Gu´ıa 03
Matem´
aticas 30.
Profesor: Pedro Alexander Abreu
Semestre A-2017
1. Seaf(x, y) =xy−1, hallar:
f(3,−2), f(5,4y), f(x+y, x−y).
2. Seaf(x, y) =y/x+xy, hallar:
f(1,2), f(a, a), f(1/x, x2).
3. Seag(x, y, z) = 4
x2+y2+z2−9, hallar:
g(1,2,3), g(2,−1/2,3/2), g(−2/x,2/x,−1/x).
4. Seag(x, y, z) =pxcos(y) +z2, hallar:
g(4,0,2), g(−9, π,3), g(2, π/3,−1).
5. Seaf(x, y) =ex−y,x(t) = ln(t),y(t) = ln(1/t), hallar:
f(x(t), y(t)), f(x(2), y(2)).
6. Seaf(x, y) = ln(x2 +y2), hallar:
dg
dy, si g(y) = (1, y),
dh
dx, si h(x) = (x, x).
7. La funci´onf :R2 →
R es tal quef(x/y, x+y) = x2−y2. Hallar:
la f´ormula que define a f(x, y), el dominio de f.
8. Seaf(x, y, z) = xyz2−3, hallar:
f(2,−1,1/3), f(−t, t2, et), f(a+b, a−b, b2).
a) f(x, y) =x2 +y2−2.
b) f(x, y) = e
x−ey ex+ey.
c) f(x, y) = √x
y.
d) f(x, y) =√x+√y.
e) f(x, y) =√xy.
f) f(x, y) =pln(x2+y2+ 1).
g) f(x, y) = arcsin(x2+y2−3).
h) f(x, y, z) = x+y+z |x+y+z|.
i) f(x, y, z) =e
√
4−(x2+y2+z2)
.
j) f(x, y, z) = cos(x) + cos(y) + cos(z).
10. En cada caso, determine y grafique el dominio de la funci´on dada.
a) f(x, y) = 4
4−x2−y2.
b) f(x, y) =p16−x2−4y2.
c) f(x, y) = p 1
1−x2−y2.
d) f(x, y) = x
4−y4
x2−y2.
e) f(x, y) = ln(xy).
f) f(x, y) = arcsin(x) +y.
g) f(x, y) = arc cos(x−y).
h) f(x, y) =py−√x.
i) f(x, y) =pln(1 +y−x).
j) g(x, y, z) = z
x2 −y.
k) g(x, y, z) = arcsin(x) + arcsin(y) + arcsin(z).
l) g(x, y, z) = (x−y)√z−1.
m) g(x, y, z) = px2+y2+z2−9
n) g(x, y, z) = px2+y2+z2−1+ln(4− x2 −y2−z2).
˜
n) g(x, y, z) = pxcos(y) +z2.
o) g(x, y, z) = xzarc cos(y2−1).
11. En cada caso, hallar un mapa de contorno de la funci´on dada.
a) z = x
y
b) z =x2+y
c) f(x, y) =py2−x2.
d) f(x, y) =exy.
e) f(x, y) = ln(xy).
f) f(x, y) =ex2+y2.
g) f(x, y) = 2y
x2+y2.
h) z=y−sin(x)
12. Encuentre la curva de nivel de la funci´on dada que contiene el punto indicado.
a) f(x, y) = (x2+y2)exy; P = (1,0).
b) f(x, y) =y2arctan(x); P = (1,2).
c) f(x, y) = (x2+y) ln(2−x+ey); P = (2,1).
d) g(x, y, z) = x2+ 2y2 −2xyz; P = (−1,2,1).
e) g(x, y, z) = px2+y2−ln(z); P = (3,4, e).
13. Si T(x, y) es la temperatura en un punto (x, y) en el plano, las curvas de nivel de T se
llamancurvas isotermas. Trace las curvas isotermas correspondientes aT = 1 10,
1 5,
si
T(x, y) = x
2
x2+y2.
14. Si V(x, y) es el voltaje en un punto (x, y) en el plano, las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Trace las curvas equipotenciales correspondientes a
V = 1
2,1,2,4 si
V(x, y) = p 4
(x−2)2+ (y+ 3)2.
15. En cada caso, hallar e identificar, al menos, tres superficies de nivel para la funci´on dada.
a) f(x, y, z) =x−z2.
b) f(x, y, z) = 100x2+ 16y2+ 25z2.
c) f(x, y, z) = 9x2−4y2−z2.
d) f(x, y, z) =p4x2+ 4y2−z.
e) f(x, y, z) =p9x2+ 4y2+ 6z.
f) f(x, y, z) =ex2+y2+z2
.
16. SiP(x, y, z) es la presi´on de un gas en un punto (x, y.z) en el espacio tridimensional, las superficies de nivel deP se llamansuperficies isob´aricas. Trace las superficies isob´aricas
correspondientes aP = 1
2,1,2,4 si
P(x, y, z) = 4e−(x2+y2+z2).
17. La magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un cuerpo de masaM situado en el origen sobre un cuerpo de masamlocalizado en el punto (x, y, z) esta dada por la funci´on
F(x, y, z) = GmM
x2+y2 +z2
donde G es la constante de gravitaci´on universal. ¿Cu´ales son las superficies de nivel? ¿Cu´al es el significado f´ısico de esas superficies?
18. Identifique la gr´afica def(x, y) =x2−x+3y2+12y−13, indique donde alcanza el m´ınimo, y determine ese valor m´ınimo.
19. En cada caso, bosqueje el conjunto S, describa anal´ıticamente el conjunto frontera de S. Por ´ultimo, indique si el conjunto es abierto, cerrado o ninguno de ´estos.
a) S={(x, y)∈R2 : 2≤x≤4,1≤y ≤5}.
b) S={(x, y)∈R2 : 0< x2+y2 ≤4}.
c) S={(x, y)∈R2 : 1< x≤4}.
d) S={(x, y)∈R2 :x= 0, y = 1
n, n un entero positivo}.
e) S={(x, y, z)∈R3 :x2+y2 ≤1,0≤z ≤4}.
20. En cada caso, haciendo uso de la definici´on de l´ımite, demuestre los l´ımites indicados.
a) l´ım
(x,y)→(3,2)
(3x−4y) = 1.
b) l´ım
(x,y)→(−2,1)(5x+ 4y) =−6.
c) l´ım
(x,y)→(2,4)(5x−3y) = −2.
