UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA.
“
Niveles de pensamiento geométrico de estudiantes de
ingeniería: área y perímetro
”
Tesis
Que para obtener el grado de Maestra en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica
P R E S E N T A
Sandra Esteban Gómez
Dirigido por:
Dr. Fernando Barrera Mora Dr. Aarón Reyes Rodríguez
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AGRADECIMIENTOS
A Dios por permitir cada una de las cosas sucedidas y experiencias vividas, en él lo que tengo y lo que soy….
A mis padres Joel Esteban y Sofía Gómez por la vida, por el esfuerzo, los sacrificios, las oraciones y ensenarme a vivir, a levantarme después de cada caída por más dolorosa que sea y sobre todo por siempre mirar hacia adelante…
A Ernesto Ángeles por ser el mejor compañero de vida que pude encontrar…
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RESUMEN
El estudio de la geometría en lo general desarrolla en los estudiantes de cualquier nivel la capacidad de describir formas, analizar y medir atributos como el área y perímetro de figuras geométricas, siendo estas ideas geométricas importantes para interpretar y entender conceptos de otras ramas de las matemáticas. Esta investigación inicia como respuesta a la poca literatura en nuestro país referente a geometría y en específico en relación a pensamiento geométrico con base en los niveles de van Hiele; recordando que estos niveles son independientes de la edad o el nivel educativo de los estudiantes y más bien responden al tipo de problemas y experiencias a las que han sido expuestos durante su desarrollo académico.
La investigación es de tipo cualitativa puesto que el interés radica en observar la forma de abordar los problemas propuestos más que en si son resueltos asertivamente, teniendo por objetivo caracterizar los niveles de van Hiele estudiantes de segundo cuatrimestre de ingeniería Metal Mecánica de la Universidad Tecnológica de la Sierra Hidalguense; a quienes se aplicó una prueba escrita la cual contestarían individualmente, posteriormente se realizan entrevistas individuales en las cuales se pretende conocer la forma de abordar cada uno de los problemas propuestos, las sesiones son video-grabadas con el objetivo de no perder detalle de los procesos y poder revisar repetidamente dicho material pudiendo analizar de manera minuciosa las respuestas antes de hacer conclusiones pertinentes; después de las grabaciones todos los videos son transcritos para poder trabajar con la información de manera detallada y se pueda hacer referencia de manera precisa. Cabe mencionar que antes de realizar la prueba con los estudiantes de ingeniería se aplicó una prueba piloto con alumnos de diferentes niveles educativos con el objetivo de establecer algunos parámetros que utilizarían en la prueba definitiva.
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escritos se encuentra la evidencia, con este cuadro se comienza el análisis de los resultados que se presentan en dos parte, en la primera se buscan semejanzas y diferencias en las respuestas de los estudiantes; es decir se busca identificar aspectos generales mostrados por los participantes para cada uno de los niveles de van Hiele y en la segunda parte se pretende identificar el máximo nivel de van Hiele que posee cada uno de los participantes de manera particular.
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ABSTRACT
The study of the geometry in general develops in the students of whatever level the capacity to describe forms, to analyze and to measure attributes as the area and perimeter of figures, being these geometric ideas important to interpret and to understand concepts from other branches of mathematics. This research start as an answer to the few literature in our country related to geometry and in specific to the relation in a geometric thinking based in the levels of van Hiele; remaining that those levels are independent to the age of the educative level of the students moreover they answer to the kind of problems and experiences which they have been exposed during their academic development.
The research is a kind of qualitative research for the interest is based in to observe the way to confront the exposed problems, they are solved in a acertative way, taking as objective to characterize the levels of the van Hiele students from second quarter of engineering of Metal Mechanics from the Universidad Tecnológica de la Sierra Hidalguense; whose apply a written test which they answer individually, after that they are done individual interviews which they are pretended to know the way to solve each one of the proposed problems, the sections are recorded videos with the objective to not lose detail of the process and to review repeatly to the material being able to analyze the answers before to make conclusions; after to record all the videos are transcribed to be able to work with the information I a detail way and to make reference in a presicious way. It is important to mention that before to make a proof with the engineering it was applied a pilot exam to the students from different educative levels with the objective to establish some pattorns to be used in the final proof.
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students; it aims to identify the general aspects show bay the participants for each level of van Hiele and in the second part it is pretended to identify the maximum level of van Hiele which possess each of the participants in a particular way.
At the end of the analisis it is concluded that the engineering students whose applied the proof are in 1 level of van Hiele: Analsis and they are moving from level 1 to level 2
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ÍNDICE
DOCUMENTACIÓN ... iii
AGRADECIMIENTOS ... iv
RESUMEN... v
ABSTRACT ... vii
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ... 1
1.1. Antecedentes ... 1
1.2. Revisión de la literatura ... 4
1.3. Problema de investigación ... 8
1.3.1 Objetivo General ... 9
1.3.2 Objetivos específicos ... 9
1.4. Preguntas de investigación. ... 10
2. MARCO CONCEPTUAL ... 11
2.1. Introducción ... 11
2.2. Modelo de van Hiele ... 11
2.3. Aprendizaje con entendimiento ... 18
3. METODOLOGÍA ... 23
3.1. Introducción ... 23
3.2 Prueba preliminar ... 24
3.2.1 Participantes ... 24
3.2.2 Instrumentos de recolección de la información. ... 25
3.2.3 Las Tareas y el procedimiento de implementación ... 26
3.2.3.1 Estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas. Justificación de resultados geométricos básicos ... 26
3.2.3.2 Estudiantes de maestría. Conjeturar el Teorema de Pick ... 27
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3.2.4. Procedimiento de análisis de la información ... 30
3.3 Prueba con alumnos de Ingeniería Metal Mecánica ... 32
3.3.1 Participantes: ... 32
3.3.2 Instrumentos de recolección de la información. ... 33
3.3.3 Las Tareas y el procedimiento de implementación ... 33
3.3.3.1 Estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica. Tareas centradas en los diferentes aspectos que incluyen los Niveles de van Hiele. ... 33
3.3.4. Procedimiento de análisis de la información ... 39
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS ... 41
4.1 Análisis de resultados de la prueba preliminar (Diagnóstico) ... 41
4.2 Análisis de resultados de la prueba a estudiantes de Ingeniería ... 52
5. CONCLUSIONES ... 63
REFERENCIAS ... 71
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1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Antecedentes
Los conceptos geométricos en general, y los de área y perímetro en particular, constituyen una fuente importante de información para la investigación en educación matemática (Papadópoulos y Dagdilelis, 2009) debido a que aportan elementos básicos para analizar la idea de medida, concepto que ha unificado ideas relevantes en diversas áreas de matemáticas, incluyendo la probabilidad. Por esa razón, su entendimiento es fundamental para el aprendizaje de otros conceptos matemáticos tales como el de integral. En el campo de las matemáticas escolares, la idea de área se puede utilizar como un recurso para que los estudiantes den sentido geométrico a las operaciones de suma y producto, lo que les permitirá entender relaciones tales como , o el importantísimo Teorema de Pitágoras. Además, los conceptos de área y perímetro tienen diversas aplicaciones en actividades de la vida diaria, por ejemplo al pintar una casa, al colocar pasto en el jardín o al adoquinar un patio (Cavanagh, 2008).
