OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie

Texto completo

(1)

Universidad Nacional Abierta Matem´atica V (C´od. 739)

Vicerrectorado Acad´emico C´od. Carrera: 236 - 280

´

Area de Matem´atica Fecha: 26-07-2014

MODELO DE RESPUESTAS

Objetivos del 1 al 10

OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie

n=2

(1)n

n2log(n) es convergente o divergente. Si es convergente,

compruebe si es absoluta o condicionalmente.

SOLUCI ´ON:

n=2

(1)nan=

n=2

(1)n

n2log(n)

dondean=

1

n2log(n). Seaf(x) =

1

x2log(x) conx∈[2,+). Comof(n) =an,f(x)>0 y

f′(x) =2 log(x) + 1

x3log2x <0,

tenemos que f es decreciente y positiva, y {an}n≥2 es una sucesi´on decreciente de t´erminos positivos.

Como l´ım

n→+∞an=n→l´ım+

1

n2log(n) = 0,aplicando el Criterio de Leibnitz (ver libro UNA, Matem´atica V,

Secci´on 6, p´ag. 67) tenemos que,

n=2

(1)nan=

n=2

(1)n

n2log(n)

es convergente. Por otro lado, 0log(2)log(n) para todon≥2, aplicando el Criterio de Comparaci´on

(ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 2, p´ag. 41) tenemos que,

n=2

|(1)nan|=

n=2

1

n2log(n)

n=2

1

n2log(2) =

1 log(2)

n=2

1

n2

es convergente. Por lo tanto,

n=2

(1)nan=

n=2

(1)n

n2log(n)

es absolutamente convergente.

OBJ 2 PTA 2 Encuentre el conjunto de convergencia de la serie de funciones

n=1 e−nx n2+ 1.

¿Converge uniformemente la serie en el conjunto encontrado?

SOLUCI ´ON: Comoan= e−nx

n2+ 1 >0 para todo x∈R yn≥1, entonces

L= l´ım

n→+ an+1

an

= l´ım

n→+

e−(n+1)x

(n+ 1)2+ 1/ e−nx n2+ 1 =e−

x,

(2)

(1) Six <0, entoncesL=e−x>1 por lo tanto,∑n=1an no converge.

(2) Six >0, entoncesL=e−x<1 por lo tanto,∑n=1an converge puntualmente.

Por otro lado, si x= 0 al aplicar elCriterio de Comparaci´on (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 2, p´ag. 41) tenemos que,

n=1 an=

n=1

1

n2+ 1

n=1

1

n2

es convergente. Por lo tanto,

n=1 e−nx n2+ 1

converge puntualmente en [0,+). Como e−x≤1 para todo x∈[0,+) tenemos que,

0< an= e−nx n2+ 1

1

n2+ 1 <

1

n2 =Mn,

para todox∈[0,+) yn≥1. Al aplicar elCriterio Weierstrass (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 13, p´ag. 88), tenemos que

n=1 e−nx n2+ 1

converge uniformemente en [0,+).

OBJ 3 PTA 3 Sea

f(x) =

    

0, si 4≤x <−2

1, si 2≤x≤ 2

0, si 2< x < 4

.

tal quef(x+ 8) =f(x). Encuentre la serie de Fourier para la funci´on f.

SOLUCI ´ON: Comof tiene per´ıodo 8, tenemos que la serie de Fourier para f tiene la forma,

f(x) =a0+

n=1 ancos

(nπx

4

)

+bn sen

(nπx

4

)

,

dondea0,an ybn vienen dados por,

a0 = 1 8

∫ +4

4

f(x) dx= 1 8

∫ +2

2

dx= 1 2,

an=

1 4

∫ +4

4

f(x) cos

(nπx

4

)

dx= 1 4 ∫ +2 2 cos (nπx 4 )

dx= 1

sen (nπx 4 ) +2 2 = 2 sen ( 2 ) ,

bn=

1 4

∫ +4

4

f(x) sen

(nπx

4

)

dx= 1 4 ∫ +2 2 sen (nπx 4 )

dx= 1

cos (nπx 4 ) +2 2

= 0.

paran≥1. Por lo tanto, la serie de Fourier paraf es,

f(x) = 1

2 + n=1 2 sen ( 2 ) cos (nπx 4 ) = 1

2+ 2

k=0

(1)k (2k+ 1)π cos

(

(2k+ 1) πx

4

)

.

(3)

OBJ 4 PTA 4 Demuestre que la funci´on f(z) =|z|no es anal´ıtica enC.

SUGERENCIA: Estudie con detenimiento la analiticidad de f en z= 0.

SOLUCI ´ON:

(1) Para = 0.

f(z) =f(x+iy) =|x+iy|=√x2+y2=u(x, y) +i v(x, y),

dondeu(x, y) =√x2+y2 yv(x, y) = 0. Como,

∂u

∂x(x, y) = x

x2+y2 ̸= 0 ´o ∂u

∂y(x, y) = y

x2+y2 ̸= 0,

tenemos que f no satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo cual, f no es anal´ıtica en

C\ {0}.

(2) Para z= 0, tenemos quef(z) no es diferenciable ya que,

l´ım

z→0

f(z)−f(0)

z−0 = l´ımz→0

|z| z

no existe. Por lo cual,f no es anal´ıtica.(Compruebe la no existencia del l´ımite, calculando el mismo a trav´es del caminoz=x)

OBJ 5 PTA 5 Calcule I

C

dz

(z−1)2(z2+ 9),

dondeC es la circunferencia|z|= 2.