21. En cada caso, hallar el l´ımite indicado.
a) l´ım
(x,y)→(2,3)(3x
2+xy−2y2).
b) l´ım
(x,y)→(0,0)
xy x2+y2+ 2.
c) l´ım
(x,y)→(4,1) y
√
x+ 5y.
d) l´ım
(x,y)→(−2,3)
5x+ 1 2y
2
.
e) l´ım
(x,y)→(0,0)
e2x+e2y
sin(x) + cos(y).
f) l´ım
(x,y)→(2,π)[xcos 2
(xy)−sin(xy/3)].
g) l´ım
(x,y,z)→(1,1,1)
cos(xy−z2)
xy+z2 .
h) l´ım
(x,y)→(0,0)
sin(x) sin(2y)
xy .
i) l´ım
(x,y)→(0,0)
exysin(xy)
xy .
j) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
(ex−1)(e2y−1)(e3z−1)
xyz .
k) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
(1−cos(x)) sin(2y) tan(3z)
x2yz .
l) l´ım
(x,y)→(1,2)
(x3−1)(y4−16)
(x−1)(y2−4) .
m) l´ım
(x,y)→(2,1)
√
xy+ 2−2
x2y2−4 .
n) l´ım
(x,y)→(0,0)
x2+y2 p
x2+y2+ 1−1.
˜
n) l´ım
(x,y)→(0,0) p
x2y2+ 9−3 x2y2 .
o) l´ım
(x,y)→(1,1)
√
xy−1 +x3y3−1 p
x2y2−1 .
22. En cada caso, demuestre que el l´ımite indicado no existe.
a) l´ım
(x,y)→(0,0) xy x2+y2.
b) l´ım
(x,y)→(0,0)
xy+y3 x2 +y2.
c) l´ım
(x,y)→(0,0)
x2−y2 x2+y2.
d) l´ım
(x,y)→(0,0)
2y2
2x2−y2.
e) l´ım
(x,y)→(0,0)
2x2√y x4+y2.
f) l´ım
(x,y,z)→(1,2)
xy−2x−y+ 2
x2+y2−2x−4y+ 5.
g) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 x2+y2+z2.
h) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
xyz x3+y3+z3.
i) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
x2+ 3y2−z2 x2−y2 .
a) l´ım
(x,y)→(0,0) x2y2 x2+y2.
b) l´ım
(x,y)→(0,0) x2y4 x4−y4.
c) l´ım
(x,y)→(0,0) x2y2 x3−y3.
d) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
y3+xz2 x2+y2+z2.
e) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
xy+xz+yz p
x2+y2+z2.
24. Pongamos
f(x, y) = x−y
4
x3−y4.
Determine si f tiene, o no, l´ımite en (1,1).
25. En cada caso, cambiando a coordenadas polares o esf´ericas, demuestre si el l´ımite existe.
a) l´ım
(x,y)→(0,0) x7/3 x2+y2.
b) l´ım
(x,y)→(0,0) xy2 x2+y2.
c) l´ım
(x,y)→(0,0)xy
x2−y2 x2+y2.
d) l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 +y2
ln(x2+y2).
e) l´ım
(x,y)→(0,0,0)
3x3 x2+y2+z2.
f) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
tanx2+y2 +z2 x2+y2+z2 .
26. En cada caso, hallar el n´umero real c que hace que la funci´on sea continua en el punto (0,0).
a) f(x, y) =
x4−y4
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
c, si (x, y) = (0,0)
b) f(x, y) =
xy2
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
c, si (x, y) = (0,0)
c) f(x, y) =
sin(px2+y2) p
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
c, si (x, y) = (0,0)
d) f(x, y) =
y2sin(x)
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
c, si (x, y) = (0,0)
e) f(x, y) =
x4+y4
(x2 +y2)3/2 si (x, y)6= (0,0)
f) f(x, y) =
xy
|x|+|y| si (x, y)6= (0,0)
c, si (x, y) = (0,0)
27. En cada caso, hallar y graficar el conjunto de puntos donde la funci´on dada es continua.
a) f(x, y) = x
2
y−1
b) f(x, y) = 5xy
2+ 2y
16−x2−4y2.
c) f(x, y) =p1−x2−y2.
d) f(x, y) = sin(y−x
2)
y−x2 .
e) f(x, y) = ln(xy2).
f) f(x, y) =p( ln(x2−y)−1).
g) f(x, y) = sin(y−x
2)
y−x2 .
h) f(x, y) = ln
x2+y2 y2−4y+ 3
.
i) f(x, y) = arc cos(x+y).
j) f(x, y) = arcsin(x2+y2−3).
k) f(x, y) =
xy p
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
0, si (x, y) = (0,0)
l) f(x, y) =
x3+y3
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
0, si (x, y) = (0,0)
m) f(x, y) =
xy
|x|+|y| si (x, y)6= (0,0)
0, si (x, y) = (0,0)
n) f(x, y) =
x2y2
|x3|+|y3| si (x, y)6= (0,0)
0, si (x, y) = (0,0)
˜
n) f(x, y) =
x2+y2 si x2+y2 ≤4
o) f(x, y) =
sin(x+y)
x+y si x+y 6= 0
0, si x+y = 0
p) f(x, y, z) =
3xyz
x2 +y2+z2 si (x, y)6= (0,0,0)
0, si (x, y) = (0,0,0)
q) f(x, y, z) =
xz−y2
x2 +y2+z2 si (x, y)6= (0,0,0)
0, si (x, y) = (0,0,0)
28. En cada caso, hallar el valor de cpara que la funci´on dada sea continua en todo R2.
a) f(x, y) =
x2+y2 si x2+y2 ≤4
c, si x2+y2 >4 b) f(x, y) =
sin(x+y)
x+y si x+y 6= 0
c, si x+y = 0
29. Sea
f(x, y) =
x2−4y2
x−2y si x6= 2y
g(x) si x= 2y
Encuentre una f´ormula para g(x) de modo que f sea continua en todo el plano.
30. Probar que la funci´on
f(x, y) =
1
xsin(xy) si x6= 0
y, si x= 0
es continua en todo R2.
31. Probar que la funci´on
f(x, y, z) =
(y+ 1)x
2−z2
x2 +z2 si (x, y, z)6= (0,0,0)
0, si (x, y, z) = (0,0,0)
es discontinua en el punto (0,0,0). Si la continuidad es removible, redefina la funci´on de tal manera que sea continua en el origen.
a) f(x, y) = x
x2+y2.
b) f(x, y) = x
2y2
x2+y2.
c) f(x, y) = 2y
2−3xy
p
x2+y2.
d) f(x, y) = x
3−4xy2
x2+y2 .
33. En cada caso, haciendo uso de la definici´on, halle las primeras derivadas parciales.
a) f(x, y) = 4x2−3xy.
b) f(x, y) =xy2−5y+ 6.
c) f(x, y) = x+ 2y
x2−y.
d) f(x, y) = ln(x2y).
e) f(x, y) =e2x+3y.
f) f(x, y, z) =x2+ 4y2+ 9z2.
g) f(x, y, z) =x2y−3xy2+ 2yz.
h) f(x, y, z) = x
2y
z .
