EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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(1)

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4 3 2 1

–1 –2 –3

X Y

Q = (0, –3)

P = (3, 1)

PREPARACIÓN DE LA UNIDAD(pág. 93) •

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4 3 2 1

–1 –2 –3

X Y

R = (3, 2) SO= (–3, 2)

SA= (3, –2)

SA(3,2) es el simétrico de R respecto al eje de

abs-cisas.

S0(3, 2) es el simétrico de R respecto al eje de

or-denadas.

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

3 2 1

–1 –2 –3 –4

X Y

S = (–2, 1)

T = (2, –1)

S(2, 1) es el simétrico de T respecto al origen de coordenadas O.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 94 y 95)

1. a) 81: 81 81(1)

81i 9 i

4 4 4 4

b) — : — — (1) —i

9 9 9 9

4 2 —— i — i

9 3

c) 25: 25 25 (1)

25i 5 i

d) 7: 7 7 (1)

7i

7 i 1 1 1

e) — : — — (1)

2 2 2

1 1 —i ——— i

2

2

f) 18: 18 18 (1)

18i

92i

9

2 i 3

2 i

3 3

2. a) —

3 i : a— , b

3 4 4

b)

13i : a

13 , b1 2 2

c) 6— i : a 6 , b— 3 3

d)

2

5 i : a

2 , b

5

3. a) 1: real

b) 3 i : imaginario

c) 2: real

d) 4 i : imaginario

e) 8 i : imaginario

f) 10: real

1 1

4. a) (k2)

k

i es real ⇔ —k0 4 4

1

k

4





























(2)

11. a) (5i ) (32 i )(53(1)2)(523(1)) i(152)(103) i177 i

b) (2i )(2i )(22(1)1)(212 (1)) i(41)(22) i5

1 1 1

c)

2— i

(5i )

2(5)—(1)

2 (1)(5) —

i

3 3 3 1 5 29 11

10—

2—

i— i 3 3 3 3

1 1

f)

2— i

(57 i )(25)

—7

i

3 3 20

3— i 3

g) 3(24 i )(27 i ) [3(24 i )](27 i ) [(32)(04) i ](27 i ) (54 i )(27 i )

(52)(47) i 33 i

h) (5i )(23 i )5 i [(5i )(23 i )]5 i

[(52)(13) i ]5 i(34 i )5 i (30)(45) i39 i

8. z1z2(3i )(25 i )

(32)(15) i56 i

z2z1(25 i )(3i )

(23)(51) i56 i

Así, z1z2z2z1

9. (z1z2)z3

[(14 i )(32 i )](42 i ) [(13)(42) i ](42 i ) (22 i )(42 i ) 24 i

z1(z2z3)

(14 i )[(32 i )(42 i )] (14 i )[(34)(22) i ] (14 i )(10 i )

(11)(40) i 24 i

Así, (z1z2)z3z1(z2z3)

10. a) z 23 i ⇒ _z 23 iz _z 4 b) z5 ⇒ _z5 ⇒ z _z10

c) z 4 i ⇒ _z4 iz _z0

d) z1i ⇒ _z1iz _z2 1

b) (k2)

k

i es imaginario

4

k20 ⇔ k2

5. a) 2 x5 i13 y i ⇔ ⇔ 2 x1 y 5 3 y ⇔

1 5 ⇔ x— y y

2 3

b) 63 y i(x3)9 i ⇔ ⇔ 6(x3) y 3 y 9 ⇔

9 ⇔ x9 y y 3

3

6. a) z

32 i :z

32 i , _z

32 i 1 1 1

b) zi :zi , _zi

3 3 3

c) z

2 i :z

2 i , _z

2 i

d) z 5:z5 , _z 5

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 96 a 99)

7. a) (32 i )(24 i )(32)(24) i 52 i

b) (5i )(23 i )(52)(13) i 72 i

1 1

c) (32 i )

3—

(20) i 4 4

13 —2 i

4

d) (37 i )(23 i )(32)(73) i 14 i

(3)

1 1

d)

3— i

(2i ) (32 i )

冤冢

3— i

(2i )

(32 i ) 4 4

1 1 1 2

(32

(1))

3 (1)2

冣冣

i

(32 i )

冤冢

6—

3—

i

(32 i ) 4 4 4 4

23 14 23 14 23 14

— i

(32 i )

—3

2

—23

冣冣

i

4 4 4 4 4 4 69 28 46 42 97 4 97

——

——

i— ii

4 4 4 4 4 4 4

12. z1z2(24 i ) (3i )(234 (1))(2 (1)34) i(64)(212) i1010 i z2z1(3i )(24 i )(32(1)4)(342 (1)) i(64)(122) i1010 i

Así, z1z2z2z1

?