Sin embargo, a pesar de la relevancia de ambos conceptos, se ha documentado que estudiantes de todos los niveles educativos poseen ideas erróneas o dificultades de compresión conceptual. Existe evidencia de que estudiantes en los Estados Unidos, de grados 5 a 8 (quinto grado de primaria a segundo de secundaria), confunden los conceptos de área y perímetro (Kidman y Cooper, 1997); por ejemplo, cuando a un estudiante se le pregunta cuál es el lado de un cuadrado de área conocida, generalmente responde que se obtiene “dividiendo el área por cuatro” (Camacho-Machín, 1985, p. 25). Además, un número significativo de estudiantes no son capaces de formarse imágenes mentales cuando resuelven problemas de áreas o perímetros, dependen de fórmulas memorizadas y utilizan de forma incorrecta unidades lineales para expresar áreas de figuras (Tierney, Boyd y Davis, 1990).
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Cuando se pregunta a un estudiante qué es el área, en muchos casos contestará recordando una fórmula para calcularla, por ejemplo “base por altura”.
Por otra parte, es un hecho que profesores de educación básica poseen únicamente conocimientos fácticos, es decir conocen hechos y procedimientos, más que un entendimiento conceptual de las ideas de perímetro y área (Menon, 1998). La investigación también ha mostrado que los profesores, al igual que los estudiantes, confunden estos dos conceptos (Baturo y Nason, 1996; Tierney, Boyd, y Davis, 1990). Otro factor que podría influir en estos problemas de aprendizaje de los estudiantes es que algunos profesores, a pesar de contar con un conocimiento disciplinar apropiado, carecen de medios para diseñar escenarios de instrucción que favorezcan un entendimiento de las ideas matemáticas (Yeo, 2008).
Propuestas curriculares de carácter internacional como los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000) consideran que la geometría representa el contexto idóneo para que los estudiantes desarrollen habilidades de razonamiento y justificación; el estudio de la geometría es importante porque las representaciones geométricas pueden ayudar a dar sentido a diversos conceptos matemáticos. La geometría es un medio para describir, analizar y entender el mundo y ver la belleza de las estructuras del espacio que nos rodea. Las ideas geométricas son útiles para entender conceptos de otras ramas de las matemáticas; por ejemplo, la simetría puede ser útil en el estudio de las propiedades de funciones, tales como función par o impar. También pueden ser útiles en las artes, en el diseño gráfico o en las ciencias naturales ya que la simetría de algunas moléculas orgánicas es clave para su clasificación (Gutsche y Pasto, 1979). Comprender las propiedades de los objetos geométricos es de gran utilidad para identificar relaciones trigonométricas, y entender teoremas geométricos, los cuales proporcionan recursos a los estudiantes para resolver problemas matemáticos o físicos.
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sistemas coordenados y el manejo de transformaciones tales como rotaciones, reflexiones y traslaciones, los cuales permiten implementar múltiples enfoques al resolver problemas y favorecen el establecimiento de conexiones entre representaciones y entre contextos, tanto de las matemáticas como de otras disciplinas. En algunos casos puede ser útil pensar acerca de las propiedades de un objeto desde la perspectiva de la geometría euclidiana; mientras que en otras circunstancias, el uso de coordenadas o un enfoque basado en transformaciones puede aportar mayores ventajas para resolver un problema o desarrollar comprensión conceptual y fluidez procedimental. Esta capacidad de utilizar diferentes representaciones es parte de la actividad cognitiva que deben desarrollar los estudiantes durante el proceso de construcción de un pensamiento geométrico.
En el ámbito del aprendizaje de la geometría, el uso de distintas herramientas entre las que se destacan los manipulables físicos, virtuales1 y Sistemas de Geometría Dinámica (SGD) como Geogebra, puede ser útil para que los estudiantes experimenten, visualicen relaciones y justifiquen resultados. La utilización de diversas herramientas para abordar actividades con alta demanda cognitiva (Stein y Smith, 1997) son el medio para que los estudiantes desarrollen una comprensión conceptual, ya que el uso de las diferentes herramientas no solamente facilita procesos mentales, sino que moldean y transforman profundamente estos procesos (Jones, 2000).
Dado que el desarrollo de un pensamiento geométrico es importante como parte de la formación de los estudiantes, y que la compresión y el manejo de conceptos geométricos es útil para dar significado a ideas de diversas ramas de las matemáticas (por ejemplo, cálculo), así como de otras disciplinas (economía, finanzas, física, química), resulta relevante analizar los niveles de compresión geométrica con los que cuentan estudiantes de bachillerato o licenciatura. Para llevar a cabo este análisis se hará uso de actividades cuyo eje principal son las ideas de área, perímetro y conceptos relacionados, como triángulo, rectángulo, trapecio, cuadrilátero, polígono, triángulo rectángulo, perpendicularidad,
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semejanza, altura, teorema de Pitágoras, estimación, justificación, conjetura, contraejemplo, entre otras.
1.2. Revisión de la literatura
La revisión de la literatura abarca tres tipos de investigaciones: (1) aquellas en las que se analizan los niveles de pensamiento geométrico que desarrollan estudiantes con base en el modelo de van Hiele, (2) investigaciones que abordan las dificultades de compresión conceptual del área y el perímetro y (3) trabajos que analizan el papel de herramientas computacionales, particularmente el uso de manipulables virtuales en la compresión de los conceptos de área y perímetro.
El modelo de van Hiele ha sido ampliamente utilizado en la investigación en educación matemática. Este modelo establece que el aprendizaje de la geometría plana se desarrolla a través de diversos niveles de pensamiento y razonamiento, los cuales no dependen de la edad de los estudiantes sino más bien del tipo de actividades de instrucción a las que ellos se enfrentan. El logro de los diferentes niveles se ve influenciado por aspectos tales como el lenguaje yel significado delos contenidos, es decir, la correspondencia de las actividades y el aprendizaje potencial que se pretende lograr con el tipo de razonamiento que los estudiantes son capaces de llevar a cabo.
Algunas investigaciones han medido las habilidades geométricas de los estudiantes como función de los niveles de van Hiele (Usiskin, 1982), mientras que otros han estudiado el efecto de la instrucción sobre el nivel de van Hiele predominante en los estudiantes (Fuys, Geddes y Tischler, 1995) o se ha intentado determinar los niveles de van Hiele que poseen los estudiantes para diversas figuras geométricas (Wu y Ma, 2006) o durante la escritura de demostraciones (Senk, 1989).
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Hiele para intentar comprender los niveles de pensamiento geométrico desarrollados por los estudiantes durante el aprendizaje de la geometría de los sólidos (Guillén-Soler, 2004).
En lo que respecta a la investigación sobre área y perímetro, se han analizado las dificultades de comprensión de estos conceptos con distintos niveles de profundidad y desde diferentes perspectivas. Algunos trabajos han centrado la atención en el problema de la confusión entre el área y el perímetro (Clements y Stephan, 2004; Kidman, 1999), así como el hecho de que estas dificultades de comprensión persisten incluso en la edad adulta (Baturo y Nason, 1996).
Entre las principales dificultades al aplicar las fórmulas para calcular áreas de triángulos o cuadriláteros se ha identificado que los estudiantes no pueden determinar la altura de las figuras, ya que tienden a confundir a ésta con uno de los lados (Cavanagh, 2008) (Figura 1.1 y 1.2). En el caso de los triángulos, esta confusión puede deberse a que los ejemplos prototípicos que se presentan a los estudiantes durante la instrucción escolar, principalmente en el nivel primaria, corresponden a triángulos rectángulos con lados verticales u horizontales, en los cuales, si se considera como base a uno de los catetos, la altura corresponde al otro cateto.
Figura 1.1. Los estudiantes calculan el área del paralelogramo como , es decir consideran que
la altura mide 4 cm.
Figura 1.2. Los estudiantes calculan el área del triángulo como , es decir consideran que la altura
mide 3 cm.
