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CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

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Academic year: 2019

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(1)

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1.- CONTINUIDAD

1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO

Decimos que f es continua en a si:

Lim f x

f a

x→a

( )

=

( )

Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:

) a ( f ) x ( f Lim º 3

) no pero , iguales ser

que tienen laterales límites

los ( ) x ( f Lim º

2

D a ) a ( f º 1

a x

a x

f

=

∞ ∃

∈ ∃

→ →

Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable

f

D

apunto desplazado

Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito ∞

=

→ ( )

lim f x

a

x No∃limxfa(x)

1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO

Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo

Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda

Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas,

irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio.

• a

a

a

(2)

o el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición

o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los

intervalos de definición

EJERCICIOS:

a) Funciones racionales.

1.- Estudia la continuidad de:

2 x x 2 x x 2 x y 2 2 3 − − − + − = ; 2 x x x 2 x y 2 2 3 − − − =

b) Funciones a trozos.

2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =

     > + − ≤ ≤ < 2 x si x 4 x 2 x 1 si 2 1 x si 2 2 x

y halla los límites cuando x→+∞ y x→−∞ de la función

3.- Estudia la continuidad y representa las funciones:

a) f(x) =

     > + − ≤ ≤ − + − < + + 2 x si x 8 x 2 x 1 si 2 x 2 1 x si 1 x 2 x 2 2

b) f(x) =

     ≥ + + − < < ≤ 3 x si 2 x 3 x 3 x 0 si 1 0 x si e 2 x

4.-Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:

   > − ≤ + = 2 x si x k 2 x si 1 x ) x ( f

5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:

a) f(x) =

      = ≠ − − 1 x si k 1 x si 1 x 1 x4

b) f(x) =

(3)

6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:

7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua:

f(x)=

    

≥ + − < <

− ≤ +

3 x ; 4 x 2

3 x 1 ;

b

1 x ; ax x2

8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x→+∞ y

x→−∞ de la función

f(x) =

    

≤ −

< < +

<

x 1 si x 2 x

1 x 0 si 1 x

0 x si 1

(4)

2.- DERIVABILIDAD

2.1 TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente incremental:

[ ]

a b

) a ( f ) b ( f b , a TVM

− − =

Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones.

a) f(x) = x2 b) f(x) = 3

x

c) f(x )=

2 1 −

x

2.2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un número que se representa por f ' (a), y que se define como:

a x

) a ( f ) x ( f Lim h

) a ( f ) h a ( f Lim ) a ( TVI ) a ( ' f

a x 0

h −

− =

− + =

=

→ →

Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) f(x)=x2 en x = - 1

b) f(x)=3

x en x =0

c) f(x)=

2 1 −

x en x =3

2.3 DERIVADAS LATERALES

Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).

Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas).

En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no coinciden las semitangentes laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos angulosos de las funciones.

(5)

2.4 FUNCIÓN DERIVADA

Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x0∈(a,b)

Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace corresponder a cada punto x0∈(a,b) el número real f ' (x0)

2.5 REGLAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN

FUNCIÓN DERIVADA

1.- y = f(x) + g(x) y' = f’(x) + g’(x) 2.- y = k · f(x) y' = k · f’(x)

3.- y = f(x) · g(x) y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

4.- y = ) x ( g

) x ( f

y' =

[ ]

2

) x ( g

) x ( ' g )· x ( f ) x ( g )· x ( '

f −

5.- y = f

[ ]

g(x) y' = f'

[ ]

g(x) ·g'(x)

6.- y = k y' = 0

7.- y = x y' = 1

8.- y = xk y' = k · xk-1

9.- y = sinx y' = cosx

10.- y = cosx y' = -sinx

11.- y = tanx y' =1+ tan2x

y' = x cos

1 2

12.- y = ax y' = ax · lna

13.- y = ex y' =ex

14.- y = logax

y' = a ln

1 · x 1

15.- y = lnx

y' = x 1

16.- y = f (g(x) ) y' = f ' (g(x)) · g '(x) Regla de la cadena.

Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones:

a) y = x5 b) y = 4

x 1

c) y = 5 x 3

d) y =3 7x2 e) y = 3x4 – 5x2 + 7x +1 f) y = x3 - 2x+ x 3

g) y = x2 · e-x h) y = (x3 – 5x) · lnx i) y = sinx · 53x+5

j) y = 3 x

3 x

2 2

+ −

k) y = 2

3

) 1 x (

x

+ l) y = 3 2

x 3 x

(6)

m) y = 7

5 x 4 x3 + −

n) y = x e

x ln

o) y = x 1

x 1

+ −

p) y = x cos

x sin

q) y = sin2x r) y = cos 5 3 2

2 2

x x

x

− +

s) y = sin2x t) y = sin x2 u) y = sin2 x2

v) y = 2 sinx cos x w) y = sin(sinx) x) y = cos 2x 3

1 3

y) y = sin2(cos7x) z) y = (2 3)7

x− aa) y = (3 5x2 −3)2

ab) y = 1 1 − +

cos cos x

x ac) y = ln(x

2

+3x+1) ad) y = ln(2x )+lnx2-(lnx)2

ae) y = ln x x +

   

 

2

af) y = e3x + 4x ag) y = 3sinx

ah) y = ln(cosx2) ai) y = ln cos2 x aj) y = e3x · cos(x2+1)

2.6 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD

Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias:

1) Si una función no es continua en x = a, entonces no es derivable en dicho punto. 2) Si f(x) es continua en x = a puede ser derivable en x = a o no derivable en x = a 3) Si f(x) es no derivable en x =a puede ser continua en x = a o no continua.

2.7 ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD

Distinguimos entre funciones simples y a trozos.

• SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales

logarítmicas, exponen-ciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional y= x es distinto, pues Dom= [0,+ ) y es derivable en (0, + ) Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada.

