PROPAGACIÓN DE E
CAUDALES OBTEN
CONSTRUIDAS CON
Trabajo de Grado pres
EFR
Ing. Hidró
PON
DE ERRORES EN CÁLCULOS HIDROLÓ
TENIDOS MEDIANTE CURVAS NIVEL
ON UNA BAJA DENSIDAD DE AFORO
JUAN FELIPE MARTÍNEZ PLATA
Ingeniero Civil
presentado para optar al título de Magister en H
Director
EFRAÍN ANTONIO DOMÍNGUEZ CALLE
idrólogo, MSc Ecología Hidrometeorologíca
PhD en Ciencias Técnicas
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
Bogotá D.C.
2012
OLÓGICOS CON
VEL – CAUDAL
OROS LÍQUIDOS
n Hidrosistemas
Tabla de contenido
INTRODUCCION ... OBJETIVO GENERAL ... OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 1 MARCO CONCEPTUAL PAR
1.1 CONSIDERACIONES H 1.2 MÉTODOS DE CONST 1.2.1 Fórmulas Tradic 1.2.2 Estabilidad de la 1.2.3 Fórmulas Altern 1.2.4 Calibración de p 1.3 INCERTIDUMBRE DE 1.3.1 Metodologías d 1.3.2 Incertidumbre d 1.3.3 Incertidumbre d 2 APLICACIÓN A CASOS DE E 2.1 ESTACIONES ANALIZA 2.2 ERRORES EN LOS AFO 2.3 VERIFICACIÓN DE EST 2.4 CALIBRACIÓN DE LAS 2.5 TIPOS DE ANÁLISIS P
2.5.1 Muestras de Niv 2.5.2 Muestras de Niv 2.6 MATERIALES Y MÉTO 3 ANÁLISIS DE RESULTADOS 3.1 ERROR ESTÁNDAR DE 3.2 INCERTIDUMBRE DE
3.2.1 Muestras Unifor 3.2.2 Muestras Aleato 3.3 INCERTIDUMBRE DE
i
... ... ... PARA LA PROPAGACIÓN DE ERRORES EN LA CURVA ES HIDRÁULICAS ... NSTRUCCIÓN DE LA CURVA NIVEL – CAUDAL ... adicionales ... de la curva ... ternativas ... de parámetros ...
DE LOS CAUDALES ... as de Análisis ... re de la Regresión ... re de los aforos de caudal ... DE ESTUDIO ... LIZADAS ... AFOROS LÍQUIDOS ... E ESTABILIDAD DEL CAUCE ... LAS CURVAS ... IS PARA MUESTREO Y SIMULACIÓN ... e Niveles Uniformemente Distribuidas... e Niveles Aleatorias ... ÉTODOS ... DOS ... R DE LA REGRESIÓN ... DE CAUDALES INSTANTÁNEOS MEDIOS, MÁXIMOS Y niformemente Distribuidas ... leatorias ... DE CAUDALES PROMEDIO ANUALES Y MENSUALES
... 1
... 2
... 2
RVA NIVEL - CAUDAL ... 1
... 1
... 3
... 3
... 4
... 5
... 7
... 10
... 11
... 13
... 23
... 25
... 25
... 25
... 28
... 31
... 36
... 37
... 38
... 43
... 45
... 46
OS Y MÍNIMOS... 50
... 51
... 55
3.3.1 Muestras Unifor 3.3.2 Muestras Aleato 3.4 EFECTO EN HIDROSIS 3.4.1 Propagación de 3.4.2 Propagación de 4 CONCLUSIONES Y RECOM 4.1 ACERCA DE LOS RESU 4.2 NECESIDADES DE INV REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS ...
ANEXO 1: RESUMENES DE AF ANEXO 2: ESTIMACIÓN DE E ANEXO 3: VALORES DE NIVE ANEXO 4: RESULTADOS DE A APÉNDICE ...
INCERTIDUMBRE EN LOS AFO Errores en la medición de Errores en la medición de Errores por aproximación Fórmula para estimar el e
ii
niformemente Distribuidas ... leatorias ... OSISTEMAS ... de errores en Caudales de diseño ... de errores en Índice de Escasez ... OMENDACIONES ... RESULTADOS OBTENIDOS ... INVESTIGACIÓN FUTURA ... ICAS ... ... E AFOROS Y CURVAS ... E ERROR EN AFOROS INDIVIDUALES ... IVELES Y CAUDALES PROMEDIO DIARIO Y MÁXIMOS DE ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE ... ... AFOROS DE CAUDAL ... n de la sección transversal ... n de la velocidad ... ción de la integral mediante sumas finitas ... el error de una medición de caudal ...
... 63
... 66
... 69
... 69
... 74
... 79
... 79
... 81
... 82
... 86
... 86
... 86
OS ABSOLUTOS. ... 86
... 86
... 87
... 87
... 88
... 89
... 93
INTRODUCCION
El caudal o tasa de flujo volu fundamentales en análisis de c hidrológica y el diseño hidráu valor como punto de partida pDebido a la naturaleza misma un punto o sección del cauce e discusión al respecto, deberá and Chevotariov 1974).
Adicional a la variabilidad nat directa en campo es un proced incidencia importante depend respecto al valor real o esperad
Las prácticas hidrométricas internacional contemplan la m posterior determinación del establecida. Es decir que lo qu valores de caudales solo puede una función matemática, que caudal.
Esta construcción de la curva líquidos a lo largo de un am calibración específica para cad conocido y aplicado por la m incertidumbre de los parámetr
Las características de la curva de las condiciones del sitio y HYDRAULICS 1999), (Herschy aforos líquidos necesarios pa referencia, algunos estándares por año para verificar la estab 1982), o 15 aforos en el caso recomiendan hasta 70 aforos (Karasiov and Shumkov 1985) con 120 aforos por año (Comu
En general la incertidumbre d computacionales y la frecue
1
volumétrico de agua puede considerarse como u s de cualquier Hidrosistema, y aspecto clave de estud dráulico, razón por la cual, es necesario e indispen da para cualquier investigación en este campo y otro
ma de los procesos que intervienen en el ciclo hidro ce es una variable aleatoria, y por lo tanto su utiliza erán tener en cuenta esta condición (Haan 2002)
natural del caudal, es necesario considerar tambié ocedimiento indirecto con resultados inexactos, los
endiendo de la magnitud de la dispersión de los erado, que sería obtenido con una medición perfect
cas tradicionalmente aplicadas en el territorio la medición frecuente de los niveles del agua en
del caudal por medio de una relación nivel – o que se mide directamente en las estaciones es el ueden ser obtenidos mediante una transformación ue debe ser establecida con base en mediciones si
urva nivel – caudal requiere la realización de un amplio rango de niveles, con base en los cuale cada estación. Si bien el proceso de calibración de a mayoría de ingenieros, no ocurre lo mismo con etros calibrados para esta curva y para los caudales
rva en cuanto a variabilidad y complejidad, depend io y el tipo de control de la sección (DHV Consult chy 2008), lo cual a su vez, condiciona la cantida s para definir correctamente su comportamiento ares internacionales recomiendan realizar un mínim stabilidad de la curva (World Meteorological Organi caso de la ISO 1100-2:1998 (ISO 1998); mientras ros para estaciones hidrométricas ubicadas en zona 85). También existen las recomendaciones de la Fu
municación personal de Hebert Rivera).
re de los caudales calculados dependerá fuerteme ecuencia de aforos empleada (Shiklomanov et
o una de las variables studio en la modelación spensable establecer su otros afines.
hidrológico, el caudal en tilización, tratamiento o 02) y (Rozhdenstvenskiy
mbién que su medición los cuales podrán tener los datos medidos con
fecta libre de error.
rio nacional y a nivel en las estaciones, y la caudal previamente s el nivel del agua, y los ión del nivel a través de es sincrónicas de nivel y
un conjunto de aforos uales se establece una de la curva es bastante con la estimación de la ales derivados de ella.
enderán principalmente nsultants BV and DELFT tidad y distribución de ento. Como punto de ínimo 10 aforos líquidos ganization 1994), (Rantz tras que otros trabajos zonas de alta pendiente a Fuerza Aérea del Perú
determinado período de tiemp mejor estimación de los cauda con el máximo número de afor
En Colombia los recursos em intensiva y continua de aforos, un número limitado de punto rango de oscilación de los nive en la mayoría de estaciones año.
