–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4 3 2 1
–1 –2 –3
X Y
Q = (0, –3)
P = (3, 1)
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD(pág. 93) •
•
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4 3 2 1
–1 –2 –3
X Y
R = (3, 2) SO= (–3, 2)
SA= (3, –2)
SA(3,2) es el simétrico de R respecto al eje de
abs-cisas.
S0(3, 2) es el simétrico de R respecto al eje de
or-denadas.
•
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
3 2 1
–1 –2 –3 –4
X Y
S = (–2, 1)
T = (2, –1)
S(2, 1) es el simétrico de T respecto al origen de coordenadas O.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 94 y 95)
1. a) 81: 81 81(1)
√
81i 9 i4 4 4 4
b) — : — — (1) —i
9 9 9 9
√
4 2 —— i — i√
9 3c) 25: 25 25 (1)
√
25i 5 id) 7: 7 7 (1)
√
7i√
7 i 1 1 1e) — : — — (1)
2 2 2
1 1 —i ——— i
2
√
2f) 18: 18 18 (1)
√
18i92i
√
9√
2 i 3√
2 i3 3
2. a) —
√
3 i : a— , b√
3 4 4b)
√
13i : a√
13 , b1 2 2c) 6— i : a 6 , b— 3 3
d)
√
2√
5 i : a√
2 , b√
53. a) 1: real
b) 3 i : imaginario
c) 2: real
d) 4 i : imaginario
e) 8 i : imaginario
f) 10: real
1 1
4. a) (k2)
冢
—k冣
i es real ⇔ —k0 4 41
⇔ k —
4
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
11. a) (5i ) (32 i )(53(1)2)(523(1)) i(152)(103) i177 i
b) (2i )(2i )(22(1)1)(212 (1)) i(41)(22) i5
1 1 1
c)
冢
2— i冣
(5i )冢
2(5)—(1)冣
冢
2 (1)(5) —冣
i3 3 3 1 5 29 11
冢
10—冣
冢
2—冣
i —— i 3 3 3 31 1
f)
冢
2— i冣
(57 i )(25)冢
—7冣
i3 3 20
3— i 3
g) 3(24 i )(27 i ) [3(24 i )](27 i ) [(32)(04) i ](27 i ) (54 i )(27 i )
(52)(47) i 33 i
h) (5i )(23 i )5 i [(5i )(23 i )]5 i
[(52)(13) i ]5 i(34 i )5 i (30)(45) i39 i
8. z1z2(3i )(25 i )
(32)(15) i56 i
z2z1(25 i )(3i )
(23)(51) i56 i
Así, z1z2z2z1
9. (z1z2)z3
[(14 i )(32 i )](42 i ) [(13)(42) i ](42 i ) (22 i )(42 i ) 24 i
z1(z2z3)
(14 i )[(32 i )(42 i )] (14 i )[(34)(22) i ] (14 i )(10 i )
(11)(40) i 24 i
Así, (z1z2)z3z1(z2z3)
10. a) z 23 i ⇒ _z 23 i ⇒ z _z 4 b) z5 ⇒ _z5 ⇒ z _z10
c) z 4 i ⇒ _z4 i ⇒ z _z0
d) z1i ⇒ _z1i ⇒ z _z2 1
b) (k2)
冢
—k冣
i es imaginario ⇔4
⇔ k20 ⇔ k2
5. a) 2 x5 i13 y i ⇔ ⇔ 2 x1 y 5 3 y ⇔
1 5 ⇔ x— y y —
2 3
b) 63 y i(x3)9 i ⇔ ⇔ 6(x3) y 3 y 9 ⇔
9 ⇔ x9 y y — 3
3
6. a) z
√
32 i :z√
32 i , _z√
32 i 1 1 1b) z—i :z —i , _z—i
3 3 3
c) z
√
2 i :z√
2 i , _z√
2 id) z 5:z5 , _z 5
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 96 a 99)
7. a) (32 i )(24 i )(32)(24) i 52 i
b) (5i )(23 i )(52)(13) i 72 i
1 1
c) (32 i )—
冢
3—冣
(20) i 4 413 —2 i
4
d) (37 i )(23 i )(32)(73) i 14 i
1 1
d)
冢
3— i冣
(2i ) (32 i )冤冢
3— i冣
(2i )冥
(32 i ) 4 41 1 1 2
冤
(32冢
—冣
(1))冢
3 (1)2冢
—冣冣
i冥
(32 i )冤冢
6—冣
冢
3—冣
i冥
(32 i ) 4 4 4 423 14 23 14 23 14
冢
—— i冣
(32 i )冢
—3冢
—冣
2冣
冢
—23冢
—冣冣
i4 4 4 4 4 4 69 28 46 42 97 4 97
冢
——冣
冢
——冣
i —— i —i4 4 4 4 4 4 4
12. z1z2(24 i ) (3i )(234 (1))(2 (1)34) i(64)(212) i1010 i z2z1(3i )(24 i )(32(1)4)(342 (1)) i(64)(122) i1010 i
Así, z1z2z2z1
?