13. a) z1(z2z3)(z1z2) z3:

• z1(z2z3)(1i )[(23 i )(14 i )](1i ) [(2 (1)(3)4)(24(1)(3)) i ]

(1i )[(212)(83) i ](1i ) [10 11 i ](110(1)11)(11110 (1)) i (1011)(1110) i21i

• (z1z2)z3[(1i )(23 i )] (14 i )[(12(1) (3))(1(3)2 (1)) i ] (14 i )

[(23)(32) i ] (14 i )(15 i )(14 i )

((1)(1)(5) 4) ((1)4(1) (5)) i(120)(45) i21i

Así, z1(z2z3)(z1z2) z3

?

b) z1(z2z3)z1z2z1z3:

• z1(z2z3)(1i )[(23 i )(14 i )](1i ) [(2 1)(34) i ](1i ) (1i )

12122

• z1z2z1z3[(1i )(23 i )][(1i )(14 i )]

[(12(1)(3))(1(3)2 (1)) i ](1(1)(1)4)(14(1)(1)] i [(23)(32) i ][(14)(41) i ](15 i )(35 i )(135 i5 i )2

Así, z1(z2z3)z1z2z1z3

2i 2i 13 i 14. a) ————————————

13 i 13 i 13 i

(23)(61) i 17 i ——————————————

19 10 1 7

— i 10 10

23 i

23 i 2i

b) —————————————

2i 2i 2i

(2

23)(

26) i —————————————

41

(2

23) (6

2) —————————— i

5 5

1 1 3 i 3i 3 i

c) ————————————

3i 3i 3i 91 10 10 3 i 3 i 24 i 126 i

d) —————————————————

24 i 24 i 24 i 416

12 6 3 3 —— i— i 20 20 5 10

5i 5i i 15 i

e) ———————————— 15 i

i i i 1

12 i 12 i 33 i

f) ————————————

33 i 33 i 33 i

(36)(63) i 93 i 1 1 —————————————— i

99 18 2 6

2i (

2i ) (

2i )

15. a) (

2i)———————————— 12 i 12 i

21 3 3 1 2 i ————————————————

12 i 12 i 12 i 12 i 36 i 3 6

(4)

2 18 i

28

2 i —————————————————

18 i 18 i 164

2 8

2

————— i 65 65

16. Calcula:

a) i76i01 pues 76 4

0 19

b) i175i3 i pues 175 4

3 43

c) i1 761i1i pues 1 761 4

1 440

d) i874i2 1 pues 874 4

2 218

e) (3 i)10310i1059 049i10

59 049i2 59 049 pues 10 4

2 2

f) (

2 i)20(

2)20i20 210i20

1024i01024 pues 20 4

0 5

3 i (2

3i )

3 i

b) (2

3i ) ———————————

1i 1i

23 i

3

36 i

36 i 1i

————————————————— 1i 1i 1i 1i

(

36)(

36) i ————————————

2

(

36) (6

3) —————————— i

2 2

1i 2 i (1i )(2 i )

c) ———————————————

32 i 1i (32 i )(1i )

2 i2 2 2 i ————————————

(32)(32) i 15 i

22 i 15 i (210)(102) i ———————————————————

15 i 15 i 125 128 i 6 4

————— i 26 13 13

2 1

2

d) ————————————————

2i 23 i (2i )(23 i )

2

2 ———————————————

(43)(62) i 18 i

3 3 3 3

17. a) (13 i )3

13

123 i

1(3 i )2

(3 i )3

0 1 2 3

113 3123 i 31(3 i )2 1(3 i )3

1 9 i 332i2 133i3

1 9 i 27 (1) 27(i )

1 9 i 27 27 i

(127)(927) i 2618 i

6 6 6 6 6 6 6

b) (1i )6

16i0

15i

14i2

13i3

12i4

1i5

10i6

0 1 2 3 4 5 6 1161i151i2201i3151i461i51i6

16 i15(1)20(i )1516i1(1) 16 i1520 i 156 i 1(2066) i8 i

5 5 5 5

c) (

2

3 i )5

(

2)5(

3 i )0

(

2)4(

3 i )1

(

2)3(

3 i )2

(

2)2(

3 i )3

0 1 2 3 5 5

(

2)1(

3 i )4

(

2)0(

3 i )5

4 5

1

2515

24

3 i10

23

32i210

22

33i3

5

2

34i411

35i5

4

220

3 i60

260

3 i45

29

3 i 11

231

3 i

1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

d)