Debido a lo anterior, las curvas cual será propagado posterio promedios diarios, mensuales variables que son de vital im diseño y operación de obras y
Actualmente, en el país no ex incertidumbre o error en las se empleadas, y específicamente de nivel – caudal. Se hace nec genera en los caudales calcul aprovechamiento de los hidro de cálculo de las curvas de g podrían aplicar con el fin de dism
Con el presente trabajo se bu sobre el error de los caudales o variables hidrológicas calculad la toma de decisiones en el dis del recurso hídrico.
OBJETIVO GENERAL
Evaluar la incertidumbre de lo construidas con una baja densiOBJETIVOS ESPECÍFI
• Estimar los niveles de inc anuales, máximos y mínim baja densidad de aforos líq
• Estimar los niveles de err interés utilizadas en pro
2
iempo en el que la sección se considere estable, es udales en la estación sea la obtenida por medio de aforos posibles.
empleados para el monitoreo de la red no perm ros, y en consecuencia, las curvas de nivel – caudal untos de medición, que además se concentran en s niveles del agua (IDEAM 1998) y (Dominguez et al. 2
de la red hidrométrica del IDEAM se realizan 4
rvas empleadas actualmente podrían presentar un a eriormente a los valores de caudales instantáneos ales y anuales, así como a los caudales extremos m l importancia en la planificación del recurso hídric
s y estructuras hidráulicas.
o existen investigaciones detalladas que permitan las series y valores de caudal originado por las prá nte por la baja densidad de aforos con las que se co necesario entonces, hacer una estimación de la in alculados, y el posible impacto que esta pueda te idrosistemas asociados. De igual forma, se requiere e gastos, así como los procedimientos de campo e disminuir dicha incertidumbre.
e busca explorar el efecto en la cantidad y distrib les obtenidos a través de la curva nivel - caudal, y su uladas a partir de ellos; datos que son de importanc
l diseño de estructuras, y la formulación de política
RAL
e los valores de caudales obtenidos a partir de cu ensidad de aforos líquidos.
ECÍFICOS
incertidumbre en los valores de caudales medios ínimos, obtenidos a partir de curvas nivel – caudal,
s líquidos.
error propagado por los caudales calculados sob procesos de planificación del recurso hídrico
, es de esperarse que la o de la curva construida
permiten la realización udal son elaboradas con en la parte media del al. 2006). Actualmente, an 4 aforos líquidos por
un alto nivel de error, el neos y finalmente a los os máximos y mínimos; ídrico, y también en el
itan estimar el nivel de prácticas hidrométricas se construyen las curvas la incertidumbre que se a tener en la gestión y iere revisar los modelos po alternativos que se
stribución de los aforos , y su propagación en las tancia por ejemplo para íticas acerca del manejo
e curvas nivel – caudal,
dios diarios, mensuales, dal, construidas con una
considerando los casos d hidráulica.
• Evaluar la factibilidad de a alternativos que permitan calculados
El texto del documento se encu
En el capítulo 1 se presenta el caudal, y los métodos princip caudales.
En el capítulo 2 se describe analizadas. Se presentan las ve muestreo considerados para el
En el capítulo 3 se muestra comentarios y observaciones a una de las variables de interés
Finalmente, en el capítulo 4 se obtenidas a través de esta inve
3
sos del índice de escasez y el dimensionamiento
de aplicación de metodologías de cálculo y proced itan la disminución de la incertidumbre en los v
encuentra distribuido de la siguiente forma:
a el marco conceptual relacionado con la construcció ncipales utilizados en el estudio para analizar la in
ibe la metodología general utilizada para los caso as verificaciones previas para selección de las estac
ra el análisis de incertidumbre.
stra el resumen general de los resultados obteni nes acerca de los datos relevantes y tendencias enc
rés estudiadas.
4 se resumen las conclusiones y recomendacione investigación.
nto de una estructura
ocedimientos de campo los valores de caudales
ucción de la curva nivel - la incertidumbre de los
casos de las estaciones staciones, y los tipos de
tenidos, incluyendo los encontradas para cada
1
MARCO CONCEP
ERRORES EN LA
1.1
CONSIDERACIONES
Para el caso general de un tram permanente, el comportamie resolviendo las ecuaciones de S
0
Donde: So es la pendiente del t
la distancia medida en el sen momentum se conoce términ convectiva, el tercero es el té fricción y el quinto es el términ
De acuerdo con las ecuacion encuentra relacionado no só componentes de aceleración lo de la curva deberían utilizar d adoptar aproximaciones que si
Históricamente han existido simplificada el comportamient la existencia de una relación curva nivel - caudal (Schmidt 2 de control de acuerdo a las car abajo, a partir de las cuales p estación (Rantz 1982) y (Boiten
El control por sección se refiere o estructura del cauce aguas flujo crítico que impide el paso (DHV Consultants BV and DELF
Bajo esta consideración el cau vertedero o canaleta de regula
1
NCEPTUAL PARA LA PROPAGA
LA CURVA NIVEL - CAUDAL
IONES HIDRÁULICAS
tramo de canal abierto con flujo libre unidimension miento de las variables hidráulicas en la sección s de Saint Venant:
(Continuidad)
0 (Momentum)
del terreno, y es el nivel del agua medido desde el fo
l sentido y dirección del flujo. El primer término rmino de aceleración local, el segundo es el térm
l término de fuerza gravitacional, el cuarto es el té rmino de fuerza de presión (Chow and Maidment 19
aciones anteriores, el comportamiento del cauda sólo con en nivel, sino también con el gradien ón local y convectiva, lo cual sugiere que los método zar dichas variables como punto de partida y en d ue simplifiquen las ecuaciones de continuidad y mom
ido dos aproximaciones conceptuales para rep iento de las variables hidráulicas en la sección, y de ión funcional entre el nivel y el caudal, y por ende idt 2002). Estas aproximaciones se refieren a la exis s características geométricas y físicas de la sección y es puede establecerse un control por sección o con
iten 2007).
fiere a la existencia de alguna contracción, levantam uas abajo cerca del sitio de medición, el cual provo paso de perturbaciones hacia aguas arriba de la sec
ELFT HYDRAULICS 1999).
caudal puede estimarse haciendo una semejanza c gulación, en cuyo caso se aplicaría la fórmula genera
PAGACIÓN DE
sional no uniforme y no ión puede establecerse
Ec 1-1
Ec 1-2
el fondo del canal, y x es
ino de la ecuación de término de aceleración el término de fuerza de t 1994).
udal en la sección se diente hidráulico y los todos para construcción en determinados casos, momentum.
representar de forma de esta forma justificar ende la utilización de la existencia de algún tipo ón y el río o canal aguas
control por canal en la
ntamiento, hundimiento rovoca la formación de a sección (Rantz 1982) y
Donde: Q es el caudal, Cv es el
y Hv es la altura de la cabeza d
constantes y Hv como la altur
entonces una relación unívo dependerá principalmente de referencias se sugiere que α valores entre 2.0 y 3.0 par HYDRAULICS 1999).
El control por canal se refiere a medición permiten regular el (Rantz 1982), la extensión de energía (L ~ Q/S), teniéndose q afectado por el control (Rantz 1
En este caso el caudal puede ecuación de Chezy:
Donde: Cf es el coeficiente de
calculado como el perímetro m tramo la cual se supone igual a mantienen constantes tendríam cual a su vez está determinad valor del nivel del agua.