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Por otra parte, se ha detectado que para calcular el área de un triángulo los estudiantes eligen un lado como base pero la altura no corresponde a ese lado (Figura 1.3), o confunden la altura con la mediana (Gutiérrez y Jaime, 1999).
Figura 1.3. La fórmula del área se aplica considerando a la longitud AB como base y a la longitud AD como altura.
También se ha identificado que los estudiantes usan las mismas fórmulas tanto para el cálculo de áreas como de perímetros, justificando que la diferencia radica en que al área se le asignan unidades cuadradas (cm2 o m2), mientras que al perímetro se le asignan unidades lineales (cm o m).
Algunas otras líneas de investigación se han enfocado en comprender cómo el desarrollo de habilidades de estimación de áreas puede ser de utilidad en la construcción de conexiones matemáticas (Papadopoulos, 2010). En lo que se refiere al uso del software dinámico en el aprendizaje de los conceptos de área y perímetro Kordaki y Balomenou (2006) mencionan que esta herramienta resultó de utilidad para que estudiantes entre 12 y 15 años identificaran que hay triángulos con igual área que tienen diferente perímetro y viceversa, mientras que Papadopoulos y Dagdilelis (2009) se han enfocado en comprender el papel de las herramientas computacionales en el proceso de compresión conceptual del área y el perímetro. Otros trabajos proponen algunas medidas para evitar la confusión entre área y perímetro en el nivel primaria, entre las que se encuentra el utilizar, por ejemplo, mallas rectangulares durante el cálculo de áreas (Mulligan, Prescott, Mitchelmore y Outhred, 2005).
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secundaria, con la finalidad de determinar si ellos consideraban que existen diferencias entre la forma en que cada una puede apoyar el desarrollo de entendimiento conceptual de las fracciones. Los resultados indican que los estudiantes para profesor identificaron que los manipulativos virtuales mostraron diversas ventajas para el desarrollo de un entendimiento conceptual, sin embargo resaltaron las ventajas que ofrece usar ambos tipos de manipulativos (físicos y virtuales). En esta misma línea de ideas Durmus y Karakirik (2006) consideran que los manipulativos virtuales pueden ofrecer un ambiente que favorece la formulación y resolución de problemas, así como la construcción de conexiones y relaciones ya que estas herramientas ofrecen retroalimentación inmediata a los estudiantes. Referente al uso del geoplano2 para el aprendizaje de las matemáticas, se considera que es un artefacto que puede apoyar la exploración y el desarrollo de una actitud inquisitiva en los estudiantes de matemáticas (Harkin, 1975, Verdugo, Briseño y Palmas, 2000) y que su uso puede ayudar a que los estudiantes comprendan los conceptos de área y perímetro, ya que al trabajar con esta herramienta se puede prescindir en cierta medida del uso de fórmulas (Hirstein, 1981). Sin embargo, algunos autores mencionan que no es suficiente el uso de esta herramientas para el desarrollo del entendimiento de estos conceptos, sugieren abordar ambos temas al mismo tiempo para que los estudiantes los distingan y analicen sus características comunes, por ejemplo al observar que puede haber figuras con el mismo perímetro y diferente área o viceversa (Camacho-Machín, 1985). Por otra parte, existen pocos trabajos de investigación que aborden el uso del geoplano como herramienta en el aprendizaje de las matemáticas (Scandrett, 2008), siendo esta información aún más escasa si nos restringimos a la literatura especializada escrita en idioma español.
Entre los trabajos que analizan el papel del geoplano en el aprendizaje de las matemáticas, Verdugo, Briseño, Vázquez y Palmas (2000) consideran que con base en esta herramienta se pueden desarrollar actividades de cálculo de áreas por diversos métodos. Ellos discuten ideas relacionadas con el descubrimiento y demostración de la fórmula de Pick3, mediante una aproximación didáctica basada en la resolución de problemas, en la que se promueve el
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El geoplano es un recurso didáctico que fue inventado por Caleb Gattegno, consta de una superficie plana con una malla o cuadrícula en cuyos vértices se disponen clavos o “estacas” que se utilizan para sostener ligas, con las que se formar figuras geométricas.
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que los estudiantes experimenten, utilicen diversas heurísticas de resolución de problemas, formulen conjeturas, las justifiquen o refuten y formalicen sus ideas; todo ello encaminado a la adquisición de una compresión conceptual. En una línea de ideas similar, Cass, Cates, Smith y Jackson (2003) discuten el efecto de esta herramienta en la adquisición de habilidades de resolución de problemas en el cálculo de perímetros y áreas, enfocándose a estudiantes adolescentes con deficiencias de aprendizaje (learning disabilities).
1.3. Problema de investigación
Con base en la revisión de la literatura, se observa la necesidad de realizar investigación sobre los niveles de pensamiento geométrico desarrollado por estudiantes de los diferentes niveles del sistema educativo en México; debido a la escasez de literatura respecto al tema y porque la geometría es un área a la que se le presta poca atención en el país y que, sin embargo, constituye una herramienta valiosa que puede apoyar la compresión de conceptos e ideas de otras ramas de las matemáticas como cálculo diferencial e integral y de otras disciplinas como la física o la química.
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mediante el uso del botón “Measures”, el cual calcula el área y perímetro de la figura seleccionada (Figura 1.4). Por otra parte, la literatura en la que se analizan los niveles de van Hiele en los que se ubican estudiantes y profesores, han utilizado actividades basadas en ambientes de papel y lápiz, por lo que resulta pertinente determinar si existen diferencias en los niveles que logran los estudiantes cuando las actividades se llevan a cabo en un ambiente tecnológico.
Figura 1.4. Figuras geométricas que difieren de los ejemplos estándar utilizados en ambientes de papel y
lápiz.
Figura 1.5. El área del cuadrilátero sombreado se puede calcular restando al área de la cuadrícula, el
área de triángulos y rectángulos.
1.3.1 Objetivo General
Caracterizar los niveles de pensamiento geométrico de estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica, particularmente el grado de compresión que poseen de los conceptos de área y perímetro, con base en el modelo de van Hiele y mediante actividades que hacen uso de papel y lápiz.
1.3.2 Objetivos específicos
1. Identificar el nivel de pensamiento geométrico de estudiantes de grupos piloto con base en el modelo de van Hiele.
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3. Determinar el nivel de entendimiento de los conceptos de área y perímetro desarrollado por estudiantes de ingeniería metal mecánica, a partir de la caracterización de aprendizaje con entendimiento elaborada por Hieber et al (1997).
1.4. Preguntas de investigación.
1. ¿Cuáles son los niveles de pensamiento geométrico que muestran estudiantes de prueba preliminar, al abordar actividades sobre áreas y perímetros?
El contar con una caracterización de estos niveles de pensamiento geométrico puede ser de utilidad para conocer algunas de las causas por las cuales algunos estudiantes de diferentes niveles educativos no pueden entender conceptos relacionado al área y perímetro, además de que los resultados ayudarán a establecer el tipo de actividades que se plantearán a los estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica.
2. ¿Cuáles son los niveles de pensamiento geométrico que muestran estudiantes de ingeniería, al abordar actividades sobre áreas y perímetros?
Con esta pregunta se pretende determinar cuál es el nivel de desarrollo que los estudiantes han adquirido en la educación escolarizada. El contar con una caracterización de estos niveles de pensamiento geométrico puede ser de utilidad para conocer algunas de las causas por las cuales algunos estudiantes no pueden entender conceptos que se abordan en asignaturas como cálculo diferencial e integral, en las que se hace uso sistemático de herramientas geométricas.
