OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie

Universidad Nacional Abierta Matem´atica V (C´od. 739)

Vicerrectorado Acad´emico C´od. Carrera: 236 - 280

´

Area de Matem´atica Fecha: 26-07-2014

MODELO DE RESPUESTAS

Objetivos del 1 al 10

OBJ 1 PTA 1 Determine si la serie

∞ ∑

n=2

(−1)n

n2_log(n) es convergente o divergente. Si es convergente,

compruebe si es absoluta o condicionalmente.

SOLUCI ´ON:

∞ ∑

n=2

(−1)nan=

∞ ∑

n=2

(−1)n

n2_log(n)

dondean=

1

n2_log(n). Seaf(x) =

1

x2_log(x) conx∈[2,+∞). Comof(n) =an,f(x)>0 y

f′(x) =−2 log(x) + 1

x3_log2_x <0,

tenemos que f es decreciente y positiva, y {an}n≥2 es una sucesi´on decreciente de t´erminos positivos.

Como l´ım

n→+∞an=n→l´ım+∞

1

n2_log(n) = 0,aplicando el Criterio de Leibnitz (ver libro UNA, Matem´atica V,

Secci´on 6, p´ag. 67) tenemos que,

∞ ∑

n=2

(−1)nan=

∞ ∑

n=2

(−1)n

n2_log(n)

es convergente. Por otro lado, 0≤log(2)≤log(n) para todon≥2, aplicando el Criterio de Comparaci´on

(ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 2, p´ag. 41) tenemos que,

∞ ∑

n=2

|(−1)nan|=

∞ ∑

n=2

1

n2_log(n) ≤

∞ ∑

n=2

1

n2_log(2) =

1 log(2)

∞ ∑

n=2

1

n2

es convergente. Por lo tanto,

∞ ∑

n=2

(−1)nan=

∞ ∑

n=2

(−1)n

n2_log(n)

es absolutamente convergente.

OBJ 2 PTA 2 Encuentre el conjunto de convergencia de la serie de funciones

∞ ∑

n=1 e−nx n2_{+ 1}.

¿Converge uniformemente la serie en el conjunto encontrado?

SOLUCI ´ON: Comoan= e−nx

n2_{+ 1} >0 para todo x∈R yn≥1, entonces

L= l´ım

n→+∞ an+1

an

= l´ım

n→+∞

e−(n+1)x

(n+ 1)2_{+ 1}/ e−nx n2_{+ 1} =e−

x_,

(1) Six <0, entoncesL=e−x>1 por lo tanto,∑∞_n=1an no converge.

(2) Six >0, entoncesL=e−x<1 por lo tanto,∑∞_n=1an converge puntualmente.

Por otro lado, si x= 0 al aplicar elCriterio de Comparaci´on (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 2, p´ag. 41) tenemos que,

∞ ∑

n=1 an=

∞ ∑

n=1

1

n2_{+ 1} ≤

∞ ∑

n=1

1

n2

es convergente. Por lo tanto,

∞ ∑

n=1 e−nx n2_{+ 1}

converge puntualmente en [0,+∞). Como e−x≤1 para todo x∈[0,+∞) tenemos que,

0< an= e−nx n2_{+ 1} ≤

1

n2_{+ 1} <

1

n2 =Mn,

para todox∈[0,+∞) yn≥1. Al aplicar elCriterio Weierstrass (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 13, p´ag. 88), tenemos que

∞ ∑

n=1 e−nx n2_{+ 1}

converge uniformemente en [0,+∞).

OBJ 3 PTA 3 Sea

f(x) =

    

0, si −4≤x <−2

1, si −2≤x≤ 2

0, si 2< x < 4

.

tal quef(x+ 8) =f(x). Encuentre la serie de Fourier para la funci´on f.