En determinadas secciones se los niveles bajos la forma de
control por sección, mientras q
control por canal, debido a qu se verá sumergido, teniéndose rugosidad del canal (Herschy 1
Siguiendo los lineamientos d utilizados para la localización suposiciones anteriores pueda estimación del caudal en la sec la curva nivel - caudal.
2
s el coeficiente de descarga del vertedero, Lv es la lo
za de energía sobre la cresta del vertedero. Conside altura de la lámina de agua en la sección aguas a nívoca entre nivel y caudal. Bajo esta aproximac e de la pendiente y rugosidad del tramo. Por e
puede tener valores entre 1.3 y 1.8 para ríos rela para ríos profundos y estrechos (DHV Consulta
ere a cuando la geometría y rugosidad del canal agu r el régimen de flujo y controlar la relación entre del control dependerá de la magnitud del cauda se que cuanto menor sea la pendiente mayor será la ntz 1982) y (DHV Consultants BV and DELFT HYDRAU
uede estimarse suponiendo flujo uniforme en el c
e de fricción del tramo, A el área de la sección, ro mojado P dividido entre el área A, y Sf la pendien
ual a la pendiente del terreno (Herschy 2008). Supon dríamos entonces que el caudal estaría en función d inado por la geometría de la sección y varía únicam
s se puede presentar un control compuesto, el cual c de la curva nivel - caudal estará determinada por
as que para niveles altos el comportamiento estará a que cuando el caudal y la profundidad aumentan e dose entonces una mayor importancia de los efecto hy 1999).
s del WMO (World Meteorological Organization ación de las estaciones de medición, buscan y edan aplicarse, por lo que en principio se establec a sección por medio de la medición del nivel y por e
Ec 1-3
la longitud de la cresta, nsiderando Cv y Lv como
as arriba, obtendríamos imación, el valor de α
r ejemplo, en algunas relativamente anchos, y ultants BV and DELFT
aguas abajo del sitio de tre el nivel y el caudal audal y el gradiente de rá la longitud del tramo RAULICS 1999).
el canal y aplicando la
Ec 1-4
n, R el radio hidráulico diente de energía en el uponiendo que Cf y Sf se
ón del producto √ , el icamente en función del
ual consiste en que para por la existencia de un ará determinado por un an el controlporsección
fectos de la pendiente y
En la práctica hidrométrica la con las fórmulas tradicionales, en cuenta la cantidad ni la d hipótesis inicial.
1.2
MÉTODOS DE CONS
1.2.1
Fórmulas Tradicio
A nivel internacional, la fórmul de gastos) es la fórmula potenc
Donde: Q: es el caudal estima
cero; a y b: son parámetros de Puede considerarse que esta tomando como constantes los la altura del agua.
Como alternativa, se acostumb
c0, c1, … cn: son parámetros de l
La principal ventaja o justificac ajustar el modelo para cualqui el comportamiento de las va tendría una justificación o re proceso.
En algunos casos será necesa dependiendo de la forma de superficial, los cuales harán q inferiores y superiores.
El método tradicional para det sin embargo para el caso de optimización como por ejempl simulated annealing, etc. (Ven and Reitan 2009).
3
la primera aproximación consiste en calibrar la c ales, sin verificar la aplicabilidad de las suposiciones
la distribución de los puntos de aforos, para verifi
CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA NIVEL
dicionales
mula mayormente empleada para ajustar la curva n tencial (Herschy 1999):
stimado; H: el nivel registrado en la estación; Ho: e
s de la ecuación obtenidos mediante calibración. sta fórmula está inspirada en la ecuación de flujo so s los valores de Cv y Lv, y aplicando un parámetro Ho
umbra emplear también la fórmula polinomial (Hers
! " " ⋯ $ $
s de la ecuación obtenidos mediante calibración.
ficación para utilizar la fórmula polinomial, obedece lquier forma de la curva, o incluso considerar los pu s variables (Shiklomanov et al. 2006). No obstant o representación desde el punto de vista de la e
ecesario dividir la curva nivel – caudal en dos de la sección transversal, la homogeneidad geom án que la curva tenga un comportamiento distint
determinar los parámetros de la ecuación es el de o del modelo potencial pueden aplicarse distinta
mplo búsqueda exhaustiva, gradiente conjugado, (Venetis 1970), (Bhattacharya and Solomatine 2005)
la curva nivel – caudal nes básicas, y sin tener erificar la validez de la
VEL – CAUDAL
va nivel – caudal (curva
Ec 1-5
: es el nivel de caudal
ujo sobre un vertedero,
Ho de corrección para
erschy 2008).
Ec 1-6
dece a que esta permite s puntos de inflexión en tante, esta fórmula no la explicación física del
dos o mas segmentos, eométrica y de textura stinto entre los niveles
1.2.2
Estabilidad de la cu
Puede decirse que existe esta sección y las condiciones del t unívoca entre el nivel del agua
De acuerdo con la teoría exp estación permita la configura utilización de las fórmulas trad que exista estabilidad.
Entre las principales circunsta inestabilidad en la curva nivel
• Cambios morfológicos en l
• Efecto de remanso aguas a
• Crecimiento de vegetación
• Formación de capas de hie
• Flujo no permanente por t En la medida en que las suposi o más de las circunstancias an siendo necesario recurrir a m curva nivel - caudal.
Para los casos en los que la in esporádicos en la geometría y una curva nivel - caudal disti cuando los cambios son muy f el ajuste de la curva entre me de Stout (Karasiov 1980), (Kar BV and DELFT HYDRAULICS 199
En los casos en los que la inest las principales opciones consist con una mayor aproximación d
En cualquiera de las situacion mayor cantidad de aforos de c flujo del agua, y por ende para
El conocimiento del sitio de l muchas veces establecer si exi
4
e la curva
estabilidad en la curva nivel - caudal, cuando las del tramo donde se ubica la estación permiten que
gua en la sección y el caudal circulante por ella.
expuesta anteriormente, es deseable que el sitio iguración de algún tipo de control, con fin de q s tradicionales para construir la curva nivel - caudal
stancias que pueden causar alteración del tipo d ivel – caudal se tienen (Herschy 2008):
s en la sección (erosión y/o relleno);
as abajo;
ción;
hielo;
or tránsito de crecientes;
posiciones expuestas inicialmente no se cumplan y s anteriores, la relación entre el nivel y el caudal de a metodologías y mecanismos alternativos para la
la inestabilidad de la curva se deba a cambios frec ría y rugosidad de la sección, la estrategia a seguir distinta para cada período entre cambios en la se uy frecuentes, usualmente se recurre a fórmulas de mediciones independientes disponibles, como por (Karasiov and Shumkov 1985), (Karasiov et al. 1991
1999).
inestabilidad sea ocasionada por las condiciones hi nsisten en considerar modelos o fórmulas alternativ ón del comportamiento de las variables de la sección
ciones anteriores, cuando se presente inestabilidad de caudal para lograr comprender el comportamien
ara la construcción de la curva nivel - caudal.
de la estación y las características de la corriente i existen condiciones que favorezcan o no la estabili
las características de la que exista una relación
itio donde se ubique la e que se justifique la dal y a la vez favorecer
o de control y generar
an y/o se presenten una l dejará de ser unívoca, ra la construcción de la
frecuentes periódicos o guir consiste en ajustar a sección; sin embargo, as de interpolación para por ejemplo el método 991), (DHV Consultants
s hidráulicas del tramo, nativas que representen
ción.
idad será necesaria una iento de la sección y el
lo que es indispensable una i información histórica disponibl
Existen diversos criterios par necesidad de cambiar de cu criterios podemos mencionar p
• El Instituto de Hidrología dispersión entre los cauda ocasionada principalmente factores morfológicos no que la curva es estable si l de calibración, Ver 1.3.2) e aproximadamente en un
Al considerar únicamente posibilidad de que los err para los distintos rangos inestables que presentan remanso. Por otro lado, e aceptables del error estánd
• En (Shiklomanov et al. 20 conjunto de residuales ent caudal. Este criterio consi distintos rangos de medici valor del nivel.