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2. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Introducción
El marco conceptual utilizado en este trabajo se estructura en torno a los niveles de pensamiento geométrico de van Hiele (Fuys, Geddes y Tischler, 1995), y el constructo4 de
aprendizaje con entendimiento (Hiebert et al., 1997).
El utilizar estas aproximaciones teóricas para integrar el marco de la investigación resulta útil en nuestro intento por conocer el grado de compresión de conceptos geométricos que han adquirido los estudiantes de bachillerato y licenciatura a lo largo de la educación formal. Este conocimiento puede ser de utilidad durante el diseño de tareas de instrucción a partir de las cuales se pueda apoyar a los estudiantes para superar diversas dificultades de comprensión conceptual que se han identificado en la literatura, las cuales muchas veces no les permiten a los estudiantes comprender conceptos de cálculo, física o química.
La elección del modelo del van Hiele de razonamiento geométrico y del constructo de aprendizaje con entendimiento es consistente, ya que en ambas perspectivas se considera que el aprendizaje de los estudiantes se lleva a cabo mediante el trabajo que desarrollan a partir de tareas que les permiten llevar a cabo procesos de razonamiento y la construcción de formas matemáticas de pensar.
2.2. Modelo de van Hiele
El modelo de van Hiele se ha utilizado para analizar el proceso de aprendizaje de la geometría plana; particularmente para explicar por qué los estudiantes tienen dificultades para desarrollar procesos cognitivos del alto nivel, como la demostración en geometría. Este modelo consta de dos componentes principales, la primera de ellas es una descripción de los diferentes tipos de razonamiento que desarrollan los estudiantes, los cuales van desde el razonamiento intuitivo al razonamiento formal y abstracto.
4El término constructo según la Real Academia Española es la construcción teórica para resolver un problema
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La segunda componente consiste en una descripción de cómo un profesor puede diseñar escenarios de instrucción para que los estudiantes alcancen un nivel de razonamiento superior al que poseen en un momento dado (Guillén-Soler, 2004). En relación con el punto anterior, van Hiele señala que “el logro de un nuevo nivel no puede llevarse a cabo a través de la enseñanza [de hechos y procedimientos], pero aun así, mediante una elección adecuada de problemas, el profesor puede crear un escenario favorable para que el estudiante alcance un nivel más alto de pensamiento” (p. 39). En este enunciado, implícitamente se expresa que la compresión de los estudiantes será mayor entre más diverso y amplio sea al tipo de tareas a las que se enfrentan durante el proceso de instrucción. En este trabajo se centrará la atención en el análisis de los niveles de razonamiento que muestran estudiantes de licenciatura al abordar tareas que involucran el cálculo de áreas y perímetros.
Una hipótesis en la que se basa esta aproximación teórica es que los estudiantes tienen estos problemas de compresión porque en las clases de matemáticas los profesores suponen que ya poseen cierto nivel de desarrollo que les permitirá entender conceptos determinados y, sin embargo, la realidad es que el nivel de desarrollo de los estudiantes es inferior al requerido (Usiskin, 1982).
En el modelo de van Hiele, los niveles de pensamiento geométrico por los que transitan los estudiantes son progresivos y jerarquizados, esto significa que no se puede alcanzar un nivel superior si no se ha completado el nivel previo (Fuys, Geddes y Tischler, 1995). Es decir, para entender geometría, un estudiante debe transitar por todos los niveles en el orden establecido. El que un estudiante se ubique en un determinado nivel implica que tiene un dominio de los procesos de razonamiento que caracterizan a ese nivel (Gutiérrez y Jaime, 1998).
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representaciones de los objetos se identifican, comparan y operan con base en su apariencia física mediante descripciones visuales.
Los estudiantes identifican a un rectángulo porque “parece una puerta” o la “tapa de una caja” (van Hiele, 1999), pero no porque tiene dos pares de lados paralelos y cuatro ángulos rectos. Además, los estudiantes son capaces de distinguir, mediante la visualización, por ejemplo, entre un cuadrado y un rectángulo, además de poder reproducir figuras conocidas con papel y lápiz o en el geoplano (Crowley, 1987).
En algunos casos los estudiantes utilizan terminología geométrica, pero los términos utilizados tienen más un referente visual que conceptual. Al describir un rectángulo los estudiantes pueden utilizar la palabra “perpendicular” para un lado, sin embargo el término se utiliza con el significado de “vertical”. Los estudiantes son capaces de identificar algunas propiedades o características simples de las figuras, tales como el número de lados, sin embargo no pueden utilizar definiciones geométricas, sino que describen los atributos físicos de los dibujos que observan (“es redondo”, “es más largo que ancho”) (Gutiérrez y Jaime, 1998).
Nivel 1: Análisis. Los estudiantes razonan acerca de los objetos geométricos mediante la identificación de sus componentes y atributos. Las figuras se conciben en términos de los elementos que caracterizan a los integrantes de una clase, por ejemplo si se menciona a los estudiantes que una figura tiene cuatro ángulos rectos, serán capaces de identificarla como un rectángulo aunque el dibujo se haya hecho sin mucha precisión.
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Figura 2.1. Observaciones que pueden realizar estudiantes que se encuentran en el nivel 1 del modelo de van Hiele.
Lo anterior quiere decir que los estudiantes no entienden la estructura lógica de las definiciones como conjuntos de propiedades necesarias y suficientes que caracterizan a un objeto geométrico. Cuando se les pide que expresen una definición, la cual no han memorizado, generalmente enlistarán una lista de propiedades del objeto sin ser conscientes de la redundancia de algunas propiedades (un cuadrado es un polígono que tiene cuatro lados iguales, dos pares de lados paralelos, sus ángulos miden 90°, sus diagonales son iguales y perpendiculares) o elaborarán una lista en la que no se incluyen algunas propiedades necesarias que el estudiante utiliza implícitamente (un cuadrado es un polígono que tiene cuatro lados iguales) (Gutiérrez y Jaime, 1998).
En este nivel los estudiantes únicamente pueden llevar a cabo clasificaciones exclusivas, por ejemplo, son capaces de determinar que los rectángulos no son cuadrados, pero no necesariamente identificarán a un cuadrado como un rectángulo o como un rombo, o a un rectángulo como un paralelogramo. Es decir, no pueden identificar que una misma figura puede pertenecer a varias clases generales y poseer varios nombres.
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matemáticos tales como justificar por qué un cuadrado es un rectángulo o por qué la suma de los ángulos en cualquier triángulo es igual a 180°. En este nivel el significado intrínseco de la deducción, es decir, el papel de los axiomas, definiciones y teoremas no se comprende completamente (van Hiele, 1999).
Nivel 3: Deducción Formal. Los estudiantes prueban teoremas deductivamente y establecen interrelaciones entre redes de teoremas. Entienden la necesidad de justificar deductivamente resultados matemáticos o proposiciones, con base en un sistema axiomático. El estudiante es capaz de demostrar un resultado de diferentes formas.
Nivel 4: Rigor. Los estudiantes establecen teoremas en diferentes sistemas axiomáticos y analizan o comparan esos sistemas. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y comparar. El estudiante es capaz de realizar deducciones abstractas. El razonamiento geométrico en este nivel es bastante abstracto y no necesariamente involucra el uso de modelos pictóricos o concretos. En este nivel los postulados o axiomas son objeto de análisis y escrutinio.
