CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
1.- CONTINUIDAD
1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO
Decimos que f es continua en a si:
Lim f x
f a
x→a
( )
=
( )
Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:
) a ( f ) x ( f Lim º 3
) no pero , iguales ser
que tienen laterales límites
los ( ) x ( f Lim º
2
D a ) a ( f º 1
a x
a x
f
=
∞ ∃
∈ ∃
→ →
Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable
f
D
a∉ punto desplazado
Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito ∞
=
→ ( )
lim f x
a
x No∃limx→fa(x)
1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo
Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda
• Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas,
irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio.
• a
a
a
o el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición
o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los
intervalos de definición
EJERCICIOS:
a) Funciones racionales.
1.- Estudia la continuidad de:
2 x x 2 x x 2 x y 2 2 3 − − − + − = ; 2 x x x 2 x y 2 2 3 − − − =
b) Funciones a trozos.
2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =
> + − ≤ ≤ < 2 x si x 4 x 2 x 1 si 2 1 x si 2 2 x
y halla los límites cuando x→+∞ y x→−∞ de la función
3.- Estudia la continuidad y representa las funciones:
a) f(x) =
> + − ≤ ≤ − + − < + + 2 x si x 8 x 2 x 1 si 2 x 2 1 x si 1 x 2 x 2 2
b) f(x) =
≥ + + − < < ≤ 3 x si 2 x 3 x 3 x 0 si 1 0 x si e 2 x
4.-Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:
> − ≤ + = 2 x si x k 2 x si 1 x ) x ( f
5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:
a) f(x) =
= ≠ − − 1 x si k 1 x si 1 x 1 x4
b) f(x) =
6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua:
f(x)=
≥ + − < <
− ≤ +
3 x ; 4 x 2
3 x 1 ;
b
1 x ; ax x2
8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x→+∞ y
x→−∞ de la función
f(x) =
≤ −
< < +
<
x 1 si x 2 x
1 x 0 si 1 x
0 x si 1
2.- DERIVABILIDAD
2.1 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente incremental:
[ ]
a b
) a ( f ) b ( f b , a TVM
− − =
Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones.
a) f(x) = x2 b) f(x) = 3
x
c) f(x )=
2 1 −
x
2.2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un número que se representa por f ' (a), y que se define como:
a x
) a ( f ) x ( f Lim h
) a ( f ) h a ( f Lim ) a ( TVI ) a ( ' f
a x 0
h −
− =
− + =
=
→ →
Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f(x)=x2 en x = - 1
b) f(x)=3
x en x =0
c) f(x)=
2 1 −
x en x =3
2.3 DERIVADAS LATERALES
Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).
Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas).
En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no coinciden las semitangentes laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos angulosos de las funciones.
2.4 FUNCIÓN DERIVADA
Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x0∈(a,b)
Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace corresponder a cada punto x0∈(a,b) el número real f ' (x0)
2.5 REGLAS DE DERIVACIÓN
FUNCIÓN
FUNCIÓN DERIVADA
1.- y = f(x) + g(x) y' = f’(x) + g’(x) 2.- y = k · f(x) y' = k · f’(x)
3.- y = f(x) · g(x) y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
4.- y = ) x ( g
) x ( f
y' =
[ ]
2) x ( g
) x ( ' g )· x ( f ) x ( g )· x ( '
f −
5.- y = f
[ ]
g(x) y' = f'[ ]
g(x) ·g'(x)6.- y = k y' = 0
7.- y = x y' = 1
8.- y = xk y' = k · xk-1
9.- y = sinx y' = cosx
10.- y = cosx y' = -sinx
11.- y = tanx y' =1+ tan2x
y' = x cos
1 2
12.- y = ax y' = ax · lna
13.- y = ex y' =ex
14.- y = logax
y' = a ln
1 · x 1
15.- y = lnx
y' = x 1
16.- y = f (g(x) ) y' = f ' (g(x)) · g '(x) Regla de la cadena.
Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y = x5 b) y = 4
x 1
c) y = 5 x 3
d) y =3 7x2 e) y = 3x4 – 5x2 + 7x +1 f) y = x3 - 2x+ x 3
g) y = x2 · e-x h) y = (x3 – 5x) · lnx i) y = sinx · 53x+5
j) y = 3 x
3 x
2 2
+ −
k) y = 2
3
) 1 x (
x
+ l) y = 3 2
x 3 x
m) y = 7
5 x 4 x3 + −
n) y = x e
x ln
o) y = x 1
x 1
+ −
p) y = x cos
x sin
q) y = sin2x r) y = cos 5 3 2
2 2
x x
x
− +
s) y = sin2x t) y = sin x2 u) y = sin2 x2
v) y = 2 sinx cos x w) y = sin(sinx) x) y = cos 2x 3
1 3
y) y = sin2(cos7x) z) y = (2 3)7
x− aa) y = (3 5x2 −3)2
ab) y = 1 1 − +
cos cos x
x ac) y = ln(x
2
+3x+1) ad) y = ln(2x )+lnx2-(lnx)2
ae) y = ln x x +
2
af) y = e3x + 4x ag) y = 3sinx
ah) y = ln(cosx2) ai) y = ln cos2 x aj) y = e3x · cos(x2+1)
2.6 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD
Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias:
1) Si una función no es continua en x = a, entonces no es derivable en dicho punto. 2) Si f(x) es continua en x = a puede ser derivable en x = a o no derivable en x = a 3) Si f(x) es no derivable en x =a puede ser continua en x = a o no continua.
2.7 ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD
Distinguimos entre funciones simples y a trozos.
• SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales
logarítmicas, exponen-ciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional y= x es distinto, pues Dom= [0,+ ∞) y es derivable en (0, + ∞) Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada.