13. a) z1(z2z3)(z1z2) z3:
• z1(z2z3)(1i )[(23 i )(14 i )](1i ) [(2 (1)(3)4)(24(1)(3)) i ]
(1i )[(212)(83) i ](1i ) [10 11 i ](110(1)11)(11110 (1)) i (1011)(1110) i21i
• (z1z2)z3[(1i )(23 i )] (14 i )[(12(1) (3))(1(3)2 (1)) i ] (14 i )
[(23)(32) i ] (14 i )(15 i )(14 i )
((1)(1)(5) 4) ((1)4(1) (5)) i(120)(45) i21i
Así, z1(z2z3)(z1z2) z3
?
b) z1(z2z3)z1z2z1z3:
• z1(z2z3)(1i )[(23 i )(14 i )](1i ) [(2 1)(34) i ](1i ) (1i )
12122
• z1z2z1z3[(1i )(23 i )][(1i )(14 i )]
[(12(1)(3))(1(3)2 (1)) i ](1(1)(1)4)(14(1)(1)] i [(23)(32) i ][(14)(41) i ](15 i )(35 i )(135 i5 i )2
Así, z1(z2z3)z1z2z1z3
2i 2i 13 i 14. a) ————————————
13 i 13 i 13 i
(23)(61) i 17 i ——————————————
19 10 1 7
—— i 10 10
√
23 i√
23 i 2ib) —————————————
2i 2i 2i
(2
√
23)(√
26) i —————————————41
(2
√
23) (6√
2) —————————— i5 5
1 1 3 i 3i 3 i
c) ——————————————
3i 3i 3i 91 10 10 3 i 3 i 24 i 126 i
d) —————————————————
24 i 24 i 24 i 416
12 6 3 3 —— i —— i 20 20 5 10
5i 5i i 15 i
e) ———————————— 15 i
i i i 1
12 i 12 i 33 i
f) ————————————
33 i 33 i 33 i
(36)(63) i 93 i 1 1 ——————————————— i
99 18 2 6
√
2i (√
2i ) (√
2i )15. a) (
√
2i)———————————— 12 i 12 i21 3 3 1 2 i ————————————————
12 i 12 i 12 i 12 i 36 i 3 6
√
2 18 i√
28√
2 i —————————————————18 i 18 i 164
√
2 8√
2————— i 65 65
16. Calcula:
a) i76i01 pues 76 4
0 19
b) i175i3 i pues 175 4
3 43
c) i1 761i1i pues 1 761 4
1 440
d) i874i2 1 pues 874 4
2 218
e) (3 i)10310i1059 049i10
59 049i2 59 049 pues 10 4
2 2
f) (
√
2 i)20(√
2)20i20 210i201024i01024 pues 20 4
0 5
√
3 i (2√
3i )√
3 ib) (2
√
3i ) ———————————1i 1i
23 i
√
3√
36 i√
36 i 1i————————————————— 1i 1i 1i 1i
(
√
36)(√
36) i ————————————2
(
√
36) (6√
3) —————————— i2 2
1i 2 i (1i )(2 i )
c) ———————————————
32 i 1i (32 i )(1i )
2 i2 2 2 i ————————————
(32)(32) i 15 i
22 i 15 i (210)(102) i ———————————————————
15 i 15 i 125 128 i 6 4
—————— i 26 13 13
√
2 1√
2d) ————————————————
2i 23 i (2i )(23 i )
√
2√
2 ———————————————(43)(62) i 18 i
3 3 3 3
17. a) (13 i )3
冢
—冣
13冢
—冣
123 i冢
—冣
1(3 i )2冢
—冣
(3 i )30 1 2 3
113 3123 i 31(3 i )2 1(3 i )3
1 9 i 332i2 133i3
1 9 i 27 (1) 27(i )
1 9 i 27 27 i
(127)(927) i 2618 i
6 6 6 6 6 6 6
b) (1i )6
冢
—冣
16i0冢
—冣
15i冢
—冣
14i2冢
—冣
13i3冢
—冣
12i4冢
—冣
1i5冢
—冣
10i60 1 2 3 4 5 6 1161i151i2201i3151i461i51i6
16 i15(1)20(i )1516i1(1) 16 i1520 i 156 i 1(2066) i8 i
5 5 5 5
c) (
√
2√
3 i )5冢
—冣
(√
2)5(√
3 i )0冢
—冣
(√
2)4(√
3 i )1冢
—冣
(√
2)3(√
3 i )2冢
—冣
(√
2)2(√
3 i )30 1 2 3 5 5
冢
—冣
(√
2)1(√
3 i )4冢
—冣
(√
2)0(√
3 i )54 5
1
√
2515√
24√
3 i10√
23√
32i210√
22√
33i35
√
2√
34i411√
35i54
√
220√
3 i60√
260√
3 i45√
29√
3 i 11√
231√
3 i1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
d)
冢
—3 i冣
4
冢
—冣冢
—冣
4
(3 i )0
冢
—冣冢
—冣
3(3 i )1冢
—冣冢
—冣
2(3 i )2冢
—冣冢
—冣
1(3 i )3冢
—冣冢
—冣
0(3 i )42 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 1 1
1—14—3 i6—9 i24—27 i3181 i4
16 8 4 2
1 3 27 1 3 27
—— i— (1)227 (i )81—— i—54 i81 16 2 2 16 2 2
1 27 3 1 2161 296 3 108 1 081 105
冢
——81冣
冢
—54冣
i———————————— i————— i18. a) 34 i :
34 ixy i ⇔ x
2y23
2 x y4
Resolvemos el sistema por el método de sustitu-ción:
4 2 2 x y4 ⇒ y—— ⇒ y—
2 x x
2 4
x2
冢
—冣
23 ⇒ x2—3 ⇒x x2
⇒ x43 x240
Haciendo x2t en la ecuación bicuadrada
resul-tante, se tiene:
t23 t40
Así,
3 916 3
√
25 3 5 4t—————————————— 2 2 2 1
x1 2 t14 ⇒ x2 4
x2 2
x3
√
1
t2 1 ⇒ x2 1
x4
√
1
Pero x3y x4no son válidas, pues x ha de ser un
nú-mero real.