Los niveles anteriores se caracterizan por las diferencias en los objetos de pensamiento que son el centro de su atención. Por ejemplo, en el nivel 0 los objetos de pensamientos son figuras geométricas. En el nivel 1 el estudiante opera sobre ciertas clases de figuras y descubre propiedades en esas clases. En el nivel 2 las propiedades son el objeto sobre el cual los estudiantes actúan obteniendo ordenamientos lógicos de las mismas. En el nivel 3 las relaciones ordenadas son el objeto que los estudiantes operan y en el nivel 4 los objetos de pensamiento son los fundamentos de esas relaciones de ordenamiento (Fuys, Geddes y Tischler, 1995). Además, los niveles cuentan con cinco propiedades (Usiskin, 1982).
Propiedad 1. (Secuencia fija) Un estudiante no puede estar en el nivel n de van Hiele, si no ha pasado por el nivel n-1.
Propiedad 2. (Adyacencia) En cada nivel de pensamiento lo que era intrínseco en el nivel anterior se vuelve extrínseco en el nivel actual.
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Propiedad 4. (Separación) Dos personas que razonan en diferentes niveles no pueden entenderse entre sí.
Propiedad 5. (Logro) El proceso de aprendizaje que lleva a un entendimiento completo, es decir, al siguiente nivel más alto, se compone de cinco fases:
Fase 1: Información o indagación. El estudiante se familiariza con el dominio de trabajo. En esta fase el profesor y los estudiantes se involucran en una discusión acerca de los objetos de interés en este nivel. Se realizan observaciones, se generan preguntas y se introduce vocabulario específico. Algunas de las preguntas que puede formular el profesor son ¿qué es un paralelogramo? ¿Qué es un cuadrado? ¿Qué es un rectángulo? ¿Qué tienen en común las figuras anteriores? ¿En qué son diferentes? ¿Es posible que un rectángulo sea un paralelogramo o que un paralelogramo sea un rectángulo? Los objetivos de las actividades anteriores es que el profesor determine cuáles son los conocimientos que el estudiante posee y que el estudiante perciba cuál es el rumbo que tomará la instrucción (Crowley, 1987).
Fase 2: Orientación guiada. Los estudiantes exploran un tema de estudio a través de actividades propuestas por el profesor. Mediante el desarrollo de estas actividades los estudiantes llevarán a cabo procesos del pensamiento matemático relevantes para cada nivel. La actividad del profesor consiste en formular preguntas que tengan una respuesta concreta, pero de forma que la búsqueda de la misma favorezca la reflexión y la comunicación de ideas. Por ejemplo, el profesor puede pedir a los estudiantes que construyan en el geoplano un rombo con diagonales iguales, un rombo con diagonales diferentes; que construya rombos con cuatro, tres, dos y un ángulos rectos; o que construya un cuadrado de área 2.
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Fase 4: Orientación libre. El estudiante aprende, mediante la ejecución de tareas que tienen diferentes soluciones o son de respuesta abierta. Mediante la actividad matemática que desarrollan los estudiantes se promueve la construcción de redes complejas de relaciones entre conceptos y procesos matemáticos relevantes para cada nivel. Las tareas permiten al estudiante explorar, formular conjeturas y justificar relaciones, en esta fase las conexiones y relaciones entre los objetos matemáticos empiezan a ser explícitas para los estudiantes. Un ejemplo de las tareas que se pueden utilizar durante esta fase es: encontrar una fórmula para calcular el área de un polígono construido en el geoplano, a partir del número de vértices en la frontera y en el interior del polígono, o una actividad un poco más simple: encontrar el área de un polígono sin vértices en su interior, a partir del número de vértices que constituyen la frontera del polígono (Figura 2.2).
Figura 2.2.
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Un hecho importante que hay que resaltar es que el tránsito de un nivel al siguiente no es un proceso inmediato, más bien requiere de tiempo y experiencias de instrucción apropiadas para que el estudiante desarrolle cada una de las fases que comprende ese tránsito entre niveles. Si un profesor trata de enseñar a un estudiante los procesos y habilidades relevantes de un nivel, sin que el estudiante haya dominado los procesos de los niveles previos, el estudiante no entenderá al profesor (propiedad 4) por lo que únicamente se conseguirá un aprendizaje memorístico.
2.3. Aprendizaje con entendimiento
Comúnmente se menciona que uno de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas es que los estudiantes entiendan conceptos o ideas matemáticas porque las cosas aprendidas con entendimiento se pueden usar de forma flexible, adaptarse a nuevas situaciones y utilizarse para aprender cosas nuevas. Pero, ¿qué es el entendimiento? ¿Qué significa entender algo? De acuerdo con Hiebert et al. (1997) el entendimiento es algo complejo, que se presenta en diferentes niveles, es algo que está cambiando y evolucionando continuamente.
Existen diversas conceptualizaciones de lo que es el entendimiento, por ejemplo Skemp (1976) identifica dos tipos de entendimiento, el relacional y el instrumental. Para este autor el entendimiento relacional consiste en “conocer lo que hacemos y por qué lo hacemos” mientras que el entendimiento instrumental consiste en aplicar “reglas sin un razonamiento”. Davis (1992), por otra parte, considera que el entendimiento se logra cuando uno es capaz de integrar una nueva idea dentro de una estructura de ideas que se posee de forma previa, a la cual denomina marco de ideas.
Por otra parte, Barmby et al. (2007), apoyados en las ideas de Skemp, Nickerson, Hiebert y Carpenter y de Sierpinska, consideran que entender en matemáticas consiste en establecer conexiones entre representaciones de un concepto matemático y que el entendimiento es la red resultante de representaciones asociadas con ese concepto matemático.
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función de la cantidad de conexiones o relaciones que una persona sea capaz de establecer. Un profesor entiende el sentimiento de ansiedad de un estudiantes ante los exámenes si puede relacionar esa ansiedad con otras cosas acerca de ese estudiante, por ejemplo los malos resultados obtenidos en un examen anterior a pesar de haber estudiado, la presión de sus padres para que obtenga buenas notas o la falta de habilidad para responder rápidamente a este tipo de pruebas.
Un estudiante de bachillerato tiene un nivel de entendimiento “aceptable” del concepto de función si puede transitar entre representaciones numérica, algebraica o gráfica y conectar cada una de esas representaciones; si es capaz de ver a una función desde diferentes puntos de vista (como regla de correspondencia, como el resultado de aplicar una operación o procedimiento o como un subconjunto del producto cartesiano), si puede modelar problemas sencillos en el lenguaje de las funciones (llenado de volúmenes o movimiento rectilíneo uniforme) y si puede explicar cómo se pueden utilizar las funciones para resolver problemas en contextos fuera de las matemáticas.
Al considerar el entendimiento en términos de relaciones o conexiones, surgen de forma natural diversas preguntas:
¿Cómo construye un estudiante relaciones entre conceptos o ideas?
¿Cuáles relaciones son relevantes o significativas?
¿Cómo podemos determinar el nivel de entendimiento de un concepto matemático?
De acuerdo con Hiebert et al. (1997), para entender el proceso de construcción de relaciones o conexiones significativos es importante considerar los procesos de reflexión y comunicación. La reflexión consiste en pensar de forma consciente acerca de nuestras experiencias. Significa pensar en las cosas desde diferentes puntos de vista, analizar repetidamente las cosas, pensar acerca de las cosas que uno hace y por qué se hacen. Este proceso de reflexión seguramente se traducirá en la construcción de nuevas relaciones y consecuentemente en un incremento de nuestro nivel de entendimiento.
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el proceso de comunicación permite clarificar y fortalecer nuestro proceso de pensamiento con las ideas y formas de pensar de otras personas. La reflexión junto con la comunicación favorece la construcción de relaciones.
En la Figura 2.3 se muestra un gráfico donde se puede visualizar cómo los niveles de pensamiento geométrico de van Hiele apoyan y se integran al aprendizaje con entendimiento.