3 i

4

冣冢

4

(3 i )0

冣冢

3(3 i )1

冣冢

2(3 i )2

冣冢

1(3 i )3

冣冢

0(3 i )4

2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 1 1

1—14—3 i6—9 i2427 i3181 i4

16 8 4 2

1 3 27 1 3 27

— i— (1)227 (i )81—— i54 i81 16 2 2 16 2 2

1 27 3 1 2161 296 3 108 1 081 105

81

54

i———————————— i————— i

(5)

18. a) 34 i :

34 ixy ix

2y23

2 x y4

Resolvemos el sistema por el método de sustitu-ción:

4 2 2 x y4 ⇒ y—— ⇒ y

2 x x

2 4

x2

23 x23

x x2

x43 x240

Haciendo x2t en la ecuación bicuadrada

resul-tante, se tiene:

t23 t40

Así,

3 916 3

25 3 5 4

t—————————————— 2 2 2 1

x1 2 t14 ⇒ x2 4

x2 2

x3

 1

t2 1 ⇒ x2 1

x4

 1

Pero x3y x4no son válidas, pues x ha de ser un

nú-mero real.

x12

2

y1— x1

x2 2

2

y2— x2

Por lo que podemos concluir que: 34 i (2i ) b) 2410 i :

2410 ixy ix

2y2 24

2 x y10

Procederemos como en el apartado a : 10 5 2 x y10 ⇒ y——

2 x x

5 25

x2

2 24 x2 24

x x2

x424 x2250



䉱 䉱







123

1442443

䉱 䉱

䉱 䉱

2

y1—1 ⇒ x1y1i2i

2

14243

2

y2—— 1 ⇒ x2y2i 2i

2

14243

123

1442443

Sea x2t :

x424 x2250 t224 t250

24 242425 t——————————

2 24 576100 —————————

2

24

676 2426 25 ———————————

2 2 1

t1 25⇒ x2 25 que no tiene solución real.

x11 t21 ⇒ x21

x2 1

x11

5 ⇒

y1— x1

5

y1—5 ⇒ x1y1i15 i

1

x2 1

5 ⇒

y2— y2

5

y2—— 5 ⇒ x2y2i 15 i

1

Por tanto:

2410 i (15 i )

c) 1i :

1i xi yx

2y21

2 x y1

Procedemos como en el apartado a : 1

2 x y1 ⇒ y—— 2 x 1 1

x2

——

21x2——1

2 x 4 x2

4 x44 x210

Sea x2t :

4 x44 x2104 t24 t10

4 1616 4

32 ⇒ t————————————

24 8

1

2 ———— 44

2 1

2 2 —————————

8 2 1

2 ————

2





䉱 䉱

䉱 䉱

14243

14243



123



䉱 䉱

(6)

1

2

x1 ————

1

2 2

x2————

2 1

2

x2 ————

2

1

2 1 ⇒ x1 y1i ———— ————— i

2 2

 2

1 1 1 1

y1——————————————————————————— ⇒

1

2 2

2 1

2 2 2

2 2 ———— —— 1

 2 2

 2

d) 1216 i :

1216 i xi yx

2y212

2 x y 16 Procedemos como en el apartado a :

16 8

2 x y 16 ⇒ y————— 2 x x

8 64

x2

22x212

x x2

x412 x2640

Sea x2t :

x412 x2640t212 t640

12 144256 12

400 ⇒ t—————————————

2 2 12 20 16 ————

2

4 Por tanto:

1

2 1 1i

———— ————— i

2 22

2 1

2

t1————

2

1

2 1

2

t2———— ⇒ x2————

2 2 que no tiene solución real.























䉱 䉱

䉱 䉱

1

2

x1 ————

2

⇒ 1

y1——

2 x1

14243



1

2 1 ⇒ x2 y2i ———— ————— i

2 2 2

 2

1 1 1 1

y2——————————————————————————————— ⇒

1

2 2

2 1

2 2 2

2

2 ———— —— 1

 2 2

 2













1

2

x2 ————

2

⇒ 1

y2——

2 x2

14243





x1 4 t116 ⇒ x216

x2 4

x14

8 ⇒

y1—— x1

8

y1—— 2 ⇒ x1y1i42 i

4

x2 4

8 ⇒

y2—— x2

8

y2——2 ⇒ x2y2i 42 i

4

t2 4 ⇒ x2 4 que no tiene solución real.