x12
2
y1— x1
x2 2
2
y2— x2
Por lo que podemos concluir que: 34 i (2i ) b) 2410 i :
2410 ixy i ⇔ x
2y2 24
2 x y10
Procederemos como en el apartado a : 10 5 2 x y10 ⇒ y———
2 x x
5 25
x2
冢
—冣
2 24 ⇒ x2— 24 ⇒x x2
⇒ x424 x2250
√
䉱 䉱
√
√
√
123
1442443
䉱 䉱
䉱 䉱
2
⇒ y1—1 ⇒ x1y1i2i
2
14243
2
⇒ y2—— 1 ⇒ x2y2i 2i
2
14243
123
1442443
Sea x2t :
x424 x2250 ⇒ t224 t250
24 242425 t——————————
2 24 576100 —————————
2
24
√
676 2426 25 ———————————2 2 1
t1 25⇒ x2 25 que no tiene solución real.
x11 t21 ⇒ x21
x2 1
x11
5 ⇒
y1— x1
5
⇒ y1—5 ⇒ x1y1i15 i
1
x2 1
5 ⇒
y2— y2
5
⇒ y2—— 5 ⇒ x2y2i 15 i
1
Por tanto:
2410 i (15 i )
c) 1i :
1i xi y ⇒ x
2y21
2 x y1
Procedemos como en el apartado a : 1
2 x y1 ⇒ y—— 2 x 1 1
x2
冢
——冣
21 ⇒ x2——1 ⇒2 x 4 x2
⇒ 4 x44 x210
Sea x2t :
4 x44 x210 ⇒ 4 t24 t10 ⇒
4 1616 4
√
32 ⇒ t————————————24 8
1
√
2 ———— 44√
2 1√
2 2 —————————8 2 1
√
2 ————2
√
√
䉱 䉱
䉱 䉱
14243
14243
√
123
√
䉱 䉱
1
√
2x1 ————
1
√
2 2⇒ x2————
2 1
√
2x2 ————
2
1
√
2 1 ⇒ x1 y1i ———— ————— i2 2
√
21 1 1 1
y1——————————————————————————— ⇒
1
√
2 2√
2 1√
2 2 2√
2 2 ———— —— 1√
2 2
√
2
d) 1216 i :
1216 i xi y ⇔ x
2y212
2 x y 16 Procedemos como en el apartado a :
16 8
2 x y 16 ⇒ y————— 2 x x
8 64
x2
冢
—冣
22 ⇒ x2—12 ⇒x x2
⇒ x412 x2640
Sea x2t :
x412 x2640 ⇒ t212 t640 ⇒
12 144256 12
√
400 ⇒ t—————————————2 2 12 20 16 ————
2
4 Por tanto:
1
√
2 1 1i冢
———— ————— i冣
2 22
√
2 1√
2t1————
2
1
√
2 1√
2t2———— ⇒ x2————
2 2 que no tiene solución real.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
䉱 䉱
䉱 䉱
1
√
2x1 ————
2
⇒ 1
y1——
2 x1
14243
√
1
√
2 1 ⇒ x2 y2i ———— ————— i2 2 2
√
21 1 1 1
y2——————————————————————————————— ⇒
1
√
2 2√
2 1√
2 2 2√
22 ———— —— 1
√
2 2
√
2
√
√
√
√
√
√
1
√
2x2 ————
2
⇒ 1
y2——
2 x2
14243
√
√
x1 4 t116 ⇒ x216
x2 4
x14
8 ⇒
y1—— x1
8
⇒ y1—— 2 ⇒ x1y1i42 i
4
x2 4
8 ⇒
y2—— x2
8
⇒ y2——2 ⇒ x2y2i 42 i
4
t2 4 ⇒ x2 4 que no tiene solución real.
