 ₋

− −

= =

= −

∫

x e

e e

e x x

dx

x

4 1 5

4

6 4

2 4 4

5

2

5

2

2

1

)

2

(

1

cx

x

c

x

x

v

C

dx

x

x

C

dx

x

x

x

v

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

− −

− −

− −

−

∫

∫

PASO 4: Encontrar

y

Como

₌

−2

y

v

entonces

2 4

5

2

cx

x

y

−

=

+

Y al despejar, se obtiene:

4 4 2

4 2

5 2

1 )

(

5 2

1 5

2 1

cx x x

y

cx x y

cx x y

+ ± =

+ ± =

+ =

Ejemplo 2

Encontrar la solución general de

y´= y(xy3−1)

SOLUCIÓN:

Paso 1: Primero la llevamos a la forma de Bernoulli

4

4 3

´

) 1 ( ´

xy y y

y xy xy

y y

= +

− = − =

Dividiendo

para , se obtiene:

_y4

x y y

y

y xy y

y y

y

= +

= +

−3 4

4 4 4 4

´ ´

Paso 2:

El

cambio de variable

sería:

_v=y−3

_.

Derivando se obtiene:

dx dy y dx

dv 4

3 −

−

=

Despejando se obtiene:

dx dv y dx dy

4

3 1

−

Reemplazando se obtiene:

x v dx dv x v y dx dv y x y y y 3 3 3 1 ´ 4 4 3 4 − = − = + − = + − − − −

Paso 3: Encontrando

v

₍

₎

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

=

∫

− − − −

∫

C

dx

x

e

e

v

e

e

x x x dx

3

1

₃ 3 3 3

Integrando por partes:

(

)

Ce x v C e x e e v x x x x 3 3 3 3 9 3 9 3 3 3 1 + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = ₋ − −

Paso 4. Encontrando

y

Como

_v=y−3

entonces

3 3 3 3 3 3 3 1 1 ) ( 3 1 1 3 1 x x x Ce x x y Ce x y Ce x y + + = + + = + + = −

Ejemplo 3

Encontrar la solución general de

y

2

dx

+

(

xy

−

x

3

)

dy

=

0

SOLUCIÓN:

Paso 1: Primero tratemos de llevarla a la forma de Bernoulli

(

)

(

)

´ 0

0 3 2 3 2 = − + = − + y x xy y dx dy x xy dx dx y

No es posible así tal como está. Cambiando de variable

se tiene:

⎩ ⎨ ⎧ → → x y y x

x2dy+

(

yx−y3

)

dx=0

Ahora le damos la forma de Bernoulli.

(

)

3 2 3 2 3 2 1 1 ´ 0 ´ 0 y x y x y y xy y x dx dx y yx dx dy x = + = − + = − +

Dividiendo

para , se obtiene:

y

3

2 2 3 3 3 2 3 3

1

1

´

1

1

´

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

x

y

y

=

+

=

+

−

Derivando se obtiene:

dx dy y dx dv ₃ 2 − − =

Despejando se obtiene:

dx dv y dx dy 3 2 1 − − =

Reemplazando se obtiene:

2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ´ x v x dx dv x v x dx dv x v x y dx dv y x y x y y − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + = + − = + − = + − − − −

Paso 3: Encontrando

v

Cx

x

x

v

C

x

x

x

v

C

dx

x

x

x

v

C

dx

x

x

x

x

v

x

e

e

e

x x

dx x 2 1 3 2 4 2 2 2 2 2 ln ln 2 2

3

2

)

(

3

2

)

(

2

)

(

2

1

)

(

2

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

=

=

=

− − − − − − − −

∫

∫

−

∫

Paso 4. Encontrando

y

Como

_{v= y}−2

_entonces

2 1 2 1 2 1

3

2

1

3

2

3

2

)

(

Cx

x

y(x)

Cx

x

y

Cx

x

x

v

2

-+

±

=

+

=

+

=

− − −

Finalmente, regresando a la variable original:

Ejercicio Propuesto 1.2

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Bernoulli:

1.

−y=2x2y2 , y(1)=2

dx dy x

2.

xy'−y−y2e2x=0

3.

xdy−

(

y+xy3

(

1+lnx

)

)

dx=0

4.