Por tanto,

1216 i (42 i )

123

1442443





䉱 䉱

14243

(7)

Procedemos como en el apartado a : 1 2 x y 1 ⇒ y—— 2 x

1 1

x2

——

20 x2——0

2 x 4 x2

⇒ 4x410

Sea x2t :

4 x4104 t210

1 — 1 2 ⇒t

4 1 —

2 1

t1— ⇒

2

1

2

x1 ———

1 2 2

x2

2 1

2

x2 — ——

2 2

2

x1 ——

2 ⇒ 1

y1——

2 x1

1 1

2

y1———— —— —— ⇒

2

2 2 2 ——

2

2

2

x1y1i———— i

2 2

2

x2 ——

2 ⇒ 1

y2——

2 x2

1 1

2

y2————— —— —— ⇒

2

2 2 2

——

2

2

2

x2y2i ———— i

2 2 1 1

t2 —⇒ x2 — que no tiene solución real.

2 2 Por tanto:

2

2

i3

———— i

2 2

19. a) (1i )2q i1221i2q i

⇔ 12 i1q i ⇔ 2 iq iq 2

b) Sabemos que las raíces cuadradas de un número

complejo son opuestas y que 1 i es una raíz de q i, por tanto, la otra raíz cuadrada es 1i . e) 125 i :

125 ixi yx

2y212

2 x y5

Procedemos como en el apartado a :

5 2 x y5 ⇒ y——

2 x

5 25

x2

——

212 x2——12

2 x 4 x2

⇒ 4x448 x2250

Sea x2t :

4 x448 x22504 t248 t250

48 2 304400 48 2 704 ⇒t———————————————

8 8 100 25 ——— 4852 8 2 ————

8 4 1

— —

8 2 5

x1——

25 25

2

t1— ⇒ x2—

2 2 5

x2 ——

2 5

x1 ——

2 5

2

y1—————— ⇒

5 5 2

y1—— 2——

2 x1

 2

5

2

x1y1i———— i

2 2 5

x2 ——

2 5

2 ⇒ y2————— —— ⇒

5 5 2

y2—— 2

——

2 x2

 2

5

2

x2y2i ———— i

2 2

1 1

t2 —⇒x2 — que no tiene solución real.

2 2

Por tanto:

5

2 125 i

———— i

2 2

f) i3: i3 i, así

i3

ixi y x

2y20

2 x y 1





䉱 䉱



1442443

123

䉱 䉱

14243

14243

123

1442443

䉱 䉱





14243

14243



(8)

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4 3 2 1

–1 –2 –3 –4

P4

P1 P 3

P2

P5

P6

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4 3 2 1

–1 –2 –3 –4

X Y

P2

P3

P1

P4

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DE NÚMEROS COMPLEJOS(págs. 100 y 101) 20. a) z1iP1(0, 1)

b) z22 ⇒ P2(2, 0)

1 1

c) z33— iP3

3, —

2 2

d) z4 13 iP4(1, 3) e) z54iP5(4,1) f) z6 52 iP6(5,2)

21. a)

b) P1(3, 1) ⇒ z13i P2(2,4)⇒ z224 i P3(2,1)⇒ z32i P4(3,2)⇒ z4 32 i

22. Representa gráficamente...

a) z1 3iP1(3, 1)

z1 (3i ) 3iQ1(3,1)

3 3

b) z2— ⇒ P2

— , 0

2 2 3 3 z2 — ⇒ Q2

— , 0

2 2

c) z3 2 i ⇒ P3(0,2)

z32 iQ3(0, 2)

d) z4 53 iP4(5,3)

z453 iQ4(5, 3)

e) z523 iP5(2, 3)

z5 23 iQ5(2,3)

f) z65 ⇒ P6(5, 0)

z6 5 ⇒ Q6(5, 0)

g) z7iP7(0, 1)

z7 iQ7(0,1)

h) z822 iP8(2,2)

z8 22 iQ8(2, 2)

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4

3

2 1

–1

–2

–3 –4

X Y

P5

–6

Q4

Q8

P1

Q6 Q2 P2

Q7

P3

Q1

P8

Q5

P4

P7 Q3

P6

23. a) z14 ⇒ P1(0, 4)

_

z1 4 i ⇒ Q1(0,4)

b) z213 ⇒ P2(1,3)

_

z213 ⇒ Q2(1, 3)

c) z3 4 ⇒ 3(4, 0)

_

z3 4 ⇒ Q3(4, 0)

d) z4 1iP4(1,1)

_

z4 1iQ4(1, 1)

e) z5 23 iP5(2, 3)

_

z5 23 iQ5(2,3)

f) z6 3 i ⇒ P6(0,3)

_

z63 iQ6(0, 3)

g) z71iP7(1,1)

_

z71iQ7(1, 1)

h) z8 iP8(0,1)

_

z8iQ8(0, 1)

Eje imaginario

(9)

Gráficamente, Q es el simétrico de P respecto al ori-gen O y S es de nuevo el simétrico de Q respecto a O que vuelve a ser P.