• El United States Geologica nivel - caudal se establezc en orden cronológico. En l mismo lado de la curva, co hubo un cambio en la secc calculados, o se requiere
1.2.3
Fórmulas Alternat
Una vez se ha establecido q metodologías alternativas, la c mejor representación del mod
En esencia se contempla la ec momentum para estimar la pe
5
na inspección detallada de campo y la recopilació nible acerca del funcionamiento de la estación.
para clasificar la curva de acuerdo a su estabilid curva o emplear métodos tradicionales o alter nar por ejemplo:
ogía, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM udales aforados y los caudales calculados con la cu ente por: errores en las mediciones de aforos, fac s no acordes con el régimen de flujo uniforme. Se d
si la dispersión entre caudales (también conocida c ) es menor que el error en la metodología de afo un 10% (IDEAM 1999).
ente el error estándar de calibración, este criter errores sean heterogéneos, es decir que tengan d gos de medición, aspecto característico las curva
tan “ciclos” por la presencia de ondas de crecie o, en (Karasiov and Shumkov 1985) se propone qu stándar de calibración de la curva pueden estar entre
l. 2006) se contempla la realización de una prueba s entre los caudales observados y los calculados med onsidera que los errores del modelo deben ser ho dición, y por los tanto deben estar libres de tenden
gical Survey (USGS) propone que la detección de c zca a partir de la inspección visual de los puntos d En las situaciones donde varios aforos consecutivos con un error mayor al 5% por encima o por deba sección y por lo tanto es necesario aplicar correccio
re la construcción de una nueva curva (Rantz 1982)
ernativas
o que la curva es inestable es necesario recurr s, la cuales buscan mediante distintas aproximacione
odelo propuesto por las ecuaciones de Saint Venan
la ecuación de Chezy para calcular el caudal, junto a pendiente de fricción.
ilación exhaustiva de la
bilidad, e identificar la lternativos. Entre esos
EAM) considera que la curva nivel - caudal es , factores hidráulicos, y Se determina entonces ida como error estándar aforo, el cual se estima
riterio no considera la an distintas magnitudes urvas de nivel - caudal eciente y/o efectos de que los valores típicos ntre 8 y 12%.
eba de aleatoriedad al mediante la curva nivel - r homogéneos para los dencias con respecto al
de cambios en la curva tos de aforos graficados ivos se desvían hacia un ebajo, se establece que cciones en los caudales 82).
currir a las fórmulas o iones proporcionar una nant.
Con el fin de simplificar la términos de aceleración o los mayoría de estos métodos pendiente del agua, y establec cual considera la condición esp
Con base en las mediciones d condición de referencia y el ca empírica auxiliar entre el fac pendiente para la condición de
En resumen, los métodos alter o variables de entrada emplead
• Caudal – Nivel y pendiente
• Caudal – Nivel y pendiente
• Caudal – Nivel, pendiente y
• Caudal – Nivel, pendiente,
• Empíricos;
• Simulación numérica; Una revisión completa de los d anterior puede consultarse en
Recientemente, distintos auto neuronales, árboles de decisió 2006) y operadores adaptativo
A pesar de que estos modelo flujo, presentan la dificultad d número de datos o puntos de lo cual limita su aplicabilidad e
Los datos disponibles para las temporal semanal en el mejor modelos con el fin de evaluar obtenidos a partir de ellos.
6
% 1 ''( 1 '') * "+ ',
la ecuación, los distintos métodos consideran e los omiten dependiendo de las condiciones del flu os incorporan como variable de entrada alguna ablecen una curva nivel - caudal para el estado de
específica de referencia.
es de aforos se determina un factor de ajuste ent el caudal para condiciones generales, y luego se est l factor de ajuste de caudales y algún parámetr n de referencia con la pendiente para cualquier cond
alternativos pueden clasificarse de acuerdo a la cant pleados:
ente del agua con medición de nivel en un punto; iente del agua con mediciones de nivel en dos o más nte y aceleración convectiva;
nte, aceleración convectiva y aceleración local;
los distintos métodos incluidos en cada una de las c en (Schmidt 2002).
autores han propuesto la utilización de modelos em cisión (Bhattacharya and Solomatine 2005), lógica
tivos (Angarita 2008) para la construcción de curvas
delos ofrecen una descripción más completa y pre ad de que para la calibración de sus parámetros de aforos, en la mayoría de los casos con resoluci ad en todas las estaciones hidrométricas.
las estaciones recopiladas en este trabajo se encu ejor de los casos, circunstancia que impide la calibra luar su potencial para disminución de la incertidum
Ec 1-7
n estimaciones de los l flujo en cada caso. La guna estimación de la de flujo permanente el
entre el caudal para la e establece una relación etro que relacione la condición particular.
cantidad de parámetros
más puntos;
las categorías de la lista
s empíricos como redes ica difusa (Lohani et al. rvas nivel - caudal.
precisa del proceso de ros necesitan un mayor lución temporal horaria,
Teniendo en cuenta lo anter instalar equipos y sistemas adi se tenga información suficient disminución de la incertidumbr
1.2.4
Calibración de par
El ajuste o calibración de los p aforos, consiste en esencia en puede expresarse de la siguien
Donde: Y es la variable aleator es el conjunto de parámetros curva nivel - caudal la variable nivel del agua, y . son los pará Los modelos de regresión se c los parámetros . aparezcan e Wild 2003) y (Bates and Watt considera un caso de modelo en relación lineal con la variab se considera un caso de mod relación no lineal dentro de f. 1.2.4.1 Fórmula Polinomia
Consideremos el modelo de re
Las principales suposiciones de
• El término de error / tie constante 0123/4 5"
• No existe correlación entr
607/8, /:;=0);
• No existe correlación entr predictoras X. En este ca predictora.
7
nterior, se anota como recomendación del traba adicionales de medición en determinadas estacion iente para calibrar este tipo de modelos, y estudiar
mbre de los caudales calculados.
parámetros
os parámetros de la curva nivel - caudal a partir de l en un ejercicio de regresión. De forma general el m uiente manera:
< = >, . /
atoria de respuesta, X es el vector o conjunto de vari ros a calibrar y / el error en la variable de respuest able de respuesta Y corresponde al caudal, la variab parámetros de la fórmula potencial o polinomial segú
se clasifican en lineales o no lineales dependiendo n en la función f (Seber and Lee 2003), (Yan and S atts 2007). En este sentido, la aplicación de la fó elo de regresión lineal, puesto que todos los parám riable de respuesta; mientras que la aplicación de odelo de regresión no lineal, pues el parámetro
f. nomial
e regresión lineal con la fórmula polinomial de orden
? ?!> ?">" ⋯ ?@>@ /
s del modelo son:
tiene una distribución normal con media cero ;
entre los términos de error para los distintos pun
entre el término de error, y la variable de respuest caso se asume que el error / es aditivo con resp
abajo, la necesidad de ciones, de tal forma que diar la factibilidad de la
de las observaciones de l el modelo de regresión
Ec 1-8
variables predictoras, . uesta. Para el caso de la ariable X corresponde al según cual se utilice.
ndo de la forma en que nd Su 2009), (Seber and a fórmula polinomial se rámetros se encuentran de la fórmula potencial tro Ho se encuentra en
rden p:
Ec 1-9
ro A3/4=0) y varianza
puntos de observación.
Las dos primeras suposicione independientes igualmente d argumento de que el error o in caso errores por la medición, de la distribución de cada una suma tenderá a una distribució
A través del método de los mí que minimicen la sumatoria observaciones (Qi, Xi):
" B / 8"
Aplicando la siguiente notación
C D E E E F1 >!
