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Matem´aticas Avanzadas

para Ingenier´ıa: Funciones de

Variable Compleja

Departamento de Matem´aticas

Funci´on Ejercicios 1 Ejercicios 2 Mapeo

Ejercicios 3 Flu´ıdos

L´ımite Ejercicios 4 Continuidad

Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad

Ejercicios 7

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Funciones de Variable Compleja

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Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de

Variable Compleja

Ejercicios 7

Funci´on de variable compleja

Cuando el dominio de una funciónf es un conjunto de números complejos y cuando el codominio mismo es también el conjunto de números complejos diremos quef es una función de variable compleja o simplemente quef es unafunción compleja. Como la imagen de un elemento en el dominioz =x+y i es un número complejow =f(z), entonces w debe ser de la forma:

w =f(z) =u(x,y) +v(x,y)i

dondeu(x,y) es la parte real dew yv(x,y) es la parte imaginaria.

y v

z

w w =f(z)

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Variable Compleja

Funci´on

Ejercicios 1

Ejercicios 2 Mapeo

Ejercicios 7

Ejercicios

Escriba las siguientes funciones en la formaf(z) =u+v i:

• f(z) = 6z−5 + 9i

• f(z) = 7z−9i z −3 + 2i

• f(z) =z2−3z + 4i

• f(z) = 3z2+ 2z

• f(z) =z3₋₄_z

• f(z) =z+ 1/z

• f(z) =z4

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Variable Compleja

Funci´on

Ejercicios 1

Ejercicios 2 Mapeo

Gr´aficas de

f(z) = 6z −5 + 9i

Parte real Parte imaginaria

Argumento M´odulo

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Variable Compleja

Funci´on

Ejercicios 1

Ejercicios 2 Mapeo

Ejercicios 7

Gr´aficas de

f(z) =z2−3z + 4i

Argumento M´odulo

1

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Variable Compleja

Funci´on

Ejercicios 1

Ejercicios 2 Mapeo

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Variable Compleja

Funci´on Ejercicios 1

Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos

Ejercicios 7

Ejercicios

Evalue la funci´onf(z) en los valores dados.

• f(z) = 2x−y2_{+ (}_{x y}3₋₂_x2_{+ 1)}_i _en:

z1 = 2i,z2= 2−i yz3 = 5 + 3i

• f(z) = (x+ 1 + 1/x) + (4x2−2y2−4)i en:

z1 = 1 +i,z2 = 2−i yz3 = 1 + 4i

• f(z) = 4z+i z + Re(z) en:

z1 = 4−6i,z2 =−5 + 12i yz3 = 2−7i

• f(z) =excos(y) +exsen(y)i en:

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Variable Compleja

Funci´on Ejercicios 1

Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos

En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7

Transformaciones del plano complejo

Note que ante la imposibilidad de graficar enR4 no es posible graficar una función de variable compleja. Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo. Por ejemplo, para la función

w =f(z) =z2 = (x+y i)2 = (x2−y2) + 2x y i

Aqu´ıu(x,y) =x2₋_y2 _y_v₍_x_,_y_{) = 2}_{x y}_{. Ilustremos c´}_{omo se} mapea el segmento que va de (2,0) a (2,1), en rojo en la figura.

z=x+y i f(z) =u+v i

x y u v

2.000 0.000 4.000 0.000 2.000 0.100 3.990 0.400 2.000 0.200 3.960 0.800 2.000 0.300 3.910 1.200 2.000 0.400 3.840 1.600 2.000 0.500 3.750 2.000 2.000 0.600 3.640 2.400 2.000 0.700 3.510 2.800 2.000 0.800 3.360 3.200 2.000 0.900 3.190 3.600 2.000 1.000 3.000 4.000

x y

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Variable Compleja

Ejercicios 3

Flu´ıdos

Ejercicios

Para la funci´onf(z) =z2 encuentre la imagen de la l´ınea indicada:

• y = 2

• x =−3

• x = 0

• y = 0

• x =y

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7

Funci´on complejas como fluidos

Una función complejaw =f(z) se puede interpretar como un flujo de un flu´ıdo bidimensional considerando el número complejof(z) como un vector basado en el puntoz. A veces, será conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados. Por ejemplo, para la funciónw =f(z) =z2 generaremos el flujo graficando en cada puntoz = (x,y) el vector

(uesc,vesc) = ₂|1w|(u,v).

x y u v |w| uesc vesc

-1.0 -1.0 0.0 2.0 2.0 .000 .500

-1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 .500 .000

-1.0 1.0 0.0 -2.0 2.0 .000 -.500

-1.0 2.0 -3.0 -4.0 5.0 -.300 -.400

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.0 1.0 15.0 8.0 17.0 .441 .235

4.0 2.0 12.0 16.0 20.0 .300 .400

4.0 3.0 7.0 24.0 25.0 .140 .480

4.0 4.0 0.0 32.0 32.0 .000 .500

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Variable Compleja

L´ımite de una funci´on

Suponga quef(z) est´a definida en una vecindad de zo, excepto

posiblemente en el mismozo. Entonces se dice que f(z) posee

como l´ımiteLenzo, escrito como

lim

z→zof(z) =L

si para cada aproximaci´onaLexiste distanciaδ de cercan´ıa a

zo de manera que todo valor dez1 que est´e a una distancia de

zo menor queδ tendrá una evaluaciónf(z1) que cuya aproximación a Les menor que. En terminos matemáticos:

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Variable Compleja

Ejercicios 7

Propiedades del l´ımite de una funci´on

Suponga que las funcionesf(z) y g(z) est´an definidas en una vecindad dezo y ambas poseen l´ımite enzo y que

lim

z→zof(z) =L1 y limz→zog(z) =L2

entonces:

• lim

z→zo(f(z) +g(z)) =L1+L2

• lim

z→zo(f(z)·g(z)) =L1·L2

• Si L26= 0, lim

z→zo f(z)

g(z) =

L1

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Variable Compleja

L´ımite

Ejercicios 4

Continuidad

Ejercicios

Determine cada uno de los l´ımites siguientes o argumente en su caso porqu´e no existe.

• limz→i(4z3−5z2+ 4z+ 1−5i)

• limz→1−i 5z

2₋₂_z₊₂

z+1

• limz→i z

4₋₁

z−i

• limz→1+i z

2₋₂_z₊₂

z2₋₂_i

• limz→0 z_z

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Variable Compleja

L´ımite

Ejercicios 4

Continuidad

Ejercicios 7

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Variable Compleja

Continuidad en un punto

Se dice quela funci´onf(z) es continua en el punto zo si:

lim

z→zof(z) =f(zo)

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Variable Compleja

Ejercicios 7

Derivada de una funci´on en un punto

Sup´ongase quef(z) es una funci´on de variable compleja definida en la vecindad de un puntozo. Laderivada def(z) en

el puntoz =zo es

f0(zo) = lim

∆z→0

f(zo + ∆z)−f(zo)

∆z

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Variable Compleja

Derivada

Ejercicios 5

Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad

Ejercicios

Obtenga la f´ormula de la derivada de cada una de las siguientes funciones por medio de l´ımites.

• f(z) =z2

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Variable Compleja

Derivada

Ejercicios 5

Ejercicios 7

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Variable Compleja

Derivada

Ejercicios 5

Propiedades de la derivada

Las reglas de derivaci´on de funciones complejas son las mismas que las usadas en el c´alculo en variables reales:

• _dzd c = 0 y _dzdc ·f(z) =c ·f0(z)

• d

dz (f(z) +g(z)) =f

0₍_z_{) +}_g0₍_z₎

• _dzd (f(z)·g(z)) =f0(z)·g(z) +g0(z)·f(z)

• _dzd _gf(₍z_z)₎= g(z)·f0(₍z_g)−₍_z₎₎f(2z)·g0(z)

• _dzdf(g(z)) =f0(g(z))·g0(z)

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Variable Compleja

Derivada Ejercicios 5

Ejercicios 5

Ejercicios 6 Analiticidad

Ejercicios 7

Ejercicios

Por f´ormulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

• f(z) = 4z3−(3 +i)z2−5z+ 4

• f(z) = 5z3−i z3+ (8−i)z2−6i

• f(z) = (2z+ 1)(z2−4z+ 8i)

• f(z) = (z5+ 3i z3)(z4+i z3+ 2z2−6i z)

• f(z) = (z2−4i)3

• f(z) = (2z−1/z)6

• f(z) = 3z₂−4+8_z₊_i i

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Variable Compleja

Derivada Ejercicios 5

Ejercicios 5

Ejercicios 6 Analiticidad

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Variable Compleja

Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5

Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios

Determine en qu´e puntos no son derivables las siguientes funciones.

• f(z) = _z₋₃z _i

• f(z) = _z2₋₂2_zi₊₅_{i z}

• f(z) = z_z32+₊₄z

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Variable Compleja

Ejercicios 6

Gr´aficas de

f(z) = z

z−3i

Argumento M´odulo

Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden)

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Variable Compleja

Ejercicios 6

Gr´aficas de

f(z) = 2i

z2₋₂_z_{+ 5}_{i z}

Argumento M´odulo

Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden)

(26)

Variable Compleja

Ejercicios 6

Gr´aficas de

f(z) =z

3₊_z

z2_{+ 4}

Argumento M´odulo

1

(27)

Variable Compleja

Ejercicios 6

Gr´aficas de

f(z) = z−4 + 3i

z2₋₆_z _{+ 25}

Argumento M´odulo

1 1

(28)

Variable Compleja

Ejercicios 6

Analiticidad

En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos polinomios enz, donde no aparece el conjugado dez, ni su parte real suelta ni la parte imaginaria) la clave est´a en ver d´onde el

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Variable Compleja

Ejercicios 7

Analiticidad en un punto

Supóngase quef(z) es una función de variable compleja definida en la vecindad de un puntozo. La funciónf(z) se dice

anal´ıtica en el puntozo sif(z) es derivable enz =zo y adem´as

lo es en todo punto de una vecindad dezo.

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Variable Compleja

Ejercicios

• Argumente porqué la funciónf(z) =z no es derivable en ningún punto.