2 ₂2 x

xy y dx dy₌ +

1.4 ECUACIONES SEPARABLES

Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden

expresar de la forma:

M

(

x

)

dx

+

N

(

y

)

dy

=

0

Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de

2 2

1 y x dx dy

+ =

SOLUCIÓN:

Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de

x

y del otro lado función

de , y luego integrando. Resulta:

y

C x y y

dx x dy y

dx x dy y

y x dx dy

+ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+

= +

= +

+ =

∫

∫

3 3

) 1 (

) 1 (

1

3 3

2 2

2 2

2 2

Ejemplo 2

Encontrar la solución particular de

; y y

x

y ( 3) 4

2 1 ´

2

= − −

+ =

SOLUCIÓN:

Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de

x

y del otro lado función

C x x y y

dx x dy y

dx x dy y

y x dx dy

y x y

+ + = −

+ =

−

+ = −

− + =

− + =

∫

∫

3 2 2

) 1 ( )

2 (

) 1 ( ) 2 (

2 1 2

1 ´

3 2

2 2 2 2

Empleando la condición Inicial

4

3

0 0

= − =

y x

, encontramos C, es decir:

( ) ( )

( ) ( )

12

3 3

3 2 4 4 2

3 2 2

3 2

3 2

=

+ − + − = −

+ + = −

C

C C x x y y

Entonces la solución particular sería:

12

3 2 2

3 2

+ + =

−y x x

y

Existen ecuaciones diferenciable que con un cambio de variable se

convierte en separable.

Ejemplo 3

Encontrar la solución particular de

y= tg2

(

x+2y

)

2 1

´

SOLUCIÓN:

La ecuación dada no es lineal y tampoco es separable directa, pero haciendo el cambio de variable

u

=

x

+

2y

se podrá separar las variables.

Derivando la expresión de la nueva variable se obtiene:

(

)

dx dy 2 1 2y x dx

d dx du

+ = +

=

Entonces

2 u´-1

y´= . Reemplazando y resolviendo, resulta:

(

)

u dx

du

u dx

du

u u

u 2

u´-1

2y x tg y 2

2 2 2

2 2 1

sec tg 1

tg 1 ´

2 tg ´

= + =

= −

= + =

[

]

C x u u

C x du u

dx udu

dx u du

u dx du

+ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ +

+ = +

= = =

∫

∫

∫

2 2 sen

2 cos 1 cos sec

sec

2 1

2 1

2 2

2

Y regresando de variable, queda:

(

x y

)

(

x y

)

=x+C

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ _{+ +} +

2 2 2 sen 2 2

1 _{SOLUCIÓN GENERAL}

Ejercicio Propuesto 1.3

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Separables:

1.

( )

3 2

1 x y

x dx dy

+ =

2.

=x3−3x2+5

dx dy

3.

(

)

(

)

3 3

1 1

+ + =

y x

x y dx dy

4.

, ( 1) 1

1 1

2 2

= − +

−

= y

y x dx dy

5.

y

'

=

e

x+y

6.

(

x2y+xy−y

) (

dx+ x2y−2x2

)

dy=0

7.

(

2x+3

)

dx+

(

2y−2

)

dy=0

8.

=5x4−3x2−2 , y(1)=4

dx dy

9.

=1−

(

x−y

)

2 , y(0)=1

dx dy

10.

(

tg

2

(

x

+

y

)

)

dx

−

dy

=

0

11.

y''y'=1 , y(0)=5,y'(0)=1

1.5 ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma

x

y

f

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

´

, se la denomina Ecuación Diferencial Homogénea.

Para encontrar su solución se realiza el cambio de variable

x y

v=

, para

convertirla en una ecuación donde se pueda separar sus variables.

Para obtener

dx

dy

se hace lo siguiente:

Despejando

y

tenemos:

y

=

vx

Derivando con respecto a "

x

", se obtiene:

v

dx

dv

x

y

v

x

dx

dv

dx

dy

+

=

+

=

´

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de

x y x y

y

+

−

=

1

1

´

SOLUCIÓN:

Como es una ecuación homogénea hacemos el cambio de variable

x y

v= de donde

v dx dv x

y´= + .