Por tanto,
1216 i (42 i )
123
1442443
√
√
䉱 䉱
14243
Procedemos como en el apartado a : 1 2 x y 1 ⇒ y—— 2 x
1 1
x2
冢
——冣
20 ⇒ x2——0 ⇒2 x 4 x2
⇒ 4x410
Sea x2t :
4 x410 ⇒ 4 t210 ⇒
1 — 1 2 ⇒t —
4 1 —
2 1
t1— ⇒
2
1
√
2x1 ———
1 2 2
⇒ x2—
2 1
√
2x2 — ——
2 2
√
2x1 ——
2 ⇒ 1
y1——
2 x1
1 1
√
2⇒ y1———— —— —— ⇒
√
2√
2 2 2 ——2
√
2√
2⇒ x1y1i———— i
2 2
√
2x2 ——
2 ⇒ 1
y2——
2 x2
1 1
√
2⇒ y2————— —— —— ⇒
√
2√
2 2 2冢
——冣
2
√
2√
2⇒ x2y2i ———— i
2 2 1 1
t2 —⇒ x2 — que no tiene solución real.
2 2 Por tanto:
√
2√
2√
i3冢
———— i冣
2 2
19. a) (1i )2q i ⇔ 1221i2q i ⇔
⇔ 12 i1q i ⇔ 2 iq i ⇔ q 2
b) Sabemos que las raíces cuadradas de un número
complejo son opuestas y que 1 i es una raíz de q i, por tanto, la otra raíz cuadrada es 1i . e) 125 i :
125 ixi y ⇔ x
2y212
2 x y5
Procedemos como en el apartado a :
5 2 x y5 ⇒ y——
2 x
5 25
x2
冢
——冣
212 ⇒ x2——12 ⇒2 x 4 x2
⇒ 4x448 x2250
Sea x2t :
4 x448 x2250 ⇒ 4 t248 t250 ⇒
48 2 304400 48 2 704 ⇒t———————————————
8 8 100 25 ——— 4852 8 2 ————
8 4 1
— —
8 2 5
x1——
25 25
√
2t1— ⇒ x2—
2 2 5
x2 ——
√
2 5x1 ——
√
2 5√
2⇒ y1—————— ⇒
5 5 2
y1—— 2——
2 x1
√
2
5
√
2⇒ x1y1i———— i
√
2 2 5x2 ——
√
2 5√
2 ⇒ y2————— —— ⇒5 5 2
y2—— 2
冢
——冣
2 x2
√
2
5
√
2⇒ x2y2i ———— i
√
2 21 1
t2 —⇒x2 — que no tiene solución real.
2 2
Por tanto:
5
√
2 125 i冢
———— i冣
√
2 2f) i3: i3 i, así
√
i3√
ixi y ⇔ x2y20
2 x y 1
√
√
䉱 䉱
√
1442443
123
䉱 䉱
14243
14243
123
1442443
䉱 䉱
䉱
䉱
√
√
14243
14243
√
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4 3 2 1
–1 –2 –3 –4
P4
P1 P 3
P2
P5
P6
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4 3 2 1
–1 –2 –3 –4
X Y
P2
P3
P1
P4
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE NÚMEROS COMPLEJOS(págs. 100 y 101) 20. a) z1i ⇒ P1(0, 1)
b) z22 ⇒ P2(2, 0)
1 1
c) z33— i ⇒ P3
冢
3, —冣
2 2
d) z4 13 i ⇒ P4(1, 3) e) z54i ⇒ P5(4,1) f) z6 52 i ⇒ P6(5,2)
21. a)
b) P1(3, 1) ⇒ z13i P2(2,4)⇒ z224 i P3(2,1)⇒ z32i P4(3,2)⇒ z4 32 i
22. Representa gráficamente...
a) z1 3i ⇒ P1(3, 1)
z1 (3i ) 3i ⇒ Q1(3,1)
3 3
b) z2— ⇒ P2
冢
— , 0冣
2 2 3 3 z2 — ⇒ Q2
冢
— , 0冣
2 2
c) z3 2 i ⇒ P3(0,2)
z32 i ⇒ Q3(0, 2)
d) z4 53 i ⇒ P4(5,3)
z453 i ⇒ Q4(5, 3)
e) z523 i ⇒ P5(2, 3)
z5 23 i ⇒ Q5(2,3)
f) z65 ⇒ P6(5, 0)
z6 5 ⇒ Q6(5, 0)
g) z7i ⇒ P7(0, 1)
z7 i ⇒ Q7(0,1)
h) z822 i ⇒ P8(2,2)
z8 22 i ⇒ Q8(2, 2)
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4
3
2 1
–1
–2
–3 –4
X Y
P5
–6
Q4
Q8
P1
Q6 Q2 P2
Q7
P3
Q1
P8
Q5
P4
P7 Q3
P6
23. a) z14 ⇒ P1(0, 4)
_
z1 4 i ⇒ Q1(0,4)
b) z213 ⇒ P2(1,3)
_
z213 ⇒ Q2(1, 3)
c) z3 4 ⇒ 3(4, 0)
_
z3 4 ⇒ Q3(4, 0)
d) z4 1i ⇒ P4(1,1)
_
z4 1i ⇒ Q4(1, 1)
e) z5 23 i ⇒ P5(2, 3)
_
z5 23 i ⇒ Q5(2,3)
f) z6 3 i ⇒ P6(0,3)
_
z63 i ⇒ Q6(0, 3)
g) z71i ⇒ P7(1,1)
_
z71i ⇒ Q7(1, 1)
h) z8 i ⇒ P8(0,1)
_
z8i ⇒ Q8(0, 1)
Eje imaginario
Gráficamente, Q es el simétrico de P respecto al ori-gen O y S es de nuevo el simétrico de Q respecto a O que vuelve a ser P.