SOLUCI ´ON: Comof tiene per´ıodo 8, tenemos que la serie de Fourier para f tiene la forma,

f(x) =a0+

∞ ∑

n=1 ancos

(_nπx

4

)

+bn sen

(_nπx

4

)

,

dondea0,an ybn vienen dados por,

a0 = 1 8

∫ +4

−4

f(x) dx= 1 8

∫ +2

−2

dx= 1 2,

an=

1 4

∫ +4

−4

f(x) cos

(_nπx

4

)

dx= 1 4 ∫ +2 −2 cos (_nπx 4 )

dx= 1

nπ sen (_nπx 4 ) +2 −2 = 2 nπ sen (_nπ 2 ) ,

bn=

1 4

∫ +4

−4

f(x) sen

(_nπx

4

)

dx= 1 4 ∫ +2 −2 sen (_nπx 4 )

dx= − 1

nπcos (_nπx 4 ) +2 −2

= 0.

paran≥1. Por lo tanto, la serie de Fourier paraf es,

f(x) = 1

2 + ∞ ∑ n=1 2 nπ sen (_nπ 2 ) cos (_nπx 4 ) = 1

2+ 2

∞ ∑

k=0

(−1)k (2k+ 1)π cos

(

(2k+ 1) πx

4

)

.

OBJ 4 PTA 4 Demuestre que la funci´on f(z) =|z|no es anal´ıtica enC.

SUGERENCIA: Estudie con detenimiento la analiticidad de f en z= 0.

SOLUCI ´ON:

(1) Para z̸= 0.

f(z) =f(x+iy) =|x+iy|=√x2_+y2_{=u(x, y) +i v(x, y),}

dondeu(x, y) =√x2_+y2 _{yv(x, y) = 0. Como,}

∂u

∂x(x, y) = x

√

x2_+y2 ̸= 0 ´o ∂u

∂y(x, y) = y

√

x2_+y2 ̸= 0,

tenemos que f no satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo cual, f no es anal´ıtica en

C\ {0}.

(2) Para z= 0, tenemos quef(z) no es diferenciable ya que,

l´ım

z→0

f(z)−f(0)

z−0 = l´ımz→0

|z| z

no existe. Por lo cual,f no es anal´ıtica.(Compruebe la no existencia del l´ımite, calculando el mismo a trav´es del caminoz=x)

OBJ 5 PTA 5 Calcule I

C

dz

(z−1)2_(z2_{+ 9)},

dondeC es la circunferencia|z|= 2.

SOLUCI ´ON: Sea f(z) = 1

z2_{+ 9}. Como f(z) es anal´ıtica en el interior de C y f

′_{(z) = −} 2z

(z2_{+ 9)} es

continua en el interior de C, al aplicar la Formula Integral de Cauchy (ver libro UNA, Matem´atica V, Secci´on 107, p´ag. 502) tenemos que,

I

C

dz

(z−1)2_(z2_{+ 9)} =

I

C f(s)

(s−1)2 ds= 2πi f′(1) =− πi

25.

OBJ 6 PTA 6 Calcule la serie de Taylor para la funci´on f(z) = 1

1−2z alrededor del puntoz0 = 1, y

determine el conjunto en el cual la serie converge.

SOLUCI ´ON: La serie de Taylor para la funci´on f(z) = 1

1−2z alrededor del punto z0 = 1 viene dada

por,

∞ ∑

n=0

f(n)(z0)

n! (z−z0)

n₌∑∞

n=0

f(n)(1)

n! (z−1)

dondef(n)(z0) = 2

n_n!

(1−2z0)n+1, f

(n)_{(1) = (−1)}n+1₂n_{n!. Entonces,}

∞ ∑

n=0

f(n)(1)

n! (z−1)

n₌

∞ ∑

n=0

(−1)n+12n(z−1)n.

Por otro lado, el radio de convergencia de la serie viene dado por,

R= l´ım

n→+∞

|an|

|an+1|

= l´ım

n→+∞

|(−1)n+12n|

|(−1)n+1₂n+1| =

1 2.

Por lo cual, el conjunto de convergencia de la serie es

{

z∈C: |z−1|< 1

2

}

.

OBJ 7 PTA 7 Determine todo los puntos singulares de la funci´on f(z) = − 4

z4_{+ 4z}3, y calcule los

residuos es esos puntos.

SOLUCI ´ON:

f(z) =− 4

z4_{+ 4z}3 =−

4

z3_{(z+ 4)}.