Reemplazando, y resolviendo resulta:

(

)

x dx dv v v

v v

v v dx dv x

v v v v dx dv x

v v v v dx dv x

v v v dx dv x

v v v dx dv x y

x y x y

= − −

+ +

− − =

+ − − − =

+ + − − =

− + − =

+ − = +

+ − =

2 2

2

2 1

1 1 2 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 ´

En la última ecuación están separadas sus variables y podemos proceder a integrar cada miembro:

C x v

v

x dx dv

v v

v

+ = − − −

= − −

+

∫

∫

) ln( ) 2 1 ln(

2 1

1

2 2

1

2

Finalmente, debemos reemplazar

x y v=

( ) ( )

_xy _xy ⎟= x +C ⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ _{− −}

−1₂ln 1 2 2 ln( ) _{SOLUCIÓN GENERAL}

Ejemplo 2

Encontrar la solución general de

;

(

1

)

1

2 2

=

+

=

y

x

y

x

y

dx

dy

SOLUCIÓN:

Hacemos el cambio de variable

x y

v= de donde v dx dv x y´= +

Reemplazando, y resolviendo resulta:

2 2 2 2

v dx dv x

v v v dx dv x

x y x y dx dy

= + = +

En la última ecuación se pueden separar las variables.

C x v

dx x dv v

x dx v dv

+ = −

= =

∫

∫

ln 1

1 1

2 2

Regresando de variable:

C x y x

C x x y

+ = −

+ = −

ln ln 1

Empleando la condición inicial x₀=1 y y₀=1 resulta 1

1 ln 1 1

− =

+ = −

C

C

Finalmente: − =lnx−1

y

x _S

OLUCIÓN PARTICULAR

Ejemplo 3

Encontrar la solución general de

4 2

)

1

(

;

cos

π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

y

x

x

y

dx

dy

x

y

SOLUCIÓN:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

x y x y

x y dx dy

x x y

dx dy

2 2

cos cos

Hacemos el cambio de variable

x y

v= de donde v dx dv x

y´= + .

Reemplazando, y resolviendo resulta:

( )

( )

v dx

dv x

v v dx dv x v

2 2

cos cos

= + = +

Separando variables:

( )

C x

C x v

x dx dv v

x y _{= +}

+ =

=

∫

∫

ln tg

ln tg cos

1 2

Empleando la condición inicial dada:

1 1 ln tg

1 4

=

+ =

π

C

C

Finalmente: tg =lnx+1

x

Ejercicio Propuesto 1.4

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Homogéneas:

1.

y x x y y'− =

2.

(

3y2 +2xy

) (

dx− 2xy+x2

)

dy=0

3.

(

x+y

)

dx+

(

x−y

)

dy=0

4.

)

(

)

(

y

x

x

y

x

y

dx

dy

−

+

=

5.

(

x2+3xy+ y2

)

dx−x2dy=0

6.

1

2

2

1

_⎟⎟

=

0

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

dy

y

x

e

dx

e

y

x y

x

7.

3 , (1)=0

− +

= y

y x

y x dx dy

1.6 ECUACIONES EXACTAS

Sea la función

z

=

f

(

x

,

y

)

. Su diferencial total es

dy

y

f

dx

x

f

df

∂

∂

+

∂

∂

=

Si

f

(

x

,

y

)

=

C

entonces

dy

y

f

dx

x

f

dc

y

x

df

0

)

,

(

=

∂

∂

+

∂

∂

=

Suponga ahora que se tiene una ecuación diferencial de la forma:

M

(

x

,

y

)

dx

+

N

(

x

,

y

)

dy

=

0

que represente la diferencial total de una función desconocida

.

Entonces el asunto sería encontrar la función desconocida.

)

,

(

x

y

f

z

=

1.6.1 TEOREMA DE EXACTITUD

Una ecuación diferencial

M

(

x

,

y

)

dx

+

N

(

x

,

y

)

dy

=

0

es exacta si y sólo si

x

N

y

M

∂

∂

=

∂

∂

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de

) 2 (sen

) 2 cos (

2 ₊

+ + −

=

y y

e x x

xe x y dx dy

SOLUCIÓN:

En este caso la forma diferencial de la ecuación es:

0

)

2

(sen

)

2

cos

(

) , (

2

) , (

=

+

+

+

+

xe

dx

x

x

e

dy

x

y

y x N

y y

x M

y

y y

xe x x N xe x y M

2 cos 2

cos = +

∂ ∂ +

= ∂ ∂

Como las derivadas cruzadas son iguales, por tanto la ecuación diferencial si es exacta

y procedemos a encontrar la función solución.