ECUACIONES CON SOLUCIONES COMPLEJAS (págs. 102 y 103)
25. a) x24 x130:
4 1652 4 36
x———————————— 2 2
46 i x123 i
———— 2 x
223 i b) 4 x212 x130:
12 144208 12 64
x———————————————— 8 8
3
x1——i
128 i 32 i 2
——————————
8 2 3
x2 —i
2
c) 2 x24 x40:
4 1632 4 16
x——————————— 4 4 44 i 1i
x————
4 1i –1
–2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
4 3 2 1
–1 –2 –3 –4
X Y
Q2
P5
Q4
P4 P7
Q8
P8
Q7
P2
Q5
Q6
P1
Q1
P3= Q3
P6
–1 –2 –3 –4
–5 1 2 3 4 5
3 2 1
–1 –2 –3
X Y
Q
P = S
√
√
√
√
24. Sea P(x, y ) el afijo de z. Entonces Q(x,y ) es
el afijo de z y S((x ),(y )) es el afijo de
(z ). Por tanto, se tiene que S(x, y )P.
䉱 䉱
䉱 䉱
√
√
䉱 䉱
d) x2x50:
1 120 1 19
x——————————— 2 2
1
√
19x1——— i
1
√
19 i 2 2 —————2 1
√
19x2——— i
2 2
e) 2 x2x10:
1 18 1
√
7x———————————— 4 4
1
√
7 ——— i 1√
7 i 4 4 ————4 1
√
7 ——— i4 4
f) x2x20:
1 18 1
√
7x———————————— 2 2
1
√
7 ——— i 1√
7 i 2 2 ————2 1
√
7 ——— i2 2
26. Halla las soluciones de las...
a) x41 x2t ⇒ t
21 ⇒ t 1
x11 t11 ⇒ x21
x2 1
x3
√
1i t2 1 ⇒ x2 1
x4
√
1 i
b) x416 x20
⇒ t216 t0 ⇒
x2t
t10
⇒ t (t16)0
t2 16
t10 ⇒ x20 ⇒ x1x20
x3
√
164 i
t2 16 ⇒ x2 16
x4
√
16 4 i
c) x42 x210
⇒ t22 t10 ⇒
x2t
⇒ (t1)20 ⇒ t
1t21
√
√
√
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
√
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
123
123
x410 x2250
⇒ t210 t 250 ⇒
x2t
t1 5
⇒ (t 5)20
t2 5
x1
√
5
√
5 it1 5 ⇒ x2 5
x2
√
5
√
5 ix3
√
5 i
t2 5 ⇒ x2 5
x4
√
5 i
Hay dos soluciones dobles:
√
5 i y√
5 if) x410 x2250:
x410 x2250 ⇒ t210 t250 ⇒ ↑
[x2t ]
10 100100 ⇒ t————————— 5
2
Así t 5 es raíz doble de:
t210 t250
(i. e., t210 t25(t5)20)
Por tanto, al deshacer el cambio tenemos:
x1
√
5
√
5 iraíz doble de x410 x2250
x2
√
5
√
5 iraíz doble de x410 x2250 x11
t11 ⇒ x21
x2 1
x31 t21 ⇒ x21
x4 1
En este caso hay dos soluciones dobles, 1 y 1.
d) x4x260
⇒ t2t60 ⇒
x2t
1 124 1 5 t13
⇒ t————————— 2 2 t
1 2
x1
√
3
t13 ⇒ x23
x2
√
3
x3
√
2
√
2 it2 2 ⇒ x2 2
x4
√
2
√
2 ie) x42 x2 1
⇒ t22 t10 ⇒
x2t
t1 1
⇒ (t 1)20
t2 1
x1
√
1i
t1 1 ⇒ x2 1
x2
√
1 i
x3
√
1i
t2 1 ⇒ x2 1
x4
√
1 i
En este caso hay dos soluciones dobles, i yi.
√
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 104 y 105) 27. a) (2i )2(32 i )(5i )i2:
• (2i )222i222i414 i34 i
• (2i )2(32 i )(34 i )(32 i )[334 (2)](3 (2)34) i
(98)(612) i176 i
• (5i )i2(5i ) (1) 5i
(2i )2(32 i )(5i )i2(34 i )(32 i )(5i )(176 i )(5i )127 i
b) 3(42 i )(2i )3(53 i ):
• 3 (42 i )126 i
• (2i )3(2i )2(2i )(414 i )(2i )(34 i ) (2 i )
(64)(38) i211 i
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
䉱 䉱
123
123
123
• 2 (t3 i )2 t6 i • 8 (t5 i )8 t40 i
Así:
5 t10(8 t20) i2 t6 i8 t40 it i
5 t10(8 t20) i10 t(34t ) i
29. 4 i(q3 i )(52 i )
(q5)(432) i(q5)i
Así:
(q5)i3i ⇒q53 ⇒ q 2.