Niveles de pensamiento geométrico
Nivel 0.
Visualización
Nivel 1.
Análisis
Nivel 2.
Clasificación
Nivel 3.
Deducción
Nivel 4. Rigor
En
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Figura 2.3. Aprendizaje con entendimiento y pensamiento geométrico.
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pocas conexiones o que relaciona el concepto de rectángulo con pocas cosas que conoce; sin embargo este entendimiento puede mejorarse; por un lado, van Hiele propone cinco fases con las que un profesor puede ayudar a un estudiante a transitar de un nivel a otro mediante situaciones de aprendizaje enfocadas a dicho fin, mismas con las que se pretende encuentren nuevas relaciones o nuevas cosas con que relacionar los conceptos que en un principio pudieron estar aislados, con ello se puede decir que al tener un mayor nivel de pensamiento geométrico habrá un mayor número de conexiones, lo que se traduce en que también hay un mayor nivel de entendimiento de los conceptos geométricos, pero en el proceso en sí se complementan, porque no habría ese tránsito de un nivel de van Hiele a otro si en las actividades propuestas no estuviera presente la reflexión y comunicación; de hecho se sugiere en la fase dos: Orientación dirigida, que el profesor debe proponer actividades concretas para que los alumnos descubran, comprendan y apliquen los nuevos conceptos, además en la fase tres: Explicación, se menciona la importancia que tiene la interacción entre los estudiantes ayudándoles a ordenar sus propias ideas, analizarlas y además expresarlas de tal manera que sus compañeros de clase puedan comprenderlas, en ambas fases se promueve totalmente la comunicación pero además hace hincapié en el uso correcto del lenguaje.
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3. METODOLOGÍA
3.1. Introducción
El trabajo de investigación tiene un soporte cualitativo, ya que se busca realizar un análisis y clasificación de los niveles de entendimiento que presentan los alumnos en la interpretación y el aprendizaje del pensamiento geométrico. La investigación cualitativa se enfoca en procesos significados y la naturaleza socialmente constituida de la realidad y proporciona un entendimiento del fenómeno que se estudia (Teppo, 1998).
Las investigaciones que han utilizado como marco conceptual el modelo de van Hiele, han seguido diferentes aproximaciones metodológicas. Por ejemplo Usiskin (1982) diseñó una prueba de opción múltiple, en la cual cada pregunta intentaba evaluar un nivel específico de razonamiento geométrico. Las preguntas se calificaron como correctas o incorrectas y se asignó a un estudiante a un nivel a partir del número de respuestas correctas en cada nivel particular. Por otra parte, Burger y Shaughnessy (1986) utilizaron entrevistas clínicas basadas en un conjunto de problemas y diálogos semiestructurados. Para cada problema se analizaron las respuestas de los estudiantes y se asignó un nivel de van Hiele a partir de ese análisis y finalmente se asignó un nivel global a cada uno de los estudiantes.
Las entrevistas clínicas son el método más apropiado para evaluar el nivel de van Hiele en el que se encuentran los estudiantes, ya que aporta mayor información acerca de las formas de razonamiento que utilizan los estudiantes, pero tienen la desventaja de requerir de bastante tiempo para su implementación, por lo que no es factible cuando se tienen que evaluar grupos numerosos. Por otro lado, las pruebas de opción múltiple son más apropiadas ya que se pueden aplicar fácilmente a una cantidad grande de estudiantes, pero no permiten identificar aspectos relevantes del razonamiento utilizado por los estudiantes para obtener una respuesta.
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con base en ésta se pueda identificar el respectivo nivel de razonamiento. Una característica de esta prueba es que las preguntas no se asignan de forma previa a un nivel de razonamiento como lo hace Usiskin (1982), sino que cada pregunta se asocia a un rango de niveles en función del tipo de proceso que evalúa.
A continuación se describe la metodología utilizada en el presente trabajo separándolo en dos partes principales; como primera parte, una prueba preliminar realizada con el objetivo de identificar las principales dificultades de comprensión de los conceptos de área y perímetro en distintos niveles educativos. La información de la prueba preliminar fue de utilidad para determinar el tipo de preguntas que se integraron en el instrumento de evaluación que se aplicó a un grupo de estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica.
3.2 Prueba preliminar
3.2.1 Participantes
La obtención de datos se llevó a cabo con estudiantes de diferentes niveles y programas educativos; esto con la finalidad de obtener un diagnóstico general de los máximos niveles de van Hiele en los cuales se debían ubicar estudiantes universitarios, e identificar las principales dificultades que muestran los participantes respecto de la compresión de los conceptos de área y perímetro. El análisis preliminar permitió identificar aquellos aspectos en los que se debería poner especial atención en cuanto a la comprensión de los conceptos de área y perímetro. Por ejemplo se detectaron dificultades para identificar las alturas de algunos triángulos, la centración en el uso de fórmulas para calcular áreas y perímetros, así como un uso limitado del principio de aditividad del área.
Los participantes se eligieron de forma que fuera posible obtener datos específicos de cada uno de los niveles de pensamiento geométrico, hasta el Nivel 3 que se refiere a la deducción formal de resultados geométricos.
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grupo se llevaron a cabo en las últimas semanas del semestre académico, después de que habían abordado algunas ideas de geometría euclidiana durante dos semanas. En este trabajo se analiza únicamente las actividades llevadas a cabo por tres de los estudiantes, de quienes se cuenta con un video en el que explican el procedimiento que utilizaron para justificar resultados geométricos básicos que implicaron el uso de los conceptos de área y perímetro; los códigos con los que se identificaran en los párrafos siguientes son: LM1, LM2, LM3 y LM4.
Grupo 2. Está conformado por estudiantes de primer semestre de la maestría en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica que se imparte también en el Área Académica de Matemáticas y Física del Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería en la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, quienes a su vez son profesores de matemáticas en activo. La recolección de la información se llevó a cabo durante un curso de resolución de problemas, en el cual se revisaron aspectos relacionados con el aprendizaje con entendimiento. Las actividades se implementaron con un grupo de siete personas, seis mujeres y un hombre. El trabajo y las opiniones de solo cuatro participantes de este grupo fueron relevantes en el marco de los objetivos de este trabajo de investigación. Los estudiantes de este grupo se identificaron mediante los siguientes códigos: MC1, MC2, MC3 y MC4.
Finalmente, y con el objetivo de contar con un indicador de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico desde los niveles básicos hasta el nivel superior, en esta prueba preliminar se incluyó el trabajo de un estudiantes de quinto año de primaria, quien regularmente asiste a una sesión semanal para resolver problemas no rutinarios tomados de los exámenes de las olimpiadas estatales de Matemáticas de los estados de Hidalgo, Yucatán, Michoacán y Jalisco. En la fecha que se recolectaron los datos el estudiante llevaba asistiendo a estas sesiones alrededor de tres meses, este estudiante se identificará con el código PR1.
3.2.2 Instrumentos de recolección de la información.
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y notas de campo), mediante las cuales se pretende llevar a cabo una triangulación que permita identificar de las semejanzas en la forma de abordar los problemas pero también un contraste con las diferencias y las características particulares que poseen los integrantes de cada uno de los grupos. Todas las sesiones de trabajo en el aula fueron video grabadas y se contó con producciones escritas y entrevistas semiestructuradas realizadas a algunos participantes con el objetivo de que explicaran el procedimiento de solución empleado para resolver algunos problemas básicos de geometría. Cabe mencionar que no es de interés el que contestaran correctamente sino analizar los procesos de razonamiento, así como los conceptos, herramientas o métodos utilizados por los participantes.