34. En cada caso, calcular las derivadas parciales de primer orden de las funciones dadas.
a) f(x, y) = (4x−5y)3/2.
b) f(x, y) = px+y
y2−x2.
c) f(x, y) =ey(sin(x)−cos(x)).
d) f(x, y) = x
2+y2
x2−y2 ln(x
2+y2).
e) f(u, v) =euv.
f) f(x, y) = arctan(x√y).
g) f(x, y) = arcsin p x
x2+y2 !
.
h) f(x, y) =xy +yx.
i) f(x, y) =Ry
x ln(sin(t))dt.
j) f(x, y) =Ry x(e
sin(t)+ 1)dt+Rx y(e
sin(t)−
1)dt.
k) f(x, y) =Rxx2+y2tetdt.
l) h(x, y) = ef(x)g(y).
m) f(r, θ) = 3r3cos(2θ).
n) f(r, θ) =r2cos(θ)−2rtan(θ).
˜
n) r=e−θcos(θ+φ).
o) f(r, θ, φ) = 4r2sin(θ)+5ercos(θ) sin(φ)−
2 cos(φ).
p) f(x, y, z) =ex(x2+y2+z2)
.
q) f(x, y, z) =e−xyz−ln(xy−z2).
r) f(x, y, z) =arccot
1
xy2z3
.
s) f(x, y, z) =Rx+y+zln(xyz)√1 +et.
t) h(x, y, z) = [f(x, y)]3[g(x, z)]2.
35. En cada caso, evaluar la derivada parcial indicada.
a) f(x, y) = 2x−y
xy ; fx(3,−2) yfy(3,−2).
b) f(x, y) =exln(y); fx(0, e) y fy(0, e).
c) g(x, y) = e−xsin(x+ 2y);g
x(0, π/4) ygy(0, π/4).
d) f(x, y) = ln(x2+xy+y2);f
x(−1,4) y fy(−1,4).
e) f(x, y) = arc cos(xy); fx(1,1/2).
f) f(r, θ) =r2tan(θ)−rsin(θ);f
g) f(x, y) =
x3−y3
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
; D1f(0,0) y D2f(0,0).
h) f(x, y) =
2x2y2
x4+y4 si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
;D1f(0,0) y D2f(0,0).
i) f(x, y, z) = (x3+y2+z)4;fy(0,1,1).
j) f(x, y, z) = (xy/z)1/2;f
x(−2,−1,8).
k) f(x, y, z) =exy2 + ln(y+z); fy(1,0,2).
l) f(x, y, z) =psin2(x) + sin2(y) + sin2(z);fz(0,0, π/4).
36. En cada caso, calcule fxy yfyx. Verifique que las derivadas cruzadas son iguales. Esto es, fxy =fyx.
a) f(x, y) = (x3+y2)5.
b) f(x, y) =exsin(y).
c) f(x, y) =e−x/y+ lny
x
.
d) f(x, y) = tany
x
.
e) f(x, y) = arcsin
3y x2
.
f) f(x, y) =xcos(y)−yex.
g) f(x, y) = arctan(xy).
37. En cada caso, calcule D122f, D212f y D221. Verifique que D122f =D212f =D221.
a) f(x, y) =x2ey+y3ln(x).
b) f(x, y) =x2cos(y) +y2sin(x).
c) g(2, π/3,−1).
38. El volumen V de un cilindro circular recto est´a dado por V =πr2h, donde r es el radio y h es la altura. Si h se mantiene fijo en h = 10 pulgadas, determine la raz´on de cambio deV con respecto de r cuando r= 6. Interprete el valor obtenido.
39. Seg´un la ley del gas ideal, P V =kT donde P es la presi´on, V es el volumen, T es la temperatura ykes una constante de proporcionalidad. Determine la raz´on de cambio de la presi´on (libra/pulgadas cuadrada) con respecto de la temperatura cuando la temperatura es de 300◦K si el volumen se mantiene fijo en 100 pulgadas c´ubicas. Interprete el valor obtenido.
40. SiS metros cuadrados es el ´area de la superficie del cuerpo de una persona, entonces una f´ormula que proporciona el valor aproximado de S es
S = 2W0,4H0,7
donde W kilogramos es el peso de una persona y H metros es la altura de la persona.
Calcule ∂S
∂W y ∂S
41. Tres resistenciasR1, R2 y R3 conectadas en paralelo en un circuito el´ectrico produce una
resistencia R que esta dada por la f´ormula
1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Encuentre ∂R ∂R1 .
42. Siz = xy
x+y, verificar que x ∂z ∂x +y
∂z ∂y =z.
43. Siz = ln(x2 +xy+y2), verificar que x∂z ∂x +y
∂z ∂y = 2.
44. Siu= sinr
t + ln t r
, verificar quet∂u ∂t +r
∂u ∂r = 0.
45. Siw=x2y+y2z+xz2, verificar que ∂w ∂x +
∂w ∂y +
∂w
∂z = (x+y+z) 2.
46. Siw= z
xy+yz+xz, verificar que x ∂w ∂x +y
∂w ∂y +z
∂w
∂z =−w.
47. Siw=
x−y+z x+y−z
n
, verificar que x∂w ∂x +y
∂w ∂y +z
∂w ∂z = 0.
48. En cada caso, verificar que la funci´on dada satisface la ecuaci´on de Laplace:
∂2z ∂x2 +
∂2z ∂y2 = 0.
a) z =x3y−xy3.
b) z = ln(4x2+ 4y2).
c) z =exsin(y) +eycos(x).
d) z = 1
2(e
x−e−y) sin(x).
e) z= arctany
x
.
f) z= arctan
2xy x2−y2
.
49. En cada caso, verificar que la funci´on dada satisface la ecuaci´on de Laplace tridimen-sional:
∂2u ∂x2 +
∂2u ∂y2 +
∂2u ∂z2 = 0.
a) u= p 1
x2+y2+z2.
b) u=eax+bycos(cz).
50. En cada caso, verificar que la funci´on dada satisface la ecuaci´on de ondas:
∂2z ∂t2 =a
a) z = ln(x+at).
b) z = cos(x) cos(at).
c) z=ex+at+ cos(kx+akt).
51. En cada caso, verificar que la funci´on dada satisface la ecuaci´on del calor:
∂z ∂t =a
2∂2z ∂x2.
a) z =e−atsin(x).
b) z =e−tcosx
a
. c) z =e−n2atsin(nx).
52. Sig(x, t) = x
2a√t, verificar que f(x, y) = Rg(x,t)
0 e
−u2
du satisface la ecuaci´on del calor.
53. En cada caso, demuestre que las funciones f y g satisfacen las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann,
fx =gy y fy =−gx.
a) f(x, y) =x2 −y2,g(x, y) = 2xy.
b) f(x, y) =excos(y), g(x, y) =exsin(y).
c) f(x, y) = ln(x2+y2),g(x, y) = 2 arctan(y/x).
d) f(x, y) = x
x2+y2, g(x, y) =
−y x2+y2.