30. • 5 (t2)5 t10
• 4 i (2 t5)8 t i20 i(8 t20) i
• (2i )3(53 i )(211 i ) (5 3 i )(1033)(655) i 2361 i
3(42 i )(2i )3(53 i )(126 i )( 2361 i )(126 i )(2361 i )3555 i
c) (12 i )4(1i )3(2i )23:
• (12 i )4(1)4(12 i )4(12 i )4
4 4 4 4 4
冢
—冣
冢
—冣
2 i冢
—冣
(2 i )2冢
—冣
(2 i )3冢
—冣
(2 i )40 1 2 3 4
142 i6(4)4 (8 i )1618 i2432 i16 724 i
3 3 3 3
• (1i )3
冢
—冣
冢
—冣
i冢
—冣
i2冢
—冣
i313 i3 (1)1(i )13 i3i 22 i0 1 2 3
• (12 i )4(1i )3(724 i )(22 i )(1448)(1448) i6234 i
• (2i )2414 i34 i
(12 i )4(1i )3(2i )23(6234 i )(34 i )3(6233)(344) i6238 i
28. a) (
√
32 i )2(2√
35 i ) (1 2 i ):• (
√
32 i )2(34)2√
32 i 14√
3 i • (2√
35 i ) (1 2 i )(2√
310)(4√
35) i(
√
32 i )2(2√
35 i ) (1 2 i )(14√
3 i )((2√
310)(4√
35) i )(112
√
3)(8√
35) ib) (i71) (i16i3i9)5(12 i )5(1i ):
• i71i31 i1
• i16i3i9i0i3i1ii12 i
• (i16i3i9)5(12 i )5
5 5 5 5 5 5
冢
—冣
冢
—冣
(2 i )冢
—冣
(2 i )2冢
—冣
(2 i )3冢
—冣
(2 i )4冢
—冣
(2 i )50 1 2 3 4 5
15 (2 i )10 (4)10 (8 i )5161 (32 i )110 i4080 i8032 i4138 i
• (i77) (i16i3i9)5(i1) (41 38 i)(4138)(3841) i 379 i
• (12 i )54138 i
• (12 i )5(1i )(4138 i ) (1 i )(4138)(4138) i379 i
(i71) (i16i3i9)5(12 i )5(1i )(379 i )(379 i )0
1i c) (i1)2———:
1i
• (1i )2112 i2 i
1i 1i 1i (1i)2 2 i
• ——————————————i
1i 1i 1i 2 2 1i
(i1)2———2 ii3 i
Por tanto:
5 t1010 t
⇒ 105 t ⇒ t2
8 t2034t 7 t14 31. (1 3 i ) (k2 i )(k6)(23 k ) i
Así:
(13 i ) (k2 i )1359 i⇔
Si k僆⺢ ↓
⇔ (k6)(23 k ) i1359 i Por tanto:
k613
23 k59 ⇒ k19
123
123
123
5i 5i 3i
32. • ————————— 3i 3i 3i
(151)(53) i 148 i ——————————————
91 10
Así:
4 5 i 4 148 i
x— i——— ⇔ x— i————
5 3 i 5 10
Por tanto:
14 7
x——
10 5
4 4 4 4 4
33. • (yi y )4
冢
—冣
y4冢
—冣
y3(i y )冢
—冣
y2(i y )2冢
—冣
y (i y )3冢
—冣
(i y )40 1 2 3 4
y44i y46y4(1)4 y4(i )y4y44 y4i 6 y44 y4iy4 4 y4
•4 (yi y )4 4 (4 y4)16 y4
Luego:
1 1 1 •4 (yi y )41⇒16 y41 ⇒ y4— ⇒ y 4 — —
16
√
16 2
34. (3 b )(1i )2 b i ⇔ ⇔ (3b )(3b ) i2 b i ⇔
⇔ 3b0 ⇒ b 3
3b2 b ⇒ b3
Vemos, pues, que no existe ningún valor de b que ve-rifique la igualdad del enunciado.
k2 i k2 i 3i
35. ——————————— 3i 3i 3i
(3 k2)(k6) i (3 k2)(k6) i ————————————————————
91 10
k2 i 3 k2
———— es imaginario ⇔ ————0 ⇔ 3i 10
2
⇔ 3 k20 ⇔k—
3
36. (ki )3(ki )2(ki)(k212 k i ) (ki )
(k (k21)2 k )(k212 k2) i
(k33 k )(13 k2) i
Así:
1 (ki )3real ⇔ 13 k20 ⇔ k2— ⇔
3 1
√
3⇔k —— ——
√
3 337. a) z13 i :
zz11⇒(13 i ) z11⇒
1 1 1 3 i 13 i
⇒z1—————————————
13 i 13 i 13 i 19
Así:
13 i 1 3
z1—————— i
10 10 10
b) z3
√
2 i :zz11 ⇒ (3
√
2 i ) z11 ⇒1
⇒ z1———— ⇒
3
√
2 i3
√
2 i 3√
2 i ⇒ z1——————————————(3
√
2 i ) (3√
2 i ) 9 2 3√
2——— i 11 11
1 1
c) z—— i: 3 2
1 1
zz11 ⇒
冢
—— i冣
z11 ⇒3 2
1 1 —— i 1 3 2 ⇒ z1——————————
1 1 1 1 —— i —— i
3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 —— i —— i —— i
3 2 3 2 3 2 ———————————————
1 1 4 9 13 —— ——— — 9 4 36 36 36 36 12 18 —————— i—— i
1 1
38. zz11 ⇒ z
冢
—— i冣
1 ⇒2 2
1 1 1 1 —— i —— i 1 2 2 2 2 ⇒z——————————————————
1 1 1 1 1 1 —— i —— i ——
2 2 2 2 4 4 1 1
—— i 2 2
—————— 1i
1 —
2
3 4
39. 3 4 i y —— i son inversos ⇔ 25 25
3 4 ⇔ (34 i )
冢
—— i冣
125 25 3 4 Veamos, pues, si (3 4 i )
冢
—— i冣
125 25 3 4 (34 i )
冢
—— i冣
25 25 9 16 12 12 25
冢
——冣
冢
——冣
i—0 i1 25 25 25 25 25Así son inversos.