• A TROZOS. Se procede del siguiente modo:

1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición

2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio

3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición

(7)

EJERCICIOS

1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) f(x) =

  

> +

≤ +

1 x , 2 x

1 x , 2 x2

en x =1 b) f(x) =

  

> −

≤ −

2 x , 3 x

2 x , x 3 2

2 en x

= 2

c) f(x) =

  

> −

≤ −

2 x , 8 x

2 x , x 3 2

2 en x = 2

2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:

a) f(x) =

  

≥ −

< −

2 x , 4 x 2

2 x , x 2 x2

b) f(x) =

  

> −

0 x , x 1

0 x , e x

3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:

4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:

5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas:

a. f(x) = | x - 1| b) f(x) = |x2- 4 | c) f(x) = |x – 3 | d) f(x) = |x2 – 2x |

e) f(x) = x2 +6x+8

6.- Sea la función: f(x) =

Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.

(8)

3.- APLICACIÓN DERIVADAS

3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS.

EJERCICIOS:

1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos cuya abscisa se indica:

a)

3 x

x 2 x y

2

+ −

= en x =3 b) y =

2 x

x 16 x 7 x

5 3 2

− − +

en x = 1

c) y = x+12 en x = -3 d) y = e-x en x = 0

e) y = Ln(x +1) en x = 0 f) y = x lnx en x = e

2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x3 + x2 + 2, paralelas a la bisec-triz del 1er y 3er cuadrante.

3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante.

4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = 1 x

x 2

− , paralela a la recta 2x + y = 0.

3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA

• Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0.

• Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.

EJERCICIOS:

1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5,

b) f(x) = –3x4 + 4x3

c) f(x) =

x 2 x

x 3 8

2 − −

(9)

3.3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS

Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0∈A (A⊂D) si f(x0)≥f(x) ∀x∈A [f(x0)≤f(x) ∀x∈A]

Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0∈A (A⊂D) cuando ∃E(x0) tal que

f(x0)≥f(x) ∀x∈ E(x0) ( f(x0)≤f(x) ∀x∈E(x0) )

3.4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN

Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar extremos en:

•Los Puntos Interiores

(absolutos o relativos)

•Los Extremos del Intervalo (Absolutos)

a x b

o x1 x2 x3

3.4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES

Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x) = 0. En ellos la recta tangente es horizontal

• Si una función alcanza un Máximo en un punto c∈(a,b) en el que es

derivable, se cumple:

- f´(c) = 0

- creciente a la izquierda de x = c, decreciente a la derecha de x = c Derivables

No Derivables

(10)

• Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es

derivable, se cumple:

- f´(c) = 0

- decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c

EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones:

a) y = x3 – 3x2 – 9x + 5. b) y = –3x4 + 4x3

c) f(x) =

x 2 x

x 3 8

2 − −

3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS

Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]:

1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior

2º.- se calcula f(a) y f(b)

3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.

EJERCICIOS:

1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 - x - 9 en el intervalo [0,3].

2.- Dada la función f(x) = ax + b +

x 8

calcula a y b de modo que f pase por el punto

(-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.

3.- Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2)

4.- De la función f(x) =mx3+ nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y =0.

a) Halla m y n.

b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

5.- De la función f(x) = x2+ ax + b se sabe que:

- Tiene un mínimo en x =2.

- Su gráfica pasa por el punto (2, 2).

(11)

3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Ejercicios de selectividad.

3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

EJERCICIOS:

1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que: · Dominio: ℜ−

{ }

0 · Corta a OX en x = 1 · Asíntota horizontal y = 0

si x→+∞, y<0 si x→−∞, y>0 · Asíntota vertical x = 0

si x→0−, y→+∞

si x→0+, y→+∞ · Mínimo en (2, -1)

b)Di donde crece y donde decrece.

2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que:

( )

→ 3=+∞ x

) x ( f

lim y

( ) +

→ 3=−∞ x

) x ( f

lim

  

> −∞

< +∞

→ =

±∞

→ si x , f(x) 1

1 ) x ( f , x

si 1

) x ( f lim

x

No tiene puntos singulares y es creciente.

3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información: D = ℜ−

{ }

1,4

→1=+∞ x

) x ( f

lim y

+

→1=−∞ x

) x ( f

lim

→4=−∞ x

) x ( f

lim y

+

→4=+∞ x

) x ( f

lim

  

< −∞

> +∞

→ =

±∞

→ si x , f(x) 0

0 ) x ( f , x

si 0

) x ( f lim

x

f’(2) = 0; f(2) = -1

f´(-1) = 0; f(-1) = -1

(12)

4.- Dibuja la gráfica de una función cuyas características son las siguientes:

∞ − → =−∞

x ) x ( f

lim y

∞ + → =+∞

x ) x ( f

lim

f´(x) = 0 si x = -2, x = 0, x = 3, x = 4 f(-2) = 2 ; f(0) = 0; f(3) = 5; f(4) = 4

5.- Dibuja la gráfica de una función que cumple las siguientes propiedades:

∞ − → =−∞

x ) x ( f

lim ;

∞ + → =−

x

3 ) x ( f

lim ;

5 x

) x ( f lim

→ =−∞

f(-8) = -2 ; f(0) = 0 es el único punto donde la función se anula.

f´(-8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f(x)<0 para todo x positivo.

La función es continua en toda la recta real, excepto en los puntos x = -5 y x = 0.

6.- Representación gráfica de las funciones: a ) f(x) = 3x5 – 5x3.

b) f(x) = x3- 3x2 – 9x –5

c) f(x) = 3 x 3

2 x 2

− +

d) f(x) =

(

)

2

1 x

x −

e) f(x) =

(

)

1 x

2 x

2 2

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