ECUACIONES CON SOLUCIONES COMPLEJAS (págs. 102 y 103)

25. a) x24 x130:

4 1652 4 36

x———————————— 2 2

46 i x123 i

———— 2 x

223 i b) 4 x212 x130:

12 144208 12 64

x———————————————— 8 8

3

x1——i

128 i 32 i 2

——————————

8 2 3

x2 —i

2

c) 2 x24 x40:

4 1632 4 16

x——————————— 4 4 44 i 1i

x————

4 1i –1

–2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

4 3 2 1

–1 –2 –3 –4

X Y

Q2

P5

Q4

P4 P7

Q8

P8

Q7

P2

Q5

Q6

P1

Q1

P3= Q3

P6

–1 –2 –3 –4

–5 1 2 3 4 5

3 2 1

–1 –2 –3

X Y

Q

P = S









24. Sea P(x, y ) el afijo de z. Entonces Q(x,y ) es

el afijo de z y S((x ),(y )) es el afijo de

(z ). Por tanto, se tiene que S(x, y )P.

䉱 䉱

䉱 䉱





䉱 䉱

d) x2x50:

1 120 1 19

x——————————— 2 2

1

19

x1——— i

1

19 i 2 2 —————

2 1

19

x2——— i

2 2

e) 2 x2x10:

1 18 1

7

x———————————— 4 4

1

7 ——— i 1

7 i 4 4 ————

4 1

7 ——— i

4 4

f) x2x20:

1 18 1

7

x———————————— 2 2

1

7 ——— i 1

7 i 2 2 ————

2 1

7 ——— i

2 2

26. Halla las soluciones de las...

a) x41 x2tt

21 t 1

x11 t11 ⇒ x21

x2 1

x3

 1i t2 1 ⇒ x2 1

x4

 1 i

b) x416 x20

t216 t0

x2t

t10

t (t16)0

t2 16

t10 ⇒ x20 ⇒ x1x20

x3

 164 i

t2 16 ⇒ x2 16

x4



16 4 i

c) x42 x210

t22 t10

x2t

(t1)20 t

1t21







䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱



䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

123

123

(10)

x410 x2250

t210 t 250

x2t

t1 5

(t 5)20

t2 5

x1

 5

5 i

t1 5 ⇒ x2 5

x2



5

5 i

x3

5 i

t2 5 ⇒ x2 5

x4

5 i

Hay dos soluciones dobles:

5 i y

5 i

f) x410 x2250:

x410 x2250 t210 t250

[x2t ]

10 100100 ⇒ t————————— 5

2

Así t 5 es raíz doble de:

t210 t250

(i. e., t210 t25(t5)20)

Por tanto, al deshacer el cambio tenemos:

x1

 5

5 i

raíz doble de x410 x2250

x2



5

5 i

raíz doble de x410 x2250 x11

t11 ⇒ x21

x2 1

x31 t21 ⇒ x21

x4 1

En este caso hay dos soluciones dobles, 1 y 1.

d) x4x260

t2t60

x2t

1 124 1 5 t13

t————————— 2 2 t

1 2

x1

 3

t13 ⇒ x23

x2

 3

x3

 2

2 i

t2 2 ⇒ x2 2

x4



2

2 i

e) x42 x2 1

t22 t10

x2t

t1 1

(t 1)20

t2 1

x1

 1i

t1 1 ⇒ x2 1

x2

 1 i

x3

 1i

t2 1 ⇒ x2 1

x4

 1 i

En este caso hay dos soluciones dobles, i yi.



RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 104 y 105) 27. a) (2i )2(32 i )(5i )i2:

• (2i )222i222i414 i34 i

• (2i )2(32 i )(34 i )(32 i )[334 (2)](3 (2)34) i

(98)(612) i176 i

• (5i )i2(5i ) (1) 5i

(2i )2(32 i )(5i )i2(34 i )(32 i )(5i )(176 i )(5i )127 i

b) 3(42 i )(2i )3(53 i ):

• 3 (42 i )126 i

• (2i )3(2i )2(2i )(414 i )(2i )(34 i ) (2 i )

(64)(38) i211 i

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

123

123

123

(11)

• 2 (t3 i )2 t6 i • 8 (t5 i )8 t40 i

Así:

5 t10(8 t20) i2 t6 i8 t40 it i

5 t10(8 t20) i10 t(34t ) i

29. 4 i(q3 i )(52 i )

(q5)(432) i(q5)i

Así:

(q5)i3iq53 ⇒ q 2.