40. z112 i
z2iz1i (12 i )i2 2i z3iz2i (2i ) 2 i1 12 i z4iz3i (12 i ) i22i
Los afijos son:
P1(1, 2) P2(2, 1) P3(1,2) P4(2,1)
Los cuatro números forman un cuadrado centrado en el origen. Por tanto, vemos que la multiplicación de un número complejo por i produce en su afijo un giro positivo de 90° con centro en el origen de coor-denadas.
41. Sean los números complejos:
z1i
1 1
z2— (1
√
3 i ) z1— (1
√
3 i ) i 2 2
1
— (
√
3i )2
–1
–2 1 2
2
1
–1
–2
X
Y P1
P2
P3
P4
90°
90°
90°
90°
1
z3— (1
√
3 i ) z2
2
1 1
— (1
√
3 i ) — (√
3 i )2 2 1
— [(
√
3√
3)(13) i ] 41 1
— (2
√
32 i )— (√
3i )4 2 Los afijos son:
P1(0, 1)
√
3 1P2
冢
—— ,—冣
2 2
√
3 1P3
冢
—— ,—冣
2 2
Los tres números complejos están sobre la circunfe-rencia unidad y son los vértices de un triángulo equi-látero; para pasar de cada uno al siguiente basta con efectuar un giro de 120°.
1
√
3Por tanto, multiplicar por ——— i es equivalen-2 2
te a aplicar un giro positivo de 120° con centro en el origen de coordenadas.
–1 1
1 2 –
120°
120°
i P1
P2 i P3
EJERCICIOS Y PROBLEMAS(págs. 106 y 107) 42. a) 16:
√
16 16(1)√
16 i 4i1 1 1
b) —: — —(1)
49 49 49 1 1 —i — i
49 7 16 16 16
c) —: — —(1)
9 9 9 16 4 —i — i
9 3
d) 8:
√
8 8 (1)√
8i43. Vamos a considerar el siguiente convenio cuando efectuemos operaciones con raíces:
Consideremos raíz positiva a la raíz que no esté afec-tada por un signo o a la que esté afecafec-tada por un sig-no positivo y consideraremos raíz negativa a la afecta-da por un signo negativo.
El motivo de este convenio es el siguiente:
Si permitiésemos que
√
x simbolizase las dos raícesde x,
√
x√
x, por ejemplo, tendría 4 posiblesresul-tados:
√
x(√
x )0 ;√
x(√
x )2 (√
x )√
x(√
x )2 (√
x ) ;√
x(√
x )0√
√
√
√
√
√
√
pues no hay ningún motivo que nos obligue a escoger las dos raíces del mismo signo, y que haga estos cua-tro posibles resultados es absurdo. De hecho, si per-mitiésemos que
√
x simbolizase a las dos raíces de x,√
x no sería un número sino un conjunto:√
x{
√
x ,√
x}
y no tiene sentido hacer operaciones aritméticas con conjuntos.
a)
√
3√
49√
3√
49√
1√
3 7 ib)
√
9√
9√
9√
9√
133 ic)
√
36√
9√
36√
1√
96 i3 36 i 25 25 5d) 16 —
√
16√
1————4 i 4√
4 2e) 3
√
3√
√
13√
i9 9 3
f) 7 ——7 —
√
17— i 25 25 544. Parte real Parte imaginaria
2 2
a)
√
5— i:√
5 —3 3 1 1
b) —3 i : — 3 4 4
i 1
c) —: 0 —
10 10 5 5
d) 1— i: 1 —
8 8
45. a) 3 ik es imaginario ⇔k0, pues la parte real de un número imaginario es 0.
b) Para que
√
2 k16 i sea real su parte real ha de ser 0.1
√
2 Así√
2 k10, por tanto k————.√
2 2 5c) 4 k—i es imaginario ⇔
8
5 5 5
⇔ 4 k—0 ⇔ k ——— —
8 8 4 32
46. a) (k1) i6 real ⇔ k10 ⇔ k 1
k 3 k 3 k
b) — i—— i real ⇔ ——0 ⇔ k0 10 4 4
c) 10k i2 i10(k2) i es real ⇔
⇔ k20 ⇔ k 2
47. z1z2 ⇔ 35 i3(h2) i ⇔
⇔ 5 i(h2) i ⇔ 5h2 ⇔ h7
√
√
√
48. z1z2 ⇔ 25 i3(1p ) i
Así, no existe ningún real p tal que 25 i3(1p) i,
puesto que 2 Re (z1)⬆Re (z2)3
49.