• A TROZOS. Se procede del siguiente modo:
1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición
2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio
3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición
EJERCICIOS
1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f(x) =
> +
≤ +
1 x , 2 x
1 x , 2 x2
en x =1 b) f(x) =
> −
≤ −
2 x , 3 x
2 x , x 3 2
2 en x
= 2
c) f(x) =
> −
≤ −
2 x , 8 x
2 x , x 3 2
2 en x = 2
2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:
a) f(x) =
≥ −
< −
2 x , 4 x 2
2 x , x 2 x2
b) f(x) =
> −
≤
−
0 x , x 1
0 x , e x
3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:
5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:
a. f(x) = | x - 1| b) f(x) = |x2- 4 | c) f(x) = |x – 3 | d) f(x) = |x2 – 2x |
e) f(x) = x2 +6x+8
6.- Sea la función: f(x) =
Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.
3.- APLICACIÓN DERIVADAS
3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS.
EJERCICIOS:
1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos cuya abscisa se indica:
a)
3 x
x 2 x y
2
+ −
= en x =3 b) y =
2 x
x 16 x 7 x
5 3 2
− − +
en x = 1
c) y = x+12 en x = -3 d) y = e-x en x = 0
e) y = Ln(x +1) en x = 0 f) y = x lnx en x = e
2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x3 + x2 + 2, paralelas a la bisec-triz del 1er y 3er cuadrante.
3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante.
4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = 1 x
x 2
− , paralela a la recta 2x + y = 0.
3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA
• Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0.
• Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.
EJERCICIOS:
1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5,
b) f(x) = –3x4 + 4x3
c) f(x) =
x 2 x
x 3 8
2 − −
3.3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS
Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0∈A (A⊂D) si f(x0)≥f(x) ∀x∈A [f(x0)≤f(x) ∀x∈A]
Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0∈A (A⊂D) cuando ∃E(x0) tal que
f(x0)≥f(x) ∀x∈ E(x0) ( f(x0)≤f(x) ∀x∈E(x0) )
3.4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN
Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar extremos en:
•Los Puntos Interiores
→
(absolutos o relativos)•Los Extremos del Intervalo (Absolutos)
a x b
o x1 x2 x3
3.4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES
Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x) = 0. En ellos la recta tangente es horizontal
• Si una función alcanza un Máximo en un punto c∈(a,b) en el que es
derivable, se cumple:
- f´(c) = 0
- creciente a la izquierda de x = c, decreciente a la derecha de x = c Derivables
No Derivables
• Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es
derivable, se cumple:
- f´(c) = 0
- decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c
EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones:
a) y = x3 – 3x2 – 9x + 5. b) y = –3x4 + 4x3
c) f(x) =
x 2 x
x 3 8
2 − −
3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS
Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]:
1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior
2º.- se calcula f(a) y f(b)
3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.
EJERCICIOS:
1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 - x - 9 en el intervalo [0,3].
2.- Dada la función f(x) = ax + b +
x 8
calcula a y b de modo que f pase por el punto
(-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.
3.- Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2)
4.- De la función f(x) =mx3+ nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y =0.
a) Halla m y n.
b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
5.- De la función f(x) = x2+ ax + b se sabe que:
- Tiene un mínimo en x =2.
- Su gráfica pasa por el punto (2, 2).
3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicios de selectividad.
3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
EJERCICIOS:
1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que: · Dominio: ℜ−
{ }
0 · Corta a OX en x = 1 · Asíntota horizontal y = 0si x→+∞, y<0 si x→−∞, y>0 · Asíntota vertical x = 0
si x→0−, y→+∞
si x→0+, y→+∞ · Mínimo en (2, -1)
b)Di donde crece y donde decrece.
2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que:
( )− −
→ 3=+∞ x
) x ( f
lim y
( )− +
→ 3=−∞ x
) x ( f
lim
> −∞
→
< +∞
→ =
±∞
→ si x , f(x) 1
1 ) x ( f , x
si 1
) x ( f lim
x
No tiene puntos singulares y es creciente.
3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información: D = ℜ−
{ }
1,4−
→1=+∞ x
) x ( f
lim y
+
→1=−∞ x
) x ( f
lim
−
→4=−∞ x
) x ( f
lim y
+
→4=+∞ x
) x ( f
lim
< −∞
→
> +∞
→ =
±∞
→ si x , f(x) 0
0 ) x ( f , x
si 0
) x ( f lim
x
f’(2) = 0; f(2) = -1
f´(-1) = 0; f(-1) = -1
4.- Dibuja la gráfica de una función cuyas características son las siguientes:
∞ − → =−∞
x ) x ( f
lim y
∞ + → =+∞
x ) x ( f
lim
f´(x) = 0 si x = -2, x = 0, x = 3, x = 4 f(-2) = 2 ; f(0) = 0; f(3) = 5; f(4) = 4
5.- Dibuja la gráfica de una función que cumple las siguientes propiedades:
∞ − → =−∞
x ) x ( f
lim ;
∞ + → =−
x
3 ) x ( f
lim ;
5 x
) x ( f lim
−
→ =−∞
f(-8) = -2 ; f(0) = 0 es el único punto donde la función se anula.
f´(-8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f(x)<0 para todo x positivo.
La función es continua en toda la recta real, excepto en los puntos x = -5 y x = 0.
6.- Representación gráfica de las funciones: a ) f(x) = 3x5 – 5x3.
b) f(x) = x3- 3x2 – 9x –5
c) f(x) = 3 x 3
2 x 2
− +
d) f(x) =
(
)
21 x
x −
e) f(x) =
(
)
1 x2 x
2 2