54. Sif y g satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, probar que f, g y f+g satisfacen la ecuaci´on de Laplace.
55. Siz = (x−y) ln(x+y), verificar que ∂
2z
∂x2 −2 ∂2z ∂x∂y +
∂2z ∂y2 = 0.
56. Siz = arctany
x
, verificar que ∂
2z
∂x∂y = ∂3z ∂x2∂y +
∂3z ∂y2∂x.
57. Siz =yex+xey, verificar que ∂
3z
∂x∂y2 = ∂3z ∂y2∂x.
58. Sif(x, y) =g(x)h(y), verificar que z ∂ 2z
∂x∂y = ∂z ∂x
∂z ∂y.
59. Para la ley del gas ideal (ejercicio (39)):
Muestre que ∂P
∂V ∂V ∂T
∂T
∂P =−1.
Muestre queT∂V ∂T
∂V ∂T =k.
Muestre queV ∂P ∂V +T
∂P ∂T = 0.
60. Sea la funci´on f(x, y) =eax+byg(x, y). Hallar los valores a y b para los cuales se cumplen
gx(x, y) =gy(x, y) = 1. fx(x, y) = fy(x, y). fxy+ 1 =fyx+a.
61. Si
f(x, y) =
x2y2
x4+y4 si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
probar que:
D1f(0,0) = 0.
D2f(0,0) = 0.
D12f(0,0) = 0.
D21f(0,0) = 0.
62. Si
f(x, y) =
x2arctan(y/x)−y2arctan(x/y) si x6= 0 y y6= 0
0 si x= 0 ´oy= 0
probar que:
D1f(0, y) = −y.
D2f(x,0) = x.
D12f(0,0) =−1.
D21f(0,0) = 1.
63. En cada caso, hallar las ecuaciones param´etricas de la recta tangente a la curva de inter-secci´on de la superficie con el plano, en el punto indicado.
a) Superficie z = x2 + 8y2, plano y = 1,
punto (2,1,12).
b) Superficie 36x2−9y2 + 4z2+ 36 = 0,
planox= 1, punto (1,√12,−3).
c) Superficie z = x
2
y2−3, plano x = 3,
punto (3,2,9).
d) Superficie z = x
2
y2−3, plano y = 2,
punto (3,2,9).
e) Superficie z = x2 + 8y2, plano x = 2,
punto (2,1,12).
f) Superficiez =p36−5x2−7y2, plano y= 1, punto (2,1,3).
g) Superficiez =p36−5x2−7y2, plano x= 2, punto (2,1,3).
h) Superficiex2+y2+z2 = 9, planoy = 2,
punto (1,2,2).
i) Superficie 4z = 5√16−x2, plano y =
3, punto (2,3,√3/2).
64. Las rectas tangentes de los ejercicios (63c) y (63d); al igual que (63f) y (63g), determinan un ´unico plano. Halle la ecuaci´on de esos planos.
65. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada como la intersecci´on de z =
x4+xy3+ 12 con el plano x= 1. En el punto (1,−2,5), sali´o por la recta tangente. ¿En d´onde toc´o la abeja al plano XZ?
a) ∆f(2,−1).
b) ∆f(2,−1) cuando ∆x=−0,01 y ∆y= 0,02.
c) df(2,−1,∆x,∆y).
d) df(2,−1,−0,01,0,02).
67. Sih(x, y) = x+y
x−y, calcule:
a) ∆h(3,0).
b) ∆h(3,0) cuando ∆x= 0,04 y ∆y= 0,03.
c) dh(3,0,∆x,∆y).
d) dh(3,0,0,04,0,03).
68. SiF(x, y, z) =xy+ ln(yz), calcule:
a) ∆F(4,1,5).
b) ∆F(4,1,5) cuando ∆x= 0,02, ∆y= 0,04 y ∆z=−0,03.
c) dF(4,1,5,∆x,∆y,∆z).
d) df(4,1,5,0,02,0,04,−0,03).
69. SiG(x, y, z) =x2y+ 2xyz−z3, calcule:
a) ∆G(−3,0,2).
b) ∆G(−3,0,2) cuando ∆x= 0,01, ∆y= 0,03 y ∆z=−0,01.
c) dG(−3,0,2,∆x,∆y,∆z).
d) dG(−3,0,2,0,01,0,03,−0,01).
70. En cada caso, hallar la diferencial total de la funci´on dada.
a) f(x, y) =xey.
b) f(x, y) = ln(1 +x2y2).
c) f(x, y, z) = ln(1 +xyz).
d) f(x, y, z) =√x+√y+√z.
e) w=ytan(x2)−2xy.
f) w= xyz
x+y+z.
g) w=eyz−cos(xz).
71. En cada caso, usar diferenciales para aproximar ∆f =f(Q)−f(P).
a) f(x, y) =x2 −5xy+y; P = (2,3); Q= (2,03,2,98).
b) f(x, y) =x1/3y1/2; P = (4,1); Q= (4,02,0,97).
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = arctan(xy); P = (−2,−0,5); Q= (−2,03,−0,51).
e) f(x, y, z) = xyz
x+y+z; P = (4,−2,−1); Q= (4,1,−1,98,1,04).
72. En cada caso, usar diferenciales para aproximar el n´umero indicado.
a) p(8,02)2+ (14,97)2.
b) 3p,1
(6,9)2+ (4,2)2−1.
73. En cada caso, hallar la linearizaci´onL(x, y) de la funci´on dada. Mediante esta linearizaci´on aproxime la funci´on en el punto indicado.
a) f(x, y) =pe2x+y;f(0,1,2,95).
b) f(x, y) =x2y+xcos(y−1); f(−2,01,1,02).
c) f(x, y, z) =px3+y3+z3; f(1,98,1,04,2,96).
74. Un contenedor tiene la forma de un s´olido rectangular y tiene una longitud interior de 8m, un ancho interior de 5m, una altura interior de 4m y un espesor de 4cm. Emplee la diferencial total para aproximar la cantidad de material necesario para construir el contenedor.
75. Utilice la diferencial total para calcular aproximadamente el mayor error al determinar el ´area de un tri´angulo rect´angulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos miden 6cmy 8cm, respectivamente, con un error posible de 0,1cmpara cada medici´on. Tambi´en obtenga aproximadamente el error relativo.
76. Los catetos de un tri´angulo rect´angulo miden 8cm y 6cm. El cateto mas largo se encoge 1
4cm y el m´as corto se alarga 1
6cm. Usar diferenciales para aproximar la variaci´on de la hipotenusa.
77. El volumen de un cono circular recto de radio r y altura h est´a dado por V = 1 3πr
2h.