3.2.3 Las Tareas y el procedimiento de implementación
La aplicación de las diferentes actividades de diagnóstico se llevó a cabo por grupos de estudio en fechas y sesiones diferentes y con procedimientos que se mencionarán a continuación:
Con los estudiantes de maestría y con el estudiante de primaria se llevaron a cabo sesiones de trabajo en el contexto de un seminario de resolución de problemas, donde tuvieron oportunidades de identificar patrones y regularidades, y justificar resultados al trabajar con el geoplano. Las actividades giraron en torno al teorema de Pick. Mediante el cálculo de áreas de figuras en una malla rectangular variando el número de elementos de la malla en la frontera y en el interior de dichas figuras, se esperaba que encontraran un método para calcular el área de cualquier figura con base en dicha información. Con los estudiantes de licenciatura en matemáticas se centró la atención en la forma en que justifican resultados geométricos básicos (nivel 3 de pensamiento geométrico).
3.2.3.1 Estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas. Justificación de resultados geométricos básicos
Con este grupo de alumnos se trabajó con una prueba escrita que fue parte de la evaluación de su curso de Razonamiento Matemático la cual consta de 12 problemas enfocados a propiciar la justificación de resultados geométricos básicos, de los cuales solo dos están relacionados a los conceptos de área y perímetro.
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individual para recolectar evidencia sobre los procesos de razonamiento involucrados durante la solución de los problemas. Cada estudiante resolvió durante la entrevista únicamente dos problemas por razones de tiempo, los problemas que resolvieron los estudiantes fueron seleccionados al azar. Para los objetivos de esta investigación únicamente se analizaron los videos de los estudiantes quienes abordaron alguno de los problemas que involucran conceptos de área y perímetro.
1.- ABCD es un trapecio, con AB paralela a DC, y ∡ADC = ∡BCD = 45°. E y F son puntos sobre el lado DC Tales que DE = EF = FC = 1. Además, el trapecio tiene la propiedad AF es paralela a BC. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?
2.- En la figura, ABCD es un cuadrado, M es el punto medio de AD y MN es perpendicular a AC. Si el área del cuadrado es de 120 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado?
3.2.3.2 Estudiantes de maestría. Conjeturar el Teorema de Pick
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triángulos que no fueran semejantes y cuya área fuera igual a ½. La finalidad de esta sub-tarea fue que los estudiantes cuestionaran su imagen prototípica de triángulo, la cual está conformada por triángulos acutángulos y rectángulos, pero no por triángulos obtusángulos. Y que de la misma forma problematizaran su idea de altura de un triángulo.
Una vez construidos varios ejemplos se plantea como pregunta ¿cuál es el área de una figura de tres vértices y ninguno en su interior? Una etapa posterior incluyó construir diferentes figuras con 4 vértices en la frontera y ninguno en su interior, calcular su área y conjeturar que el valor de ésta siempre es 1.
1.- ¿Qué otros triángulos de área ½ puedo trazar?
Otras de las actividades propuestas a los estudiantes de maestría es calcular el área de triángulos poco convencionales donde ni su base es horizontal ni su altura vertical por lo que tendrían que usar otro método o más conceptos o procesos cognitivos para encontrar el área, por ejemplo:
- Esta figura ¿qué área tiene?
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- Ahora tracen figuras con cuatro vértices y ninguno en el interior. Fíjense, ¿qué área tiene?
A lo que se propusieron figuras como las siguientes:
Para 3 y 4 vértices pero se continuó la sesión preguntando cuál sería el área de una figura con 5 vértices y sin ninguno en el interior, luego una figura con 6 vértices y ninguno en el interior tratando de que se dedujera para el área de una figura de 10 vértices y ninguno en el interior pero tratando que se determinara el área sin representar gráficamente la figura.
3.2.3.3 Estudiante de quinto año de primaria. Conjeturar el Teorema de Pick
Una prueba similar a la aplicada a los alumnos de maestría fue aplicada a un alumno de tercer grado de primaria, usando también el Geoplano virtual, al igual que con el grupo de maestría se aplica de forma oral y con una entrevista semiestructurada, donde se inició con preguntas como la siguiente:
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3.2.4. Procedimiento de análisis de la información
Como ya mencionó las sesiones con todos los alumnos fueron videograbadas de forma grupal en el caso de los alumnos de maestría y de forma individual con los alumnos de la licenciatura en matemáticas y el alumno de primaria todo con el objeto de no perder detalle de los comentarios y la forma de abordar cada una de las problemáticas planteadas, además de esta manera se podrían revisar cuantas veces fuera necesario; para quienes hubo prueba escrita se nos proporcionó la resolución de la misma para servir también como evidencia. Después estas videograbaciones se trascribieron y los diálogos se encuentran en los anexos del presente trabajo con algunas imágenes que hacen referencia a las respuestas de los estudiantes con el objetivo de poder analizar y clasificar la información.
Ya con los diálogos escritos se procedió a buscar, primero de forma general semejanzas y diferencias en las respuestas de los estudiantes por cada uno de los grupos, así como en la forma en que abordaron cada uno de los cuestionamientos, para esta actividad se usaron tintas a colores subrayando los textos para poder identificarlos con mayor facilidad a la hora de hacer la clasificación; luego de tener los textos seleccionados en cada grupo se buscaron semejanzas entre grupos y las diferencias mayormente marcadas para poder llevar acabo el análisis tanto de manera grupal como de forma individual buscando características que ayudarán a identificar los niveles de entendimiento precisamente con ayuda de los descriptores de los diferentes niveles de van Hiele.
Para realizar esta clasificación e identificar en qué nivel de pensamiento geométrico se encuentra cada uno de los participantes, una de las principales actividades fue determinar los descriptores de cada nivel, para esto se tuvo como fuente principal a un trabajo de van Hiele titulado “Developing geometric thinking through activities that begin with play.
Teaching Children Mathematics”, donde explica las características de cada uno de los
niveles, pero también se tomaron como referencia algunas otras investigaciones orientadas a comprender los niveles de entendimiento de los conceptos de área y perímetro.
De donde en conjunto se establecieron las características con las que se compararía a cada estudiante y se clasificarían sus respuestas quedando de la siguiente manera:
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cada uno de estos niveles a los que podemos llamar descriptores del nivel, en una tercera columna se indicará si con base en los resultados de la observación, un estudiante satisface el descriptor; es decir, si hay evidencia de que cumple con esa característica o características iniciando en el nivel 0 y algunos detalles como a qué pregunta o a qué figura se refiere, y en la cuarta columna se incluye precisamente la evidencia respectiva, es decir, propiamente lo que ha contestado el participante y por lo que se considera está cumpliendo con la característica de dicho renglón. Básicamente las tablas que ayudaron a determinar en qué nivel están los estudiantes son las mismas para todos, así que el análisis y clasificación se hizo de manera individual, usando los mismos descriptores.
Alumno:
NIVEL Descripción de nivel C umple Respuesta del alumno
a
segmentos M N y AN
5.- No usa espontaneamente cuantificadores como: todos, alguno, ninguno, referido a si tienen determinada propiedad geométrica. Nivel 0.
Visualización o Reconocimiento
6.- No generaliza, (para todos los triángulos rectángulos). 4.- No utiliza definiciones
geométricas, sino que describen los atributos físicos de los dibujos que observa.
3.- Es capaz de distinguir mediante visualización entre los tipos de triángulos.
Alumna 1
1.- Los objetos geométricos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus propiedades y componentes.
Como ya tengo que esos lados son iguales, ya con el teorema de Pitagoras sabría este.(52)
2.- Las representaciones de los objetos se identifican, comparan y operan con base en su apariencia física mediante descripciones visuales.