1 >"
⋮ ⋮ 1 >H
Tenemos el valor de b’ como e
" B
" IJI
"
Derivando con respecto a b’,
'
Se encuentra el valor de b’ com
8
ciones sugieren que los términos de error son te distribuidas (IID). La suposición de normalid r o incertidumbre total es la suma de distintas fuent ión, por el modelo, los parámetros, etc., y de que i
una de estas fuentes, de acuerdo con el Teorema d ución normal (Petersen-Øverleir 2004).
s mínimos cuadrados se pueden obtener los valore oria de los errores del modelo S2 con respecto
B7 8 L? ?!)8 ?")8" ⋯ ?@)8@M;"
ción matricial
>!" … > !@
>!" ⋯ >"@
⋮ ⋱ ⋮ >H" … >H@PQ
Q Q R
; S T
<!
<"
⋮ <H
U; V T
? ?!
⋮ ?@
U; W T
/!
/"
⋮ /H
U
I CV W
o estimador de b.
B /8" /X/ I CV′ J I CV′
I CV′ JI I JCV′ CV′ JCV′ " IJI 2CJIV′ V′JCJCV′
b’, eigualando a cero
' "
'V 2CJI 2CJCV[ 0
como:
V′ LCJCM\]CJI
on variables aleatorias alidad se basa en el uentes de error, en este ue independientemente ma de Límite Central su
lores de los parámetros ecto a una serie de n
M; Ec 1-10
U
Ec 1-11
Ec 1-12
Ec 1-13
Teniendo en cuenta que las respuesta Q tendrá también u
5".
1.2.4.2 Fórmula Potencial
Consideremos el modelo de re
Similar al caso de la fórmula po normal con media cero A3 modelo se considera que el e Øverleir 2005).
Por tratarse de un modelo de r óptimos de los parámetros a utilización de aproximaciones (Seber and Wild 2003) y (Bat Reitan 2009), algoritmos genét
Una alternativa ampliamente transformación del modelo apl
_`
El término _` 1 / puede
_` 1 / /.
_`
Empleando nuevamente el mé los parámetros que minimicen de n observaciones (Yi, Xi):
" B / 8"
Suponiendo diferentes valore solución del método de mínim óptimo de los parámetros del m valor mínimo de " (Venetis 19
9
las suposiciones del modelo son válidas, se tiene én una distribución normal con media igual a CV
ncial
e regresión no lineal propuesto por la fórmula poten
6 ? 1 /
polinomial se supone que el término de error / tie
3/4=0) y varianza constante 0123/4 5" . Sin el error es proporcional al valor de respuesta (Re
de regresión no lineal, no es posible obtener analíti s a través del método de los mínimos cuadrados, nes con métodos numéricos iterativos, método d (Bates and Watts 2007), “simulated annealing” (Pe enéticos, etc.
nte utilizada en la práctica hidrológica consiste en aplicando logaritmo natural en ambos lados de la e
_` ? ∗ _` 6 _` 1 /
ede ser aproximado por /, teniendo en cuenta
_` ? ∗ _` 6 /
l método de los mínimos cuadrados se pueden obt icen la sumatoria de los errores del modelo S2 con r
B7 ln 8 L_` ? ∗ _` d 6 M;"
lores de es posible obtener los valores de a, b
ínimos cuadrados indicada para el modelo de regre del modelo será aquel conjunto o combinación para is 1970). Ver Figura 1-1.
iene que la variable de y varianza constante
otencial:
Ec 1-15
tiene una distribución Sin embargo, en este (Reitan and
Petersen-alíticamente los valores os, siendo necesaria la do de Gauss – Newton (Petersen-Øverleir and
e en hacer la siguiente la ecuación:
Ec 1-16
enta que para / ≪ 1,
Ec 1-17
obtener los valores de on respecto a una serie
M; Ec 1-18
Figura 1-1 Obtención de Ho
Las principales diferencias en considera el error con respec polinomial se tiene que el erro de niveles medidos, mientras proporcional a la variable de r menor que para los caudales a
En ese orden de ideas, es d inferiores que el modelo polino invertirse en el caso de los cau
1.3
INCERTIDUMBRE D
La incertidumbre es definida caso acerca de una variable o las actividades de la ingenier involucrado algún nivel de ince
En general se tiene la definici acerca de la incertidumbre de
“La incertidumbre es un parám dispersión de los valores que p
10
e Ho óptimo para calibración de los parámetros de la fór
s entre los dos modelos contemplados radican en specto a la variable de respuesta dentro del mo error en términos absolutos tiene una magnitud igua
tras que en el modelo potencial, el error en térm de respuesta, es decir que para los caudales bajos
es altos.
es de esperarse que el modelo potencial presen olinomial para el análisis de los caudales mínimos, s s caudales máximos.
BRE DE LOS CAUDALES
da como la falta de conocimiento claro y seguro ace le o fenómeno. En la práctica, la incertidumbre está niería, y por ello los procesos de toma de decisió incertidumbre.
inición formal del Joint Committee for Guides in M de una medición (JCGM 2008):
arámetro asociado con el resultado de una medición ue podrían ser razonablemente atribuidos a la medid
a fórmula potencial.
n en la forma como se modelo. En el modelo igual para todo el rango érminos absolutos será ajos el error deberá ser
sente niveles de error os, situación que deberá
acerca de algo, en este está presente en todas cisión tendrán siempre
in Metrology (JCGM) en
Para el estudio de Hidrosistem general en: incertidumbre p
conocimiento (Tung and Yen 20 Las fuentes de incertidumbre procesos geofísicos como la incertidumbre no puede ser el investigación y conocimiento d
La incertidumbre por deficien modelo, la calibración de los p muestreo, y los aspectos op infraestructura.
Dicho enfoque o clasificación, riesgo, donde se busca estable sistema que se está analizando
El enfoque presentado en el ca de incertidumbre por falta de verá afectada entre otros po modelo, y por la calibración d fuentes de error que podrían morfología del cauce y las cond el error de la regresión durante
Otra clasificación encontrada c incertidumbre entre aleatoria terminología no es recomend conceptos pueden ser usados tratados de forma idéntica (ISO
En el presente trabajo se utili equivalentes. En este caso se estándar, y los resultados de suponiendo que este tiene una
1.3.1
Metodologías de
Una manera práctica de cuant variable aleatoria es a través varianza o la desviación estánd nivel de incertidumbre puede Yen 2005).
11
temas las fuentes o tipos de incertidumbre pueden c e por variabilidad natural, e incertidumbre po n 2005).
bre natural están relacionadas con la variabilida la precipitación, los vientos, los sismos, etc. P er eliminada completamente, aunque puede ser dis
to del proceso.
iciencia en el conocimiento está relacionada con los parámetros, la medición y transcripción de los d s operacionales de construcción, operación y ma
ión, se encuentra muy relacionado con los análisi stablecer las fuentes de incertidumbre en las variabl ndo, y Demanda o Requerimiento por las fuerzas o a
el caso de la curva nivel – caudal correspondería en de conocimiento, debido a que la estimación fina por errores en la medición de aforos, errores en ión de los parámetros relacionada con el método rían ser clasificadas como origen natural, tales com condiciones hidráulicas no permanentes, terminarán
ante el proceso de calibración.
da comúnmente en la literatura consiste en discrim orias y sistemáticas (Grabe 2010), no obstante, la
ndada actualmente por la norma ISO 5168:20 dos de forma ambigua y confusa; y una vez han (ISO/TC 30/SC -9 2007) y (Karasiov and Yakovlieva 2
utilizarán frecuentemente los términos de incertidu se considera que el error de la variable es equivale de incertidumbre corresponden a un nivel de co una distribución normal (ISO/TC 30/SC -9 2007).
de Análisis
uantificar el nivel de incertidumbre o grado de desc avés de sus momentos estadísticos, específicame tándar (error estándar). Las diversas técnicas existe eden clasificarse a groso modo en analíticas y apro
en clasificarse de forma por deficiencia en el
ilidad inherente de los c. Por lo general esta r disminuida a través de
con la formulación del los datos, el método de mantenimiento de la
álisis de confiabilidad o iables de Capacidad del s o agentes externos.
