MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 Determina un intervalo en el cual se encuentra el valor de la integral: ∫

MODELO DE RESPUESTAS

OBJ 1 PTA 1 Determina un intervalo en el cual se encuentra el valor de la integral:

∫

12

x 2_{e dx.}

x 2

Solución: La función f(x) = x2ex2 es monótona creciente en el intervalo [1, 2]

puesto que _{f ('x)=2xe}x2

(

_1+x2

)

_{≥ 0 para todo x∈[1,2]. ¡Verifícalo!}

Entonces f es acotada ya que f(1) ≤ f(x) ≤ f(2) para todo x ∈ [1 , 2], es decir,

4 x 2_{e 4e}

x

e≤ ≤ para todo x ∈[1, 2], luego f es integrable en dicho intervalo y el valor de la integral dada está en el intervalo [ e , 4e4] ( el intervalo tiene longitud 1).

OBJ 2 PTA 2 Determina una función continua f y un número real a tal que

x 4 3 x dt ) t (

f 2

x

a

− + =

∫

para todo número real x.

Solución: Supongamos que f es continua, entonces aplicando el primer teorema fundamental del cálculo resulta:

4 3 x

x x

4 3 x dx

d dt ) t ( f dx

d ) x ( f

2 2

x

a

− + =

   



 _{+ −} =

   

 

=

∫

. Luego 4

3 x

x )

x ( f

2 ₊ −

=

Determinemos el valor de a:

Si G(x) = xf(t)dt x2 3 4x

a = + −

∫

entonces G(a) = af(t)dt 0

a =

∫

= a2₊3₋4a _{, de} donde a2+3 =4a ⇒ a2 + 3 = 16 a2 ⇒ 15 a2 = 3 ⇒

5 1 a 5

1

a2 = ⇒ =±

Así que

5 1

a= ¿Por qué el valor de a no puede ser 5 1

− ?

OBJ 3 PTA 3 Calcula el valor de la integral dx x

x arctg

1 2

∫

+∞ .

Solución: Integral impropia en un intervalo infinito (página 93 del libro Matemática III de Ingeniería):

x d x

x arctg

1 2

∫

+∞ = →+∞

∫

M

1 2

M _x dx

x arctg

lím

Calculemos la integral

∫

M

1 2

x d x

x arctg

aplicando el método de integración por

partes:

Tomemos u = arctg x y dv = dx x

1

2

du = dx x 1

1

2

+ v = x 1 − Entonces,

(

)

∫

∫

 + +    ₋ = M 1 2 M 1 M 1 2 x d x 1 x 1 x x arctg x d x x arctg

Calculemos

∫

₍

₎

+ M 1 2 x d x 1 x 1

expresando el integrando como suma de fracciones

simples:

( )

2 2

x 1 C x B x A x 1 x 1 + + + = +

1 = A(1 + x2 ) + B x2 + C x

1 = A + (A+B) x2 + C x de donde A = 1 , C = 0 y B = − 1 ¡Verifícalo!

Luego,

( )

_{2 2}

x 1 x x 1 x 1 x 1 + − = +

(

)

∫

∫

∫

∫

_ = − ₊      + − = + M 1 2 M 1 M 1 2 M 1 2 x d x 1 x x d x 1 dx x 1 x x 1 x d x 1 x 1

(

+

)

= − −

(

+

( )

)

+

(

+

( )

)

= −

= 2 2

M 1 2 M 1 1 1 Ln 2 1 M 1 Ln 2 1 1 Ln M Ln x 1 Ln 2 1 x Ln

(

)

( )

Ln 2

M 1 M Ln 2 Ln 2 1 M 1 Ln 2 1 M Ln 2 2 ₊         + = + + − = Entonces,

(

)

2 Ln M M 1 Ln 4 ) M ( arctg 2 Ln M 1 M Ln ) 1 ( arctg ) M ( arctg x d x 1 x 1 x x arctg x d x x arctg 2 2 M 1 2 M 1 M 1 2 +         ₊ + π + = = +         + + + = = + +      ₋ =

∫

∫

Ahora tomando el límite cuando M →+∞

Por lo tanto Ln 2 4

3 x d x

x arctg

1 2 +

π =

∫

+∞ converge

OBJ 4 PTA 4Demuestra que la serie

∑

+∞

=

α

−

1 n

e

n n converge para cualquier α > 0

Solución: Verifiquemos si se cumplen las condiciones del criterio de la integral ( ver página 334 del libro Cálculo II de la UNA):

1) La serie dada es una serie de términos positivos ya que para cada n>1

0 e

n −αn> _{(¡verifícalo!),}

2) La función f(x) =_xe−αx _{es monótona decreciente en el intervalo [1, +∞), puesto} que f '(x) = _e−αx _{−α xe}−αx_=e−αx_{(1−αx) < 0 para todo x en el intervalo [ 1, +∞)}

y α > 0

3) f es no negativa (¿por qué?). 4) f(n) = an para todo n. (¡Verifícalo!).