Si el radio crece de 6 a 6,05cm y la altura decrece de 18 a 17,96cm. Usando diferenciales estimar el cambio del volumen del cono.
78. Se tiene un sector circular de radio r = 30cm y ´angulo central θ = π
3. Si el ´angulo central lo incrementamos en un grado (1◦), estimar en cuanto debemos disminuir el radio si queremos que el ´area se mantenga.
79. Si la ley del gas ideal, ver ejercicio (39), se emplea para calcularP cuando se proporciona
T yV, pero existe un error de 0,3 % en la medici´on deT y un error de 0,8 % en la medici´on deV, calcule aproximadamente el mayor error relativo al calcular P.
80. La gravedad espec´ıfica S de un objeto est´a determinada por la f´ormula
S = A
dondeA libras es el peso del objeto en el aire yW libras es el peso del objeto en el agua. Si el peso de un objeto en el aire es de 20lb con un error posible de 0,01lb y su peso en el agua es de 12lb, con un error posible de 0,02lb, calcule aproximadamente el mayor error posible al determinarS a partir de estas medidas. Tambi´en calcule el mayor error relativo posible.
81. La resistencia total de dos resistencias R1 y R2, colocadas en paralelo, est´a dada por
1
R =
1
R1
+ 1
R2
.
a) Probar que dR =
1
R1 2
dR1+
1
R2 2
dR2.
b) Si las mediciones de R1 y R2 son de 25 y 100ohmios, con errores m´aximos de
0,5ohmios y 0,75ohmios, respectivamente. Usando diferenciales estimar el m´aximo error al calcularR.
82. El per´ıodo de oscilaci´on de un p´endulo est´a dado porT = 2πpL/g, dondeLes la longitud y g es la aceleraci´on de la gravedad.
a) Probar que dT
T =
1 2
dL
L − dg
g
.
b) Al medir Ly g se cometen errores porcentuales m´aximos de 0,5 % y 0,3 %, respecti-vamente. Usando la igualdad de la parte anterior, estime el error porcentual m´aximo deT.
83. La potencia el´ectrica est´a dada por P = E
2
R , dondeE es el voltaje y R es la resistencia.
Si 2 % es el error porcentual m´aximo al medir E y 3 % es el error porcentual m´aximo al medir R, estimar el error porcentual m´aximo al calcular P.
84. En cada caso, haciendo uso de la definici´on, demuestre quef es diferenciable en todo su dominio.
a) f(x, y) =x2y−2xy.
b) f(x, y) = 2x2+ 3y2.
c) f(x, y) = y
x.
d) f(x, y, z) =xy−xz+z2.
e) f(x, y, z) = 2x2z−3yz2.
85. En cada caso, demuestre que la funci´on dada es diferenciable en todo su dominio.
a) f(x, y) = 3x−4y
x2+ 8y.
b) f(x, y) = sin(y/x) + cos(x/y).
c) g(x, y) = yln(x)− x
y.
86. Dada la funci´onf(x, y) = (x+y)px2+y2.
a) Hallar fx(x, y) y fy(x, y).
b) Probar que f es de clase C(1) en R2 y, por tanto, f es diferenciable en R2. 87. Seaf(x, y) =px2+y2.
Muestre que∂f /∂x no est´a definida en (0,0).
¿Es f diferenciable en (0,0)?
88. Sea f(x, y) =
x+y−2 si x= 1 o y= 1
2 si x6= 1 y y 6= 1
Demuestre que D1f(1,1) y D2f(1,1)
existen y que f no es diferenciable en (1,1).
89. Seaf(x, y) =
3x2y
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
Demuestre queD1f(0,0) yD2f(0,0)
exis-ten y que D1f y D2f no son continuas en (0,0).
90. Seaf(x, y) =
xy2
x2+y4 si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
Demuestre queD1f(0,0) yD2f(0,0)
exis-ten y que f no es diferenciable en (0,0).
91. Seaf(x, y) =
3yz
x4+y2+z2 si (x, y, z)6= (0,0,0)
0 si (x, y, z) = (0,0,0)
Demuestre queD1f(0,0,0),D2f(0,0,0)
y D3f(0,0,0) existen y que f no es diferenciable en (0,0,0).
92. En cada caso, usando la regla de la cadena, hallar dw
dt.
a) w=x2−xy+ 2y2, x= cos(t), y=−sin(t).
b) w= ln(2x2 +y), x=√t, y= 2t.
c) w= ln(x/y),x= tan(t), y= sec2(t).
d) w=e1−xy, x=t1/3,y =t2/3.
e) w=exsin(y) +eysin(x), x= 1
2t, y= 2t.
f) w= t+e
x
y−et, x= 3 sin(t), y= ln(t).
g) w=xy+yz+xz,x=t2,y= 1−t2, z = 1−t.
i) w=xsin(πy)−zcos(πx), x=t2,y = 1−t, z = 1−t2.
93. En cada caso, usando la regla de la cadena, hallar ∂w
∂s y ∂w
∂t.
a) w= 1
x +
1
y, x=e
st, y=e−st.
b) w=x2−yln(x),x=s/t, y=s2t.
c) w= ln(x+y)−ln(x−y),x=tes, y=est.
d) w= sin(x−y) + cos(x+y), x=st, y=s2−t2.
e) w=z2sec(xy),x= 2st, y=s−t2,z =s2t.
f) w=px2+y2+z2, x= cos(st), y= sin(st),z =s2t.
g) w=exy+z, x=s+t, y=s−t, z =t2.
h) w= arcsin(3x+y),x=t2es, y= sin(ts).
94. Siz =xy+x+y,x=r+s+t, y=rst, determine
∂z ∂s
r=1,s=−1,t=2.
95. Siw=x2y+z2, x=ρcos(θ) sin(ψ),y=ρsin(θ) sin(ψ), z =ρcos(ψ) determine
∂w ∂θ
ρ=2,θ=π,ψ=π/2.
96. En cada caso, la ecuaci´on dada define impl´ıcitamente a y como funci´on de x. Hallar dy
dx.
a) 2x3+ 3xy3 = 5.
b) 2x+√xy−y= 1.
c) ye−x+ 5x−17 = 0.
d) x2/3+ 2x1/3y1/3 +y2/3 = 12.
e) x2cos(y)−y2sin(x) = 0.
f) sin(xy) + cos(xy)−1 = 0.
g) cos(x+y) =ysin(x).
97. En cada caso, la ecuaci´on dada define impl´ıcitamente a z como funci´on de x e y. Hallar
∂z ∂x y
∂z ∂y.
a) 4xy−yz2+ 2xz = 0.
b) xyz+ cos(xyz) = 0.
c) ye−x+zsin(x) = 0
e) zeyz+ 2xexz−4exy = 3.