SOLUCI ´ON: Sea f(z) = 1

z2+ 9. Como f(z) es anal´ıtica en el interior de C y f

(z) = 2z

(z2+ 9) es

continua en el interior de C, al aplicar la Formula Integral de Cauchy (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 107, p´ag. 502) tenemos que,

I

C

dz

(z−1)2(z2+ 9) =

I

C f(s)

(s−1)2 ds= 2πi f′(1) = πi

25.

OBJ 6 PTA 6 Calcule la serie de Taylor para la funci´on f(z) = 1

12z alrededor del puntoz0 = 1, y

determine el conjunto en el cual la serie converge.

SOLUCI ´ON: La serie de Taylor para la funci´on f(z) = 1

12z alrededor del punto z0 = 1 viene dada

por,

n=0

f(n)(z0)

n! (z−z0)

n=

n=0

f(n)(1)

n! (z−1)

(4)

dondef(n)(z0) = 2

nn!

(12z0)n+1, f

(n)(1) = (1)n+12nn!. Entonces,

n=0

f(n)(1)

n! (z−1)

n=

n=0

(1)n+12n(z−1)n.

Por otro lado, el radio de convergencia de la serie viene dado por,

R= l´ım

n→+

|an|

|an+1|

= l´ım

n→+

|(1)n+12n|

|(1)n+12n+1| =

1 2.

Por lo cual, el conjunto de convergencia de la serie es

{

z∈C: |z−1|< 1

2

}

.

OBJ 7 PTA 7 Determine todo los puntos singulares de la funci´on f(z) = 4

z4+ 4z3, y calcule los

residuos es esos puntos.

SOLUCI ´ON:

f(z) = 4

z4+ 4z3 =

4

z3(z+ 4).

La funci´on f(z) tiene un polo simple en z = 4 y un polo de tercer orden en z = 0, por lo cual, los residuos vienen dados por,

Res(f(z),−4) =Res

(

4

z3(z+ 4),−4

)

= l´ım

z→−4(z+ 4)· −

4

z3(z+ 4) = l´ımz→−4

4

z3 =

1 16,

Res(f(z),0) =Res

(

4

z3(z+ 4),0

)

= l´ım

z→0 d2 dz2

[

z3· − 4 z3(z+ 4)

]

= l´ım

z→0 d2 dz2

[ 4

z+ 4

]

= l´ım

z→0 d dz

[

4 (z+ 4)2

]

= l´ım

z→0

8

(z+ 4)3 =

1 8.

OBJ 8 PTA 8 Calcule la integral impropia

∫ +

0

1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 dx.

SOLUCI ´ON: Como 1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 es una funci´on par, entonces

∫ +

0

1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 dx=

1 2

∫ +

−∞

1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 dx.

Seaf(z) = 1

(z2+ 1)(z2+ 4)2. Comof(z) tiene polos simples enz=−iyz= +i, polos de segundo orden

en z=2iyz= +2i, tenemos que

∫ + 1

(5)

Por otro lado,

Res(f(z),+i) =Res

(

1

(z2+ 1)(z2+ 4)2,+i

)

= l´ım

z→+i(z−i)·

1

(z2+ 1)(z2+ 4)2 = l´ımz+i

1

(z+i)(z2+ 4)2 = i

18,

Res(f(z),+2i) =Res

(

1

(z2+ 1)(z2+ 4)2,+2i

)

= l´ım

z→+2i d dz

[

(z−2i)· 1

(z2+ 1)(z2+ 4)2

]

= l´ım

z→+2i d dz

[

1

(z2+ 1)(z2i)2

]

= l´ım

z→+2i

2z(z+ 2i)2+ 2(z2+ 1)(z+ 2i) (z2+ 1)2(z+ 2i)4 =

11i

288.

Finalmente,

∫ +

0

1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 dx=

1 2

∫ +

−∞

1

(x2+ 1)(x2+ 4)2 dx=πi

( i

18 + 11i

288

)

= 5π 288.

OBJ 9 PTA 9 Calcule la transformada de Laplace de la funci´on F(t) =t2e2t sen(6t).

SOLUCI ´ON: Al aplicar el Teorema de Derivada y el Primer Teorema de Translaci´on de la funci´on transformada (ver libro UNA, Matem´atica V, Secciones 162-164. p´ag. 737-741) tenemos que,

f(s) =L{F(t)}=L{t2e2t sen(6t)}= d

2

ds2 L

{

e2tsen(6t)}

= d

2

ds2

[

6 (s−2)2+ 36

]

= d

ds

[

12(s−2)

((s−2)2+ 36)2

]

= 36((s−2)

212)

((s−2)2+ 36)3 .

OBJ 10 PTA 10 Utilice el M´etodo de Transformadas de Laplace, para encontrar la soluci´on del problema de valores iniciales,

X′ = 2X− Y + 1, Y′ = 3X−2Y + 1,

dondeX(0) = 0 y Y(0) = 0.

SOLUCI ´ON:Al aplicar la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones diferenciales, tenemos que

L{X′(t)}=L{2X(t) Y(t) + 1}= 2L{X(t)} − L{Y(t)}+L{1},

L{Y′(t)}=L{3X(t)2Y(t) + 1}= 3L{X(t)} −2L{Y(t)}+L{1}.

Por otro lado,

L{X′(t)}=sL{X(t)} −X(0) =s x(s),

(6)

por lo cual,

(s−2)x(s) +y(s) = 1

s,

(s+ 2)y(s)3x(s) = 1

s.

Al resolver el sistema de ecuaciones planteado anteriormente, tenemos que,

x(s) =y(s) = 1 (s−1)s =

1

s−1 1

s.

Finalmente, aplicando transformada inversa de Laplace ax(s) ey(s), se tiene que la soluci´on al problema de valores iniciales es,

X(t) =Y(t) =L−1

{

1

s−1 1

s

}

=L−1

{

1

s−1

} − L−1

{

1

s

}

=et−1.

(7)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...