ía entonces a un análisis final de los caudales se s en la concepción del do de regresión. Otras como la variación en la arán siendo añadidas en
scriminar las fuentes de la utilización de dicha :2005, puesto que los an sido evaluados, son va 2001) .
rtidumbre y error como ivalente a su desviación e confianza del 67,3 %,
Entre las técnicas analíticas se consiste en definir la curva de caudal, teniendo en cuenta l parámetros del modelo, y co (Kottegoda and Rosso 2008),
Entre las técnicas aproximada simulación de Monte Carlo, las
Para el presente proyecto n derivada de probabilidad.
1.3.1.1 Análisis de Primer
El método consiste en estimar varianzas y covarianzas de la función por medio de series de
Sea Y una variable aleatoria re , Xn según la siguiente ecuación
Considerando la aproximación medios de las variables Xitrunc
< = >ff
Reorganizando la ecuación ant
Tenemos:
Elevando ambos lados de la ec
12
se tiene el método de la distribución derivada de p a de densidad de probabilidad de la variable de inte
ta la relación funcional con las otras variables c conociendo las distribuciones de probabilidad , (Tung and Yen 2005).
adas se tienen el método de análisis de primer ord , las cuales se describen a continuación.
no se contempla la utilización de la metodolo
imer Orden
mar la varianza de la variable de respuesta (depend e las variables predictoras (independientes), y la s de Taylor (Tung and Yen 2005), (Chow and Maidme
ia relacionada de forma funcional con otras variable ción:
< = >!, >", >g, … , >H
ción de la función f mediante la serie de Taylor alred runcada en los términos con derivadas de primer ord
>ff,>! fff, >" fff,… , >g ffffH B'>'=
8 >8 >ih H
8j!
anterior y teniendo en cuenta que:
<f = >fff,>! fff, >" fff,… , >g ffffH
< <f B'>'=
8 >8 >ih H
8j!
a ecuación al cuadrado y aplicando el operador de va
de probabilidad, la cual interés, en este caso el es como el nivel, y los ad de dichas variables
r orden y el método de
dología de distribución
endiente) a partir de las la aproximación de la idment 1994).
ables aleatorias X1, X2, …
Ec 1-19
alrededor de los valores r orden, tenemos:
Ec 1-20
Ec 1-21
Ec 1-22
A3 <
Finalmente, desarrollando los t
k12 <
Los términos de CovLXp, XqM se los componentes de error alea
Donde
>8\rs : es la componente de
t8: es la componente aleator
1.3.1.2 Simulación numér
La simulación numérica es una preserven ciertas propiedade establecida (Tung and Yen 20 entrada de acuerdo a unas dist se simula repetidamente el co la variable de respuesta, y co incertidumbre propagada.
En la Figura 1-2 se muestra un análisis de incertidumbre de lo
1.3.2
Incertidumbre de l
Al realizar la regresión para c los valores obtenidos tanto pa incertidumbre; proveniente en modelo aplicado (tipo de ope mismo de calibración de los puntos), los cuales terminarán
13
3 <f "4 A uvB'=
'>8 >8 >ih H
8j!
w
"
x
los términos cuadráticos obtenemos
B B y'>'=
8z *
'=
'>:+ 60L>8, >:M H
:j! H
8j!
Mse refieren a la covarianza entre Xp y Xq, pero espe aleatorio entre las variables, considerando que
>8 >8\rs t8
e determinista de la variable
atoria de la variable
umérica
una técnica que permite producir muestras de vari ades de acuerdo a una distribución de probabi n 2005). Con base en las muestras generadas pa s distribuciones de probabilidad supuestas o establ
l comportamiento del sistema o proceso para obte y con base en esta es posible estimar sus momen
un esquema representativo del proceso de simulac e los caudales, y su propagación.
e de la Regresión
a calibración de los parámetros del modelo, es nece o para los parámetros como para los caudales, ten e entre otros del error en las mediciones de los a operador, variables predictoras utilizadas), y el e los parámetros (método de calibración, cantidad rán propagándose hasta los caudales calculados por
Ec 1-23
Ec 1-24
specíficamente entre
Ec 1-25
variables aleatorias que babilidad previamente s para las variables de tablecidas previamente, btener una muestra de entos estadísticos y la
ulación aplicable para el
En la Figura 1-3, se presenta obtenidos con el análisis de curva de color negro corresp obtener, siempre y cuando mediciones exactas. Sin emba muestra de puntos observada serie de color azul, o cualquie de acuerdo al modelo básico p
Figura 1-2 Esqu
En este análisis estamos asumi su medición está libre de err midiendo el caudal siempre en
La incertidumbre estimada en como la dispersión que tendría aforos medidas considerando
14
senta un esquema para la interpretación de los re de incertidumbre de la regresión. Inicialmente, co responde a la representación real del proceso físic
do se tuviera información completa de las varia mbargo, debido a la presencia de fuentes de erro ada para construcción de la curva podría ser la ser quier otro conjunto de puntos cuyos observaciones
co propuesto por la ecuación Ec 1-8.
squema representativo del proceso de simulación numé
umiendo que los valores de la variable predictora (n error. Es decir que en cada serie, la campaña d
en los mismos niveles.
en los caudales calculados mediante la curva, se drían distintas curvas como las mostradas, construid do un conjunto fijo de niveles.
s resultados que serán e, consideremos que la físico que se esperaría variables del modelo y error en el proceso, la serie de color rojo o la nes estarán distribuidas
umérica
ra (nivel) son fijos, y que ña de aforos se realiza
Para el presente estudio no se que el error en la medición d análisis. Similares consideracio
Para el caso en que los erro modelos de regresión que con derivar el análisis de propagaci
Figura 1-3 Esquema de errores e como la dispersión de las curv
1.3.2.1 Regresión Lineal
El principio del método de los m del modelo que minimice S2, y
5"del término de error /:
Donde: se es el error estándar de parámetros del modelo c (unidades de caudal), o tambié respectivo valor de caudal afor
y
error en caudales observados: N(0,s )
15
o se considera la incertidumbre de la variable predic ón de los niveles es muy bajo, y sus efectos pued aciones se tiene en (Shiklomanov et al. 2006), (Peter
errores en la variable predictora son significativo consideren tal situación como se describe en (Chen
gación de incertidumbre.
es en los caudales. La incertidumbre en los caudales calc curvas construidas con distintas muestras de aforos, con
valores de nivel.
eal
los mínimos cuadrados consiste en encontrar el valo , y con base en este resultado se puede estimar el
{t |` }"
dar de la regresión; n es el número de observacion lo calibrados. Este valor puede ser obtenido en
bién en unidades relativas (%) si se divide cada erro aforado.
error en calculad
edictora, pues se estima ueden ser omitidos del etersen-Øverleir 2004).
tivos, se deben utilizar heng and Ness 1999), y
calculados se interpreta , considerando fijos los
valor de los parámetros ar el valor de la varianza
Ec 1-26
ciones; y k es el número en términos absolutos error individual entre el
x
El error estándar de la regresió se incluyen entre otros, los e modelo supuesto, las caracter factores hidráulicos y externos.