98. Sean u=eycos(x), x= 2t y y=t2. Calcule d 2u
dt2.
99. Sean u= 3xy−4y2, x= 2set, y=te−s. Calcule ∂
2u
∂t2 y ∂2u ∂s∂t.
100. El radio de un cilindro circular recto crece a raz´on de 2cm/seg y la altura decrece a raz´on de 3cm/seg. En el instante en que el radio es de 10cm y la altura es de 24cm, hallar:
La raz´on de cambio del volumen del cilindro.
La raz´on de cambio del ´area lateral del cilindro.
101. La parte de un ´arbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un s´olido con forma aproximada de un cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto ´arbol crece
1
2 pulgada/a˜no y la altura aumenta 8 pulgadas/a˜no ¿qu´e tan r´apido aumenta el volumen cuando el radio es de 20 pulgadas y la altura es de 400 pulgadas?
102. Los dos radios de un tronco de cono circular recto crecen a raz´on de 2cm/miny la altura decrece a raz´on de 3cm/min. En el instante en que los radios son de 6cm y 12cm y la altura es de 8cm, hallar:
La raz´on de cambio del volumen del tronco de cono.
La raz´on de cambio del ´area lateral del tronco.
103. El cateto a de un tri´angulo rect´angulo crece a raz´on de 3cm/min. El cateto b decrece a raz´on de 2cm/min. Hallar la raz´on con la que cambia el ´angulo θ en el instante cuando
a= 10cm y b = 20cm.
104. El lado ade un tri´angulo crece a raz´on de 3cm/seg, el ladob decrece a raz´on de 2cm/seg
y el ´angulo que estos lados forman crece a raz´on de 0,04rad/segHallar la raz´on de cambio del ´area A del tri´angulo en el instante cuando a= 40sm, b= 60cm y θ =π/4.
105. Los lados a y b de un tri´angulo est´a creciendo a raz´on de 1,5cm/seg y 1cm/seg, respec-tivamente. Si el ´area permanece constante, hallar la raz´on con la que cambia el ´anguloθ
que ellos forman, cuando a= 16cm, b = 12cm y θ=π/6.
106. Un tanque de goma, que tiene la forma de un cilindro circular recto, esta recibiendo agua a raz´on de 2πm3/hora. El radio del tanque esta creciendo a raz´on de 5cm/hora. Hallar la raz´on con que crece la altura del agua cuando el radio es de 2m y el volumen del agua en el tanque es de 12πm3.
107. Los lados a, b y c de una caja rectangular est´an cambiando a raz´on de 2cm/min, −2cm/miny 3cm/min, respectivamente. En el instante en el que a= 20cm,b = 15cm y
c= 40cm, hallar la raz´on en que est´a cambiando el volumen de la caja.
109. Un kilomol de un gas real obedece la ecuaci´on de Van der Waals: Si P, V y T son, respectivamente, las medidas de la presi´on, el volumen y la temperatura absoluta, entonces
P + a
V2
(V −b) =RT
donde R es la constante universal de los gases, y a y b son constantes que dependen del gas particular. Si β es el coeficiente de la expansi´on del volumen y κ es el coeficiente de compresibilidad, entonces
β = 1
V
∂V ∂T
y κ=−1
V
∂V ∂P
Demuestre que ∂β
∂P =− ∂κ ∂T.
Nota: Recuerde que las derivadas cruzadas no siempre son iguales.
110. Sea g una funci´on diferenciable de una variable real definida en todas partes.
Sia y b son constantes y w=g(ax+by), entonces
b∂w ∂x =a
∂w ∂y.
Sim y n son enteros diferentes de cero, y w=g(xmyn), entonces
nx∂w ∂x =my
∂w ∂y.
111. Dado que x=rcos(θ) y y=rsin(θ), encuentre
∂x ∂r
∂y ∂θ −
∂x ∂θ
∂y ∂r.
112. Sea g una funci´on dos veces diferenciable de una variable real, y pongamos
h(x, y) = g(x+y) +g(x−y).
Muestre que
∂2h ∂x2 =
∂2h ∂y2.
113. Sea f diferenciable y z =f(x2−y2). Probar que y∂z ∂x +x
∂z ∂y = 0.
114. Sea f diferenciable,w=f(x−y, y−z, z−x). Probar que ∂w
∂x +x ∂w
∂y + ∂w
∂z = 0.
115. Sean u = f(x, y) y v = g(x, y) diferenciables que satisfacen las ecuaciones de Cauchy
Riemann: ∂u
∂x = ∂v ∂y y
∂v ∂x =−
∂u
∂y. Si x=rcos(θ), y=rsin(θ), probar que
∂u ∂r =
1
r ∂v ∂θ y
∂v ∂r =−
1
r ∂u ∂θ.
116. Asuma que u=u(x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas. Muestre que
∂2u ∂x2 +
∂2u ∂y2 =
∂2u ∂r2 +
1
r2 ∂2u ∂θ2 +
1
r ∂u ∂r.
A esta ecuaci´on se le conoce con el nombre deforma polar de la ecuaci´on de Laplace.
117. Sea z =f(x, y), donde x=rcos(θ) y y=rsin(θ). Muestre que
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2
=
∂z ∂r
2
+ 1
r2
∂z ∂θ
2 .
118. Sea F diferenciable. Si F(cx−az, cy−bz) = 0 define impl´ıcitamente a z como funci´on dex e y, probar que
a∂z ∂x +b
∂z ∂y =c.
119. En cada caso, hallar el gradiente de f.
a) f(x, y) =x3y−y3.
b) f(x, y) = x−y
x2+y2.
c) f(x, y) =x2ycos(y).
d) f(x, y) = sin3(x2y).
e) f(x, y) = ln(x2+y2).
f) f(x, y, z) =px2+y2+z2.
g) f(x, y, z) =x2y+y2z+z2x.
h) f(x, y, z) =xzln(x+y+z).
i) f(x, y, z) =e yz2
x3 .
j) f(x, y, z) = sin(2xy) + ln(x2z).
120. En cada caso, hallar el gradiente de la funci´on dada en el puntoP indicado.
a) f(x, y) =x3y+ 3xy2, P = (2,−2).
b) f(x, y) = 2x(x−y)−1, P = (3,1).
c) f(x, y) = 2excos(y),P = (1,5π/6).
d) f(x, y) = cos(πx) sin(πy) + sin(2πy),P =
−1,1
2
.
e) f(x, y) =xarctan(y/x), P = (1,1).
f) f(x, y) =arcsec(2xy), P = (1,−1).
g) f(x, y, z) = xyz
h) f(x, y, z) =e−xsin(z+ 2y), P = (0, π/4, π/4).
i) f(x, y, z) = cos(xyz2),P = (π,1/4,−1).
j) f(x, y, z) =xz+zx+yz+zy, P = (1,1,1).