(

)

(

)

C

y

e

x

ySenx

C

y

e

x

ySenx

dy

e

x

x

dy

y

x

N

y

x

f

C

e

x

x

y

dx

xe

x

y

dx

y

x

M

y

x

f

y

y y

1 y y

=

+

+

+

+

+

=

+

+

=

=

+

+

=

+

=

=

∫

∫

∫

∫

2

2

2

sen

)

,

(

)

,

(

sen

2

cos

)

,

(

)

,

(

2

2 2

2

2

Ejemplo 2

Encontrar la solución general de:

2

3

+

3

2 2

=

0

y

(

1

)

=

−

1

dx

dy

y

x

xy

SOLUCIÓN:

La forma diferencial de la ecuación es:

( ) (

2

xy

3

dx

+

3

x

2

y

2

)

dy

=

0

Veamos si que es exacta

2 3 2 6 2 6xy2(Siesexacta)

x N xy y x y M

= ∂ ∂ =

= ∂ ∂

Encontrando la función potencial tenemos:

C y x

C y x y x y x f y x y f

C y x y x f xy x f

=

+ = = →

= ∂ ∂

+ = →

= ∂ ∂

3 2

2 3 2 3 2 2

2

1 3 2 3

3 3 ) , ( 3

) , ( 2

Empleando la condición inicial para encontrar C, resulta:

(1)2(−1)3=C→ C=-1

Ejercicio Propuesto 1.5

Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas:

1.

,

(

0

)

0

3

3

2

2

₋

=

+

+

=

y

x

y

y

x

dx

dy

2.

xy

x

y

xy

dx

dy

2

1

2

2 2

+

+

+

−

=

3.

(

x2+y

) (

dx+ x+ey

)

dy=0

4.

y

x

xy

dx

dy

2

1

2

2

₊

+

−

=

5.

(

2x−2y3+y

) (

dx+ x−6xy2

)

dy=0

6.

(

x+y

)

dx+

(

x+2y

)

dy=0; y(2)=3

7.

(

2xy2+2y

) (

+ 2x2y+2x

)

y'=0

8.

1 sen cos ' − = y x y y

9.

(

)

xy

e

e

y

y

y

x x

2

'

−

−

=

1.7 FACTOR INTEGRANTE

En la ecuación diferencial

M

(

x

,

y

)

dx

+

N

(

x

,

y

)

dy

=

0

,

si

x

N

y

M

∂

∂

≠

∂

∂

a

veces es posible transformarla en exacta si se la multiplica por una función

; es decir:

)

,

(

x

y

R

[

]

0

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

=

+

=

+

RNdy

RMdx

dy

y

x

N

dx

y

x

M

y

x

R

Suponga que

R

=

R

(

x

)

entonces

(

) ( )

0

1

´

0

´

´

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

+

=

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

R

y

M

x

N

N

R

y

M

R

x

N

R

NR

x

N

R

N

R

y

M

R

x

RN

y

RM

La última expresión es una ecuación diferencial lineal para

R

(

x

)

Por lo tanto

Ejemplo

Encontrar la solución general de:

y x y xy x dx dy 2 2 3 + + =

SOLUCIÓN:

(

)

xy x N yx y M dy y x y dx xy x dx xy x dy y x y y x y xy x dx dy 2 2 0 ) 3 ( ) 3 ( ) ( 3 2 2 2 2 2 2 − = ∂ ∂ ≠ = ∂ ∂ = + − + + = + + + =

Hallemos R(x)

(

)(

)

2 2 ) 1 ln( ) 1 ln( 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 4 ) 2 ( 2 1 1 ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 − + + − + − + − − − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = = = = = = = −

∫

∫

∫

∫

x e e e e e e x R x x dx x x dx x y xy dx xy yx y x y dx x N y M N

Multiplicando la ecuación (3x+xy2)dx−

(

y+x2y

)

dy=0 por R(x)=(1+x2)−2 y resolviendo, resulta:

(

)

( ) ( )

0

1 3 ) 1 ( 0 ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + + = + + − + + − − dy x y dx y x x dy y x y x dx xy x x

En este caso

(

)

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

)

1

(

2

1

)

1

(

2

3

)

1

(

x

xy

x

y

x

x

xy

y

x

x

y

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

∂

∂

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

∂

∂

si es exacta.

Calculando f(x,y), resulta:

(

)

(

)

_{( ) ( )}

( )

( )

∫

∫

+ − = + − = + − + − = + + − = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ) , ( 1 2 1 2 3 ) 1 ( 2 3 3 ) 1 ( ) , ( x y dy x y y x f x y x x y dx y x x y x f

Por tanto la solución general sería:

( ) ( )

C x y x = + + + 2 2

2 ₂₁

1 2

3