Con respecto a los parámetros
A3V′4 A ~LCJCM\]
Con lo cual se tiene que V[es u es el estimador con mínima va en la estimación de los paráme
012
0123V′4 A %yLCJC
0123V′4 A ~LC
0123V′4 LCJC
0123V′4 LCJCM\
Obteniéndose finalmente que:
0123V′4 D E E E F 012
60
60
Teniendo en consideración los en los caudales obtenidos a
31, 1, 1", … , 1H4. En este caso c
16
resión es una medida de los errores en la variable d os errores por medición de los aforos, los errores cterísticas irregulares de la sección y las condicione rnos.
tros calibrados tenemos:
M ]CJI• LCJCM\]CJA3 4 LCJCM\]CJCV
es un estimador no sesgado de V. Adicionalmente, a varianza (Seber and Lee 2003) y (Yan and Su 2009 ámetros puede establecerse con:
0123V′4 A3 V[ V V[ V J4
yL CM\]CJ I A3I4 z yLCJCM\]CJ I A3I4 zJ
~LCJCM\]CJ I A3I4 I A3I4 JCLCJCM\]•
L CM\]CJA3 I A3I4 I A3I4 J4CLCJCM\]
M\]CJ5"CLCJCM\] 5"LCJCM\]CJCLCJCM\]
que:
0123V′4 5"LCJCM\]
D E E E
F 012 ? 60 ? , ?! … 60L? , ?@M
60 ? , ?! 012 ?! ⋯ 60L?!, ?@M
⋮ 60L? , ?@M
⋮ 60L?!, ?@M
⋱
… 012L?⋮ @M PQ
Q Q R
n los resultados anteriores podemos ahora establec s a partir de la curva nivel - caudal para un ni aso correspondería a la incertidumbre para el valor m
le de respuesta, y en él ores en la ecuación del nes cambiantes de los
V Ec 1-27
nte, se considera que V′ 2009). La incertidumbre
4 zJ
-M •
M
M
Ec 1-28
M M
P Q Q Q
R Ec 1-29
blecer la incertidumbre n nivel específico (€
0123I|‚
0123I|C €4 A ~€
0123I|C €4 €LC
0123I|C €4 €LCJCM
Luego:
012
La ecuación Ec 1-29 nos indic estará determinada por: 5"qu al error introducido por el tip matriz CJC y su inversa, la cua de los puntos utilizados en la c
Con respecto a la incertidumb además de los aspectos me dependerá también del nivel respecto a los niveles en la ma
1.3.2.2 Regresión No Linea
Tal como se mencionó en la s obtener analíticamente los v mínimos cuadrados, razón por aproximación distinta con ayud
Aplicando la función de máxim error / son variables Independ
ƒ <|., 5"
Tomando logaritmo natural
_` _
17
3 ‚ €4 A3 €V[ €V €V[ €V X4
~€LCJCM\]CJ I A3I4 I A3I4 JCLCJCM\]
LCJCM\]CJA3 I A3I4 I A3I4 J4CLCJCM\
M\]CJ5"CLCJCM\]€J 5"€LCJCM\]CJCLCJC
0123I|C €4 5"€LCJCM\]€J
indica que la incertidumbre (varianza) en los pará que corresponde al nivel de error de las medicione l tipo de modelo empleado; y por otro lado por la
cual depende especialmente del número y la distrib la calibración.
umbre de los caudales extraídos de la curva (Ec 1 s mencionados en el párrafo anterior, el valor d
ivel (a) para el cual se está calculando el caudal, y matriz CJC.
Lineal
la sección 1.2.4.2, para el modelo de regresión no os valores óptimos de los parámetros utilizando por la cual el análisis de incertidumbre debe reali ayuda de la teoría de máxima verosimilitud.
áxima verosimilitud para el modelo, y suponiendo endientes Igualmente Distribuidas (IID), con /~… 0
† 1
5√2‡t)ƒ y 1
25"L<8 = >8, .∗ M"z H
8j!
`
2 ln 2‡5" 251"BL<8 = >8, .∗ M"
M ]€J•
M ]€J
L CM\]€J
Ec 1-30
Ec 1-31
parámetros del modelo iones de caudal sumado la configuración de la istribución de los niveles
1-31) se observa que r de la incertidumbre , y su localización con
no lineal no es posible ndo el método de los realizarse mediante una
do que los términos de
0, 5" tenemos:
M z Ec 1-32
Donde .∗ es el estimador de m El valor óptimo de los parámet en la ecuación anterior, e igual
Si la suposición de normalidad parámetros obtenidos por el método de mínimos cuadrados
Adicionalmente, si se cumplen parámetros estimados por el conjunta con matriz de covaria 1970) y (Stuart et al. 2009):
Donde ˆ es conocida como la (Stuart et al. 2009), (Seber and
Considerando ahora el model curva nivel - caudal tenemos:
_ `2 _` 2‡5"
Para construir la matriz de co segundas derivadas parciales H:
'"_
'_` " 5`"
'"_
'?" 51"B3_` d 6
'"_
' " 51"B_` 8 L_`
18
de máxima verosimilitud del conjunto de parámetros
metros se obtendrá aplicando las derivadas parciale gualando a cero con el fin de minimizar _.
lidad en la distribución del término de error / es r el método de máxima verosimilitud serán los m ados (Seber and Wild 2003) y (Seber and Lee 2003)
plen ciertas condiciones de regularidad, Ver (Seber r el método de máxima verosimilitud tendrán una varianza dada por la siguiente ecuación (Seber and W
012 .∗ ˆ\!
o la matriz de información de Fischer la cual a su v and Wild 2003), (Venetis 1970), (Petersen-Øverleir a
ˆ A %'.'"_
8∗'.:∗
-odelo de regresión no lineal aplicada con la fórmu os:
1
25"B _` 8 L_` ? ∗ _` d 6 M
e covarianza se deben obtener primero los valore les con respecto a los parámetros, evaluadas en un
6 42
L_` ? ∗ _` d 6 M
d 6 2
tros ..
ciales con respecto a .∗
es válida, entonces los os mismos que para el
3).
ber and Wild 2003), los una distribución normal nd Wild 2003), (Venetis
Ec 1-34
su vez es obtenida con leir and Reitan 2009):
Ec 1-35
rmula potencial para la
M " Ec 1-36
alores esperados de las n un valor específico de
'"_
'_` '? 51"B_` d
'"_
'_` ' 51"B d ?
'"_
'?'
1
5"B_` 8 _`
'"_
'5" 25`‰
'"_
'_` '5" ' "_
'?'5" ' "
' 6
La matriz ˆ será:
ˆ
D E E E E E E F
'
'_`
'_`
La matriz de covarianza de los se indicó anteriormente.
Similar al caso del modelo lin error de las mediciones y el tip y distribución de niveles empl en los cálculos de las sumatoria
La incertidumbre en los caud específico, puede ser estableci (Dymond and Christian 1982)
_`
19
6
?
6
_` 2? ∗ _` d 6
d 6
"_
'5" 0
D E E E E E E F '"_
'_` " ' "_
'_` '? '
"_
'_` ' 0 '"_
'_` '? '
"_
'?" ' "_
'?' 0 '"_
'_` ' 0
'"_
'?' 0
'"_
' "
0 0 '"_
'5" PQ
Q Q Q Q Q R
los parámetros se obtendría con la inversa de la m
lineal, la incertidumbre de los parámetros estará el tipo de modelo empleado, representado por 5"; a
mpleados en la calibración, los cuales se ven involu torias de la ecuación Ec 1-38.
caudales obtenidos a partir de la curva nivel - ca cida de la siguiente manera, considerando los sigu 2):
_` ? ∗ _` 6 /
∆_` _` _`ffffffff
∆_` _` _`fffffff
∆? ? ?f
Ec 1-38
la matriz anterior como
tará determinada por el ; así como la cantidad volucrado directamente
caudal para un nivel siguientes diferenciales
Obtenemos el diferencial para
∆_` '_`'_`
La varianza de _` puede ob
012
0123_` |‹4 A Œ
0123_` |‹4 *'_`'_`
*'_`'
2'_`'_`
Finalmente se obtiene que:
0123_` |‹4 *'_`'_`
*'_`'
2'_`'_`
Este resultado podría haber sid en la sección 1.3.1.1.