z
3 4 i
z
3 4 i
–z
3 4 i
3 2 i 3 2 i 3 2 i
6 i 6 i 6 i
10 10 10
1 5 i 1 5 i 1 5 i
50. a) z1 z2 ⇔ 2 pq i53 i ⇔
5
⇔ 2 p5 y q 3 ⇔ p— y q 3 2
b) z1
_
z2 ⇔ 2 pq i 53 i ⇔
⇔ 2 p 5 y q 3 ⇔ 5
⇔ p — y q 3 2
51. Sea zab i
z _z ⇔ (ab i )ab i ⇔
⇔ ab iab i ⇔ aa ⇔ a0
Por tanto, z ha de ser un número imaginario.
52. a) z1z2(25 i )(13 i )
(21)(53) i32 i
b) z1z3(25 i )(7i )
(27)(51) i94 i
c) z2z3(13 i )(7i )
(17)(31) i84 i
d) z1z2(25 i )(13 i )
(21)(53)i18 i
e) z1z3(25 i )(7i )
(27)(51) i 56 i
f) z2z3(13 i )(7i )
(17)(31) i 62 i
53. a) (z1z2) (z1z2)
[(62 i)(7i )] [(62 i)(7i )]
[(67)(21) i] [(67)(21) i] (13 i ) (13i )(133)(139) i
1638 i
b) (z1z2) z3[(62 i )(7i )] (44 i )
[(67)(21) i ] (44 i )
c) (z1z2z1z3)
(62 i ) (7 i )(62 i ) (44 i ) (62 i ) [(7 i )(44 i )]
↑
Prop. distributiva
(62 i ) ((7 4)(14) i ) (62 i ) (3 5 i )
(1810)(306) i 2824 i
54. (5 2 i ) (a4 i )
(5 a8)(202 a ) i imaginario ⇔ 8
⇔ 5 a80⇔a—
5
55. (3 i ) (x2 i )y5 i ⇔
⇔ (3 x2)(6x ) iy5 i ⇔
⇔ 3 x62y ⇔ x 1
x 5 y3 (1)2 5
56. z _z(
√
32 i ) (√
32 i ) (√
3)2223473 i2 3 i2 i 3 i22 i
57. a) ———————————
i i i 1
3 (1)2 i 32 i
2
√
3 i 2√
3 i 2 i 4 i2√
3b) —————————————————
2 i 2 i 2 i 4
√
3——i
2
√
3√
2 i√
3√
2 i√
3√
2 ic) ———————————————
√
3√
2 i√
3√
2 i√
3√
2 i (32)2√
6 i 12√
6 i 1 2√
6 ————————————————— i32 5 5 5
58. zi , _z i
1 1 i
z1———— i , z i
i i i
Se tiene que_zz1 z i
59. a) (1i ) z11 ⇔
1 1 1 i 1i
⇔ z1————————————
1i 1i 1i 2 1 i
—— 2 2
b) zz11 ⇔ (32 i ) z11 ⇔
1
⇔ z1———— ⇔
32 i
1 32 i 32 i ⇔ z1———————————————
32 i 32 i 94 3 2
—— i 13 13
123
123
c) zz11 ⇔ (2i ) z11 ⇔
1 1 2i
⇔ z1———————————— ⇔
2i 2i 2i
2i 2 1
⇔ z1———— —— i
41 5 5
d) zz11 ⇔ (23 i ) z11 ⇔
1 23 i ⇔ z1——————————⇔
23 i 23 i 23 i 2 3 ⇔ z1————— —— i
49 13 13
60. a) 52 x i 52 x i 32 i ————————————
32 i 32 i 32 i (154 x )(106 x ) i ————————————
94 154 x 106 x ———————— i
13 13 154 x 106 x
———————— i imaginario ⇔ 13 13
154 x 15
⇔ ————0 ⇔ 154 x 0 ⇔ x —
13 4
b) 52 x i 154 x 106 x
————————————— i real ⇔ 32 i 13 13
106 x
⇔ ————0 ⇔ 106 x0 ⇔
13 10 5
⇔ x——
6 3
z _z (42 i )(42 i ) 61. —————————————
z _z (42 i )(42 i )
(44)(22) i 4 i 1 ————————————— — i
(44)(22) i 8 2
z _z 1
Así ——— — i, por lo que es imaginario.
z _z 2
62. a) i0ii2i3i4i5i6i7
1i1i1i1i0
b) Se trata de una suma en la que los sumandos se
re-piten de 4 en 4, pues:
i0i4i8i12i16i20i24i28i321 i1i5i9i13i17i21i25i29i33i i2i6i10i14i18i22i26i30i34 1 i3i7i11i15i19i23i27i31 i
Así,
i0ii2…i34
8(1i1i )i32i33i34