30. • 5 (t2)5 t10

• 4 i (2 t5)8 t i20 i(8 t20) i

• (2i )3(53 i )(211 i ) (5 3 i )(1033)(655) i 2361 i

3(42 i )(2i )3(53 i )(126 i )( 2361 i )(126 i )(2361 i )3555 i

c) (12 i )4(1i )3(2i )23:

• (12 i )4(1)4(12 i )4(12 i )4

4 4 4 4 4

2 i

(2 i )2

(2 i )3

(2 i )4

0 1 2 3 4

142 i6(4)4 (8 i )1618 i2432 i16 724 i

3 3 3 3

• (1i )3

i

i2

i313 i3 (1)1(i )13 i3i 22 i

0 1 2 3

• (12 i )4(1i )3(724 i )(22 i )(1448)(1448) i6234 i

• (2i )2414 i34 i

(12 i )4(1i )3(2i )23(6234 i )(34 i )3(6233)(344) i6238 i

28. a) (

32 i )2(2

35 i ) (1 2 i ):

• (

32 i )2(34)2

32 i 14

3 i • (2

35 i ) (1 2 i )(2

310)(4

35) i

(

32 i )2(2

35 i ) (1 2 i )(14

3 i )((2

310)(4

35) i )

(112

3)(8

35) i

b) (i71) (i16i3i9)5(12 i )5(1i ):

• i71i31 i1

• i16i3i9i0i3i1ii12 i

• (i16i3i9)5(12 i )5

5 5 5 5 5 5

(2 i )

(2 i )2

(2 i )3

(2 i )4

(2 i )5

0 1 2 3 4 5

15 (2 i )10 (4)10 (8 i )5161 (32 i )110 i4080 i8032 i4138 i

• (i77) (i16i3i9)5(i1) (41 38 i)(4138)(3841) i 379 i

• (12 i )54138 i

• (12 i )5(1i )(4138 i ) (1 i )(4138)(4138) i379 i

(i71) (i16i3i9)5(12 i )5(1i )(379 i )(379 i )0

1i c) (i1)2———:

1i

• (1i )2112 i2 i

1i 1i 1i (1i)2 2 i

• —————————————i

1i 1i 1i 2 2 1i

(i1)2———2 ii3 i

(12)

Por tanto:

5 t1010 t

⇒ 105 tt2

8 t2034t 7 t14 31. (1 3 i ) (k2 i )(k6)(23 k ) i

Así:

(13 i ) (k2 i )1359 i

Si k僆⺢ ↓

(k6)(23 k ) i1359 i Por tanto:

k613

23 k59 ⇒ k19

123

123

123

5i 5i 3i

32. • ————————— 3i 3i 3i

(151)(53) i 148 i ——————————————

91 10

Así:

4 5 i 4 148 i

x— i——— x— i————

5 3 i 5 10

Por tanto:

14 7

x

10 5

4 4 4 4 4

33. • (yi y )4

y4

y3(i y )

y2(i y )2

y (i y )3

(i y )4

0 1 2 3 4

y44i y46y4(1)4 y4(i )y4y44 y4i 6 y44 y4iy4 4 y4

•4 (yi y )4 4 (4 y4)16 y4

Luego:

1 1 1 •4 (yi y )4116 y41y4y 4

16

16 2



34. (3 b )(1i )2 b i ⇔ ⇔ (3b )(3b ) i2 b i

⇔ 3b0 ⇒ b 3

3b2 bb3

Vemos, pues, que no existe ningún valor de b que ve-rifique la igualdad del enunciado.

k2 i k2 i 3i

35. ——————————— 3i 3i 3i

(3 k2)(k6) i (3 k2)(k6) i ————————————————————

91 10

k2 i 3 k2

———— es imaginario ⇔ ————0 ⇔ 3i 10

2

3 k20 ⇔k

3

36. (ki )3(ki )2(ki)(k212 k i ) (ki )

(k (k21)2 k )(k212 k2) i

(k33 k )(13 k2) i

Así:

1 (ki )3real13 k20k2

3 1

3

k —— ——

3 3

37. a) z13 i :

zz11(13 i ) z11

1 1 1 3 i 13 i

z1—————————————

13 i 13 i 13 i 19

Así:

13 i 1 3

z1————— i

10 10 10

b) z3

2 i :

zz11(3

2 i ) z11

1

z1————

3

2 i

3

2 i 3

2 iz1——————————————

(3

2 i ) (3

2 i ) 9 2 3

2

—— i 11 11

1 1

c) z— i: 3 2

1 1

zz11

— i

z11

3 2

1 1 —— i 1 3 2 ⇒ z1——————————

1 1 1 1 —— i— i

3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 —— i— i— i

3 2 3 2 3 2 ———————————————

1 1 4 9 13 —— ——— — 9 4 36 36 36 36 12 18 —————— i— i

(13)