Entonces, por el criterio de la integral (ver página 334 del libro Cálculo II de la

UNA), la serie

∑

+∞

=

α

−

1 n

e

n n y la integral impropia xe dx

1

x

∫

+∞ −α _{convergen o}

divergen simultáneamente.

Veamos si xe dx

1

x

∫

+∞ −α _{converge o diverge:}

dx e x

1

x

∫

+∞ −α _{= =Ι}

∫

−α +∞

→ xe dx

lim b

1

x

b , apliquemos el método de integración por

partes ( ver páginas 117 y 118 del libro Cálculo II de la UNA):

Haciendo u =x ; du = dx; dv =_e−αx _{dx; v =}

α

−e−αx , entonces

    

  

   α

−    α − =

    

  

α +    α − =

Ι −α −α

+∞ → α

− α

− +∞

→

∫

b

1 x 2 b

1 x

b b

1 x b

1 x

b e

1 xe

lim dx

e 1 xe

lim

     

α + α +

   

 

α −

   

 

α −

=    

 

α + α − α + α −

= −α

α +∞

→ α

+∞ → α

− α − α − α −

+∞

→ 2 2 b b b 2 b 2

b b

b

1 e

e 1 lim e

b lim e

e e be

lim

Ahora, el _

  

 

α α +∞

→ b

b _e

b

lim presenta una indeterminación de la forma

∞ ∞ _,

apliquemos la regla de L’Hôpital: 0

e 1 lim

e b lim

b 2 b

b b

H ' L

=    

 

α =

   

 

α α _→+∞ α +∞

y por lo tanto, el otro límite 0 e

1 lim

b 2

b _=

 

 

α α +∞

→

Así que, como _

    

α + α = −α ∞

+ α −

∫

₁ 2

x_{dx e} 1

e

x converge para cualquier α > 0 entonces la serie también converge.

OBJ 5 PTA 5 Determina si la serie

∑

∞ =

+

+ −

1 n

1 n

1 n

n )

1

( es absolutamente

convergente, condicionalmente convergente o divergente.

Solución:

Veamos si la serie dada converge absolutamente:

∑

∑

∞

= ∞

=

+

+ =

+ −

1 n 1

n

1 n

1 n

n 1

n n )

1

( . Comparemos esta serie con la serie

∑

∞

=1

n n

1

que es divergente por el criterio de la integral (ver pg. 334 del libro Cálculo II de la UNA).

Apliquemos el criterio de comparación en el límite ( ver teorema 20, pg.332 del libro Cálculo II de la UNA):

Como

∑

∞

=1 +

n n 1

n

y

∑

∞

=1

n n

1

son series de términos positivos y como

1 1 n

n lím

n 11 n

n

lím

n

n _=

   

+ =

    

 

    

 

+

∞ → ∞

→ , entonces la serie

∑

∞

=1 +

n n 1

n

también diverge.

Por lo tanto la serie

∑

∞

=

+

+ −

1 n

1 n

1 n

n )

1

( no converge absolutamente.

Veamos si la serie alternada

∑

∞

=

+

+ −

1 n

1 n

1 n

n )

1

( converge:

Por la Regla de Leibnitz (ver pg. 356 del libro Cálculo II de la UNA) se tiene que

0

n 1 1

n 1

lím

n 1 1

n n

lím 1

n n lím a

lím

n 2

n n

n

n =

   

 

   

 

+ =

   

 

   

 

+ =

     

+ =

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

→ y

n 1

n a

1 n

n 2

n 1 n

a =

+ < +

+ =

+ de donde (n+1) n+1 <(n+2) n

(n+1)3 <n(n+2)2 ¿Por qué?

⇓

n2 + n − 1 > 0 , para todo n ∈Ζ+

Luego, la sucesión

∞

=

   

 

+1 _{n 1} n

n

es monótona decreciente.

Por lo tanto la serie

∑

∞

=

+

+ −

1 n

1 n

1 n

n )

1

( , converge condicionalmente.