121. Asuma que ∇f y ∇g existen. Muestre que:
a) ∇[f g] =f∇g+g∇f.
b) ∇
f g
= g∇f −f∇g
g2 , si g(x)6=0.
c) ∇(fr) =rfr−1∇f.
122. Sea f(x, y) = 1 +x2+y2.
a) Encuentre el punto (x, y) (si existe) en el cual∇f(x, y) =0.
b) Bosqueje el gr´afico de la superficiez =f(x, y).
c) ¿Qu´e puede decir de la superficie en el punto encontrado en la parte a)?
123. Sea f(x, y) =p4−x2−y2.
a) Encuentre el punto (x, y) (si existe) en el cual∇f(x, y) =0.
b) Bosqueje el gr´afico de la superficiez =f(x, y).
c) ¿Qu´e puede decir de la superficie en el punto encontrado en la parte a)?
124. De acuerdo a la Ley de gravedad de Newton, la fuerza ejercida sobre una part´ıcula de masa m localizada en el punto (x, y, z) por una part´ıcula de masaM localizada en el origen esta dada por
F(x, y, z) = −GM m
R3 r
donde r =xi+yj +zk, R =||r||, y G es la constante de gravitaci´on universal. Muestre que F es el gradiente de la funci´on
f(x, y, z) = GM m
R .
125. En cada caso, hallar la derivada direccional de la funci´on dada, en el punto P y en la direcci´on del vector unitariou.
a) f(x, y) =x2 −3xy+ 2y2, P = (2,1), u=<√2/2,√2/2>.
b) f(x, y) = 2xln(y),P = (1, e), u=<√3/2,−1/2>.
c) f(x, y) =y2tan2(x), P = (π/3,2), u=<−√3/2,1/2>.
d) f(x, y, z) = ln(x2+y2+z2), P = (1,3,2), u=<1/√3,−1/√3,−1/√3>.
e) f(x, y, z) =zexy −y2, P = (0,2,3), u=<1/3,2/3,2/3>.
126. En cada caso, hallar la derivada direccional de la funci´on dada, en el punto P y en la direcci´on del vectora.
a) f(x, y) =x+ sin(x+y), P = (0,0), a= 2i+j.
b) f(x, y) = 2x
x−y, P = (1,0), a=i−
√ 3j.
c) f(x, y) =y2ln(x), P = (1,4), a=i−j.
d) f(x, y) =x2 −3xy+ 2y2, P = (−1,2), a= 2i−j.
e) f(x, y) =x2y+ tan(y),P = (−1, π/4), a=i−2j.
f) f(x, y, z) =x3y−y2z2, P = (−2,1,3), a =i−2j+ 2k.
g) f(x, y, z) =x2+y2+z2, P = (1,−1,2), a =√2i−j−k.
h) f(x, y, z) =xarctan(y+z),P = (1,0,1), a=i+j −k.
i) f(x, y, z) =xy2cos(z)−2yz2sin(πx) + 3zx2, P = (0,−1, π),a= 2i−j+ 2k.
127. En cada caso, hallar la derivada direccional de la funci´on dada, en el punto P y en la direcci´on del vector unitario con ´anguloθ.
a) f(x, y) = x−y
x+y, P = (−1,−2), θ =π/2.
b) f(x, y) = ln(x2+y2+ 1), P = (0,1), θ =π/6.
c) f(x, y, z) =x2−sin(x+y) +z2, P = (1,−1,1), θ =π/2.
128. En cada caso, hallar el vector unitario u en la direcci´on en que la funci´on f crece m´as r´apidamente en el punto P, y hallar la raz´on de cambio de f enP.
a) f(x, y) =x3 −y5,P = (2,1).
b) f(x, y) =eysin(x), P = (5π/6,0).
c) f(x, y) =e2ytan(x2),P = (√π/2,0).
d) f(x, y, z) = (x+y)2+ (y+z)2+ (x+z)2, P = (2,0,−1).
e) f(x, y, z) =xeyz, P = (2,0,−4).
f) f(x, y, z) =xyz, P = (e,0,2).
g) f(x, y, z) = (x2+z2+y2) ln(px2+z2+y2),P = (1,1,1).
129. ¿En qu´e direcci´onu, ocurre quef(x, y) = 1−x2−y2 decrece m´as r´apido enP = (−1,2)?
130. ¿En qu´e direcci´on u, ocurre que f(x, y) = sin(3x − y) decrece m´as r´apido en P = (π/6, π/4)?
131. Determine la derivada direccional def(x, y, z) =xy+z2 en (1,1,1) en la direcci´on hacia
(5,−3,3).
132. Determine la derivada direccional def(x, y) = e−xcos(y) en (0, π/3) en la direcci´on hacia
133. Determine la direcci´on a partir del punto (1,3) para la cual el valor de f no cambia si
f(x, y) = e2yarctan y
3x
.
134. La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el planoXY esρ(x, y) kilogramos por metro cuadrado, done
ρ(x, y) = p 1
x2+y2+ 3
a) Calcule la tasa de variaci´on de la densidad en el punto (3,2) en la direcci´on del
vector unitario cos
2π
3
i+ sin
2π
3
j.
b) Determine la direcci´on y la intensidad de la m´axima tasa de variaci´on de ρen (3,2).
135. La temperatura sobre una placa met´alica plana en el punto (x, y, z) es
T(x, y, z) = 225
x2+y2 +z2,
hallar el vector unitariouen la direcci´on en que la temperatura decrece m´as r´apidamente en el punto P = (1,−5,2).
136. La temperatura en (x, y, z) de una bola con centro en el origen est´a dada por
T(x, y, z) = 200 5 +x2+y2+z2
a) Por inspecci´on, decida d´onde la bola est´a m´as caliente.
b) Determine un vector que apunte en la direcci´on de mayor incremento de temperatura en (1,−1,1).
c) ¿Apunta el vector de la parte (136b) hacia el origen?
137. La elevaci´on de una monta˜na sobre el nivel del mar en el punto (x, y) es f(x, y). Un
monta˜nista en el puntoP nota que la pendiente en la direcci´on este es −1
4 y la pendiente en la direcci´on norte es −1
4 . ¿En qu´e direcci´on debe moverse para el m´as r´apido descenso?
138. La elevaci´on de una monta˜na sobre el nivel del mar en el punto (x, y) es 3000e−(x2+2y2)/100
metros. Una monta˜nista se encuentra exactamente en el punto (10,10). Si la monta˜nista se mueve hacia el norte ¿ascender´a o descender´a y qu´e pendiente?