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análisis de los resultados obtenidos de las tablas que se presenta en un apartado siguiente, donde se menciona, por un lado, las características comunes por niveles para todos los grupos y por otro lado el nivel de van Hiele de cada participante también con las particularidades por las que se asignó a dicho nivel.
Realizadas estas pruebas diagnóstico se tuvo suficiente información para determinar el tipo de instrumento de evaluación que se aplicaría a los estudiantes de ingeniería. Así como las características y perfil de los problemas que lo constituirían además de poder especificar la metodología que se seguiría con este grupo de interés. El procedimiento de selección de problemas, aplicación de la prueba, y análisis de información se detalla a continuación.
3.3 Prueba con alumnos de Ingeniería Metal Mecánica
Después de realizada la prueba preliminar, de clasificar la información y analizar los resultados obtenidos se procedió a establecer cuáles preguntas integrarían el instrumento de evaluación, seleccionar a los participantes, aplicar la prueba y repetir el procedimiento realizado en la prueba preliminar para la aplicación del instrumento, la recolección de la información, la transcripción de diálogos, análisis y clasificación de la información, con el objetivo de identificar los niveles de van Hiele en el grupo de estudio tal y como se describe en los apartados siguientes.
3.3.1 Participantes:
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3.3.2 Instrumentos de recolección de la información.
Ya con la experiencia de las pruebas preliminares se determinó que se utilizarían pruebas escritas, además de entrevistas para recolectar la información. Dichas entrevistas también serían video grabadas para obtener la mayor cantidad de información y no perder detalle de las respuestas de los estudiantes. Aunque las tareas se diseñaron pensando que los estudiantes serían capaces de obtener una solución a partir de sus conocimientos previos, interesa no tanto que la respuesta sea correcta o no, sino observar el procedimiento de solución y de esta manera poder obtener elementos que permitieran determinar el nivel de entendimiento alcanzado por los estudiantes en relación con los conceptos de área y perímetro.
3.3.3 Las Tareas y el procedimiento de implementación
Se decidió que se trabajaría con una prueba conformada con preguntas para las cuales los estudiantes desarrollaran un procedimiento de solución, las preguntas estarían ordenadas de manera que se pudiera identificar en ellas características desde nivel 0 y de forma gradual hasta un nivel 2 mediante las cuales se pretende identificar el nivel de van Hiele que poseen; es decir, se evaluará solo que lo que los estudiantes dominan hasta el momento reflejo de lo que han adquirido con anterioridad, no así su potencial ni lo que pudieran alcanzar en un tiempo determinado.
3.3.3.1 Estudiantes de Ingeniería Metal Mecánica. Tareas centradas en los diferentes aspectos que incluyen los Niveles de van Hiele.
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que de esta manera las respuestas de los estudiantes no fueran afectadas por las respuestas de otros compañeros.
Cabe mencionar que aunque los tiempos de aplicación no fueron iguales a los de la prueba preliminar, se considera que este factor no influirá en los resultados, porque como ya se señaló solo se pretende evaluar lo que ya conocen y para eso si hubo suficiente.
El cuestionario aplicado a este grupo es el siguiente:
La selección de los problemas de la prueba escrita que se aplicó a este grupo de estudiantes se hizo de manera tal que se pudieran observar las diferentes características de los niveles de van Hiele desde el nivel 0, dónde solo se tenía que identificar de manera visual cuál era el área y cuál el perímetro de las figuras dadas; en este caso precisamente se buscaron figuras donde era visible la presencia de estas características pero también se propuso una figura que no las tenía; en una primera propuesta se sugirieron varias pero finalmente solo se dejó una:
1.- Para las siguientes figuras marca en rojo su perímetro y en azul su área:
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Después se pidió calcular precisamente áreas y perímetros de figuras en las cuales se proporcionaban los datos necesarios tales como medidas de los lados, alturas, etc.; por otra parte también se usaron cuadriculas para ser utilizadas como auxiliares o trazar sobre ellas segmentos auxiliares y poder hacer los cálculos correspondientes; con este tipo de preguntas se pretendía usaran el principio de aditividad de áreas o la estimación en los cálculos y no necesariamente tendrían que recordar las fórmulas aunque se tratará de figuras regulares, además las cuadrículas permitirán observar un razonamiento análogo al desarrollado al trabajar con un geoplano:
2.- Para las siguientes figuras, anota frente a ellas su nombre y en seguida calcula su área: (Un cuadro es igual a un cm2)
Con esta pregunta se pretende identificar las figuras y nombrarlas (Nivel 0); luego si saben identificar los componentes (Nivel 1), por ejemplo las bases y alturas en los triángulos o cuadriláteros con las que podrían obtener las áreas correspondientes; mismo caso para el radio en caso del circulo o la apotema en el hexágono; sin embargo para la figura compuesta se podría separar en triángulos y rectángulos y aplicar la misma estrategia.
3.- Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
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Esta pregunta se espera que los alumnos recuerden el concepto de perímetro y a su vez que relacionen los componentes de las figuras con los datos necesarios para calcularlos; en algunos casos los datos son evidentes pero en otros habrá que calcularlos e incluso desechar o discriminar los que no les sirven para cumplir el objetivo (Nivel 1).
4.- De las figuras siguientes:
a) ¿Cuál tiene el mayor perímetro y cuál la mayor área? b) Ordénalos de mayor a menor en relación al área. Haz los cálculos y comprueba
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cálculos para comprobar cuál es la de mayor área y cual la de mayor perímetro observando y enfatizando las diferencias. (Nivel 1)
5.- Un rectángulo tiene un área de 24 cm2; y uno de sus lados mide 6cm, ¿Cuál es el perímetro de esta figura?
Se espera que reconozcan la relación entre base, altura y área pero además estos datos como se relacionan con el perímetro; es decir tiene que identificar y relacionar las propiedades de un rectángulo. (Nivel 1)
6.- Para pintar el interior de la piscina de color azul se usará pintura resistente al agua con rendimiento de 300 ml por m2; si el precio por litro de esta pintura es de $ 85.00; ¿Cuál sería el costo total de la pintura?
Se pretende identifiquen el uso de áreas en una situación problemática, donde hay que obtener el área de cada pared más la del piso; obteniendo así el área total después hacer una división o una regla de tres para saber cuántos litros de pintura necesitaría para el total de la superficie y finalmente multiplicar por el costo por litro obteniendo así el monto total. Se anexa esta pregunta para relacionar las área y perímetros a una situación real, es decir, que los estudiantes puedan aplicar los conceptos en su vida personal y profesional.
7.- Si tenemos dos rectángulos de 30 cm de perímetro cada uno, ¿sus áreas serán iguales? Explica.
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8.- Los lados de un triángulo miden 5, 8 y 10 cm. Respectivamente ¿Se puede determinar si es un triángulo rectángulo? Si es el caso ¿Cuál es el área del triángulo?
Se requiere que realicen en dibujo representando las medidas, pero además recuerden el teorema de Pitágoras y relacionen los datos, en dado caso que el cuadrado del mayor sea igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, entonces se tratará de un triángulo rectángulo, si es el caso, con esta información obtendrán el área.
La pregunta 9 es otro ejemplo de esta actividad, con ayuda del plano cartesiano teniendo un triángulo donde no se daban las dimensiones de los lados ni las alturas del mismo:
9.- En el plano cartesiano, dadas las coordenadas (0,0); (5,4) y (9,2), unir los puntos y calcular el área del triángulo formado.
Se pretende obtengan el área de un triángulo a partir de su ubicación en el plano, es decir solo se proporcionan las coordenadas de los vértices.