La funci´on f(z) tiene un polo simple en z = −4 y un polo de tercer orden en z = 0, por lo cual, los residuos vienen dados por,

Res(f(z),−4) =Res

(

− 4

z3_{(z+ 4)},−4

)

= l´ım

z→−4(z+ 4)· −

4

z3_{(z+ 4)} = l´ım_z→−4−

4

z3 =−

1 16,

Res(f(z),0) =Res

(

− 4

z3_{(z+ 4)},0

)

= l´ım

z→0 d2 dz2

[

z3· − 4 z3_{(z+ 4)}

]

= l´ım

z→0 d2 dz2

[ − 4

z+ 4

]

= l´ım

z→0 d dz

[

4 (z+ 4)2

]

= l´ım

z→0 −

8

(z+ 4)3 =−

1 8.

OBJ 8 PTA 8 Calcule la integral impropia

∫ +∞

0

1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 dx.

SOLUCI ´ON: Como 1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 es una funci´on par, entonces

∫ +∞

0

1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 dx=

1 2

∫ +∞

−∞

1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 dx.

Seaf(z) = 1

(z2_{+ 1)(z}2_{+ 4)}2. Comof(z) tiene polos simples enz=−iyz= +i, polos de segundo orden

en z=−2iyz= +2i, tenemos que

∫ +∞ ₁

Por otro lado,

Res(f(z),+i) =Res

(

1

(z2_{+ 1)(z}2_{+ 4)}2,+i

)

= l´ım

z→+i(z−i)·

1

(z2_{+ 1)(z}2_{+ 4)}2 = l´ım_z→+i

1

(z+i)(z2_{+ 4)}2 =− i

18,

Res(f(z),+2i) =Res

(

1

(z2_{+ 1)(z}2_{+ 4)}2,+2i

)

= l´ım

z→+2i d dz

[

(z−2i)· 1

(z2_{+ 1)(z}2_{+ 4)}2

]

= l´ım

z→+2i d dz

[

1

(z2_{+ 1)(z}−_2i)2

]

= l´ım

z→+2i −

2z(z+ 2i)2+ 2(z2+ 1)(z+ 2i) (z2_{+ 1)}2_{(z+ 2i)}4 =

11i

288.

Finalmente,

∫ +∞

0

1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 dx=

1 2

∫ +∞

−∞

1

(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4)}2 dx=πi

( − i

18 + 11i

288

)

= 5π 288.

OBJ 9 PTA 9 Calcule la transformada de Laplace de la funci´on F(t) =t2e2t sen(6t).

SOLUCI ´ON: Al aplicar el Teorema de Derivada y el Primer Teorema de Translaci´on de la funci´on transformada (ver libro UNA, Matem´atica V, Secciones 162-164. p´ag. 737-741) tenemos que,

f(s) =L{F(t)}=L{t2e2t sen(6t)}= d

2

ds2 L

{

e2tsen(6t)}

= d

2

ds2

[

6 (s−2)2_{+ 36}

]

= d

ds

[

− 12(s−2)

((s−2)2_{+ 36)}2

]

= 36((s−2)

2₋₁₂₎

((s−2)2_{+ 36)}3 .

OBJ 10 PTA 10 Utilice el M´etodo de Transformadas de Laplace, para encontrar la soluci´on del problema de valores iniciales,

X′ = 2X− Y + 1, Y′ = 3X−2Y + 1,

dondeX(0) = 0 y Y(0) = 0.

SOLUCI ´ON:Al aplicar la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones diferenciales, tenemos que

L{X′(t)}=L{2X(t)− Y(t) + 1}= 2L{X(t)} − L{Y(t)}+L{1},

L{Y′(t)}=L{3X(t)−2Y(t) + 1}= 3L{X(t)} −2L{Y(t)}+L{1}.

Por otro lado,

L{X′(t)}=sL{X(t)} −X(0) =s x(s),

por lo cual,

(s−2)x(s) +y(s) = 1

s,

(s+ 2)y(s)−3x(s) = 1

s.

Al resolver el sistema de ecuaciones planteado anteriormente, tenemos que,

x(s) =y(s) = 1 (s−1)s =

1

s−1− 1

s.

Finalmente, aplicando transformada inversa de Laplace ax(s) ey(s), se tiene que la soluci´on al problema de valores iniciales es,

X(t) =Y(t) =L−1

{

1

s−1 − 1

s

}

=L−1

{

1

s−1

} − L−1

{

1

s

}

=et−1.