1 1

38. zz11z

— i

1

2 2

1 1 1 1 —— i— i 1 2 2 2 2 ⇒z——————————————————

1 1 1 1 1 1 —— i— i ——

2 2 2 2 4 4 1 1

— i 2 2

—————— 1i

1 —

2

3 4

39. 3 4 i y —— i son inversos ⇔ 25 25

3 4 ⇔ (34 i )

— i

1

25 25 3 4 Veamos, pues, si (3 4 i )

— i

1

25 25 3 4 (34 i )

— i

25 25 9 16 12 12 25

i0 i1 25 25 25 25 25

Así son inversos.

40. z112 i

z2iz1i (12 i )i2 2i z3iz2i (2i ) 2 i1 12 i z4iz3i (12 i ) i22i

Los afijos son:

P1(1, 2) P2(2, 1) P3(1,2) P4(2,1)

Los cuatro números forman un cuadrado centrado en el origen. Por tanto, vemos que la multiplicación de un número complejo por i produce en su afijo un giro positivo de 90° con centro en el origen de coor-denadas.

41. Sean los números complejos:

z1i

1 1

z2— (1

3 i ) z1— (1

3 i ) i 2 2

1

— (

3i )

2

–1

–2 1 2

2

1

–1

–2

X

Y P1

P2

P3

P4

90°

90°

90°

90°

1

z3— (1

3 i ) z2

2

1 1

— (1

3 i ) — (

3 i )

2 2 1

— [(

3

3)(13) i ] 4

1 1

— (2

32 i )— (

3i )

4 2 Los afijos son:

P1(0, 1)

3 1

P2

—— ,—

2 2

3 1

P3

—— ,—

2 2

Los tres números complejos están sobre la circunfe-rencia unidad y son los vértices de un triángulo equi-látero; para pasar de cada uno al siguiente basta con efectuar un giro de 120°.

1

3

Por tanto, multiplicar por ——— i es equivalen-2 2

te a aplicar un giro positivo de 120° con centro en el origen de coordenadas.

–1 1

1 2 –

120°

120°

i P1

P2 i P3

EJERCICIOS Y PROBLEMAS(págs. 106 y 107) 42. a) 16:

16 16(1)

16 i 4i

1 1 1

b) —: —(1)

49 49 49 1 1 —i — i

49 7 16 16 16

c) —: —(1)

9 9 9 16 4 —i — i

9 3

d) 8:

 8 8 (1)

8i

43. Vamos a considerar el siguiente convenio cuando efectuemos operaciones con raíces:

Consideremos raíz positiva a la raíz que no esté afec-tada por un signo o a la que esté afecafec-tada por un sig-no positivo y consideraremos raíz negativa a la afecta-da por un signo negativo.

El motivo de este convenio es el siguiente:

Si permitiésemos que

x simbolizase las dos raíces

de x,

x

x, por ejemplo, tendría 4 posibles

resul-tados:

x(

x )0 ;

x(

x )2 (

x )

x(

x )2 (

x ) ;

x(

x )0















(14)

pues no hay ningún motivo que nos obligue a escoger las dos raíces del mismo signo, y que haga estos cua-tro posibles resultados es absurdo. De hecho, si per-mitiésemos que

x simbolizase a las dos raíces de x,

x no sería un número sino un conjunto:

x

{

x ,

x

}

y no tiene sentido hacer operaciones aritméticas con conjuntos.

a)

3

49

3

49

1

3 7 i

b)

9

9

9

9

133 i

c)

36

9

36

1

96 i3 36 i 25 25 5

d) 16 —

16

1————4 i 4

4 2

e) 3

3

13

i

9 9 3

f) 7 ——7 —

17— i 25 25 5

44. Parte real Parte imaginaria

2 2

a)

5— i:

5 —

3 3 1 1

b)3 i :3 4 4

i 1

c) —: 0 —

10 10 5 5

d) 1— i: 1 —

8 8

45. a) 3 ik es imaginario k0, pues la parte real de un número imaginario es 0.

b) Para que

2 k16 i sea real su parte real ha de ser 0.

1

2 Así

2 k10, por tanto k————.