Los términos de las derivadas utilizando las siguientes ecuaci
'_` 8
'_` 1; '_`
20
∆ ffff
ara _` por medio de la siguiente expresión:
'_`
'_` ∆_` '_`'? ∆? '_`' ∆
e obtenerse con:
0123_` 4 A ~L_` _`ffffffffM"•
Œ*'_`'_` ∆_` '_`'? ∆? '_`' ∆ +"
+
"
A ~L∆_` M"• *'_`'_` ? +
"
A3 ∆? "4
+"A3 ∆ "4 2'_`
'_` '_`'? A3∆_` ∆? '_`
' A3∆_` ∆ 4 2'_`'? '_`' A3∆
+"012L_` M *'_`'_` ? +"012L_` ? M
+"012 2'_`'_` '_`'? 603_` , ?4
'_`
' 603_` , 4 2'_`'? '_`' 60
r sido obtenido también aplicando el análisis de pri
das encontradas en la ecuación anterior se evalúan uaciones.
'_` 8
'? _` d 6 ; '_`' 8 d ? 6
Ec 1-40
+"Ž
?4
3∆?∆ 4
Ec 1-41
4
603?, 4
Ec 1-42
e primer orden indicado
úan para el Hi específico
De acuerdo con la ecuación Ec caudal para un nivel específico depende a su vez de los valo calibración; así como del nive términos de la ecuación Ec
1-La incertidumbre en unidades
Un resultado que se desprend al error estándar relativo o coe
5 •
1.3.2.3 Propagación de
Tanto los caudales medios dia promediar los valores de extra ese orden de ideas, el cauda caudales horarios del día, el c los valores horarios registrado aritmético de los valores horar
De forma general tenemos:
Donde N es el número de dato Aplicando metodología de aná
k12
Una consecuencia importante correlación entre los errores de
21
Ec 1-42, la incertidumbre en los caudales extraído cífico, dependerán de la varianza de los parámetros s valores de 5", la cantidad y distribución de nive nivel específico para el cual se evalúa el caudal r
-43.
des de caudal se obtendrá con la siguiente expresión
012 "0123_` 4
ende de la relación anterior es que el error estánda coeficiente de variación del caudal Q:
•0123_` 4 |012" 5
de Incertidumbre en el cálculo de los caudale
diarios, como los mensuales, anuales y multianuale xtraídos con la curva nivel - caudal a partir de los niv audal medio diario es obtenido como el promedi el caudal medio mensual es obtenido como el prom
ados en el mes, y el caudal medio anual es obtenido orarios registrados durante los 365 o 366 días del añ
f 1 … B 8
‘
8j!
atos de caudal (horarios) registrados en el período a
análisis de primer orden de la ecuación Ec 1-24, tene
k12 f|’ …1"B B 60L 8, :M ‘
:j! ‘
8j!
nte del análisis de incertidumbre de la regresión con es de los caudales obtenidos de la misma curva.
aídos de la curva nivel - tros del modelo, la cual niveles utilizados en la al representado en los
sión:
Ec 1-44
ndar en _` equivale
Ec 1-45
udales promedio
uales son obtenidos de s niveles registrados. En edio aritmético de los promedio aritmético de nido como el promedio l año (IDEAM 1999).
Ec 1-46
do a reportar.
tenemos:
Ec 1-47
Dicha correlación ha sido tenid para los caudales promedios et al. 2000), (Karasiov and Yak
De acuerdo con (Clarke 1999) caudal puede ser estimada apl
60 _`
Donde:
“8 %'_`'_` 8 ,'_`
“:
El valor de la incertidumbre en Ec 1-47 y luego efectuando la t
Por otro lado, la incertidumbre en forma resumida como:
012L_` 8 M
“8
“8
De forma similar, para la fórmu
60
Donde:
Finalmente, el valor de la incer la ecuación Ec 1-47.
22
tenida en cuenta por diversos autores en el cálculo ios (Dymond and Christian 1982), (Herschy 2008), (C
Yakovlieva 2001), (Shiklomanov et al. 2006).
99) la covarianza entre dos caudales extraídos de la aplicando la siguiente ecuación para la fórmula pote
_` 8 , _`L :M “8X∗ 012 .∗ ∗ “:
'_` 8
'? ,'_`' 8 - ”1,_` d 6 , d ? 6 •
%1,_`L – 6M,L ?
– 6M
-e -en f puede ser obtenido haciendo la doble suma la transformación de la ecuación Ec 1-45.
bre del caudal presentada en la ecuación Ec 1-42, p
M 60L_` 8 , _` 8 M “8X∗ 012 .∗ ∗ “8
8 %'_`'_` 8 ,'_`'? ,8 '_`' 8
-”1,_` d 6 , ?
d 6 •
rmula polinomial se tendrá:
60L 8, :M “8X∗ 012 V′ ∗ “:
“8 71, d, 8", … 8@;
“: ~1, –, :", … :@•
incertidumbre en f puede ser obtenido haciendo la
ulo de la incertidumbre (Clarke 1999), (Clarke
e la misma curva nivel - potencial:
Ec 1-48
•
umatoria de la ecuación
, puede ser expresada
Ec 1-49
Ec 1-50
Ec 1-51
1.3.2.4 Incertidumbre por
En el presente estudio no se co curva hacia los niveles míni incertidumbre, se considerará calibrado para los niveles dond
1.3.3
Incertidumbre de l
La primera fuente de incertidu caudal, proviene de las medic sección transversal.
Una forma de establecer la comparar el valor del error est entrada de la variable de respu pueda estimarse o establecerse
A nivel internacional, diverso Anderson 1963), (Herschy 200 de establecer los valores de e ser empleados como primera estaciones analizadas en el pro
De acuerdo con las fuentes medición de los caudales por e
• En la medición de la secció - Por la profundidad - Por las distancias horiz
• En la medición de la velocid - Por la curva de calibrac - Por el tiempo de exposi - Por el número de punt - Otros (Flujos oblicuos,
• En la aproximación de la in - Por la fórmula de cuan - Por el número de verti - Por el número de punt - Otros (Flujos oblicuos,
23
e por la extrapolación de la curva nivel – cau
se contempla la utilización de métodos especiales de mínimos y máximos. Para los casos de aplicaci ará que la extrapolación de la curva se hace utilizand
onde se tienen aforos medidos.
e de los aforos de caudal
tidumbre en la estimación de los caudales obtenidos ediciones individuales o aforos líquidos realizados
la calidad de la calibración del modelo de reg r estándar de la regresión, con respecto al valor del e
espuesta, en este caso el de los aforos de caudal, sie cerse por anticipado (Karasiov and Shumkov 1985).
ersos autores (Pelletier 1988), (Sauer and Meyer 2008), (Rantz 1982) han realizado investigaciones d de error en la mediciones directas de caudal, cuyos era aproximación para estimar el error en los punt l proyecto.
tes consultadas, las principales fuentes de error or el método área velocidad son:
cción transversal
orizontales
locidad
ibración del molinete xposición del molinete
untos en la vertical
uos, turbulencia, propiedades del flujo)
la integral mediante sumas finitas uantificación de elementos individuales erticales en la sección
untos en la vertical
uos, turbulencia, propiedades del flujo)
caudal.
s de extrapolación de la icación del análisis de izando el mismo modelo
idos con la curva nivel – dos directamente en la
regresión, consiste en del error en los datos de l, siempre y cuando este
.
yer 1992), (Carter and es detalladas con el fin uyos resultados pueden puntos de aforos de las
En el APÉNDICE se presenta errores individuales en los afor la recopilación de datos, tablas
24
nta un resumen de la metodología general utilizad s aforos de caudal por el método de área - velocidad
blas y gráficos de los diversos autores consultados.