139. Una ecuaci´on de la superficie de una monta˜na es
z = 1200−3x2−2y2
donde la distancia se mide en metros, el ejexapunta hacia el este y el ejeyhacia el norte. Una monta˜nista se encuentra en el punto que corresponde a (−10,5,850).
b) Si la monta˜nista se desplaza en la direcci´on este ¿ella asciende o desciende, y a qu´e raz´on?
c) Si la monta˜nista se desplaza en la direcci´on suroeste ¿ella asciende o desciende, y a qu´e raz´on?
140. Si∇f(x0, y0) =<2,−1>.
Hallar un vector unitariou, tal que Duf(x0, y0) = 0.
Hallar un vector unitariou, tal que Duf(x0, y0) =−1.
141. La derivada direccional de z = f(x, y) en el punto P0 = (2,−1) y en direcci´on hacia el
punto P1 = (3,−2) es 2
√
2; y en direcci´on hacia el punto P2 = (6,−1) es −2.
a) Hallar ∇f(2,−1).
b) Hallar la derivada direccional en P0 en direcci´on hacia el punto P3 = (−1,−5).
142. Sea w = f(x, y, z) una funci´on de tres variables y P0 un punto en su dominio. Se sabe
que:
Du1f(P0) =
1 √
11, dondeu1 = 1 √
11 <1,3,−1>.
Du2f(P0) =
4
3, donde u2 = 1
3 <−1,2,2>.
Du3f(P0) =
−2 √
11, dondeu3 = 1 √
11 <2,2, √
3>.
Hallar:
a) ∇f(P0).
b) Dvf(P0), si v =
1 √
3 <1,−1,1>.
143. Calcular la derivada direccional de la funci´onf(x, y, z) = xeyz en el punto (1,1,−1) y en
las direcciones de la recta tangente en el punto (1,1,−1) a la curva C determinada por las intersecciones de las superficies 2x2 + 2y2−z2 = 3, x2+y2−z2 = 1.
144. Calcular la derivada direccional de la funci´on f(x, y, z) = x2y2z2 − xyz en el punto
(−2,0,1) y en las direcciones de la recta tangente en el punto (−2,0,1) a la curva C
determinada por las intersecciones de las superficies (x−1)2+(y+1)2 = 10,x−y−2z =−4.
145. La superficie de una colina es descrita por la ecuaci´on
f(x, y) = 100− 5x
2
100 − 12y2
100 ,
donde x, y, z est´an dados en metros. El eje positivo Y se˜nala hacia el norte y el eje positivo X, hacia el este. Un alpinista est´a parado en el punto (10,−10,83).
b) Si el alpinista camina hacia el suroeste. ¿Est´a ascendiendo o descendiendo? ¿A qu´e raz´on de cambio?
c) Si el alpinista quiere ascender siguiendo la m´axima pendiente. ¿Qu´e direcci´on debe tomar? ¿Cu´al es la raz´on en esta direcci´on? ¿Con qu´e ´angulo sobre la horizontal comienza este ascenso?
146. Un rastreador de calor se encuentra en el punto (−2,5) sobre una placa met´alica plana cuya temperatura en el punto (x, y) es
T(x, y) = 200−x2−3y2.
El rastreador se mueve continuamente en la direcci´on del incremento m´aximo de tempe-ratura.
a) Hallar las ecuaciones param´etricas de la trayectoria.
b) Hallar la ecuaci´on cartesiana de la trayectoria.
147. En cada caso, hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto P
indicado.
a) x2+y2 +z2 = 6, P = (−1,−2,3).
b) 2x2+ 2y2−z = 21, P = (−2,3,5).
c) x2+y2 −z2 = 4, P = (2,1,1).
d) x2/3+y2/3+z2/3 = 14, P = (1,−8,27).
e) z = sin(x) + sin(y) + sin(x+y), P = (0,0,0).
f) z =xe−2y, P = (1,0,1).
g) z = sin(xcos(y)),P = (1, π/2,0).
148. Si las dos superficies se intersectan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersecci´on en el punto indicado.
a) x2+y2 −2z+ 1 = 0, x2+y2−z2 = 0, P = (0,1,1).
b) x= 2 + cos(πyz),y= 1 + sin(πxz), P = (3,1,2).
c) x2−3xy+y2 =z, 2x2+y2 −3z+ 27 = 0, P = (1,−2,11).
149. Hallar los puntos sobre la superficie z = 4x+ 2y−x2 +xy−y2, en los cuales el plano
tangente es horizontal.
150. Hallar los puntos sobre la superficie z−2x2−2xy+y2+ 5x−3y+ 2 = 0, en los cuales
el plano tangente es horizontal.
151. Hallar los puntos de la superficiex2+y2+z2 = 2 donde los planos tangentes son paralelos al plano 8x+ 6y+ 10z−3 = 0.
153. Hallar los planos tangentes a la superficie 2x2 + 3y2−5z = 0 que son perpendiculares al plano x
4 +
z
5 = 1 y que pasan por el punto (4,0,2/5).
154. Hallar los planos tangentes al hiperboloide de una hoja x2+y2−z2 = 1 que contiene a
la recta x+ 3
−3 =
y−3
2 =
z−1
1 .
155. Hallar el plano tangente a la esferax2+y2+z2 = 8 que contiene a la recta L:<4,0,0>
+t <−1,1,1>.
156. Determine los puntos sobre la superficie x2+ 2y2+ 3z2 = 12 donde el plano tangente es
perpendicular a la recta con ecuaciones param´etricas x= 1 + 2t, y= 3 + 8t, z = 2−6t.
157. Determine las ecuaciones param´etricas de la recta que es tangente a la curva de intersec-ci´on de las superficies
f(x, y, z) = 9x2+ 4y2+ 4z2−41 = 0
y
g(x, y, z) = 2x2−y2+ 3z2−10 = 0
en el punto (1,2,2).
158. Hallar el plano tangente al paraboloide 2x2 +y2 −16z = 0 que es perpendicular a la recta tangente en el punto (2,2,1) a la curva formada por la intersecci´on de la superficie
x2+y2+z = 9 con el planoy= 2.
159. Hallar el plano tangente a la superficiex2+xy−3z = 0 que es perpendicular a los planos
x+y−z = 1, x−2y−2z = 3.
160. Probar que todos los planos tangentes al conoz2 =a2x2+b2z2pasan por el origen (0,0,0).
161. Probar que la suma de los cuadrados de las intersecciones con los ejes de cualquier plano tangente a la superficiex2/3+y2/3+z2/3 =a2/3 es constante igual aa2.
162. Probar que las superficiesx2 + 4y+z2 = 0 yx2+y2+z2−6z+ 7 = 0 son tangentes en
el punto P = (0,−1,2). Esto es, ambas superficies tienen el mismo plano tangente en el punto P.
163. Probar que las superficiesx2+y2+z2 = 3 yxyz = 1 son tangentes en el puntoP = (1,1,1).
164. Muestre que las superficies z = x2 y y = 1 4x
2 + 3