2 2 5

c) 4 ki es imaginario

8

5 5 5

4 k0 ⇔ k ——— —

8 8 4 32

46. a) (k1) i6 real ⇔ k10 ⇔ k 1

k 3 k 3 k

b) — i—— i real ⇔ ——0 ⇔ k0 10 4 4

c) 10k i2 i10(k2) i es real

k20 ⇔ k 2

47. z1z2 ⇔ 35 i3(h2) i

5 i(h2) i ⇔ 5h2 ⇔ h7







48. z1z2 ⇔ 25 i3(1p ) i

Así, no existe ningún real p tal que 25 i3(1p) i,

puesto que 2 Re (z1)⬆Re (z2)3

49.

z

3 4 i

z

3 4 i

–z

3 4 i

3 2 i 3 2 i 3 2 i

6 i 6 i 6 i

10 10 10

1 5 i 1 5 i 1 5 i

50. a) z1 z2 ⇔ 2 pq i53 i

5

2 p5 y q 3 ⇔ p— y q 3 2

b) z1

_

z2 ⇔ 2 pq i 53 i

2 p 5 y q 3 ⇔ 5

p — y q 3 2

51. Sea zab i

z _z ⇔ (ab i )ab i

ab iab iaaa0

Por tanto, z ha de ser un número imaginario.

52. a) z1z2(25 i )(13 i )

(21)(53) i32 i

b) z1z3(25 i )(7i )

(27)(51) i94 i

c) z2z3(13 i )(7i )

(17)(31) i84 i

d) z1z2(25 i )(13 i )

(21)(53)i18 i

e) z1z3(25 i )(7i )

(27)(51) i 56 i

f) z2z3(13 i )(7i )

(17)(31) i 62 i

53. a) (z1z2) (z1z2)

[(62 i)(7i )] [(62 i)(7i )]

[(67)(21) i] [(67)(21) i] (13 i ) (13i )(133)(139) i

1638 i

b) (z1z2) z3[(62 i )(7i )] (44 i )

[(67)(21) i ] (44 i )

(15)

c) (z1z2z1z3)

(62 i ) (7 i )(62 i ) (44 i ) (62 i ) [(7 i )(44 i )]

Prop. distributiva

(62 i ) ((7 4)(14) i ) (62 i ) (3 5 i )

(1810)(306) i 2824 i

54. (5 2 i ) (a4 i )

(5 a8)(202 a ) i imaginario ⇔ 8

5 a80⇔a

5

55. (3 i ) (x2 i )y5 i

(3 x2)(6x ) iy5 i

3 x62yx 1

x 5 y3 (1)2 5

56. z _z(

32 i ) (

32 i ) (

3)222347

3 i2 3 i2 i 3 i22 i

57. a) ——————————

i i i 1

3 (1)2 i 32 i

2

3 i 2

3 i 2 i 4 i2

3

b) —————————————————

2 i 2 i 2 i 4

3

——i

2

3

2 i

3

2 i

3

2 i

c) ———————————————

3

2 i

3

2 i

3

2 i (32)2

6 i 12

6 i 1 2

6 ———————————————— i

32 5 5 5

58. zi , _z i

1 1 i

z1—— i , z i

i i i

Se tiene que_zz1 z i

59. a) (1i ) z11

1 1 1 i 1i

z1————————————

1i 1i 1i 2 1 i

— 2 2

b) zz11 (32 i ) z11

1

z1————

32 i

1 32 i 32 iz1———————————————

32 i 32 i 94 3 2

— i 13 13

123

123

c) zz11 ⇔ (2i ) z11

1 1 2i

z1————————————

2i 2i 2i

2i 2 1

z1———— — i

41 5 5

d) zz11 (23 i ) z11

1 23 iz1——————————

23 i 23 i 23 i 2 3 ⇔ z1————— — i

49 13 13

60. a) 52 x i 52 x i 32 i ————————————

32 i 32 i 32 i (154 x )(106 x ) i ————————————

94 154 x 106 x ———————— i

13 13 154 x 106 x

———————— i imaginario ⇔ 13 13

154 x 15

⇔ ————0 ⇔ 154 x 0 ⇔ x

13 4

b) 52 x i 154 x 106 x

————————————— i real ⇔ 32 i 13 13

106 x

⇔ ————0 ⇔ 106 x0 ⇔

13 10 5

x

6 3

z _z (42 i )(42 i ) 61. —————————————

z _z (42 i )(42 i )

(44)(22) i 4 i 1 ————————————— — i

(44)(22) i 8 2

z _z 1

Así ——— — i, por lo que es imaginario.

z _z 2

62. a) i0ii2i3i4i5i6i7

1i1i1i1i0

b) Se trata de una suma en la que los sumandos se

re-piten de 4 en 4, pues:

i0i4i8i12i16i20i24i28i321 i1i5i9i13i17i21i25i29i33i i2i6i10i14i18i22i26i30i34 1 i3i7i11i15i19i23i27i31 i

Así,

i0ii2i34

8(1i1i )i32i33i34

Figure

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Referencias

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